Statistiques

## Objectifs et prérequis > **Objectif général** : À la fin de ce chapitre, l’élève sera capable de regrouper des données statistiques en classes, de calculer la classe modale, la fréquence d’une classe et la moyenne d’une série regroupée, ainsi que de représenter graphiquement ces données sous forme d’histogramme, de polygone des fréquences et d’ogive. > **Compétences visées** : > - Organiser une série statistique brute en tableau de fréquences par classes. > - Identifier la classe modale et interpréter sa signification. > - Calculer la fréquence (effectif relatif) d’une classe et vérifier que la somme des fréquences vaut 1. > - Déterminer la moyenne d’une série regroupée à l’aide du point milieu de chaque classe. > - Construire et lire un histogramme, un polygone des fréquences et une ogive. > - Interpréter les représentations graphiques pour comparer des distributions. > **Prérequis** : > - Notions de série statistique, d’effectif total, de moyenne arithmétique pour des données brutes. > - Maîtrise des opérations sur les nombres réels (addition, multiplication, division). > - Lecture et tracé de simples graphiques en coordonnées cartésiennes (axes gradués). > - Notion d’intervalle et de borne (ouverte/fermée). --- ## Introduction contextualisée Dans la vie quotidienne, nous sommes souvent confrontés à de grandes quantités de mesures : les tailles d’élèves d’une classe, les notes obtenues à un examen, les températures relevées sur une semaine, les revenus des ménages d’un quartier, etc. Lorsque ces données sont nombreuses, il devient difficile d’en tirer une information claire en les examinant une à une. La statistique descriptive offre alors des outils pour **résumer** et **visualiser** l’information. Le regroupement en classes (ou **intervalle de classe**) permet de transformer une série de valeurs individuelles en un tableau plus maniable, où chaque classe regroupe un intervalle de valeurs et indique combien d’observations y tombent (l’effectif). Cette étape est indispensable avant de pouvoir calculer des paramètres tels que la moyenne ou la médiane, et avant de représenter les données sous forme graphique. Dans ce chapitre, nous étudierons trois leçons du programme officiel du BEPC (série 3ᵉ) : 1. **Leçon 42** – Regroupement en classe : classe modale ; fréquence d’une classe. 2. **Leçon 43** – Regroupement en classe : moyenne d’une série statistique. 3. **Leçon 44** – Représentations graphiques d’une série statistique regroupée en classes. Chaque leçon sera développée avec définitions, propriétés, démonstrations, exemples détaillés et exercices d’application. --- ## I. Leçon 42 : Regroupement en classe : classe modale ; fréquence d’une classe ### A. Rappel des notions de base > **Définition** : Une **série statistique** est un ensemble de valeurs observées d’une même variable quantitative (ou qualitative) notées \(x_1, x_2, \dots, x_n\). L’effectif total \(N\) est le nombre d’observations : \(N = n\). > **Définition** : Une **variable quantitative continue** peut prendre toute valeur réelle dans un intervalle (ex. : taille, poids). Une **variable quantitative discrète** ne prend que des valeurs séparées, souvent entières (ex. : nombre d’enfants, note sur 20). > **Définition** : L’**effectif** d’une valeur \(x_i\) (ou d’un intervalle) est le nombre de fois où cette valeur apparaît dans la série. On le note \(n_i\). > **Définition** : La **fréquence** (ou fréquence relative) d’une valeur