Fonctions linéaires et affines

## Objectifs et prérequis **Objectifs** : À la fin de ce chapitre, l’élève sera capable de - définir une application affine et en distinguer les cas linéaire et affine propre ; - calculer l’image d’un nombre donné par une application affine et déterminer son antécédent lorsqu’il existe ; - interpréter le sens de variation (croissant ou décroissant) d’une application affine à partir de son coefficient directeur ; - représenter graphiquement une application affine dans un repère cartésien, identifier sa droite représentative, son coefficient directeur et son ordonnée à l’origine ; - construire une application affine définie par morceaux (par intervalles) et analyser sa continuité et son sens de variation sur chaque intervalle ; - résoudre des problèmes d’application (croissance, remise, taxe, etc.) en modélisant la situation par une fonction affine ou affine par morceaux ; - vérifier la justesse d’un raisonnement en utilisant les propriétés de l’égalité et de la proportionnalité. **Prérequis** : L’élève doit maîtriser - les notions de fonction numérique, de variable indépendante et dépendante ; - le repère cartésien orthonormé, le tracé d’une droite sachant son coefficient directeur et son ordonnée à l’origine ; - les opérations sur les nombres réels (addition, soustraction, multiplication, division) et la résolution d’équations du premier degré ; - le sens de variation d’une fonction linéaire de la forme $f(x)=ax$ (croissant si $a>0$, décroissant si $a<0$) ; - la notion d’égalité et de proportionnalité directe. > **À retenir** : Une application affine est une fonction de la forme $f(x)=ax+b$ avec $a,b\in\mathbb{R}$. Le cas linéaire correspond à $b=0$; le cas constant correspond à $a=0$. --- ## Introduction contextualisée Dans la vie quotidienne, de nombreuses relations entre deux quantités sont linéaires ou presque linéaires : le prix d’un article en fonction de la quantité achetée (avec éventuellement un frais fixe), la distance parcourue en fonction du temps lorsqu’on se déplace à vitesse constante (avec éventuellement un départ différé), la température en fonction de l’altitude dans une couche atmosphérique homogène, etc. Ces relations peuvent être modélisées par des fonctions du premier degré, appelées **fonctions affines**. L’étude des fonctions affines permet de passer d’une description verbale ou numérique à une représentation algébrique simple, puis à une représentation géométrique (une droite). Cette double approche (algébrique et géométrique) est essentielle pour résoudre des problèmes d’optimisation, de prévision ou de prise de décision. Au Cameroun, les programmes officiels du BEPC insistent sur l’approche par compétences : l’élève doit non seulement connaître les définitions, mais aussi les mettre en œuvre dans des situations concrètes, interpréter des graphiques et justifier ses raisonnements. Ce chapitre s’organise en quatre parties correspondant exactement aux leçons du programme officiel : 1. **Leçon 47** – images, antécédents et sens de variation d’une application affine ; 2. **Leçon 48** – représentation graphique d’une application affine ; 3. **Leçon 49** – applications affines définies par intervalles (fonctions par morceaux) ; 4. **Activités d’intégration** – mise en situation de problèmes synthétiques. Chaque partie comporte définitions, propriétés, démonstrations, exemples détaillés et exercices d’application. --- ## I. Leçon 47 : Applications affines : images et antécédents ; sens de variation ### A. Définition d’une application affine > **Définition** : Une application affine $f$ définie sur un sous-ensemble $D\subseteq\mathbb{R}$ est une fonction de la forme > $$f(x)=ax+b\qquad\text{avec }a,b\in\mathbb{R}.