Chap4: Statistiques

# Chap4: Statistiques ## Mode, moyenne. ### Introduction aux Statistiques : Mode et Moyenne Bienvenue à ce chapitre sur les statistiques! Les statistiques sont une branche des mathématiques qui nous aide à collecter, organiser, analyser et interpréter des données. Dans ce cours, nous allons nous concentrer sur deux indicateurs clés pour résumer et comprendre une série de données numériques : le mode et la moyenne. Ces outils vous permettront de dégager des informations importantes et de caractériser la "tendance centrale" d'un ensemble de valeurs. ### Concepts Clés #### Série Statistique Une série statistique est un ensemble de données que l'on observe sur une certaine population. Ces données peuvent être de différentes natures. * **Population :** L'ensemble des individus (personnes, objets, animaux, etc.) étudiés. Par exemple, tous les élèves d'une classe. * **Individu :** Un élément de la population. Par exemple, un élève de la classe. * **Caractère (ou variable statistique) :** La propriété étudiée sur chaque individu. Ce caractère peut être : * **Qualitatif :** Ne peut pas être mesuré par un nombre (couleur des yeux, profession...). Nous ne traiterons pas ce type de caractère pour le mode et la moyenne. * **Quantitatif :** Peut être mesuré par un nombre (taille, âge, notes, nombre d'enfants...). C'est sur ces caractères que nous allons travailler. * **Valeur :** Une modalité prise par le caractère. Par exemple, si le caractère est la note, les valeurs peuvent être 10, 12, 15, etc. * **Effectif :** Le nombre de fois qu'une valeur donnée apparaît dans la série. L'effectif total est la somme de tous les effectifs. #### Le Mode Le mode d'une série statistique est la valeur (ou les valeurs) du caractère qui a le plus grand effectif. Autrement dit, c'est la valeur la plus fréquente. * Une série statistique peut avoir un mode unique, plusieurs modes, ou pas de mode si toutes les valeurs apparaissent avec la même fréquence. * Pour les données regroupées en classes, on parle de **classe modale**, qui est la classe ayant le plus grand effectif. #### La Moyenne Arithmétique La moyenne arithmétique, souvent appelée simplement la moyenne, est l'indicateur de tendance centrale le plus couramment utilisé. Elle représente une sorte de "valeur typique" de la série. ##### Moyenne Simple Si toutes les valeurs de la série sont listées sans regroupement, la moyenne simple (notée \( \bar{x} \)) est la somme de toutes les valeurs divisée par le nombre total de valeurs. Formule : \[ \bar{x} = \frac{x_1 + x_2 + ... + x_n}{n} = \frac{\sum_{i=1}^{n} x_i}{n} \] Où \( x_i \) représente chaque valeur de la série et \( n \) est le nombre total de valeurs. ##### Moyenne Pondérée Lorsque les données sont présentées dans un tableau d'effectifs (chaque valeur \( x_i \) apparaît avec un certain effectif \( n_i \)), on calcule une moyenne pondérée. Chaque valeur est "pondérée" par son effectif. Formule : \[ \bar{x} = \frac{n_1 x_1 + n_2 x_2 + ... + n_k x_k}{n_1 + n_2 + ... + n_k} = \frac{\sum_{i=1}^{k} n_i x_i}{N} \] Où \( x_i \) sont les différentes valeurs, \( n_i \) leurs effectifs respectifs, et \( N = \sum n_i \) est l'effectif total. ##### Estimation de la Moyenne pour des Données Groupées en Classes Quand les données sont regroupées en classes (par exemple, des intervalles de taille), on ne connaît pas les valeurs exactes. Pour estimer la moyenne, on utilise le **centre de chaque classe**. Le centre d'une classe \( [a;b[ \) est calculé comme \( \frac{a+b}{2} \). Formule d'estimation : \[ \bar{x} \approx \frac{\sum_{i=1}^{k} n_i c_i}{N} \] Où \( c_i \) est le centre de la classe \( i \) et \( n_i \) son effectif. ### Vocabulaire Important * **Série statistique :** Ensemble des données collectées. * **Population :** L'ensemble étudié. * **Individu :** Un élément de la population. * **Caractère (variable statistique) :** La propriété étudiée. * **Valeur :** Une modalité du caractère. * **Effectif :** Nombre de fois qu'une valeur apparaît. * **Effectif total :** Somme de tous les effectifs. * **Mode :** La (ou les) valeur(s) ayant le plus grand effectif. * **Moyenne arithmétique (\( \bar{x} \)) :** La somme des valeurs divisée par leur nombre total. * **Classe :** Intervalle pour regrouper des données (ex: \( [10;20[ \)). * **Centre de classe :** Milieu d'une classe, utilisé pour estimer la moyenne.\( \frac{\text{borne inférieure} + \text{borne supérieure}}{2} \). ### Exemples d'Application #### Exemple 1 : Calcul du Mode et de la Moyenne Simple Voici les notes obtenues par un élève au cours du premier trimestre : \( 12, 8, 15, 12, 10, 14, 12, 9 \) 1. **Trouver le mode :** La note 12 apparaît 3 fois, plus que toute autre note. Le mode est \( 12 \). 2. **Calculer la moyenne :** Nombre de notes \( n = 8 \). Somme des notes \( = 12 + 8 + 15 + 12 + 10 + 14 + 12 + 9 = 92 \). \[ \bar{x} = \frac{92}{8} = 11.5 \] La moyenne de ses notes est \( 11.5 \). #### Exemple 2 : Calcul du Mode et de la Moyenne Pondérée (avec tableau d'effectifs) Un sondage a été réalisé auprès de 25 familles concernant le nombre d'enfants. Voici les résultats : | Nombre d'enfants (\( x_i \)) | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | |---------------------------------|---|---|---|---|---| | Nombre de familles (\( n_i \)) | 5 | 8 | 7 | 4 | 1 | 1. **Trouver le mode :** L'effectif le plus élevé est 8, correspondant à 1 enfant. Le mode est \( 1 \) enfant. 2. **Calculer la moyenne :** Effectif total \( N = 5 + 8 + 7 + 4 + 1 = 25 \). Somme des produits \( n_i x_i \) : \( 5 \times 0 + 8 \times 1 + 7 \times 2 + 4 \times 3 + 1 \times 4 \) \( = 0 + 8 + 14 + 12 + 4 = 38 \) \[ \bar{x} = \frac{38}{25} = 1.52 \] Le nombre moyen d'enfants par famille est \( 1.52 \). #### Exemple 3 : Estimation de la Moyenne pour des Données Groupées en Classes Voici la répartition des salaires (en euros) dans une petite entreprise : | Salaire (en €) | Effectif | |--------------------|----------| | \( [1200; 1400[ \) | 10 | | \( [1400; 1600[ \) | 15 | | \( [1600; 1800[ \) | 8 | | \( [1800; 2000[ \) | 5 | | \( [2000; 2200[ \) | 2 | 1. **Identifier la classe modale :** La classe avec le plus grand effectif est \( [1400; 1600[ \). La classe modale est \( [1400; 1600[ \). 2. **Estimer la moyenne :** Calculons les centres de classes (\( c_i \)) : * \( [1200; 1400[ \) : \( c_1 = \frac{1200+1400}{2} = 1300 \) * \( [1400; 1600[ \) : \( c_2 = \frac{1400+1600}{2} = 1500 \) * \( [1600; 1800[ \) : \( c_3 = \frac{1600+1800}{2} = 1700 \) * \( [1800; 2000[ \) : \( c_4 = \frac{1800+2000}{2} = 1900 \) * \( [2000; 2200[ \) : \( c_5 = \frac{2000+2200}{2} = 2100 \) Effectif total \( N = 10 + 15 + 8 + 5 + 2 = 40 \). Somme des produits \( n_i c_i \) : \( 10 \times 1300 + 15 \times 1500 + 8 \times 1700 + 5 \times 1900 + 2 \times 2100 \) \( = 13000 + 22500 + 13600 + 9500 + 4200 = 62800 \) \[ \bar{x} \approx \frac{62800}{40} = 1570 \] Le salaire moyen estimé dans l'entreprise est de \( 1570 \) €. ### Exercices #### Exercice 1 : Notes de Mathématiques Voici les notes obtenues par un groupe d'élèves à un devoir de mathématiques : \( 10, 13, 8, 10, 15, 12, 10, 17, 9, 14 \) 1. Déterminez le mode de cette série de notes. 