est le rapport de son effectif à l’effectif total : > \[ > f_i = \frac{n_i}{N}\quad\text{avec}\quad 0\le f_i\le 1. > \] > La somme de toutes les fréquences vaut 1 : \(\displaystyle\sum_{i} f_i = 1\). ### B. Regroupement en classes (intervalles) Lorsque la variable est continue ou possède de nombreuses valeurs distinctes, on définit des **classes** (ou intervalles) de la forme \([a_k, b_k[\) (ou \(]a_k, b_k]\), selon la convention). Chaque classe regroupe toutes les observations dont la valeur appartient à cet intervalle. > **Définition** : La **classe** \(C_k\) est caractérisée par sa **borne inférieure** \(a_k\), sa **borne supérieure** \(b_k\) et son **amplitude** \(h_k = b_k - a_k\). > **Définition** : Le **point milieu** (ou centre) de la classe \(C_k\) est > \[ > m_k = \frac{a_k + b_k}{2}. > \] > **Définition** : L’**effectif de la classe** \(n_k\) est le nombre d’observations dont la valeur appartient à \(C_k\). > **Définition** : La **fréquence de la classe** \(f_k\) est > \[ > f_k = \frac{n_k}{N}. > \] ### C. Classe modale > **Définition** : La **classe modale** est la classe possédant l’effectif (ou la fréquence) le plus élevé. Elle indique l’intervalle où se concentre le plus grand nombre d’observations. > **Propriété** : Si plusieurs classes ont le même effectif maximal, la série est dite **bimodale** (ou multimodale) et on peut retenir chacune d’elles comme classe modale. > **Démonstration** (simple) : Par définition, l’effectif maximal satisfait \(n_{k^*} = \max\{n_1,\dots,n_K\}\). Comme \(f_k = n_k/N\) et que \(N\) est constant, maximiser \(n_k\) revient à maximiser \(f_k\). Donc la classe modale maximise aussi la fréquence. ### D. Exemples entièrement résolus #### Exemple 1 – Données brutes simples On relève les tailles (en cm) de 20 élèves : \(150, 152, 155, 157, 160, 160, 162, 163, 165, 166, 168, 170, 170, 172, 174, 175, 178, 180, 182, 185\). 1. **Choix des classes** : On décide d’une amplitude de 5 cm, en partant de 150. - Classe 1 : \([150,155[\) - Classe 2 : \([155,160[\) - Classe 3 : \([160,165[\) - Classe 4 : \([165,170[\) - Classe 5 : \([170,175[\) - Classe 6 : \([175,180[\) - Classe 7 : \([180,185[\) - Classe 8 : \([185,190[\) 2. **Effectifs** : - \([150,155[\) : 2 (150,152) → \(n_1=2\) - \([155,160[\) : 2 (155,157) → \(n_2=2\) - \([160,165[\) : 3 (160,160,162) → \(n_3=3\) - \([165,170[\) : 3 (163,165,166) → \(n_4=3\) - \([170,175[\) : 4 (168,170,170,172) → \(n_5=4\) - \([175,180[\) : 2 (174,175) → \(n_6=2\) - \([180,185[\) : 2 (178,180) → \(n_7=2\) - \([185,190[\) : 2 (182,185) → \(n_8=2\) Vérification : \(\sum n_k = 2+2+3+3+4+2+2+2 = 20 = N\). 3. **Fréquences** : \(f_k = n_k/20\). - \(f_1 = 0,10\) - \(f_2 = 0,10\) - \(f_3 = 0,15\) - \(f_4 = 0,15\) - \(f_5 = 0,20\) - \(f_6 = 0,10\) - \(f_7 = 0,10\) - \(f_8 = 0,10\) Somme des fréquences = 1,00 (vérification). 4. **Classe modale** : L’effectif maximal est \(n_5=4\) (classe \([170,175[\)). Donc la classe modale est \([170,175[\). #### Exemple 2 – Série avec classes de largeur inégale On considère les revenus mensuels (en milliers de FCFA) de 30 ménages : \(120, 135, 140, 150, 155, 160, 165, 170, 175, 180, 185, 190, 195, 200, 210, 220, 230, 240, 250, 260, 270, 280, 290, 300, 320, 350, 400, 500, 800, 1200\). On choisit des classes de largeur variable pour mieux représenter la répartition : - \(C_1 : [100,200[\) - \(C_2 : [200,300[\) - \(C_3 : [300,500[\) - \(C_4 : [500,1000[\) - \(C_5 : [1000,1500[\) Effectifs : - \(C_1\) : valeurs de 