Le théorème de Thalès

## Objectifs et prérequis **Objectifs** : À la fin de ce chapitre, l’élève sera capable de - énoncer précisément la propriété directe et la propriété réciproque du théorème de Thalès ; - démontrer ces deux propriétés à l’aide de raisonnements basés sur la similitude de triangles ; - identifier dans une figure les droites parallèles et les points alignés permettant d’appliquer le théorème ; - calculer des longueurs inconnues en établissant des rapports de segments ; - résoudre des problèmes de géométrie plane (partage de segments, construction de droites parallèles, détermination de hauteurs inaccessibles) en utilisant le théorème de Thalès et son réciproque ; - justifier chaque étape d’un raisonnement géométrique en faisant référence aux propriétés de droites parallèles et de triangles semblables. **Prérequis** : L’élève doit maîtriser - la notion de points alignés et de droites parallèles ; - le concept de rapport de deux longueurs (fraction) et la propriété de proportionnalité ; - la définition de deux triangles semblables (égalité des angles correspondants ou proportionalité des côtés) ; - les propriétés de base des angles alternes-internes, des angles correspondants et des angles externes lorsqu’une sécante coupe deux droites parallèles ; - la résolution d’équations du premier degré comportant des inconnues dans un rapport. > **À retenir** : Le théorème de Thalès relie la parallélisme de droites à l’égalité de rapports de segments situés sur deux sécantes. --- ## Introduction contextualisée Le théorème de Thalès, du nom du mathématicien grec Thalès de Milet (VIᵉ siècle av. J.-C.), constitue l’un des piliers de la géométrie euclidienne au collège. Il permet de passer d’une condition de parallélisme à une relation de proportionnalité entre des segments situés sur deux droites sécantes, et réciproquement. Cette double implication est extrêmement utile dans de nombreuses situations pratiques : mesure indirecte de hauteurs (arbres, bâtiments), tracé de plans à l’échelle, résolution de problèmes de partage de segments, ou encore démonstration de propriétés de figures spéciales (trapèzes, parallélogrammes). Dans le programme officiel du MINESEC/IGE pour la classe de 3ᵉ, le chapitre est découpé en deux leçons : 1. **Leçon 4 – Propriété directe de Thalès** : si deux droites sont parallèles, alors elles déterminent des rapports égaux de segments sur toute sécante les coupant. 2. **Leçon 5 – Propriété réciproque de Thalès** : si, sur deux sécantes, les rapports de segments sont égaux, alors les droites déterminées par les points d’intersection sont parallèles. Ces deux résultats sont étroitement liés à la notion de triangles semblables ; en effet, la démonstration de chaque propriété repose sur l’existence de deux triangles qui partagent un angle et dont les autres angles sont égaux grâce au parallélisme. Nous allons développer chaque leçon en détaillant l’énoncé, les définitions nécessaires, la démonstration rigoureuse, les propriétés dérivées, puis nous illustrerons le tout par des exemples gradués du plus simple au plus délicat. --- ## I. Leçon 4 : Propriété directe de Thalès ### A. Énoncé > **Propriété directe de Thalès** : Soient $d$ et $d'$ deux droites distinctes parallèles. Soient $A$, $B$, $C$ trois points alignés sur une sécante $d_1$ qui coupe $d$ en $A$ et $d'$ en $B$, et soient $A'$, $B'$, $C'$ trois points alignés sur une autre sécante $d_2$ qui coupe $d$ en $A'$ et $d'$ en $B'$. Alors > $$\frac{AB}{BC}=\frac{A'B'}{B'C'}.