Thalès dans le triangle

## Objectifs et prérequis **Objectifs** : À la fin de ce chapitre, l’élève pourra - énoncer et appliquer la propriété directe de Thalès dans un triangle ; - démontrer la propriété directe de Thalès à l’aide de la similitude de triangles ; - reconnaître les configurations où la propriété réciproque de Thalès s’applique ; - utiliser la propriété réciproque pour prouver que trois points sont alignés ou que deux droites sont parallèles ; - résoudre des exercices de géométrie plane faisant intervenir des rapports de longueurs dans un triangle. **Prérequis** : - notions de droites parallèles et de théorème des angles correspondants, alternes-internes ; - définition de la similitude de triangles (critère AA, raison de similitude) ; - manipulation de rapports et de proportions ($$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\iff ad=bc$$) ; - savoir tracer une parallèle à une droite donnée passant par un point extérieur (postulat d’Euclide). > **À retenir** : La propriété directe de Thalès relie des rapports de côtés dans un triangle lorsqu’une droite est parallèle à l’un de ses côtés. ## Introduction contextualisée Dans la résolution de problèmes de géométrie plane, il apparaît souvent qu’une droite coupe deux côtés d’un triangle et est parallèle au troisième côté. Cette configuration permet d’établir des égalités de rapports de longueurs très utiles pour déterminer des longueurs inconnues sans recourir au théorème de Pythagore ou à la trigonométrie. Le mathématicien grec Thalès de Milet (VIᵉ siècle av. J.-C.) a observé cette relation et l’a formulée sous la forme que nous étudions aujourd’hui. Maîtriser ces deux propriétés (directe et réciproque) constitue un outil fondamental pour le BEPC, notamment dans les épreuves de géométrie où l’on doit justifier des parallélismes ou des alignements à l’aide de rapports. ## I. Propriété directe de Thalès ### Définition Soit $\triangle ABC$ une triangle. Si une droite $d$ coupe les côtés $[AB]$ et $[AC]$ en respectivement $M$ et $N$, et si $d\parallel BC$, alors $$\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}=\frac{MN}{BC}.$$ > **À retenir** : Dans un triangle, une parallèle à un côté divise les deux autres côtés proportionnellement. ### Démonstration (par similitude) Puisque $d\parallel BC$, les angles correspondants sont égaux : $\angle AMN=\angle ABC$ et $\angle ANM=\angle ACB$. Ainsi, $\triangle AMN\sim\triangle ABC$ (critère AA). De la similitude, on a $$\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}=\frac{MN}{BC}.$$ ∎ ### Exemple 1 (simple) Dans $\triangle ABC$, $AB=8$ cm, $AC=6$ cm. Une droite parallèle à $BC$ coupe $[AB]$ en $M$ telle que $AM=3$ cm. Trouver $AN$. **Solution** : Par la propriété directe, $\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{AN}{AC}$. $$\frac{3}{8}=\frac{AN}{6}\;\Longrightarrow\;AN=\frac{3\times6}{8}= \frac{18}{8}=2{,}25\text{ cm}.$$ Donc $AN=2{,}25$ cm. ### Exemple 2 (plus délicat) Dans $\triangle ABC$, $AB=12$ cm, $AC=9$ cm. Une droite parallèle à $BC$ coupe $[AB]$ en $M$ et $[AC]$ en $N$. Si $MN=5$ cm, déterminer les longueurs $AM$ et $AN$. **Solution** : D’après la propriété directe, $$\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}=\frac{MN}{BC}.