2. Calculez la moyenne arithmétique de ces notes. #### Exercice 2 : Nombre de livres lus Un professeur a demandé à ses élèves combien de livres ils avaient lus pendant les vacances. Voici les réponses : | Nombre de livres (\( x_i \)) | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | |---------------------------------|---|---|---|---|---|---| | Nombre d'élèves (\( n_i \)) | 3 | 7 | 10 | 6 | 3 | 1 | 1. Quel est le mode de cette série statistique ? 2. Calculez le nombre moyen de livres lus par élève. #### Exercice 3 : Durée de communication Un opérateur téléphonique a enregistré les durées de communication (en minutes) d'un échantillon de ses clients sur un mois, regroupées en classes : | Durée (min) | Effectif | |--------------------|----------| | \( [0; 60[ \) | 25 | | \( [60; 120[ \) | 40 | | \( [120; 180[ \) | 30 | | \( [180; 240[ \) | 15 | | \( [240; 300[ \) | 10 | 1. Quelle est la classe modale ? 2. Estimez la durée moyenne de communication par client. ### Devoirs à la Maison #### Devoir 1 : Temps de trajet Un groupe d'amis a noté leur temps de trajet (en minutes) pour se rendre au lycée pendant une semaine : Lundi : \( 25 \) min, Mardi : \( 30 \) min, Mercredi : \( 28 \) min, Jeudi : \( 25 \) min, Vendredi : \( 32 \) min. 1. Quel est le mode des temps de trajet ? 2. Calculez le temps de trajet moyen. #### Devoir 2 : Salaires des employés Voici les salaires annuels (en milliers d'euros) d'une entreprise : | Salaire (k€) | Effectif | |--------------------|----------| | 25 | 5 | | 30 | 8 | | 35 | 10 | | 40 | 7 | | 50 | 2 | 1. Déterminez le salaire modal. 2. Calculez le salaire moyen des employés. #### Devoir 3 : Âge des visiteurs Dans un musée, on a relevé l'âge des visiteurs sur une journée, regroupé par tranches d'âge : | Âge | Effectif | |--------------------|----------| | \( [0; 18[ \) | 40 | | \( [18; 30[ \) | 60 | | \( [30; 50[ \) | 50 | | \( [50; 70[ \) | 30 | | \( [70; 90[ \) | 10 | 1. Quelle est la classe modale ? 2. Estimez l'âge moyen des visiteurs de ce musée. ### Résumé Dans ce cours, nous avons exploré deux indicateurs de tendance centrale fondamentaux en statistiques pour les séries quantitatives : * **Le Mode :** Représente la valeur (ou la classe) qui apparaît le plus fréquemment dans une série statistique. Il est utile pour identifier la valeur la plus courante. * **La Moyenne Arithmétique (\( \bar{x} \)) :** Est la somme de toutes les valeurs divisée par le nombre total de valeurs. Elle est calculée différemment selon la présentation des données : * **Moyenne simple :** \( \bar{x} = \frac{\sum x_i}{n} \) * **Moyenne pondérée :** \( \bar{x} = \frac{\sum n_i x_i}{N} \) * **Estimation pour classes :** \( \bar{x} \approx \frac{\sum n_i c_i}{N} \) (en utilisant les centres de classes \( c_i \)). Ces deux indicateurs sont essentiels pour caractériser un ensemble de données et en tirer des conclusions pertinentes. Entraînez-vous régulièrement avec les formules et les exemples pour maîtriser ces concepts. ## Diagrammes à bâtons, à bandes (horizontales ou verticales), circulaires, semi circulaires ; pictogrammes ### Introduction Les statistiques sont partout autour de nous, que ce soit dans les actualités, les sondages ou les études scientifiques. Pour comprendre et présenter des données collectées, il est essentiel de savoir les organiser et les visualiser de manière claire et efficace. C'est là qu'interviennent les diagrammes! Ils nous permettent de transformer des tableaux de chiffres parfois complexes en images faciles à interpréter. Dans ce chapitre, nous allons