Vecteurs et translations

## Objectifs et prérequis **Objectifs** : À la fin de ce chapitre, l’élève pourra - définir précisément ce que sont deux vecteurs colinéaires et reconnaître cette relation à l’aide de critères algébriques et géométriques ; - démontrer que deux vecteurs sont colinéaires si et seulement si l’un est un multiple scalaire de l’autre ; - utiliser le déterminant (ou le produit vectoriel dans le plan) pour tester la colinéarité de deux vecteurs ; - définir le notion de vecteur directeur d’une droite et expliquer pourquoi tout vecteur non nul colinéaire à un vecteur directeur est également directeur ; - déterminer un vecteur directeur d’une droite à partir de son équation cartésienne ou de deux points appartenant à la droite ; - écrire l’équation paramétrique d’une droite sachant un point et un vecteur directeur ; - résoudre des problèmes de géométrie plane impliquant colinéarité et directeur (alignement de points, parallélisme de droites, intersection). **Prérequis** : L’élève doit maîtriser - la notion de vecteur dans le plan (représentation par un couple ordonnée, égalité, addition, multiplication par un scalaire) ; - le calcul des coordonnées d’un vecteur à partir de deux points ; - le déterminant d’une matrice 2×2 et son interprétation géométrique (aire du parallélogramme) ; - les équations linéaires du type $y=ax+b$ et la forme paramétrique d’une droite. --- ## Introduction contextualisée Dans la vie quotidienne, nous sommes souvent amenés à décrire des déplacements, des forces ou des vitesses par des flèches : c’est la notion de vecteur. Lorsqu’on étudie la géométrie du plan, il devient essentiel de savoir quand deux telles flèches pointent dans la même direction ou dans des directions exactement opposées, car cela révèle une relation d’alignement ou de parallélisme entre les objets qu’elles représentent (points, droites, segments). Le concept de **colinéarité** permet de répondre à cette question de façon précise : deux vecteurs sont colinéaires lorsqu’ils sont situés sur une même droite passant par l’origine, ou, équivalentement, lorsqu’un des deux peut être obtenu en multipliant l’autre par un nombre réel (éventuellement négatif). Cette propriété est fondamentale pour prouver l’alignement de trois points, pour établir que deux droites sont parallèles, ou encore pour simplifier des systèmes de forces en physique. Parallèlement, lorsqu’on veut décrire une droite entière (et non seulement un segment), il suffit de connaître un point de départ et une direction. Cette direction est encapsulée par un **vecteur directeur** : tout vecteur non nul colinéaire à celui-ci engendre la même droite lorsqu’on le fait varier par un facteur scalaire. Ainsi, le vecteur directeur fournit une façon compacte et puissante de représenter une droite, que ce soit sous forme paramétrique, cartésienne ou encore dans des problèmes d’intersection. Dans ce chapitre, nous allons explorer ces deux notions en profondeur, en démontrant les résultats clés, en illustrant chaque idée par des exemples progressifs, et en préparant l’élève à les appliquer avec confiance lors de l’examen du BEPC. --- ## I. Vecteurs colinéaires et vecteurs directeurs d’une droite ### A. Vecteurs colinéaires #### 1. Définition > **Définition** : Deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ du plan sont dits **colinéaires** s’il existe un réel $k$ tel que $\vec{v}=k\vec{u}$. On note cette