Equations et inéquations

# Equations et inéquations ## Équations et inéquations du 2nd degré dans ℝ ### Introduction Bienvenue à cette leçon sur les équations et inéquations du second degré. Ces outils mathématiques sont fondamentaux et se retrouvent dans de nombreux domaines scientifiques et techniques. Une équation du second degré est une équation dans laquelle l'inconnue est élevée à la puissance 2. Nous apprendrons à les résoudre en cherchant leurs solutions réelles (dans l'ensemble ℝ) et à déterminer l'ensemble des solutions pour les inéquations. ### Concepts Clés #### Forme générale d'une équation du second degré Une équation du second degré est de la forme : \\[ ax^2 + bx + c = 0 \\] où : * \( a, b, c \) sont des nombres réels, appelés coefficients. * \( x \) est l'inconnue. * Il est impératif que \( a \neq 0 \), sinon ce ne serait plus une équation du second degré. #### Le Discriminant (\( \Delta \)) Le discriminant est un outil crucial pour déterminer le nombre de solutions réelles d'une équation du second degré. Il est calculé à l'aide de la formule : \\[ \Delta = b^2 - 4ac \\] Selon la valeur de \( \Delta \), nous avons trois cas : ##### Cas 1 : \( \Delta > 0 \) Si le discriminant est strictement positif, l'équation admet deux solutions réelles distinctes, notées \( x_1 \) et \( x_2 \) : \\[ x_1 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} \] \\[ x_2 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} \] ##### Cas 2 : \( \Delta = 0 \) Si le discriminant est égal à zéro, l'équation admet une unique solution réelle, appelée racine double, notée \( x_0 \) : \\[ x_0 = \frac{-b}{2a} \\] ##### Cas 3 : \( \Delta < 0 \) Si le discriminant est strictement négatif, l'équation n'admet aucune solution réelle. (Les solutions existent dans l'ensemble des nombres complexes, mais ne sont pas étudiées en classe de Seconde). #### Factorisation d'un trinôme du second degré Le trinôme \( ax^2 + bx + c \) peut être factorisé selon les racines : * Si \( \Delta > 0 \) : \( a(x - x_1)(x - x_2) \) * Si \( \Delta = 0 \) : \( a(x - x_0)^2 \) * Si \( \Delta < 0 \) : Le trinôme ne peut pas être factorisé dans ℝ. #### Inéquations du second degré Résoudre une inéquation du second degré, comme \( ax^2 + bx + c > 0 \) (ou \( < 0, \ge 0, \le 0 \)), consiste à trouver l'ensemble des valeurs de \( x \) qui vérifient cette inégalité. ##### Signe du trinôme \( ax^2 + bx + c \) Pour résoudre une inéquation, nous devons étudier le signe du trinôme. Le signe dépend du coefficient \( a \) et des racines (s'il y en a) : * **Si \( \Delta > 0 \)** (deux racines \( x_1 < x_2 \)) : * Le trinôme est du signe de \( a \) à l'extérieur des racines (pour \( x < x_1 \) ou \( x > x_2 \)). * Le trinôme est du signe opposé à \( a \) entre les racines (pour \( x_1 < x < x_2 \)). * **Si \( \Delta = 0 \)** (une racine double \( x_0 \)) : * Le trinôme est toujours du signe de \( a \), sauf en \( x_0 \) où il est nul. * **Si \( \Delta < 0 \)** (pas de racines réelles) : * Le trinôme est toujours du signe de \( a \) pour toutes les valeurs de \( x \). ##### Méthode de résolution d'une inéquation 1. Ramener l'inéquation à la forme \( ax^2 + bx + c > 0 \) (ou \( < 0, \ge 0, \le 0 \)). 2. Calculer le discriminant \( \Delta \) de l'équation \( ax^2 + bx + c = 0 \). 3. Trouver les racines \( x_1, x_2 \) (s'il y en a). 4. Établir un tableau de signes pour le trinôme \( ax^2 + bx + c \). 5. Conclure en donnant l'ensemble des solutions qui vérifient l'inégalité de départ. ### Vocabulaire * **Équation du second degré** : Équation de la forme \( ax^2 + bx + c = 0 \) avec \( a \neq 0 \). * **Inéquation du second degré** : Inégalité impliquant un polynôme du second degré. * **Trinôme du second degré** : Expression de la forme \( ax^2 + bx + c \). * **Coefficients** : Les nombres \( a, b, c \) dans le trinôme. * **Discriminant (\( \Delta \))** : La valeur \( b^2 - 4ac \) qui détermine le nombre de solutions réelles. * **Racines / Solutions** : Les valeurs de \( x \) qui annulent l'équation \( ax^2 + bx + c = 0 \). * **Racine double** : Solution unique lorsque \( \Delta = 0 \). * **Ensemble de solutions** : L'ensemble de toutes les valeurs de \( x \) qui satisfont l'équation ou l'inéquation. * **Tableau de signes** : Tableau qui résume le signe d'une expression en fonction des valeurs de \( x \). ### Exemples #### Exemple 1 : Résolution d'une équation (\( \Delta > 0 \)) Résoudre l'équation \( x^2 - 5x + 6 = 0 \). Ici, \( a=1, b=-5, c=6 \). 