Polygones réguliers

## Objectifs et prérequis **Objectifs** : à la fin de ce chapitre, l’élève sera capable de - reconnaître un polygone régulier et en identifier les éléments caractéristiques (centre, rayon circonscrit, rayon inscrit, côté) ; - démontrer les formules de l’angle intérieur, du périmètre et de l’aire des polygones réguliers les plus usuels (triangle équilatéral, carré, hexagone régulier, octogone régulier) ; - appliquer ces formules à la résolution de problèmes géométriques (construction, mesure, optimisation) ; - expliquer les relations entre le rayon circonscrit \(R\), le rayon inscrit \(r\) et le côté \(a\) pour chaque polygone étudié. **Prérequis** : notions de polygone, de somme des angles intérieurs d’un polygone (\((n-2)180^\circ\)), de théorème de Pythagore, de trigonométrie de base (sinus, cosinus d’angles remarquables) et de calcul d’aire des triangles et des carrés. --- ## Introduction contextualisée Les polygones réguliers apparaissent partout dans l’environnement : les panneaux de signalisation hexagonaux, les carreaux carrés d’une cuisine, les nids d’abeilles (hexagones) ou encore les structures en treillis métallique formant des octogones. Leur étude permet de comprendre pourquoi certaines formes sont privilégiées en architecture ou en ingénierie : elles offrent une répartition homogène des contraintes et une simplicité de calcul. Au programme du BEPC, nous nous concentrons sur les quatre cas les plus fréquents : le triangle équilatéral, le carré, l’hexagone régulier et l’octogone régulier. --- ## I. Polygones réguliers particuliers : triangle équilatéral et hexagone régulier ### 1. Triangle équilatéral > **Définition** : Un triangle équilatéral est un polygone régulier à trois côtés égaux et trois angles égaux à \(60^\circ\). **Propriétés** - Tous les côtés ont la même longueur \(a\). - Les hauteurs, médianes, bissectrices et médianes perpendiculaires coïncident. - Le centre du cercle circonscrit et celui du cercle inscrit sont confondus (point de concurrence des médianes). **Relations entre \(a\), \(R\) (rayon circonscrit) et \(r\) (rayon inscrit)** L’angle central vaut \(\frac{360^\circ}{3}=120^\circ\). Considérons le triangle isocèle \(OAB\) formé par le centre \(O\) et deux sommets consécutifs \(A\) et \(B\) ; \(OA=OB=R\), \(AB=a\) et \(\angle AOB=120^\circ\). En appliquant la loi des cosinus : \[ a^{2}=R^{2}+R^{2}-2R^{2}\cos120^\circ = 2R^{2}\bigl(1-(-\tfrac12)\bigr)=3R^{2}\quad\Longrightarrow\quad a=R\sqrt{3}. \] Donc \[ R=\frac{a}{\sqrt{3}}. \] Le rayon inscrit (apothème) vaut la distance du centre au milieu d’un côté : \[ r=R\cos\frac{120^\circ}{2}=R\cos60^\circ=R\cdot\frac12=\frac{R}{2}=\frac{a}{2\sqrt{3}}=\frac{a\sqrt{3}}{6}. \] **Formules** - Périmètre : \(P = 3a\). - Aire : \(A = \dfrac{\sqrt{3}}{4}a^{2}\) (dérivée de \(A = \frac12 \cdot a \cdot h\) avec \(h = \frac{\sqrt{3}}{2}a\)). **Exemple 1** : Un triangle