Suites numériques(suite)

# Suites numériques(suite) ## Notions de suites numériques. ### Introduction Bienvenue à cette leçon sur les suites numériques ! Après avoir eu une première approche, nous allons approfondir nos connaissances. En mathématiques, une suite numérique est une liste ordonnée de nombres. Ces nombres sont appelés des **termes** de la suite. Les suites sont très utiles pour modéliser des phénomènes qui évoluent par étapes, comme l'évolution d'une population, le calcul d'intérêts bancaires, ou même la prédiction de valeurs futures. Dans ce cours, nous allons revoir comment définir une suite, calculer ses termes et la représenter graphiquement. ### Concepts Clés #### 1. Définition d'une suite numérique Une suite numérique est une fonction dont l'ensemble de départ est une partie des nombres entiers naturels (souvent \( \mathbb{N} \) ou \( \mathbb{N}^* \)) et dont l'ensemble d'arrivée est \( \mathbb{R} \). * **Notation :** Une suite est généralement notée \( (u_n)_{n \in I} \) ou simplement \( (u_n) \), où \( I \) est l'ensemble des indices. Le terme de rang \( n \) est noté \( u_n \). * **Terme et indice :** Chaque nombre de la suite est un **terme**. La position d'un terme dans la suite est appelée son **indice** ou son **rang**. * \( u_0 \) est le premier terme (si l'indice commence à 0). * \( u_1 \) est le deuxième terme (si l'indice commence à 0). * \( u_n \) est le terme de rang \( n \). #### 2. Modes de génération d'une suite Il existe principalement deux façons de définir une suite numérique : ##### a) Forme explicite (ou fonctionnelle) Une suite est définie de manière explicite lorsque chaque terme \( u_n \) est exprimé directement en fonction de son indice \( n \). C'est comme une fonction \( f \) où \( u_n = f(n) \). * **Avantage :** On peut calculer n'importe quel terme directement sans connaître les précédents. * **Exemple :** La suite définie par \[ u_n = 2n + 1 \] pour tout \( n \in \mathbb{N} \). * Pour calculer \( u_0 \) : \( u_0 = 2(0) + 1 = 1 \) * Pour calculer \( u_1 \) : \( u_1 = 2(1) + 1 = 3 \) * Pour calculer \( u_5 \) : \( u_5 = 2(5) + 1 = 11 \) ##### b) Forme par récurrence Une suite est définie par récurrence lorsque chaque terme est exprimé en fonction du ou des termes précédents. Pour qu'une suite soit bien définie par récurrence, il est indispensable de connaître le (ou les) **terme(s) initial(aux)**. * **Avantage :** Modélise bien les phénomènes où l'état suivant dépend de l'état actuel. * **Inconvénient :** Pour calculer un terme lointain (par exemple \( u_{100} \)), il faut calculer tous les termes précédents. * **Exemple :** La suite définie par \( u_0 = 4 \) et \[ u_{n+1} = 0.5 u_n + 3 \] pour tout \( n \in \mathbb{N} \). * Pour calculer \( u_1 \) : \( u_1 = 0.5 u_0 + 3 = 0.5(4) + 3 = 2 + 3 = 5 \) * Pour calculer \( u_2 \) : \( u_2 = 0.5 u_1 + 3 = 0.5(5) + 3 = 2.5 + 3 = 5.5 \) #### 3. Représentation graphique d'une suite On peut représenter graphiquement une suite en plaçant les points de coordonnées \( (n, u_n) \) dans un repère. L'axe des abscisses représente l'indice \( n \) et l'axe des ordonnées représente le terme \( u_n \). * **Remarque :** Puisque l'indice \( n \) est un entier, les points ne sont pas reliés entre eux, contrairement à la représentation d'une fonction continue. ### Vocabulaire * **Suite numérique :** Liste ordonnée de nombres. * **Terme :** Un