1. Calcul du discriminant : \( \Delta = (-5)^2 - 4(1)(6) = 25 - 24 = 1 \). 2. Puisque \( \Delta > 0 \), il y a deux solutions distinctes : \\[ x_1 = \frac{-(-5) - \sqrt{1}}{2(1)} = \frac{5 - 1}{2} = \frac{4}{2} = 2 \] \\[ x_2 = \frac{-(-5) + \sqrt{1}}{2(1)} = \frac{5 + 1}{2} = \frac{6}{2} = 3 \] Les solutions sont \( S = \{2, 3\} \). #### Exemple 2 : Résolution d'une équation (\( \Delta = 0 \)) Résoudre l'équation \( x^2 - 4x + 4 = 0 \). Ici, \( a=1, b=-4, c=4 \). 1. Calcul du discriminant : \( \Delta = (-4)^2 - 4(1)(4) = 16 - 16 = 0 \). 2. Puisque \( \Delta = 0 \), il y a une solution double : \\[ x_0 = \frac{-(-4)}{2(1)} = \frac{4}{2} = 2 \] La solution est \( S = \{2\} \). #### Exemple 3 : Résolution d'une équation (\( \Delta < 0 \)) Résoudre l'équation \( x^2 + x + 1 = 0 \). Ici, \( a=1, b=1, c=1 \). 1. Calcul du discriminant : \( \Delta = (1)^2 - 4(1)(1) = 1 - 4 = -3 \). 2. Puisque \( \Delta < 0 \), l'équation n'admet aucune solution réelle. L'ensemble des solutions est \( S = \emptyset \). #### Exemple 4 : Résolution d'une inéquation Résoudre l'inéquation \( -x^2 + 2x + 3 > 0 \). 1. L'inéquation est déjà sous la forme \( ax^2 + bx + c > 0 \). Ici, \( a=-1, b=2, c=3 \). 2. Calcul du discriminant de \( -x^2 + 2x + 3 = 0 \) : \( \Delta = (2)^2 - 4(-1)(3) = 4 + 12 = 16 \). 3. Puisque \( \Delta > 0 \), il y a deux racines distinctes : \\[ x_1 = \frac{-2 - \sqrt{16}}{2(-1)} = \frac{-2 - 4}{-2} = \frac{-6}{-2} = 3 \] \\[ x_2 = \frac{-2 + \sqrt{16}}{2(-1)} = \frac{-2 + 4}{-2} = \frac{2}{-2} = -1 \] Mettons les racines dans l'ordre croissant : \( -1 \) et \( 3 \). 4. Établissons le tableau de signes du trinôme \( -x^2 + 2x + 3 \). Comme \( a = -1 \) (négatif), le trinôme est positif entre les racines et négatif à l'extérieur. | \( x \) | \( -\infty \) | \( -1 \) | \( 3 \) | \( +\infty \) | |---|---|---|---|---| | \( -x^2 + 2x + 3 \) | \( - \) | \( 0 \) | \( + \) | \( 0 \) | \( - \) | 5. Nous cherchons les valeurs pour lesquelles \( -x^2 + 2x + 3 > 0 \) (là où le signe est \( + \)). L'ensemble des solutions est \( S = ]-1; 3[ \). ### Exercices #### Exercice 1 : Résoudre les équations suivantes dans ℝ 1. \( x^2 + 2x - 3 = 0 \) 2. \( 2x^2 - 8x + 8 = 0 \) 3. \( 3x^2 + x + 1 = 0 \) 4. \( x(x+4) = 5 \) #### Exercice 2 : Résoudre les inéquations suivantes dans ℝ 1. \( x^2 - 3x + 2 \ge 0 \) 2. \( -x^2 + x + 6 < 0 \) 3. \( x^2 + 4 \le 0 \) 4. \( (x-1)(x+3) > 0 \) (Astuce : développez pour retrouver la forme \( ax^2 + bx + c \) ou utilisez un tableau de signes directement avec les facteurs) ### Devoirs #### Devoir 1 : Résolution et factorisation 1. Résoudre l'équation \( 4x^2 - 12x + 9 = 0 \). 2. Factoriser le trinôme \( 4x^2 - 12x + 9 \). 3. Résoudre l'inéquation \( 4x^2 - 12x + 9 \le 0 \). #### Devoir 2 : Problème d'application Une balle est lancée verticalement vers le haut. Sa hauteur \( h \) (en mètres) en fonction du temps \( t \) (en secondes) est donnée par la formule : \\[ h(t) = -5t^2 + 10t + 15 \\] 1. À quel instant la balle retouche-t-elle le sol (c'est-à-dire quand \( h(t) = 0 \)) ? 2. Pendant combien de temps la balle est-elle à une hauteur strictement supérieure à 15 mètres ? ### Résumé Au cours de cette leçon, nous avons exploré les équations et inéquations du second degré. Les points essentiels à retenir sont : * La forme générale est \( ax^2 + bx + c = 0 \) (avec \( a \neq 0 \)). * Le **discriminant** \( \Delta = b^2 - 4ac \) est la clé pour trouver le nombre de solutions réelles. * Si \( \Delta > 0 \), deux solutions distinctes : \( x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} \). * Si \( \Delta = 0 \), une solution double : \( x_0 = \frac{-b}{2a} \). * Si \( \Delta < 0 \), pas de solutions réelles. * Pour les **inéquations**, il est essentiel d'étudier le **signe du trinôme** \( ax^2 + bx + c \) en utilisant un tableau de signes, en fonction du signe de \( a \) et des racines. ## Équations et Inéquations rationnelles dans ℝ ### Introduction Bienvenue dans cette leçon sur les équations et inéquations rationnelles ! En mathématiques, une expression rationnelle est un rapport de deux polynômes, un peu comme une fraction avec des