Multiplication d'un vecteur par un nombre réel

## Objectifs et prérequis **Objectifs** : à la fin de ce chapitre l’élève pourra - définir le produit d’un vecteur par un nombre réel et en expliciter le sens géométrique ; - démontrer les propriétés de linéarité, d’associativité et de distributivité de ce produit ; - reconnaître deux vecteurs colinéaires et déterminer le facteur de proportionnalité ; - identifier un vecteur directeur d’une droite à partir de deux points ou d’une équation paramétrique ; - résoudre des problèmes simples liés à la translation, à l’homothétie et à la représentation paramétrique d’une droite. **Prérequis** : notions de vecteur dans le plan (définition, égalité, opposition, addition, coordonnées), repère orthonormé, opérations sur les nombres réels, résolution d’équations du premier degré. ## Introduction contextualisée Dans la vie quotidienne, on rencontre souvent des situations où il faut agrandir ou réduire un déplacement tout en conservant sa direction : un agrandissement d’une photographie, le tirage d’une carte à l’échelle, le déplacement d’un objet sous l’effet d’une force proportionnelle à sa masse. Mathématiquement, ces transformations sont modélisées par le produit d’un vecteur par un nombre réel (appelé scalaire). Ce produit permet de définir la colinéarité, notion essentielle pour étudier les droites, les parallélismes et les homothéties. Enfin, le vecteur directeur d’une droite fournit une description compacte de tous ses points grâce à une équation paramétrique, outil fondamental en géométrie analytique et en physique. ## I. Produit d’un vecteur par un nombre réel ### Définition > Soit $\vec{u}$ un vecteur du plan et $\lambda\in\mathbb{R}$ un nombre réel. Le **produit de $\vec{u}$ par $\lambda$**, noté $\lambda\vec{u}$, est le vecteur dont la norme vaut $|\lambda|\,\|\vec{u}\|$ et dont la direction est celle de $\vec{u}$ si $\lambda>0$, opposée si $\lambda<0$, et nul si $\lambda=0$ ou $\vec{u}=\vec{0}$. En coordonnées, si $\vec{u}=(x,y)$ alors $$ \lambda\vec{u}=(\lambda x,\lambda y). $$ ### Propriétés > 1. **Distributivité par rapport à l’addition de vecteurs** : $\forall\lambda\in\mathbb{R},\;\forall\vec{u},\vec{v}\in\mathbb{R}^2,\;\lambda(\vec{u}+\vec{v})=\lambda\vec{u}+\lambda\vec{v}$. > 2. **Distributivité par rapport à l’addition des scalaires** : $\forall\lambda,\mu\in\mathbb{R},\;\forall\vec{u}\in\mathbb{R}^2,\;(\lambda+\mu)\vec{u}=\lambda\vec{u}+\mu\vec{u}$. > 3. **Associativité** : $\forall\lambda,\mu\in\mathbb{R},\;\forall\vec{u}\in\mathbb{R}^2,\;(\lambda\mu)\vec{u}=\lambda(\mu\vec{u})$. > 4. **Élément neutre** : $1\vec{u}=\vec{u}$. > 5. **Produit nul** : $\lambda\vec{u}=\vec{0}\iff (\lambda=0)\ \text{ou}\ (\vec{u}=\vec{0})$. ### Démonstration de la distributivité (exemple) Prenons $\vec{u}=(x_1,y_1)$ et $\vec{v}=(x_2,y_2)$. Alors $$ \lambda(\vec{u}+\vec{v})=\lambda\big((x_1+x_2,\;y_1+y_2)\big)=\big(\lambda(x_1+x_2),\;\lambda(y_1+y_2)\big). $$ En développant, on obtient $$ \big(\lambda x_1+\lambda x_2,\;\lambda y_1+\lambda y_2\big)=(\lambda x_1,\lambda y_1)+(\lambda x_2,\lambda y_2)=\lambda\vec{u}+\lambda\vec{v}. $$ Ainsi la propriété est vérifiée. ### Exemples **Exemple 1** (simple) : Soit $\vec{a}=(3,-4)$ et $\lambda=-2$. $$ -2\vec{a}=(-2\cdot3,\,-2\cdot(-4))=(-6,8). $$ Le vecteur résultant a la même direction que $\vec{a}$ mais sens opposé et sa norme est doublée. **Exemple 2** (délicat) : On veut trouver $\lambda$ tel que $\lambda\vec{b}=(5, -10)$ sachant $\vec{b}=(-1,2)$. On pose $\lambda(-1,2)=(5,-10)$ donc $$ \begin{cases} -\lambda =5\\ 2\lambda =-10 \end{cases} \Longrightarrow \lambda=-5. $$ On vérifie : $-5(-1,2)=(5,-10)$. ## II. Vecteurs colinéaires ### Définition > Deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ du plan sont dits **colinéaires** s’il existe un réel $\lambda$ tel que $\vec{v}=\lambda\vec{u}$ (on admet le cas $\vec{u}=\vec{0}$ ou $\vec{v}=\vec{0}$ comme trivialement colinéaire avec tout vecteur). Le réel $\lambda$ est appelé **facteur de proportionnalité**. ### Critère de colinéarité > Dans un repère orthonormé, $\vec{u}=(x_1,y_1)$ et $\vec{v}=(x_2,y_2)$ sont colinéaires si et seulement si $$ x_1y_2 - x_2y_1 = 0. $$ Cette expression est le déterminant de la matrice formée par les deux vecteurs ; elle vaut zéro exactement lorsqu’ils sont alignés. ### Démonstration du critère Si $\vec{v}=\lambda\vec{u}$, alors $x_2=\lambda x_1$ et $y_2=\lambda y_1$. En remplaçant : $$ x_1y_2 - x_2y_1 = x_1(\lambda y_1) - (\lambda x_1)y_1 = \lambda x_1y_1 - \lambda x_1y_1 =0. $$ Réciproquement, si le déterminant est nul et que $\vec{u}\neq\vec{0}$, on peut définir $\lambda = \frac{x_2}{x_1}$ (si $x_1\neq0$) ou $\lambda = \frac{y_2}{y_1}$ (si $y_1\neq0$) ; on vérifie alors que les deux coordonnées vérifient $\vec{v}=\lambda\vec{u}$. ### Propriétés > - La colinéarité est une relation d’équivalence (réflexive, symétrique, transitive). > - Si $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires et non nuls, alors $\|\vec{v}\| = |\lambda|\,\|\vec{u}\|$. > - La somme de deux vecteurs colinéaires est colinéaire avec chacun d’eux. ### Exemples **Exemple 1** : $\vec{p}=(2,6)$ et $\vec{q}=(-1,-3)$. Calcul du déterminant : $2\cdot(-3)-(-1)\cdot6 = -6+6=0$ → colinéaires. On trouve $\lambda$ : $-1 = \lambda\cdot2 \Rightarrow \lambda=-\frac12$ (vérification avec la deuxième coordonnée : $-3 = -\frac12\cdot6$). **Exemple 2** : Déterminer si $\vec{r}=(0,5)$ et $\vec{s}=(3,0)$ sont colinéaires. Déterminant : $0\cdot0 - 3\cdot5 = -15\neq0$ → non colinéaires. En effet, l’un est vertical, l’autre horizontal. ## III. Vecteurs directeurs d’une droite ### Définition > Soit $D$ une droite du plan passant par deux points distincts $A$ et $B$. Un **vecteur directeur** de $D$ est tout vecteur $\vec{v}$ colinéaire avec $\overrightarrow{AB}$. On note souvent $\vec{v}$ quelconque tel que $\vec{v}=k\overrightarrow{AB}$ avec $k\in\mathbb{R}^*$. Tout vecteur non nul colinéaire avec $\overrightarrow{AB}$ convient ; changer de point sur la droite ne change pas la direction. ### Équation paramétrique d’une droite > Si $A(x_A,y_A)$ est un point connu de $D$ et $\vec{v}=(v_x,v_y)$ un vecteur directeur, alors tout point $M(x,y)$ de $D$ s’écrit : $$ \begin{cases} x = x_A + t\,v_x\\[2pt] y = y_A + t\,v_y \end{cases}\qquad t\in\mathbb{R}. $$ Le paramètre $t$ est le réel tel que $\overrightarrow{AM}=t\vec{v}$. ### Démonstration de l’équation paramétrique Soit $M$ un point de $D$. Alors $\overrightarrow{AM}$ est colinéaire avec $\vec{v}$, donc il existe un réel $t$ tel que $\overrightarrow{AM}=t\vec{v}$. En écrivant les coordonnées : $$ (x-x_A,\;y-y_A)=t(v_x,\;v_y) \Longrightarrow \begin{cases} x = x_A + t v_x\\ y = y_A + t v_y \end{cases}. $$ Réciproquement, tout couple $(x,y)$ obtenu par ces égalités vérifie $\overrightarrow{AM}=t\vec{v}$, donc $M\in D$. ### Exemples **Exemple 1** : Droite passant par $A(1,2)$ et $B(4,8)$. $\overrightarrow{AB}=(3,6)$. On peut prendre $\vec{v}=(3,6)$ ou le simplifier en $(1,2)$ (en divisant par 3). Équation paramétrique avec $\vec{v}=(1,2)$ : $$ \begin{cases} x = 1 + t\\ y = 2 + 2t \end{cases},\ t\in\mathbb{R}. $$ Pour $t=2$ on