Statistiques

# Statistiques ## Tableaux des effectifs et fréquences cumulés ### Introduction Bienvenue dans cette leçon sur les tableaux des effectifs et fréquences cumulés ! En statistique, il est souvent utile de ne pas seulement connaître le nombre ou la proportion d'individus ayant une caractéristique donnée, mais aussi le nombre ou la proportion d'individus ayant une caractéristique *inférieure ou égale* à une certaine valeur. C'est là qu'interviennent les effectifs et fréquences cumulés. Ils nous permettent de répondre rapidement à des questions du type : "Combien d'élèves ont eu une note inférieure ou égale à 12 ?" ou "Quel pourcentage d'une population a une taille inférieure à 1m70 ?" Cette leçon vous apprendra à construire et à interpréter ces tableaux essentiels. ### Concepts Clés #### Rappel : Effectif et Fréquence Avant de plonger dans le cumul, rappelons les bases : * **Effectif (\( n_i \))** : C'est le nombre de fois qu'une valeur (ou modalité) apparaît dans une série statistique. L'effectif total (\( N \)) est la somme de tous les effectifs. * **Fréquence (\( f_i \))** : C'est la proportion d'une valeur dans la série. Elle se calcule en divisant l'effectif de la valeur par l'effectif total. \[ f_i = \frac{n_i}{N} \] La fréquence est souvent exprimée en décimal (entre 0 et 1) ou en pourcentage. #### Effectifs Cumulés Croissants (ECC) L'effectif cumulé croissant d'une valeur est la somme des effectifs de toutes les valeurs inférieures ou égales à cette valeur. * **Calcul** : Pour obtenir l'ECC d'une valeur, on additionne son effectif à tous les effectifs des valeurs précédentes. Le dernier ECC doit être égal à l'effectif total. * **Interprétation** : L'ECC de la valeur \( X \) vous indique "combien d'individus ont une caractéristique *inférieure ou égale à \( X \)*". #### Fréquences Cumulées Croissantes (FCC) La fréquence cumulée croissante d'une valeur est la somme des fréquences de toutes les valeurs inférieures ou égales à cette valeur. * **Calcul** : On peut l'obtenir de deux manières : 1. En additionnant la fréquence de la valeur aux fréquences cumulées des valeurs précédentes. 2. En divisant l'effectif cumulé de la valeur par l'effectif total : \[ FCC_i = \frac{ECC_i}{N} \] La dernière FCC doit être égale à 1 (ou 100% si exprimée en pourcentage). * **Interprétation** : La FCC de la valeur \( X \) vous indique "quelle proportion (ou quel pourcentage) d'individus ont une caractéristique *inférieure ou égale à \( X \)*". #### Construction des Tableaux Pour organiser ces informations, on ajoute généralement deux colonnes supplémentaires à notre tableau de statistiques : | Valeur (ou Modalité) | Effectif (\( n_i \)) | Fréquence (\( f_i \)) | Effectif Cumulé Croissant (ECC) | Fréquence Cumulée Croissante (FCC) | | :------------------- | :------------------- | :-------------------- | :------------------------------ | :--------------------------------- | | ... | ... | ... | ... | ... | ### Vocabulaire * **Série statistique** : L'ensemble des données recueillies. * **Modalité (ou Valeur)** : Une des différentes catégories ou valeurs que peut prendre un caractère statistique. * **Effectif** : Nombre d'occurrences d'une modalité. * **Effectif total (\( N \))** : Nombre total d'individus ou d'observations dans la série statistique. * **Fréquence** : Proportion de l'effectif d'une modalité par rapport à l'effectif total. * **Effectif cumulé (croissant)** : Somme des effectifs des modalités inférieures ou égales à une certaine modalité. * **Fréquence cumulée (croissante)** : Somme des fréquences des modalités inférieures ou égales à une certaine modalité. ### Exemples #### Exemple 1 : Notes à un contrôle Voici les notes obtenues par 20 élèves à un contrôle de mathématiques : 8, 10, 12, 10, 15, 8, 12, 10, 15, 12, 10, 14, 11, 9, 13, 11, 10, 12, 14, 13 1. **Ordonner les valeurs et