variables. Comprendre comment les résoudre est essentiel pour de nombreux domaines des mathématiques et des sciences. Au cours de cette leçon, nous allons apprendre à manipuler et à résoudre ces types d'expressions dans l'ensemble des nombres réels, ℝ. ### Concepts Clés #### Qu'est-ce qu'une expression rationnelle ? Une **expression rationnelle** est une expression mathématique de la forme \( \frac{A(x)}{B(x)} \), où \( A(x) \) et \( B(x) \) sont des polynômes et \( B(x) \) n'est pas le polynôme nul. * **Numérateur :** Le polynôme au-dessus de la barre de fraction (ici, \( A(x) \)). * **Dénominateur :** Le polynôme en dessous de la barre de fraction (ici, \( B(x) \)). #### Ensemble de définition (ou Domaine de définition) Un concept crucial lorsque l'on travaille avec des expressions rationnelles est l'**ensemble de définition**. Puisque la division par zéro est indéfinie, le dénominateur d'une expression rationnelle ne peut jamais être égal à zéro. * Pour trouver l'ensemble de définition d'une expression rationnelle, il faut identifier toutes les valeurs de \( x \) qui rendent le dénominateur nul. Ces valeurs sont appelées des **valeurs interdites**. * L'ensemble de définition est l'ensemble de tous les nombres réels \( x \) pour lesquels le dénominateur n'est pas nul. Par exemple, pour l'expression \( \frac{1}{x-2} \), la valeur interdite est \( x=2 \). L'ensemble de définition est donc \( \mathbb{R} \setminus \{2\} \) (tous les réels sauf 2). #### Équations rationnelles Une **équation rationnelle** est une équation dans laquelle au moins une des expressions est rationnelle. Elles se présentent souvent sous la forme \( \frac{A(x)}{B(x)} = 0 \) ou \( \frac{A(x)}{B(x)} = \frac{C(x)}{D(x)} \). ##### Comment résoudre une équation rationnelle ? 1. **Trouver l'ensemble de définition :** Identifiez toutes les valeurs interdites en posant chaque dénominateur égal à zéro et en résolvant pour \( x \). 2. **Ramener l'équation à la forme \( \frac{F(x)}{G(x)} = 0 \) :** * Si l'équation est de la forme \( \frac{A(x)}{B(x)} = 0 \), cela signifie que le numérateur doit être nul : \( A(x) = 0 \). * Si l'équation est de la forme \( \frac{A(x)}{B(x)} = \frac{C(x)}{D(x)} \), il faut d'abord tout ramener d'un côté et simplifier pour obtenir une seule fraction : \( \frac{A(x)}{B(x)} - \frac{C(x)}{D(x)} = 0 \). 3. **Résoudre le numérateur :** Une fois que vous avez la forme \( \frac{F(x)}{G(x)} = 0 \), vous devez résoudre l'équation \( F(x) = 0 \). 4. **Vérifier les solutions :** Chaque solution trouvée pour \( F(x) = 0 \) doit être comparée aux valeurs interdites. Si une solution est une valeur interdite, elle doit être rejetée. L'ensemble des solutions est constitué des solutions valides. #### Inéquations rationnelles Une **inéquation rationnelle** est une inéquation dans laquelle au moins une des expressions est rationnelle. Elles se présentent sous les formes \( \frac{A(x)}{B(x)} > 0 \), \( \frac{A(x)}{B(x)} < 0 \), \( \frac{A(x)}{B(x)} \geq 0 \) ou \( \frac{A(x)}{B(x)} \leq 0 \). ##### Comment résoudre une inéquation rationnelle ? 1. **Trouver l'ensemble de définition :** Comme pour les équations, identifiez les valeurs interdites. 2. **Ramener l'inéquation à la forme \( \frac{F(x)}{G(x)} \) (comparée à 0) :** S'il y a des termes des deux côtés, ramenez-les tous du même côté de l'inéquation et réduisez-les au même dénominateur pour obtenir une seule fraction comparée à 0 (par exemple, \( \frac{F(x)}{G(x)} > 0 \)). 3. **Étudier le signe du numérateur et du dénominateur :** * Résolvez \( F(x) = 0 \) pour trouver les racines du numérateur. * Résolvez \( G(x) = 0 \) pour trouver les racines du dénominateur (ce sont aussi les valeurs interdites). 4. **Construire un tableau de signes :** Créez un tableau qui inclut : * Les valeurs de \( x \) dans l'ordre croissant qui annulent \( F(x) \) ou \( G(x) \). * Une ligne pour le signe de \( F(x) \). * Une ligne pour le signe de \( G(x) \). * Une ligne pour le signe du quotient \( \frac{F(x)}{G(x)} \). * N'oubliez pas d'indiquer les valeurs interdites par une double barre verticale (\( || \)) dans le tableau pour la ligne du quotient. 