Chap5: Fonctions

# Chap5: Fonctions ## Fonctions et Applications : définition, ensemble de définition, antécédents, images ### Introduction Les fonctions sont un concept fondamental en mathématiques et dans de nombreuses autres sciences (physique, économie, biologie...). Elles nous permettent de modéliser et de comprendre les relations entre différentes quantités. Par exemple, comment le prix d'un produit dépend-il de la quantité fabriquée ? Comment la position d'un objet évolue-t-elle en fonction du temps ? Dans ce chapitre, nous allons définir ce qu'est une fonction, comment elle associe des nombres entre eux, et les différentes façons de la représenter. ### Concepts Clés #### I. Qu'est-ce qu'une fonction ? ##### A. Définition Une **fonction** est un processus qui, à chaque nombre d'un ensemble de départ, associe **au plus un** nombre d'un ensemble d'arrivée. On dit aussi que la fonction transforme un nombre en un autre. * On note souvent une fonction avec une lettre comme \( f \), \( g \) ou \( h \). * Si \( f \) est une fonction, on peut écrire: * \( f: x \mapsto y \) (se lit "\( f \) qui à \( x \) associe \( y \)") * \( y = f(x) \) (se lit "\( y \) est égal à \( f \) de \( x \)") ##### B. Variable et Image * Le nombre de départ, que l'on fait "entrer" dans la fonction, est appelé la **variable** (souvent notée \( x \)). * Le nombre d'arrivée, qui est le résultat du processus de la fonction, est appelé l'**image** de la variable \( x \) par la fonction \( f \). Cette image est souvent notée \( y \) ou \( f(x) \). #### II. Images et antécédents ##### A. L'image d'un nombre Pour une fonction donnée \( f \), chaque nombre \( x \) de l'ensemble de départ a **une unique** image \( f(x) \). Pour trouver l'image, on remplace la variable \( x \) par le nombre donné dans l'expression de la fonction. * **Exemple :** Soit la fonction \( f(x) = 2x + 3 \). * L'image de 4 par \( f \) est \( f(4) = 2 \times 4 + 3 = 8 + 3 = 11 \). * L'image de -1 par \( f \) est \( f(-1) = 2 \times (-1) + 3 = -2 + 3 = 1 \). ##### B. L'antécédent d'un nombre Un **antécédent** d'un nombre \( b \) par une fonction \( f \) est un nombre \( a \) tel que son image par \( f \) est \( b \), c'est-à-dire \( f(a) = b \). Contrairement à l'image, un nombre \( b \) peut avoir : * **Aucun** antécédent. * **Un seul** antécédent. * **Plusieurs** antécédents. Pour trouver l'antécédent (ou les antécédents) d'un nombre \( b \), il faut résoudre l'équation \( f(x) = b \). * **Exemple :** Soit la fonction \( f(x) = x^2 \). * Cherchons les antécédents de 9 : on résout \( f(x) = 9 \), soit \( x^2 = 9 \). Les solutions sont \( x = 3 \) et \( x = -3 \). Donc, 9 a deux antécédents : 3 et -3. * Cherchons les antécédents de -4 : on résout \( f(x) = -4 \), soit \( x^2 = -4 \). Cette équation n'a pas de solution dans l'ensemble des nombres réels \( \mathbb{R} \). Donc, -4 n'a aucun antécédent par \( f \). #### III. Ensemble de définition (Domaine de définition) ##### A. Définition L'**ensemble de définition** (ou **domaine de définition**) d'une fonction \( f \), noté \( D_f \), est l'ensemble de tous les nombres réels \( x \) pour lesquels le calcul de \( f(x) \) est possible. C'est l'ensemble de tous les \( x \) qui ont une image par la fonction. ##### B. Détermination de l'ensemble de définition Pour déterminer \( D_f \), il faut identifier les valeurs de \( x \) qui posent problème dans le calcul de \( f(x) \). Les cas les plus courants en Seconde sont : 1. **Division par zéro :** Le dénominateur d'une fraction ne peut jamais être nul. * **Exemple :** Si \( f(x) = \frac{1}{x-2} \), il faut que \( x-2 \neq 0 \), donc \( x \neq 2 \). L'ensemble de définition est \( D_f = \mathbb{R} \setminus \{2\} \) (tous les nombres réels sauf 2). 