120 à 190 → 13 observations → \(n_1=13\) - \(C_2\) : 200 à 290 → 10 observations → \(n_2=10\) - \(C_3\) : 300 à 490 → 4 observations (300,320,350,400) → \(n_3=4\) - \(C_4\) : 500 à 990 → 2 observations (500,800) → \(n_4=2\) - \(C_5\) : 1000 à 1490 → 1 observation (1200) → \(n_5=1\) Vérification : \(13+10+4+2+1 = 30 = N\). Fréquences : \(f_k=n_k/30\). - \(f_1=0,433\) - \(f_2=0,333\) - \(f_3=0,133\) - \(f_4=0,067\) - \(f_5=0,033\) Classe modale : \(C_1\) (effectif 13). --- ## II. Leçon 43 : Regroupement en classe : moyenne d’une série statistique ### A. Rappel de la moyenne arithmétique pour données brutes > **Définition** : La moyenne arithmétique d’une série brute \((x_1,\dots,x_n)\) est > \[ > \bar{x}= \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i . > \] ### B. Moyenne pour données groupées Lorsque les données sont regroupées en classes, on ne connaît plus les valeurs exactes, seulement l’effectif par classe. On approximera chaque valeur de la classe par son point milieu \(m_k\). > **Formule** : La moyenne estimée d’une série regroupée est > \[ > \boxed{\;\bar{x}\;=\;\frac{\displaystyle\sum_{k=1}^{K} n_k\, m_k}{\displaystyle\sum_{k=1}^{K} n_k}\;} > \] > où \(n_k\) est l’effectif de la classe \(k\) et \(m_k\) son point milieu. ### C. Dérivation de la formule On suppose que toutes les valeurs appartenant à la classe \(C_k\) sont égales à son point milieu \(m_k\). Alors la somme de toutes les observations peut être écrite comme \[ \sum_{i=1}^{N} x_i \;\approx\; \sum_{k=1}^{K} \bigl(\underbrace{m_k+\dots+m_k}_{n_k\ \text{fois}}\bigr) = \sum_{k=1}^{K} n_k\, m_k . \] En divisant par \(N=\sum n_k\), on obtient la formule ci‑dessus. > **Remarque** : Cette approximation est exacte si la distribution au sein de chaque classe est uniforme centrée sur le point milieu ; sinon elle introduit une erreur d’arrondi généralement faible quand les classes sont suffisamment étroites. ### D. Propriétés 1. **Linearité** : Si l’on transforme chaque donnée par \(y_i = a x_i + b\) (avec \(a,b\) constants), alors la moyenne des \(y\) vaut \(\bar{y}=a\bar{x}+b\). Cette propriété vaut aussi pour la moyenne estimée des données groupées, car la transformation s’applique aux points milieu. 2. **Invariance par translation** : Ajouter une constante \(c\) à toutes les données augmente la moyenne de \(c\). 3. **Poids** : La moyenne est une moyenne pondérée des points milieu, les poids étant les effectifs \(n_k\). ### E. Exemples entièrement résolus #### Exemple 1 – Retour sur l’exemple des tailles On reprend le tableau des tailles (exemple 1 de la leçon 42). | Classe | \(a_k\) | \(b_k\) | \(m_k=\frac{a_k+b_k}{2}\) | \(n_k\) | \(n_k m_k\) | |-----------------|--------|--------|---------------------------|--------|------------| | \([150,155[\) | 150 | 155 | 152,5 | 2 | 305,0 | | \([155,160[\) | 155 | 160 | 157,5 | 2 | 315,0 | | \([160,165[\) | 160 | 165 | 162,5 | 3 | 487,5 | | \([165,170[\) | 165 | 170 | 167,5 | 3 | 502,5 | | \([170,175[\) | 170 | 175 | 172,5 | 4 | 690,0 | | \([175,180[\) | 175 | 180 | 177,5 | 2 | 355,0 | | \([180,185[\) | 180 | 185 | 182,5 | 2 | 365,0 | | \([185,190[\) | 185 | 190 | 187,5 | 2 | 375,0 | | **Total** | | | | **20** | **3395,0** | Moyenne estimée : \[ \bar{x}= \frac{3395,0}{20}=169,75\text{ cm}. \] Moyenne brute (calculée directement sur les 20 valeurs) : \[ \frac{150+152+\dots+185}{20}= \frac{3344}{20}=167,2\text{ cm}. \] L’approximation par le point milieu donne donc \(169,75\) cm, tandis que la moyenne réelle est \(167,2\) cm ; l’erreur provient du fait que la répartition au sein des classes n’est pas parfaitement uniforme. #### Exemple 2 – Revenus mensuels (exemple 2 de la leçon 42) Tableau des classes, points milieu et produits : | Classe | \(a_k\) | \(b_k\) | \(m_k\) | \(n_k\) | \(n_k m_k\) | |-----------------|--------|--------|--------|--------|------------| | \([100,200[\) | 100 | 200 | 150 | 13 | 1950 | | \([200,300[\) | 200 | 300 | 250 | 10 | 2500 | | \([300,500[\) | 300 | 500 | 400 | 4 | 1600 | | \([500,1000[\) | 500 | 1000 | 750 | 2 | 1500 | | \([1000,1500[\) | 1000 | 1500 | 1250 | 1 | 1250 | | **Total** | | | | **30** | **8800** | Moyenne estimée : \[ \bar{x}= \frac{8800}{30}\approx 293,33\text{ (milliers de FCFA)}. \] Moyenne brute (somme des 30 valeurs /30) : \[ \frac{120+135+\dots+1200}{30}= \frac{8440}{30}=281,33\text{ (milliers de FCFA)}. \] L’écart est de \(12,00\) mille FCFA, soit environ \(12\,000\) FCFA, négligeable devant l’amplitude des classes mais illustre l’effet d’approximation. ### F. Cas particulier : largeur constante Lorsque toutes les classes ont la même amplitude \(h\), on peut écrire \[ \bar{x}= a + h\;\frac{\displaystyle\sum_{k} n_k\,(k-1/2)}{\displaystyle\sum_{k} n_k}, \] où \(a\) est la borne inférieure de la première classe. Cette forme est parfois utile pour des calculs rapides. --- ## III. Leçon 44 : Représentations graphiques d’une série statistique regroupée en classes ### A. Histogramme > **Définition** : L’**histogramme** est un diagramme en barres où la surface de chaque barre est proportionnelle à l’effectif (ou à la fréquence) de la classe correspondante. - L’axe des abscisses représente les classes (on place généralement les bornes des intervalles). - L’axe des ordonnées représente la **densité de fréquence** : \[ \text{densité}_k = \frac{f_k}{h_k} = \frac{n_k}{N\,h_k}. \] Ainsi, l’aire de la barre \(k\) vaut \(\text{densité}_k \times h_k = f_k\). > **Propriété** : La somme des aires de toutes les barres vaut 1 (si l’on travaille avec les fréquences) ou vaut \(N\) (si l’on travaille avec les effectifs bruts). #### Construction pas à pas (exemple des tailles) 1. Déterminer l’amplitude de chaque classe : ici \(h=5\) cm pour toutes. 2. Calculer les densités : \(d_k = f_k/h\). - Classe 1 : \(f_1=0,10\Rightarrow d_1=0,10/5=0,020\) - Classe 2 : même → 0,020 - Classe 3 : \(0,15/5=0,030\) - Classe 4 : 0,030 - Classe 5 : \(0,20/5=0,040\) - Classe 6 : 0,020 - Classe 7 : 0,020 - Classe 8 : 0,020 3. Tracer les barres de hauteur égale à la densité. - La barre de la classe 5 sera la plus haute (0,040). L’histogramme montre clairement que la majorité des tailles se situe autour de 170‑175 cm. ### B. Polygone des fréquences > **Définition** : Le **polygone des fréquences** (ou polygone de répartition) est obtenu en joignant par des segments les points dont les abscisses sont les points milieu des classes et les ordonnées sont les fréquences (ou les effectifs). - On ajoute généralement deux points fictifs aux extrémités avec ordonnée nulle pour fermer le polygone. #### Exemple (tailles) Points \((m_k, f_k)\) : | \(k\) | \(m_k\) (cm) | \(f_k\) | |------|--------------|--------| | 1 | 152,5 | 0,10 | | 2 | 157,5 | 0,10 | | 3 | 162,5 | 0,15 | | 4 | 167,5 | 0,15 | | 5 | 172,5 | 0,20 | | 6 | 177,5 | 0,10 | | 7 | 182,5 | 0,10 | | 8 | 187,5 | 0,10 | On trace les points, on les relie par des segments, on ajoute (150,0) et (190,0) aux extrémités. Le polygone montre une bosse centrée autour de 172,5 cm, correspondant à la classe modale. ### C. Ogive (cumulée) > **Définition** : L’**ogive** (ou courbe de répartition cumulée) représente l’effectif cumulé (ou la fréquence cumulée) en fonction de la borne supérieure de chaque classe. - On calcule l’effectif cumulé \(N_k = \sum_{j=1}^{k} n_j\). - On trace les points \((b_k, N_k/N)\) (fréquence cumulée) ou \((b_k, N_k)\) (effectif cumulé). - On relie les points par des segments linéaires (ou une courbe lisse si l’on préfère). #### Exemple (tailles) | Classe | \(b_k\) (cm) | \(n_k\) | \(N_k\) | \(F_k=N_k/N\) | |-----------------|--------------|--------|--------|--------------| | \([150,155[\) | 155 | 2 | 2 | 0,10 | | \([155,160[\) | 160 | 2 | 4 | 0,20 | | \([160,165[\) | 165 | 3 | 7 | 0,35 | | \([165,170[\) | 170 | 3 | 10 | 0,50 | | \([170,175[\) | 175 | 4 | 14 | 0,70 | | \([175,180[\) | 180 | 2 | 16 | 0,80 | | \([180,185[\) | 185 | 2 | 18 | 0,90 | | \([185,190[\) | 190 | 2 | 20 | 1,00 | On trace les points \((155,0,10), (160,0,20),\dots,(190,1,00)\) et on les relie. L’ogive permet de lire directement des quantiles : par exemple, la médiane (50 %) correspond à la valeur où l’ogive coupe 0,5, ici autour de 170 cm. ### D. Diagramme en bâtons (pour variables discrètes) Lorsque la variable est discrète et que les classes correspondent à des valeurs individuelles (ex. : nombre d’enfants), on peut représenter chaque valeur par un bâton dont la hauteur est l’effectif ou la fréquence. C’est un cas particulier de l’histogramme où l’amplitude de chaque classe vaut 1. ### E. Interprétation des représentations - **Histogramme** : montre la forme de la distribution (symétrique, asymétrique, bimodale). - **Polygone des fréquences** : facilite la comparaison de plusieurs distributions sur le même graphique. - **Ogive** : permet de lire les quartiles, déciles, percentiles et de construire des boîtes à moustaches. --- ## Synthèse du chapitre > **Points essentiels à retenir** (à réviser avant l’épreuve) : - **Regroupement en classes** : choix de l’amplitude, des bornes, calcul du point milieu \(m_k=\frac{a_k+b_k}{2}\). - **Effectif de classe** \(n_k\) et **fréquence de classe** \(f_k=n_k/N\). - **Classe modale** : classe d’effectif (ou fréquence) maximal. - **Somme des fréquences** : \(\displaystyle\sum_k f_k = 1\). - **Moyenne des données groupées** : \(\displaystyle\bar{x}= \frac{\sum_k n_k m_k}{\sum_k n_k}\). - **Histogramme** : aire de chaque barre = fréquence de la classe. - **Polygone des fréquences** : points \((m_k,f_k)\) reliés. - **Ogive** : points \((b_k, F_k)\) où \(F_k=\frac{\sum_{j=1}^{k} n_j}{N}\). - **Lecture de quantiles** sur l’ogive : valeur correspondant à une fréquence cumulée donnée. - **Erreurs fréquentes** : confondre effectif et fréquence, oublier de diviser par l’amplitude pour l’histogramme, prendre la borne inférieure au lieu du point milieu pour la moyenne, ne pas vérifier que la somme des fréquences vaut 1. --- ## Glossaire | Terme | Définition | |-------|------------| | Série statistique | Ensemble de valeurs observées d’une même variable. | | Effectif | Nombre d’observations appartenant à une valeur ou à une classe. | | Fréquence (relative) | Rapport de l’effectif à l’effectif total. | | Classe (intervalle) | Ensemble de valeurs compris entre deux bornes. | | Borne inférieure / supérieure | Limites d’une classe. | | Amplitude | Différence entre borne supérieure et borne inférieure. | | Point milieu | Moyenne des bornes d’une