5. **Conclure :** Utilisez le tableau de signes pour déterminer les intervalles de \( x \) qui satisfont l'inéquation initiale. Faites attention aux crochets pour les inégalités strictes (parenthèses) ou larges (crochets) et aux valeurs interdites (toujours parenthèses). ### Vocabulaire * **Expression rationnelle :** Rapport de deux polynômes. Exemple : \( \frac{2x+1}{x-3} \). * **Numérateur :** Le polynôme au-dessus de la barre de fraction. * **Dénominateur :** Le polynôme en dessous de la barre de fraction. * **Ensemble de définition (Domaine de définition) :** L'ensemble de toutes les valeurs de la variable pour lesquelles l'expression est définie (dénominateur non nul). * **Valeur interdite :** Une valeur de la variable qui rend le dénominateur égal à zéro. * **Équation rationnelle :** Une équation qui contient au moins une expression rationnelle. * **Inéquation rationnelle :** Une inéquation qui contient au moins une expression rationnelle. * **Tableau de signes :** Un tableau utilisé pour analyser le signe d'une fonction ou d'un quotient sur différents intervalles de \( x \). ### Exemples #### Exemple 1 : Résolution d'une équation rationnelle simple Résoudre l'équation suivante : \[ \frac{2x-1}{x+3} = 0 \] 1. **Ensemble de définition :** Le dénominateur \( x+3 \) ne doit pas être nul, donc \( x \neq -3 \). L'ensemble de définition est \( \mathbb{R} \setminus \{-3\} \). 2. **Équation ramenée :** L'équation est déjà de la forme \( \frac{F(x)}{G(x)} = 0 \). 3. **Résoudre le numérateur :** \( 2x-1 = 0 \implies 2x = 1 \implies x = \frac{1}{2} \). 4. **Vérifier la solution :** La solution \( x = \frac{1}{2} \) n'est pas une valeur interdite. L'ensemble des solutions est \( S = \left\{ \frac{1}{2} \right\} \). #### Exemple 2 : Résolution d'une équation rationnelle plus complexe Résoudre l'équation suivante : \[ \frac{x+1}{x-2} = \frac{2x}{x+1} \] 1. **Ensemble de définition :** Les dénominateurs \( x-2 \) et \( x+1 \) ne doivent pas être nuls. Donc \( x \neq 2 \) et \( x \neq -1 \). L'ensemble de définition est \( \mathbb{R} \setminus \{-1, 2\} \). 2. **Ramener à la forme \( \frac{F(x)}{G(x)} = 0 \) :** \[ \frac{x+1}{x-2} - \frac{2x}{x+1} = 0 \] Mettre au même dénominateur : \( (x-2)(x+1) \) \[ \frac{(x+1)(x+1) - 2x(x-2)}{(x-2)(x+1)} = 0 \] \[ \frac{x^2+2x+1 - (2x^2-4x)}{(x-2)(x+1)} = 0 \] \[ \frac{x^2+2x+1 - 2x^2+4x}{(x-2)(x+1)} = 0 \] \[ \frac{-x^2+6x+1}{(x-2)(x+1)} = 0 \] 3. **Résoudre le numérateur :** \( -x^2+6x+1 = 0 \). On utilise le discriminant \( \Delta = b^2 - 4ac \). Ici, \( a=-1, b=6, c=1 \). \( \Delta = 6^2 - 4(-1)(1) = 36 + 4 = 40 \). Les solutions sont \( x_1 = \frac{-6 - \sqrt{40}}{2(-1)} = \frac{-6 - 2\sqrt{10}}{-2} = 3 + \sqrt{10} \) et \( x_2 = \frac{-6 + \sqrt{40}}{2(-1)} = \frac{-6 + 2\sqrt{10}}{-2} = 3 - \sqrt{10} \). 4. **Vérifier les solutions :** Les valeurs \( 3 + \sqrt{10} \approx 6.16 \) et \( 3 - \sqrt{10} \approx -0.16 \) ne sont pas \( -1 \) ou \( 2 \). L'ensemble des solutions est \( S = \{ 3 - \sqrt{10}, 3 + \sqrt{10} \} \). #### Exemple 3 : Résolution d'une inéquation rationnelle simple Résoudre l'inéquation suivante : \[ \frac{x-3}{x+1} > 0 \] 1. **Ensemble de définition :** \( x+1 \neq 0 \implies x \neq -1 \). L'ensemble de définition est \( \mathbb{R} \setminus \{-1\} \). 2. **Inéquation ramenée :** L'inéquation est déjà comparée à 0. 3. **Étudier le signe :** * Signe de \( x-3 \) : \( x-3 > 0 \implies x > 3 \). * Signe de \( x+1 \) : \( x+1 > 0 \implies x > -1 \). 4. **Tableau de signes :** | \( x \) | \( -\infty \) | \( -1 \) | \( 3 \) | \( +\infty \) | | :---------------- | :----------- | :---------- | :---------- | :------------- | | Signe de \( x-3 \) | \( - \) | \( - \) | \( 0 \) \( + \) | \( + \) | | Signe de \( x+1 \) | \( - \) | \( 0 \) \( + \) | \( + \) | \( + \) | | Signe de \( \frac{x-3}{x+1} \) | \( + \) | \( || \) \( - \) | \( 0 \) \( + \) | \( + \) | 5. **Conclure :** Nous cherchons les intervalles où \( \frac{x-3}{x+1} > 0 \). D'après le tableau, c'est pour \( x \in ]-\infty; -1[ \cup ]3; +\infty[ \). L'ensemble des solutions est \( S = ]-\infty; -1[ \cup ]3; +\infty[ \). #### Exemple 4 : Résolution d'une inéquation rationnelle avec simplification Résoudre l'inéquation suivante : \[ \frac{2x+4}{x-1} \leq 1 \] 1. **Ensemble de définition :** \( x-1 \neq 0 \implies x \neq 1 \). L'ensemble de définition est \( \mathbb{R} \setminus \{1\} \). 