équilatéral de côté \(a = 6\) cm. - Périmètre : \(P = 3\times6 = 18\) cm. - Rayon circonscrit : \(R = \dfrac{6}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{3}\) cm ≈ 3,46 cm. - Rayon inscrit : \(r = \dfrac{6\sqrt{3}}{6} = \sqrt{3}\) cm ≈ 1,73 cm. - Hauteur : \(h = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\times6 = 3\sqrt{3}\) cm ≈ 5,20 cm. - Aire : \(A = \dfrac{\sqrt{3}}{4}\times6^{2}= \dfrac{\sqrt{3}}{4}\times36 = 9\sqrt{3}\) cm² ≈ 15,59 cm². **Exemple 2** : On connaît le rayon inscrit \(r = 4\) cm. Trouver le côté et l’aire. D’après \(r = \dfrac{a\sqrt{3}}{6}\) ⇒ \(a = \dfrac{6r}{\sqrt{3}} = \dfrac{24}{\sqrt{3}} = 8\sqrt{3}\) cm ≈ 13,86 cm. Périmètre : \(P = 3a = 24\sqrt{3}\) cm ≈ 41,57 cm. Aire : \(A = \dfrac{\sqrt{3}}{4}a^{2}= \dfrac{\sqrt{3}}{4}\times(8\sqrt{3})^{2}= \dfrac{\sqrt{3}}{4}\times192 = 48\sqrt{3}\) cm² ≈ 83,14 cm². ### 2. Hexagone régulier > **Définition** : Un hexagone régulier est un polygone régulier à six côtés égaux et six angles égaux à \(120^\circ\). **Propriétés** - Il peut être décomposé en six triangles équilatéraux de côté égal au côté de l’hexagone. - Le centre du cercle circonscrit coïncide avec celui du cercle inscrit. **Relations** Soit \(a\) le côté, \(R\) le rayon circonscrit, \(r\) le rayon inscrit. Chaque triangle formé par le centre et deux sommets consécutifs est isocèle avec angle au sommet \(60^\circ\) (puisque l’angle central vaut \(360^\circ/6 = 60^\circ\)). Dans ce triangle, la base vaut \(a\) et les côtés égaux valent \(R\). En appliquant la loi des cosinus : \[ a^{2}=R^{2}+R^{2}-2R^{2}\cos 60^\circ = 2R^{2}(1-\tfrac12)=R^{2}\quad\Longrightarrow\quad a = R . \] Le rayon inscrit correspond à la hauteur de ce triangle équilatéral : \[ r = R\cos 30^\circ = R\frac{\sqrt{3}}{2}= a\frac{\sqrt{3}}{2}. \] **Formules** - Périmètre : \(P = 6a\). - Aire : comme somme de six triangles équilatéraux : \[ A = 6\cdot\frac{\sqrt{3}}{4}a^{2}= \frac{3\sqrt{3}}{2}a^{2}. \] **Exemple 1** : Hexagone de côté \(a = 5\) cm. - Périmètre : \(P = 6\times5 = 30\) cm. - Rayon circonscrit : \(R = a = 5\) cm. - Rayon inscrit : \(r = \frac{\sqrt{3}}{2}\times5 = \frac{5\sqrt{3}}{2}\) cm ≈ 4,33 cm. - Aire : \(A = \frac{3\sqrt{3}}{2}\times5^{2}= \frac{3\sqrt{3}}{2}\times25 = \frac{75\sqrt{3}}{2}\) cm² ≈ 64,95 cm². **Exemple 2** : On connaît le rayon inscrit \(r = 3\) cm. Déterminer le côté et l’aire. D’après \(r = a\frac{\sqrt{3}}{2}\) ⇒ \(a = \frac{2r}{\sqrt{3}} = \frac{6}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{3}\) cm ≈ 3,46 cm. Périmètre : \(P = 6a = 12\sqrt{3}\) cm ≈ 20,78 cm. Aire : \(A = \frac{3\sqrt{3}}{2}a^{2}= \frac{3\sqrt{3}}{2}\times(2\sqrt{3})^{2}= \frac{3\sqrt{3}}{2}\times12 = 18\sqrt{3}\) cm² ≈ 31,18 cm². --- ## II. Polygones réguliers particuliers : carré et octogone régulier ### 1. Carré > **Définition** : Un carré est un polygone régulier à quatre côtés égaux et quatre angles droits (\(90^\circ\)). **Propriétés** - Les diagonales sont égales, se coupent perpendiculairement en leur milieu et bissectent les angles. - Le centre du cercle circonscrit et celui du cercle inscrit coïncident avec l’intersection des diagonales. **Relations** Soit \(a\) le côté, \(R\) le rayon circonscrit (distance du centre à un sommet) et \(r\) le rayon inscrit (distance du centre à un côté). Le demi-diagonal vaut \(\frac{a\sqrt{2}}{2}\) ; il est égal à \(R\). Donc \[ R = \frac{a\sqrt{2}}{2}. \] Le rayon inscrit vaut simplement la moitié du côté : \[ r = \frac{a}{2}. \] **Formules** - Périmètre : \(P = 4a\). - Aire : \(A = a^{2}\). - Longueur d’une diagonale : \(d = a\sqrt{2}\). **Exemple 1** : Carré de côté \(a = 7\) cm. - Périmètre : \(P = 28\) cm. - Rayon circonscrit : \(R = \frac{7\sqrt{2}}{2}\) cm ≈ 4,95 cm. - Rayon inscrit : \(r = 3,5\) cm. - Aire : \(A = 49\) cm². - Diagonale : \(d = 7\sqrt{2}\) cm ≈ 9,90 cm. **Exemple 2** : On connaît le rayon inscrit \(r = 4\) cm. Trouver le côté, le périmètre et l’aire. Puisque \(r = a/2\) ⇒ \(a = 2r = 8\) cm. Périmètre : \(P = 4\times8 = 32\) cm. Aire : \(A = 8^{2}=64\) cm². ### 2. Octogone régulier > **Définition** : Un octogone régulier est un polygone régulier à huit côtés égaux et huit angles égaux à \(135^\circ\). **Propriétés** - Il peut être vu comme un carré auquel on ajoute quatre triangles isocèles rectangles aux coins. - Le centre du cercle circonscrit coïncide avec celui du cercle inscrit. **Relations** Soit \(a\) le côté, \(R\) le rayon circonscrit, \(r\) le rayon inscrit. L’angle central vaut \(\frac{360^\circ}{8}=45^\circ\). Considérons le triangle isocèle formé par le centre et deux sommets consécutifs ; ses côtés égaux valent \(R\) et sa base vaut \(a\). En appliquant la loi des cosinus : \[ a^{2}=R^{2}+R^{2}-2R^{2}\cos 45^\circ = 2R^{2}\bigl(1-\tfrac{\sqrt{2}}{2}\bigr)=R^{2}(2-\sqrt{2}). \] Donc \[ a = R\sqrt{2-\sqrt{2}}\quad\Longleftrightarrow\quad R = \frac{a}{\sqrt{2-\sqrt{2}}}. \] Le rayon inscrit vaut la distance du centre au milieu d’un côté : \[ r = R\cos\frac{45^\circ}{2}=R\cos22,5^\circ = R\frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}. \] En éliminant \(R\) entre les deux expressions, on obtient également \[ r = \frac{a}{2}\bigl(1+\sqrt{2}\bigr). \] **Formules** - Périmètre : \(P = 8a\). - Aire : l’octogone peut être décomposé en un carré central de côté \(a\sqrt{2}\) et quatre triangles isocèles rectangles de côtés \(a\) et \(a\). Une dérivation donne \[ A = 2(1+\sqrt{2})a^{2}. \] (On peut aussi écrire \(A = 2R^{2}(1+\sqrt{2})\).) **Exemple 1** : Octogone de côté \(a = 4\) cm. - Périmètre : \(P = 8\times4 = 32\) cm. - Rayon circonscrit : \(R = \dfrac{a}{\sqrt{2-\sqrt{2}}}= \dfrac{4}{\sqrt{2-\sqrt{2}}}\). En calcul numérique, \(\sqrt{2-\sqrt{2}}\approx0,765\) ⇒ \(R\approx5,23\) cm. - Rayon inscrit : \(r = \dfrac{a}{2}(1+\sqrt{2}) = 2(1+1,414)=2\times2,414\approx4,83\) cm. - Aire : \(A = 2(1+\sqrt{2})\times4^{2}=2(1+1,414)\times16=2\times2,414\times16\approx77,25\) cm². **Exemple 2** : On connaît le rayon inscrit \(r = 5\) cm. Déterminer le côté et l’aire. D’après \(r = \dfrac{a}{2}(1+\sqrt{2})\) ⇒ \(a = \dfrac{2r}{1+\sqrt{2}} = \dfrac{10}{1+\sqrt{2}}\). Rationaliser : \(a = 10(\sqrt{2}-1)\) cm ≈ 4,14 cm. Périmètre : \(P = 8a = 80(\sqrt{2}-1)\) cm ≈ 33,14 cm. Aire : \(A = 2(1+\sqrt{2})a^{2}=2(1+\sqrt{2})\bigl[10(\sqrt{2}-1)\bigr]^{2}=2(1+\sqrt{2})\times100(\sqrt{2}-1)^{2}\). Comme \((\sqrt{2}-1)^{2}=3-2\sqrt{2}\), on obtient \(A = 200(1+\sqrt{2})(3-2\sqrt{2}) = 200(\sqrt{2}-1)\) cm² ≈ 82,84 cm². --- ## III. Activités d’intégration **Objectif** : mettre en relation les quatre polygones étudiés afin de résoudre un problème de conception réelle. **Énoncé** : Un architecte souhaite couvrir une salle carrée de côté 12 m avec un revêtement constitué de dalles hexagonales régulières de même aire que le carré. Quelle doit être la longueur du côté de chaque dalle hexagonale ? **Résolution** : 1. Aire du carré : \(A_{\text{carré}} = 12^{2}=144\) m². 2. Aire d’un hexagone régulier de côté \(a\) : \(A_{\text{hex}} = \dfrac{3\sqrt{3}}{2}a^{2}\). 3. Égalons les aires : \(\dfrac{3\sqrt{3}}{2}a^{2}=144\). 4. \(a^{2}= \dfrac{144\times2}{3\sqrt{3}}= \dfrac{288}{3\sqrt{3}}= \dfrac{96}{\sqrt{3}}= 96\cdot\frac{\sqrt{3}}{3}=32\sqrt{3}\). 5. \(a = \sqrt{32\sqrt{3}} = \sqrt{32}\cdot\sqrt[4]{3}= 4\sqrt{2}\cdot\sqrt[4]{3}\). Approximation numérique : \(\sqrt{32}\approx5,657\), \(\sqrt[4]{3}\approx1,316\) ⇒ \(a\approx7,45\) m. Ainsi, chaque dalle hexagonale doit avoir un côté d’environ **7,45 m** pour couvrir exactement la même surface que le carré de 12 m de côté. --- ## Synthèse du chapitre - **Polygone régulier** : tous les côtés égaux, tous les angles égaux. - **Triangle équilatéral** : \(R = \dfrac{a}{\sqrt{3}}\), \(r = \dfrac{a\sqrt{3}}{6} = \dfrac{R}{2}\), \(P=3a\), \(A=\dfrac{\sqrt{3}}{4}a^{2}\). - **Hexagone régulier** : \(a = R\), \(r = \dfrac{\sqrt{3}}{2}a\), \(P=6a\), \(A=\dfrac{3\sqrt{3}}{2}a^{2}\). - **Carré** : \(R = \dfrac{a\sqrt{2}}{2}\), \(r = \dfrac{a}{2}\), \(P=4a\), \(A=a^{2}\), \(d=a\sqrt{2}\). - **Octogone régulier** : \(a = R\sqrt{2-\sqrt{2}}\), \(r = \dfrac{a}{2}(1+\sqrt{2}) = R\dfrac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}\), \(P=8a\), \(A=2(1+\sqrt{2})a^{2}\). > **À retenir** : la relation entre côté, rayon circonscrit et rayon inscrit dépend de l’angle central \(\frac{360^\circ}{n}\) ; on l’obtient toujours par la loi des cosinus dans le triangle formé par le centre et deux sommets consécutifs. > **À retenir** : pour un triangle équilatéral, la hauteur vaut \(\frac{\sqrt{3}}{2}a\) et l’aire \(\frac{\sqrt{3}}{4}a^{2}\). > **À retenir** : dans un hexagone régulier, le côté égale le rayon circonscrit ; l’aire vaut six fois l’aire d’un triangle équilatéral de même côté. > **À retenir** : le carré est le seul polygone régulier dont le rayon inscrit vaut exactement la moitié du côté. > **À retenir** : l’aire d’un octogone régulier s’exprime sous la forme \(2(1+\sqrt{2})a^{2}\), résultat de la décomposition en un carré central et quatre triangles isocèles rectangles. --- ## Glossaire - **Polygone régulier** : polygone dont tous les côtés sont égaux et tous les angles égaux. - **Rayon circonscrit (R)** : distance du centre du polygone à l’un de ses sommets. - **Rayon inscrit (r)** : distance du centre du polygone au milieu d’un de ses côtés. - **Angle central** : angle formé au centre par deux rayons menant à deux sommets consécutifs ; vaut \(\frac{360^\circ}{n}\). - **Apothème** : synonyme de rayon inscrit dans le contexte des polygones réguliers. - **Périmètre** : somme des longueurs de tous les côtés. - **Aire** : mesure de la surface intérieure du polygone. - **Diagonale** : segment joignant deux sommets non consécutifs. --- ## Exercices d'application corrigés ### Exercice 1 Un triangle équilatéral a un périmètre de 24 cm. Calculer son aire. **Corrigé** - Côté : \(a = \frac{P}{3}= \frac{24}{3}=8\) cm. - Aire : \(A = \frac{\sqrt{3}}{4}a^{2}= \frac{\sqrt{3}}{4}\times64 = 16\sqrt{3}\) cm² ≈ 27,71 cm². ### Exercice 2 Un hexagone régulier possède un rayon inscrit de 6 cm. Déterminer la longueur de son côté et son périmètre. **Corrigé** - Relation : \(r = \frac{\sqrt{3}}{2}a\) ⇒ \(a = \frac{2r}{\sqrt{3}} = \frac{12}{\sqrt{3}} = 4\sqrt{3}\) cm ≈ 6,93 cm. - Périmètre : \(P = 6a = 24\sqrt{3}\) cm ≈ 41,57 cm. ### Exercice 3 Le côté d’un carré vaut 9 cm. Trouver la longueur de sa diagonale et le rayon du cercle circonscrit. **Corrigé** - Diagonale : \(d = a\sqrt{2}=9\sqrt{2}\) cm ≈ 12,73 cm. - Rayon circonscrit : \(R = \frac{a\sqrt{2}}{2}= \frac{9\sqrt{2}}{2}\) cm ≈ 6,36 cm. ### Exercice 4 Un octogone régulier a un côté de 5 cm. Calculer son aire (en cm²) en donnant une valeur exacte sous forme de radical. **Corrigé** - Formule : \(A = 2(1+\sqrt{2})a^{2}\). - Substitution : \(A = 2(1+\sqrt{2})\times5^{2}= 2(1+\sqrt{2})\times25 = 50(1+\sqrt{2})\) cm². ### Exercice 5 Un jardin a la forme d’un hexagone régulier de côté 4 m. On veut le entourer d’une clôture placée à 0,5 m du côté (c’est‑à‑dire un hexagone similaire mais dont chaque côté est parallèle et éloigné de 0,5 m). Quelle est la longueur de la clôture ? **Corrigé** - L’hexagone extérieur est homothétique à l’intérieur avec un facteur d’échelle \(k = \frac{a+2d}{a}\) où \(d=0,5\) m est l’écart perpendiculaire. - Pour un hexagone régulier, l’écart perpendiculaire entre deux côtés parallèles équivaut à l’apothème : \(r = \frac{\sqrt{3}}{2}a\). - L’apothème intérieur : \(r_i = \frac{\sqrt{3}}{2}\times4 = 2\sqrt{3}\) m. - L’apothème extérieur : \(r_o = r_i + 0,5 = 2\sqrt{3}+0,5\) m. - Comme \(r = \frac{\sqrt{3}}{2}a\) ⇒ \(a_o = \frac{2r_o}{\sqrt{3}} = \frac{2(2\sqrt{3}+0,5)}{\sqrt{3}} = 4 + \frac{1}{\sqrt{3}}\) m. - Périmètre