calculer les effectifs et fréquences :** Effectif total \( N = 20 \) | Notes (\( x_i \)) | Effectif (\( n_i \)) | Fréquence (\( f_i = n_i/20 \)) | Effectif Cumulé Croissant (ECC) | Fréquence Cumulée Croissante (FCC) | | :--------------- | :------------------- | :------------------------------ | :------------------------------ | :--------------------------------- | | 8 | 2 | \( 2/20 = 0.10 \) | 2 | \( 0.10 \) | | 9 | 1 | \( 1/20 = 0.05 \) | \( 2+1=3 \) | \( 0.10+0.05=0.15 \) | | 10 | 5 | \( 5/20 = 0.25 \) | \( 3+5=8 \) | \( 0.15+0.25=0.40 \) | | 11 | 2 | \( 2/20 = 0.10 \) | \( 8+2=10 \) | \( 0.40+0.10=0.50 \) | | 12 | 4 | \( 4/20 = 0.20 \) | \( 10+4=14 \) | \( 0.50+0.20=0.70 \) | | 13 | 2 | \( 2/20 = 0.10 \) | \( 14+2=16 \) | \( 0.70+0.10=0.80 \) | | 14 | 2 | \( 2/20 = 0.10 \) | \( 16+2=18 \) | \( 0.80+0.10=0.90 \) | | 15 | 2 | \( 2/20 = 0.10 \) | \( 18+2=20 \) | \( 0.90+0.10=1.00 \) | | **Total** | **20** | **1.00** | | | 2. **Interprétation des résultats :** * L'ECC pour la note 12 est 14. Cela signifie que 14 élèves ont eu une note inférieure ou égale à 12. * La FCC pour la note 10 est 0.40. Cela signifie que 40% des élèves ont eu une note inférieure ou égale à 10. * Le dernier ECC (20) correspond bien à l'effectif total. La dernière FCC (1.00) indique 100% des élèves. ### Exercices Voici le nombre de livres lus par 25 adolescents durant les vacances d'été : 0, 1, 2, 3, 1, 0, 4, 2, 3, 1, 2, 2, 0, 1, 3, 4, 1, 2, 0, 3, 1, 2, 3, 1, 2 1. Construisez le tableau complet des effectifs, fréquences, effectifs cumulés croissants et fréquences cumulées croissantes. 2. Combien d'adolescents ont lu 2 livres ou moins ? 3. Quel pourcentage d'adolescents ont lu plus de 3 livres ? (Indice : Utilisez la FCC pour trouver le pourcentage de ceux qui ont lu 3 livres ou moins, puis calculez le complément). ### Devoirs Une enquête a été menée sur le nombre de frères et sœurs par famille dans une classe de 30 élèves : 1, 0, 2, 1, 3, 0, 1, 2, 2, 1, 0, 3, 1, 1, 2, 0, 1, 3, 2, 1, 0, 2, 1, 1, 3, 0, 2, 1, 1, 2 1. Créez un tableau qui inclut les colonnes pour le nombre de frères/sœurs, l'effectif, la fréquence, l'effectif cumulé croissant et la fréquence cumulée croissante. 2. Quel est le nombre de familles ayant au maximum 2 frères et sœurs ? 3. Quel est le pourcentage de familles ayant moins de 1 frère ou sœur ? 4. Calculez la fréquence des familles ayant exactement 3 frères et sœurs. Quel est son effectif cumulé ? ### Résumé Les tableaux des effectifs et fréquences cumulés sont des outils puissants en statistiques descriptives. Ils permettent de visualiser rapidement et d'interpréter la distribution des données, en particulier pour répondre à des questions sur la proportion ou le nombre d'individus qui se situent en dessous d'une certaine valeur. En maîtrisant leur construction et leur interprétation, vous développez une compétence essentielle pour l'analyse de données ! ## Diagrammes statistiques ### Introduction Les statistiques sont une branche des mathématiques qui nous aide à collecter, organiser, analyser et interpréter des données. Pour rendre ces données plus compréhensibles et visuellement parlantes, nous utilisons des représentations graphiques appelées "diagrammes statistiques". Ces diagrammes nous permettent de voir rapidement les tendances, les répartitions et les comparaisons, facilitant ainsi la prise de décision ou la compréhension d'un phénomène. ### Concepts clés #### 1. Vocabulaire statistique de base * **Population:** L'ensemble des individus ou des objets étudiés. Par exemple, tous les élèves d'un lycée, ou toutes les voitures d'un parking. * **Individu (ou unité statistique):** Un élément de la population. Par exemple, un élève, une voiture. * **Caractère (ou variable statistique):** La propriété étudiée sur chaque individu de la population. Par exemple, la couleur des yeux des élèves, la