2. **Ramener à la forme \( \frac{F(x)}{G(x)} \) (comparée à 0) :** \[ \frac{2x+4}{x-1} - 1 \leq 0 \] Mettre au même dénominateur : \[ \frac{2x+4 - (x-1)}{x-1} \leq 0 \] \[ \frac{2x+4 - x + 1}{x-1} \leq 0 \] \[ \frac{x+5}{x-1} \leq 0 \] 3. **Étudier le signe :** * Signe de \( x+5 \) : \( x+5 > 0 \implies x > -5 \). * Signe de \( x-1 \) : \( x-1 > 0 \implies x > 1 \). 4. **Tableau de signes :** | \( x \) | \( -\infty \) | \( -5 \) | \( 1 \) | \( +\infty \) | | :---------------- | :----------- | :---------- | :---------- | :------------- | | Signe de \( x+5 \) | \( - \) | \( 0 \) \( + \) | \( + \) | \( + \) | | Signe de \( x-1 \) | \( - \) | \( - \) | \( 0 \) \( + \) | \( + \) | | Signe de \( \frac{x+5}{x-1} \) | \( + \) | \( 0 \) \( - \) | \( || \) \( + \) | \( + \) | 5. **Conclure :** Nous cherchons les intervalles où \( \frac{x+5}{x-1} \leq 0 \). D'après le tableau, c'est pour \( x \in [-5; 1[ \). Notez que \( x=-5 \) est inclus car l'inégalité est \( \leq \), et \( x=1 \) est exclu car c'est une valeur interdite. L'ensemble des solutions est \( S = [-5; 1[ \). ### Exercices Résolvez les équations et inéquations suivantes dans \( \mathbb{R} \) : 1. \( \frac{1}{x-2} = 3 \) 2. \( \frac{x+5}{x-1} = 0 \) 3. \( \frac{x^2-4}{x+2} = 0 \) 4. \( \frac{x-4}{x+2} < 0 \) 5. \( \frac{2x-1}{x+3} \geq 1 \) ### Devoirs Résolvez les problèmes suivants, en montrant toutes les étapes de votre raisonnement : 1. Résolvez l'équation : \[ \frac{3}{x+1} = \frac{2}{x-2} \] 2. Résolvez l'inéquation : \[ \frac{x}{x-3} \leq 2 \] 3. Résolvez l'inéquation : \[ \frac{x^2 - 9}{x+3} > 0 \] 4. Résolvez l'inéquation : \[ \frac{(x+1)^2}{x-1} \leq 0 \] ### Résumé Félicitations ! Vous avez exploré le monde des équations et inéquations rationnelles. Voici les points clés à retenir : * **Ensemble de définition :** Toujours la première étape ! Le dénominateur ne peut jamais être nul. Identifiez et excluez les valeurs interdites. * **Équations rationnelles :** Ramenez toujours l'équation à la forme \( \frac{F(x)}{G(x)} = 0 \), puis résolvez \( F(x) = 0 \). N'oubliez pas de vérifier que vos solutions ne sont pas des valeurs interdites. * **Inéquations rationnelles :** Ramenez toujours l'inéquation à la forme \( \frac{F(x)}{G(x)} \) comparée à \( 0 \). Utilisez ensuite un **tableau de signes** pour analyser les signes du numérateur et du dénominateur, et en déduire le signe du quotient. Soyez attentifs aux valeurs interdites (double barre) et aux bornes des intervalles de solution (crochets ou parenthèses). La pratique régulière de ces étapes vous aidera à maîtriser la résolution des équations et inéquations rationnelles. Bon travail ! ## Système d’équations et d’inéquations dans ℝ2 ### Introduction Bienvenue à cette leçon sur les systèmes d'équations et d'inéquations à deux variables dans le plan réel (ℝ2). Ces outils mathématiques sont fondamentaux pour modéliser et résoudre une multitude de problèmes concrets, allant de la gestion de budgets à la planification de la production. Dans ce cours, nous allons explorer les différentes méthodes pour trouver les solutions de ces systèmes, qu'elles soient algébriques ou graphiques. ### Concepts Clés #### Systèmes d'équations linéaires à deux inconnues Un système de deux équations linéaires à deux inconnues (souvent notées \( x \) et \( y \)) se présente sous la forme générale : \[ \begin{cases} ax + by = c \\ dx + ey = f \end{cases} \] où \( a, b, c, d, e, f \) sont des nombres réels. La solution d'un tel système est un couple de nombres \( (x, y) \) qui vérifie *simultanément* les deux équations. ##### Méthodes de résolution algébrique Il existe deux méthodes principales pour résoudre algébriquement ces systèmes : * **Méthode par substitution :** 1. Exprimer une des inconnues en fonction de l'autre à partir de l'une des équations. 2. Substituer cette expression dans l'autre équation. On obtient alors une équation à une seule inconnue. 3. Résoudre cette nouvelle équation pour trouver la valeur de la première inconnue. 4. Utiliser cette valeur pour trouver la seconde inconnue. * **Méthode par combinaison linéaire (ou addition) :** 1. Multiplier chaque équation par un nombre choisi de manière à ce que les coefficients d'une des inconnues soient opposés. 2. Additionner membre à membre les deux équations obtenues. Cela permet d'éliminer une inconnue. 3. Résoudre l'équation restante pour trouver la valeur de la première inconnue. 