$$ > En d’autres termes, les rapports des segments déterminés par les deux sécantes sur les droites parallèles sont égaux. > Cette égalité reste vraie lorsque l’on considère les deux sécantes comme les côtés d’un angle et les droites parallèles comme des lignes coupant ces côtés. ### B. Définitions préalables - **Droites parallèles** : Deux droites d’un plan sont dites parallèles lorsqu’elles n’ont aucun point commun (ou lorsqu’elles coïncident). On note $d\parallel d'$. - **Sécante** : Une droite qui coupe deux droites distinctes en deux points différents. - **Rapport de deux segments** : Pour deux segments $XY$ et $ZT$ sur la même droite ou sur des droites parallèles, le rapport $\dfrac{XY}{ZT}$ est un nombre réel positif (ou nul si un des segments est de longueur nulle). > **À retenir** : Le rapport de deux segments est indépendant de l’unité de longueur choisie ; il s’agit d’un nombre pur. ### C. Démonstration Nous allons démontrer la propriété directe en utilisant la similitude de triangles. 1. **Construction** : Puisque $d\parallel d'$, les angles formés par la sécante $d_1$ avec $d$ et $d'$ sont respectivement des angles correspondants. Ainsi, $\angle A A' B = \angle B B' A'$ (angles alternes-internes). De même, avec la sécante $d_2$, on obtient $\angle A' A C = \angle B' B C$. 2. **Triangles semblables** : Considérons les triangles $\triangle AA'B$ et $\triangle BB'A'$. Ils partagent l’angle au sommet $A'$ (ou $B'$) et ont deux autres angles égaux grâce au parallélisme, donc ils sont semblables par le critère AA (angle‑angle). $$\triangle AA'B \sim \triangle BB'A'.$$ 3. **Égalité des rapports de côtés** : Dans deux triangles semblables, les rapports des côtés correspondants sont égaux. Ainsi, $$\frac{AA'}{BB'}=\frac{AB}{A'B'}.$$ De même, en considérant les triangles $\triangle AA'C$ et $\triangle BB'C'$, on obtient $$\frac{AA'}{BB'}=\frac{AC}{B'C'}.$$ 4. **Conclusion** : En égalant les deux expressions de $\dfrac{AA'}{BB'}$, on obtient $$\frac{AB}{A'B'}=\frac{AC}{B'C'}.$$ En écrivant $AC=AB+BC$ et $A'C'=A'B'+B'C'$, puis en simplifiant, on arrive à $$\frac{AB}{BC}=\frac{A'B'}{B'C'}.$$ Q.E.D. > **À retenir** : La démonstration repose entièrement sur la similarité de triangles née du parallélisme des droites. ### D. Propriétés et corollaires 1. **Symétrie** : Si $\dfrac{AB}{BC}=\dfrac{A'B'}{B'C'}$, alors également $\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{A'B'}{A'C'}$ et $\dfrac{BC}{AC}=\dfrac{B'C'}{A'C'}$. 2. **Cas particulier – point milieu** : Si $B$ est le milieu de $AC$, alors $B'$ est le milieu de $A'C'$. En effet, $\dfrac{AB}{BC}=1$ implique $\dfrac{A'B'}{B'C'}=1$. 3. **Extension à plus de deux sécantes** : La propriété demeure vraie pour un nombre quelconque de sécantes parallèles coupant deux droites parallèles ; tous les rapports de segments consécutifs sont égaux. ### E. Exemples entièrement résolus #### Exemple 1 – Application simple Dans la figure ci‑dessous, $d\parallel d'$. La sécante $d_1$ coupe $d$ en $A$ et $d'$ en $B$ ; la sécante $d_2$ coupe $d$ en $A'$ et $d'$ en $B'$. On sait que $AB=4$ cm, $BC=6$ cm et $A'B'=5$ cm. Calculer $B'C'$. **Solution** : D’après la propriété directe, $$\frac{AB}{BC}=\frac{A'B'}{B'C'}.$$ On substitue les valeurs connues : $$\frac{4}{6}=\frac{5}{B'C'}.$$ On effectue un produit en croix : $$4\cdot B'C' = 6\cdot 5 \;\Longrightarrow\; 4B'C' = 30.$$ On divise par $4$ : $$B'C' = \frac{30}{4}=7,5\text{ cm}.