Chap3: Equations, inéquations et systèmes

# Chap3: Equations, inéquations et systèmes ## Équations dont la résolution se ramène à celle d’équations du premier degré dans IR ### Introduction Bienvenue dans ce chapitre crucial sur les équations ! En Seconde, vous allez apprendre à résoudre des équations plus complexes que celles du premier degré, mais la bonne nouvelle est que la plupart de ces équations peuvent être transformées pour finalement se ramener à des équations du premier degré, que vous savez déjà résoudre. Nous allons explorer les méthodes pour y parvenir, notamment les équations produits-nuls et les équations quotients-nuls, ainsi que des techniques de factorisation et de mise au même dénominateur. ### Concepts Clés #### 1. Rappel sur les équations du premier degré Une équation du premier degré est une équation qui peut s'écrire sous la forme générale : \[ ax + b = 0 \] où \( a \) et \( b \) sont des nombres réels, et \( x \) est l'inconnue. Le terme "premier degré" signifie que la plus grande puissance de \( x \) est 1. Pour la résoudre, on isole \( x \): \( ax = -b \) Si \( a \neq 0 \), alors la solution unique est : \[ x = -\frac{b}{a} \] Si \( a = 0 \): * Si \( b = 0 \), l'équation devient \( 0x + 0 = 0 \), ce qui est \( 0=0 \). Toutes les valeurs de \( x \) sont solutions. L'ensemble des solutions est \( \mathbb{R} \). * Si \( b \neq 0 \), l'équation devient \( 0x + b = 0 \), ce qui est \( b=0 \). C'est impossible. L'équation n'a aucune solution. L'ensemble des solutions est l'ensemble vide \( \emptyset \). #### 2. Équations produits-nuls Une équation produit-nul est une équation qui peut s'écrire sous la forme : \[ A(x) \times B(x) = 0 \] où \( A(x) \) et \( B(x) \) sont des expressions littérales (souvent des fonctions affines ou polynomiales). **Propriété fondamentale :** Un produit de facteurs est nul si et seulement si au moins l'un de ses facteurs est nul. Pour résoudre \( A(x) \times B(x) = 0 \), il faut résoudre les deux équations du premier degré séparément : \( A(x) = 0 \) **ou** \( B(x) = 0 \) Les solutions de l'équation produit-nul sont l'union des solutions de \( A(x) = 0 \) et de \( B(x) = 0 \). #### 3. Équations quotients-nuls Une équation quotient-nul est une équation qui peut s'écrire sous la forme : \[ \frac{A(x)}{B(x)} = 0 \] où \( A(x) \) et \( B(x) \) sont des expressions littérales, et \( B(x) \) ne doit pas être nul. **Propriété fondamentale :** Un quotient est nul si et seulement si son numérateur est nul **ET** son dénominateur est non nul. Pour résoudre \( \frac{A(x)}{B(x)} = 0 \), il faut suivre deux étapes : 1. **Condition d'existence :** Déterminer les valeurs de \( x \) pour lesquelles le dénominateur \( B(x) \) est différent de zéro. Ces valeurs forment l'ensemble de définition (ou domaine de validité) de l'équation. 