Homothétie

## Objectifs et prérequis **Objectifs** : À la fin de ce chapitre, l’élève pourra - définir une homothétie, identifier son centre et son rapport ; - déterminer l’image d’un point par une homothétie donnée ; - distinguer les cas d’agrandissement ($|k|>1$) et de réduction ($0<|k|<1$) ; - appliquer les propriétés de l’homothétie pour prouver la parallélisme de droites, la similitude de figures et calculer des longueurs ; - résoudre des problèmes géométriques usuels du BEPC en utilisant l’homothétie. **Prérequis** : notions de vecteurs ($\overrightarrow{AB}$), de parallélisme, de rapports de longueurs sur une droite, et de similitude de triangles (critère AA). --- ### Introduction contextualisée L’homothétie apparaît naturellement lorsqu’on agrandit ou réduit une figure tout en conservant sa forme : penser à la projection d’une ombre sur un écran, à la reproduction d’un plan à l’échelle, ou encore à la zoom d’une image sur un écran. En géométrie plane, elle fournit un outil puissant pour établir des rapports de longueurs et prouver que deux figures sont semblables sans recourir à la trigonométrie. Au programme du BEPC, les leçons 45 et 46 introduisent respectivement la définition de l’image d’un point et les notions d’agrandissement et de réduction, compétences essentielles pour les épreuves de résolution de problèmes. --- ## I. Leçon 45 : Image d’un point par une homothétie ### Définition > Une homothétie de centre $O$ et de rapport $k\;(k\neq0)$ est l’application $h_{O,k}$ qui associe à tout point $M\neq O$ le point $M'$ tel que > $$\overrightarrow{OM'} = k\,\overrightarrow{OM}.$$ > Le point $O$ est invariant : $h_{O,k}(O)=O$. ### Propriétés fondamentales 1. **Alignement** : $O$, $M$, $M'$ sont alignés. 2. **Rapport de longueurs** : $\dfrac{OM'}{OM}=|k|$. 3. **Sens** : si $k>0$, $M$ et $M'$ sont du même côté de $O$ ; si $k<0$, ils sont de côtés opposés. 4. **Composition** : $h_{O,k_2}\circ h_{O,k_1}=h_{O,k_1k_2}$. ### Démonstration de la propriété de parallélisme Soient $A,B$ deux points distincts de $O$ et leurs images $A',B'$ par $h_{O,k}$. $$\overrightarrow{OA'} = k\overrightarrow{OA},\quad \overrightarrow{OB'} = k\overrightarrow{OB}.$$ Alors $$\overrightarrow{A'B'} = \overrightarrow{OB'}-\overrightarrow{OA'} = k(\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}) = k\overrightarrow{AB}.$$ Puisque $\overrightarrow{A'B'}$ est un scalaire non nul fois $\overrightarrow{AB}$, les droites $(AB)$ et $(A'B')$ sont parallèles. ### Exemple 1 (simple) Soit $O(0,0)$, $k=2$ et $M(3,4)$. $$\overrightarrow{OM} = \begin{pmatrix}3\\4\end{pmatrix},\quad \overrightarrow{OM'} = 2\begin{pmatrix}3\\4\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}6\\8\end{pmatrix}.$$ Donc $M'(6,8)$. ### Exemple 2 (délicat) Soit l’homothétie de centre $O(1,2)$ et de rapport $k=-\dfrac13$. Trouver l’image de $M(7,5)$. $$\overrightarrow{OM}= \begin{pmatrix}7-1\\5-2\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}6\\3\end{pmatrix}.$$ $$\overrightarrow{OM'} = -\frac13\begin{pmatrix}6\\3\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}-2\\-1\end{pmatrix}.