relation $\vec{u}\parallel\vec{v}$. Cette définition implique que si $\vec{u}=\vec{0}$, alors tout vecteur $\vec{v}$ est colinéaire à $\vec{u}$ (on prend $k=0$). Dans la suite, sauf indication contraire, nous considérerons des vecteurs non nuls afin d’éviter les cas triviaux. #### 2. Propriétés fondamentales > **Propriété 1** : La colinéarité est une relation d’équivalence (réflexive, symétrique, transitive) sur l’ensemble des vecteurs non nuls. > **Propriété 2** : Si $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires et non nuls, alors les points $O$, $A$ (extrémité de $\vec{u}$) et $B$ (extrémité de $\vec{v}$) sont alignés. > **Propriété 3** : Dans un repère orthonormé, $\vec{u}=(x_1,y_1)$ et $\vec{v}=(x_2,y_2)$ sont colinéaires si et seulement si le déterminant > $$ > \det\begin{pmatrix} > x_1 & x_2\\ > y_1 & y_2 > \end{pmatrix}=x_1y_2-x_2y_1=0. > $$ > **Propriété 4** : Le produit vectoriel (ou produit mixte en deux dimensions) de deux vecteurs colinéaires vaut zéro : $\vec{u}\times\vec{v}=0$. *Démonstration de la propriété 3* : Si $\vec{v}=k\vec{u}$, alors $(x_2,y_2)=k(x_1,y_1)$. Le déterminant devient $x_1(k y_1)- (k x_1) y_1 = k x_1 y_1 - k x_1 y_1 =0$. Réciproquement, si le déterminant est nul, alors $x_1y_2=x_2y_1$. Si $x_1\neq0$, on pose $k=\frac{x_2}{x_1}$ et on vérifie que $y_2=ky_1$ grâce à l’égalité précédente. Le cas $x_1=0$ est traité séparément en utilisant $y_1\neq0$ (sinon les deux vecteurs sont nuls). Ainsi, $\vec{v}=k\vec{u}$. ∎ #### 3. Exemples résolus **Exemple 1 (simple)** : Donné $\vec{u}=(3,-6)$ et $\vec{v}=(-1,2)$. Montrer qu’ils sont colinéaires et déterminer le facteur $k$. *Solution* : On cherche $k$ tel que $(-1,2)=k(3,-6)$. Cela donne le système $$ \begin{cases} -1=3k\\ 2=-6k \end{cases} \Longrightarrow k=-\frac13 \text{ (première équation)}\quad\text{et}\quad k=-\frac13 \text{ (deuxième équation)}. $$ Comme les deux valeurs coïncident, $\vec{v}= -\frac13\vec{u}$ ; les vecteurs sont colinéaires avec $k=-\frac13$. **Exemple 2 (délicat)** : Soient les points $A(2,5)$, $B(-1,3)$ et $C(4,1)$. Montrer que $A$, $B$, $C$ sont alignés en utilisant la colinéarité des vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$. *Solution* : Calculons les vecteurs : $$ \overrightarrow{AB}=B-A=(-1-2,\,3-5)=(-3,-2),\\ \overrightarrow{AC}=C-A=(4-2,\,1-5)=(2,-4). $$ Calculons le déterminant : $$ \det\begin{pmatrix} -3 & 2\\ -2 & -4 \end{pmatrix}=(-3)(-4)- (2)(-2)=12+4=16\neq0. $$ Le déterminant n’est pas nul, donc d’après la propriété 3, $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ ne sont **pas** colinéaires. Ainsi, les points $A$, $B$, $C$ ne sont **pas** alignés. *(Remarque : si l’on voulait montrer l’alignement, il faudrait obtenir un déterminant nul.)* #### 4. Application : test de parallélisme de deux droites Deux droites $D_1$ et $D_2$ sont parallèles si et seulement si leurs vecteurs directeurs sont colinéaires. Cette propriété sera utilisée dans la sous‑section suivante. --- ### B. Vecteurs directeurs d’une droite #### 1. Définition > **Définition** : Soit $D$ une droite du plan et $A$ un point appartenant à $D$. Un vecteur $\vec{v}\neq\vec{0}$ est dit **directeur** de $D$ si tout point $M$ de $D$ vérifie $\overrightarrow{AM}=t\vec{v}$ pour un certain réel $t$. On dit alors que $D$ est la **droite passant par $A$ de directeur $\vec{v}$**. Cette définition signifie que la droite est l’ensemble des points obtenus en partant de $A$ et en ajoutant tous les multiples scalaires de $\vec{v}$. #### 2. Propriétés essentielles > **Propriété 1** : Si $\vec{v}$ est directeur de $D$ passant par $A$, alors tout vecteur $\vec{w}=k\vec{v}$ avec $k\in\mathbb{R}^*$ est également directeur de $D$. > **Propriété 2** : Deux droites $D_1$ et $D_2$ sont parallèles si et seulement si leurs vecteurs directeurs sont colinéaires. > **Propriété 3** : Si $D$ possède une équation cartésienne $ax+by+c=0$ avec $(a,b)\neq(0,0)$, alors un vecteur directeur est $\vec{v}=(-b,\,a)$ (ou tout multiple de ce vecteur). > **Propriété 4** : La forme paramétrique de $D$ est > $$ > \begin{cases} > x = x_A + tv_x\\ > y = y_A + tv_y > \end{cases}\qquad t\in\mathbb{R}, > $$ > où $A(x_A,y_A)$ et $\vec{v}=(v_x,v_y)$. *Démonstration de la propriété 3* : La droite $ax+by+c=0$ est constituée des points $(x,y)$ tels que le produit scalaire avec le vecteur normal $\vec{n}=(a,b)$ vaut $-c$. Un vecteur directeur doit être orthogonal à $\vec{n}$, donc vérifier $a v_x + b v_y =0$. Une solution simple est $(v_x,v_y)=(-b,a)$ puisque $a(-b)+b a = -ab+ab=0$. Tout multiple de ce vecteur convient également. ∎ #### 3. Exemples résolus **Exemple 1 (simple)** : Trouver un vecteur directeur de la droite d’équation $y=2x-3$. *Solution* : Réécrivons sous la forme $2x-y-3=0$ ; ici $a=2$, $b=-1$. Un vecteur directeur est $\vec{v}=(-b,\,a)=(1,\,2)$. On peut vérifier que tout point $(x,2x-3)$ satisfait $\overrightarrow{AM}=t(1,2)$ avec $A(0,-3)$ (point d’ordonnée $-3$ à l’origine). **Exemple 2 (délicat)** : Déterminer l’équation cartésienne de la droite passant par $P(1,4)$ et ayant pour vecteur directeur $\vec{v}=(-3,5)$. *Solution* : Nous utilisons la forme paramétrique : $$ \begin{cases} x = 1 -3t\\ y = 4 +5t \end{cases} $$ Pour éliminer $t$, exprimons $t$ à partir de la première équation : $t=\dfrac{1-x}{3}$. Substituons dans la seconde : $$ y = 4 +5\left(\dfrac{1-x}{3}\right)=4+\dfrac{5}{3}-\dfrac{5}{3}x=\dfrac{12+5}{3}-\dfrac{5}{3}x=\dfrac{17}{3}-\dfrac{5}{3}x. $$ Multiplions par $3$ : $3y = 17 -5x$, soit $5x+3y-17=0$. Ainsi l’équation cartésienne recherchée est $$ \boxed{5x+3y-17=0}. $$ **Exemple 3 (synthèse)** : Donné les points $A(-2,1)$ et $B(4,7)$. 1. Trouver un vecteur directeur de la droite $(AB)$. 2. Vérifier que le point $C(10,13)$ appartient à cette droite. *Solution* : 1. $\overrightarrow{AB}=B-A=(4-(-2),\,7-1)=(6,6)$. Un vecteur directeur peut être $\vec{v}=(6,6)$ ou, après simplification, $\vec{v}=(1,1)$. 2. Pour $C$, calculons $\overrightarrow{AC}=C-A=(10-(-2),\,13-1)=(12,12)$. On voit que $\overrightarrow{AC}=2\cdot(6,6)=2\overrightarrow{AB}$, donc $\overrightarrow{AC}$ est colinéaire à $\overrightarrow{AB}$ avec facteur $2$. Comme $A$ appartient à la droite, $C$ y appartient également (on a $\overrightarrow{AC}=t\vec{v}$ avec $t=2$). --- ## Synthèse du chapitre > **À retenir** : > - Deux vecteurs $\vec{u},\vec{v}$ sont colinéaires $\iff \exists k\in\mathbb{R}$ : $\vec{v}=k\vec{u}$. > - Test de colinéarité : $\det(\vec{u},\vec{v})=x_uy_v-x_vy_u=0$. > - Si $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires et non nuls, les points $O$, $A$ (extrémité de $\vec{u}$) et $B$ (extrémité de $\vec{v}$) sont alignés. > - Un vecteur $\vec{v}\neq\vec{0}$ est directeur d’une droite $D$ passant par $A$ si $\forall M\in D$, $\exists t\in\mathbb{R}$ : $\overrightarrow{AM}=t\vec{v}$. > - Tout multiple non nul d’un vecteur directeur est également