4. Utiliser cette valeur dans l'une des équations de départ pour trouver la seconde inconnue. ##### Interprétation graphique Chaque équation linéaire du type \( ax + by = c \) représente une droite dans le plan. La solution d'un système est le point d'intersection de ces deux droites. Il y a trois cas possibles : 1. **Une solution unique :** Les deux droites se coupent en un seul point. 2. **Aucune solution :** Les deux droites sont parallèles et distinctes (elles ne se coupent jamais). 3. **Une infinité de solutions :** Les deux droites sont confondues (elles sont la même droite). #### Inéquations linéaires à deux inconnues Une inéquation linéaire à deux inconnues est une expression de la forme : \[ ax + by < c \] (ou \( > \), \( ext{leq} \), \( ext{geq} \) ) La solution d'une inéquation de ce type n'est pas un point unique, mais une région du plan : un demi-plan. ##### Résolution graphique d'une inéquation Pour résoudre graphiquement une inéquation du type \( ax + by < c \) : 1. **Tracer la droite frontière :** Représenter la droite d'équation \( ax + by = c \). 2. **Déterminer le demi-plan solution :** * Choisir un point test qui n'est pas sur la droite (par exemple, l'origine \( (0, 0) \) si elle n'est pas sur la droite). * Substituer les coordonnées de ce point dans l'inéquation. * Si l'inéquation est vérifiée, le demi-plan contenant le point test est la solution. Sinon, l'autre demi-plan est la solution. 3. **Indiquer la frontière :** * Si l'inéquation est stricte (\( < \) ou \( > \)), la droite frontière est *exclue* de la solution (on la trace en pointillé). * Si l'inéquation est large (\( ext{leq} \) ou \( ext{geq} \)), la droite frontière est *incluse* dans la solution (on la trace en trait plein). #### Systèmes d'inéquations linéaires à deux inconnues Un système d'inéquations linéaires est composé de plusieurs inéquations. La solution d'un tel système est la région du plan qui vérifie *simultanément* toutes les inéquations. ##### Résolution graphique d'un système d'inéquations 1. Résoudre graphiquement chaque inéquation séparément, en hachurant ou coloriant le demi-plan solution de chacune. 2. La solution du système est l'intersection de toutes ces régions, c'est-à-dire la zone du plan où toutes les hachures ou couleurs se superposent. ### Vocabulaire * **Système d'équations :** Ensemble de plusieurs équations que l'on doit résoudre simultanément. * **Inconnue :** Variable dont on cherche la valeur dans une équation ou un système. * **Solution d'un système (d'équations) :** Couple de valeurs \( (x, y) \) qui vérifie toutes les équations du système. * **Méthode par substitution :** Technique de résolution algébrique où l'on exprime une variable en fonction de l'autre. * **Méthode par combinaison linéaire (ou addition) :** Technique de résolution algébrique où l'on additionne des équations pour éliminer une variable. * **Demi-plan :** Région du plan délimitée par une droite. * **Droite frontière :** La droite qui sépare le plan en deux demi-plans, correspondant à l'équation associée à une inéquation. * **Région solution :** L'ensemble des points \( (x, y) \) du plan qui satisfont toutes les inéquations d'un système. ### Exemples #### Exemple 1 : Résolution d'un système d'équations Résolvons le système suivant : \[ \begin{cases} 2x + y = 7 \quad (1) \\ x - y = 2 \quad (2) \end{cases} \] * **Par substitution :** De l'équation (2), on tire \( x = y + 2 \). Substituons cette expression de \( x \) dans l'équation (1) : \( 2(y + 2) + y = 7 \) \( 2y + 4 + y = 7 \) \( 3y = 3 \) \( y = 1 \) Maintenant, trouvons \( x \) : \( x = 1 + 2 = 3 \). La solution est \( (3, 1) \). * **Par combinaison linéaire :** Additionnons les équations (1) et (2) membre à membre : \( (2x + y) + (x - y) = 7 + 2 \) \( 3x = 9 \) \( x = 3 \) Substituons \( x = 3 \) dans l'équation (2) : \( 3 - y = 2 \) \( y = 1 \) La solution est \( (3, 1) \). * **Interprétation graphique :** La droite (1) passe par (0, 7) et (3.5, 0). La droite (2) passe par (0, -2) et (2, 0). Elles se coupent au point (3, 1). #### Exemple 2 : Résolution graphique d'une inéquation Résolvons graphiquement l'inéquation \( x - 2y < 4 \). 1. **Droite frontière :** \( x - 2y = 4 \). Si \( x = 0 \), alors \( -2y = 4 \) d'où \( y = -2 \). Point \( (0, -2) \). Si \( y = 0 \), alors \( x = 4 \). Point \( (4, 0) \). Traçons cette droite en *pointillé* car l'inégalité est stricte (\( < \)). 