Chap6: Fonctions

# Chap6: Fonctions ## Fonctions et Applications : définition, ensemble de définition, antécédents, images, sens de variation, courbe représentative. ### Introduction Bienvenue dans ce chapitre essentiel des mathématiques : les fonctions ! Les fonctions sont un outil fondamental pour décrire et modéliser des phénomènes dans de nombreux domaines, de la science à l'économie en passant par l'ingénierie. Que ce soit pour calculer la trajectoire d'un projectile, prédire la croissance d'une population ou analyser des données financières, les fonctions sont omniprésentes. Dans cette leçon, nous allons explorer les concepts de base des fonctions, leur définition, comment déterminer leur ensemble de définition, comment calculer des images et des antécédents, comprendre leur sens de variation et comment les représenter graphiquement. ### Concepts Clés #### 1. Définition d'une fonction Une fonction est un processus qui, à chaque nombre d'un ensemble de départ, associe **un unique** nombre d'un ensemble d'arrivée. * On note une fonction \( f \) de la manière suivante : \( f: x o y \) ou \( f: x o f(x) \). * Le nombre \( x \) est appelé la **variable** ou l'**antécédent**. * Le nombre \( y \) est appelé l'**image** de \( x \) par la fonction \( f \). * La relation est souvent donnée par une formule, par exemple \( f(x) = 2x + 3 \). **Exemple :** Si \( f(x) = x^2 \), alors l'image de 3 est \( f(3) = 3^2 = 9 \). #### 2. Ensemble de définition L'ensemble de définition d'une fonction \( f \), noté \( D_f \), est l'ensemble de tous les nombres \( x \) pour lesquels le calcul de \( f(x) \) est possible. Il existe des règles spécifiques à respecter : * **Interdiction de la division par zéro :** Le dénominateur d'une fraction ne peut jamais être égal à zéro. * **Exemple :** Pour \( f(x) = rac{1}{x-2} \), il faut que \( x-2 eq 0 \), donc \( x eq 2 \). L'ensemble de définition est \( D_f = ext{R} ackslash \{2\} \) (tous les réels sauf 2). * **Interdiction de la racine carrée d'un nombre négatif :** L'expression sous une racine carrée ne peut pas être négative. * **Exemple :** Pour \( g(x) = \sqrt{x+1} \), il faut que \( x+1 eq 0 \), donc \( x eq -1 \). L'ensemble de définition est \( D_g = [-1; +\infty[ \). #### 3. Images et Antécédents ##### a. Calculer une image Pour trouver l'image d'un nombre \( a \) par une fonction \( f \), il suffit de remplacer \( x \) par \( a \) dans la formule de \( f(x) \). * **Exemple :** Soit \( f(x) = 5x - 4 \). * L'image de 2 est \( f(2) = 5(2) - 4 = 10 - 4 = 6 \). * L'image de -1 est \( f(-1) = 5(-1) - 4 = -5 - 4 = -9 \). ##### b. Trouver un (ou des) antécédent(s) Pour trouver les antécédents d'un nombre \( b \) par une fonction \( f \), il faut résoudre l'équation \( f(x) = b \). * **Exemple :** Soit \( f(x) = 2x + 6 \). Cherchons l'antécédent de 10. * On résout \( f(x) = 10 \). * \( 2x + 6 = 10 \) * \( 2x = 10 - 6 \) * \( 2x = 4 \) * \( x = 2 \) * Donc, 2 est l'unique antécédent de 10 par \( f \). * **Exemple avec plusieurs antécédents :** Soit \( g(x) = x^2 \). Cherchons les antécédents de 9. * On résout \( g(x) = 9 \). * \( x^2 = 9 \) * \( x = \sqrt{9} \) ou \( x = -\sqrt{9} \) * \( x = 3 \) ou \( x = -3 \) * Donc, 9 a deux antécédents : 3 et -3. #### 4. Sens de variation d'une fonction Le sens de variation décrit comment les images de la fonction