directeur. > - Pour une droite $ax+by+c=0$, un vecteur directeur est $\vec{v}=(-b,\,a)$. > - Forme paramétrique d’une droite : $\begin{cases}x=x_A+tv_x\\ y=y_A+tv_y\end{cases}$, $t\in\mathbb{R}$. > - Deux droites sont parallèles $\iff$ leurs vecteurs directeurs sont colinéaires. --- ## Glossaire | Terme | Définition | |-------|------------| | Vecteur | Quantité caractérisée par une norme, une direction et un sens ; représenté par un couple ordonnée $(x,y)$ dans un repère. | | Colinéaire | Relation entre deux vecteurs tels que l’un est un multiple scalaire de l’autre. | | Déterminant (2×2) | $x_1y_2-x_2y_1$ ; nul si et seulement si les vecteurs associés sont colinéaires. | | Produit vectoriel (plan) | Grandeur scalaire $x_1y_2-x_2y_1$ ; mesure l’aire signée du parallélogramme formé par les deux vecteurs. | | Vecteur directeur | Vecteur non nul qui indique la direction d’une droite ; tout point de la droite s’obtient en ajoutant un multiple de ce vecteur à un point fixe de la droite. | | Droite parallèle | Deux droites qui n’ont aucun point commun ou qui sont confondues ; leurs directeurs sont colinéaires. | | Forme paramétrique | Équations $x=x_A+tv_x$, $y=y_A+tv_y$ décrivant tous les points d’une droite à l’aide d’un paramètre $t$. | | Point d’intersection | Point appartenant simultanément à deux droites ; obtenu en résolvant le système de leurs équations. | | Alignement | Trois points sont alignés si les vecteurs formés par deux paires de ces points sont colinéaires. | | Équation cartésienne | Équation de type $ax+by+c=0$ représentant une droite dans le plan. | --- ## Exercices d'application corrigés ### Exercice 1 Soient $\vec{u}=(4,-2)$ et $\vec{v}=(-2,1)$. 1. Montrer que $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires. 2. Déterminer le réel $k$ tel que $\vec{v}=k\vec{u}$. **Corrigé** : 1. Calcul du déterminant : $$ \det\begin{pmatrix} 4 & -2\\ -2 & 1 \end{pmatrix}=4\cdot1-(-2)\cdot(-2)=4-4=0. $$ Comme le déterminant est nul, les vecteurs sont colinéaires. 2. On cherche $k$ tel que $(-2,1)=k(4,-2)$. $-2=4k\Rightarrow k=-\frac12$ ; $1=-2k\Rightarrow k=-\frac12$. Donc $k=-\frac12$ et $\vec{v}=-\frac12\vec{u}$. --- ### Exercice 2 Déterminer si les points $A(0,0)$, $B(3,4)$ et $C(6,8)$ sont alignés. **Corrigé** : $\overrightarrow{AB}=(3,4)$, $\overrightarrow{AC}=(6,8)$. Déterminant : $$ \det\begin{pmatrix} 3 & 6\\ 4 & 8 \end{pmatrix}=3\cdot8-6\cdot4=24-24=0. $$ Le déterminant nul implique la colinéarité de $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ ; donc $A$, $B$, $C$ sont alignés. --- ### Exercice 3 Trouver un vecteur directeur de la droite d’équation $3x-4y+7=0$. **Corrigé** : Ici $a=3$, $b=-4$. Un vecteur directeur est $\vec{v}=(-b,\,a)=(4,3)$. Vérification : $3\cdot4+(-4)\cdot3=12-12=0$ → orthogonal au vecteur normal $(3,-4)$, donc bien directeur. --- ### Exercice 4 Une droite $D$ passe par le point $P(-1,2)$ et possède pour vecteur directeur $\vec{v}=(5,-3)$. 1. Écrire l’équation paramétrique de $D$. 