2. **Point test :** Prenons \( (0, 0) \). Substituons dans l'inéquation : \( 0 - 2(0) < 4 \implies 0 < 4 \). C'est vrai. 3. **Région solution :** Le demi-plan contenant l'origine \( (0, 0) \) est la solution. Hachurez cette région. #### Exemple 3 : Résolution graphique d'un système d'inéquations Résolvons graphiquement le système suivant : \[ \begin{cases} x + y ext{geq} 3 \quad (I_1) \\ 2x - y ext{leq} 4 \quad (I_2) \end{cases} \] 1. **Inéquation \( (I_1) \) :** \( x + y ext{geq} 3 \) * Droite frontière : \( x + y = 3 \) (trait plein). * Point test \( (0, 0) \) : \( 0 + 0 ext{geq} 3 \implies 0 ext{geq} 3 \). C'est faux. * La solution est le demi-plan *ne contenant pas* l'origine. 2. **Inéquation \( (I_2) \) :** \( 2x - y ext{leq} 4 \) * Droite frontière : \( 2x - y = 4 \) (trait plein). * Point test \( (0, 0) \) : \( 2(0) - 0 ext{leq} 4 \implies 0 ext{leq} 4 \). C'est vrai. * La solution est le demi-plan *contenant* l'origine. 3. **Solution du système :** La solution est la région du plan où les deux demi-plans se superposent (l'intersection des deux zones hachurées). Dessinez les deux droites frontières et hachurez les régions correspondantes pour trouver l'intersection. ### Exercices 1. Résolvez le système d'équations suivant par la méthode de votre choix et vérifiez votre solution : \[ \begin{cases} 3x - 2y = 8 \\ x + y = 1 \end{cases} \] 2. Représentez graphiquement l'inéquation \( 2x + 3y > 6 \). 3. Représentez graphiquement la solution du système d'inéquations suivant : \[ \begin{cases} x ext{geq} 0 \\ y ext{geq} 0 \\ x + y ext{leq} 5 \end{cases} \] ### Devoir 1. Un zoo achète des pommes et des bananes pour ses animaux. Une pomme coûte 0,50 € et une banane coûte 0,30 €. Le zoo dépense 10 € et achète un total de 24 fruits. Combien de pommes et de bananes ont été achetées ? (Mettez en place un système d'équations et résolvez-le). 2. Un atelier fabrique des chaises et des tables. Pour fabriquer une chaise, il faut 2 heures de travail et 1 unité de bois. Pour fabriquer une table, il faut 3 heures de travail et 4 unités de bois. L'atelier dispose de 24 heures de travail par jour et de 20 unités de bois. Soit \( x \) le nombre de chaises et \( y \) le nombre de tables produites. * Écrivez le système d'inéquations qui modélise ces contraintes. * Représentez graphiquement la région des solutions possibles (nombre de chaises et de tables). ### Résumé Dans cette leçon, nous avons exploré les systèmes d'équations et d'inéquations linéaires à deux inconnues dans ℝ2. * **Pour les systèmes d'équations,** nous avons appris à les résoudre algébriquement par substitution et par combinaison linéaire, et graphiquement en trouvant le point d'intersection de deux droites. * **Pour les inéquations,** nous avons vu que la solution est un demi-plan, déterminé graphiquement par une droite frontière et un point test. La frontière peut être incluse (trait plein) ou exclue (pointillé). * **Les systèmes d'inéquations** ont pour solution l'intersection des demi-plans individuels, formant une région du plan. Ces outils sont essentiels pour la modélisation et la résolution de problèmes concrets en mathématiques et dans d'autres domaines. ## Équations et inéquations du 1er degré dans ℝ ### Introduction Bienvenue à cette leçon sur les équations et inéquations du 1er degré dans l'ensemble des nombres réels, noté \( \mathbb{R} \). Ces outils mathématiques sont fondamentaux pour résoudre de nombreux problèmes en sciences, en économie et dans la vie quotidienne. Nous apprendrons à trouver des valeurs inconnues qui satisfont certaines conditions d'égalité ou d'inégalité. ### Concepts Clés #### Qu'est-ce qu'une équation ? Une **équation** est une égalité qui contient une ou plusieurs inconnues (souvent désignées par \( x \)). Résoudre une équation signifie trouver toutes les valeurs de l'inconnue qui rendent l'égalité vraie. Ces valeurs sont appelées les **solutions** de l'équation. * **Exemple simple**: L'équation \( x + 5 = 12 \) a pour solution \( x = 7 \), car \( 7 + 5 = 12 \). #### Équations du 1er degré Une équation du 1er degré à une inconnue peut être ramenée à la forme générale: \[ ax + b = 0 \] où \( a \) et \( b \) sont des nombres réels et \( a \neq 0 \). **Méthode de résolution:** 1. Isoler le terme en \( x \) d'un côté de l'égalité en ajoutant ou soustrayant \( b \) des deux côtés. 