nombre de la suite. \( u_n \) est le n-ième terme. * **Indice (ou rang) :** La position d'un terme dans la suite (souvent \( n \)). * **Forme explicite :** Définition d'une suite où \( u_n \) est donné en fonction de \( n \). * **Forme par récurrence :** Définition d'une suite où \( u_n \) est donné en fonction d'un ou plusieurs termes précédents (nécessite un terme initial). * **Terme initial :** Le premier terme d'une suite définie par récurrence. ### Exemples #### Exemple 1 : Suite explicite Considérons la suite \( (v_n) \) définie par \[ v_n = n^2 - 3n \] pour \( n \in \mathbb{N} \). Calculez les quatre premiers termes de cette suite. * \( v_0 = 0^2 - 3(0) = 0 \) * \( v_1 = 1^2 - 3(1) = 1 - 3 = -2 \) * \( v_2 = 2^2 - 3(2) = 4 - 6 = -2 \) * \( v_3 = 3^2 - 3(3) = 9 - 9 = 0 \) #### Exemple 2 : Suite par récurrence Soit la suite \( (w_n) \) définie par \( w_0 = 5 \) et \[ w_{n+1} = 0.8 w_n + 2 \] pour \( n \in \mathbb{N} \). Calculez les trois premiers termes suivants \( w_0 \). * \( w_0 = 5 \) * \( w_1 = 0.8(5) + 2 = 4 + 2 = 6 \) * \( w_2 = 0.8(6) + 2 = 4.8 + 2 = 6.8 \) * \( w_3 = 0.8(6.8) + 2 = 5.44 + 2 = 7.44 \) #### Exemple 3 : Problème concret Un capital de 1000 € est placé à un taux d'intérêt annuel de 3%. On note \( C_n \) le capital au bout de \( n \) années. 1. Exprimez \( C_{n+1} \) en fonction de \( C_n \). 2. Quel est le capital au bout de 2 ans ? 1. Chaque année, le capital est multiplié par \( (1 + 0.03) = 1.03 \). Donc, \[ C_{n+1} = 1.03 C_n \] avec \( C_0 = 1000 \). 2. \( C_0 = 1000 \) \( C_1 = 1.03 \times C_0 = 1.03 \times 1000 = 1030 \) € \( C_2 = 1.03 \times C_1 = 1.03 \times 1030 = 1060.90 \) € ### Exercices 1. Soit la suite \( (u_n) \) définie pour tout \( n \in \mathbb{N} \) par \[ u_n = n^2 + 2n - 1 \] Calculez \( u_0, u_1, u_3 \). 2. Soit la suite \( (v_n) \) définie par \( v_0 = 1 \) et \[ v_{n+1} = 3v_n - 2 \] Calculez \( v_1, v_2, v_3 \). 3. Représentez graphiquement les cinq premiers termes de la suite \( (u_n) \) de l'exercice 1. (Vous n'avez pas besoin de tracer le graphique, juste lister les points.) Points: \( (0, u_0), (1, u_1), (2, u_2), (3, u_3), (4, u_4) \). ### Devoir à la maison 1. Soit la suite \( (a_n) \) définie pour tout \( n \in \mathbb{N} \) par \[ a_n = rac{2n+1}{n+1} \] Calculez les quatre premiers termes de la suite, à savoir \( a_0, a_1, a_2, a_3 \). Que remarquez-vous sur l'évolution des termes ? 2. Soit la suite \( (b_n) \) définie par \( b_0 = 100 \) et \[ b_{n+1} = 0.9 b_n + 10 \] a) Calculez \( b_1, b_2, b_3, b_4 \). b) Un réservoir contient 100 litres d'eau. Chaque jour, 10% de l'eau s'évapore, et on ajoute 10 litres d'eau. La suite \( (b_n) \) peut-elle modéliser la quantité d'eau dans le réservoir au bout de \( n \) jours ? Expliquez. 3. Proposez une suite explicite et une suite par récurrence qui génèrent les cinq premiers termes suivants : 5, 10, 15, 20, 25. ### Résumé Nous avons exploré les notions fondamentales des suites numériques. Voici les points essentiels à retenir : * Une **suite numérique** est une liste ordonnée de nombres, où chaque nombre est un **terme** identifié par son **indice** ou son rang. * Une suite peut être définie de deux manières principales : * **Forme explicite :** \( u_n = f(n) \), permettant de calculer directement n'importe quel terme. * **Forme par récurrence :** \( u_{n+1} = f(u_n) \), nécessitant un **terme initial** et