Droites, cercles dans le plan

# Droites, cercles dans le plan ## Droites du plan ### Introduction Bienvenue dans cette leçon sur les droites du plan ! En géométrie, les droites sont des objets fondamentaux. Comprendre comment les définir, les représenter et analyser leurs relations est essentiel pour progresser en mathématiques. Dans ce cours, nous allons explorer les différentes manières de caractériser une droite dans un repère, ses équations et les positions relatives qu'elle peut entretenir avec d'autres droites. ### Concepts Clés #### Repérage dans le plan * **Coordonnées d'un point** Un point \( M \) dans un plan muni d'un repère \( (O; \vec{i}, \vec{j}) \) est caractérisé par son abscisse \( x_M \) et son ordonnée \( y_M \). On note \( M(x_M; y_M) \). * **Distance entre deux points** Soient deux points \( A(x_A; y_A) \) et \( B(x_B; y_B) \). La distance entre \( A \) et \( B \) est donnée par la formule : \[ AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2} \] * **Milieu d'un segment** Les coordonnées du milieu \( I \) d'un segment \( [AB] \) sont : \[ I \left( \frac{x_A+x_B}{2} ; \frac{y_A+y_B}{2} \right) \] #### Équation de droite * **Équation cartésienne d'une droite** Toute droite \( D \) du plan peut être représentée par une équation de la forme : \[ ax + by + c = 0 \] où \( a, b, c \) sont des nombres réels et \( (a, b) \neq (0, 0) \). Un vecteur \( \vec{n}(a; b) \) est un vecteur normal à la droite (perpendiculaire à la droite). * **Équation réduite d'une droite** Pour toute droite non verticale, son équation peut s'écrire sous la forme : \[ y = mx + p \] * \( m \) est le **coefficient directeur** (ou la pente) de la droite. * \( p \) est l'**ordonnée à l'origine** (le point où la droite coupe l'axe des ordonnées). Pour une droite verticale, l'équation est de la forme \( x = k \), où \( k \) est une constante. * **Déterminer l'équation d'une droite** * **À partir de deux points** \( A(x_A; y_A) \) et \( B(x_B; y_B) \) : * Si \( x_A = x_B \), la droite est verticale d'équation \( x = x_A \). * Sinon, le coefficient directeur est \( m = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A} \). Puis, on utilise l'un des points pour trouver \( p \) dans \( y = mx + p \). * **À partir d'un point et d'un coefficient directeur** : On remplace \( m \) et les coordonnées du point dans \( y = mx + p \) pour trouver \( p \). #### Position relative de deux droites * **Droites parallèles** Deux droites \( D_1: y = m_1x + p_1 \) et \( D_2: y = m_2x + p_2 \) sont parallèles si et seulement si elles ont le même coefficient directeur : \( m_1 = m_2 \). Si elles sont verticales, elles sont parallèles si elles ont la même équation \( x = k \). * **Droites sécantes** Deux droites sont sécantes si elles ne sont pas parallèles, c'est-à-dire si \( m_1 \neq m_2 \) (pour les droites non verticales). Elles se coupent en un unique point dont les coordonnées sont obtenues en résolvant le système d'équations formé par leurs deux équations. * **Droites confondues** Deux droites sont confondues si elles ont la même équation. ### Vocabulaire * **Plan cartésien** : Plan muni d'un repère orthonormé (ou orthogonal). * **Abscisse** : Coordonnée horizontale d'un point (axe des \( x \)). * **Ordonnée** : Coordonnée verticale d'un point (axe des \( y \)). * **Coefficient