2. Diviser par \( a \) pour trouver la valeur de \( x \). * **Exemple 1**: Résoudre \( 3x - 6 = 0 \) \( 3x - 6 = 0 \) \( 3x = 6 \) (on ajoute 6 aux deux membres) \( x = \frac{6}{3} \) (on divise par 3 les deux membres) \( x = 2 \) La solution est \( x=2 \). * **Exemple 2**: Résoudre \( 2(x+3) = 4x - 2 \) \( 2x + 6 = 4x - 2 \) (on développe) \( 6 + 2 = 4x - 2x \) (on regroupe les termes en \( x \) et les constantes) \( 8 = 2x \) \( x = \frac{8}{2} \) \( x = 4 \) La solution est \( x=4 \). #### Qu'est-ce qu'une inéquation ? Une **inéquation** est une inégalité qui contient une ou plusieurs inconnues. Au lieu d'une égalité (comme avec le signe \( = \)), nous avons des symboles d'inégalité: * \( < \) : strictement inférieur à * \( > \) : strictement supérieur à * \( \leq \) : inférieur ou égal à * \( \geq \) : supérieur ou égal à Résoudre une inéquation signifie trouver toutes les valeurs de l'inconnue qui rendent l'inégalité vraie. Les solutions d'une inéquation sont généralement un ensemble de nombres, souvent représenté par un **intervalle**. #### Inéquations du 1er degré Une inéquation du 1er degré à une inconnue peut être ramenée à la forme générale: \[ ax + b < 0 \] (ou \( >, \leq, \geq \)) où \( a \) et \( b \) sont des nombres réels et \( a \neq 0 \). **Méthode de résolution:** La méthode est similaire à celle des équations, avec une règle cruciale à retenir: * **ATTENTION**: Lorsque vous multipliez ou divisez les deux membres d'une inéquation par un nombre **négatif**, vous devez **inverser le sens de l'inégalité**. * **Exemple 1**: Résoudre \( 2x + 4 < 10 \) \( 2x + 4 < 10 \) \( 2x < 10 - 4 \) (on soustrait 4) \( 2x < 6 \) \( x < \frac{6}{2} \) (on divise par 2, un nombre positif, le sens ne change pas) \( x < 3 \) L'ensemble des solutions est \( ]-\infty; 3[ \). * **Exemple 2**: Résoudre \( -3x + 9 \geq 0 \) \( -3x + 9 \geq 0 \) \( -3x \geq -9 \) (on soustrait 9) \( x \leq \frac{-9}{-3} \) (on divise par -3, un nombre négatif, **le sens change**) \( x \leq 3 \) L'ensemble des solutions est \( ]-\infty; 3] \). #### Représentation des solutions d'une inéquation Les solutions d'une inéquation sont représentées sur une **droite numérique** ou par un **intervalle**. * **Intervalle**: un ensemble de nombres réels compris entre deux bornes. Les crochets indiquent si les bornes sont incluses ou exclues. * \( [a, b] \): intervalle fermé, \( a \leq x \leq b \) * \( ]a, b[ \): intervalle ouvert, \( a < x < b \) * \( [a, \infty[ \): \( x \geq a \) * \( ]-\infty, b] \): \( x \leq b \) * \( ]a, b] \): \( a < x \leq b \) * **Droite numérique**: On représente les solutions par une portion de droite hachurée. La borne est indiquée par un crochet ou un point: * Crochet tourné vers l'intérieur (ou point plein) si la borne est incluse (\( \leq, \geq \)). * Crochet tourné vers l'extérieur (ou point vide) si la borne est exclue (\( <, > \)). ### Vocabulaire * **Équation**: Égalité avec une ou plusieurs inconnues à déterminer. * **Inconnue**: Symbole (souvent \( x \)) représentant la valeur à trouver. * **Solution**: Valeur(s) de l'inconnue qui vérifie(nt) l'équation ou l'inéquation. * **Inéquation**: Inégalité avec une ou plusieurs inconnues à déterminer. * **Membre**: Chacune des expressions de part et d'autre du signe \( = \) ou d'inégalité. * **Résoudre**: Action de trouver l'ensemble de toutes les solutions. * **Intervalle**: Représentation d'un ensemble de nombres réels, souvent solutions d'une inéquation. * **Ensemble de solutions**: L'ensemble de toutes les valeurs qui vérifient l'équation ou l'inéquation. * **Droite numérique**: Représentation graphique des nombres réels, utilisée pour visualiser les solutions d'inéquations. ### Exemples 1. **Équation simple**: Résoudre \( 4x + 7 = 19 \) \( 4x = 19 - 7 \) \( 4x = 12 \) \( x = \frac{12}{4} \) \( x = 3 \) La solution est \( 3 \). 2. **Inéquation avec parenthèses**: Résoudre \( 5(x-2) \geq 3x + 4 \) \( 5x - 10 \geq 3x + 4 \) (on développe) \( 5x - 3x \geq 4 + 10 \) (on regroupe les termes) \( 2x \geq 14 \) \( x \geq \frac{14}{2} \) \( x \geq 7 \) L'ensemble des solutions est l'intervalle \( [7; +\infty[ \). 3. **Problème concret**: