Coordonnées d'un vecteur (partie 2/2)

## Objectifs et prérequis **Objectifs** : à la fin de ce chapitre l’élève pourra - déterminer si deux vecteurs du plan sont colinéaires en utilisant le déterminant ou l’existence d’un réel λ ; - déterminer si deux vecteurs sont orthogonaux grâce au produit scalaire ; - appliquer ces conditions à des problèmes de géométrie analytique (droites parallèles, perpendiculaires, projections) ; - justifier chaque étape d’un raisonnement par une propriété ou une démonstration clairement exposée. **Prérequis** : notion de vecteur dans le plan, ses coordonnées $(x,y)$ ; définition du produit scalaire $u\cdot v = x_1x_2+y_1y_2$ ; connaissance du déterminant d’une matrice $2\times2$ ; savoir calculer une norme et un angle entre deux vecteurs. > **À retenir** : le vecteur $\vec{AB}$ de coordonnées $(x_B-x_A,\;y_B-y_A)$ représente le déplacement de $A$ vers $B$. --- ## Introduction contextualisée Dans de nombreuses situations (trajectoire d’un projectile, forces en équilibre, conception de plans inclinés) il est essentiel de savoir quand deux directions sont parallèles ou perpendiculaires. Le langage des vecteurs permet de traduire ces notions géométriques en conditions algébriques simples, faciles à manipuler avec les coordonnées. Ce chapitre montre comment passer d’une intuition géométrique à une vérification calculatoire rigoureuse, compétence indispensable pour l’épreuve du BEPC et pour les études scientifiques ultérieures. --- ## I. Condition de colinéarité (Leçon 27) ### Définition Deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ du plan sont **colinéaires** s’ils sont parallèles, c’est‑à‑dire s’ils portent sur la même droite ou sur des droites parallèles. Équivalentement, il existe un réel $\lambda$ tel que $\vec{v}= \lambda \vec{u}$. > **À retenir** : $\vec{u}$ et $\vec{v}$ colin. $\iff$ $\exists \lambda\in\mathbb{R} : \vec{v}= \lambda \vec{u}$. ### Condition analytique Soit $\vec{u}=(x_1,y_1)$ et $\vec{v}=(x_2,y_2)$. Le déterminant de la matrice formée par leurs coordonnées est $$ \Delta = \begin{vmatrix} x_1 & x_2\\ y_1 & y_2 \end{vmatrix}=x_1y_2-x_2y_1 . $$ **Proposition** : $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires $\iff \Delta =0$. **Démonstration** - ($\Rightarrow$) Si $\vec{v}= \lambda \vec{u}$, alors $x_2=\lambda x_1$ et $y_2=\lambda y_1$. En remplaçant, $$ \Delta = x_1(\lambda y_1)-(\lambda x_1)y_1 = \lambda x_1y_1-\lambda x_1y_1 =0 . $$ - ($\Leftarrow$) Si $\Delta =0$, alors $x_1y_2=x_2y_1$. - Si $x_1\neq0$, on pose $\lambda =\dfrac{x_2}{x_1}$ ; on vérifie que $y_2=\lambda y_1$ grâce à l’égalité précédente. - Si $x_1=0$, alors $x_2=0$ (sinon le déterminant ne serait pas nul) et on prend $\lambda =\dfrac{y_2}{y_1}$ (avec $y_1\neq0$ sinon les deux vecteurs sont nuls, cas trivial). Dans tous les cas on obtient $\vec{v}= \lambda \vec{u}$. ∎ > **À retenir** : $\vec{u}$ et $\vec{v}$ colin. $\iff x_1y_2-x_2y_1=0$. ### Propriétés 1. Si $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires et non nuls, alors $\dfrac{x_2}{x_1}= \dfrac{y_2}{y_1}$ (les rapports des coordonnées sont égaux). 2. Le vecteur nul est colinéaire avec tout vecteur. 