marque des voitures. * **Modalité:** Les différentes valeurs ou catégories que peut prendre un caractère. Par exemple, pour la couleur des yeux : bleu, vert, marron. * **Effectif d'une modalité:** Le nombre d'individus de la population qui possèdent cette modalité. * **Effectif total:** Le nombre total d'individus dans la population étudiée. * **Fréquence d'une modalité:** La proportion d'individus qui possèdent cette modalité par rapport à l'effectif total. Elle se calcule par la formule suivante : \[ Fréquence = \frac{Effectif\ de\ la\ modalité}{Effectif\ total} \] La fréquence peut être exprimée sous forme décimale ou en pourcentage (fréquence \( \times \) 100). #### 2. Types de caractères * **Caractère qualitatif:** Un caractère qui ne peut pas être mesuré par un nombre, il décrit une qualité ou une catégorie. * Exemples : couleur des yeux, marque de voiture, sport préféré. * **Caractère quantitatif:** Un caractère qui peut être mesuré par un nombre. * **Quantitatif discret:** Le caractère ne peut prendre que des valeurs entières et isolées. * Exemples : nombre d'enfants par famille, nombre de livres lus par an. * **Quantitatif continu:** Le caractère peut prendre n'importe quelle valeur dans un intervalle donné. On regroupe souvent les valeurs en classes. * Exemples : taille des élèves, poids, durée de vie d'une ampoule. #### 3. Les tableaux statistiques Avant de créer un diagramme, il est essentiel d'organiser les données dans un tableau. Ce tableau doit inclure au minimum le caractère étudié, les modalités, les effectifs et les fréquences (éventuellement en pourcentage). **Exemple de tableau:** | Couleur préférée | Effectif | Fréquence | Fréquence (%) | | :--------------- | :------- | :-------- | :------------ | | Bleu | 10 | 0.40 | 40 % | | Vert | 7 | 0.28 | 28 % | | Rouge | 8 | 0.32 | 32 % | | **Total** | **25** | **1.00** | **100 %** | #### 4. Les différents types de diagrammes ##### a. Le diagramme en bâtons ou en barres * **Utilisation:** Principalement pour les caractères qualitatifs ou quantitatifs discrets. * **Construction:** * L'axe horizontal (abscisses) représente les modalités du caractère. * L'axe vertical (ordonnées) représente les effectifs ou les fréquences. * Pour chaque modalité, on trace un bâton (une barre fine) dont la hauteur est proportionnelle à son effectif ou sa fréquence. Les bâtons sont espacés. ##### b. Le diagramme circulaire (ou en "camembert") et semi-circulaire * **Utilisation:** Pour représenter la répartition d'un caractère qualitatif, où l'on veut montrer les proportions de chaque modalité par rapport à l'ensemble (100%). * **Construction:** * On calcule l'angle de chaque secteur circulaire proportionnel à la fréquence de la modalité. * Pour un cercle complet (360°) : \[ Angle = Fréquence \times 360^ circ \] * Pour un demi-cercle (180°) : \[ Angle = Fréquence \times 180^ circ \] * On trace un cercle et on divise en secteurs correspondant aux angles calculés. ##### c. L'histogramme * **Utilisation:** Exclusivement pour les caractères quantitatifs continus, où les données sont regroupées en classes. * **Construction:** * L'axe horizontal représente les classes de valeurs du caractère (les intervalles). * L'axe vertical représente des densités d'effectifs (ou de fréquences) si les classes n'ont pas la même amplitude. Si toutes les classes ont la même amplitude, l'axe vertical peut représenter directement les effectifs ou fréquences. * On trace des rectangles adjacents (collés), dont la largeur correspond à l'amplitude de la classe et dont l'aire est proportionnelle à l'effectif de la classe. Si les amplitudes sont égales, la hauteur est proportionnelle à l'effectif. Si les amplitudes sont différentes, la hauteur \( h \) d'un rectangle pour une classe \( [a;b[ \) est donnée par \[ h = \frac{Effectif\ de\ la\ classe}{Amplitude\ de\ la\ classe} \]. ### Vocabulaire * **Population:** L'ensemble étudié. * **Individu:** Un élément de la population. * **Caractère:** La propriété étudiée. * **Modalité:** Les différentes valeurs possibles du caractère. * **Caractère qualitatif:** Non mesurable (ex: couleur). * **Caractère quantitatif:** Mesurable (ex: taille). * **Quantitatif discret:** Valeurs isolées (ex: nombre d'enfants). * **Quantitatif continu:** Valeurs dans un intervalle (ex: taille). * **Effectif:** Nombre d'individus pour une modalité/classe. * **Effectif total:** Nombre total d'individus. * **Fréquence:** Proportion d'un effectif par rapport à l'effectif total. * **Classe:** Intervalle de valeurs pour un caractère quantitatif continu. * **Amplitude d'une classe:** La longueur de l'intervalle d'une classe. ### Exemples #### Exemple 1: Diagramme en bâtons (Caractère qualitatif) Une enquête a été menée auprès de 20 élèves sur leur fruit préféré. Voici les résultats : | Fruit préféré | Effectif | | :------------ | :------- | | Pomme | 7 | | Banane | 5 | | Orange | 4 | | Fraise | 4 | | **Total** | **20** | **Construction :** On place les fruits sur l'axe horizontal et les effectifs sur l'axe vertical. Pour chaque fruit, on dessine un bâton dont la hauteur correspond à l'effectif. #### Exemple 2: Diagramme circulaire (Caractère qualitatif) Reprenons l'exemple des fruits préférés et calculons les fréquences et les angles pour un diagramme circulaire : | Fruit préféré | Effectif | Fréquence (Fr) | Angle (Fr \( \times \) 360°) | | :------------ | :------- | :------------- | :-------------------------------- | | Pomme | 7 | 0.35 | \( 0.35 \times 360 = 126^ circ \) | | Banane | 5 | 0.25 | \( 0.25 \times 360 = 90^ circ \) | | Orange | 4 | 0.20 | \( 0.20 \times 360 = 72^ circ \) | | Fraise | 4 | 0.20 | \( 0.20 \times 360 = 72^ circ \) | | **Total** | **20** | **1.00** | **360°** | **Construction :** À l'aide d'un compas, on trace un cercle. Puis, avec un rapporteur, on marque les angles calculés pour chaque secteur. #### Exemple 3: Histogramme (Caractère quantitatif continu) Les tailles (en cm) de 30 élèves d'une classe sont regroupées en classes : | Classe de taille (cm) | Effectif | Amplitude | Hauteur (Effectif / Amplitude) | | :-------------------- | :------- | :-------- | :----------------------------- | | \[150; 160\[ | 8 | 10 | 0.8 | | \[160; 165\[ | 10 | 5 | 2.0 | | \[165; 170\[ | 7 | 5 | 1.4 | | \[170; 180\[ | 5 | 10 | 0.5 | | **Total** | **30** | | | **Construction :** On trace l'axe horizontal pour les tailles. Les rectangles sont tracés avec la largeur de la classe et une hauteur proportionnelle à la densité (Effectif / Amplitude). Les rectangles sont collés. ### Exercices 1. **Question 1 :** On a interrogé 25 personnes sur leur moyen de transport préféré pour aller au travail. Voici les résultats : Voiture (12), Bus (6), Vélo (4), Marche (3). * a) Quel est le caractère étudié ? Est-il qualitatif ou quantitatif ? * b) Quelles sont les modalités de ce caractère ? * c) Calculez l'effectif total. * d) Calculez la fréquence (en pourcentage) pour chaque modalité. * e) Réalisez un tableau statistique complet pour ces données. * f) Dessinez le diagramme en bâtons correspondant. 2. **Question 2 :** Une enquête sur les loisirs préférés de 40 élèves a donné les fréquences suivantes : Lecture (20%), Sport (45%), Musique (25%), Jeux vidéo (10%). * a) Calculez l'effectif de chaque loisir. * b) Calculez l'angle de chaque secteur pour un diagramme circulaire. * c) Dessinez le diagramme circulaire. 