Nombres réels (partie 1/3)

## Objectifs et prérequis **À la fin de ce chapitre, l’élève pourra :** - Définir la racine carrée d’un réel positif et en établir l’existence et l’unicité. - Utiliser les propriétés de la racine carrée (produit, quotient, puissance) pour simplifier des expressions. - Calculer exactement ou approcher une racine carrée à l’aide de méthodes élémentaires. - Décrire l’ensemble des nombres réels ℝ comme l’extension de ℚ par les nombres irrationnels. - Expliciter les propriétés d’ordre, de densité de ℚ dans ℝ et de complétude (existence du supremo). - Résoudre des équations et des inégalités comportant des racines carrées. - Justifier chaque étape d’un raisonnement en s’appuyant sur les définitions et les théorèmes vus. **Prérequis :** - Maîtrise des opérations sur les nombres rationnels et des fractions. - Connaissance des puissances entières et de la règle des signes. - Notion d’inégalité et de valeur absolue. - Savoir travailler avec des développements décimaux finis ou périodiques. --- ## Introduction Les nombres que nous utilisons pour mesurer des longueurs, des surfaces ou des durées ne sont pas toujours des fractions. Par exemple, la diagonale d’un carré de côté 1 vaut $\sqrt{2}$, qui ne peut être exprimée sous forme de fraction. Cette observation a conduit les mathématiciens à élargir l’ensemble des nombres rationnels ℚ pour obtenir l’ensemble des nombres réels ℝ. Dans ce chapitre, nous étudions d’abord la notion de racine carrée d’un réel positif, puis nous caractérisons ℝ par ses propriétés d’ordre, de densité et de complétude. Enfin, des activités d’intégration permettent de mettre en pratique ces deux notions dans des problèmes proches de ceux du BEPC. --- ## I. Racines carrées d’un réel positif ### 1. Définition et existence > **Définition** : La racine carrée d’un réel positif $a$ est le nombre réel non négatif $x$ tel que $x^{2}=a$. On le note $\sqrt{a}$. **Proposition** : Tout réel $a\ge 0$ admet une et une seule racine carrée non négative. **Démonstration** (schéma) : 1. Considérons l’ensemble $E=\{x\in\mathbb{R}\mid x\ge 0 \text{ et } x^{2}\le a\}$. 2. $E$ est non vide (0 appartient à $E$) et majoré par $\max\{1,a\}$. 3. Par la propriété de complétude de ℝ, $E$ admet un supremo $s=\sup E$. 4. On montre que $s^{2}\le a$ (sinon il existait un élément de $E$ plus grand) et que $s^{2}\ge a$ (sinon $s+\varepsilon$ appartirait à $E$ pour un petit $\varepsilon>0$). 5. Donc $s^{2}=a$ et $s\ge0$. L’unicité vient de la stricte croissance de la fonction $x\mapsto x^{2}$ sur $[0,+\infty)$. ### 2. Propriétés fondamentales > **Propriété 1** : Pour tout $a,b\ge0$, $\sqrt{ab}= \sqrt{a}\,\sqrt{b}$. > **Propriété 2** : Pour tout $a\ge0$, $\sqrt{a^{2}}=|a|$. > **Propriété 3** : Pour tout $a>0$, $\sqrt{\dfrac{1}{a}}=\dfrac{1}{\sqrt{a}}$. > **Propriété 4** : La fonction $f(x)=\sqrt{x}$ est strictement croissante et continue sur $[0,+\infty)$. *Démonstrations rapides* : - (1) provient de l’unicité de la racine carrée