permettant de calculer un terme à partir du précédent. * La **représentation graphique** d'une suite se fait par des points \( (n, u_n) \) dans un repère, sans les relier. Les suites sont des outils puissants pour modéliser des évolutions discrètes et sont omniprésentes en mathématiques et dans d'autres sciences. ## Mode de détermination d’une suite numérique. ### Introduction Dans le chapitre précédent, nous avons découvert ce qu'est une suite numérique : une liste de nombres ordonnés. Mais comment ces listes de nombres sont-elles créées ou définies ? Il existe plusieurs façons de déterminer ou de construire une suite. Cette leçon vous guidera à travers les différents modes de détermination d'une suite numérique, qu'elle soit définie par une formule directe ou par une relation entre ses termes. ### Concepts Clés #### 1. Définition Explicite (ou Fonctionnelle) Une suite est définie de manière explicite lorsque chaque terme de la suite peut être calculé directement à partir de son indice \( n \). Cela signifie qu'il existe une fonction \( f \) telle que \( u_n = f(n) \). * **Caractéristique :** Pour trouver \( u_n \), il suffit de remplacer \( n \) dans la formule. * **Avantage :** On peut calculer n'importe quel terme (par exemple \( u_{100} \)) sans avoir besoin de connaître les termes précédents. * **Exemple de forme :** \[ u_n = 2n + 5 \] ou \[ v_n = n^2 - 1 \]. #### 2. Définition par Récurrence Une suite est définie par récurrence lorsque chaque terme est calculé à partir du ou des termes précédents. Pour qu'une suite soit définie par récurrence, il est indispensable de donner le ou les **termes initiaux**. * **Caractéristique :** Pour trouver \( u_{n+1} \), il faut connaître \( u_n \) (ou d'autres termes précédents comme \( u_{n-1} \), etc.). * **Inconvénient :** Pour calculer un terme éloigné (comme \( u_{100} \)), il faut calculer tous les termes précédents un par un à partir du terme initial. * **Exemple de forme :** * \( u_0 = 3 \) et \( u_{n+1} = u_n + 2 \] (Le terme suivant est égal au terme précédent plus 2). * \( v_1 = 1 \) et \( v_{n+1} = 2v_n - n \]. #### 3. Définition par une Description Certaines suites peuvent être définies par une description de leurs termes, sans formule explicite ou de récurrence immédiate. * **Exemples :** * La suite des nombres premiers (2, 3, 5, 7, 11, ...) * La suite des chiffres après la virgule dans le développement décimal de \( rac{1}{3} \) (3, 3, 3, 3, ...) #### 4. Représentation Graphique d'une Suite Une suite numérique peut être représentée graphiquement par des points dans un repère. Chaque point a pour coordonnées \( (n; u_n) \). * L'axe des abscisses représente l'indice \( n \). * L'axe des ordonnées représente la valeur du terme \( u_n \). ### Vocabulaire * **Suite numérique :** Une liste ordonnée de nombres. * **Terme :** Chacun des nombres qui composent la suite. * **Indice (ou rang) :** Le numéro \( n \) qui désigne la position d'un terme dans la suite (souvent à partir de 0 ou 1). * **Définition explicite :** Mode de détermination où \( u_n \) est exprimé directement en fonction de \( n \). * **Définition par récurrence :** Mode de détermination où \( u_{n+1} \) est exprimé en fonction de \( u_n \) (ou des termes précédents). * **Terme initial :** Le premier terme d'une suite, essentiel pour les définitions par récurrence. * **Formule de récurrence :** La