découvrir et apprendre à construire différents types de diagrammes utilisés pour représenter des séries statistiques. ### Concepts Clés #### 1. Le rôle des diagrammes en statistiques Les diagrammes sont des représentations graphiques qui facilitent la lecture et l'analyse des données statistiques. Ils permettent de : * Visualiser rapidement la répartition des données. * Comparer facilement les différentes catégories ou modalités. * Mettre en évidence des proportions, des tendances ou des particularités. #### 2. Le diagramme à bâtons (ou diagramme en colonnes) C'est un des diagrammes les plus courants. * **Utilisation :** Pour représenter des variables qualitatives (ex: couleurs préférées) ou des variables quantitatives discrètes (ex: nombre d'enfants par famille). * **Description :** Chaque catégorie ou valeur est représentée par un "bâton" (une colonne verticale). La hauteur de chaque bâton est proportionnelle à l'effectif (nombre d'individus) ou à la fréquence (pourcentage) de la catégorie correspondante. * **Construction :** * L'axe horizontal (abscisses) représente les catégories ou les valeurs de la variable. * L'axe vertical (ordonnées) représente les effectifs ou les fréquences. * Les bâtons doivent être de même largeur et séparés par des espaces. #### 3. Le diagramme à bandes (ou diagramme en barres) Très similaire au diagramme à bâtons, mais les barres sont horizontales. * **Utilisation :** Idem que le diagramme à bâtons. Souvent préféré lorsque les noms des catégories sont longs, car ils sont plus faciles à lire sur l'axe vertical. * **Description :** Chaque catégorie ou valeur est représentée par une "bande" horizontale. La longueur de chaque bande est proportionnelle à l'effectif ou à la fréquence. * **Construction :** * L'axe vertical (ordonnées) représente les catégories ou les valeurs de la variable. * L'axe horizontal (abscisses) représente les effectifs ou les fréquences. * Les bandes doivent être de même hauteur et séparées par des espaces. #### 4. Le diagramme circulaire (ou "camembert") Idéal pour montrer la part de chaque catégorie dans un tout. * **Utilisation :** Pour représenter la répartition d'une population selon un caractère, en montrant la proportion de chaque modalité par rapport à l'effectif total. * **Description :** Un cercle entier représente l'effectif total (100%). Chaque "secteur" (partie du cercle) représente une catégorie, et son angle est proportionnel à la fréquence relative de cette catégorie. * **Construction :** * Calculer la fréquence relative (en pourcentage ou décimale) de chaque modalité. * Calculer l'angle de chaque secteur à l'aide de la formule suivante: \[ \text{Angle du secteur} = \frac{\text{Effectif de la modalité}}{\text{Effectif total}} \times 360^ ext{o} \] ou, de manière équivalente: \[ \text{Angle du secteur} = \text{Fréquence relative} \times 360^ ext{o} \] * Dessiner un cercle et utiliser un rapporteur pour tracer chaque secteur. * La somme de tous les angles doit être \( 360^ ext{o} \). #### 5. Le diagramme semi-circulaire Une variante du diagramme circulaire. * **Utilisation :** Similaire au diagramme circulaire, mais utilisé quand on souhaite représenter les proportions sur un demi-cercle (par exemple, pour des raisons esthétiques ou de place). * **Description :** Un demi-cercle représente l'effectif total (100%). Chaque secteur a un angle proportionnel à la fréquence relative de la catégorie. * **Construction :** * Calculer l'angle de chaque secteur à l'aide de la formule suivante: \[ \text{Angle du secteur} = \frac{\text{Effectif de la