2. **Résolution du numérateur :** Résoudre l'équation \( A(x) = 0 \). Les solutions de l'équation quotient-nul sont les solutions de \( A(x) = 0 \) qui sont également dans l'ensemble de définition de l'équation (c'est-à-dire qui ne rendent pas \( B(x) \) nul). #### 4. Équations se ramenant à un produit-nul ou un quotient-nul Beaucoup d'équations ne se présentent pas directement sous la forme produit-nul ou quotient-nul, mais peuvent y être transformées. ##### a. Par factorisation L'idée est de passer tous les termes d'un côté de l'équation pour obtenir un \( 0 \) de l'autre, puis de factoriser l'expression. On utilise souvent : * Les identités remarquables : \( a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) \) * Un facteur commun. Par exemple, pour résoudre \( (x+1)^2 = 4 \) : \( (x+1)^2 - 4 = 0 \) On reconnaît \( a^2 - b^2 \) avec \( a = (x+1) \) et \( b = 2 \). \( ((x+1) - 2)((x+1) + 2) = 0 \) \( (x-1)(x+3) = 0 \) C'est une équation produit-nul. ##### b. Par mise au même dénominateur Lorsqu'une équation contient des fractions avec des expressions inconnues au dénominateur, l'objectif est de mettre tous les termes sur un même dénominateur commun (non nul !) et de ramener l'équation à une forme quotient-nul. Par exemple, pour résoudre \( \frac{1}{x} = \frac{2}{x+1} \) : 1. **Conditions d'existence :** \( x \neq 0 \) et \( x+1 \neq 0 \) (donc \( x \neq -1 \)). L'ensemble de définition est \( \mathbb{R} \setminus \{0, -1\} \). 2. **Mettre au même dénominateur et passer tous les termes d'un côté :** \( \frac{1}{x} - \frac{2}{x+1} = 0 \) \( \frac{1(x+1)}{x(x+1)} - \frac{2x}{x(x+1)} = 0 \) \( \frac{x+1 - 2x}{x(x+1)} = 0 \) \( \frac{-x+1}{x(x+1)} = 0 \) C'est une équation quotient-nul. Il faut résoudre \( -x+1=0 \) (qui donne \( x=1 \)) et vérifier que \( 1 \) n'annule pas le dénominateur (ce qui est le cas car \( 1 \neq 0 \) et \( 1 \neq -1 \)). ### Vocabulaire * **Équation du premier degré :** Équation de la forme \( ax+b=0 \) où \( a \) est non nul. * **Solution :** Valeur(s) de l'inconnue qui rend(ent) l'égalité vraie. * **Ensemble de définition (ou Domaine de validité) :** L'ensemble des valeurs de l'inconnue pour lesquelles l'expression est définie (par exemple, le dénominateur ne doit pas être nul). * **Équation produit-nul :** Équation de la forme \( A(x) \times B(x) = 0 \). * **Équation quotient-nul :** Équation de la forme \( \frac{A(x)}{B(x)} = 0 \). * **Factorisation :** Transformer une somme ou une différence en un produit. ### Exemples 1. **Équation produit-nul :** Résoudre \( (3x-6)(x+4) = 0 \) * \( 3x-6 = 0 \) \( \Rightarrow 3x = 6 \) \( \Rightarrow x = 2 \) * \( x+4 = 0 \) \( \Rightarrow x = -4 \) Les solutions sont \( \{2, -4\} \). 2. **Équation quotient-nul :** Résoudre \( \frac{2x+1}{x-3} = 0 \) * **Conditions d'existence :** \( x-3 \neq 0 \) \( \Rightarrow x \neq 3 \). L'ensemble de définition est \( \mathbb{R} \setminus \{3\} \). * **Résolution du numérateur :** \( 2x+1 = 0 \) \( \Rightarrow 2x = -1 \) \( \Rightarrow x = -\frac{1}{2} \) * Vérification : \( -\frac{1}{2} \) est bien différent de \( 3 \). La solution est \( \{-\frac{1}{2}\} \). 3. **Équation à factoriser (différence de carrés) :** Résoudre \( (x-5)^2 = 9 \) \( (x-5)^2 - 9 = 0 \) \( (x-5)^2 - 3^2 = 0 \) \( ((x-5) - 3)((x-5) + 3) = 0 \) \( (x-8)(x-2) = 0 \) * \( x-8 = 0 \) \( \Rightarrow x = 8 \) * \( x-2 = 0 \) \( \Rightarrow x = 2 \) Les solutions sont \( \{8, 2\} \). 