3. La colinéarité est une relation d’équivalence (réflexive, symétrique, transitive). ### Exemples **Exemple 1** (simple) : $\vec{u}=(2,4)$ et $\vec{v}=(3,6)$. Calcul du déterminant : $2\cdot6-3\cdot4=12-12=0$. Donc $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires. On peut aussi écrire $\vec{v}= \frac{3}{2}\vec{u}$. **Exemple 2** (délicat) : $\vec{u}=(0,5)$ et $\vec{v}=(0,-3)$. Déterminant : $0\cdot(-3)-0\cdot5=0$. Ainsi ils sont colinéaires (tous deux sur l’axe des $y$). Ici $\lambda =\dfrac{-3}{5}=-\frac{3}{5}$ donne $\vec{v}= \lambda \vec{u}$. --- ## II. Condition d’orthogonalité (Leçon 28) ### Définition Deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont **orthogonaux** (ou perpendiculaires) si l’angle qu’ils forment vaut $90^\circ$. En termes de produit scalaire, cela se traduit par $$ \vec{u}\cdot\vec{v}=0 . $$ > **À retenir** : $\vec{u}\perp\vec{v}\iff \vec{u}\cdot\vec{v}=0$. ### Formule analytique Avec $\vec{u}=(x_1,y_1)$ et $\vec{v}=(x_2,y_2)$ : $$ \vec{u}\cdot\vec{v}=x_1x_2+y_1y_2 . $$ **Proposition** : $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont orthogonaux $\iff x_1x_2+y_1y_2=0$. **Démonstration** Le produit scalaire vérifie $\vec{u}\cdot\vec{v}= \|\vec{u}\|\,\|\vec{v}\|\cos\theta$, où $\theta$ est l’angle entre les deux vecteurs. $\vec{u}\cdot\vec{v}=0$ $\iff$ $\cos\theta=0$ $\iff$ $\theta=90^\circ$ (ou $270^\circ$, mais l’angle dirigé entre deux vecteurs est pris dans $[0,180^\circ]$). Donc l’orthogonalité est équivalente à l’annulation du produit scalaire. ∎ > **À retenir** : $\vec{u}\cdot\vec{v}= \|\vec{u}\|\,\|\vec{v}\|\cos\theta$. ### Propriétés 1. L’orthogonalité est symétrique : si $\vec{u}\perp\vec{v}$ alors $\vec{v}\perp\vec{u}$. 2. Le vecteur nul est orthogonal à tout vecteur (puisque $0\cdot\vec{v}=0$). 3. Si $\vec{u}\perp\vec{v}$ et $\vec{u}\perp\vec{w}$, alors $\vec{u}$ est orthogonal à toute combinaison linéaire de $\vec{v}$ et $\vec{w}$. ### Exemples **Exemple 1** (simple) : $\vec{u}=(3,0)$ et $\vec{v}=(0,4)$. Produit scalaire : $3\cdot0+0\cdot4=0$. Donc $\vec{u}\perp\vec{v}$ (ils sont alignés sur les axes). **Exemple 2** (délicat) : $\vec{u}=(1,2)$ et $\vec{v}=(-2,1)$. Produit scalaire : $1\cdot(-2)+2\cdot1=-2+2=0$. Ainsi $\vec{u}\perp\vec{v}$. On peut vérifier que l’angle vaut bien $90^\circ$ en calculant les normes : $\|\vec{u}\|=\sqrt{5}$, $\|\vec{v}\|=\sqrt{5}$, $\cos\theta=0/(5)=0$. --- ## Synthèse du chapitre - **Colinéarité** : $\vec{u}$ et $\vec{v}$ colin. $\iff x_1y_2-x_2y_1=0$ (déterminant nul) $\iff \exists\lambda\in\mathbb{R}:\vec{v}= \lambda\vec{u}$. - **Orthogonalité** : $\vec{u}\perp\vec{v}\iff x_1x_2+y_1y_2=0$ (produit scalaire nul) $\iff \|\vec{u}\|\,\|\vec{v}\|\cos\theta=0$. - Le déterminant teste la parallèle, le produit scalaire teste la perpendiculaire. - Ces deux conditions permettent de résoudre des problèmes de droites parallèles/perpendiculaires, de projections orthogonales et de décomposition de vecteurs. > **À retenir** : Pour vérifier si deux droites sont parallèles, comparer les déterminants de leurs vecteurs directeurs ; pour vérifier si elles sont perpendiculaires, vérifier que le produit scalaire de leurs vecteurs directeurs vaut zéro. --- ## Glossaire | Terme | Définition | |-------|------------| | Vecteur | Quantité ayant une direction, un sens et une norme ; représenté par un couple de coordonnées $(x,y)$ dans le plan. | | Colinéarité | Relation entre deux vecteurs qui sont parallèles ou anti‑parallèles ; équivalent à l’existence d’un réel $\lambda$ tel que $\vec{v}= \lambda\vec{u}$. | | Orthogonalité | Relation entre deux vecteurs formant un angle droit ; équivalent à l’annulation de leur produit scalaire. | | Produit scalaire | Opération $u\cdot v = x_1x_2+y_1y_2$ donnant un scalaire liée à l’angle entre les vecteurs. | | Déterminant (2×2) | $x_1y_2-x_2y_1$ ; vaut zéro si et seulement si les deux vecteurs sont colinéaires. | | **Norme d’un vecteur** | $\Vert \vec{u}\Vert =\sqrt{x_1^2+y_1^2}$ ; mesure de sa longueur. | | Angle entre deux vecteurs | $\theta$ tel que $\cos\theta=\dfrac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{\Vert \vec{u}\Vert \,\Vert \vec{v}\Vert }$. | | Combinaison linéaire | Expression $a\vec{u}+b\vec{v}$ avec $a,b\in\mathbb{R}$. | --- ## Exercices d'application corrigés ### Exercice 1 Soient $\vec{a}=(4,-2)$ et $\vec{b}=(-2,1)$. Montrer que $\vec{a}$ et $\vec{b}$ sont colinéaires. **Corrigé** Calcul du déterminant : $$ \Delta = 4\cdot1-(-2)\cdot(-2)=4-4=0 . $$ Puisque $\Delta=0$, les vecteurs sont colinéaires. On peut aussi écrire $\vec{b}= -\frac12\vec{a}$ car $(-2,1)= -\frac12(4,-2)$. ### Exercice 2 Déterminer si les vecteurs $\vec{u}=(1,3)$ et $\vec{v}=(2,-5)$ sont orthogonaux. **Corrigé** Produit scalaire : $$ \vec{u}\cdot\vec{v}=1\cdot2+3\cdot(-5)=2-15=-13\neq0 . $$ Donc $\vec{u}$ et $\vec{v}$ ne sont **pas** orthogonaux. ### Exercice 3 Trouver le réel $k$ tel que $\vec{p}=(k,4)$ et $\vec{q}=(3,-6)$ soient colinéaires. **Corrigé** Condition de colinéarité : déterminant nul. $$ \Delta = k\cdot(-6)-3\cdot4 = -6k-12 =0 \;\Longrightarrow\; -6k=12 \;\Longrightarrow\; k=-2 . $$ Vérification : pour $k=-2$, $\vec{p}=(-2,4)= -\frac23(3,-6)= -\frac23\vec{q}$. ### Exercice 4 Déterminer $m$ pour que $\vec{r}=(2,m)$ et $\vec{s}=(-4,6)$ soient orthogonaux. **Corrigé** Orthogonalité $\iff$ produit scalaire nul : $$ \vec{r}\cdot\vec{s}=2\cdot(-4)+m\cdot6 = -8+6m =0 \;\Longrightarrow\; 6m=8 \;\Longrightarrow\; m=\frac{4}{3}. $$ Vérification : $\vec{r}\cdot\vec{s}=2(-4)+\frac43\cdot6=-8+8=0$. ### Exercice 5 Un triangle $ABC$ a pour sommets $A(1,2)$, $B(4,6)$, $C(7,2)$. Montrer que la médiane issue de $A$ est perpendiculaire à la base $BC$. **Corrigé** - Vecteur $\vec{BC}=C-B=(7-4,2-6)=(3,-4)$. - Milieu $M$ de $[BC]$ : $M=\bigl(\frac{4+7}{2},\frac{6+2}{2}\bigr)=\bigl(\frac{11}{2},4\bigr)$. - Vecteur médiane $\vec{AM}=M-A=\bigl(\frac{11}{2}-1,4-2\bigr)=\bigl(\frac{9}{2},2\bigr)$. Produit scalaire : $$ \vec{AM}\cdot\vec{BC}= \frac{9}{2}\cdot3 + 2\cdot(-4)=\frac{27}{2}-8=\frac{27}{2}-\frac{16}{2}= \frac{11}{2}\neq0 . $$ Attention, le résultat n’est pas nul ; donc la médiane n’est **pas** perpendiculaire à $BC$. (On peut vérifier que la hauteur issue de $A$ serait perpendiculaire, mais pas la médiane.) ### Exercice 6 Donné $\vec{u}=(5,-3)$ et $\vec{v}=(x,9)$. Trouver $x$ pour que $\vec{u}$ et $\vec{v}$ soient colinéaires. **Corrigé** Colinéarité $\iff$ déterminant nul : $$ 5\cdot9 - x\cdot(-3)=45+3x=0 \;\Longrightarrow\; 3x=-45 \;\Longrightarrow\; x=-15 . $$ Vérification : $\vec{v}=(-15,9)= -3(5,-3)= -3\vec{u}$. --- ## Erreurs fréquentes 1. **Confondre déterminant et produit scalaire** : certains élèves utilisent le déterminant pour tester l’orthogonalité. Rappel : le déterminant teste la colinéarité, le produit scalaire teste l’orthogonalité. 2. **Oublier le cas du vecteur nul** : le vecteur nul est colinéaire avec tout vecteur et orthogonal à tout vecteur. Ne pas le négliger lorsqu’on parle de rapports de coordonnées. 3. **Diviser par zéro** : lorsqu’on écrit $\lambda = \dfrac{x_2}{x_1}$, il faut vérifier que $x_1\neq0$ ; sinon passer par la coordonnée $y$ ou considérer le cas où les deux composantes sont nulles. 4. **Mauvaise signe dans le déterminant** : le déterminant est $x_1y_2 - x_2y_1$, pas l’inverse. Un changement de signe entraîne une erreur de décision. 5. **Interpréter un produit scalaire nul comme une égalité de longueurs** : $\vec{u}\cdot\vec{v}=0$ ne signifie pas $\|\vec{u}\|=\|\vec{v}\|$, mais seulement que l’angle est droit. 6. **Oublier de simplifier les fractions** : lorsqu’on cherche $\lambda$, il faut réduire la fraction pour éviter des erreurs de calcul ultérieur (ex. $\lambda = \frac{4}{2}=2$ doit être écrit $2$). --- *Fin du cours.*