évoluent lorsque la variable \( x \) augmente. * **Fonction croissante :** Si, pour deux nombres \( x_1 \) et \( x_2 \) dans l'intervalle, \( x_1 < x_2 \) implique \( f(x_1) < f(x_2) \). La courbe monte. * **Fonction décroissante :** Si, pour deux nombres \( x_1 \) et \( x_2 \) dans l'intervalle, \( x_1 < x_2 \) implique \( f(x_1) > f(x_2) \). La courbe descend. * **Fonction constante :** Si, pour tous les nombres \( x \) dans l'intervalle, \( f(x) \) est toujours le même nombre. La courbe est horizontale. Ces informations sont souvent résumées dans un **tableau de variation** avec des flèches. #### 5. Courbe représentative d'une fonction La courbe représentative d'une fonction \( f \), notée \( ext{C}_f \), est l'ensemble de tous les points \( M(x; y) \) du plan dont les coordonnées vérifient \( y = f(x) \). * Pour tracer une courbe, on calcule les images de plusieurs valeurs de \( x \) pour obtenir des points \( (x, f(x)) \), puis on les place dans un repère et on les relie. * À partir de la courbe, on peut : * Lire l'image d'un nombre \( x \) (ordonnée du point d'abscisse \( x \)). * Lire les antécédents d'un nombre \( y \) (abscisses des points d'ordonnée \( y \)). * Déterminer le sens de variation (en observant si la courbe monte, descend ou est plate). * Déterminer l'ensemble de définition (projection de la courbe sur l'axe des abscisses). ### Vocabulaire * **Fonction :** Règle qui associe à chaque élément d'un ensemble de départ un unique élément d'un ensemble d'arrivée. * **Variable (indépendante) :** Le nombre \( x \) qui est l'entrée de la fonction. * **Image :** Le résultat \( f(x) \) obtenu en appliquant la fonction à la variable \( x \). * **Antécédent :** Le ou les nombres \( x \) qui ont une image donnée \( f(x) \). * **Ensemble de définition (ou Domaine de définition) :** L'ensemble de toutes les valeurs possibles de la variable \( x \) pour lesquelles la fonction est définie. * **Courbe représentative :** La représentation graphique d'une fonction dans un repère, formée de tous les points \( (x, f(x)) \). * **Fonction croissante :** Fonction dont la courbe monte de gauche à droite. * **Fonction décroissante :** Fonction dont la courbe descend de gauche à droite. * **Tableau de variation :** Tableau récapitulatif du sens de variation d'une fonction sur ses intervalles de définition. ### Exemples #### Exemple 1 : Définition, Images et Antécédents Soit la fonction \( f \) définie par \( f(x) = x^2 - 4x + 3 \). 1. Calculer l'image de 0 par \( f \). \( f(0) = 0^2 - 4(0) + 3 = 3 \). 2. Calculer l'image de -1 par \( f \). \( f(-1) = (-1)^2 - 4(-1) + 3 = 1 + 4 + 3 = 8 \). 3. Déterminer les antécédents de 3 par \( f \). On résout \( f(x) = 3 \). \( x^2 - 4x + 3 = 3 \) \( x^2 - 4x = 0 \) \( x(x - 4) = 0 \) Les solutions sont \( x = 0 \) ou \( x - 4 = 0 \), donc \( x = 4 \). Les antécédents de 3 sont 0 et 4. #### Exemple 2 : Ensemble de définition 1. Déterminer l'ensemble de définition de \( h(x) = \frac{2x+1}{x(x-3)} \). Le dénominateur ne doit pas être nul, donc \( x eq 0 \) et \( x-3 eq 0 \) (donc \( x eq 3 \)). \( D_h = ext{R} ackslash \{0; 3\} \). 