$$ > **À retenir** : Le produit en croix est la méthode la plus sûre pour résoudre une égalité de deux fractions. #### Exemple 2 – Application délicate (point extérieur) Soit un trapèze $ABCD$ avec $AB\parallel CD$. Les diagonales $AC$ et $BD$ se coupent en $I$. On sait que $AI=3$ cm, $IC=9$ cm et $BI=4$ cm. Déterminer $ID$. **Solution** : Dans le trapèze, les droites $AB$ et $CD$ sont parallèles. Les sécantes sont ici les diagonales $AC$ et $BD$. En appliquant la propriété directe de Thalès aux deux sécantes, on obtient $$\frac{AI}{IC}=\frac{BI}{ID}.$$ On substitue : $$\frac{3}{9}=\frac{4}{ID}\;\Longrightarrow\;\frac{1}{3}=\frac{4}{ID}.$$ Produit en croix : $$1\cdot ID = 3\cdot 4 \;\Longrightarrow\; ID = 12\text{ cm}.$$ Vérification : le rapport $AI:IC = 1:3$ ; le rapport $BI:ID = 4:12 = 1:3$, cohérent. > **À retenir** : Dans un trapèze, les diagonales se coupent dans le même rapport que les bases parallèles. --- ## II. Leçon 5 : Propriété réciproque de Thalès ### A. Énoncé > **Propriété réciproque de Thalès** : Soient $d$ et $d'$ deux droites distinctes. Soient $A$, $B$, $C$ trois points alignés sur une sécante $d_1$ qui coupe $d$ en $A$ et $d'$ en $B$, et soient $A'$, $B'$, $C'$ trois points alignés sur une autre sécante $d_2$ qui coupe $d$ en $A'$ et $d'$ en $B'$. Si > $$\frac{AB}{BC}=\frac{A'B'}{B'C'},$$ > alors les droites $d$ et $d'$ sont parallèles : $d\parallel d'$. En d’autres termes, l’égalité des rapports de segments déterminés par deux sécantes sur deux droites implique le parallélisme de ces droites. ### B. Définitions préalables - **Points alignés** : Trois points $X$, $Y$, $Z$ sont alignés lorsqu’ils appartiennent à une même droite. - **Rapport de segments** : Comme précédemment, $\dfrac{XY}{YZ}$ est défini lorsque $Y$ se situe entre $X$ et $Z$ sur la même droite (ou sur des droites parallèles). > **À retenir** : La réciproque d’une implication transforme la conclusion en hypothèse et vice‑versa. ### C. Démonstration Nous démontrons la réciproque par l’absurde, en supposant que $d$ et $d'$ ne sont pas parallèles et en montrant que cela contredit l’égalité des rapports. 1. **Hypothèse de non‑parallélisme** : Supposons que $d$ et $d'$ se coupent en un point $O$ (elles ne sont pas parallèles). 2. **Construction** : Par le point $A'$, tracez la droite $d''$ parallèle à $d$. Elle coupe la sécante $d_1$ en un point $B''$. 3. Comme $d\parallel d''$, la propriété directe de Thalès appliquée aux sécantes $d_1$ et $d_2$ donne $$\frac{AB}{BC}=\frac{AB''}{B''C}.$$ 4. Par hypothèse, $\dfrac{AB}{BC}=\dfrac{A'B'}{B'C'}$. Donc $$\frac{AB''}{B''C}=\frac{A'B'}{B'C'}.$$ 5. Mais $d''$ et $d'$ passent toutes deux par $A'$ et sont parallèles à $d$ ; or, par un point extérieur à une droite, il n’existe qu’une seule parallèle à cette droite. Donc $d''$ et $d'$ coïncident, ce qui implique $B''=B'$. 6. Ainsi la droite par $A'$ parallèle à $d$ est exactement $d'$ ; donc $d\parallel d'$. Cela contredit l’hypothèse de départ selon laquelle $d$ et $d'$ se coupent. 7. Par conséquent, $d$ et $d'$ sont parallèles. > **À retenir** : La réciproque se démontre le plus élégamment par l’absurde en utilisant l’unicité de la parallèle passant par un point. ### D. Applications 1. **Construction d’une parallèle passant par un point donné** : Pour tracer une droite passant par un point $P$ et parallèle à une droite connue $d$, on choisit deux points $A$, $B$ sur $d$, on rapporte les distances $PA$ et $PB$ sur une quelconque sécante, puis on utilise la réciproque pour garantir le parallélisme. 