Coordonnées d'un vecteur (partie 1/2)

## Objectifs et prérequis **Objectifs** : À la fin de ce chapitre, l’élève pourra - déterminer les coordonnées d’un vecteur $\vec{AB}$ à partir des coordonnées de ses points d’origine et d’extrémité ; - établir l’égalité de deux vecteurs en comparant leurs coordonnées ; - calculer la distance entre deux points du plan (ou de l’espace) en utilisant la formule issue du théorème de Pythagore ; - appliquer ces notions à des problèmes de géométrie analytique (déplacement, milieu de segment, vérification de colinéarité, etc.). **Prérequis** : notions de repère cartésien, coordonnées d’un point, opérations sur les nombres réels, théorème de Pythagore, concept de vecteur comme déplacement. --- ## Introduction contextualisée Dans la résolution de problèmes de géométrie, il est souvent utile de passer d’une description purement géométrique (points, droites, figures) à une description algébrique (équations, coordonnées). Le vecteur $\vec{AB}$ représente le déplacement qui mène du point $A$ au point $B$. En exprimant ce déplacement par ses composantes selon les axes du repère, on obtient un outil puissant pour calculer des longueurs, vérifier des parallélismes ou résoudre des systèmes d’équations. La distance entre deux points, quant à elle, fournit la mesure naturelle de l’écart entre deux positions et repose directement sur le théorème de Pythagore. Ce chapitre introduit ces deux notions fondamentales, qui seront réutilisées tout au long du programme de troisième et au lycée. --- ## I. Leçon 25 : Coordonnées d’un vecteur $\vec{AB}$ ### A. Définition du vecteur et de ses coordonnées > **Définition** : Dans un repère orthonormé $(O;\vec{i},\vec{j})$, le vecteur $\vec{AB}$ allant du point $A(x_A,y_A)$ au point $B(x_B,y_B)$ possède pour coordonnées les différences des coordonnées de ses points d’extrémité : > $$ \vec{AB} = (x_B - x_A,\; y_B - y_A). $$ Cette définition s’étend naturellement à l’espace avec un troisième composant $z$. ### B. Propriétés des coordonnées > **Propriété 1** : Le vecteur nul $\vec{0}$ a pour coordonnées $(0,0)$ (dans le plan) ou $(0,0,0)$ (dans l’espace). > **Propriété 2** : Le vecteur opposé $-\vec{AB}$ a pour coordonnées $-(x_B-x_A,\;y_B-y_A) = (x_A-x_B,\;y_A-y_B)$. > **Propriété 3** (additivité) : Si $\vec{AB}$ et $\vec{BC}$ sont deux vecteurs consécutifs, alors > $$ \vec{AC} = \vec{AB} + \vec{BC} \quad\Longrightarrow\quad (x_C-x_A,\;y_C-y_A) = (x_B-x_A+x_C-x_B,\;y_B-y_A+y_C-y_B). $$ ### C. Démonstration de l’égalité de deux vecteurs > **Théorème** : Deux vecteurs $\vec{u}=(u_1,u_2)$ et $\vec{v}=(v_1,v_2)$ sont égaux si et seulement si leurs coordonnées sont respectivement égales : $\vec{u}=\vec{v}\iff u_1=v_1\ \text{et}\ u_2=v_2$. *Preuve* : Par définition, deux vecteurs sont égaux s’ils ont même intensité, même direction et même sens. Dans un repère cartésien, cela se traduit par l’égalité de leurs composantes selon chaque axe. Réciproquement, si les composantes sont égales, les deux vecteurs coïncident point par point, donc ils sont égaux. ∎ ### D. Exemples entièrement résolus **Exemple 1** (simple) : Soit $A(2, -3)$ et $B(5,1)$. Trouver