Chap5: Statistiques

# Chap5: Statistiques ## Tableau des effectifs ou des fréquences. ### Introduction Bienvenue dans ce chapitre sur les statistiques ! Les statistiques sont une branche des mathématiques qui nous aide à collecter, organiser, analyser et interpréter des données. Que ce soit pour comprendre les résultats d'un sondage, analyser les performances d'une équipe sportive ou étudier les préférences des consommateurs, les statistiques sont partout autour de nous. Dans cette leçon, nous allons apprendre à organiser des données brutes de manière structurée et compréhensible. Nous nous concentrerons sur deux outils fondamentaux : les tableaux d'effectifs et les tableaux de fréquences. Ces tableaux nous permettent de résumer efficacement de grandes quantités de données et de tirer des premières conclusions. ### Concepts Clés #### Qu'est-ce qu'une série statistique ? Une **série statistique** est un ensemble de données collectées suite à l'étude d'une **population**. * **Population** : L'ensemble sur lequel porte l'étude statistique (ex: tous les élèves d'un lycée, toutes les voitures d'une ville). * **Individu (ou unité statistique)** : Un élément de la population (ex: un élève, une voiture). * **Caractère (ou variable statistique)** : La propriété étudiée sur chaque individu de la population (ex: la taille des élèves, la couleur des voitures). Le caractère peut être : * **Qualitatif** : Il ne peut pas être mesuré par un nombre (ex: couleur, profession, opinion). * **Quantitatif** : Il peut être mesuré par un nombre (ex: âge, taille, nombre de frères et sœurs). Il peut être **discret** (prend des valeurs isolées, ex: nombre d'enfants) ou **continu** (peut prendre toutes les valeurs dans un intervalle, ex: taille en cm). * **Modalité** : Les différentes valeurs ou catégories que peut prendre le caractère (ex: pour le caractère "couleur", les modalités peuvent être "rouge", "bleu", "vert"). #### L'effectif ##### Définition de l'effectif L'**effectif** d'une modalité est le nombre d'individus de la population qui possèdent cette modalité. C'est simplement le compte du nombre d'apparitions d'une valeur ou d'une catégorie donnée. L'**effectif total** est le nombre total d'individus dans la population étudiée. C'est la somme de tous les effectifs des différentes modalités. ##### Comment calculer l'effectif ? Pour calculer l'effectif d'une modalité, il suffit de compter le nombre de fois où cette modalité apparaît dans la série statistique. L'effectif total est la somme de tous ces effectifs partiels. \[ \text{Effectif total} = \sum \text{Effectifs partiels} \] #### La fréquence ##### Définition de la fréquence La **fréquence** d'une modalité est la proportion d'individus qui possèdent cette modalité par rapport à l'effectif total. Elle est souvent exprimée sous forme de fraction, de nombre décimal (entre 0 et 1) ou de pourcentage. ##### Comment calculer la fréquence ? La fréquence se calcule à l'aide de la formule suivante : \[ \text{Fréquence} = \frac{\text{Effectif de la modalité}}{\text{Effectif total}} \] Pour exprimer la fréquence en pourcentage, il suffit de multiplier le résultat par 100 : \[ \text{Fréquence en pourcentage} = \left( \frac{\text{Effectif de la modalité}}{\text{Effectif total}} \right) \times 100 \] ##### Propriétés des fréquences * La fréquence d'une modalité est toujours un nombre compris entre 0 et 1 (ou entre 0% et 100%). * La somme de toutes les fréquences (sous forme décimale) est toujours égale à 1. * La somme de toutes les fréquences en pourcentage est toujours égale à 100%. \[ \sum \text{Fréquences} = 1 \quad \text{ou} \quad \sum \text{Fréquences en pourcentage} = 100 \% \] #### Le tableau des effectifs et des fréquences ##### Structure du tableau Un tableau des effectifs et des fréquences est un moyen organisé de présenter les données. Il comporte généralement les colonnes suivantes : 1. **Modalités du caractère étudié** (ex: couleur, note, âge). 