directeur (pente)** : Nombre \( m \) qui indique l'inclinaison d'une droite dans son équation réduite \( y = mx+p \). * **Ordonnée à l'origine** : Valeur \( p \) de \( y \) lorsque \( x=0 \) dans l'équation réduite \( y=mx+p \). * **Équation réduite** : Forme \( y = mx+p \) d'une équation de droite (pour les droites non verticales). * **Équation cartésienne** : Forme \( ax+by+c=0 \) d'une équation de droite. * **Vecteur directeur** : Vecteur non nul dont la direction est celle de la droite. * **Vecteur normal** : Vecteur perpendiculaire à la droite. * **Droites parallèles** : Droites qui ne se coupent jamais ou qui sont confondues. * **Droites sécantes** : Droites qui se coupent en un unique point. ### Exemples 1. **Calcul de distance et de milieu :** Soient \( A(1; 2) \) et \( B(4; 6) \). * Distance \( AB = \sqrt{(4-1)^2 + (6-2)^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \). * Milieu \( I \) de \( [AB] \) : \( I \left( \frac{1+4}{2} ; \frac{2+6}{2} \right) \), donc \( I(2,5; 4) \). 2. **Déterminer l'équation d'une droite passant par deux points :** Soit la droite \( D \) passant par \( A(2; 1) \) et \( B(5; 7) \). * Coefficient directeur \( m = \frac{7-1}{5-2} = \frac{6}{3} = 2 \). * L'équation est de la forme \( y = 2x + p \). En utilisant le point \( A(2; 1) \) : \( 1 = 2(2) + p \Rightarrow 1 = 4 + p \Rightarrow p = -3 \). * L'équation de la droite \( D \) est \( y = 2x - 3 \). 3. **Position relative de deux droites :** Soient \( D_1: y = 3x + 1 \) et \( D_2: y = 3x - 5 \). Les coefficients directeurs sont identiques (\( m_1 = m_2 = 3 \)). Les droites sont parallèles. Soient \( D_3: y = 2x + 4 \) et \( D_4: y = -x + 1 \). Les coefficients directeurs sont différents (\( m_3 = 2 \) et \( m_4 = -1 \)). Les droites sont sécantes. Pour trouver le point d'intersection, on résout \( 2x + 4 = -x + 1 \Rightarrow 3x = -3 \Rightarrow x = -1 \). Puis \( y = 2(-1) + 4 = 2 \). Le point d'intersection est \( (-1; 2) \). ### Exercices 1. Calculez la distance entre les points \( P(-2; 3) \) et \( Q(4; -1) \). Déterminez également les coordonnées du milieu du segment \( [PQ] \). 2. Déterminez l'équation réduite de la droite \( D \) passant par les points \( A(3; 5) \) et \( B(1; 1) \). 3. Donnez l'équation cartésienne de la droite \( \Delta \) d'équation réduite \( y = -2x + 7 \). 4. Les droites \( D_1: y = -4x + 2 \) et \( D_2: y = -4x + 9 \) sont-elles parallèles ou sécantes ? Justifiez votre réponse. 5. Déterminez les coordonnées du point d'intersection des droites \( D_A: y = x + 3 \) et \( D_B: y = -2x \). ### Devoirs 1. Dans un repère orthonormé, placez les points \( A(-3; 1) \), \( B(5; 3) \) et \( C(1; -5) \). * Calculez les longueurs \( AB \), \( BC \) et \( AC \). * Déterminez les équations réduites des droites \( (AB) \), \( (BC) \) et \( (AC) \). * Trouvez les coordonnées du milieu \( M \) de \( [AB] \) et du milieu \( N \) de \( [BC] \). * Déterminez l'équation de la droite \( (MN) \). Que pouvez-vous dire de \( (MN) \) par rapport à \( (AC) \) ? 