2. **Racine carrée d'un nombre négatif :** L'expression sous un radical (signe \( \sqrt{} \)) doit toujours être positive ou nulle. * **Exemple :** Si \( g(x) = \sqrt{x+1} \), il faut que \( x+1 \ge 0 \), donc \( x \ge -1 \). L'ensemble de définition est \( D_g = [-1; +\infty[ \). 3. **Aucune restriction :** Pour des fonctions polynomiales (ex: \( f(x) = x^2+3x-1 \)), il n'y a pas de restrictions, donc l'ensemble de définition est \( \mathbb{R} \). #### IV. Représentations d'une fonction Une fonction peut être représentée de plusieurs manières : ##### A. Par une formule algébrique (ou expression littérale) C'est la manière la plus courante. La formule donne la règle de calcul pour trouver l'image de \( x \). * **Exemple :** \( f(x) = 3x^2 - 5x + 1 \). ##### B. Par un tableau de valeurs Il s'agit d'une liste de quelques valeurs de \( x \) et de leurs images \( f(x) \). * **Exemple :** Pour \( f(x) = x+2 \) | \( x \) | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | |-----------|----|----|---|---|---| | \( f(x) \) | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | ##### C. Par une représentation graphique Dans un repère, on place les points de coordonnées \( (x; f(x)) \). L'ensemble de ces points forme la **courbe représentative** de la fonction \( f \), souvent notée \( C_f \). * La courbe permet de visualiser le comportement de la fonction et de lire graphiquement des images et des antécédents. * **Pour lire l'image de \( x \) :** On part de \( x \) sur l'axe des abscisses, on monte (ou descend) jusqu'à la courbe, puis on lit l'ordonnée correspondante sur l'axe des ordonnées. * **Pour lire l'antécédent de \( y \) :** On part de \( y \) sur l'axe des ordonnées, on va horizontalement jusqu'à la courbe, puis on lit l'abscisse correspondante sur l'axe des abscisses. ### Vocabulaire * **Fonction :** Processus qui associe à chaque nombre de départ au plus un nombre d'arrivée. * **Variable :** Le nombre de départ (souvent \( x \)) pour lequel on calcule l'image. * **Image :** Le résultat du calcul de la fonction pour une valeur de la variable donnée (notée \( f(x) \)). Un nombre a toujours une unique image par une fonction. * **Antécédent :** Un nombre de départ qui, par la fonction, a pour image un nombre donné. Un nombre peut avoir zéro, un ou plusieurs antécédents. * **Ensemble de définition (ou Domaine de définition) \( D_f \) :** L'ensemble de toutes les valeurs pour lesquelles la fonction est définie (le calcul est possible). * **Courbe représentative :** La représentation graphique d'une fonction dans un repère, constituée de tous les points \( (x; f(x)) \). ### Exemples #### Exemple 1 : Calcul d'images et antécédents Soit la fonction \( f \) définie par \( f(x) = -3x + 5 \). 1. **Calculer l'image de 2 :** \( f(2) = -3 \times 2 + 5 = -6 + 5 = -1 \). 2. **Calculer l'image de -4 :** \( f(-4) = -3 \times (-4) + 5 = 12 + 5 = 17 \). 3. **Déterminer l'antécédent de 11 :** On résout l'équation \( f(x) = 11 \). \( -3x + 5 = 11 \) \( -3x = 11 - 5 \) \( -3x = 6 \) \( x = \frac{6}{-3} \) \( x = -2 \) L'antécédent de 11 par \( f \) est -2. #### Exemple 2 : Détermination de l'ensemble de définition Déterminer l'ensemble de définition des fonctions suivantes : 1. \( f(x) = 4x^2 - 7 \) Il n'y a aucune restriction (pas de division, pas de racine carrée). Donc \( D_f = \mathbb{R} \). 