2. Déterminer l'ensemble de définition de \( k(x) = \sqrt{5-x} \). L'expression sous la racine doit être positive ou nulle, donc \( 5-x eq 0 \), ce qui signifie \( -x eq -5 \), et donc \( x eq 5 \). \( D_k = ]-\infty; 5] \). #### Exemple 3 : Lecture graphique Considérons la courbe représentative d'une fonction \( g \) donnée sur un graphique. * Pour lire \( g(1) \), on cherche le point de la courbe dont l'abscisse est 1, et on lit son ordonnée. * Pour lire les antécédents de 2, on trace la droite horizontale \( y = 2 \) et on cherche les abscisses des points d'intersection avec la courbe. * Pour déterminer le sens de variation, on observe les parties de la courbe qui montent ou descendent. ### Exercices 1. Soit la fonction \( f \) définie par \( f(x) = -3x + 7 \). a. Calculer \( f(5) \). b. Calculer l'image de -2. c. Déterminer l'antécédent de 1 par \( f \). 2. Déterminer l'ensemble de définition des fonctions suivantes : a. \( g(x) = 4x^2 - x + 1 \) b. \( h(x) = \frac{x-5}{x+4} \) c. \( k(x) = \sqrt{3x-9} \) 3. À partir de la courbe représentative d'une fonction \( m \) : * Indiquer l'image de 0. * Indiquer les antécédents de -1. * Décrire le sens de variation de \( m \) sur l'intervalle \( [-3; 5] \). *(Imaginez une courbe qui descend de -3 à 1, puis monte de 1 à 5)* ### Devoir à la maison 1. Soit la fonction \( p \) définie par \( p(x) = x^2 - 2x - 3 \). a. Calculer \( p(0) \), \( p(1) \), \( p(-2) \). b. Montrer que les antécédents de 5 par \( p \) sont -2 et 4. c. Tracer la courbe représentative de \( p \) sur l'intervalle \( [-3; 5] \) en construisant un tableau de valeurs. 2. Une entreprise fabrique des objets. Le coût de fabrication, en euros, de \( x \) objets est donné par la fonction \( C(x) = 0.5x^2 + 10x + 50 \) pour \( x \) appartenant à \( [0; 100] \). a. Quel est le coût de fabrication de 10 objets ? b. Combien d'objets peut-on fabriquer pour un coût de 1050 euros ? 3. En utilisant votre calculatrice graphique ou un logiciel de traçage de fonctions, tracez la fonction \( f(x) = x^3 - 3x + 1 \) sur l'intervalle \( [-3; 3] \). Décrivez ensuite son sens de variation et estimez les antécédents de 1. ### Résumé Nous avons parcouru les concepts fondamentaux des fonctions. Retenez l'essentiel : * Une **fonction** associe un unique nombre \( f(x) \) à chaque \( x \). * L'**ensemble de définition** \( D_f \) est crucial pour savoir pour quelles valeurs de \( x \) la fonction est calculable (attention aux divisions par zéro et racines de nombres négatifs). * Calculer une **image** consiste à remplacer \( x \) dans l'expression de \( f(x) \). * Trouver un ou des **antécédents** implique de résoudre l'équation \( f(x) = y \). * Le **sens de variation** indique si la fonction monte (croissante), descend (décroissante) ou est constante. * La **courbe représentative** visualise la fonction, permettant de lire images, antécédents et variations. ## Taux d’accroissement d’une Fonction. ### Introduction Chers élèves, Bienvenue à cette leçon sur le **taux d'accroissement d'une fonction**. En mathématiques, comprendre comment les choses changent est fondamental. Le taux d'accroissement est un outil puissant qui nous permet de mesurer la vitesse à laquelle la valeur d'une fonction varie entre deux points. C'est un concept clé qui vous aidera à mieux saisir le comportement des fonctions et qui jettera les bases de notions plus avancées en analyse. Imaginez que vous observez la croissance d'une plante ou la vitesse d'une voiture : le taux d'accroissement est ce qui vous permet de quantifier et d'analyser ces changements. Dans