Equations, inéquations et systèmes (suite et fin)

# Equations, inéquations et systèmes (suite et fin) ## Tableau des effectifs ou des fréquences ### Introduction En mathématiques, et plus particulièrement en statistiques, il est souvent nécessaire d'organiser et de présenter des données de manière claire et concise. Le tableau des effectifs et des fréquences est un outil fondamental pour y parvenir. Il permet de regrouper des informations brutes et d'en tirer des conclusions rapides sur la répartition des valeurs au sein d'une série statistique. Dans cette leçon, nous allons apprendre à construire et à interpréter ces tableaux, qui sont essentiels pour l'analyse de données. ### Concepts Clés #### Qu'est-ce qu'une série statistique ? Une série statistique est un ensemble de données concernant une ou plusieurs caractéristiques (appelées variables ou caractères) sur un groupe d'individus ou d'objets (appelés population statistique). Chaque donnée individuelle est appelée une valeur ou une modalité. #### L'Effectif ##### Définition de l'effectif L'**effectif** d'une valeur (ou modalité) est le nombre de fois que cette valeur apparaît dans une série statistique. C'est un simple décompte. ##### Effectif total L'**effectif total** est la somme de tous les effectifs des différentes valeurs. Il représente le nombre total d'individus ou d'observations dans la série statistique. #### La Fréquence ##### Définition de la fréquence La **fréquence** d'une valeur est la proportion de cette valeur par rapport à l'effectif total. Elle s'exprime généralement sous forme décimale, de fraction ou de pourcentage. ##### Calcul de la fréquence La fréquence \( f \) d'une valeur est calculée par la formule suivante : \[ \text{Fréquence} = \frac{\text{Effectif de la valeur}}{\text{Effectif total}} \] * **En pourcentage :** Pour obtenir la fréquence en pourcentage, il suffit de multiplier la fréquence décimale par 100. ##### Propriétés de la fréquence * La somme de toutes les fréquences (sous forme décimale) est toujours égale à 1. * La somme de toutes les fréquences en pourcentage est toujours égale à 100%. #### Le Tableau des Effectifs et des Fréquences ##### Structure du tableau Un tableau des effectifs et des fréquences est généralement composé de plusieurs colonnes : * **Colonne 1 :** Les valeurs ou les classes de valeurs. * **Colonne 2 :** Les effectifs correspondants à chaque valeur ou classe. * **Colonne 3 :** Les fréquences (sous forme décimale) correspondantes. * **Colonne 4 :** Les fréquences en pourcentage (facultatif mais très courant). ##### Construction du tableau 1. **Identifier les valeurs :** Listez toutes les valeurs distinctes de la série statistique. 2. **Calculer les effectifs :** Comptez le nombre d'apparitions de chaque valeur. 3. **Calculer l'effectif total :** Additionnez tous les effectifs. 4. **Calculer les fréquences :** Pour chaque valeur, divisez son effectif par l'effectif total. 5. **Optionnel :** Multipliez les fréquences par 100 pour obtenir les pourcentages. 6. **Organiser le tout :** Remplissez le tableau avec les informations obtenues. #### Cas des données groupées en classes Lorsque la série statistique contient un grand nombre de valeurs différentes, ou que les valeurs sont continues, il est plus pertinent de les regrouper en **classes**. * **Classe :** Un intervalle de valeurs. Par exemple, \( [10; 20[ \) représente toutes les valeurs comprises entre 10 inclus et 20 exclu. * **Amplitude d'une classe :** La différence entre la borne supérieure et la borne inférieure de la classe. Pour \( [10; 20[ \), l'amplitude est \( 20 - 10 = 10 \). * **Centre d'une classe :** La valeur médiane de la classe, utilisée pour représenter la classe dans certains calculs (comme la moyenne). Il est calculé comme la moyenne des bornes : \( \frac{\text{Borne inférieure} + \text{Borne supérieure}}{2} \). ### Vocabulaire * **Série statistique :** Ensemble de données collectées. * **Valeur (ou modalité) :** Chacune des données possibles ou observées. * **Effectif :** Nombre d'apparitions d'une valeur. * **Effectif total :** Nombre total de données dans la série. * **Fréquence :** Proportion d'une valeur par rapport à l'effectif total.\( \frac{\text{Effectif}}{\text{Effectif total}} \) * **Classe :** Intervalle de valeurs dans lequel les données sont regroupées. * **Amplitude d'une classe :** Longueur d'une classe (borne supérieure - borne inférieure). * **Centre de classe :** Milieu d'une classe.\( \frac{\text{Borne inférieure} + \text{Borne supérieure}}{2} \) ### Exemples #### Exemple 1 : Données discrètes Voici les notes (sur 20) obtenues par 15 élèves à un contrôle de mathématiques : \( 12, 10, 15, 8, 12, 10, 18, 12, 10, 15, 7, 12, 10, 15, 12 \) **1. Identifier les valeurs distinctes :** 7, 8, 10, 12, 15, 18. **2. Calculer les effectifs :** * Note 7 : 1 élève * Note 8 : 1 élève * Note 10 : 4 élèves * Note 12 : 5 élèves * Note 15 : 3 élèves * Note 18 : 1 élève **3. Effectif total :** \( 1 + 1 + 4 + 5 + 3 + 1 = 15 \) élèves. **4. Calculer les fréquences :** * Note 7 : \( 1/15 \approx 0.067 \approx 6.7\% \) * Note 8 : \( 1/15 \approx 0.067 \approx 6.7\% \) * Note 10 : \( 4/15 \approx 0.267 \approx 26.7\% \) * Note 12 : \( 5/15 \approx 0.333 \approx 33.3\% \) * Note 15 : \( 3/15 = 0.200 = 20.0\% \) * Note 18 : \( 1/15 \approx 0.067 \approx 6.7\% \) **Tableau des effectifs et des fréquences :** | Note | Effectif | Fréquence (décimale) | Fréquence (pourcentage) | | :--: | :------: | :------------------: | :---------------------: | | 7 | 1 | 0.067 | 6.7% | | 8 | 1 | 0.067 | 6.7% | | 10 | 4 | 0.267 | 26.7% | | 12 | 5 | 0.333 | 33.3% | | 15 | 3 | 0.200 | 20.0% | | 18 | 1 | 0.067 | 6.7% | | **Total** | **15** | **1.000** | **100.0%** | #### Exemple 2 : Données groupées en classes Une enquête sur la taille (en cm) de 20 lycéens a donné les résultats suivants : \( 162, 175, 168, 180, 173, 165, 170, 178, 160, 171, 182, 166, 174, 169, 177, 163, 172, 176, 164, 181 \) Nous allons regrouper ces tailles en classes d'amplitude 5 cm, en commençant par 160 cm. **Classes :** * \( [160; 165[ \) * \( [165; 170[ \) * \( [170; 175[ \) * \( [175; 180[ \) * \( [180; 185[ \) **1. Calculer les effectifs par classe :** * \( [160; 165[ \) : 162, 160, 163, 164 (4 élèves) * \( [165; 170[ \) : 168, 165, 166, 169 (4 élèves) * \( [170; 175[ \) : 173, 170, 171, 174, 172 (5 élèves) * \( [175; 180[ \) : 175, 178, 177, 176 (4 élèves) * \( [180; 185[ \) : 180, 182, 181 (3 élèves) **2. Effectif total :** \( 4 + 4 + 5 + 4 + 3 = 20 \) élèves. **3. Calculer les centres de classes (facultatif pour ce tableau, mais utile pour d'autres analyses) :** * \( [160; 165[ \) : \( (160+165)/2 = 162.5 \) * \( [165; 170[ \) : \( (165+170)/2 = 167.5 \) * \( [170; 175[ \) : \( (170+175)/2 = 172.5 \) * \( [175; 180[ \) : \( (175+180)/2 = 177.5 \) * \( [180; 185[ \) : \( (180+185)/2 = 182.5 \) **4. Calculer les fréquences :** * \( [160; 165[ \) : \( 4/20 = 0.20 = 20\% \) * \( [165; 170[ \) : \( 4/20 = 0.20 = 20\% \) * \( [170; 175[ \) : \( 5/20 = 0.25 = 25\% \) * \( [175; 180[ \) : \( 4/20 = 0.20 = 20\% \) * \( [180; 185[ \) : \( 3/20 = 0.15 = 15\% \) **Tableau des