extérieur : \(P_o = 6a_o = 6\left(4 + \frac{1}{\sqrt{3}}\right)= 24 + \frac{6}{\sqrt{3}} = 24 + 2\sqrt{3}\) m ≈ 27,46 m. ### Exercice 6 On désire construire une fenêtre octogonale régulière dont l’aire doit être exactement 200 dm². Déterminer la longueur du côté (en dm) en donnant une valeur décimale approchée au millimètre près. **Corrigé** - Formule : \(A = 2(1+\sqrt{2})a^{2}\). - On pose \(200 = 2(1+\sqrt{2})a^{2}\) ⇒ \(a^{2}= \frac{200}{2(1+\sqrt{2})}= \frac{100}{1+\sqrt{2}}\). - Rationaliser : \(\frac{100}{1+\sqrt{2}} = \frac{100(1-\sqrt{2})}{(1+\sqrt{2})(1-\sqrt{2})}= \frac{100(1-\sqrt{2})}{-1}= 100(\sqrt{2}-1)\). - Donc \(a = \sqrt{100(\sqrt{2}-1)} = 10\sqrt{\sqrt{2}-1}\). - Valeur numérique : \(\sqrt{2}\approx1,4142\) ⇒ \(\sqrt{2}-1\approx0,4142\). \(\sqrt{0,4142}\approx0,6436\). - \(a \approx 10\times0,6436 = 6,436\) dm ≈ **6,44 dm** (arrondi au millimètre). --- ## Erreurs fréquentes | Erreur fréquente | Pourquoi elle se produit | Comment l’éviter | |------------------|--------------------------|------------------| | Confondre le rayon inscrit avec l’apothème dans les formules d’aire | L’apothème est parfois présenté comme hauteur d’un triangle, mais on oublie qu’il vaut \(r\) seulement pour les polygones réguliers. | Toujours vérifier que l’on travaille avec le rayon inscrit (distance centre‑côté) et non avec la hauteur d’un triangle quelconque. | | Utiliser \(a = R\) pour l’hexagone alors que la relation vaut seulement pour le triangle équilatéral | On généralise trop vite la propriété du triangle équilatéral à tous les polygones réguliers. | Re‑dérégler la relation à partir de l’angle central : \(a = 2R\sin(\frac{180^\circ}{n})\). | | Oublier de convertir les unités lorsqu’on mélange mètres, centimètres ou décimètres | Les exercices du BEPC mélangent souvent les unités ; l’erreur conduit à un facteur de 10 ou 100 de différence. | Écrire systématiquement l’unité à chaque étape et convertir dès le début si nécessaire. | | Appliquer la formule d’aire du carré \(A = a^{2}\) à un rectangle non carré | Confondre carré et rectangle lorsqu’on ne vérifie pas l’égalité des côtés. | Vérifier explicitement que le polygone considéré a bien quatre côtés égaux avant d’utiliser la formule du carré. | | Utiliser la loi des cosinus avec l’angle au centre au lieu de l’angle intérieur du triangle formé | L’erreur provient d’une mauvaise identification du triangle utilisé dans la démonstration. | Dessiner le triangle centre‑deux sommets consécutifs et rappeler que son angle au sommet vaut l’angle central \(\frac{360^\circ}{n}\). | | Arrêter le calcul de la racine carrée trop tôt, perdant ainsi de la précision | Dans les exercices d’approximation, on arrête à une décimale alors que le sujet demande deux décimales. | Lire attentivement la demande de précision et garder au moins une décimale supplémentaire pendant le calcul avant d’arrondir. | --- *Fin du cours.*