3. **Question 3 :** Voici les durées (en minutes) passées devant un écran par jour pour un groupe d'adolescents : * a) Créez des classes d'amplitude 30 minutes, en commençant par \[0; 30\[. * b) Calculez l'effectif et la fréquence (en %) pour chaque classe. * c) Dessinez l'histogramme de ces données. \[ 120, 90, 150, 60, 180, 45, 100, 75, 200, 130, 80, 160, 110, 50, 140, 70, 190, 30, 105, 170 \] ### Devoir à la maison 1. Une ville a une population de 50 000 habitants. La répartition par tranche d'âge est la suivante : * Moins de 18 ans : 12 000 habitants * 18-35 ans : 18 000 habitants * 36-60 ans : 15 000 habitants * Plus de 60 ans : 5 000 habitants * a) Construisez un tableau statistique avec les effectifs, les fréquences et les pourcentages. * b) Représentez ces données à l'aide d'un diagramme semi-circulaire (180°). * c) Quel type de caractère est l'âge ici ? Justifiez votre réponse. 2. Les notes obtenues à un devoir de mathématiques par 28 élèves sont données ci-dessous : \[ 12, 8, 15, 10, 11, 13, 7, 14, 9, 16, 10, 12, 11, 13, 8, 15, 10, 12, 14, 9, 11, 13, 7, 16, 10, 12, 15, 9 \] * a) Regroupez ces notes en classes d'amplitude 3, en commençant par la classe \[6; 9\[. * b) Construisez le tableau des effectifs et des fréquences pour ces classes. * c) Représentez ces données par un histogramme. Que pouvez-vous en déduire sur la répartition des notes ? ### Résumé Les diagrammes statistiques sont des outils visuels essentiels pour comprendre et communiquer des données. Nous avons exploré trois types principaux : le diagramme en bâtons (pour caractères qualitatifs ou quantitatifs discrets), le diagramme circulaire (pour montrer des proportions) et l'histogramme (pour caractères quantitatifs continus regroupés en classes). Chaque type de diagramme est adapté à un type de données spécifique et à un objectif de représentation. La clé est de bien identifier le type de caractère étudié et d'organiser les données dans un tableau avant de choisir et construire le diagramme approprié. ## Caractéristiques de position et de dispersion ### Introduction Les statistiques sont une branche des mathématiques qui nous permet de collecter, organiser, analyser, interpréter et présenter des données. En Seconde, nous allons nous concentrer sur la description des séries statistiques, c'est-à-dire comment résumer l'information contenue dans un ensemble de données. Pour cela, nous utilisons des **caractéristiques de position** qui nous indiquent où se situe le "centre" des données, et des **caractéristiques de dispersion** qui nous renseignent sur l'étalement ou la variabilité de ces données. Comprendre ces concepts est essentiel pour analyser et comparer différents ensembles de données dans de nombreux domaines (économie, sciences, sociologie, etc.). ### Concepts Clés #### I. Caractéristiques de position Les caractéristiques de position décrivent la tendance centrale d'une série statistique. ##### A. La Moyenne Arithmétique (\( \bar{x} \)) La moyenne est la somme de toutes les valeurs divisée par le nombre total de valeurs. C'est le "centre de gravité" de la série. * **Pour une série non groupée (liste de valeurs) :** Si \( x_1, x_2, ..., x_n \) sont les \( n \) valeurs de la série, la moyenne est : \[ \bar{x} = \frac{x_1 + x_2 + ... + x_n}{n} = \frac{\sum_{i=1}^{n} x_i}{n} \] * **Pour une série groupée (avec effectifs ou fréquences) :** Si les valeurs \( x_i \) ont des effectifs \( n_i \) (ou des fréquences \( f_i \)), la moyenne pondérée est : \[ \bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^{k} n_i x_i}{N} = \sum_{i=1}^{k} f_i x_i \] où \( N \) est l'effectif total (\( N = \sum n_i \)). Pour des données en classes, \( x_i \) représente le centre de la classe. ##### B. La Médiane (Me) La médiane est la valeur qui partage la série en deux parties égales : au moins 50% des valeurs sont inférieures ou égales à la médiane, et au moins 50% des valeurs sont supérieures ou égales. * **Calcul pour une série non groupée :** 1. Ordonner la série dans l'ordre croissant. 2. Si l'effectif total \( n \) est impair, la médiane est la valeur située au rang \( \frac{n+1}{2} \). 