appliquée à $(\sqrt{a}\sqrt{b})^{2}=ab$. - (2) découle de la définition car $(\pm a)^{2}=a^{2}$ et seule la valeur non négative est retenue. - (3) se vérifie en multipliant les deux membres par $\sqrt{a}$. - (4) : si $0\le x<y$ alors $x^{2}<y^{2}$ donc $\sqrt{x}<\sqrt{y}$ ; la fonction est strictement croissante. Elle est continue sur $[0,+\infty)$ car elle est l’inverse de la fonction $g(x)=x^{2}$, qui est continue et strictement croissante sur cet intervalle. ### 3. Exemples résolus **Exemple 1** : Calculer $\sqrt{50}$. $$ \sqrt{50}= \sqrt{25\cdot2}= \sqrt{25}\,\sqrt{2}=5\sqrt{2}. $$ **Exemple 2** : Simplifier $\dfrac{\sqrt{18}}{\sqrt{2}}$. $$ \dfrac{\sqrt{18}}{\sqrt{2}}= \sqrt{\dfrac{18}{2}}= \sqrt{9}=3. $$ (On a utilisé la propriété $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}$ pour $a,b>0$.) **Exemple 3** : Résoudre l’équation $\sqrt{x+3}=5$. On élève au carré les deux membres (préservant l’équivalence puisque les deux côtés sont non négatifs) : $$ x+3=25\;\Longrightarrow\; x=22. $$ On vérifie que $x+3=25\ge0$, donc la solution est admise. **Exemple 4** : Approcher $\sqrt{2}$ à $10^{-2}$ près par la méthode de dichotomie sur l’intervalle $[1,2]$. - $f(x)=x^{2}-2$. $f(1)=-1<0$, $f(2)=2>0$. - Milieu $m=1.5$, $f(1.5)=2.25-2=0.25>0$ → nouvelle intervalle $[1,1.5]$. - Milieu $m=1.25$, $f(1.25)=1.5625-2=-0.4375<0$ → $[1.25,1.5]$. - Milieu $m=1.375$, $f(1.375)=1.890625-2=-0.109375<0$ → $[1.375,1.5]$. - Milieu $m=1.4375$, $f(1.4375)=2.06640625-2=0.06640625>0$ → $[1.375,1.4375]$. Le milieu de cet intervalle vaut $1.40625$; son carré vaut $1.9775390625$, donc $\sqrt{2}\approx1.41$ à $10^{-2}$ près. --- ## II. Ensemble des nombres réels ### 1. Construction intuitive > **Définition** : L’ensemble des nombres réels $\mathbb{R}$ est l’ensemble de tous les nombres qui admettent une représentation décimale infinie (finie ou périodique pour les rationnels, non périodique pour les irrationnels). On peut aussi le voir comme l’extension de $\mathbb{Q}$ par les limites de suites de rationnels convergentes (approche de Cauchy) ou par les coupures de Dedekind. Au niveau du secondaire, on accepte cette caractérisation décimale et on étudie ses propriétés. ### 2. Propriétés d’ordre > **Propriété d’ordre** : Sur $\mathbb{R}$ existe une relation d’ordre totale $\leq$ compatible avec l’addition et la multiplication par un positif : - Si $a\le b$ alors $a+c\le b+c$ pour tout $c\in\mathbb{R}$. - Si $a\le b$ et $0\le c$ alors $ac\le bc$. Cette propriété permet de comparer deux réels et de résoudre des inégalités. ### 3. Densité des rationnels dans les réels > **Théorème de densité** : Entre deux réels distincts il existe un nombre rationnel. **Démonstration** : Soit $a<b$. Choisissons un entier $n$ tel que $\frac{1}{n}<b-a$ (possible par l’archimédienneté). Alors l’ensemble $\{k\in\mathbb{Z}\mid \frac{k}{n}>a\}$ a un plus petit élément $k_{0}$. On vérifie que $\frac{k_{0}-1}{n}\le a<\frac{k_{0}}{n}<b$. Donc $\frac{k_{0}}{n}\in\mathbb{Q}$ appartient à $(a,b)$. ### 4. Complétude (existence du supremo) > **Axiome de complétude** : Tout sous-ensemble non vide de $\mathbb{R}$ qui est majoré admet un plus petit élément majorant (supremo) dans $\mathbb{R}$. Cette propriété distingue $\mathbb{R}$ de $\mathbb{Q}$ : l’ensemble $\{x\in\mathbb{Q}\mid x^{2}<2\}$ est majoré mais n’a pas de supremo dans $\mathbb{Q}$ (son supremo serait $\sqrt{2}\notin\mathbb{Q}$). ### 5. Conséquences importantes - **Valeur absolue** : $|x|=\begin{cases}x & \text{si }x\ge0\\ -x & \text{si }x<0\end{cases}$. - **Inégalité triangulaire** : $|x+y|\le |x|+|y|$. - **Intervalle** : Pour $a<b$, l’ensemble $[a,b]=\{x\in\mathbb{R}\mid a\le x\le b\}$ est fermé et borné. ### 6. Exemples résolus **Exemple 1** : Montrer que $\sqrt{3}$ est irrationnel. Supposons $\sqrt{3}=\frac{p}{q}$ avec $p,q$ entiers premiers entre eux et $q>0$. Alors $p^{2}=3q^{2}$, donc $3\mid p^{2}$ et par conséquent $3\mid p$. Écrivons $p=3k$. Alors $9k^{2}=3q^{2}\Rightarrow 3k^{2}=q^{2}$, donc $3\mid q^{2}$ et $3\mid q$, contredisant la prémisse que $p$ et $q$ sont premiers entre eux. Donc $\sqrt{3}\notin\mathbb{Q}$. **Exemple 2** : Trouver un rationnel entre $\sqrt{2}$ et $\sqrt{3}$. On sait que $1.4^{2}=1.96<2$ et $1.5^{2}=2.25>2$, donc $1.4<\sqrt{2}<1.5$. De même $1.7^{2}=2.89<3$ et $1.8^{2}=3.24>3$, donc $1.7<\sqrt{3}<1.8$. Le nombre $\frac{1.5+1.7}{2}=1.6$ est rationnel et vérifie $1.4<1.6<1.8$, donc il se situe entre $\sqrt{2}$ et $\sqrt{3}$. **Exemple 3** : Résoudre l’inéquation $|2x-5|<7$. Par définition de la valeur absolue : $-7<2x-5<7$. Ajoutons $5$ : $-2<2x<12$. Divisons par $2$ : $-1<x<6$. Solution : $x\in(-1,6)$. --- ## III. Activités d’intégration Cette partie propose des exercices qui mobilisent simultanément les notions de racines carrées et de structure de $\mathbb{R}$. ### Activité 1 – Approximation d’une racine carrée par une fraction *Objectif* : Utiliser la densité de $\mathbb{Q}$ dans $\mathbb{R}$ pour trouver une fraction proche d’une racine carrée. **Consigne** : Trouver une fraction $\frac{p}{q}$ avec $q\le 20$ telle que $\left|\sqrt{5}-\frac{p}{q}\right|<0.01$. **Résolution** : $\sqrt{5}\approx2.23607$. Essayons $q=7$ : $2.23607\times7\approx15.6525$, le entier le plus proche est $16$, donc $\frac{16}{7}\approx2.2857$ (erreur $0.0496$ trop grande). $q=8$ : $2.23607\times8\approx17.8886$, entier proche $18$ → $\frac{18}{8}=2.25$ (erreur $0.0139$). $q=9$ : $2.23607\times9\approx20.1246$, entier proche $20$ → $\frac{20}{9}\approx2.2222$ (erreur $0.0139$). $q=10$ : $2.23607\times10\approx22.3607$, entier proche $22$ → $\frac{22}{10}=2.2$ (erreur $0.0361$). Le meilleur parmi ceux-ci est $\frac{18}{8}= \frac{9}{4}=2.25$ avec erreur $0.0139>0.01$. On augmente $q$ : $q=11$ donne $2.23607\times11\approx24.5968$, entier proche $25$ → $\frac{25}{11}\approx2.2727$ (erreur $0.0366$). $q=12$ : $2.23607\times12\approx26.8328$, entier proche $27$ → $\frac{27}{12}=2.25$ même erreur. $q=13$ : $2.23607\times13\approx29.0689$, entier proche $29$ → $\frac{29}{13}\approx2.2308$ (erreur $0.0053$). Donc $\frac{29}{13}$ convient (et $13\le 20$). ### Activité 2 – Équation mixte racine carrée et valeur absolue *Objectif* : Résoudre une équation où apparaissent à la fois une racine carrée et une valeur absolue, en utilisant les propriétés de chaque notion. **Consigne** : Résoudre $\sqrt{|x-4|}=3$. **Résolution** : Comme le membre de gauche est une racine carrée, il est non négatif ; on peut élever au carré sans risque d’introduire des solutions étrangères : $|x-4|=9$. Cette équation de valeur absolue donne deux cas : - $x-4=9\Rightarrow x=13$. - $x-4=-9\Rightarrow x=-5$. On vérifie que pour $x=13$, $|13-4|=9$ et $\sqrt{9}=3$ ; pour $x=-5$, $|-5-4|=9$ et $\sqrt{9}=3$. Les deux sont donc des solutions : $S=\{-5,13\}$. ### Activité 3 – Inégalité avec racine carrée et borne supérieure *Objectif* : Utiliser la propriété de monotonie de la racine carrée pour résoudre une inégalité. **Consigne** : Résoudre $\sqrt{2x+1}\le 5$. **Résolution** : Le radicande doit être non négatif : $2x+1\ge0\Rightarrow x\ge -\frac12$. Comme la fonction $x\mapsto\sqrt{x}$ est croissante sur $[0,+\infty)$, on peut élever au carré les deux membres (préservant l’ordre) : $2x+1\le 25\Rightarrow 2x\le24\Rightarrow x\le12$. En intersection avec la condition de radicande : $-\frac12\le x\le12$. Solution : $S=\left[-\frac12,\,12\right]$. --- ## Synthèse du chapitre - **Racine carrée** : pour $a\ge0$, $\sqrt{a}$ est l’unique réel $x\ge0$ tel que $x^{2}=a$. - **Propriétés** : $\sqrt{ab}= \sqrt{a}\sqrt{b}$ ($a,b\ge0$), $\sqrt{a^{2}}=|a|$, $\sqrt{\frac1a}= \frac1{\sqrt{a}}$ ($a>0$), fonction strictement croissante. - **Existence** : démontrée par le supremo de l’ensemble $\{x\ge0\mid x^{2}\le a\}$ (complétude de $\mathbb{R}$). - **Nombres réels** : ensemble $\mathbb{R}$ comprenant les rationnels et les irrationnels ; muni d’un ordre total compatible avec l’addition et la multiplication par un positif. - **Densité** : entre deux réels distincts il existe un rationnel (théorème de densité). - **Complétude** : tout sous-ensemble non vide majoré de $\mathbb{R}$ admet un supremo dans $\mathbb{R}$. - **Valeur absolue** : $|x|=\max(x,-x)$ ; vérifie l’inégalité triangulaire. - **Applications** : résolution d’équations et d’inégalités comportant racines carrées et/ou valeurs absolues ; approximation d’irrationnels par des fractions grâce à la densité. --- ## Glossaire - **Racine carrée** : nombre non négatif dont le carré donne le réel de départ. - **Nombre réel** : élément de l’ensemble $\mathbb{R}$, représentation décimale infinie. - **Nombre rationnel** : quotient de deux entiers, décimal fini ou périodique. - **Nombre irrationnel** : réel qui n’est pas rationnel, décimal non périodique. - **Ensemble des réels** : noté $\mathbb{R}$, muni d’une structure de corps totalement ordonné. - **Supremo** : plus petit élément majorant d’un sous-ensemble de $\mathbb{R}$. - **Infimo** : plus grand élément minorant d’un sous-ensemble de $\mathbb{R}$. - **Densité de $\mathbb{Q}$ dans $\mathbb{R}$** : propriété selon laquelle entre deux réels il existe un rationnel. - **Complétude** : axiome garantissant l’existence du supremo pour tout sous-ensemble majoré. - **Valeur absolue** : fonction $x\mapsto|x|$ donnant la distance à l’origine. - **Inégalité triangulaire** : $|x+y|\le |x|+|y|$. - **Intervalle** : sous-ensemble de la forme $[a,b]$, $(a,b)$, etc. --- ## Exercices d’application corrigés ### Exercice 1 Simplifier : $\displaystyle \frac{\sqrt{72}}{\sqrt{8}}$. **Corrigé** : $$ \frac{\sqrt{72}}{\sqrt{8}}= \sqrt{\frac{72}{8}}= \sqrt{9}=3. $$ ### Exercice 2 Calculer exactement : $\sqrt{50}+2\sqrt{8}-\sqrt{18}$. **Corrigé** : $\sqrt{50}=5\sqrt{2}$, $2\sqrt{8}=2\cdot2\sqrt{2}=4\sqrt{2}$, $\sqrt{18}=3\sqrt{2}$. Donc l’expression vaut $5\sqrt{2}+4\sqrt{2}-3\sqrt{2}=6\sqrt{2}$. ### Exercice 3 Résoudre l’équation : $\sqrt{3x-2}=x-2$. **Corrigé** : Conditions de radicande : $3x-2\ge0\Rightarrow x\ge\frac23$. Comme les deux membres sont non négatifs pour les solutions admissibles, on élève au carré : $3x-2=(x-2)^{2}=x^{2}-4x+4$. Rapportons tout d’un côté : $0=x^{2}-7x+6$. Factorisons : $(x-1)(x-6)=0\Rightarrow x=1$ ou $x=6$. Vérifions la condition $x\ge\frac23$ : les deux valeurs sont admises. Vérifions dans l’équation initiale : - Pour $x=1$ : $\sqrt{3\cdot1-2}= \sqrt{1}=1$ et $1-2=-1$ → échec (le membre de droite est négatif, donc la racine carrée ne peut pas être égale à un nombre négatif). En fait, on doit aussi exiger que le membre de droite soit non négatif car la racine carrée est $\ge0$ : $x-2\ge0\Rightarrow x\ge2$. Donc $x=1$ est rejeté. - Pour $x=6$ : $\sqrt{3\cdot6-2}= \sqrt{16}=4$ et $6-2=4$ → réussite. Solution unique : $x=6$. ### Exercice 4 Déterminer un nombre rationnel $r$ tel que $|r-\sqrt{7}|<0.005$. **Corrigé** : $\sqrt{7}\approx2.645751$. Cherchons $r=\frac{p}{q}$ avec $q\le20$ pour simplifier. Essayons $q=19$ : $2.645751\times19\approx50.2693$, entier proche $50$ → $r=\frac{50}{19}\approx2.63158$ (erreur $0.0142$ trop grande). $q=20$ : $2.645751\times20\approx52.9150$, entier proche $53$ → $r=\frac{53}{20}=2.65$ (erreur $0.00425<0.005$). Donc $r=\frac{53}{20}$ convient. ### Exercice 5 Résoudre l’inéquation : $\displaystyle \frac{\sqrt{x+4}}{x-1}\le 2$, $x\in\mathbb{R}$. **Corrigé** : Conditions : - Radicande : $x+4\ge0\Rightarrow x\ge-4$. - Denominateur non nul : $x\neq1$. On considère le signe du dénominateur. **Cas 1** : $x-1>0$ (c’est‑à‑dire $x>1$). Alors on peut multiplier par $x-1>0$ sans changer le sens de l’inégalité : $\sqrt{x+4}\le 2(x-1)$. Le membre de droite doit être $\ge0$ : $2(x-1)\ge0\Rightarrow x\ge1$ (déjà vrai). Élevons au carré (les deux côtés sont non négatifs) : $x+4\le 4(x-1)^{2}=4(x^{2}-2x+1)=4x^{2}-8x+4$. Rapportons tout : $0\le 4x^{2}-9x$. Factorisons : $x(4x-9)\ge0$. Sur l’intervalle $x>1$, le signe de $x$ est positif, donc il faut $4x-9\ge0\Rightarrow x\ge\frac94=2.25$. Ainsi, pour $x>1$, la solution est $x\ge\frac94$. **Cas 2** : $x-1<0$ (c’est‑à‑dire $x<1$). Multiplier par un nombre négatif inverse le sens de l’inégalité : $\sqrt{x+4}\ge 2(x-1)$. Comme $x-1<0$, le membre de droite est négatif, tandis que la racine carrée est $\ge0$ ; l’inégalité est donc toujours vraie tant que le radicande est défini. On doit simplement respecter $x\ge-4$ et $x<1$. Donc dans ce cas, la solution est $[-4,1)$. **Réunion** : $[-4,1)\cup\left[\frac94,+\infty\right)$. On rappelle que $x=1$ est exclu (denominateur nul). ### Exercice 6 Montrer que le nombre $s=0,101001000100001\ldots$ (un 1 suivi d’un nombre croissant de zéros entre chaque 1) est irrationnel. **Corrigé** : Supposons que $s$ soit rationnel. Alors son développement décimal serait finalement périodique. Or, dans l’écriture de $s$, les blocs de zéros entre deux 1 augmentent sans borne : après chaque 1, le nombre de zéros qui suit est strictement plus grand que précédemment. Ainsi, aucune période fixe ne peut se répéter indéfiniment, car il faudrait qu’à un moment donné le même motif de zéros se reproduise, ce qui contredit la croissance non bornée des écarts. Donc $s$ ne peut pas être rationnel ; il est irrationnel. --- ## Erreurs fréquentes 1. **Oublier le signe non négatif de la racine carrée** - *Piège* : écrire $\sqrt{a^{2}}=a$ sans valeur absolue. - *Correction* : rappeler que $\sqrt{a^{2}}=|a|$ ; la racine carrée renvoie toujours le réel $\ge0$. 2. **Multiplier ou diviser sous la racine sans vérifier les signes** - *Piège* : appliquer $\sqrt{ab}= \sqrt{a}\sqrt{b}$ lorsque $a$ ou $b$ est négatif. - *Correction* : cette propriété vaut seulement pour $a,b\ge0$. Si l’un est négatif, l’expression n’est pas définie dans $\mathbb{R}$. 3. **Élever au carré une inéquation sans vérifier le signe des deux membres** - *Piège* : partir de $\sqrt{x}<-2$ et élever au carré pour obtenir $x<4$. - *Correction* : le membre de droite d’une inégalité avec une racine carrée doit être $\ge0$ pour que l’élevage au carré préserve l’équivalence. Sinon, l’inéquation n’a pas de solution. 4. **Confondre densité et complétude** - *Piège* : croire que parce que $\mathbb{Q}$ est dense dans $\mathbb{R}$, tout sous-ensemble de $\mathbb{R}$ a un supremo dans $\mathbb{Q}$. - *Correction* : la densité assure l’existence de rationnels entre deux réels, mais la complétude (propriété propre à $\mathbb{R}$) garantit l’existence du supremo dans $\mathbb{R}$ même quand il est irrationnel. 5. **Négliger la condition de dénominateur nul dans une équation ou une inéquation** - *Piège* : résoudre $\frac{\sqrt{x}}{x-2}=3$ et oublier d’exclure $x=2$. - *Correction* : toujours noter les valeurs qui annulent le dénominateur et les exclure de l’ensemble des solutions. 6. **Utiliser la propriété $\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$ quand $b=0$** - *Piège* : écrire $\sqrt{\frac{a}{0}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{0}}$. - *Correction* : le dénominateur doit être strictement positif ; la division par zéro est interdite. --- *Fin du cours.*