4. **Équation à factoriser (facteur commun) :** Résoudre \( x(x+2) = 5(x+2) \) \( x(x+2) - 5(x+2) = 0 \) \( (x+2)(x-5) = 0 \) * \( x+2 = 0 \) \( \Rightarrow x = -2 \) * \( x-5 = 0 \) \( \Rightarrow x = 5 \) Les solutions sont \( \{-2, 5\} \). 5. **Équation à ramener à un quotient-nul :** Résoudre \( \frac{x}{x-1} = 2 \) * **Conditions d'existence :** \( x-1 \neq 0 \) \( \Rightarrow x \neq 1 \). L'ensemble de définition est \( \mathbb{R} \setminus \{1\} \). * **Transformation :** \( \frac{x}{x-1} - 2 = 0 \) \( \frac{x}{x-1} - \frac{2(x-1)}{x-1} = 0 \) \( \frac{x - (2x-2)}{x-1} = 0 \) \( \frac{x - 2x + 2}{x-1} = 0 \) \( \frac{-x + 2}{x-1} = 0 \) * **Résolution du numérateur :** \( -x+2 = 0 \) \( \Rightarrow -x = -2 \) \( \Rightarrow x = 2 \) * Vérification : \( 2 \) est bien différent de \( 1 \). La solution est \( \{2\} \). ### Exercices Résoudre les équations suivantes : 1. \( (4x+8)(2x-1) = 0 \) 2. \( x^2 - 49 = 0 \) 3. \( (x+3)^2 = (2x-1)^2 \) 4. \( (5x+1)(x-2) - (5x+1)(3x+4) = 0 \) 5. \( \frac{3x-9}{x+5} = 0 \) 6. \( \frac{x}{x-2} = 3 \) ### Devoirs à la maison Résoudre les équations suivantes en détaillant toutes les étapes : 1. \( (x+4)^2 - 25 = 0 \) 2. \( 2x(x-7) = 3(x-7) \) 3. \( \frac{4}{x-1} = \frac{2}{x+3} \) 4. \( \frac{x^2-16}{x-4} = 0 \) 5. \( 3x^2 + 6x = 0 \) ### Résumé Ce chapitre vous a introduit à des techniques puissantes pour résoudre des équations qui, à première vue, ne semblent pas être du premier degré. L'idée clé est de **transformer** ces équations en des formes que vous savez déjà gérer : * **Équations produits-nuls :** \( A(x) \times B(x) = 0 \) \( \Rightarrow A(x)=0 \) ou \( B(x)=0 \). * **Équations quotients-nuls :** \( \frac{A(x)}{B(x)} = 0 \) \( \Rightarrow A(x)=0 \) et \( B(x) \neq 0 \). Les outils principaux pour cette transformation sont la **factorisation** (souvent en ramenant l'équation à \( =0 \) d'un côté) et la **mise au même dénominateur** (pour les équations avec fractions). N'oubliez jamais de définir l'**ensemble de définition** pour les équations avec des dénominateurs contenants des inconnues afin d'éviter les divisions par zéro. ## Tableau des signes d’un binôme : ax+b ### Introduction Dans ce chapitre, nous allons apprendre à déterminer le signe d'une expression du type \(ax+b\), appelée binôme du premier degré. Comprendre comment le signe de cette expression change est une compétence fondamentale en mathématiques. Cela nous sera notamment très utile pour résoudre des inéquations et pour étudier des fonctions plus complexes par la suite. Nous allons découvrir une méthode visuelle et structurée : le tableau des signes. ### Concepts Clés #### Qu'est-ce qu'un binôme de degré 1 ? Un binôme de degré 1 est une expression algébrique qui peut s'écrire sous la forme \[ax+b\] où : * \(a\) et \(b\) sont des nombres réels (des constantes). * \(x\) est la variable. * Le coefficient \(a\) ne doit pas être égal à zéro (si \(a=0\), l'expression devient simplement \(b\), qui est une constante et son signe est