3. Si l'effectif total \( n \) est pair, la médiane est la moyenne des deux valeurs centrales, situées aux rangs \( \frac{n}{2} \) et \( \frac{n}{2} + 1 \). * **Calcul pour une série groupée :** 1. Calculer les effectifs cumulés croissants. 2. La médiane est la valeur de la variable dont l'effectif cumulé croissant atteint ou dépasse \( \frac{N}{2} \) pour la première fois. Si les données sont en classes, on identifie la classe médiane. ##### C. Le Mode Le mode est la (ou les) valeur(s) qui apparaît(issent) le plus fréquemment dans la série statistique. Une série peut avoir un mode unique, plusieurs modes (plurimodale) ou aucun mode si toutes les valeurs apparaissent avec la même fréquence. * Pour une série groupée en classes, on parle de **classe modale** : c'est la classe qui a le plus grand effectif. #### II. Caractéristiques de dispersion Les caractéristiques de dispersion décrivent comment les données sont étalées ou concentrées autour des caractéristiques de position. ##### A. L'Étendue (E) L'étendue est la différence entre la plus grande valeur et la plus petite valeur de la série. Elle donne une première idée de l'étalement total des données. \[ E = x_{max} - x_{min} \] ##### B. Les Quartiles (Q1, Q3) Les quartiles sont des valeurs qui partagent la série statistique ordonnée en quatre parties égales. * **Le premier quartile (Q1) :** C'est la plus petite valeur telle qu'au moins 25% des données lui sont inférieures ou égales. * **Le troisième quartile (Q3) :** C'est la plus petite valeur telle qu'au moins 75% des données lui sont inférieures ou égales. * **Calcul pour une série non groupée (avec \( n \) valeurs ordonnées) :** * \( Q_1 \) est la valeur dont le rang est le plus petit entier \( k \) tel que \( k \ge \frac{n}{4} \). * \( Q_3 \) est la valeur dont le rang est le plus petit entier \( k' \) tel que \( k' \ge \frac{3n}{4} \). * **Calcul pour une série groupée :** On utilise les effectifs cumulés croissants pour trouver la classe de \( Q_1 \) (où l'effectif cumulé atteint ou dépasse \( 25\% \) de \( N \)) et la classe de \( Q_3 \) (où l'effectif cumulé atteint ou dépasse \( 75\% \) de \( N \)). ##### C. L'Écart Interquartile (IQR) L'écart interquartile est la différence entre le troisième quartile et le premier quartile. \[ IQR = Q_3 - Q_1 \] Il mesure la dispersion des 50% des données centrales, c'est-à-dire des données situées entre \( Q_1 \) et \( Q_3 \). ##### D. La Variance (\( V \) ou \( \sigma^2 \)) La variance mesure la dispersion des valeurs par rapport à la moyenne. Plus la variance est grande, plus les données sont dispersées autour de la moyenne. * **Pour une série non groupée :** \[ V = \frac{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2}{n} \] Une formule de calcul simplifiée (formule de Koenig) est souvent utilisée : \[ V = \frac{\sum_{i=1}^{n} x_i^2}{n} - \bar{x}^2 \] * **Pour une série groupée :** \[ V = \frac{\sum_{i=1}^{k} n_i (x_i - \bar{x})^2}{N} \] Ou avec la formule de Koenig : \[ V = \frac{\sum_{i=1}^{k} n_i x_i^2}{N} - \bar{x}^2 \] où \( x_i \) est la valeur ou le centre de la classe. ##### E. L'Écart-type (\( \sigma \)) L'écart-type est la racine carrée de la variance. Il est exprimé dans la même unité que les données, ce qui le rend plus facile à interpréter que la variance. \[ \sigma = \sqrt{V} \] Un faible écart-type indique que les données sont regroupées autour de la moyenne, tandis qu'un grand écart-type indique qu'elles sont très dispersées. ### Vocabulaire * **Série statistique :** Ensemble de données collectées sur une population. * **Effectif :** Nombre d'individus ou d'observations pour une valeur ou une classe donnée. * **Effectif total (N) :** Somme de tous les effectifs. * **Fréquence :** Rapport entre l'effectif d'une valeur (ou classe) et l'effectif total (souvent exprimée en pourcentage). * **Classe :** Intervalle de valeurs dans lequel les données sont regroupées. * **Moyenne arithmétique (\( \bar{x} \)) :** Mesure