$$ > Le réel $a$ s’appelle le **coefficient directeur** (ou pente) et $b$ l’**ordonnée à l’origine**. Lorsque $b=0$, l’application se réduit à une **application linéaire** $f(x)=ax$. Lorsque $a=0$, l’application est **constante** $f(x)=b$. > **À retenir** : Le coefficient directeur $a$ mesure le taux de variation de $f$ : pour un accroissement de $1$ unité de $x$, $f$ varie de $a$ unités. ### B. Image d’un nombre L’image d’un réel $x_0$ par $f$ est simplement $f(x_0)=ax_0+b$. **Exemple 1** : Soit $f(x)=3x-5$. Calculer l’image de $2$. $$f(2)=3\cdot2-5=6-5=1.$$ Ainsi, l’image de $2$ est $1$. **Exemple 2** : Soit $g(x)=-2x+7$. Déterminer l’image de $-4$. $$g(-4)=-2\cdot(-4)+7=8+7=15.$$ L’image de $-4$ vaut $15$. ### C. Antécédent d’un nombre Un réel $y_0$ admet un antécédent par $f$ s’il existe $x_0\in D$ tel que $f(x_0)=y_0$. Comme $a\neq0$, on peut résoudre l’équation $ax+b=y_0$ : $$ax+b=y_0\ \Longrightarrow\ ax=y_0-b\ \Longrightarrow\ x=\frac{y_0-b}{a}.$$ > **Propriété** : Toute application affine $f(x)=ax+b$ avec $a\neq0$ est bijective sur $\mathbb{R}$ ; chaque $y_0\in\mathbb{R}$ possède un unique antécédent $x=\dfrac{y_0-b}{a}$. **Exemple 3** : Pour $f(x)=4x+1$, trouver l’antécédent de $9$. $$x=\frac{9-1}{4}=\frac{8}{4}=2.$$ Vérification : $f(2)=4\cdot2+1=9$. **Exemple 4** : Pour $h(x)=-3x+2$, déterminer l’antécédent de $-7$. $$x=\frac{-7-2}{-3}=\frac{-9}{-3}=3.$$ Vérification : $h(3)=-3\cdot3+2=-9+2=-7$. ### D. Sens de variation Le signe du coefficient directeur $a$ détermine le sens de variation de $f$ sur tout son domaine de définition (qui est $\mathbb{R}$ lorsqu’on considère la fonction sur tous les réels). - Si $a>0$, alors $f$ est **strictement croissante** : $x_1<x_2\Rightarrow f(x_1)<f(x_2)$. - Si $a<0$, alors $f$ est **strictement décroissante** : $x_1<x_2\Rightarrow f(x_1)>f(x_2)$. - Si $a=0$, alors $f$ est **constante** : $f(x_1)=f(x_2)$ pour tout $x_1,x_2$ ; elle n’est ni croissante ni décroissante. > **À retenir** : Le sens de variation d’une fonction affine dépend uniquement du signe de son coefficient directeur $a$ (quand $a\neq0$). **Démonstration** (croissance) : Soit $a>0$ et $x_1<x_2$. Alors $x_2-x_1>0$. $$f(x_2)-f(x_1)=a x_2+b-(a x_1+b)=a(x_2-x_1).$$ Comme $a>0$ et $(x_2-x_1)>0$, leur produit est positif, donc $f(x_2)>f(x_1)$. Le cas $a<0$ est similaire, le produit devenant négatif. **Exemple 5** : Étudier le sens de variation de $p(x)=-5x+3$. Le coefficient directeur est $a=-5<0$ ; donc $p$ est strictement décroissante sur $\mathbb{R}$. **Exemple 6** : Étudier le sens de variation de $q(x)=\dfrac{1}{2}x-4$. Ici $a=\dfrac{1}{2}>0$ ; donc $q$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$. ### E. Propriétés supplémentaires 1. **Affine de somme** : Si $f(x)=ax+b$ et $g(x)=cx+d$, alors $(f+g)(x)=(a+c)x+(b+d)$ reste affine. 2. **Produit par un scalaire** : Pour $k\in\mathbb{R}$, $(kf)(x)=kax+kb$ reste affine. 3. **Composition** : La composition de deux applications affines est affine : $$(g\circ f)(x)=c(ax+b)+d=(ca)x+(cb+d).$$ > **À retenir** : L’ensemble des fonctions affines forme un espace vectoriel de dimension $2$ sur $\mathbb{R}$ (base $\{x,1\}$). --- ## II. Leçon 48 : Représentation graphique d’une application affine ### A. Droite représentative Dans un repère cartésien orthonormé $(O;\vec{i},\vec{j})$, le graphe de $f(x)=ax+b$ est l’ensemble des points $(x,y)$ tels que $y=ax+b$. Cet ensemble est une **droite**. > **À retenir** : Le graphe d’une fonction affine est toujours une droite. ### B. Coefficient directeur et ordonnée à l’origine - Le **coefficient directeur** $a$ est égal au tangente de l’angle que la droite forme avec l’axe des $x$ dirigé positivement : $a=\tan\theta$. - L’**ordonnée à l’origine** $b$ est le point d’intersection de la droite avec l’axe des $y$ : $(0,b)$. ### C. Tracé de la droite Pour tracer $y=ax+b$ : 1. Placer le point $A(0,b)$ sur l’axe des $y$. 