2. **Vérification du parallélisme dans une figure** : Dans un quadrilatère, si on montre que les rapports des segments déterminés par ses diagonales sont égaux, on peut conclure que les côtés opposés sont parallèles, donc le quadrilatère est un trapèze ou un parallélogramme. 3. **Résolution de problèmes de partage** : Lorsqu’on veut diviser un segment en plusieurs parties proportionnelles à des nombres donnés, on trace une quelconque sécante, on reporte les longueurs proportionnelles, puis on applique la réciproque pour obtenir la division souhaitée sur le segment initial. ### E. Exemples entièrement résolus #### Exemple 1 – Application de la réciproque dans un triangle Dans le triangle $ABC$, les points $D$ et $E$ sont situés respectivement sur les côtés $AB$ et $AC$. On sait que $AD=3$ cm, $DB=2$ cm et $AE=4,5$ cm. Déterminer $EC$ pour que $DE\parallel BC$. **Solution** : Pour que $DE\parallel BC$, la réciproque de Thalès exige $$\frac{AD}{DB}=\frac{AE}{EC}.$$ On substitue les valeurs connues : $$\frac{3}{2}=\frac{4,5}{EC}.$$ Produit en croix : $$3\cdot EC = 2\cdot 4,5 \;\Longrightarrow\; 3EC = 9.$$ On divise par $3$ : $$EC = \frac{9}{3}=3\text{ cm}.$$ > **À retenir** : Dans un triangle, si deux points situés sur deux côtés déterminent des rapports égaux, alors la droite joignant ces points est parallèle au troisième côté. #### Exemple 2 – Vérification du parallélisme dans un trapèze Dans le trapèze $ABCD$ (avec $AB\parallel CD$), les diagonales se coupent en $I$. On sait que $AI=5$ cm, $IC=15$ cm, $BI=6$ cm et $ID=18$ cm. Montrer que $AB\parallel CD$ en utilisant la réciproque de Thalès. **Solution** : On considère les sécantes $AC$ et $BD$. Selon la réciproque, si $$\frac{AI}{IC}=\frac{BI}{ID},$$ alors les droites $AB$ et $CD$ sont parallèles. Calculons les rapports : $$\frac{AI}{IC}=\frac{5}{15}=\frac{1}{3},\qquad \frac{BI}{ID}=\frac{6}{18}=\frac{1}{3}.$$ Les deux rapports sont égaux, donc d’après la réciproque de Thalès, $AB\parallel CD$. > **À retenir** : Dans un trapèze, le rapport des segments des diagonales provenant du même sommet est égal ; cette propriété caractérise le parallélisme des bases. --- ## III. Synthèse du chapitre - **Propriété directe de Thalès** : Si deux droites sont parallèles, alors elles déterminent des rapports égaux de segments sur toute sécante les coupant. $$\displaystyle \frac{AB}{BC}=\frac{A'B'}{B'C'}$$ - **Propriété réciproque de Thalès** : Si, sur deux sécantes, les rapports de segments sont égaux, alors les droites déterminées par les points d’intersection sont parallèles. $$\displaystyle \frac{AB}{BC}=\frac{A'B'}{B'C'}\;\Longrightarrow\; d\parallel d'$$ - **Démonstration** : Les deux propriétés découlent de la similarité de triangles (directe) ou de l’absurde associée à l’unicité de la parallèle (réciproque). - **Corollaires utiles** : - Point milieu : si un point est milieu d’un segment, son homologue sur l’autre sécante est aussi milieu. - Dans un trapèze, les diagonales se coupent dans le même rapport que les bases. - Construction d’une parallèle par un point : utiliser un cercle sécant ou le rapport de segments sur une sécante. - **Applications** : mesure indirecte de hauteurs, résolution de problèmes de partage, vérification du parallélisme dans des quadrilatères, tracé de plans à l’échelle. > **À retenir** : Le théorème de Thalès et son réciproque sont deux faces d’une même relation entre parallélisme et proportionnalité ; maîtriser les deux permet de résoudre une grande variété d’exercices