de tendance centrale, somme des valeurs divisée par l'effectif total. * **Médiane (Me) :** Valeur centrale qui partage la série en deux moitiés égales. * **Mode :** Valeur (ou classe) la plus fréquente dans une série. * **Étendue (E) :** Différence entre la valeur maximale et la valeur minimale de la série. * **Quartile (Q1, Q3) :** Valeurs qui délimitent les 25% et 75% inférieurs d'une série ordonnée. * **Écart interquartile (IQR) :** Différence entre Q3 et Q1, mesure la dispersion des 50% centraux des données. * **Variance (\( V \) ou \( \sigma^2 \)) :** Mesure la dispersion des données autour de la moyenne, moyenne des carrés des écarts à la moyenne. * **Écart-type (\( \sigma \)) :** Racine carrée de la variance, exprimé dans la même unité que les données. ### Exemples #### Exemple 1 : Notes d'élèves (série non groupée) Voici les notes obtenues par 10 élèves à un contrôle de mathématiques : \( 12, 15, 10, 8, 14, 12, 18, 11, 13, 12 \) 1. **Ordonner la série :** \( 8, 10, 11, 12, 12, 12, 13, 14, 15, 18 \) 2. **Effectif total :** \( n = 10 \) 3. **Moyenne (\( \bar{x} \)) :** \( \bar{x} = \frac{8+10+11+12+12+12+13+14+15+18}{10} = \frac{125}{10} = 12.5 \) 4. **Médiane (Me) :** \( n = 10 \) est pair. Les deux valeurs centrales sont aux rangs \( \frac{10}{2} = 5 \) et \( \frac{10}{2} + 1 = 6 \). Les 5e et 6e valeurs sont \( 12 \) et \( 12 \). \( Me = \frac{12+12}{2} = 12 \) 5. **Mode :** La valeur \( 12 \) apparaît 3 fois, plus que toute autre valeur. Le mode est \( 12 \). 6. **Étendue (E) :** \( E = x_{max} - x_{min} = 18 - 8 = 10 \) 7. **Quartiles (Q1, Q3) :** * \( Q_1 \) : le rang est le plus petit entier \( k \ge \frac{10}{4} = 2.5 \), donc \( k = 3 \). La 3e valeur est \( 11 \). Donc \( Q_1 = 11 \). * \( Q_3 \) : le rang est le plus petit entier \( k' \ge \frac{3 \times 10}{4} = 7.5 \), donc \( k' = 8 \). La 8e valeur est \( 14 \). Donc \( Q_3 = 14 \). 8. **Écart interquartile (IQR) :** \( IQR = Q_3 - Q_1 = 14 - 11 = 3 \) 9. **Variance (\( V \)) :** Calculons \( \sum x_i^2 = 8^2+10^2+11^2+12^2+12^2+12^2+13^2+14^2+15^2+18^2 \) \( = 64+100+121+144+144+144+169+196+225+324 = 1631 \) \( V = \frac{\sum x_i^2}{n} - \bar{x}^2 = \frac{1631}{10} - (12.5)^2 = 163.1 - 156.25 = 6.85 \) 10. **Écart-type (\( \sigma \)) :** \( \sigma = \sqrt{V} = \sqrt{6.85} \approx 2.62 \) #### Exemple 2 : Temps de trajet (en minutes) de 100 employés (série groupée en classes) | Temps (min) | Effectif (\( n_i \)) | Centre de classe (\( x_i \)) | \( n_i x_i \) | Effectif cumulé croissant | \( n_i x_i^2 \) |-------------|-------------------|--------------------------|-------------------|-----------------------------|------------------| | [0, 10[ | 15 | 5 | 75 | 15 | 375 | | [10, 20[ | 30 | 15 | 450 | 45 | 6750 | | [20, 30[ | 40 | 25 | 1000 | 85 | 25000 | | [30, 40[ | 10 | 35 | 350 | 95 | 12250 | | [40, 50[ | 5 | 45 | 225 | 100 | 10125 | | **Total** | **100** | | **2100** | | **54500** | 1. **Effectif total :** \( N = 100 \) 2. **Moyenne (\( \bar{x} \)) :** \( \bar{x} = \frac{\sum n_i x_i}{N} = \frac{2100}{100} = 21 \) minutes 3. **Classe médiane :** Nous cherchons la valeur qui correspond au \( \frac{N}{2} \)-ième individu, soit le 50e individu. L'effectif cumulé croissant atteint 45 à la fin de la classe [10, 20[ et 85 à la fin de la classe [20, 30[. Le 50e individu se trouve donc dans la classe **[20, 30[**. C'est la classe médiane. 4. **Classe modale :** La classe avec le plus grand effectif est [20, 30[ (effectif 40). La classe modale est **[20, 30[**. 5. **Étendue (E) :** L'étendue est approximée par la différence entre la borne supérieure de la dernière classe et la borne inférieure de la première classe. \( E = 50 - 0 = 50 \) minutes. 