$$ Nous ne connaissons pas $BC$, mais nous pouvons éliminer ce rapport en égalant les deux premières fractions : $$\frac{AM}{12}=\frac{AN}{9}\;\Longrightarrow\;9\,AM=12\,AN\;\Longrightarrow\;AM=\frac{4}{3}AN.$$ En outre, $\dfrac{MN}{BC}=\dfrac{AM}{12}$. Comme $MN=5$, on a $$\frac{5}{BC}=\frac{AM}{12}\;\Longrightarrow\;BC=\frac{5\cdot12}{AM}= \frac{60}{AM}.$$ Mais d’après la similitude, $\dfrac{BC}{MN}=\dfrac{AB}{AM}$ (inverse du précédent). En utilisant $AB=12$ et $MN=5$ : $$\frac{BC}{5}=\frac{12}{AM}\;\Longrightarrow\;BC=\frac{60}{AM},$$ ce qui confirme l’expression trouvée. Nous pouvons donc déterminer $AM$ directement à partir du rapport connu $\dfrac{MN}{BC}=\dfrac{AM}{12}$ en remplaçant $BC$ par $\dfrac{60}{AM}$ : $$\frac{5}{\frac{60}{AM}}=\frac{AM}{12}\;\Longrightarrow\;\frac{5AM}{60}=\frac{AM}{12}\;\Longrightarrow\;\frac{AM}{12}=\frac{AM}{12},$$ ce qui est une identité ; il faut donc utiliser une autre relation. Reprenons : d’après $\dfrac{AM}{12}=\dfrac{AN}{9}$ et $AM=\frac{4}{3}AN$. Le périmètre du petit triangle $\triangle AMN$ n’est pas connu, mais nous pouvons utiliser le fait que le rapport des côtés égaux au rapport de similitude $k$ : $k=\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{AN}{AC}=\dfrac{MN}{BC}$. Ainsi $k=\dfrac{AM}{12}$. Aussi $MN = k\cdot BC$. Mais $BC = \dfrac{AB}{k}\cdot MN$? Cela devient circulaire. Une approche plus simple : puisque les trois rapports sont égaux, notons $k$ ce rapport commun. Alors $$AM = k\cdot AB = 12k,\quad AN = k\cdot AC = 9k,\quad MN = k\cdot BC.$$ Nous connaissons $MN=5$, donc $k = \dfrac{5}{BC}$. Mais aussi $BC = \dfrac{AB}{k}\cdot ?$ Pas besoin. Au lieu de cela, exprimons $BC$ en fonction de $k$ à partir de la similitude du grand triangle : puisque $\triangle AMN\sim\triangle ABC$, le rapport de similitude est $k$, donc les côtés du grand triangle sont ceux du petit multipliés par $\frac{1}{k}$ : $$AB = \frac{AM}{k}= \frac{12k}{k}=12\quad\text{(vérifié)},\quad AC = \frac{AN}{k}= \frac{9k}{k}=9,\quad BC = \frac{MN}{k}= \frac{5}{k}.$$ Ainsi $BC = \dfrac{5}{k}$. Mais nous n’avons pas besoin de $BC$ pour trouver $k$ ; nous pouvons utiliser le fait que $AM+MB = AB$ et $AN+NC = AC$. Cependant, nous ne connaissons pas $MB$ ni $NC$. Une méthode plus directe : puisque les rapports sont égaux, nous pouvons écrire $$\frac{AM}{12}=\frac{AN}{9}=\frac{5}{BC}.$$ Mais aussi, d’après la parallèle, $BM:MA = CN:NA$ (théorème de Thalès inverse). Cependant, nous pouvons résoudre en posant $AM = x$. Alors $AN = \frac{9}{12}x = \frac{3}{4}x$. Le rapport $\dfrac{MN}{BC}$ vaut également $\dfrac{x}{12}$. Donc $$\frac{5}{BC}= \frac{x}{12}\;\Longrightarrow\;BC = \frac{60}{x}.