2. **Effectifs** (le nombre de fois que chaque modalité apparaît). 3. **Fréquences** (le ratio de chaque effectif par rapport à l'effectif total, souvent sous forme décimale). 4. **Fréquences en pourcentage** (la fréquence multipliée par 100). Une ligne "Total" est ajoutée à la fin pour les sommes des effectifs et des fréquences. ##### Exemple de construction Soit la série statistique suivante représentant les notes obtenues par 20 élèves à un contrôle de mathématiques (sur 20) : 12, 10, 15, 8, 12, 10, 18, 15, 12, 10, 14, 9, 12, 10, 15, 11, 12, 16, 10, 13 **Étape 1 : Identifier les modalités et l'effectif total.** Les modalités sont les notes : 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 18. L'effectif total est de 20 élèves. **Étape 2 : Calculer les effectifs pour chaque modalité.** * Note 8 : 1 élève * Note 9 : 1 élève * Note 10 : 5 élèves * Note 11 : 1 élève * Note 12 : 5 élèves * Note 13 : 1 élève * Note 14 : 1 élève * Note 15 : 3 élèves * Note 16 : 1 élève * Note 18 : 1 élève (Vérification : \( 1+1+5+1+5+1+1+3+1+1 = 20 \), c'est bon.) **Étape 3 : Calculer les fréquences et les fréquences en pourcentage.** * Note 8 : Fréquence = \( rac{1}{20} = 0.05 \) (ou 5%) * Note 9 : Fréquence = \( rac{1}{20} = 0.05 \) (ou 5%) * Note 10 : Fréquence = \( rac{5}{20} = 0.25 \) (ou 25%) * Note 11 : Fréquence = \( rac{1}{20} = 0.05 \) (ou 5%) * Note 12 : Fréquence = \( rac{5}{20} = 0.25 \) (ou 25%) * Note 13 : Fréquence = \( rac{1}{20} = 0.05 \) (ou 5%) * Note 14 : Fréquence = \( rac{1}{20} = 0.05 \) (ou 5%) * Note 15 : Fréquence = \( rac{3}{20} = 0.15 \) (ou 15%) * Note 16 : Fréquence = \( rac{1}{20} = 0.05 \) (ou 5%) * Note 18 : Fréquence = \( rac{1}{20} = 0.05 \) (ou 5%) **Étape 4 : Construire le tableau.** | Notes (Modalités) | Effectif | Fréquence | Fréquence (%) | | :---------------- | :------- | :-------- | :------------ | | 8 | 1 | 0.05 | 5% | | 9 | 1 | 0.05 | 5% | | 10 | 5 | 0.25 | 25% | | 11 | 1 | 0.05 | 5% | | 12 | 5 | 0.25 | 25% | | 13 | 1 | 0.05 | 5% | | 14 | 1 | 0.05 | 5% | | 15 | 3 | 0.15 | 15% | | 16 | 1 | 0.05 | 5% | | 18 | 1 | 0.05 | 5% | | **Total** | **20** | **1.00** | **100%** | ### Vocabulaire * **Statistique** : Science de la collecte, de l'organisation, de l'analyse et de l'interprétation des données. * **Série statistique** : Ensemble des données recueillies lors d'une étude. * **Population** : Ensemble des individus étudiés. * **Individu** : Un élément de la population. * **Caractère** : La propriété étudiée sur les individus (peut être qualitatif ou quantitatif). * **Modalité** : Les différentes valeurs que peut prendre un caractère. * **Effectif** : Le nombre d'individus qui présentent une certaine modalité. * **Effectif total** : Le nombre total d'individus dans la population. * **Fréquence** : La proportion d'un effectif par rapport à l'effectif total, exprimée en fraction, décimal ou pourcentage. ### Exemples #### Exemple 1 : Couleurs de T-shirts Un groupe de 25 personnes a été interrogé sur la couleur de leur T-shirt préféré. Voici les réponses : Bleu, Rouge, Vert, Bleu, Noir, Jaune, Rouge, Bleu, Vert, Noir, Bleu, Bleu, Rouge, Jaune, Noir, Vert, Bleu, Rouge, Noir, Bleu, Vert, Noir, Bleu, Rouge, Noir. Construisons le tableau des effectifs et des fréquences. **1. Modalités :** Bleu, Rouge, Vert, Noir, Jaune. **2. Effectif total :** 25. | Couleur (Modalités) | Effectif | Fréquence (Forme décimale) | Fréquence (%) | | :------------------ | :------- | :------------------------- | :------------ | | Bleu | 9 | \( 9/25 = 0.36 \) | 36% | | Rouge | 5 | \( 5/25 = 0.20 \) | 20% | | Vert | 4 | \( 4/25 = 0.16 \) | 16% | | Noir | 6 | \( 6/25 = 0.24 \) | 24% | | Jaune | 1 | \( 1/25 = 0.04 \) | 4% | | **Total** | **25** | **1.00** | **100%** | #### Exemple 2 : Nombre de frères et sœurs Dans une classe de 30 élèves, on a demandé à chacun le nombre de frères et sœurs. Voici les résultats : 0, 1, 2, 1, 0, 3, 1, 1, 2, 0, 1, 1, 2, 0, 1, 3, 0, 1, 2, 1, 0, 2, 1, 1, 0, 1, 2, 0, 1, 1 Construisons le tableau des effectifs et des fréquences. **1. Modalités :** 0, 1, 2, 3. **2. Effectif total :** 30. | Nb de frères et sœurs (Modalités) | Effectif | Fréquence (Forme décimale) | Fréquence (%) | | :-------------------------------- | :------- | :------------------------- | :------------ | | 0 | 7 | \( 7/30 \approx 0.233 \) | \( \approx 23.3 \% \) | | 1 | 14 | \( 14/30 \approx 0.467 \) | \( \approx 46.7 \% \) | | 2 | 7 | \( 7/30 \approx 0.233 \) | \( \approx 23.3 \% \) | | 3 | 2 | \( 2/30 \approx 0.067 \) | \( \approx 6.7 \% \) | | **Total** | **30** | **1.00** | **100%** | *(Note : Les fréquences peuvent être arrondies, il faut le préciser. Ici, nous avons arrondi à 3 décimales pour les fréquences et 1 décimale pour les pourcentages.)* ### Exercices 1. **Donnée :** Voici les âges des participants à un club de jeux de société : 15, 12, 16, 15, 13, 12, 17, 15, 13, 16, 15, 12, 14, 15, 16, 17. Construisez le tableau des effectifs et des fréquences pour cette série statistique. 2. **Donnée :** Un sondage a été réalisé auprès de 50 personnes sur leur saison préférée. Le tableau ci-dessous indique les effectifs : | Saison préférée | Effectif | | :-------------- | :------- | | Printemps | 10 | | Été | 18 | | Automne | 12 | | Hiver | 10 | Complétez ce tableau en ajoutant les colonnes pour les fréquences (décimales) et les fréquences en pourcentage. 3. **Interprétation :** D'après le tableau de l'exercice 2, quelle est la saison préférée par le plus grand nombre de personnes ? Quel pourcentage des personnes interrogées préfèrent l'automne ? ### Devoir à la maison 1. **Collecte de données :** Interrogez 20 personnes de votre entourage (famille, amis, camarades de classe) sur leur **fruit préféré**. Notez les réponses. 2. **Construction du tableau :** À partir des données que vous avez collectées, construisez un tableau des effectifs et des fréquences (avec fréquences décimales et en pourcentage). 3. **Analyse :** Quel est le fruit le plus fréquemment choisi ? Quel est le pourcentage des personnes qui ont choisi ce fruit ? Présentez votre tableau et vos conclusions. ### Résumé Dans cette leçon, nous avons exploré les outils fondamentaux pour organiser des données statistiques : les tableaux d'effectifs et de fréquences. * L'**effectif** compte le nombre d'occurrences d'une modalité, et l'effectif total est la somme de tous les effectifs. * La **fréquence** exprime la proportion d'une modalité par rapport à l'effectif total, calculée par la formule \[ \text{Fréquence} = \frac{\text{Effectif}}{\text{Effectif total}} \]. Elle peut être décimale (entre 0 et 1) ou en pourcentage (entre 0% et 100%). * La somme des fréquences est toujours 1 (ou 100%). Ces tableaux sont essentiels pour transformer des listes de données brutes en informations structurées et faciles à analyser, nous permettant ainsi de mieux comprendre les caractéristiques d'une population étudiée.