2. Depuis $A$, utiliser le coefficient directeur $a$ sous la forme d’un rapport $\dfrac{\Delta y}{\Delta x}=a$. - Si $a=\dfrac{p}{q}$ avec $p,q\in\mathbb{Z}$ et $q\neq0$, se déplacer de $q$ unités à droite (ou à gauche si $q<0$) et de $p$ unités vers le haut (si $p>0$) ou le bas (si $p<0$). - Si $a$ est un nombre décimal, on peut écrire $a=\dfrac{p}{10^k}$ et appliquer la même règle. - **Si $a=0$**, la droite est horizontale : depuis $A$, tracer un segment parallèle à l’axe des $x$. 3. Tracer la droite passant par $A$ et le point obtenu. **Exemple 7** : Tracer $f(x)=2x-3$. - Ordonnée à l’origine : $b=-3$ → point $A(0,-3)$. - Coefficient directeur $a=2=\dfrac{2}{1}$ : depuis $A$, aller de $1$ à droite et de $2$ vers le haut → point $B(1,-1)$. - Tracer la droite $AB$. **Exemple 8** : Tracer $g(x)=-\dfrac{1}{2}x+4$. - $A(0,4)$. - $a=-\dfrac{1}{2}=\dfrac{-1}{2}$ : depuis $A$, aller de $2$ à droite et de $1$ vers le bas → $B(2,3)$. - Tracer la droite. ### D. Lecture graphique À partir du graphe, on peut lire : - L’ordonnée à l’origine : ordonnée du point où la droite coupe l’axe $y$. - Le coefficient directeur : rapport $\dfrac{\Delta y}{\Delta x}$ entre deux points quelconques de la droite. - Le signe de $a$ indique si la montée est à droite (croissante) ou à gauche (décroissante). **Exemple 9** : Sur le graphe de $h(x)=3x+1$, on choisit les points $P(0,1)$ et $Q(2,7)$. $$\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{7-1}{2-0}=\frac{6}{2}=3=a.$$ On retrouve bien le coefficient directeur. ### E. Cas particuliers - Si $a>0$ et $b>0$, la droite coupe l’axe $y$ en positif et monte vers la droite. - Si $a<0$ et $b<0$, la droite coupe l’axe $y$ en négatif et descend vers la droite. - Si $b=0$, la droite passe par l’origine. - **Si $a=0$**, la droite est horizontale d’ordonnée $b$. > **À retenir** : Deux points distincts déterminent une unique droite ; donc connaître le coefficient directeur et un point (souvent l’ordonnée à l’origine) suffit pour tracer la fonction affine. --- ## III. Leçon 49 : Applications affines par intervalles ### A. Définition Une **application affine par intervalles** (ou fonction affine par morceaux) est une fonction définie sur $\mathbb{R}$ (ou sur un sous-ensemble) qui, sur chaque intervalle d’une partition de son domaine, s’exprime sous la forme $ax+b$ avec des coefficients pouvant varier d’un intervalle à l’autre. > **Définition** : Soit une partition $I_1,I_2,\dots,I_n$ de $\mathbb{R}$ (intervalles consécutifs, non chevauchants, couvrant $\mathbb{R}$). Une fonction $f$ est affine par intervalles si, pour tout $k\in\{1,\dots,n\}$, il existe $a_k,b_k\in\mathbb{R}$ tels que > $$f(x)=a_k x+b_k\quad\text{pour tout }x\in I_k.$$ ### B. Continuité aux points de jonction Pour que $f$ soit continue en un point $c$ appartenant à la frontière de deux intervalles $I_k$ et $I_{k+1}$, il faut que les valeurs limites gauches et droites coïncident avec la valeur de la fonction en $c$ : $$\lim_{x\to c^-}f(x)=\lim_{x\to c^+}f(x)=f(c).$$ Comme chaque branche est affine, ces limites se calculent simplement en remplaçant $x$ par $c$ dans les expressions appropriées. **Condition de continuité** : $$a_k c+b_k = a_{k+1} c+b_{k+1}.$$ Si cette égalité n’est pas vérifiée, la fonction présente un **saut** (discontinuité de premier ordre) en $c$. **Exemple 10** : Définir $$f(x)=\begin{cases} 2x+1 & \text{si }x<0,\\ -x+3 & \text{si }x\ge 0. \end{cases}$$ En $x=0$ : - Limite gauche : $2\cdot0+1=1$. - Limite droite : $-0+3=3$. Comme $1\neq3$, $f$ présente un saut en $0$ ; elle n’est pas continue. **Exemple 11** : Rendre la fonction précédente continue en ajustant la deuxième branche. On veut $2\cdot0+1 = -0 + b$ → $b=1$. Ainsi, $$g(x)=\begin{cases} 2x+1 & \text{si }x<0,\\ -x+1 & \text{si }x\ge 0, \end{cases}$$ est continue en $0$ (les deux branches donnent $1$). ### C. Sens de variation sur chaque intervalle Sur chaque intervalle $I_k$, le sens de variation est déterminé par le signe de $a_k$ exactement comme pour une fonction affine globale. - Si $a_k>0$, $f$ est croissante sur $I_k$. - Si $a_k<0$, $f$ est décroissante sur $I_k$. - **Si $a_k=0$, $f$ est constante sur $I_k$.** Le sens de variation global peut changer d’un intervalle à l’autre. **Exemple 12** : Étudier le sens de variation de $$h(x)=\begin{cases} -3x+4 & \text{si }x\le 2,\\ \dfrac{1}{2}x-1 & \text{si }x>2. \end{cases}$$ - Sur $(-\infty,2]$ : $a_1=-3<0$ → décroissante. - Sur $(2,+\infty)$ : $a_2=\dfrac{1}{2}>0$ → croissante. En $x=2$, on vérifie la continuité : $h(2^-)=-3\cdot2+4=-2$, $h(2^+)=\dfrac{1}{2}\cdot2-1=0$. Comme $-2\neq0$, il y a un saut ; la fonction n’est pas continue en $2$, mais le sens de variation change bien de décroissant à croissant. ### D. Exemple complet : fonction affine par trois intervalles Considérons $$F(x)=\begin{cases} x+5 & \text{si }x< -1,\\ -2x+3 & \text{si }-1\le x\le 4,\\ \dfrac{1}{3}x-2 & \text{si }x>4. \end{cases}$$ 1. **Continuité** : - En $x=-1$ : $F(-1^-)=(-1)+5=4$, $F(-1^+)=-2(-1)+3=2+3=5$. Pas continu (saut de $-1$). - En $x=4$ : $F(4^-)=-2\cdot4+3=-8+3=-5$, $F(4^+)=\dfrac{1}{3}\cdot4-2=\dfrac{4}{3}-2=-\dfrac{2}{3}$. Pas continu (saut de $-\dfrac{13}{3}$). 2. **Sens de variation** : - Sur $(-\infty,-1)$ : $a_1=1>0$ → croissante. - Sur $[-1,4]$ : $a_2=-2<0$ → décroissante. - Sur $(4,+\infty)$ : $a_3=\dfrac{1}{3}>0$ → croissante. 3. **Valeurs caractéristiques** : - $F(-2)=(-2)+5=3$. - $F(0)=-2\cdot0+3=3$. - $F(5)=\dfrac{1}{3}\cdot5-2=\dfrac{5}{3}-2=-\dfrac{1}{3}$. > **À retenir** : Une fonction affine par intervalles peut présenter des changements de sens de variation et des discontinuités aux points de jonction ; chaque branche se traite comme une fonction affine ordinaire. --- ## IV. Activités d’intégration Cette partie propose des situations problèmes où l’élève doit mobiliser plusieurs notions du chapitre : calcul d’images/antécédents, interprétation du sens de variation, tracé graphique, modélisation par une fonction affine ou affine par intervalles, et résolution d’équations du premier degré. ### Activité 1 : Modélisation d’un tarif de taxi Un taxi urbain applique un tarif de base de $300$ FCFA auquel s’ajoute $100$ FCFA par kilomètre parcouru. 1. Écrire la fonction qui donne le prix $P$ (en FCFA) en fonction de la distance $d$ (en km). 2. Déterminer le prix pour un trajet de $7,5$ km. 3. Trouver la distance parcourue si le prix payé est $1150$ FCFA. 4. Représenter graphiquement cette fonction pour $d\in[0,15]$. 5. Interpréter le coefficient directeur et l’ordonnée à l’origine. ### Activité 2 : Croissance d’une plante Une plante grandit de $2$ cm chaque semaine. À la semaine $0$, elle mesure $15$ cm. Cependant, après la semaine $8$, un engrais est ajouté et la croissance passe à $3,5$ cm par semaine. 1. Écrire la fonction qui donne la hauteur $H$ (en cm) en fonction du nombre de semaines $t$. 2. Vérifier la continuité de $H$ en $t=8$. 3. Calculer la hauteur à la semaine $12$. 4. Déterminer après combien de semaines la plante dépassera $100$ cm. 5. Tracer le graphe de $H$ pour $t\in[0,20]$. ### Activité 3 : Comparaison de deux forfaits téléphoniques Le forfait A coûte $5000$ FCFA par mois plus $15$ FCFA par minute de communication. Le forfait B coûte $3000$ FCFA par mois plus $25$ FCFA par minute. 1. Écrire les fonctions $C_A(m)$ et $C_B(m)$ donnant le coût mensuel en fonction du nombre de minutes $m$. 2. Déterminer le nombre de minutes pour lequel les deux forfaits reviennent au même prix. 3. Pour quel intervalle de minutes le forfait A est-il plus avantageux ? 4. Représenter les deux droites sur le même graphique pour $m\in[0,200]$. 5. Interpréter le point d’intersection en termes de décision d’achat. ### Activité 4 : Baisse de température avec l’altitude Dans la troposphère, la température diminue d’environ $6,5$ °C pour chaque kilomètre d’altitude. Au niveau de la mer ($h=0$ km), la température moyenne est $15$ °C. 1. Écrire la fonction $T(h)$ donnant la température en fonction de l’altitude $h$ (en km). 2. Quelle température prévoit-on à $h=4$ km ? 3. À quelle altitude la température atteint-elle $0$ °C ? 4. Tracer $T(h)$ pour $h\in[0,12]$. 5. Discuter de la validité du modèle au-delà de la tropopause (environ $12$ km). ### Activité 5 : Fonction affine par intervalles – remise progressive Un magasin applique la remise suivante sur un article dont le prix initial est $P_0$ : - Aucun rabais pour $0\le q<10$ unités achetées. - $5\%$ de remise pour $10\le q<20$ unités. - $10\%$ de remise pour $q\ge20$ unités. 1. Écrire la fonction qui donne le prix à payer $R(q)$ en fonction de la quantité $q$. 2. Vérifier la continuité en $q=10$ et $q=20$. 3. Calculer le prix à payer pour $q=15$ unités si $P_0=2000$ FCFA. 4. Déterminer la quantité minimale à acheter pour que le prix à payer soit inférieur à $1500$ FCFA. 5. Représenter $R(q)$ pour $q\in[0,30]$. Ces activités sont à réaliser en groupe ou individuellement ; elles permettent de vérifier la maîtrise des compétences du chapitre : - **C1** : Traduire une situation réelle en expression algébrique. - **C2** : Calculer images et antécédents. - **C3** : Déterminer le sens de variation à partir du coefficient directeur. - **C4** : Tracer et lire un graphe de fonction affine. - **C5** : Construire et analyser une fonction affine par intervalles. - **C6** : Justifier un raisonnement par des propriétés d’égalité et de proportionnalité. --- ## Synthèse du chapitre - **Définition** : Une application affine est de la forme $f(x)=ax+b$ avec $a,b\in\mathbb{R}$. Le cas linéaire correspond à $b=0$; le cas constant correspond à $a=0$. - **Image** : $f(x_0)=ax_0+b$. - **Antécédent** : $x=\dfrac{y_0-b}{a}$ (existe et unique si $a\neq0$; si $a=0$, la fonction est constante et n’admet pas d’antécédent unique sauf si $y_0=b$). - **Sens de variation** : - $a>0$ → fonction strictement croissante. - $a<0$ → fonction strictement décroissante. - $a=0$ → fonction constante (ni croissante ni décroissante). - **Représentation graphique** : droite ; - coefficient directeur $a=\dfrac{\Delta y}{\Delta x}$ ; - ordonnée à l’origine $b$ (point $(0,b)$). - **Tracé** : placer $(0,b)$, puis utiliser le rapport $a$ pour obtenir un second point. - **Si $a=0$**, la droite est horizontale : choisir tout point ayant la même ordonnée que $A$. - **Fonction affine par intervalles** : définition par morceaux $f(x)=a_k x+b_k$ sur chaque intervalle $I_k$. - **Continuité en un point de jonction $c$** : $a_k c+b_k = a_{k+1} c+b_{k+1}$. - **Sens de variation sur chaque intervalle** : déterminé par le signe de $a_k$ sur cet intervalle (si $a_k=0$, la branche est constante). - **Propriétés** : somme, produit par un scalaire et composition de fonctions affines restent affines. > **À retenir** : Le coefficient directeur $a$ gouverne l’inclinaison de la droite; lorsqu’$a\neq0$, il détermine aussi le sens de variation de la fonction (croissant si $a>0$, décroissant si $a<0$; si $a=0$, la fonction est constante). --- ## Glossaire | Terme | Définition | |-------|------------| | Application affine | Fonction de la forme $f(x)=ax+b$ avec $a,b\in\mathbb{R}$. Le cas linéaire correspond à $b=0$; le cas constant correspond à $a=0$. | | Coefficient directeur | Réel $a$ représentant le taux de variation de $f$ ; égal à la pente de la droite représentative. | | Ordonnée à l’origine | Réel $b$ tel que le point $(0,b)$ appartient au graphe de $f$. | | Image | Valeur $f(x_0)$ obtenue en appliquant $f$ à l’élément $x_0$ du domaine. | | Antécédent | Élément $x_0$ tel que $f(x_0)=y_0$ ; noté $f^{-1}(y_0)$ lorsqu’il existe et est unique (cela nécessite $a\neq0$ ; si $a=0$, la fonction est constante et n’admet pas d’antécédent unique sauf si $y_0=b$). | | Sens de variation | Qualifie si la fonction est croissante ($x_1<x_2\Rightarrow f(x_1)<f(x_2)$) ou décroissante ($x_1<x_2\Rightarrow f(x_1)>f(x_2)$). Une fonction constante ($a=0$) n’est ni croissante ni décroissante. | | Fonction affine par intervalles | Fonction définie par morceaux, chaque morceau étant une fonction affine $a_kx+b_k$ sur un intervalle $I_k$. | | Continuité en un point | Propriété selon laquelle la limite de la fonction en ce point vaut la valeur de la fonction en ce point. | | Saut | Discontinuité de premier ordre où les limites gauche et droite existent mais sont différentes. | | Droite représentative | Ensemble des points $(x,y)$ tels que $y=ax+b$ ; graphe d’une fonction affine. | | Tangente | Rapport $\dfrac{\Delta y}{\Delta x}$ entre deux points d’une droite ; égal au coefficient directeur. | | Intervalle | Sous-ensemble de $\mathbb{R}$ de la forme $[a,b]$, $(a,b)$, $[a,b)$ ou $(a,b]$. | | Partition | Famille d’intervalles deux à deux disjoints dont l’union recouvre le domaine considéré. | | Composition | Application $(g\circ f)(x)=g(f(x))$ ; la composition de deux affines est affine. | | Fonction linéaire | Cas particulier de l’affine où $b=0$, de la forme $f(x)=ax$. | --- ## Exercices d’application corrigés ### Exercice 1 Soit la fonction $f(x)=5x-7$. 1. Calculer $f(-3)$ et $f(4)$. 2. Déterminer l’antécédent de $18$ par $f$. 3. Étudier le sens de variation de $f$. 4. Tracer la droite représentative de $f$ pour $x\in[-2,5]$. **Corrigé** 1. $f(-3)=5(-3)-7=-15-7=-22$. $f(4)=5\cdot4-7=20-7=13$. 2. On résout $5x-7=18$ → $5x=25$ → $x=5$. Vérification : $f(5)=5\cdot5-7=25-7=18$. 3. Le coefficient directeur est $a=5>0$ ; donc $f$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$. 4. Tracé : - Ordonnée à l’origine : $b=-7$ → point $A(0,-7)$. - Depuis $A$, avec $a=5=\dfrac{5}{1}$ : aller de $1$ à droite et de $5$ vers le haut → point $B(1,-2)$. - Tracer la droite passant par $A$ et $B$ ; limiter le tracé à l’intervalle $[-2,5]$ en reportant les points correspondants. --- ### Exercice 2 Une entreprise de location de voitures facture un frais fixe de $2500$ FCFA plus $150$ FCFA par jour de location. 1. Écrire la fonction $C(d)$ donnant le coût total en fonction du nombre de jours $d$. 2. Quel est le coût pour une location de $10$ jours ? 3. Combien de jours peut-on louer la voiture avec un budget de $8000$ FCFA ? 4. Représenter $C(d)$ pour $d\in[0,20]$. 5. Interpréter le coefficient directeur et l’ordonnée à l’origine. **Corrigé** 1. $C(d)=150d+2500$. 2. $C(10)=150\cdot10+2500=1500+2500=4000$ FCFA. 3. On résout $150d+2500=8000$ → $150d=5500$ → $d=\dfrac{5500}{150}=36.\overline{6}$ jours. Comme on ne peut louer qu’un nombre entier de jours, le nombre maximal de jours complets est $36$ jours (coût $150\cdot36+2500=7900$ FCFA). 4. Tracé : - Point $A(0,2500)$. - Coefficient directeur $a=150=\dfrac{150}{1}$ : depuis $A$, aller de $1$ à droite et de $150$ vers le haut → point $B(1,2650)$. - Tracer la droite $AB$ et limiter à $d\in[0,20]$. 5. Le coefficient directeur $150$ représente le coût supplémentaire par jour de location (en FCFA/jour). L’ordonnée à l’origine $2500$ représente le frais fixe à payer même si la durée de location est nulle jour (assurance, frais de dossier). --- ### Exercice 3 Soit la fonction définie par morceaux $$g(x)=\begin{cases} -2x+5 & \text{si }x<1,\\ 3x-4 & \text{si }x\ge 1. \end{cases}$$ 1. Vérifier la continuité de $g$ en $x=1$. 2. Déterminer le sens de variation de $g$ sur chaque intervalle. 3. Calculer $g(0)$, $g(1)$ et $g(2)$. 4. Tracer $g$ pour $x\in[-2,3]$. 5. En déduire les valeurs de $x$ pour lesquelles $g(x)=0$. **Corrigé** 1. En $x=1$ : - Limite gauche : $g(1^-)=-2\cdot1+5=3$. - Limite droite : $g(1^+)=3\cdot1-4=-1$. Comme $3\neq-1$, $g$ présente un saut en $x=1$ ; elle n’est pas continue. 2. Sur $(-\infty,1)$ : coefficient directeur $a_1=-2<0$ → fonction décroissante. Sur $[1,+\infty)$ : coefficient directeur $a_2=3>0$ → fonction croissante. 3. $g(0)=-2\cdot0+5=5$. $g(1)$ : on utilise la branche définie pour $x\ge1$ (puisque l’inégalité est large) → $g(1)=3\cdot1-4=-1$. $g(2)=3\cdot2-4=6-4=2$. 