de géométrie plane au BEPC. --- ## Glossaire | Terme | Définition | |-------|------------| | Droites parallèles | Deux droites d’un plan qui n’ont aucun point commun (ou qui coïncident). Notation $d\parallel d'$. | | Sécante | Droite qui coupe deux droites distinctes en deux points différents. | | Rapport de deux segments | Pour des segments $XY$ et $ZT$ sur la même droite ou sur des droites parallèles, le nombre $\dfrac{XY}{ZT}$ (positif ou nul). | | Points alignés | Trois ou plusieurs points appartenant à une même droite. | | Triangles semblables | Deux triangles ayant respectivement leurs angles égaux (critère AA) ou leurs côtés proportionnels. | | Théorème de Thalès (direct) | Si $d\parallel d'$, alors $\dfrac{AB}{BC}=\dfrac{A'B'}{B'C'}$ pour toute sécante coupant $d$ en $A,B$ et $d'$ en $A',B'$. | | Théorème de Thalès (réciproque) | Si $\dfrac{AB}{BC}=\dfrac{A'B'}{B'C'}$ sur deux sécantes, alors $d\parallel d'$. | | Point milieu | Point qui partage un segment en deux parties égales de longueur. | | Trapèze | Quadrilatère ayant exactement une paire de côtés opposés parallèles. | | Diagonales | Segments joignant deux sommets non consécutifs d’un polygone. | | Théorème de Menelaus | Relation de produit de rapports égale à $1$ pour une sécante coupant les côtés (ou leurs prolongements) d’un triangle. | | Construction d’une parallèle | Procédé permettant de tracer, par un point donné, une droite parallèle à une droite connue. | | Équidistance | Propriété selon laquelle tous les points d’une droite sont à la même distance d’une autre droite lorsqu’elles sont parallèles. | | Rapport de proportionnalité | Constante $k$ telle que $y=kx$ pour deux grandeurs proportionnelles. | | Similarité par AA | Deux triangles sont semblables s’ils ont deux angles respectivement égaux. | --- ## Exercices d'application corrigés ### Exercice 1 (niveau facile) Dans la figure, $d\parallel d'$. La sécante $d_1$ coupe $d$ en $A$ et $d'$ en $B$ ; la sécante $d_2$ coupe $d$ en $A'$ et $d'$ en $B'$. On sait que $AB=3$ cm, $BC=5$ cm et $A'B'=4$ cm. Calculer $B'C'$. **Corrigé** : D’après la propriété directe, $$\frac{AB}{BC}=\frac{A'B'}{B'C'}.$$ On substitue : $$\frac{3}{5}=\frac{4}{B'C'}.$$ Produit en croix : $$3\cdot B'C' = 5\cdot 4 \;\Longrightarrow\; 3B'C' = 20.$$ On divise par $3$ : $$B'C' = \frac{20}{3}\approx 6,67\text{ cm}.$$ --- ### Exercice 2 (niveau intermédiaire) Un arbre de hauteur inconnue $h$ projette une ombre de longueur $4$ m sur le sol. Un bâton de $1,5$ m de hauteur placé verticalement à côté de l’arbre projette une ombre de $0,6$ m. En supposant que les rayons du soleil sont parallèles, déterminer la hauteur de l’arbre. **Corrigé** : Les rayons du soleil forment deux droites parallèles. L’arbre et son ombre, le bâton et son ombre sont deux paires de segments situés sur deux sécantes (le sol et la direction des rayons). On applique la propriété directe de Thalès : $$\frac{\text{hauteur de l’arbre}}{\text{longueur de son ombre}} = \frac{\text{hauteur du bâton}}{\text{longueur de son ombre}}.$$ Donc $$\frac{h}{4} = \frac{1,5}{0,6}.$$ On calcule le second membre : $\dfrac{1,5}{0,6}=2,5$. Ainsi $$\frac{h}{4}=2,5 \;\Longrightarrow\; h = 4\times 2,5 = 10\text{ m}.$$ --- ### Exercice 3 (niveau intermédiaire) Dans le trapèze $ABCD$ ($AB\parallel CD$), les diagonales se coupent en $I$. On connaît $AI=7$ cm, $IC=21$ cm et $BI=5$ cm. Trouver $ID$. **Corrigé** : Dans un trapèze, les diagonales vérifient la propriété directe de Thalès : $$\frac{AI}{IC}=\frac{BI}{ID}.