2. \( g(x) = \frac{x+1}{x-3} \) La division par zéro est interdite. Le dénominateur ne doit pas être nul : \( x-3 \neq 0 \), donc \( x \neq 3 \). \( D_g = \mathbb{R} \setminus \{3\} \). 3. \( h(x) = \sqrt{2x+8} \) L'expression sous la racine carrée doit être positive ou nulle : \( 2x+8 \ge 0 \). \( 2x \ge -8 \) \( x \ge \frac{-8}{2} \) \( x \ge -4 \) \( D_h = [-4; +\infty[ \). ### Exercices #### Exercice 1 Soit la fonction \( f \) définie par \( f(x) = 5 - 2x \). 1. Calculer l'image de 0, de 3 et de -2 par \( f \). 2. Déterminer le ou les antécédents de 9 par \( f \). 3. Le nombre 17 est-il une image possible par \( f \)? Si oui, de quel nombre ? #### Exercice 2 Déterminer l'ensemble de définition de chacune des fonctions suivantes : 1. \( f(x) = 3x^2 - x + 7 \) 2. \( g(x) = \frac{4x}{x+6} \) 3. \( h(x) = \sqrt{5-x} \) 4. \( k(x) = \frac{1}{\sqrt{x-2}} \) #### Exercice 3 Soit le tableau de valeurs d'une fonction \( g \) : | \( x \) | -3 | -1 | 0 | 2 | 5 | 7 | |-----------|----|----|---|---|----|---| | \( g(x) \) | 4 | 2 | 1 | 4 | -3 | 1 | 1. Quelle est l'image de -1 par \( g \) ? 2. Donner un antécédent de 4 par \( g \). 3. Donner un antécédent de 1 par \( g \). ### Devoir à la maison #### Exercice 1 Soit la fonction \( h \) définie par \( h(x) = x^2 - 3x + 2 \). 1. Calculer \( h(0) \), \( h(1) \), \( h(2) \) et \( h(-1) \). 2. Le nombre 0 a-t-il des antécédents par \( h \)? Si oui, lesquels ? 3. Le nombre -10 a-t-il des antécédents par \( h \)? Justifier votre réponse. #### Exercice 2 Pour chaque fonction, déterminer son ensemble de définition : 1. \( f(x) = \frac{2x-5}{x^2-9} \) 2. \( g(x) = \sqrt{x-7} \) 3. \( k(x) = \frac{1}{x^2+4} \) 4. \( m(x) = \frac{\sqrt{x+1}}{x} \) #### Exercice 3 (Graphique) Considérons une fonction \( f \) dont la courbe représentative \( C_f \) est donnée (imaginez une courbe qui passe par (-2,1), (-1,3), (0,2), (1,3), (2,1), (3,0)). 1. Lire graphiquement l'image de 0 par \( f \). 2. Lire graphiquement l'image de 2 par \( f \). 3. Déterminer graphiquement les antécédents de 3 par \( f \). 4. Déterminer graphiquement les antécédents de 1 par \( f \). ### Résumé * Une **fonction** est une relation qui associe à chaque nombre de départ (variable \( x \)) **une unique** image \( f(x) \). * On calcule une **image** en remplaçant \( x \) dans l'expression de la fonction. * On trouve un ou des **antécédents** en résolvant l'équation \( f(x) = \text{nombre donné} \). Un nombre peut avoir zéro, un ou plusieurs antécédents. * L'**ensemble de définition** \( D_f \) est l'ensemble des valeurs de \( x \) pour lesquelles la fonction a un sens. Il faut être vigilant aux divisions par zéro et aux racines carrées de nombres négatifs. * Les fonctions peuvent être représentées par une **formule**, un **tableau de valeurs** ou une **courbe graphique**. ## Ensemble de définition, sens de variation et courbe des fonctions : x↦ax+b; affines par intervalle ; x↦x^2; x↦1/x.. ### Introduction Bienvenue dans ce chapitre essentiel sur les fonctions ! En mathématiques, les fonctions sont des outils puissants qui nous permettent de décrire des relations entre différentes quantités. Que ce soit pour modéliser la trajectoire d'un objet, l'évolution d'une population ou le coût d'un