cette leçon, nous allons découvrir sa définition, sa formule et son interprétation graphique. ### Concepts Clés #### Définition du taux d'accroissement Le taux d'accroissement d'une fonction mesure la variation moyenne de la fonction sur un intervalle donné. Il permet de quantifier « à quel point » la valeur de la fonction change lorsque la valeur de sa variable indépendante change. #### Formule du taux d'accroissement Soit une fonction \( f \) définie sur un intervalle \( I \). Pour deux nombres distincts \( a \) et \( b \) appartenant à \( I \), le taux d'accroissement de \( f \) entre \( a \) et \( b \) est donné par la formule : \[ T = \frac{f(b) - f(a)}{b - a} \] Parfois, on utilise une autre notation en considérant un point \( x \) et un petit changement \( h \) (où \( h \neq 0 \)). Le taux d'accroissement entre \( x \) et \( x+h \) est alors : \[ T = \frac{f(x+h) - f(x)}{h} \] Le numérateur \( f(b) - f(a) \) (ou \( f(x+h) - f(x) \)) représente la variation de la valeur de la fonction (l'accroissement en ordonnée), tandis que le dénominateur \( b - a \) (ou \( h \)) représente la variation de la variable (l'accroissement en abscisse). #### Interprétation Géométrique Géométriquement, le taux d'accroissement de la fonction \( f \) entre deux points \( a \) et \( b \) est la **pente** (ou coefficient directeur) de la droite sécante qui passe par les points \( A(a, f(a)) \) et \( B(b, f(b)) \) sur la courbe représentative de \( f \). * Si le taux d'accroissement est **positif**, cela signifie que la fonction est globalement **croissante** sur l'intervalle \( [a, b] \). * Si le taux d'accroissement est **négatif**, cela signifie que la fonction est globalement **décroissante** sur l'intervalle \( [a, b] \). * Si le taux d'accroissement est **nul**, cela signifie que la fonction est globalement **constante** sur l'intervalle \( [a, b] \) (la droite sécante est horizontale). ### Vocabulaire * **Taux d'accroissement :** Mesure la variation moyenne d'une fonction entre deux points. * **Fonction :** Relation qui associe à chaque élément d'un ensemble (domaine) un unique élément d'un autre ensemble (codomaine). * **Variable indépendante :** La variable d'entrée de la fonction, souvent notée \( x \). * **Variable dépendante :** La variable de sortie de la fonction, souvent notée \( y \) ou \( f(x) \). * **Accroissement :** Changement ou augmentation de valeur. * **Pente (ou Coefficient directeur) :** Mesure l'inclinaison d'une droite. Elle est définie par le rapport de la variation verticale sur la variation horizontale. * **Sécante :** Une droite qui coupe une courbe en au moins deux points. ### Exemples #### Exemple 1 : Fonction linéaire Soit la fonction \( f(x) = 3x - 2 \). Calculons le taux d'accroissement entre \( a=1 \) et \( b=4 \). 1. Calcul des images : * \( f(a) = f(1) = 3(1) - 2 = 1 \) * \( f(b) = f(4) = 3(4) - 2 = 12 - 2 = 10 \) 2. Application de la formule : \[ T = \frac{f(4) - f(1)}{4 - 1} = \frac{10 - 1}{3} = \frac{9}{3} = 3 \] Le taux d'accroissement est 3. Remarquez que pour une fonction linéaire, le taux d'accroissement est toujours égal au coefficient directeur de la droite représentative de la fonction, quel que soit l'intervalle. #### Exemple 2 : Fonction quadratique Soit la fonction \( f(x) = x^2 \). Calculons le taux d'accroissement entre \( a=0 \) et \( b=2 \). 