fixe). **Exemples :** * \(2x+3\) (ici \(a=2\), \(b=3\)) * \(-5x+1\) (ici \(a=-5\), \(b=1\)) * \(x-4\) (ici \(a=1\), \(b=-4\)) #### La racine d'un binôme La **racine** d'un binôme \(ax+b\) est la valeur de \(x\) pour laquelle l'expression s'annule, c'est-à-dire quand \(ax+b = 0\). Pour trouver cette racine, il suffit de résoudre l'équation : \[ax+b = 0\] \[ax = -b\] \[x = -\frac{b}{a}\] Cette valeur de \(x\) est cruciale car c'est le point où le signe du binôme peut changer. #### Règle du signe d'un binôme \(ax+b\) Le signe d'un binôme \(ax+b\) dépend du signe de son coefficient directeur \(a\) et de la position de \(x\) par rapport à sa racine \(-\frac{b}{a}\). 1. **Si \(a > 0\) (le coefficient directeur est positif) :** * Le binôme est **négatif** pour les valeurs de \(x\) *inférieures* à la racine \(-\frac{b}{a}\). * Le binôme est **nul** pour \(x = -\frac{b}{a}\). * Le binôme est **positif** pour les valeurs de \(x\) *supérieures* à la racine \(-\frac{b}{a}\). * On dit que \(ax+b\) est **du signe de \(-a\)** avant la racine et **du signe de \(a\)** après la racine. 2. **Si \(a < 0\) (le coefficient directeur est négatif) :** * Le binôme est **positif** pour les valeurs de \(x\) *inférieures* à la racine \(-\frac{b}{a}\). * Le binôme est **nul** pour \(x = -\frac{b}{a}\). * Le binôme est **négatif** pour les valeurs de \(x\) *supérieures* à la racine \(-\frac{b}{a}\). * On dit que \(ax+b\) est **du signe de \(-a\)** avant la racine et **du signe de \(a\)** après la racine. #### Construction d'un tableau de signes Pour organiser l'étude du signe d'un binôme, nous utilisons un tableau de signes. Voici les étapes : 1. **Trouver la racine :** Résolvez \(ax+b = 0\) pour trouver la valeur de \(x = -\frac{b}{a}\). 2. **Tracer le tableau :** Dessinez un tableau avec deux lignes principales. * La première ligne est dédiée à la variable \(x\), allant de \(-\infty\) à \(+\infty\). Placez la racine \(-\frac{b}{a}\) dans une colonne intermédiaire, en ordre croissant. * La deuxième ligne est dédiée à l'expression \(ax+b\). 3. **Indiquer la nullité :** Sous la racine \(-\frac{b}{a}\), dans la ligne de \(ax+b\), placez un \(0\) pour indiquer que le binôme s'annule à cet endroit. 4. **Déterminer les signes :** En fonction du signe de \(a\) : * Si \(a > 0\) : Placez un \(-\) (signe négatif) avant la racine et un \(+\) (signe positif) après la racine. * Si \(a < 0\) : Placez un \(+\) (signe positif) avant la racine et un \(-\) (signe négatif) après la racine. ### Vocabulaire * **Binôme de degré 1 (ou du premier degré) :** Une expression algébrique de la forme \(ax+b\) avec \(a \neq 0\). * **Coefficient directeur :** Le nombre \(a\) dans \(ax+b\). Il indique la pente de la droite représentative de la fonction linéaire associée. * **Constante :** Le nombre \(b\) dans \(ax+b\). C'est la valeur de l'expression quand \(x=0\). * **Racine :** La valeur de \(x\) qui annule le binôme, c'est-à-dire la solution de l'équation \(ax+b=0\). * **Tableau de signes :** Un outil graphique pour récapituler le signe d'une expression mathématique sur différents intervalles. * **Inéquation :** Une inégalité contenant une ou plusieurs variables (ex: \(ax+b > 0\) ou \(ax+b \leq 0\)). * **Intervalle :** Un ensemble de nombres réels entre deux bornes. ### Exemples #### Exemple 1 : Étudier le signe de \(2x + 4\) 1. **Trouver la racine :** \(2x + 4 = 0\) \(2x = -4\) \(x = -\frac{4}{2}\) \(x = -2\) 2. **Signe de \(a\) :** Ici, \(a=2\), donc \(a>0\). 