2. Soient les droites \( D_1: 2x - 3y + 6 = 0 \) et \( D_2: y = \frac{2}{3}x - 1 \). * Déterminez la nature des droites (parallèles, sécantes, confondues). * Si elles sont sécantes, calculez les coordonnées de leur point d'intersection. ### Résumé Dans cette leçon, nous avons revu le système de repérage dans le plan, y compris le calcul de la distance entre deux points et des coordonnées du milieu d'un segment. Nous avons approfondi les équations des droites, en distinguant l'équation cartésienne \( ax + by + c = 0 \) et l'équation réduite \( y = mx + p \) pour les droites non verticales. Enfin, nous avons appris à déterminer la position relative de deux droites (parallèles, sécantes, confondues) en comparant leurs coefficients directeurs. Ces concepts sont fondamentaux pour l'étude future de la géométrie analytique. ## Cercles du plan. ### Introduction Bienvenue dans cette leçon sur les cercles du plan ! Le cercle est une figure géométrique fondamentale que vous avez étudiée dès votre plus jeune âge. Nous allons approfondir nos connaissances en explorant sa définition précise, son équation dans un repère cartésien, et comment l'utiliser pour résoudre des problèmes géométriques. ### Concepts clés #### Définition d'un cercle * Un cercle est l'ensemble de tous les points situés à une distance fixe (appelée **rayon**) d'un point donné (appelé **centre**). * Le centre est généralement noté \( C(a, b) \) ou \( \Omega(a, b) \). * Le rayon est généralement noté \( r \) et \( r > 0 \). #### Équation cartésienne d'un cercle ##### Cercle de centre à l'origine * Si le centre du cercle est l'origine du repère \( O(0, 0) \) et que son rayon est \( r \), alors l'équation du cercle est : \[ x^2 + y^2 = r^2 \] ##### Cercle de centre \( C(a, b) \) * Si le centre du cercle est un point \( C(a, b) \) et que son rayon est \( r \), alors l'équation du cercle est : \[ (x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2 \] * Cette équation exprime que la distance entre n'importe quel point \( M(x, y) \) du cercle et le centre \( C(a, b) \) est égale au rayon \( r \). * Rappel : la distance entre deux points \( M(x,y) \) et \( C(a,b) \) est donnée par \( MC = \sqrt{(x-a)^2 + (y-b)^2} \). En élevant au carré, on obtient \( MC^2 = (x-a)^2 + (y-b)^2 \). Puisque \( MC = r \), on a \( MC^2 = r^2 \). #### Déterminer le centre et le rayon à partir de l'équation * Si vous avez une équation de la forme \( (x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2 \), le centre est \( C(a, b) \) et le rayon est \( r \). * Attention : le membre de droite doit être positif. S'il est négatif, il n'y a pas de cercle réel. * Si l'équation est sous forme développée, comme \( x^2 + y^2 - 2ax - 2by + c = 0 \), il faut la ramener à la forme canonique en utilisant la complétion du carré : \( (x^2 - 2ax + a^2) + (y^2 - 2by + b^2) + c - a^2 - b^2 = 0 \) \( (x-a)^2 + (y-b)^2 = a^2 + b^2 - c \) Le centre est \( C(a, b) \) et le rayon \( r = \sqrt{a^2 + b^2 - c} \). Il faut que \( a^2 + b^2 - c > 0 \) pour que ce soit un cercle. #### Appartenance d'un point à un cercle * Un point \( P(x_P, y_P) \) appartient à un cercle d'équation \( (x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2 \) si et seulement si ses coordonnées vérifient l'équation : \[ (x_P-a)^2 + (y_P-b)^2 = r^2 \] ### Vocabulaire * **Cercle :** Ensemble de tous les points équidistants d'un point central. * **Centre (d'un cercle) :** Le point fixe d'où tous les points du cercle sont équidistants. * **Rayon (d'un cercle) :** La distance fixe entre le centre et n'importe quel point du cercle. * **Diamètre (d'un