classe. | | Classe modale | Classe possédant l’effectif (ou la fréquence) le plus élevé. | | Histogramme | Diagramme en barres dont l’aire représente la fréquence. | | Polygone des fréquences | Ligne brisée joignant les points (point milieu, fréquence). | | Ogive | Courbe représentant la fréquence cumulée en fonction de la borne supérieure. | | densité de fréquence | Fréquence divisée par l’amplitude d’une classe (utilisée pour l’histogramme). | | effet de bord | Erreur due à la prise d’une borne au lieu du point milieu dans le calcul de la moyenne. | | cumulé | Somme progressive des effectifs ou des fréquences. | --- ## Exercices d'application corrigés ### Exercice 1 – Effectifs et fréquences On a relevé le nombre de livres lus par mois par 25 élèves : \(0,1,1,2,2,2,3,3,3,3,4,4,4,5,5,5,5,6,6,7,7,8,9,9,10\). 1. Constituer un tableau de fréquences par classes d’amplitude 2 (c’est‑à‑dire \([0,2[, [2,4[, [4,6[, [6,8[, [8,10[, [10,12[\)). 2. Calculer les fréquences de chaque classe. 3. Déterminer la classe modale. **Corrigé** | Classe | Bornes | Effectif \(n_k\) | Fréquence \(f_k=n_k/25\) | |--------|--------|------------------|--------------------------| | \(C_1\) | \([0,2[\) | valeurs 0,1,1 → 3 | 0,12 | | \(C_2\) | \([2,4[\) | 2,2,2,3,3,3,3 → 7 | 0,28 | | \(C_3\) | \([4,6[\) | 4,4,4,5,5,5,5 → 7 | 0,28 | | \(C_4\) | \([6,8[\) | 6,6,7,7 → 4 | 0,16 | | \(C_5\) | \([8,10[\) | 8,9,9 → 3 | 0,12 | | \(C_6\) | \([10,12[\) | 10 → 1 | 0,04 | | **Total** | | 25 | 1,00 | Classe(s) modale(s) : \(C_2\) et \(C_3\) (effectif 7 chacune) → série bimodale. --- ### Exercice 2 – Moyenne d’une série groupée Un sondage mesure le temps de trajet (en minutes) de 40 travailleurs vers leur lieu de travail. Les résultats sont regroupés ainsi : | Classe (min) | Effectif | |--------------|----------| | \([0,10[\) | 5 | | \([10,20[\) | 8 | | \([20,30[\) | 12 | | \([30,40[\) | 9 | | \([40,50[\) | 4 | | \([50,60[\) | 2 | Calculer la moyenne estimée du temps de trajet. **Corrigé** Points milieu : - \(m_1=5\) - \(m_2=15\) - \(m_3=25\) - \(m_4=35\) - \(m_5=45\) - \(m_6=55\) Produits \(n_k m_k\) : - \(5\times5=25\) - \(8\times15=120\) - \(12\times25=300\) - \(9\times35=315\) - \(4\times45=180\) - \(2\times55=110\) Somme = \(25+120+300+315+180+110 = 1050\). Effectif total \(N=40\). \[ \bar{x}= \frac{1050}{40}=26,25\text{ minutes}. \] --- ### Exercice 3 – Construction d’un histogramme À partir du tableau suivant (répartition des notes sur 20 d’une classe de 30 élèves), construire l’histogramme et en déduire la classe modale. | Classe (points) | Effectif | |-----------------|----------| | \([0,5[\) | 2 | | \([5,10[\) | 4 | | \([10,15[\) | 9 | | \([15,20[\) | 15 | **Corrigé** Amplitude \(h=5\) pour toutes les classes. Fréquences : - \(f_1=2/30=0,0667\) - \(f_2=4/30=0,1333\) - \(f_3=9/30=0,3000\) - \(f_4=15/30=0,5000\) Densités (pour l’histogramme) : \(d_k = f_k/h\). - \(d_1=0,0667/5=0,0133\) - \(d_2=0,1333/5=0,0267\) - \(d_3=0,3000/5=0,0600\) - \(d_4=0,5000/5=0,1000\) On trace des barres de hauteur égale à ces densités. La barre la plus haute correspond à la classe \([15,20[\) → classe modale. --- ### Exercice 4 – Ogive et lecture de quartiles Les temps de réparation (en heures) de 50 machines sont présentés ci‑dessous : | Classe (h) | Effectif | |------------|----------| | \([0,5[\) | 6 | | \([5,10[\) | 10 | | \([10,15[\) | 14 | | \([15,20[\) | 12 | | \([20,25[\) | 5 | | \([25,30[\) | 3 | 1. Construire l’ogive (fréquence cumulée). 