service, les fonctions sont partout. Dans cette leçon, nous allons explorer les concepts fondamentaux liés aux fonctions : comment déterminer leur "territoire de jeu" (l'ensemble de définition), comment elles se comportent (leur sens de variation), et comment visualiser tout cela à travers leurs représentations graphiques, en nous concentrant sur quelques fonctions de référence cruciales. ### Concepts Clés #### 1. Qu'est-ce qu'une fonction ? Une fonction est un processus qui, à chaque nombre d'un ensemble de départ (appelé l'**ensemble de définition**), associe **un unique** nombre d'un ensemble d'arrivée. * **Notation:** On note souvent une fonction \( f \) de \( x \) vers \( f(x) \) ou \( y \). Par exemple, \( f: x \mapsto 2x+1 \) ou \( f(x) = 2x+1 \). * **Image et antécédent:** Si \( y = f(x) \), alors \( y \) est l'**image** de \( x \) par \( f \), et \( x \) est un **antécédent** de \( y \) par \( f \). #### 2. L'ensemble de définition d'une fonction L'**ensemble de définition** d'une fonction \( f \), noté \( D_f \), est l'ensemble de tous les nombres \( x \) pour lesquels \( f(x) \) existe (c'est-à-dire que le calcul est possible et bien défini). * **Cas courants où le calcul est impossible :** * **Division par zéro:** On ne peut pas diviser par zéro. Si une fonction contient une fraction du type \( \frac{A(x)}{B(x)} \), alors \( B(x) \) doit être différent de zéro. Par exemple, pour \( f(x) = \frac{1}{x-3} \), l'ensemble de définition est \( D_f = \mathbb{R} \setminus \{3\} \) (tous les réels sauf 3). * **Racine carrée d'un nombre négatif:** On ne peut pas prendre la racine carrée d'un nombre strictement négatif. Si une fonction contient une expression du type \( \sqrt{A(x)} \), alors \( A(x) \) doit être supérieur ou égal à zéro. Par exemple, pour \( g(x) = \sqrt{x+2} \), l'ensemble de définition est \( D_g = [-2, +\infty[ \). #### 3. Sens de variation d'une fonction Le sens de variation décrit comment les images évoluent lorsque les antécédents augmentent. On utilise des intervalles pour décrire ces variations. * **Fonction croissante:** Une fonction \( f \) est croissante sur un intervalle \( I \) si pour tous \( a, b \) de \( I \) tels que \( a < b \), alors \( f(a) \le f(b) \). (Les images suivent le même ordre que les antécédents). * **Fonction décroissante:** Une fonction \( f \) est décroissante sur un intervalle \( I \) si pour tous \( a, b \) de \( I \) tels que \( a < b \), alors \( f(a) \ge f(b) \). (Les images suivent l'ordre inverse des antécédents). * **Fonction constante:** Une fonction \( f \) est constante sur un intervalle \( I \) si pour tous \( a, b \) de \( I \), alors \( f(a) = f(b) \). * **Tableau de variations:** Un tableau de variations résume le comportement d'une fonction sur son ensemble de définition à l'aide de flèches montantes (croissante) et descendantes (décroissante). #### 4. Courbe représentative d'une fonction La **courbe représentative** d'une fonction \( f \) est l'ensemble de tous les points \( M(x; y) \) du plan dont les coordonnées vérifient \( y = f(x) \). * **Tracé:** On peut tracer une courbe en calculant les coordonnées de plusieurs points \( (x, f(x)) \) et en les reliant de manière appropriée. * **Lecture graphique:** À partir de la courbe, on peut déterminer l'image d'un nombre, les antécédents d'un nombre, le sens de variation, les extrema (maximums et minimums). #### 5. Fonctions de référence ##### 5.1. Fonctions affines : \( x \mapsto ax+b \) Une fonction affine est définie par \( f(x) = ax+b \) où \( a \) et \( b \) sont des nombres réels. * **Ensemble de définition:** \( D_f = \mathbb{R} \). * **Courbe représentative:** Une droite. * \( a \) est le **coefficient directeur** (ou pente) de la droite. Il indique l'inclinaison de la droite. * \( b \) est l'**ordonnée à l'origine**. C'est la valeur de \( y \) lorsque \( x=0 \) (le point d'intersection de la droite avec l'axe des ordonnées). * **Sens de variation:** * Si \( a > 0 \), la fonction est strictement croissante sur \( \mathbb{R} \). * Si \( a < 0 \), la fonction est strictement décroissante sur \( \mathbb{R} \). * Si \( a = 0 \), la fonction est constante (\( f(x) = b \)). * **Cas particuliers:** * **Fonctions linéaires:** Si \( b=0 \), \( f(x) = ax \). La droite passe par l'origine \( (0,0) \). * **Fonctions constantes:** Si \( a=0 \), \( f(x) = b \). La droite est horizontale. ##### 5.2. Fonctions affines par intervalles Ce sont des fonctions dont la courbe représentative est constituée de plusieurs segments de droites. Chaque segment correspond à une fonction affine définie sur un intervalle spécifique de l'ensemble de définition. * **Exemple:** Une fonction \( f \) pourrait être définie par: \[ f(x) = \begin{cases} 2x+1 & \text{si } x < 0 \\ -x+3 & \text{si } x \ge 0 \end{cases} \] ##### 5.3. Fonction carré : \( x \mapsto x^2 \) La fonction carré est définie par \( f(x) = x^2 \). * **Ensemble de définition:** \( D_f = \mathbb{R} \). * **Courbe représentative:** Une **parabole** dont le sommet est l'origine \( (0,0) \). * **Sens de variation:** * La fonction est strictement décroissante sur l'intervalle \( ]-\infty, 0] \). * La fonction est strictement croissante sur l'intervalle \( [0, +\infty[ \). * **Propriété:** La parabole est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées. \( f(-x) = (-x)^2 = x^2 = f(x) \). On dit que c'est une fonction paire. ##### 5.4. Fonction inverse : \( x \mapsto \frac{1}{x} \) La fonction inverse est définie par \( f(x) = \frac{1}{x} \). * **Ensemble de définition:** \( D_f = \mathbb{R}^* \) ou \( ]-\infty, 0[ \cup ]0, +\infty[ \) (tous les réels sauf 0). * **Courbe représentative:** Une **hyperbole** composée de deux branches. Elle ne coupe jamais les axes des abscisses et des ordonnées. * **Sens de variation:** * La fonction est strictement décroissante sur l'intervalle \( ]-\infty, 0[ \). * La fonction est strictement décroissante sur l'intervalle \( ]0, +\infty[ \). * **Attention:** Elle n'est pas décroissante sur \( \mathbb{R}^* \) car il y a une discontinuité en 0. * **Propriété:** L'hyperbole est symétrique par rapport à l'origine \( (0,0) \). \( f(-x) = \frac{1}{-x} = -\frac{1}{x} = -f(x) \). On dit que c'est une fonction impaire. ### Vocabulaire * **Fonction:** Une relation qui associe à chaque élément d'un ensemble de départ un unique élément d'un ensemble d'arrivée. * **Ensemble de définition (\( D_f \)):** L'ensemble de tous les nombres pour lesquels une fonction est définie. * **Image:** Le résultat du calcul de \( f(x) \) pour une valeur donnée de \( x \). * **Antécédent:** La valeur de \( x \) qui donne une image \( f(x) \) spécifique. * **Fonction croissante:** Une fonction dont les images augmentent (ou restent constantes) lorsque les antécédents augmentent. * **Fonction décroissante:** Une fonction dont les images diminuent (ou restent constantes) lorsque les antécédents