cercle) :** Un segment de droite qui passe par le centre et dont les extrémités sont sur le cercle. Sa longueur est le double du rayon. * **Corde :** Un segment de droite dont les deux extrémités sont sur le cercle. * **Arc de cercle :** Une portion continue du cercle. * **Disque :** La surface plane délimitée par un cercle. ### Exemples #### Exemple 1 : Écrire l'équation d'un cercle * **Question :** Écrire l'équation du cercle de centre \( C(2, -3) \) et de rayon \( r = 4 \). * **Solution :** En utilisant la formule \( (x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2 \), avec \( a=2 \), \( b=-3 \) et \( r=4 \) : \( (x-2)^2 + (y-(-3))^2 = 4^2 \) \( (x-2)^2 + (y+3)^2 = 16 \) #### Exemple 2 : Déterminer le centre et le rayon * **Question :** Déterminer le centre et le rayon du cercle dont l'équation est \( x^2 + y^2 + 6x - 4y - 12 = 0 \). * **Solution :** Nous allons regrouper les termes en \( x \) et en \( y \) et compléter le carré : \( (x^2 + 6x) + (y^2 - 4y) - 12 = 0 \) Pour \( x^2 + 6x \), il faut ajouter \( (6/2)^2 = 3^2 = 9 \). Pour \( y^2 - 4y \), il faut ajouter \( (-4/2)^2 = (-2)^2 = 4 \). \( (x^2 + 6x + 9) - 9 + (y^2 - 4y + 4) - 4 - 12 = 0 \) \( (x+3)^2 + (y-2)^2 - 9 - 4 - 12 = 0 \) \( (x+3)^2 + (y-2)^2 - 25 = 0 \) \( (x+3)^2 + (y-2)^2 = 25 \) Le centre du cercle est \( C(-3, 2) \) et son rayon est \( r = \sqrt{25} = 5 \). #### Exemple 3 : Vérifier l'appartenance d'un point * **Question :** Le point \( P(1, 2) \) appartient-il au cercle d'équation \( (x-2)^2 + (y-1)^2 = 2 \) ? * **Solution :** Substituons les coordonnées de \( P \) dans l'équation : \( (1-2)^2 + (2-1)^2 = (-1)^2 + (1)^2 = 1 + 1 = 2 \) Puisque le résultat est égal à \( 2 \), le point \( P(1, 2) \) appartient bien au cercle. ### Exercices 1. Écrire l'équation du cercle de centre \( C(-1, 5) \) et de rayon \( r = 3 \). 2. Déterminer le centre et le rayon du cercle dont l'équation est \( (x+4)^2 + (y-0)^2 = 49 \). 3. Déterminer si l'équation \( x^2 + y^2 - 8x + 2y + 17 = 0 \) représente un cercle. Si oui, donnez son centre et son rayon. 4. Le point \( A(0, 0) \) appartient-il au cercle d'équation \( (x-1)^2 + (y-3)^2 = 10 \) ? ### Devoirs 1. Trouver l'équation du cercle qui a pour diamètre le segment \( [AB] \) avec \( A(1, 1) \) et \( B(5, 5) \). *(Indice : Le centre est le milieu du diamètre et le rayon est la moitié de la longueur du diamètre.)* 2. Un cercle a pour équation \( x^2 + y^2 - 10x + 4y + 20 = 0 \). * a) Déterminer son centre et son rayon. * b) Le point \( E(7, -1) \) est-il à l'intérieur, à l'extérieur ou sur le cercle ? Justifiez votre réponse. 3. Déterminer l'équation de tous les cercles qui passent par les points \( P(0,0) \) et \( Q(6,0) \). *Défi !* ### Résumé Nous avons exploré les cercles dans le plan, en nous concentrant sur leur définition géométrique et leur représentation algébrique. * L'équation canonique d'un cercle de centre \( C(a, b) \) et de rayon \( r \) est \( (x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2 \). * Il est essentiel de savoir passer de la forme développée à la forme canonique pour identifier le centre et le rayon. * Pour vérifier si un point appartient à un cercle, il suffit de substituer ses coordonnées dans l'équation du cercle. Ces compétences sont fondamentales pour résoudre des problèmes de géométrie analytique.