2. À l’aide de l’ogive, estimer le premier quartile (Q1), la médiane (Q2) et le troisième quartile (Q3). **Corrigé** Effectifs cumulés \(N_k\) et fréquences cumulées \(F_k=N_k/50\) : | Classe | \(b_k\) (h) | \(n_k\) | \(N_k\) | \(F_k\) | |--------|------------|--------|--------|--------| | \([0,5[\) | 5 | 6 | 6 | 0,12 | | \([5,10[\) |10 |10 |16 | 0,32 | | \([10,15[\) |15 |14 |30 | 0,60 | | \([15,20[\) |20 |12 |42 | 0,84 | | \([20,25[\) |25 | 5 |47 | 0,94 | | \([25,30[\) |30 | 3 |50 | 1,00 | On trace les points \((5,0,12), (10,0,32), (15,0,60), (20,0,84), (25,0,94), (30,1,00)\) et on les relie par des segments. - **Q1** correspond à \(F=0,25\). On regarde où l’ogive coupe 0,25 : entre les points (5,0,12) et (10,0,32). Interpolation linéaire : \[ Q1 = 5 + \frac{0,25-0,12}{0,32-0,12}\times(10-5)=5+\frac{0,13}{0,20}\times5=5+0,65\times5=5+3,25=8,25\text{ h}. \] - **Médiane** \(F=0,50\) : entre (10,0,32) et (15,0,60). \[ Q2 = 10 + \frac{0,50-0,32}{0,60-0,32}\times5 =10+\frac{0,18}{0,28}\times5=10+0,6429\times5=10+3,214=13,21\text{ h}. \] - **Q3** \(F=0,75\) : entre (15,0,60) et (20,0,84). \[ Q3 = 15 + \frac{0,75-0,60}{0,84-0,60}\times5 =15+\frac{0,15}{0,24}\times5=15+0,625\times5=15+3,125=18,13\text{ h}. \] --- ### Exercice 5 – Moyenne et comparaison de deux séries Deux séries de notes sur 20 sont présentées sous forme de classes : **Série A** | Classe | Effectif | |--------|----------| | \([0,5[\) | 3 | | \([5,10[\) | 7 | | \([10,15[\) | 12 | | \([15,20[\) | 8 | **Série B** | Classe | Effectif | |--------|----------| | \([0,5[\) | 6 | | \([5,10[\) | 9 | | \([10,15[\) | 10 | | \([15,20[\) | 5 | 1. Calculer la moyenne estimée de chaque série. 2. Quelle série présente la meilleure performance moyenne ? **Corrigé** Points milieu : \(m_1=2,5\), \(m_2=7,5\), \(m_3=12,5\), \(m_4=17,5\). **Série A** \[ \sum n_k m_k = 3\times2,5 + 7\times7,5 + 12\times12,5 + 8\times17,5 = 7,5 + 52,5 + 150 + 140 = 350. \] \(N_A = 3+7+12+8 = 30\). \[ \bar{x}_A = \frac{350}{30}=11,67. \] **Série B** \[ \sum n_k m_k = 6\times2,5 + 9\times7,5 + 10\times12,5 + 5\times17,5 = 15 + 67,5 + 125 + 87,5 = 295. \] \(N_B = 6+9+10+5 = 30\). \[ \bar{x}_B = \frac{295}{30}=9,83. \] La série A a une moyenne plus élevée (11,67 > 9,83) ; donc ses élèves ont, en moyenne, de meilleures notes. --- ### Exercice 6 – Interprétation d’un histogramme L’histogramme suivant représente la répartition du poids (en kg) de 60 adultes. Les classes sont de largeur 5 kg, commençant à 40 kg. Les hauteurs (densités de fréquence) lues sur le graphique sont : | Classe (kg) | Densité | |-------------|---------| | \([40,45[\) | 0,02 | | \([45,50[\) | 0,04 | | \([50,55[\) | 0,06 | | \([55,60[\) | 0,08 | | \([60,65[\) | 0,10 | | \([65,70[\) | 0,08 | | \([70,75[\) | 0,06 | | \([75,80[\) | 0,04 | | \([80,85[\) | 0,02 | 1. Déduire les fréquences de chaque classe. 2. Calculer la moyenne estimée du poids. 3. Quelle est la classe modale ? **Corrigé** - Amplitude \(h = 5\) kg. - Fréquence \(f_k = \text{densité}_k \times h\). - \(f_1 = 0,02 \times 5 = 0,10\) - \(f_2 = 0,04 \times 5 = 0,20\) - \(f_3 = 0,06 \times 5 = 0,30\) - \(f_4 = 0,08 \times 5 = 0,40\) - \(f_5 = 0,10 \times 5 = 0,50\) - \(f_6 = 0,08 \times 5 = 0,40\) - \(f_7 = 0,06 \times 5 = 0,30\) - \(f_8 = 0,04 \times 5 = 0,20\) - \(f_9 = 0,02 \times 5 = 0,10\) Somme des fréquences obtenues : \(0,10+0,20+0,30+0,40+0,50+0,40+0,30+0,20+0,10 = 2,50\). Comme l’histogramme représente 60 individus, les fréquences relatives doivent valoir 1. Le facteur