augmentent. * **Fonction constante:** Une fonction dont les images restent les mêmes, quel que soit l'antécédent. * **Courbe représentative:** La représentation graphique d'une fonction dans un repère. * **Fonction affine:** Fonction de la forme \( f(x) = ax+b \), dont la courbe est une droite. * **Coefficient directeur (pente):** Le nombre \( a \) dans une fonction affine, qui indique l'inclinaison de la droite. * **Ordonnée à l'origine:** Le nombre \( b \) dans une fonction affine, qui est l'ordonnée du point d'intersection de la droite avec l'axe des ordonnées. * **Fonction linéaire:** Cas particulier de fonction affine où \( b=0 \) (\( f(x) = ax \)). * **Parabole:** La courbe représentative de la fonction carré (\( x \mapsto x^2 \)). * **Hyperbole:** La courbe représentative de la fonction inverse (\( x \mapsto 1/x \)). ### Exemples #### Exemple 1: Détermination d'ensembles de définition * Pour \( f(x) = \frac{5}{x+4} \) : Le dénominateur \( x+4 \) ne doit pas être nul. \( x+4 \neq 0 \implies x \neq -4 \). Donc, \( D_f = \mathbb{R} \setminus \{-4\} \). * Pour \( g(x) = \sqrt{3-x} \) : L'expression sous la racine doit être positive ou nulle. \( 3-x \ge 0 \implies 3 \ge x \implies x \le 3 \). Donc, \( D_g = ]-\infty, 3] \). * Pour \( h(x) = x^2 - 2x + 1 \) : C'est un polynôme, il n'y a aucune restriction. Donc, \( D_h = \mathbb{R} \). #### Exemple 2: Étude d'une fonction affine Soit la fonction \( f(x) = -2x+3 \). * **Nature:** C'est une fonction affine avec \( a=-2 \) et \( b=3 \). * **Sens de variation:** Puisque \( a=-2 < 0 \), la fonction \( f \) est strictement décroissante sur \( \mathbb{R} \). * **Tracé:** Pour tracer la droite, on peut calculer deux points : * Si \( x=0 \), \( f(0) = -2(0)+3 = 3 \). Point \( (0,3) \). * Si \( x=1 \), \( f(1) = -2(1)+3 = 1 \). Point \( (1,1) \). On trace la droite passant par \( (0,3) \) et \( (1,1) \). #### Exemple 3: Lecture graphique du sens de variation Imaginez une courbe qui monte de \( x=-3 \) à \( x=1 \), puis descend de \( x=1 \) à \( x=4 \). * La fonction est croissante sur \( [-3, 1] \). * La fonction est décroissante sur \( [1, 4] \). * Le maximum est atteint en \( x=1 \). #### Exemple 4: Points sur la courbe de la fonction carré Soit \( f(x) = x^2 \). * \( f(2) = 2^2 = 4 \). Le point \( (2,4) \) est sur la parabole. * \( f(-3) = (-3)^2 = 9 \). Le point \( (-3,9) \) est sur la parabole. #### Exemple 5: Points sur la courbe de la fonction inverse Soit \( f(x) = \frac{1}{x} \). * \( f(2) = \frac{1}{2} \). Le point \( (2, 0.5) \) est sur l'hyperbole. * \( f(-0.5) = \frac{1}{-0.5} = -2 \). Le point \( (-0.5, -2) \) est sur l'hyperbole. ### Exercices 1. **Ensemble de définition :** Déterminez l'ensemble de définition des fonctions suivantes : a) \( f(x) = 3x^2 - 5x + 7 \) b) \( g(x) = \frac{x-1}{2x+6} \) c) \( h(x) = \sqrt{5x-10} \) d) \( k(x) = \frac{1}{\sqrt{x}} \) 2. **Fonctions affines :** a) Soit \( f(x) = 4x-2 \). Donnez son sens de variation et calculez \( f(0) \) et \( f(1) \) pour tracer sa courbe. b) Soit \( g(x) = -x+5 \). Donnez son sens de variation et déterminez si les points \( (2,3) \) et \( (5,0) \) appartiennent à sa courbe. 3. **Fonction carré :** a) Construisez un tableau de valeurs pour \( f(x) = x^2 \) pour \( x \in \{-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3\} \). Quel est le sens de variation de \( f \) sur \( ]-\infty, 0] \) et sur \( [0, +\infty[ \) ? b) Comparez \( (-1.5)^2 \) et \( (-2.5)^2 \). Justifiez votre réponse en utilisant le sens de variation de la fonction carré. 