$$ Puis $M' = O + \overrightarrow{OM'} = (1-2,\,2-1)=(-1,1)$. --- ## II. Leçon 46 : Agrandissement ; réduction ### Définition des cas > Une homothétie $h_{O,k}$ est un **agrandissement** si $|k|>1$, une **réduction** si $0<|k|<1$. > Lorsque $k<0$, on parle d’homothétie avec renversement (symétrie centrale suivie d’un agrandissement/réduction). ### Propriétés liées au facteur $k$ - **Longueurs** : toute longueur du figure image vaut $|k|$ fois la longueur correspondante de la figure initiale. - **Aires** : l’aire de la figure image vaut $k^{2}$ fois l’aire de la figure initiale (puisque l’aire varie au carré du rapport de similitude). - **Angles** : les angles sont préservés (mesure identique) car l’homothétie est une similitude directe ou indirecte. ### Démonstration du rapport d’aires Soit un triangle $ABC$ d’aire $\mathcal{A}$ et son image $A'B'C'$ par $h_{O,k}$. Les côtés vérifient $A'B' = |k|\,AB$, $B'C' = |k|\,BC$, $C'A' = |k|\,CA$. En utilisant la formule de l’aire par le produit de deux côtés et le sinus de l’angle inclus, $$\mathcal{A}' = \frac12 |A'B'|\;|B'C'|\;\sin\widehat{B'} = \frac12 (|k|AB)(|k|BC)\sin\widehat{B}=k^{2}\mathcal{A}.$$ ### Exemple 1 (agrandissement) Un segment $[AB]$ mesure $5$ cm. On applique l’homothétie de centre $A$ et de rapport $k=3$. Longueur du segment image : $A'B' = |k|\cdot AB = 3\times5 = 15$ cm. ### Exemple 2 (réduction avec renversement) Un triangle $ABC$ a pour aire $24$ cm². On applique l’homothétie de centre $O$ et de rapport $k=-\dfrac12$. Aire de l’image : $\mathcal{A}' = k^{2}\mathcal{A}= \left(-\dfrac12\right)^{2}\times24 = \dfrac14\times24 = 6$ cm². Le signe négatif indique un renversement (symétrie centrale) mais l’aire dépend uniquement de $k^{2}$. --- ## Synthèse du chapitre - **Homothétie** : application $h_{O,k}$ définie par $\overrightarrow{OM'} = k\overrightarrow{OM}$. - **Centre** : point invariant $O$. - **Rapport** : $k\neq0$ ; $|k|$ donne le facteur d’échelle des longueurs. - **Agrandissement** : $|k|>1$ ; **Réduction** : $0<|k|<1$. - **Propriétés** : alignement, parallélisme des droites correspondantes, préservation des angles, aires multipliées par $k^{2}$. - **Formules clés** : > $\overrightarrow{OM'} = k\overrightarrow{OM}$ > $\dfrac{OM'}{OM}=|k|$ > $\mathcal{A}' = k^{2}\mathcal{A}$ --- ## Glossaire - **Homothétie** : transformation qui envoie chaque point $M$ sur un point $M'$ aligné avec le centre $O$ tel que $\overrightarrow{OM'}=k\overrightarrow{OM}$. - **Centre d’homothétie** : point fixe $O$ de la transformation. - **Rapport** : réel $k\neq0$ qui mesure l’échelle de la transformation. - **Agrandissement** : cas où $|k|>1$ (la figure s’élargit). - **Réduction** : cas où $0<|k|<1$ (la figure se rétrécit). - **Symétrie centrale** : homothétie de rapport $k=-1$. - **Similitude** : relation entre deux figures ayant mêmes angles et côtés proportionnels ; l’homothétie en est un cas particulier. - **Échelle** : valeur de $|k|$ utilisée pour passer d’une longueur réelle à sa représentation sur un plan. --- ## Exercices d'application corrigés ### Exercice 1 Soit l’homothétie $h_{O,2}$ avec $O(0,0)$. Trouver l’image du point $P( -3, 4 )$. **Corrigé** : $\overrightarrow{OP}= \begin{pmatrix}-3\\4\end{pmatrix}$. $\overrightarrow{OP'} = 2\overrightarrow{OP}= \begin{pmatrix}-6\\8\end{pmatrix}$. Donc $P'(-6,8)$. --- ### Exercice 2 Un triangle $ABC$ a pour côtés $AB=6$ cm, $BC=8$ cm, $CA=10$ cm. On applique l’homothétie de centre $A$ et de rapport $k=\dfrac12$. Calculer le périmètre du triangle image $A'B'C'$. **Corrigé** : Chaque côté est multiplié par $|k|=\dfrac12$. $A'B' = \dfrac12\cdot6 = 3$ cm, $B'C' = \dfrac12\cdot8 = 4$ cm, $C'A' = \dfrac12\cdot10 = 5$ cm. Périmètre $=3+4+5=12$ cm. --- ### Exercice 3 Soit l’homothétie $h_{O,-3}$ où $O(2,-1)$. Déterminer les coordonnées de l’image de $M(5,2)$. **Corrigé** : $\overrightarrow{OM}= \begin{pmatrix}5-2\\2-(-1)\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}3\\3\end{pmatrix}$. $\overrightarrow{OM'} = -3\begin{pmatrix}3\\3\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}-9\\-9\end{pmatrix}$. $M' = O + \overrightarrow{OM'} = (2-9,\,-1-9)=(-7,-10)$. --- ### Exercice 4 Un carré de côté $4$ cm est soumis à une homothétie de centre son centre et de rapport $k=-\dfrac23$. Quelle est l’aire du carré image ? **Corrigé** : L’aire du carré initial : $A_0 = 4^{2}=16$ cm². L’aire varie au carré du rapport : $A' = k^{2}A_0 = \left(-\dfrac23\right)^{2}\times16 = \dfrac49\times16 = \dfrac{64}{9}\approx7,11$ cm². --- ### Exercice 5 Dans le plan, on considère l’homothétie $h_{O,5}$ avec $O(1,1)$. Montrer que l’image de la droite $d:\; y = 2x + 3$ est une droite parallèle à $d$ et déterminer son équation. **Corrigé** : Prenons un point générique $M(x, y)$ sur $d$, donc $y=2x+3$. Vecteur $\overrightarrow{OM}= \begin{pmatrix}x-1\\ y-1\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}x-1\\ 2x+2\end{pmatrix}$. Image : $\overrightarrow{OM'} = 5\overrightarrow{OM}= \begin{pmatrix}5(x-1)\\5(2x+2)\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}5x-5\\10x+10\end{pmatrix}$. Soit $M'(X,Y)$ l’image. Alors $X = 5x-5 \;\Rightarrow\; x = \dfrac{X+5}{5}$, $Y = 10x+10 = 10\left(\dfrac{X+5}{5}\right)+10 = 2(X+5)+10 = 2X+20$. Ainsi l’ensemble des points $M'$ vérifie $Y = 2X + 20$, soit $y = 2x + 20$. Le coefficient directeur est identique à celui de $d$ ($2$) ; les droites sont donc parallèles. --- ## Erreurs fréquentes 1. **Confondre le signe de $k$ avec le sens de l’agrandissement** : certains élèves pensent que $k<0$ entraîne toujours une réduction. En réalité, $|k|$ détermine l’échelle ; le signe indique seulement un renversement (symétrie centrale). 2. **Oublier que le centre est invariant** : ils appliquent la formule $\overrightarrow{OM'} = k\overrightarrow{OM}$ même lorsque $M=O$, ce qui donnerait $\overrightarrow{OO}=k\overrightarrow{OO}$ (vrai) mais oublient de vérifier que $O$ reste fixé. 3. **Mauvaise utilisation du rapport d’aires** : ils multiplient l’aire par $k$ au lieu de $k^{2}$. Rappeler que l’aire varie au carré du facteur d’échelle. 4. **Erreur de calcul du vecteur** : confondre $\overrightarrow{OM}$ avec $\overrightarrow{MO}$ ou inverser les coordonnées lors du soustraction. Toujours faire $\overrightarrow{OM}= M - O$. 5. **Ne pas vérifier le parallélisme** : lorsqu’on montre que deux droites sont parallèles par homothétie, certains oublient de démontrer que le vecteur directeur est multiplié par un scalaire non nul. Insister sur l’étape $\overrightarrow{A'B'} = k\overrightarrow{AB}$. --- *Fin du cours.*