d’échelle est donc \(\frac{1}{2,5}=0,4\). On multiplie chaque densité par 0,4 pour obtenir les densités réelles, ou équivalentement on multiplie les fréquences ci‑dessus par 0,4. Ainsi les fréquences réelles sont : - \(f_1^{\*}=0,10\times0,4=0,04\) - \(f_2^{\*}=0,20\times0,4=0,08\) - \(f_3^{\*}=0,30\times0,4=0,12\) - \(f_4^{\*}=0,40\times0,4=0,16\) - \(f_5^{\*}=0,50\times0,4=0,20\) - \(f_6^{\*}=0,40\times0,4=0,16\) - \(f_7^{\*}=0,30\times0,4=0,12\) - \(f_8^{\*}=0,20\times0,4=0,08\) - \(f_9^{\*}=0,10\times0,4=0,04\) Somme = 1,00 (vérifié). - Effectifs (en multipliant par \(N=60\)) : - \(n_1 = 0,04\times60 = 2,4 \approx 2\) - \(n_2 = 0,08\times60 = 4,8 \approx 5\) - \(n_3 = 0,12\times60 = 7,2 \approx 7\) - \(n_4 = 0,16\times60 = 9,6 \approx 10\) - \(n_5 = 0,20\times60 = 12\) - \(n_6 = 0,16\times60 = 9,6 \approx 10\) - \(n_7 = 0,12\times60 = 7,2 \approx 7\) - \(n_8 = 0,08\times60 = 4,8 \approx 5\) - \(n_9 = 0,04\times60 = 2,4 \approx 2\) On ajuste les arrondis pour conserver un total de 60 : 2+5+7+10+12+10+7+5+2 = 60. - Moyenne estimée : points milieu des classes : 42,5 ; 47,5 ; 52,5 ; 57,5 ; 62,5 ; 67,5 ; 72,5 ; 77,5 ; 82,5. \[ \sum n_k m_k = 2\times42,5 +5\times47,5 +7\times52,5 +10\times57,5 +12\times62,5 +10\times67,5 +7\times72,5 +5\times77,5 +2\times82,5 \] \[ =85 +237,5 +367,5 +575 +750 +675 +507,5 +387,5 +165 = 3750. \] \[ \bar{x}= \frac{3750}{60}=62,5\text{ kg}. \] - Classe modale : celle avec l’effectif le plus grand est \([60,65[\) (n=12). Donc la classe modale est \([60,65[\). > **Note** : Cet exercice montre l’importance de bien distinguer densité et fréquence lors de la lecture d’un histogramme. Les hauteurs lues sont des densités ; on obtient les fréquences en les multipliant par l’amplitude de la classe, puis on ajuste l’échelle si nécessaire pour que la somme des fréquences vaille 1. --- ## Erreurs fréquentes | # | Erreur classique | Pourquoi elle se produit | Comment l’éviter | |---|------------------|--------------------------|------------------| | 1 | **Confondre effectif et fréquence** | L’élève oublie de diviser par l’effectif total ou multiplie par erreur. | Toujours vérifier que la somme des fréquences vaut 1 (ou 100 % si on travaille en pourcentage). | | 2 | **Prendre la borne inférieure au lieu du point milieu pour la moyenne** | On pense que la valeur « représentative » d’une classe est sa borne inférieure. | Rappeler que la moyenne estimée utilise le point milieu \(m_k=(a_k+b_k)/2\). | | 3 | **Oublier de multiplier la densité par l’amplitude pour obtenir la fréquence dans un histogramme** | On lit directement la hauteur de la barre comme fréquence. | Dans un histogramme, l’aire de la barre = fréquence ; donc fréquence = hauteur × amplitude. | | 4 | **Ne pas vérifier que la somme des effectifs des classes égale l’effectif total** | Une erreur de comptage passe inaperçue. | Après le tableau, faire \(\sum n_k = N\) comme contrôle. | | 5 | **Interpolation linéaire maladroite sur l’ogive** | On utilise les mauvaises bornes ou on oublie de convertir la fréquence cumulée en proportion. | Toujours travailler avec les fréquences cumulées (valeurs entre 0 et 1) et appliquer la formule d’interpolation : \(x = x_1 + \frac{p-F_1}{F_2-F_1}(x_2-x_1)\). | | 6 | **Arrondir trop tôt les effectifs** | On arrondit les effectifs avant de calculer la moyenne, ce qui biaise le résultat. | Effectuer tous les calculs avec les valeurs exactes (ou des fractions) et n’arrondir qu’à la fin du résultat final. |