$$ Mais d’après la similitude, $\dfrac{BC}{5}= \dfrac{12}{x}$ (puisque $\dfrac{BC}{MN}= \dfrac{AB}{AM}$). En remplaçant $BC$ : $$\frac{\frac{60}{x}}{5}= \frac{12}{x}\;\Longrightarrow\;\frac{12}{x}= \frac{12}{x},$$ identité. Donc toute valeur de $x$ satisfait les équations tant que les points restent sur les côtés. Nous manquons une condition supplémentaire : $M$ et $N$ sont situés sur les côtés, donc $0<x<12$ et $0<\frac{3}{4}x<9$, ce qui donne $0<x<12$. Pour obtenir une réponse unique, nous devons utiliser la longueur connue de $MN$ d’une autre façon : le rapport des côtés du petit triangle au grand triangle est $k = \dfrac{AM}{12} = \dfrac{AN}{9} = \dfrac{MN}{BC}$. Nous pouvons éliminer $BC$ en utilisant le théorème de Thalès sur les côtés coupés : puisque $d\parallel BC$, nous avons $\dfrac{AM}{MB}= \dfrac{AN}{NC}$. Mais $MB = AB-AM = 12-x$, $NC = AC-AN = 9-\frac{3}{4}x$. Ainsi $$\frac{x}{12-x}= \frac{\frac{3}{4}x}{9-\frac{3}{4}x}\;\Longrightarrow\; \frac{x}{12-x}= \frac{3x}{4(9-\frac{3}{4}x)} = \frac{3x}{36-3x}.$$ En croisant : $x(36-3x)=3x(12-x)$ → $36x-3x^{2}=36x-3x^{2}$ → identité. Donc encore une fois, aucune contrainte supplémentaire. En réalité, étant donné seulement $MN$, il existe une infinité de positions de la parallèle donnant cette longueur, car en changeant la distance de la parallèle au sommet $A$, on varie proportionnellement $MN$. Ainsi, pour déterminer $AM$ et $AN$ de façon unique, il faut connaître soit $AM$, soit $AN$, soit le rapport $k$. Dans l’énoncé, on ne dispose que de $MN$, donc le problème admet une infinité de solutions. Nous allons donc reformuler l’exemple : **si en plus on sait que $AM=4$ cm, trouver $AN$ et $BC$**. **Solution reformulée** : Donnée $AM=4$ cm. Alors $k=\dfrac{AM}{AB}= \dfrac{4}{12}= \dfrac{1}{3}$. Donc $AN = k\cdot AC = \dfrac{1}{3}\times9 = 3$ cm. Et $BC = \dfrac{MN}{k}= \dfrac{5}{\frac{1}{3}} = 15$ cm. Ainsi $AN=3$ cm et $BC=15$ cm. > **À retenir** : La propriété directe de Thalès permet de déterminer une longueur inconnue dès qu’on connaît le rapport de similitude ou une longueur correspondante. ## II. Propriété réciproque de Thalès ### Définition (réciproque) Dans un triangle $\triangle ABC$, si des points $M\in[AB]$ et $N\in[AC]$ vérifient $$\frac{AM}{AB}= \frac{AN}{AC},$$ alors la droite $(MN)$ est parallèle au côté $[BC]$. > **À retenir** : L’égalité des rapports de deux côtés implique le parallélisme de la droite joignant les points de division au troisième côté. ### Démonstration (par réciproque de la similitude) Supposons $\dfrac{AM}{AB}= \dfrac{AN}{AC}=k$. Alors $AM=k\cdot AB$ et $AN=k\cdot AC$. Considérons les triangles $\triangle AMN$ et $\triangle ABC$. Ils ont l’angle $\angle A$ commun. De plus, $$\frac{AM}{AB}= \frac{AN}{AC}=k.$$ Ainsi, par le critère de similitude en deux côtés proportionnels et l’angle inclus (SAS), $\triangle AMN\sim\triangle ABC$. De la similitude, les angles correspondants sont égaux : $\angle AMN = \angle ABC$ et $\angle ANM = \angle ACB$. Comme deux angles sont égaux, les droites $(MN)$ et $(BC)$ sont parallèles (droites formant des angles correspondants égaux avec une sécante). ∎ ### Exemple 1 (simple) Dans $\triangle ABC$, $AB=10$ cm, $AC=7$ cm. On prend $M$ sur $[AB]$ tel que $AM=4$ cm et $N$ sur $[AC]$ tel que $AN=2{,}8$ cm. Montrer que $(MN)\parallel(BC)$. **Solution** : Calculons les rapports : $$\frac{AM}{AB}= \frac{4}{10}=0{,}4,\qquad \frac{AN}{AC}= \frac{2{,}8}{7}=0{,}4.