les coordonnées de $\vec{AB}$. *Solution* : $$ \vec{AB} = (x_B-x_A,\; y_B-y_A) = (5-2,\; 1-(-3)) = (3,\;4). $$ **Exemple 2** (plus délicat) : On sait que $\vec{AB} = ( -4, 7 )$ et que $A(-1, 2)$. Déterminer les coordonnées de $B$. *Solution* : On utilise la définition $\vec{AB} = (x_B-x_A,\; y_B-y_A)$. Donc $$ \begin{cases} x_B - (-1) = -4 \\ y_B - 2 = 7 \end{cases} \Longrightarrow \begin{cases} x_B + 1 = -4 \;\Rightarrow\; x_B = -5\\ y_B = 9 \end{cases} $$ Ainsi $B(-5,9)$. --- ## II. Leçon 26 : Distance de deux points ### A. Définition de la distance > **Définition** : La distance entre deux points $M(x_M,y_M)$ et $N(x_N,y_N)$ du plan est la longueur du segment $[MN]$, notée $d(M,N)$. ### B. Formule de la distance dans le plan > **Formule** : Dans un repère orthonormé, > $$ d(M,N) = \sqrt{(x_N-x_M)^2 + (y_N-y_M)^2}. $$ Cette formule provient directement du théorème de Pythagore appliqué au triangle rectangle formé par les projections des points sur les axes. ### C. Démonstration (théorème de Pythagore) Considérons le triangle rectangle dont les côtés parallèles aux axes ont pour longueurs $|x_N-x_M|$ et $|y_N-y_M|$. L’hypoténuse est le segment $[MN]$. D’après le théorème de Pythagore : $$ d(M,N)^2 = (x_N-x_M)^2 + (y_N-y_M)^2. $$ En prenant la racine carrée positive (la distance est nulle si et seulement si les points coïncident, sinon elle est strictement positive), on obtient la formule ci-dessus. ∎ ### D. Exemples entièrement résolus **Exemple 1** : Calculer la distance entre $P(1,4)$ et $Q(-2,-1)$. *Solution* : $$ d(P,Q) = \sqrt{((-2)-1)^2 + ((-1)-4)^2} = \sqrt{(-3)^2 + (-5)^2} = \sqrt{9+25}= \sqrt{34}. $$ **Exemple 2** : Montrer que le triangle dont les sommets sont $A(0,0)$, $B(3,0)$ et $C(0,4)$ est rectangle en $A$ et en déduire sa superficie. *Solution* : - $d(A,B)=\sqrt{(3-0)^2+(0-0)^2}=3$. - $d(A,C)=\sqrt{(0-0)^2+(4-0)^2}=4$. - $d(B,C)=\sqrt{(0-3)^2+(4-0)^2}= \sqrt{9+16}=5$. Comme $3^2+4^2=5^2$, le triangle est rectangle en $A$. Superficie $= \dfrac{1}{2}\times 3 \times 4 = 6$ unités². --- ## Synthèse du chapitre - **Vecteur $\vec{AB}$** : $\vec{AB}=(x_B-x_A,\;y_B-y_A)$. - **Égalité de vecteurs** : $\vec{u}=\vec{v}\iff u_1=v_1\ \text{et}\ u_2=v_2$. - **Vecteur nul** : $\vec{0}=(0,0)$. - **Vecteur opposé** : $-\vec{AB}=(x_A-x_B,\;y_A-y_B)$. - **Addition** : $\vec{AC}=\vec{AB}+\vec{BC}$ se traduit par l’addition des composantes. - **Distance** : $d(M,N)=\sqrt{(x_N-x_M)^2+(y_N-y_M)^2}$. - **Propriétés de la distance** : positivité, symétrie, inégalité triangulaire. - **Applications** : vérification de colinéarité, recherche du milieu, détermination de la nature d’un triangle. --- ## Glossaire - **Vecteur** : quantité caractérisée par une norme, une direction et un sens ; représenté par un déplacement. - **Coordonnées d’un vecteur** : différences des coordonnées du point d’arrivée moins celles du point de départ. - **Vecteur nul** : vecteur de norme nulle, toutes ses composantes sont nulles. - **Vecteur opposé** : vecteur de même norme, même direction mais sens inverse. - **Addition de vecteurs** : opération qui consiste à ajouter les composantes respectives. - **Distance** : longueur