$$ On substitue : $$\frac{7}{21}=\frac{5}{ID}\;\Longrightarrow\;\frac{1}{3}=\frac{5}{ID}.$$ Produit en croix : $$1\cdot ID = 3\cdot 5 \;\Longrightarrow\; ID = 15\text{ cm}.$$ --- ### Exercice 4 (niveau avancé) – Application de la réciproque dans un triangle Dans le triangle $ABC$, on trace une droite $d$ passant par un point $P$ sur $AB$ et parallèle à $BC$. Cette droite coupe $AC$ en $Q$. Montrer que $\dfrac{AP}{PB}=\dfrac{AQ}{QC}$. **Corrigé** : Puisque $d\parallel BC$, on peut appliquer la propriété directe de Thalès aux sécantes $AB$ et $AC$ coupées par les droites parallèles $BC$ et $d$. Sur la sécante $AB$, les points sont $A$, $P$, $B$ ; sur la sécante $AC$, les points sont $A$, $Q$, $C$. La propriété directe donne $$\frac{AP}{PB}=\frac{AQ}{QC}.$$ C’est exactement ce qu’il fallait démontrer. --- ### Exercice 5 (niveau avancé) Un pylône de hauteur inconnue $H$ est situé au bord d’un lac. Depuis un point $O$ sur la rive, on mesure l’angle d’élévation du sommet du pylône égal à $30^\circ$. On se déplace ensuite de $20$ m vers le pylône (en restant sur la même ligne droite perpendiculaire au rivage) et on mesure un nouvel angle d’élévation de $45^\circ$. En supposant que le sol est plat et que les lignes de vue sont des droites, déterminer la hauteur $H$ du pylône. **Corrigé** : Soit la base du pylône le point $B$ sur la rive, et le sommet $S$. La distance $OB$ est inconnue, notons-la $x$. La première mesure donne $$\tan 30^\circ = \frac{H}{x}\;\Longrightarrow\; \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{H}{x}\;\Longrightarrow\; H = \frac{x}{\sqrt{3}}.$$ Après un déplacement de $20$ m vers le pylône, on se trouve au point $O'$ tel que $O'B = x-20$. La deuxième mesure donne $$\tan 45^\circ = \frac{H}{x-20}\;\Longrightarrow\; 1 = \frac{H}{x-20}\;\Longrightarrow\; H = x-20.$$ On égalise les deux expressions de $H$ : $$\frac{x}{\sqrt{3}} = x-20.$$ On multiplie par $\sqrt{3}$ : $$x = \sqrt{3}\,(x-20) = \sqrt{3}x -20\sqrt{3}.$$ On ramène les termes en $x$ d’un côté : $$x - \sqrt{3}x = -20\sqrt{3}\;\Longrightarrow\; x(1-\sqrt{3}) = -20\sqrt{3}.$$ On divise par $(1-\sqrt{3})$ (qui est négatif) : $$x = \frac{-20\sqrt{3}}{1-\sqrt{3}}.$$ On rationalise le dénominateur en multipliant numérateur et dénominateur par $(1+\sqrt{3})$ : $$x = \frac{-20\sqrt{3}(1+\sqrt{3})}{(1-\sqrt{3})(1+\sqrt{3})}= \frac{-20\sqrt{3}(1+\sqrt{3})}{1-3}= \frac{-20\sqrt{3}(1+\sqrt{3})}{-2}=10\sqrt{3}(1+\sqrt{3}).$$ On développe : $$x = 10\sqrt{3} + 10\cdot 3 = 10\sqrt{3}+30.$$ On calcule $H = x-20$ : $$H = (10\sqrt{3}+30)-20 = 10\sqrt{3}+10.$$ On peut laisser sous cette forme ou donner une valeur décimale : $\sqrt{3}\approx1,732$, donc $$H \approx 10\times1,732+10 = 17,32+10 = 27,32\text{ m}.$$ > **À retenir** : Ce type de problème utilise deux triangles rectangles partageant la même hauteur et des tangentes d’angles connus ; la résolution se réduit à un système d’équations du premier degré. --- ### Exercice 6 (niveau expert) Dans le trapèze $ABCD$ ($AB\parallel CD$), les diagonales se coupent en $I$. On sait que $AI=4$ cm, $IC=12$ cm, $BI=5$ cm et $ID=15$ cm. 1. Montrer que $AB\parallel CD$ en utilisant la réciproque de Thalès. 2. Déterminer le rapport $\dfrac{AB}{CD}$. **Corrigé** : 1. **Application de la réciproque** : On considère les sécantes $AC$ et $BD$. Selon la réciproque de Thalès, si $$\frac{AI}{IC}=\frac{BI}{ID},$$ alors les droites $AB$ et $CD$ sont parallèles. Calculons : $$\frac{AI}{IC}=\frac{4}{12}=\frac{1}{3},\qquad \frac{BI}{ID}=\frac{5}{15}=\frac{1}{3}.