4. Tracé : - Première branche : droite $y=-2x+5$. Point $A(0,5)$ ; pente $-2$ → depuis $A$, aller de $1$ à droite et de $2$ vers le bas → point $B(1,3)$. Tracer la demi-droite issue de $A$ passant par $B$ et s’arrêtant en $x=1$ (point ouvert à droite car la valeur à $x=1$ appartient à l’autre branche). - Deuxième branche : droite $y=3x-4$. Point $C(1,-1)$ (valeur à $x=1$) ; pente $3$ → depuis $C$, aller de $1$ à droite et de $3$ vers le haut → point $D(2,2)$. Tracer la demi-droite issue de $C$ passant par $D$ et s’étendant vers $x>1$. - Limiter le tracé à l’intervalle $[-2,3]$. 5. Résolution de $g(x)=0$ : - Sur $x<1$ : $-2x+5=0$ → $-2x=-5$ → $x=\dfrac{5}{2}=2,5$. Mais $2,5\not<1$ → pas de solution dans cet intervalle. - Sur $x\ge1$ : $3x-4=0$ → $3x=4$ → $x=\dfrac{4}{3}\approx1,33$. Cette valeur appartient bien à $[1,+\infty)$. Donc l’unique solution est $x=\dfrac{4}{3}$. --- ### Exercice 4 Un lycée propose deux options pour l’achat de manuels scolaires : - Option A : prix unitaire de $1200$ FCFA, frais de port fixe de $3000$ FCFA. - Option B : prix unitaire de $1000$ FCFA, frais de port fixe de $5000$ FCFA. Soit $n$ le nombre de manuels achetés. 1. Écrire les fonctions $P_A(n)$ et $P_B(n)$ donnant le coût total selon chaque option. 2. Déterminer le nombre de manuels pour lequel les deux options reviennent au même prix. 3. Pour quel intervalle de $n$ l’option A est-elle moins chère ? 4. Représenter les deux fonctions sur le même graphique pour $n\in[0,20]$. 5. Si l’élève doit acheter exactement $15$ manuels, quelle option choisir et pourquoi ? **Corrigé** 1. $P_A(n)=1200n+3000$. $P_B(n)=1000n+5000$. 2. Égalité : $1200n+3000=1000n+5000$ → $200n=2000$ → $n=10$. Ainsi, pour $10$ manuels, les deux options coûtent le même montant. 3. On veut $P_A(n)<P_B(n)$ : $1200n+3000<1000n+5000$ → $200n<2000$ → $n<10$. Donc l’option A est moins chère lorsqu’on achète moins de $10$ manuels. 4. Tracé : - Pour $P_A$ : point $A_A(0,3000)$ ; pente $1200$ → depuis $A_A$, aller de $1$ à droite et de $1200$ vers le haut → point $B_A(1,4200)$. - Pour $P_B$ : point $A_B(0,5000)$ ; pente $1000$ → depuis $A_B$, aller de $1$ à droite et de $1000$ vers le haut → point $B_B(1,6000)$. - Tracer les deux droites et limiter à $n\in[0,20]$. 5. Pour $n=15$ : $P_A(15)=1200\cdot15+3000=18000+3000=21000$ FCFA. $P_B(15)=1000\cdot15+5000=15000+5000=20000$ FCFA. L’option B est moins chère de $1000$ FCFA. Donc choisir l’option B. --- ### Exercice 5 Soit la fonction affine par intervalles $$h(x)=\begin{cases} 4x-1 & \text{si }x\le -2,\\ -x+3 & \text{si }-2<x\le 3,\\ \dfrac{1}{2}x+2 & \text{si }x>3. \end{cases}$$ 1. Vérifier la continuité en $x=-2$ et en $x=3$. 2. Déterminer le sens de variation de $h$ sur chaque intervalle. 3. Calculer $h(-3)$, $h(0)$ et $h(5)$. 4. Tracer $h$ pour $x\in[-4,6]$. 5. Trouver les valeurs de $x$ telles que $h(x)=5$. **Corrigé** 1. En $x=-2$ : - Limite gauche : $h((-2)^-)=4(-2)-1=-8-1=-9$. - Limite droite : $h((-2)^+)=-(-2)+3=2+3=5$. Comme $-9\neq5$, discontinuité (saut) en $-2$. En $x=3$ : - Limite gauche : $h(3^-)=-(3)+3=0$. - Limite droite : $h(3^+)=\dfrac{1}{2}\cdot3+2=1,5+2=3,5$. Comme $0\neq3,5$, discontinuité (saut) en $3$. 2. Sur $(-\infty,-2]$ : $a_1=4>0$ → croissante. Sur $(-2,3]$ : $a_2=-1<0$ → décroissante. Sur $(3,+\infty)$ : $a_3=\dfrac{1}{2}>0$ → croissante. 3. $h(-3)=4(-3)-1=-12-1=-13$. $h(0)$ appartient à l’intervalle $-2<x\le3$ : $h(0)=-0+3=3$. $h(5)$ appartient à $x>3$ : $h(5)=\dfrac{1}{2}\cdot5+2=2,5+2=4,5$. 4. Tracé : - Première branche : droite $y=4x-1$. Point $A(-2,4(-2)-1=-9)$ ; pente $4$ → depuis $A$, aller de $1$ à droite et de $4$ vers le haut → point $B(-1,-5)$. Tracer la demi‑droite issue de $A$ passant par $B$ et s’arrêtant en $x=-2$ (point fermé à gauche car la valeur appartient à cette branche). - Deuxième branche : droite $y=-x+3$. Point $C(-2,5)$ (valeur à droite de $-2$) ; pente $-1$ → depuis $C$, aller de $1$ à droite et de $1$ vers le bas → point $D(-1,4)$. Tracer la demi‑droite issue de $C$ passant par $D$ et s’arrêtant en $x=3$ (point fermé à droite car la valeur appartient à cette branche). - Troisième branche : droite $y=\dfrac{1}{2}x+2$. Point $E(3,\dfrac{1}{2}\cdot3+2=1,5+2=3,5)$ ; pente $\dfrac{1}{2}$ → depuis $E$, aller de $2$ à droite et de $1$ vers le haut → point $F(5,4,5)$. Tracer la demi‑droite issue de $E$ passant par $F$ et s’étendant vers $x>3$. - Limiter le tracé à l’intervalle $[-4,6]$. 