du segment joignant deux points, nulle si et seulement si les points coïncident, sinon strictement positive. - **Théorème de Pythagore** : dans un triangle rectangle, le carré de l’hypoténuse égale la somme des carrés des côtés adjacents. - **Repère orthonormé** : système d’axes perpendiculaires et de même échelle, permettant de lire directement les longueurs comme valeurs absolues des différences de coordonnées. --- ## Exercices d'application corrigés ### Exercice 1 Soit $A(-2,5)$ et $B(4,-3)$. 1. Déterminer les coordonnées de $\vec{AB}$. 2. Calculer la norme $\|\vec{AB}\|$. **Corrigé** 1. $\vec{AB}=(x_B-x_A,\;y_B-y_A)=(4-(-2),\;-3-5)=(6,\;-8)$. 2. $\|\vec{AB}\|=\sqrt{6^2+(-8)^2}=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10$. --- ### Exercice 2 On sait que $\vec{CD}=( -3, 9 )$ et que $C(1, -2)$. Trouver les coordonnées de $D$. **Corrigé** $\vec{CD}=(x_D-x_C,\;y_D-y_C)$. Donc $$\begin{cases} x_D-1=-3\\ y_D-(-2)=9 \end{cases} \Longrightarrow \begin{cases} x_D=-2\\ y_D=7 \end{cases} $$ Ainsi $D(-2,7)$. --- ### Exercice 3 Montrer que les points $E(1,2)$, $F(4,6)$ et $G(7,10)$ sont alignés. **Corrigé** Calculons les vecteurs $\vec{EF}$ et $\vec{FG}$ : $\vec{EF}=(4-1,\;6-2)=(3,4)$. $\vec{FG}=(7-4,\;10-6)=(3,4)$. Comme $\vec{EF}=\vec{FG}$, ils sont colinéaires et ont même sens ; donc $E$, $F$, $G$ sont alignés. --- ### Exercice 4 Déterminer la distance entre les points $M(-1, -4)$ et $N(3, 2)$. **Corrigé** $$ d(M,N)=\sqrt{(3-(-1))^2+(2-(-4))^2}=\sqrt{4^2+6^2}=\sqrt{16+36}=\sqrt{52}=2\sqrt{13}. $$ --- ### Exercice 5 Un triangle a pour sommets $P(0,0)$, $Q(5,0)$ et $R(0,12)$. 1. Vérifier que le triangle $PQR$ est rectangle. 2. Calculer son aire. **Corrigé** 1. Longueurs : $d(P,Q)=\sqrt{(5-0)^2+(0-0)^2}=5$. $d(P,R)=\sqrt{(0-0)^2+(12-0)^2}=12$. $d(Q,R)=\sqrt{(0-5)^2+(12-0)^2}=\sqrt{25+144}=13$. Comme $5^2+12^2=13^2$, le triangle est rectangle en $P$. 2. Aire $=\dfrac{1}{2}\times 5 \times 12 =30$ unités². --- ## Erreurs fréquentes 1. **Confondre coordonnées du vecteur et coordonnées du point** : Certains élèves écrivent $\vec{AB}=(x_A,y_A)$ au lieu de $(x_B-x_A,\;y_B-y_A)$. *Rappel* : le vecteur représente le déplacement, pas la position. 2. **Oublier de changer de signe lors du calcul du vecteur opposé** : On écrit parfois $-\vec{AB}=(x_B-x_A,\;y_B-y_A)$. *Correction* : multiplier chaque composante par $-1$. 3. **Utiliser la formule de la distance sans mettre les différences au carré** : écrire $d=\sqrt{x_N-x_M + y_N-y_M}$. *Rappel* : le théorème de Pythagore implique le carré des différences. 4. **Ne pas vérifier que le résultat de la distance est positif** : laisser une réponse négative après avoir oublié la racine carrée. *Rappel* : la distance est toujours $\ge 0$. 5. **Mauvaise identification du triangle rectangle** : comparer les longueurs sans mettre au carré les côtés. *Astuce* : toujours vérifier $a^2+b^2=c^2$ avec $c$ l’hypothénuse (le plus grand côté). 6. **Confondre l’addition de vecteurs avec l’addition des points** : croire que $\vec{AB}+\vec{BC}$ donne les coordonnées de $B$. *Rappel* : l’addition de vecteurs donne le vecteur résultant, pas un point. --- *Fin du cours.*