6. **Quartiles (Q1, Q3) :** * **Q1 :** Nous cherchons le \( \frac{N}{4} \)-ième individu, soit le 25e individu. L'effectif cumulé croissant atteint 15 à la fin de la classe [0, 10[ et 45 à la fin de la classe [10, 20[. Le 25e individu se trouve dans la classe **[10, 20[**. C'est la classe de \( Q_1 \). * **Q3 :** Nous cherchons le \( \frac{3N}{4} \)-ième individu, soit le 75e individu. L'effectif cumulé croissant atteint 45 à la fin de la classe [10, 20[ et 85 à la fin de la classe [20, 30[. Le 75e individu se trouve dans la classe **[20, 30[**. C'est la classe de \( Q_3 \). 7. **Variance (\( V \)) :** \( V = \frac{\sum n_i x_i^2}{N} - \bar{x}^2 = \frac{54500}{100} - (21)^2 = 545 - 441 = 104 \) 8. **Écart-type (\( \sigma \)) :** \( \sigma = \sqrt{104} \approx 10.2 \) minutes ### Exercices #### Exercice 1 Voici le nombre de livres lus par 15 élèves en un mois : \( 2, 0, 3, 1, 2, 4, 1, 0, 3, 2, 1, 1, 2, 0, 3 \) 1. Ordonnez la série. 2. Calculez la moyenne arithmétique. 3. Déterminez la médiane. 4. Quel est le mode de cette série ? 5. Calculez l'étendue. 6. Déterminez les quartiles Q1 et Q3. 7. Calculez l'écart interquartile. #### Exercice 2 Un magasin a enregistré les ventes de smartphones par tranche de prix sur une semaine : | Prix (en €) | Nombre de ventes (effectif) | |-------------|-----------------------------| | [100, 200[ | 8 | | [200, 300[ | 20 | | [300, 400[ | 35 | | [400, 500[ | 25 | | [500, 600[ | 12 | 1. Calculez l'effectif total. 2. Calculez la moyenne approximative des prix de vente. 3. Déterminez la classe modale. 4. Déterminez la classe médiane. 5. Déterminez les classes des quartiles Q1 et Q3. 6. Calculez la variance et l'écart-type approximatifs. ### Devoir à la maison #### Devoir 1 Deux classes (A et B) ont passé le même examen. Voici les notes obtenues sur 20 : **Classe A :** \( 12, 14, 10, 15, 13, 11, 12, 16, 9, 14, 12, 10, 13, 15, 11, 14, 12, 13, 10, 15, 14, 12, 11, 13, 14 \) **Classe B :** \( 8, 18, 10, 16, 12, 6, 19, 11, 15, 7, 13, 20, 9, 17, 14, 10, 12, 16, 8, 15, 11, 17, 9, 13, 19 \) Pour chaque classe : 1. Calculez la moyenne, la médiane et le mode. 2. Calculez l'étendue et l'écart interquartile. 3. Calculez l'écart-type. 4. Comparez les performances des deux classes en utilisant les caractéristiques de position et de dispersion. Que pouvez-vous en déduire sur chaque classe ? #### Devoir 2 Le tableau suivant montre la répartition des âges (en années) des habitants d'un petit village : | Âge | Effectif | |------------|----------| | [0, 20[ | 120 | | [20, 40[ | 180 | | [40, 60[ | 250 | | [60, 80[ | 150 | | [80, 100[ | 50 | 1. Déterminez le nombre total d'habitants. 2. Estimez l'âge moyen des habitants du village. 3. Déterminez la classe médiane et la classe modale. 4. Estimez l'écart-type des âges. 5. Si la mairie veut organiser un événement ciblant les 50% de la population les plus jeunes, quelle tranche d'âge devrait-elle cibler (approximativement, en utilisant les quartiles) ? ### Résumé Nous avons exploré les **caractéristiques de position** qui nous aident à identifier le "centre" d'une série statistique : * La **moyenne** (\( \bar{x} \)) est le point d'équilibre, sensible aux valeurs extrêmes. * La **médiane** (Me) partage la série en deux moitiés égales, moins sensible aux valeurs extrêmes. * Le **mode** est la valeur la plus fréquente. Nous avons également étudié les **caractéristiques de dispersion** qui décrivent l'étalement des données : * L'**étendue** (E) donne une idée de l'intervalle total des valeurs. * Les **quartiles** (Q1, Q3) et l'**écart interquartile** (IQR) nous renseignent sur la dispersion des 50% centraux des données. * La **variance** (\( V \)) et l'**écart-type** (\( \sigma \)) mesurent la dispersion autour de la moyenne, avec l'écart-type étant dans la même unité que les données et donc plus interprétable. Ces outils sont fondamentaux pour analyser et comparer des données de manière rigoureuse, en choisissant la caractéristique la plus appropriée en fonction du contexte et de la nature des données.