5. Résolution de $h(x)=5$ : - Sur $x\le -2$ : $4x-1=5$ → $4x=6$ → $x=\dfrac{6}{4}=1,5$. Cette valeur ne satisfait pas $x\le-2$ → pas de solution. - Sur $-2<x\le3$ : $-x+3=5$ → $-x=2$ → $x=-2$. Mais $x=-2$ n’est pas dans l’intervalle ouvert à gauche $-2<x$ → pas de solution. - Sur $x>3$ : $\dfrac{1}{2}x+2=5$ → $\dfrac{1}{2}x=3$ → $x=6$. Cette valeur appartient bien à $x>3$. Donc l’unique solution est $x=6$. --- ## Erreurs fréquentes 1. **Confondre coefficient directeur et ordonnée à l’origine** - *Erreur* : croire que $b$ représente la pente de la droite. - *Correction* : rappeler que le coefficient directeur est le nombre qui multiplie $x$ ($a$) ; $b$ est l’ordonnée du point où la droite coupe l’axe $y$. - *Astuce* : toujours identifier $a$ comme le facteur de $x$ et $b$ comme le terme constant. 2. **Oublier la condition $a\neq0$ lorsqu’on cherche un antécédent** - *Erreur* : tenter de résoudre $ax+b=y$ en divisant par $a$ alors que $a=0$ (ce qui rend l’équation soit impossible soit indéterminée). - *Correction* : vérifier que $a\neq0$ avant d’effectuer la division ; si $a=0$, la fonction est constante et n’admet pas d’antécédent unique sauf si $y=b$. - *Astuce* : systématiquement écrire « puisque $a\neq0$, on peut diviser par $a$ ». 3. **Mauvaise interprétation du signe du coefficient directeur pour le sens de variation** - *Erreur* : penser qu’un coefficient directeur positif implique une décroissance parce que la droite « monte » vers la gauche. - *Correction* : rappeler que le sens de variation se lit en augmentant $x$ (de gauche à droite) ; $a>0$ donne une montée, donc une croissance. - *Astuce* : tester avec deux valeurs simples, par exemple $x=0$ et $x=1$, et comparer $f(0)$ et $f(1)$. 4. **Oublier de vérifier la continuité aux points de jonction dans une fonction affine par intervalles** - *Erreur* : supposer que la fonction est continue parce que chaque morceau est une droite. - *Correction* : calculer les limites gauches et droites (ou simplement les valeurs des deux branches au point) et vérifier leur égalité. - *Astuce* : noter explicitement les valeurs de chaque branche au point de jonction et les comparer. 5. **Erreur de lecture du graphique : confondre l’ordonnée à l’origine avec l’abscisse à l’origine** - *Erreur* : lire l’ordonnée à l’origine comme la coordonnée $x$ du point où la droite coupe l’axe $x$. - *Correction* : rappeler que l’ordonnée à l’origine correspond à l’intersection avec l’axe $y$ ($x=0$). L’abscisse à l’origine est la solution de $ax+b=0$, c’est‑à‑dire $x=-\dfrac{b}{a}$ (quand $a\neq0$). - *Astuce* : toujours repérer l’axe concerné avant de lire une coordonnée. 6. **Mauvaise utilisation du rapport $\dfrac{\Delta y}{\Delta x}$ pour déterminer le coefficient directeur à partir du graphe** - *Erreur* : prendre $\dfrac{\Delta x}{\Delta y}$ ou inverser les signes. - *Correction* : le coefficient directeur est la variation de $y$ divisée par la variation de $x$ lorsqu’on se déplace de gauche à droite. - *Astuce* : choisir deux points clairs, calculer $y_2-y_1$ et $x_2-x_1$, puis former le quotient $\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$. --- **Fin du cours**. Vous disposez maintenant d’une présentation complète, détaillée et illustrée du chapitre « Fonctions linéaires et affines » conforme au programme officiel du BEPC (série 3ème, approche par compétences). Vous pouvez l’utiliser pour réviser, préparer des évaluations ou aider vos camarades à maîtriser les notions essentielles. Bon travail et succès à l’examen !