effectifs et des fréquences avec classes :** | Classes de taille (cm) | Centre de classe | Effectif | Fréquence (décimale) | Fréquence (pourcentage) | | :--------------------: | :--------------: | :------: | :------------------: | :---------------------: | | \( [160; 165[ \) | 162.5 | 4 | 0.20 | 20% | | \( [165; 170[ \) | 167.5 | 4 | 0.20 | 20% | | \( [170; 175[ \) | 172.5 | 5 | 0.25 | 25% | | \( [175; 180[ \) | 177.5 | 4 | 0.20 | 20% | | \( [180; 185[ \) | 182.5 | 3 | 0.15 | 15% | | **Total** | - | **20** | **1.00** | **100%** | ### Exercices 1. **Données brutes à organiser :** Voici le nombre de livres lus par mois par 20 personnes : \( 2, 0, 3, 1, 2, 4, 1, 0, 3, 2, 1, 5, 2, 0, 3, 1, 2, 1, 4, 2 \) Construisez le tableau des effectifs et des fréquences (en décimales et en pourcentages) pour cette série statistique. 2. **Interprétation d'un tableau :** Un sondage a été réalisé auprès de 50 étudiants sur leur moyen de transport préféré pour venir au lycée. Le tableau ci-dessous résume les résultats : | Moyen de transport | Effectif | Fréquence (en %) | | :----------------: | :------: | :--------------: | | Bus | 20 | | | Voiture | 10 | | | Vélo | | 20% | | Marche | 15 | | | **Total** | **50** | **100%** | a. Complétez le tableau. b. Quel est le moyen de transport le plus populaire ? c. Combien d'élèves préfèrent le vélo ? ### Devoirs à la maison 1. **Projet personnel :** Choisissez une série statistique simple que vous pouvez collecter autour de vous (ex: nombre d'animaux de compagnie par foyer dans votre rue, couleurs de voitures dans un parking, etc.). Collectez au moins 25 données, puis construisez le tableau des effectifs et des fréquences complet. 2. **Analyse de données complexes :** Un magasin a enregistré l'âge (en années) de ses 30 clients lors d'une journée spéciale : \( 23, 45, 18, 30, 52, 28, 35, 41, 22, 19, 38, 47, 25, 31, 58, 26, 33, 49, 21, 36, 43, 29, 50, 24, 32, 40, 55, 27, 34, 42 \) Regroupez ces données en classes d'amplitude 10 ans (par exemple \( [15; 25[ \), \( [25; 35[ \), etc.). Construisez le tableau des effectifs, des fréquences et des fréquences en pourcentage. N'oubliez pas d'indiquer les centres de classe. ### Résumé Les tableaux des effectifs et des fréquences sont des outils statistiques essentiels pour organiser et visualiser des données. L'**effectif** compte le nombre d'occurrences d'une valeur, tandis que la **fréquence** exprime cette occurrence en proportion de l'effectif total. La fréquence peut être décimale ou en pourcentage. Pour les séries de données étendues ou continues, le regroupement en **classes** est une méthode efficace, nécessitant la détermination de l'**amplitude** et du **centre** de chaque classe. Maîtriser la construction et l'interprétation de ces tableaux est fondamental pour toute analyse statistique. ## Résolution graphique des systèmes linéaires d’équations du premier degré dans IR² ### Introduction Bienvenue à cette leçon sur la résolution graphique des systèmes linéaires d'équations du premier degré. Jusqu'à présent, vous avez appris à résoudre ces systèmes par des méthodes algébriques (substitution, addition). Aujourd'hui, nous allons explorer une approche visuelle et intuitive : la résolution graphique. Cette méthode permet de comprendre géométriquement ce que représente la solution d'un système d'équations. ### Concepts clés #### 1. Qu'est-ce qu'une équation linéaire du premier degré à deux inconnues ? Une équation linéaire du premier degré à deux inconnues, souvent notée \(x\) et \(y\), est une équation de la forme \(ax + by = c\), où \(a\), \(b\) et \(c\) sont des nombres réels, et \(a\) et \(b\) ne sont pas nuls simultanément. * **Exemples :** * \(2x + 3y = 7\) * \(x - y = 0\) * \(5y = 10 - 2x\) #### 2. Représentation graphique d'une équation linéaire Chaque équation linéaire du premier degré à deux inconnues correspond graphiquement à une droite dans un repère cartésien. L'ensemble des solutions de l'équation est l'ensemble de tous les points \((x, y)\) qui appartiennent à cette droite. * **Méthode pour tracer une droite :** 1. **Choisir deux points :** Pour tracer une droite, il suffit de trouver les coordonnées de deux points distincts qui vérifient l'équation. * Par exemple, pour \(2x + 3y = 7\) : * Si \(x = 0\), alors \(3y = 7 \Rightarrow y = 7/3\). Point \((0, 7/3)\). * Si \(y = 1\), alors \(2x + 3 = 7 \Rightarrow 2x = 4 \Rightarrow x = 2\). Point \((2, 1)\). 2. **Placer les points :** Placer ces deux points dans un repère orthogonal. 3. **Tracer la droite :** Relier ces deux points pour former la droite. #### 3. Qu'est-ce qu'un système d'équations linéaires ? Un système de deux équations linéaires du premier degré à deux inconnues est un ensemble de deux équations de la forme : \[ \begin{cases} ax + by = c \\ d'x + e'y = f' \end{cases} \] La solution d'un tel système est le couple \((x, y)\) qui vérifie *simultanément* les deux équations. #### 4. Résolution graphique d'un système La résolution graphique d'un système consiste à tracer les deux droites correspondant à chaque équation dans le même repère. La solution du système est alors l'ensemble des points d'intersection de ces deux droites. #### 5. Les différents cas de solutions Lorsque nous traçons deux droites dans un plan, trois situations peuvent se présenter : ##### Cas 1 : Les droites se coupent en un seul point * **Interprétation :** Le système a une **solution unique**. Le point d'intersection \((x_0, y_0)\) est la solution du système. ``` /|\ / | \ Intersection / | \ / | \ / . \ / / | \ \ -----/--|--\----- ``` ##### Cas 2 : Les droites sont strictement parallèles * **Interprétation :** Les droites ne se coupent jamais. Le système n'a **aucune solution**. ``` /\ / \ / \ / \ / ////////// ``` ##### Cas 3 : Les droites sont confondues (la même droite) * **Interprétation :** Les droites se coupent en une infinité de points. Le système a une **infinité de solutions**. Tous les points de la droite sont des solutions. ``` -------------------- -------------------- ``` ### Vocabulaire * **Équation linéaire :** Une équation dont la représentation graphique est une droite. * **Système d'équations :** Un ensemble de plusieurs équations avec les mêmes inconnues, que l'on cherche à résoudre simultanément. * **Inconnues :** Les variables dont on cherche les valeurs (souvent \(x\) et \(y\)). * **Solution d'un système :** Le couple de valeurs \((x, y)\) qui satisfait toutes les équations du système. * **Repère cartésien :** Un système de coordonnées (avec un axe des abscisses et un axe des ordonnées) qui permet de localiser des points dans un plan. * **Pente (ou coefficient directeur) :** Mesure l'inclinaison d'une droite. Pour une droite d'équation \(y = mx + p\), \(m\) est la pente. * **Ordonnée à l'origine :** Le point où la droite coupe l'axe des ordonnées. Pour une droite d'équation \(y = mx + p\), \(p\) est l'ordonnée à l'origine. ### Exemples #### Exemple 1 : Solution unique Résolvons graphiquement le système suivant : \[ \begin{cases} x + y = 5 \quad (D_1) \\ 2x - y = 1 \quad (D_2) \end{cases} \] 1. **Traçons \(D_1 : x + y = 5\)** (ou \(y = -x + 5\)) * Si \(x = 0\), \(y = 5\). Point \((0, 5)\) * Si \(y = 0\), \(x = 5\). Point \((5, 0)\) 2. **Traçons \(D_2 : 2x - y = 1\)** (ou \(y = 2x - 1\)) * Si \(x = 0\), \(y = -1\). Point \((0, -1)\) * Si \(x = 1\), \(y = 2(1) - 1 = 1\). Point \((1, 1)\) 3. **Lecture du point d'intersection :** En traçant ces droites sur un graphique, vous verrez qu'elles se coupent au point \((2, 3)\). * Vérification : \(2 + 3 = 5\) (vrai) et \(2(2) - 3 = 4 - 3 = 1\) (vrai). * La solution est \((2, 3)\). #### Exemple 2 : Aucune solution Résolvons graphiquement le système suivant : \[ \begin{cases} x - y = 2 \quad (D_1) \\ x - y = 5 \quad (D_2) \end{cases} \] 1. **Traçons \(D_1 : x - y = 2\)** (ou \(y = x - 2\)) * Si \(x = 0\), \(y = -2\). Point \((0, -2)\) * Si \(y = 0\), \(x = 2\). Point \((2, 0)\) 2. **Traçons \(D_2 : x - y = 5\)** (ou \(y = x - 5\)) * Si \(x = 0\), \(y = -5\). Point \((0, -5)\) * Si \(y = 0\), \(x = 5\). Point \((5, 0)\) 3. **Lecture du graphique :** Les deux droites sont parallèles (elles ont la même pente \(m = 1\) mais des ordonnées à l'origine différentes). Elles ne se coupent jamais. Le système n'a pas de solution. #### Exemple 3 : Infinité de solutions Résolvons graphiquement le système suivant : \[ \begin{cases} 2x + y = 4 \quad (D_1) \\ 4x + 2y = 8 \quad (D_2) \end{cases} \] 1. **Traçons \(D_1 : 2x + y = 4\)** (ou \(y = -2x + 4\)) * Si \(x = 0\), \(y = 4\). Point \((0, 4)\) * Si \(y = 0\), \(x = 2\). Point \((2, 0)\) 2. **Traçons \(D_2 : 4x + 2y = 8\)** (ou \(2y = -4x + 8 \Rightarrow y = -2x + 4\)) * Si \(x = 0\), \(y = 4\). Point \((0, 4)\) * Si \(y = 0\), \(x = 2\). Point \((2, 0)\) 3. **Lecture du graphique :** Les deux équations représentent la même droite. Elles sont confondues. Il y a une infinité de solutions. Tout point \((x, y)\) qui satisfait \(2x + y = 4\) est une solution du système. ### Exercices Résolvez graphiquement les systèmes suivants. Précisez le nombre de solutions pour chaque système. 1. \[ \begin{cases} x + y = 6 \\ x - y = 2 \end{cases} \] 2. \[ \begin{cases} 3x + 2y = 12 \\ -x + y = -1 \end{cases} \] 3. \[ \begin{cases} 2x - y = 3 \\ 4x - 2y = 6 \end{cases} \] 4. \[ \begin{cases} x + 2y = 4 \\ x + 2y = 8 \end{cases} \] ### Devoirs 1. **Résoudre et vérifier :** Résolvez graphiquement les systèmes suivants, puis vérifiez algébriquement vos solutions. a. \[ \begin{cases} 2x + y = 5 \\ x - 3y = 6 \end{cases} \] b. \[ \begin{cases} -x + 2y = 7 \\ 3x - 6y = -21 \end{cases} \] 2. **Création de problèmes :** Inventez un système de deux équations linéaires à deux inconnues qui : a. A une solution unique. b. N'a aucune solution. c. A une infinité de solutions. Pour chaque système, tracez les droites correspondantes et expliquez votre raisonnement. 3. **Analyse de pentes :** Sans tracer les droites, comment pouvez-vous prédire si un système aura une solution unique, aucune solution ou une infinité de solutions en regardant les pentes et les ordonnées à l'origine des droites ? Expliquez avec des exemples. ### Résumé * La résolution graphique d'un système de deux équations linéaires à deux inconnues consiste à **tracer les deux droites** correspondantes dans un même repère. * La **solution** du système est le **point d'intersection** des deux droites. * Il existe trois cas possibles : * **Une solution unique** si les droites se coupent en un seul point. * **Aucune solution** si les droites sont strictement parallèles. * **Une infinité de solutions** si les droites sont confondues. * Cette méthode visuelle est un excellent moyen de comprendre le sens géométrique des solutions d'un système d'équations.