obtient $M(3,6)$, effectivement sur la droite. **Exemple 2** : Trouver un vecteur directeur de la droite d’équation cartésienne $2x-3y+6=0$. Un vecteur normal est $\vec{n}=(2,-3)$. Un vecteur directeur est orthogonal à $\vec{n}$, donc on peut prendre $\vec{v}=(3,2)$ (puisque $2\cdot3+(-3)\cdot2=0$). En prenant un point quelconque, par exemple l’ordonnée à l’origine : mettre $x=0\Rightarrow -3y+6=0\Rightarrow y=2$, donc $A(0,2)$. Équation paramétrique : $$ \begin{cases} x = 0 + 3t\\ y = 2 + 2t \end{cases}. $$ ## Synthèse du chapitre - **Produit d’un vecteur par un réel** : $\lambda\vec{u}=(\lambda x,\lambda y)$ ; propriétés de distributivité, associativité, élément neutre, produit nul. - **Vecteurs colinéaires** : $\exists\lambda\in\mathbb{R},\ \vec{v}=\lambda\vec{u}$ ; critère $x_1y_2-x_2y_1=0$ ; relation d’équivalence. - **Vecteur directeur d’une droite** : tout vecteur colinéaire avec $\overrightarrow{AB}$ pour deux points $A,B$ distincts ; équation paramétrique $x=x_A+tv_x,\ y=y_A+tv_y$. - Le produit par un scalaire permet de passer d’un vecteur à un autre de même ou de sens opposé, d’allonger ou de raccourcir, et constitue la base de la notion de colinéarité et de description paramétrique des droites. ## Glossaire - **Vecteur** : quantité ayant une direction, un sens et une norme. - **Scalaire** : nombre réel utilisé pour multiplier un vecteur. - **Produit d’un vecteur par un scalaire** : opération $\lambda\vec{u}$ définie ci-dessus. - **Colinéarité** : relation entre deux vecteurs qui sont parallèles, c'est-à-dire qu'il existe un réel $\lambda$ tel que $\vec{v}=\lambda\vec{u}$. - **Facteur de proportionnalité** : réel $\lambda$ tel que $\vec{v}=\lambda\vec{u}$. - **Déterminant (2×2)** : $x_1y_2-x_2y_1$, teste la colinéarité. - **Vecteur directeur** : vecteur non nul donnant la direction d’une droite. - **Équation paramétrique** : représentation d’une droite par un point et un vecteur directeur avec un paramètre réel $t$. - **Point quelconque** : point choisi sur la droite pour fixer l’origine du paramètre. - **Vecteur nul** : vecteur de norme zéro, noté $\vec{0}$. ## Erreurs fréquentes 1. **Confondre le produit par un scalaire avec le produit scalaire** : le premier donne un vecteur, le second un réel. Rappeler que $\lambda\vec{u}$ reste dans l’espace des vecteurs. 2. **Oublier le cas du vecteur nul** : dire que deux vecteurs sont colinéaires seulement si aucun n’est nul ; en réalité, le vecteur nul est colinéaire avec tout vecteur. 3. **Utiliser le mauvais signe dans le critère de colinéarité** : écrire $x_1y_2+x_2y_1=0$ au lieu de la différence ; vérifier la formule avec un exemple simple. 4. **Prendre un vecteur directeur orthogonal à la normale mais qui est le vecteur nul** : croire qu’un vecteur orthogonal à la normale est toujours directeur ; il faut vérifier qu’il n’est pas le vecteur nul. 5. **Mauvaise identification du paramètre $t$** : penser que $t$ doit être positif ; rappeler que $t\in\mathbb{R}$ permet d’obtenir tous les points de la droite, y compris ceux situés « en arrière » du point de départ. 