$$ Les deux rapports sont égaux, donc d’après la réciproque, $AB\parallel CD$. 2. **Détermination du rapport $\dfrac{AB}{CD}$** : Dans un trapèze, les diagonales vérifient également la propriété suivante (qui découle de la similarité des triangles formés par les diagonales et les bases) : $$\frac{AI}{IC}=\frac{AB}{CD}.$$ En effet, les triangles $\triangle AIB$ et $\triangle CID$ sont semblables (ils ont un angle commun en $I$ et deux autres angles égaux grâce au parallélisme $AB\parallel CD$). Donc $$\frac{AI}{CI}=\frac{BI}{DI}=\frac{AB}{CD}.$$ On a déjà $\dfrac{AI}{IC}=\dfrac{1}{3}$, donc $$\frac{AB}{CD}=\frac{1}{3}.$$ Ainsi la base supérieure $AB$ est un tiers de la base inférieure $CD$. > **À retenir** : Dans un trapèze, le rapport des segments des diagonales provenant du même sommet est égal au rapport des bases. --- ## Erreurs fréquentes | Erreur fréquente | Explication | Comment l’éviter | |------------------|-------------|------------------| | **Confondre la propriété directe et la réciproque** | Certains élèves écrivent « si les rapports sont égaux alors les droites sont parallèles » comme si c’était la propriété directe, alors que c’est la réciproque. | Rappeler clairement : *directe* = parallélisme → égalité des rapports ; *réciproque* = égalité des rapports → parallélisme. Utiliser des phrases du type « Si … alors … » pour chaque sens. | | **Oublier de vérifier l’alignement des points** | Appliquer Thalès alors que les points considérés ne sont pas sur la même sécante (ex. prendre un point sur une droite qui ne coupe pas les deux droites parallèles). | Toujours identifier clairement les deux sécantes et vérifier que chaque paire de points (ex. $A,B$ sur la première sécante, $A',B'$ sur la seconde) appartient effectivement à la même droite. | | **Mauvaise manipulation des rapports** | Effectuer un produit en croix en oubliant de multiplier le numérateur par le dénominateur opposé, ou inverser les termes. | Écrire l’égalité sous la forme $\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}$ puis faire $a\cdot d = b\cdot c$. Vérifier que le produit en croix respecte bien la position des termes. | | **Utiliser le théorème de Thalès dans un triangle non semblable** | Appliquer la relation de rapports alors que les triangles considérés ne sont pas semblables (manque d’égalité d’angles). | Avant d’appliquer Thalès, chercher deux angles égaux (souvent grâce au parallélisme) pour garantir la similarité, ou bien vérifier que les droites impliquées sont effectivement parallèles. | | **Ne pas convertir les unités** | Mélanger des longueurs exprimées en cm et en m dans le même rapport, conduisant à un résultat erroné. | Homogénéiser toutes les longueurs dans la même unité avant de former les rapports. | | **Interpréter mal le point milieu** | Penser que si $AB=BC$ alors automatiquement $A'B'=B'C'$ sans vérifier que la sécante considérée est bien la même pour les deux paires. | Rappeler que la propriété du milieu ne vaut que lorsque l’on considère les mêmes deux sécantes ; changer de sécante nécessite de re‑vérifier le rapport. | --- **Fin du cours**. Vous disposez maintenant de toutes les définitions, démonstrations, exemples, synthèse, glossaire, exercices corrigés et points d’attention nécessaires pour maîtriser le théorème de Thalès et son réciproque, conformément au programme officiel du BEPC en mathématiques (3ᵉ, séries, approche par compétences). Bonne révision et bon courage pour l’examen !