$$ Comme les rapports sont égaux, d’après la propriété réciproque, $(MN)\parallel(BC)$. ### Exemple 2 (plus délicat) Dans $\triangle ABC$, $AB=15$ cm, $AC=9$ cm. On choisit un point $M$ sur $[AB]$ tel que $AM=6$ cm. Déterminer la position de $N$ sur $[AC]$ pour que $(MN)\parallel(BC)$. **Solution** : Nous devons avoir $\dfrac{AM}{AB}= \dfrac{AN}{AC}$. $$\frac{AM}{AB}= \frac{6}{15}= \frac{2}{5}=0{,}4.$$ Ainsi, $$\frac{AN}{AC}=0{,}4\;\Longrightarrow\; AN = 0{,}4\times AC = 0{,}4\times9 = 3{,}6\text{ cm}.$$ Donc $N$ doit être placé à $3{,}6$ cm de $A$ sur le côté $[AC]$. > **À retenir** : Pour garantir le parallélisme, il suffit de répartir les côtés dans le même rapport. ## Synthèse du chapitre - **Propriété directe de Thalès** : Dans $\triangle ABC$, si une droite $d$ coupe $[AB]$ en $M$ et $[AC]$ en $N$ avec $d\parallel BC$, alors $\dfrac{AM}{AB}= \dfrac{AN}{AC}= \dfrac{MN}{BC}$. - **Démonstration** : découle de la similitude $\triangle AMN\sim\triangle ABC$ (AA). - **Propriété réciproque de Thalès** : Dans $\triangle ABC$, si $M\in[AB]$, $N\in[AC]$ et $\dfrac{AM}{AB}= \dfrac{AN}{AC}$, alors $(MN)\parallel(BC)$. - **Démonstration** : découle de la similitude SAS ($\triangle AMN\sim\triangle ABC$) puis de l’égalité des angles correspondants. - **Applications** : calcul de longueurs inconnues, preuve de parallélisme, résolution de problèmes de partage proportionnel. - **Formules clés** : - $ \displaystyle \frac{AM}{AB}= \frac{AN}{AC}= \frac{MN}{BC}$ (directe) - $ \displaystyle \frac{AM}{AB}= \frac{AN}{AC}\;\Longrightarrow\; (MN)\parallel(BC)$ (réciproque) > **À retenir** : La propriété directe et sa réciproque sont deux faces d’un même théorème de proportionnalité dans le triangle. ## Glossaire - **Thalès de Milet** : mathématicien grec (VIᵉ siècle av. J.-C.) à qui l’on attribue la découverte du théorème de proportionnalité dans le triangle. - **Parallèle** : deux droites qui ne se rencontrent jamais, quel que soit le prolongement considéré. - **Similarité (triangles)** : relation où deux triangles ont les mêmes angles et leurs côtés sont proportionnels. - **Rapport de similitude** : facteur $k$ tel que chaque côté d’un triangle vaut $k$ fois le côté correspondant de l’autre. - **Critère AA** : deux angles égaux suffisent pour établir la similitude de deux triangles. - **Critère SAS** : deux côtés proportionnels et l’angle compris égal impliquent la similitude. - **Proportionnalité** : égalité de deux rapports, exprimée par $a/b=c/d\iff ad=bc$. - **Droite sécante** : droite qui coupe deux autres droites en des points distincts. ## Exercices d'application corrigés ### Exercice 1 Dans $\triangle ABC$, $AB=14$ cm, $AC=10$ cm. Une droite parallèle à $BC$ coupe $[AB]$ en $M$ telle que $AM=5$ cm. Calculer $AN$ et $MN$ sachant que $BC=12$ cm. **Corrigé** : Par la propriété directe, $\dfrac{AM}{AB}= \dfrac{AN}{AC}= \dfrac{MN}{BC}$. $\dfrac{AM}{AB}= \dfrac{5}{14}$. Donc $AN = \dfrac{5}{14}\times AC = \dfrac{5}{14}\times10 = \dfrac{50}{14}= \dfrac{25}{7}\approx 3{,}57$ cm. Et $MN = \dfrac{5}{14}\times BC = \dfrac{5}{14}\times12 = \dfrac{60}{14}= \dfrac{30}{7}\approx 4{,}29$ cm. ### Exercice 2 Dans $\triangle ABC$, $AB=9$ cm, $AC=6$ cm. On place $M$ sur $[AB]$ avec $AM=3$ cm. Où doit-on placer $N$ sur $[AC]$ pour que $(MN)\parallel(BC)$ ? **Corrigé** : $\dfrac{AM}{AB}= \dfrac{3}{9}= \dfrac{1}{3}$. Il faut $\dfrac{AN}{AC}= \dfrac{1}{3}$ → $AN = \dfrac{1}{3}\times6 = 2$ cm. Ainsi $N$ est à 2 cm de $A$ sur $[AC]$. ### Exercice 3 Dans $\triangle ABC$, $AB=20$ cm, $AC=15$ cm. Une droite parallèle à $BC$ coupe $[AB]$ en $M$ et $[AC]$ en $N$. Si $MN=8$ cm, déterminer $AM$ et $AN$. **Corrigé** : Soit $k$ le rapport de similitude : $k = \dfrac{AM}{AB}= \dfrac{AN}{AC}= \dfrac{MN}{BC}$. Nous ne connaissons pas $BC$, mais nous pouvons écrire $AM = k\cdot20$, $AN = k\cdot15$, $MN = k\cdot BC$. Comme $MN=8$, on a $k = \dfrac{8}{BC}$. Par ailleurs, d’après la similitude, $\dfrac{BC}{MN}= \dfrac{AB}{AM}$ → $\dfrac{BC}{8}= \dfrac{20}{AM}$. En remplaçant $AM = 20k$ : $\dfrac{BC}{8}= \dfrac{20}{20k}= \dfrac{1}{k}$ → $BC = \dfrac{8}{k}$. Mais aussi $k = \dfrac{8}{BC}$ → substitution donne $k = \dfrac{8}{\frac{8}{k}} = k$, identité. Nous devons donc utiliser une autre relation : puisque $AM+MB = AB$, mais nous ne connaissons pas $MB$. Au lieu de cela, notons que d’après la propriété directe, $\dfrac{AM}{AB}= \dfrac{MN}{BC}$. Donc $\dfrac{AM}{20}= \dfrac{8}{BC}$ → $AM = \dfrac{160}{BC}$. De même, $\dfrac{AN}{15}= \dfrac{8}{BC}$ → $AN = \dfrac{120}{BC}$. Nous savons aussi que $AM:AN = AB:AC = 20:15 = 4:3$. Vérifions : $\dfrac{AM}{AN}= \dfrac{160/BC}{120/BC}= \dfrac{160}{120}= \dfrac{4}{3}$, conforme. Pour obtenir des valeurs numériques, il faut connaître soit $AM$, soit $AN$, soit $BC$. Comme seul $MN$ est donné, le problème admet une infinité de solutions : on peut choisir quelconque $BC>0$ puis calculer $AM$ et $AN$ comme ci-dessus. Par exemple, si l’on prend $BC=10$ cm, alors $AM=160/10=16$ cm, $AN=120/10=12$ cm (mais $AM$ dépasse $AB$, donc inadmissible). Il faut que $AM\le AB$ et $AN\le AC$, donc $BC\ge \dfrac{160}{20}=8$ cm et $BC\ge \dfrac{120}{15}=8$ cm. Ainsi, toute $BC\ge 8$ cm convient. Choisissons $BC=12$ cm (valeur raisonnable). Alors $AM=160/12\approx13{,}33$ cm (>14? non, $AB=20$, donc OK) et $AN=120/12=10$ cm (>15? non, $AC=15$, donc OK). Donc une solution possible : $AM\approx13{,}33$ cm, $AN=10$ cm, $BC=12$ cm. > **Remarque** : Le problème montre que connaître uniquement $MN$ ne détermine pas uniqument $AM$ et $AN$ ; il faut une donnée supplémentaire (soit $AM$, soit $AN$, soit $BC$). ### Exercice 4 Dans $\triangle ABC$, $AB=18$ cm, $AC=12$ cm. On prend $M$ sur $[AB]$ tel que $AM=7$ cm et $N$ sur $[AC]$ tel que $AN=4$ cm. Vérifier si $(MN)\parallel(BC)$. **Corrigé** : $\dfrac{AM}{AB}= \dfrac{7}{18}\approx0{,}3889$. $\dfrac{AN}{AC}= \dfrac{4}{12}= \dfrac{1}{3}\approx0{,}3333$. Les rapports ne sont pas égaux, donc d’après la réciproque de Thalès, $(MN)$ n’est **pas** parallèle à $(BC)$. ### Exercice 5 Dans $\triangle ABC$, $AB=25$ cm, $AC=20$ cm. Une droite parallèle à $BC$ coupe $[AB]$ en $M$ et $[AC]$ en $N$. Si $AM=10$ cm, trouver $AN$, $MN$ sachant que $BC=30$ cm. **Corrigé** : Rapport $k = \dfrac{AM}{AB}= \dfrac{10}{25}= \dfrac{2}{5}=0{,}4$. Alors $AN = k\cdot AC = 0{,}4\times20 = 8$ cm. Et $MN = k\cdot BC = 0{,}4\times30 = 12$ cm. ### Exercice 6 Dans $\triangle ABC$, $AB=30$ cm, $AC=24$ cm. On veut placer des points $M\in[AB]$ et $N\in[AC]$ tels que $(MN)\parallel(BC)$ et $MN=9$ cm. Déterminer $AM$ et $AN$. **Corrigé** : Soit $k$ le rapport de similitude : $k = \dfrac{MN}{BC}$. Mais nous ne connaissons pas $BC$. Cependant, d’après la propriété directe, $\dfrac{AM}{AB}= \dfrac{AN}{AC}= \dfrac{MN}{BC}=k$. Ainsi $AM = k\cdot30$, $AN = k\cdot24$, $MN = k\cdot BC =9$. Nous pouvons éliminer $BC$ en utilisant le fait que $\dfrac{BC}{MN}= \dfrac{AB}{AM}$ (de la similitude). Donc $\dfrac{BC}{9}= \dfrac{30}{AM}$ → $BC = \dfrac{270}{AM}$. Mais aussi $AM = 30k$ et $k = \dfrac{9}{BC}$ → $AM = 30\cdot\dfrac{9}{BC}= \dfrac{270}{BC}$. En égalant les deux expressions de $BC$ : $\dfrac{270}{AM}= \dfrac{270}{AM}$ → identité. Nous devons donc choisir une valeur admissible pour $k$ telle que $AM\le30$ et $AN\le24$. Puisque $MN=9$, nous pouvons prendre $k = \dfrac{MN}{BC}$. Pour garantir $AM\le30$, il faut $k\le1$ (puisque $AM=30k$). De même, $AN=24k\le24$ donne aussi $k\le1$. Ainsi, tout $k\in(0,1]$ convient. Choisissons $k=\dfrac{1}{3}$ (valeur simple). Alors $AM=30\times\frac13=10$ cm, $AN=24\times\frac13=8$ cm, et $BC = \dfrac{MN}{k}= \dfrac{9}{1/3}=27$ cm (vérifiable : $MN/BC=9/27=1/3=k$). Donc une solution : $AM=10$ cm, $AN=8$ cm. > **À retenir** : Pour construire une parallèle sachant la longueur du segment intercepté, il suffit de choisir un rapport de similitude $k$ tel que les longueurs calculées restent dans les côtés du triangle. ## Erreurs fréquentes 1. **Confondre la propriété directe et la réciproque** : certains élèves écrivent que si $AM/AB = AN/AC$ alors $MN$ est *égal* à $BC$, alors qu’il s’agit seulement de parallélisme. *Astuce* : rappeler que la réciproque ne donne pas d’égalité de longueurs, mais seulement le parallélisme. 2. **Oublier de vérifier que les points sont bien situés sur les côtés** : on peut calculer un rapport qui donne une longueur supérieure au côté considéré (ex. $AM>AB$). *Astuce* : après le calcul, toujours contrôler que $0\le AM\le AB$ et $0\le AN\le AC$. 3. **Utiliser le mauvais critère de similitude** : appliquer le critère AA alors qu’on n’a qu’un angle connu et un côté proportionnel. *Astuce* : vérifier que l’on dispose bien de deux angles égaux (AA) ou de deux côtés proportionnels et l’angle compris (SAS). 4. **Ne pas simplifier les fractions** : laisser des rapports sous forme non réduite conduit à des erreurs de comparaison. *Astuce* : réduire systématiquement les fractions avant de comparer les rapports. 5. **Confondre les côtés correspondants** : prendre $AM$ avec $AC$ au lieu de $AB$. *Astuce* : tracer le triangle et désigner clairement les côtés correspondant à chaque sommet avant de calculer. 6. **Ne pas considérer le cas où la parallèle passe par le sommet** : si $M=A$ ou $N=A$, le rapport est nul et la parallèle confondue avec un côté. *Astuce* : traiter séparément les cas dégénérés où un des points coïncide avec un sommet. --- *Fin du cours.*