4. **Fonction inverse :** a) Quelle est la valeur interdite pour \( f(x) = \frac{1}{x} \) ? Quel est son ensemble de définition ? b) Comparez \( \frac{1}{3} \) et \( \frac{1}{5} \). Comparez \( \frac{1}{-2} \) et \( \frac{1}{-4} \). Quel est le sens de variation de la fonction inverse sur \( ]0, +\infty[ \) et sur \( ]-\infty, 0[ \) ? 5. **Lecture graphique :** À partir du graphique d'une fonction donnée (imaginaire ou à dessiner rapidement) : a) Estimez \( f(2) \). b) Trouvez les antécédents de \( 3 \). c) Déterminez les intervalles où la fonction est croissante ou décroissante. ### Devoir 1. **Fonctions diverses :** Pour chaque fonction ci-dessous : * Donnez son ensemble de définition. * Indiquez son sens de variation (justifiez brièvement). * Donnez les coordonnées de deux points de sa courbe représentative. a) \( f(x) = -3x+4 \) b) \( g(x) = \frac{1}{x-1} \) c) \( h(x) = \sqrt{x+4} \) 2. **Représentation graphique :** a) Tracez la courbe représentative de la fonction \( f(x) = 2x-3 \) dans un repère orthogonal. b) Tracez la courbe représentative de la fonction \( g(x) = x^2 \) pour \( x \in [-3, 3] \). c) Tracez la courbe représentative de la fonction \( h(x) = \frac{1}{x} \) pour \( x \in [-4, -0.5] \cup [0.5, 4] \). 3. **Problème avec fonction affine par intervalles :** Un parking propose le tarif suivant : 2 euros pour la première heure, puis 1 euro par heure supplémentaire. Au-delà de 4 heures, le tarif est de 5 euros + 0.50 euro par demi-heure entamée. a) Exprimez le coût \( C(x) \) en fonction du temps \( x \) (en heures) pour \( x \in [0, 4] \). b) Calculez le coût pour 1h30min, 3h, et 5h. 4. **Analyse d'un tableau de variation :** Voici le tableau de variation d'une fonction \( f \): | x | \( -\infty \) | -2 | 1 | \( +\infty \) | |:-------|:-------------:|:--:|:---:|:----------:| | \( f(x) \) | | 5 | | | | | \( \nearrow \) | | \( \searrow \) | | | | | | -3 | | a) Quel est l'ensemble de définition de \( f \) ? b) Quels sont les extrema (minimum/maximum) de \( f \) sur \( [-2, 1] \) ? c) Comparez \( f(-3) \) et \( f(-1) \) (si possible). d) Donnez un encadrement de \( f(x) \) pour \( x \in [-2, 1] \). ### Résumé Nous avons exploré les fondations des fonctions en mathématiques. Voici les points essentiels à retenir : * L'**ensemble de définition** est crucial : il nous dit pour quelles valeurs de \( x \) une fonction est calculable. Attention aux divisions par zéro et aux racines carrées de nombres négatifs ! * Le **sens de variation** décrit si une fonction monte (croissante), descend (décroissante) ou reste stable (constante) sur un intervalle. Les tableaux de variation sont des outils pratiques pour résumer cela. * La **courbe représentative** est la visualisation d'une fonction. Chaque point \( (x, y) \) de la courbe signifie que \( y = f(x) \). * Nous avons étudié des fonctions de référence importantes : * **Fonctions affines (\( x \mapsto ax+b \)) :** Leur courbe est une droite. Le signe de \( a \) détermine la variation. \( b \) est l'ordonnée à l'origine. * **Fonction carré (\( x \mapsto x^2 \)) :** Sa courbe est une parabole, symétrique par rapport à l'axe des ordonnées. Elle est décroissante puis croissante. * **Fonction inverse (\( x \mapsto 1/x \)) :** Sa courbe est une hyperbole, avec une valeur interdite en \( x=0 \). Elle est décroissante sur ses deux intervalles de définition.