1. Calcul des images : * \( f(a) = f(0) = 0^2 = 0 \) * \( f(b) = f(2) = 2^2 = 4 \) 2. Application de la formule : \[ T = \frac{f(2) - f(0)}{2 - 0} = \frac{4 - 0}{2} = \frac{4}{2} = 2 \] Maintenant, calculons le taux d'accroissement entre \( a=1 \) et \( b=3 \). 1. Calcul des images : * \( f(a) = f(1) = 1^2 = 1 \) * \( f(b) = f(3) = 3^2 = 9 \) 2. Application de la formule : \[ T = \frac{f(3) - f(1)}{3 - 1} = \frac{9 - 1}{2} = \frac{8}{2} = 4 \] Pour une fonction non linéaire comme \( f(x) = x^2 \), le taux d'accroissement n'est pas constant et dépend de l'intervalle choisi. Cela indique que la pente de la sécante varie, ce qui est caractéristique d'une courbe. #### Exemple 3 : Problème concret (vitesse moyenne) Une voiture parcourt une distance \( D(t) \) en kilomètres en fonction du temps \( t \) en heures. La fonction est donnée par \( D(t) = 80t \). Calculons la vitesse moyenne (qui est un taux d'accroissement de la distance) entre \( t=0.5 \)h et \( t=2 \)h. 1. Calcul des distances : * \( D(0.5) = 80 imes 0.5 = 40 \) km * \( D(2) = 80 imes 2 = 160 \) km 2. Application de la formule du taux d'accroissement : \[ T = \frac{D(2) - D(0.5)}{2 - 0.5} = \frac{160 - 40}{1.5} = \frac{120}{1.5} = 80 \] La vitesse moyenne de la voiture entre \( t=0.5 \)h et \( t=2 \)h est de 80 km/h. Dans ce cas, comme la fonction est linéaire, la vitesse moyenne est constante et égale à la vitesse instantanée. ### Exercices (En classe) 1. **Calcul simple :** Soit la fonction \( f(x) = 5x + 7 \). Calculez le taux d'accroissement de \( f \) entre \( x=-2 \) et \( x=3 \). 2. **Fonction quadratique :** Soit la fonction \( g(x) = x^2 - 2x \). Calculez le taux d'accroissement de \( g \) entre \( x=0 \) et \( x=4 \). 3. **Interprétation :** Soit la fonction \( h(x) = -x^2 \). Calculez le taux d'accroissement de \( h \) entre \( x=1 \) et \( x=3 \). Que pouvez-vous en déduire sur le sens de variation de la fonction sur cet intervalle ? ### Devoir (À la maison) 1. **Fonction cubique :** Soit la fonction \( f(x) = x^3 \). * a) Calculez le taux d'accroissement de \( f \) entre \( x=-1 \) et \( x=1 \). * b) Calculez le taux d'accroissement de \( f \) entre \( x=1 \) et \( x=2 \). 2. **Problème physique :** La hauteur \( h(t) \) (en mètres) d'un objet lancé verticalement vers le haut est donnée par la fonction \( h(t) = -5t^2 + 20t \), où \( t \) est le temps en secondes. * a) Calculez le taux d'accroissement de la hauteur entre \( t=0 \)s et \( t=1 \)s. Quelle est la signification physique de ce résultat ? * b) Calculez le taux d'accroissement de la hauteur entre \( t=3 \)s et \( t=4 \)s. Que signifie le signe de ce taux d'accroissement dans ce contexte ? ### Résumé Le taux d'accroissement est un concept essentiel pour comprendre comment les fonctions évoluent. Il se calcule comme le rapport de la variation de la fonction à la variation de sa variable indépendante sur un intervalle donné, selon la formule : \[ T = \frac{f(b) - f(a)}{b - a} \] Il représente géométriquement la pente de la droite sécante qui relie deux points de la courbe de la fonction. Un taux positif indique une croissance moyenne, un taux négatif une décroissance moyenne, et un taux nul une stagnation. Ce concept est la base pour étudier la variation et la pente des courbes, prélude à la notion de dérivée que vous explorerez dans les années futures.