3. **Tableau de signes :** | \(x\) | \(-\infty\) | \(-2\) | \(+\infty\) | | :------------ | :----------: | :---------------: | :----------: | | \(2x+4\) | \(-\) | \(0\) | \(+\) | **Conclusion :** * \(2x+4 < 0\) pour \(x \in ]-\infty; -2[\) * \(2x+4 = 0\) pour \(x = -2\) * \(2x+4 > 0\) pour \(x \in ]-2; +\infty[\) #### Exemple 2 : Étudier le signe de \(-3x + 9\) 1. **Trouver la racine :** \(-3x + 9 = 0\) \(-3x = -9\) \(x = \frac{-9}{-3}\) \(x = 3\) 2. **Signe de \(a\) :** Ici, \(a=-3\), donc \(a<0\). 3. **Tableau de signes :** | \(x\) | \(-\infty\) | \(3\) | \(+\infty\) | | :------------ | :----------: | :---------------: | :----------: | | \(-3x+9\) | \(+\) | \(0\) | \(-\) | **Conclusion :** * \(-3x+9 > 0\) pour \(x \in ]-\infty; 3[\) * \(-3x+9 = 0\) pour \(x = 3\) * \(-3x+9 < 0\) pour \(x \in ]3; +\infty[\) #### Exemple 3 : Résoudre une inéquation \(5x - 10 \geq 0\) 1. **Trouver la racine du binôme \(5x-10\) :** \(5x - 10 = 0\) \(5x = 10\) \(x = 2\) 2. **Signe de \(a\) :** Ici, \(a=5\), donc \(a>0\). 3. **Tableau de signes :** | \(x\) | \(-\infty\) | \(2\) | \(+\infty\) | | :------------ | :----------: | :---------------: | :----------: | | \(5x-10\) | \(-\) | \(0\) | \(+\) | 4. **Lire la solution de l'inéquation :** Nous cherchons les \(x\) pour lesquels \(5x-10 \geq 0\). D'après le tableau, cela correspond à l'intervalle où \(5x-10\) est positif ou nul. **Solution :** \(x \in [2; +\infty[\) ### Exercices #### Exercice 1 Établissez le tableau de signes pour chacun des binômes suivants : 1. \(x + 5\) 2. \(4x - 8\) 3. \(-x + 7\) 4. \(-2x - 6\) #### Exercice 2 Résolvez les inéquations suivantes en utilisant un tableau de signes : 1. \(3x - 12 < 0\) 2. \(-5x + 10 \geq 0\) 3. \(2x + 1 > 0\) 4. \(-4x - 8 \leq 0\) ### Devoirs #### Exercice 1 Donnez la racine et le tableau de signes des expressions suivantes : 1. \(\frac{1}{2}x + 3\) 2. \(-\frac{2}{3}x - 4\) 3. \(5x - 1\) 4. \(7 - x\) #### Exercice 2 Résolvez les inéquations suivantes et donnez l'ensemble des solutions sous forme d'intervalle : 1. \(7x + 14 > 0\) 2. \(-x + 2 \leq 0\) 3. \(\frac{1}{3}x - 2 \geq 0\) 4. \(6 - 3x < 0\) ### Résumé * Un binôme du premier degré est de la forme \(ax+b\) avec \(a \neq 0\). * La **racine** du binôme est la valeur \(x = -\frac{b}{a}\), où le binôme s'annule. * Le **signe du binôme change** à sa racine. * Si \(a>0\) : le binôme est négatif avant la racine, nul à la racine, et positif après la racine. * Si \(a<0\) : le binôme est positif avant la racine, nul à la racine, et négatif après la racine. * Le **tableau de signes** est l'outil essentiel pour visualiser et organiser l'étude du signe d'un binôme, ce qui est fondamental pour la résolution d'inéquations.