2. Déduire l’équation cartésienne de $D$. **Corrigé** : 1. Forme paramétrique : $$ \begin{cases} x = -1 + 5t\\ y = 2 - 3t \end{cases}\qquad t\in\mathbb{R}. $$ 2. Pour éliminer $t$, de la première équation $t=\dfrac{x+1}{5}$. Substituer dans la seconde : $$ y = 2 -3\left(\dfrac{x+1}{5}\right)=2-\dfrac{3}{5}x-\dfrac{3}{5}=\dfrac{10-3}{5}-\dfrac{3}{5}x=\dfrac{7}{5}-\dfrac{3}{5}x. $$ Multiplier par $5$ : $5y = 7 -3x$, soit $3x+5y-7=0$. Équation cartésienne : $\boxed{3x+5y-7=0}$. --- ### Exercice 5 Soient les droites $D_1: 2x+3y-6=0$ et $D_2: -4x-6y+10=0$. Montrer que $D_1$ et $D_2$ sont parallèles. **Corrigé** : Un vecteur directeur de $D_1$ est $\vec{v}_1=(-b,\,a)=(-3,\,2)$. Un vecteur directeur de $D_2$ est $\vec{v}_2=(-(-6),\,-4)=(6,\,-4)$. On remarque que $\vec{v}_2 = -2\vec{v}_1$ (puisque $-2(-3,2)=(6,-4)$). Comme $\vec{v}_2$ est un multiple scalaire de $\vec{v}_1$, les deux vecteurs sont colinéaires ; donc d’après la propriété 2, $D_1\parallel D_2$. --- ### Exercice 6 (défi) Soit $A(2,-1)$, $B(5,2)$ et $C(8,5)$. 1. Vérifier que $A$, $B$, $C$ sont alignés. 2. Déterminer l’équation de la droite $(ABC)$ sous forme paramétrique et cartésienne. **Corrigé** : 1. $\overrightarrow{AB}=(5-2,\,2-(-1))=(3,3)$. $\overrightarrow{AC}=(8-2,\,5-(-1))=(6,6)$. Déterminant : $\det\begin{pmatrix}3&6\\3&6\end{pmatrix}=3\cdot6-6\cdot3=18-18=0$ → colinéarité → alignement. 2. Puisque $\overrightarrow{AB}=(3,3)$ est un vecteur directeur, on peut prendre $\vec{v}=(1,1)$ après simplification. Forme paramétrique avec point $A$ : $$ \begin{cases} x = 2 + t\\ y = -1 + t \end{cases}\qquad t\in\mathbb{R}. $$ Pour l’équation cartésienne, éliminons $t$ : $t=x-2$. Substituer dans $y=-1+t$ donne $y=-1+(x-2)=x-3$. Ainsi l’équation cartésienne est $\boxed{y=x-3}$ ou, sous forme standard, $x-y-3=0$. --- ## Erreurs fréquentes | Erreur fréquente | Explication | Comment l’éviter | |------------------|-------------|------------------| | Confondre colinéarité avec orthogonalité | Certains élèves pensent que un déterminant nul signifie que les vecteurs sont perpendiculaires. | Rappeler que le déterminant nul teste la colinéarité ; l’orthogonalité se teste avec le produit scalaire $x_1x_2+y_1y_2=0$. | | Oublier le cas du vecteur nul | Certains élèves pensent que le vecteur nul est colinéaire à tout vecteur, alors qu’il n’est colinéaire qu’avec le vecteur nul lui-même. | Se rappeler que la définition $\exists k\in\mathbb{R}$ : $\vec{v}=k\vec{u}$ implique que si $\vec{u}=\vec{0}$ alors $\vec{v}$ doit être $\vec{0}$ pour que la relation tienne. | | Utiliser le mauvais signe pour le vecteur directeur d’une droite $ax+by+c=0$ | Donner $(a,b)$ comme directeur alors que c’est le vecteur normal. | Mémoriser la règle : directeur = $(-b,\,a)$ (ou tout multiple). | | Oublier de simplifier le vecteur directeur | Donner un directeur comme $(6,9)$ alors que $(2,3)$ suffit et évite les fractions inutiles. | Toujours réduire le directeur en divisant par le pgcd des coordonnées (si elles sont entières). | | Faire une erreur d’élimination du paramètre $t$ lors du passage de la forme paramétrique à la forme cartésienne | Substituer mal $t$ ou oublier de multiplier par le dénominateur, menant à une équation incorrecte. | Isoler $t$ d’une équation, substituer dans l’autre, puis simplifier étape par étape, en vérifiant que le résultat satisfait les deux équations initiales. | | Confondre parallélisme et coincidence | Dire que deux droites sont parallèles alors qu’elles sont confondues (même droite). | Vérifier si un point de l’une appartient à l’autre ; si oui, elles sont confondues, sinon strictement parallèles. | --- *Ce cours a été conçu pour être étudié de façon autonome. Chaque notion est définie, démontrée et illustrée par des exemples gradués, puis renforcée par des exercices typés BEPC et des rappels des pièges à éviter. Bon travail et bonne réussite à l’examen !*