relation qui lie un terme de la suite au(x) terme(s) qui le précède(nt). ### Exemples #### Exemple 1 : Définition Explicite Soit la suite \( (u_n) \) définie pour tout entier naturel \( n \) par \[ u_n = 3n - 4 \]. * Pour calculer \( u_0 \) : \( u_0 = 3(0) - 4 = -4 \). * Pour calculer \( u_1 \) : \( u_1 = 3(1) - 4 = -1 \). * Pour calculer \( u_2 \) : \( u_2 = 3(2) - 4 = 2 \). * Pour calculer \( u_{10} \) : \( u_{10} = 3(10) - 4 = 30 - 4 = 26 \). #### Exemple 2 : Définition par Récurrence Soit la suite \( (v_n) \) définie par son premier terme \( v_0 = 7 \) et par la relation de récurrence \( v_{n+1} = v_n + 5 \) pour tout entier naturel \( n \). * Pour calculer \( v_1 \) : \( v_1 = v_0 + 5 = 7 + 5 = 12 \). * Pour calculer \( v_2 \) : \( v_2 = v_1 + 5 = 12 + 5 = 17 \). * Pour calculer \( v_3 \) : \( v_3 = v_2 + 5 = 17 + 5 = 22 \). #### Exemple 3 : Définition par Récurrence (plus complexe) Soit la suite \( (w_n) \) définie par \( w_0 = 1 \) et \( w_{n+1} = 2w_n - n \) pour tout entier naturel \( n \). * Pour calculer \( w_1 \) : \( w_1 = 2w_0 - 0 = 2(1) - 0 = 2 \). * Pour calculer \( w_2 \) : \( w_2 = 2w_1 - 1 = 2(2) - 1 = 4 - 1 = 3 \). * Pour calculer \( w_3 \) : \( w_3 = 2w_2 - 2 = 2(3) - 2 = 6 - 2 = 4 \). ### Exercices #### Exercice 1 Soit la suite \( (u_n) \) définie pour tout entier naturel \( n \) par \( u_n = n^2 + 2 \). * Calculez \( u_0, u_1, u_2 \). * Calculez \( u_5 \). #### Exercice 2 Soit la suite \( (v_n) \) définie par \( v_0 = 20 \) et \( v_{n+1} = rac{v_n}{2} \) pour tout entier naturel \( n \). * Calculez \( v_1, v_2, v_3 \). * Donnez la nature de cette définition (explicite ou par récurrence). #### Exercice 3 Déterminez les 4 premiers termes de la suite \( (w_n) \) définie par \( w_n = (-1)^n imes n^2 \). #### Exercice 4 Déterminez les 3 premiers termes de la suite \( (t_n) \) définie par \( t_0 = -1 \) et \( t_{n+1} = t_n^2 + 2 \). ### Devoirs à la maison #### Problème 1 Une suite est définie pour tout entier naturel \( n \) par la relation explicite \[ u_n = n^2 - 3n + 1 \]. 1. Calculez \( u_0, u_1, u_2 \). 2. Calculez \( u_7 \). #### Problème 2 Considérons la suite \( (v_n) \) définie par son premier terme \( v_0 = 3 \) et la relation de récurrence \( v_{n+1} = rac{1}{v_n + 2} \) pour tout entier naturel \( n \). 1. Calculez \( v_1, v_2, v_3 \). 2. Cette suite est-elle définie de manière explicite ou par récurrence ? Justifiez votre réponse. #### Problème 3 Soit la suite des nombres pairs positifs, en commençant par 0. 1. Écrivez les 5 premiers termes de cette suite. 2. Essayez de trouver une formule explicite \( u_n = f(n) \) pour cette suite. ### Résumé Au cours de cette leçon, nous avons exploré les deux modes principaux de détermination d'une suite numérique : * **La définition explicite :** Chaque terme \( u_n \) est calculé directement à l'aide de son indice \( n \) par une formule \( u_n = f(n) \). Cela permet de trouver n'importe quel terme sans passer par les précédents. * **La définition par récurrence :** Un terme \( u_{n+1} \) est calculé à partir du ou des termes précédents, comme \( u_n \). Il est indispensable de connaître un ou plusieurs **termes initiaux** pour pouvoir calculer les termes de la suite. Pour calculer un terme donné, il faut généralement calculer tous les termes qui le précèdent. Comprendre ces deux modes est fondamental pour travailler avec les suites numériques.