6. **Négliger la simplification du vecteur directeur** : utiliser $(3,6)$ au lieu de $(1,2)$ complique les calculs sans changer la droite ; encourager à réduire lorsqu’on le peut. ## Exercices d'application corrigés ### Exercice 1 Soit $\vec{u}=(5,-2)$. Calculer $3\vec{u}$ et $-4\vec{u}$. **Corrigé** : - $3\vec{u}= (3\cdot5,\;3\cdot(-2))=(15,-6)$. - $-4\vec{u}=(-4\cdot5,\;-4\cdot(-2))=(-20,8)$. ### Exercice 2 Déterminer si les vecteurs $\vec{a}=(2,4)$ et $\vec{b}=(-3,-6)$ sont colinéaires. Si oui, donner le facteur de proportionnalité $\lambda$ tel que $\vec{b}=\lambda\vec{a}$. **Corrigé** : Calcul du déterminant : $2\cdot(-6)-(-3)\cdot4 = -12+12=0$ → colinéaires. On cherche $\lambda$ tel que $(-3,-6)=\lambda(2,4)$. Première coordonnée : $-3=2\lambda\Rightarrow\lambda=-\frac32$. Vérification seconde : $4\lambda=4\cdot(-\frac32)=-6$ → correct. Donc $\lambda=-\frac32$. ### Exercice 3 Trouver un vecteur directeur de la droite passant par $P(-1,3)$ et $Q(2,-3)$. Puis écrire l’équation paramétrique de cette droite en prenant $P$ comme point de départ. **Corrigé** : $\overrightarrow{PQ}=(2-(-1),\;-3-3)=(3,-6)$. On peut simplifier en divisant par 3 : $\vec{v}=(1,-2)$ (tout multiple non nul convient). Équation paramétrique avec point $P(-1,3)$ : $$ \begin{cases} x = -1 + t\cdot1 = -1 + t\\ y = 3 + t\cdot(-2) = 3 - 2t \end{cases},\qquad t\in\mathbb{R}. $$ ### Exercice 4 La droite $D$ possède une équation cartésienne $4x+5y-20=0$. a) Donner un vecteur normal $\vec{n}$ à $D$. b) En déduire un vecteur directeur $\vec{v}$ de $D$. c) Trouver l’équation paramétrique de $D$ en utilisant l’ordonnée à l’origine comme point de départ. **Corrigé** : a) Les coefficients de $x$ et $y$ donnent un vecteur normal : $\vec{n}=(4,5)$. b) Un vecteur directeur est orthogonal à $\vec{n}$ : on cherche $(v_x,v_y)$ tel que $4v_x+5v_y=0$. Un choix simple : prendre $v_x=5$, alors $4\cdot5+5v_y=0\Rightarrow20+5v_y=0\Rightarrow v_y=-4$. Donc $\vec{v}=(5,-4)$ (tout multiple non nul convient). c) Ordonnée à l’origine : mettre $x=0\Rightarrow5y-20=0\Rightarrow y=4$. Donc point $A(0,4)$. Équation paramétrique : $$ \begin{cases} x = 0 + 5t = 5t\\ y = 4 + (-4)t = 4 - 4t \end{cases},\qquad t\in\mathbb{R}. $$ ### Exercice 5 Soit $\vec{m}=(7,0)$ et $\vec{n}=(0,9)$. Montrer que $\vec{m}$ et $\vec{n}$ ne sont pas colinéaires, puis trouver un réel $\lambda$ tel que $\lambda\vec{m}+\vec{n}$ soit colinéaire avec $\vec{m}$. **Corrigé** : Déterminant : $7\cdot9-0\cdot0=63\neq0$ → non colinéaires. On cherche $\lambda$ tel que $\lambda\vec{m}+\vec{n}=(\lambda\cdot7+0,\;0+9)=(7\lambda,9)$ soit colinéaire avec $\vec{m}=(7,0)$. Deux vecteurs sont colinéaires si leur déterminant est nul : $$ \begin{vmatrix} 7\lambda & 9\\ 7 & 0 \end{vmatrix}= (7\lambda)\cdot0 - 9\cdot7 = -63 =0? $$ Le déterminant vaut $-63$, indépendant de $\lambda$ ; il ne peut jamais être nul. Donc **aucun** réel $\lambda$ ne rend la somme colinéaire avec $\vec{m}$. (On peut aussi remarquer que pour être colinéaire avec $\vec{m}$ il faut que la deuxième coordonnée soit nulle, or elle vaut toujours $9$.) ### Exercice 6 (optionnel, difficulté supérieure) Une homothétie de centre $O(0,0)$ et de rapport $k$ envoie un point $M(x,y)$ sur $M'$ tel que $\overrightarrow{OM'}=k\overrightarrow{OM}$. a) Exprimer les coordonnées de $M'$ en fonction de $x,y,k$. b) Si $k=-\frac12$ et $M(4,-6)$, déterminer $M'$. c) Montrer que l’ensemble des points $M'$ obtenus lorsque $k$ varie dans $\mathbb{R}$ est une droite passant par $O$. **Corrigé** : a) $\overrightarrow{OM}=(x,y)$. Donc $\overrightarrow{OM'}=k(x,y)=(kx,ky)$. Ainsi $M'(kx,ky)$. b) Avec $k=-\frac12$, $x=4$, $y=-6$ : $M'\bigl(-\frac12\cdot4,\;-\frac12\cdot(-6)\bigr)=(-2,3)$. c) Pour un point fixe $M(x_0,y_0)\neq(0,0)$, lorsque $k$ varie, les points obtenus sont $(kx_0,ky_0)$. Ces points vérifient $y_0x - x_0y =0$ (en éliminant $k$), qui est l’équation d’une droite passant par l’origine (puisque $(0,0)$ vérifie l’équation). Donc l’ensemble décrit est bien la droite passant par $O$ et de directeur $\vec{v}=(x_0,y_0)$. --- Fin du cours.