modalité}}{\text{Effectif total}} \times 180^ ext{o} \] ou, de manière équivalente: \[ \text{Angle du secteur} = \text{Fréquence relative} \times 180^ ext{o} \] * Dessiner un demi-cercle et tracer les secteurs. La somme des angles doit être \( 180^ ext{o} \). #### 6. Les pictogrammes Pour une représentation plus visuelle et ludique. * **Utilisation :** Rendre les données plus attrayantes et compréhensibles pour un public large, en utilisant des images ou des symboles pertinents. * **Description :** Les quantités sont représentées par un nombre de symboles ou d'images. Chaque symbole représente une certaine valeur ou un certain effectif. * **Construction :** * Choisir un symbole qui représente bien la catégorie étudiée. * Définir une "échelle" pour le symbole (ex: 1 voiture représente 100 voitures vendues). * Dessiner le nombre de symboles correspondant à l'effectif ou à la fréquence de chaque catégorie. * **Attention :** Il est crucial d'utiliser des symboles de même taille et de varier leur nombre plutôt que leur taille pour éviter d'induire en erreur. #### 7. Choisir le bon diagramme Le choix dépend du type de données et du message que l'on souhaite faire passer : * **Pour comparer des effectifs ou des fréquences de catégories distinctes :** Diagrammes à bâtons ou à bandes. * **Pour montrer la répartition d'un tout en proportions :** Diagrammes circulaires ou semi-circulaires. * **Pour une présentation plus visuelle et attrayante :** Pictogrammes. ### Vocabulaire * **Statistique :** Discipline qui étudie la collecte, le traitement, l'analyse et l'interprétation des données. C'est aussi un ensemble de données. * **Population :** L'ensemble des individus ou des éléments sur lesquels porte l'étude statistique. * **Individu (ou unité statistique) :** Un élément de la population étudiée. * **Caractère (ou variable statistique) :** La propriété étudiée sur chaque individu de la population (ex: couleur des yeux, âge, note). * **Modalité :** Les différentes valeurs ou catégories que peut prendre un caractère (ex: pour la couleur des yeux : bleu, vert, marron). * **Effectif :** Le nombre d'individus qui présentent une certaine modalité du caractère. * **Effectif total :** Le nombre total d'individus dans la population étudiée. * **Fréquence (relative) :** Le rapport entre l'effectif d'une modalité et l'effectif total. Elle est souvent exprimée en pourcentage. \( \text{Fréquence} = \frac{\text{Effectif de la modalité}}{\text{Effectif total}} \). * **Diagramme :** Une représentation graphique des données statistiques. ### Exemples #### Exemple 1 : Diagramme à bâtons et à bandes (Notes d'une classe) Un professeur a relevé les notes sur 5 à un devoir pour 20 élèves : | Note sur 5 | Effectif | | :--------- | :------- | | 1 | 2 | | 2 | 5 | | 3 | 8 | | 4 | 3 | | 5 | 2 | | **Total** | **20** | * **Diagramme à bâtons :** Nous allons créer 5 bâtons. Le bâton pour la note 1 aura une hauteur de 2 unités, celui pour la note 2 aura une hauteur de 5 unités, et ainsi de suite. L'axe des abscisses sera étiqueté 1, 2, 3, 4, 5 (les notes) et l'axe des ordonnées représentera l'effectif. * **Diagramme à bandes :** L'axe vertical sera étiqueté 1, 2, 3, 4, 5 (les notes) et l'axe horizontal représentera l'effectif. La bande pour la note 1 aura une longueur de 2 unités, etc. #### Exemple 2 : Diagramme circulaire (Loisirs préférés) Un sondage a été réalisé auprès de 100 personnes sur leur loisir préféré : | Loisir | Effectif | Fréquence relative | Angle du secteur | | :---------- | :------- | :----------------- | :--------------- | | Lecture | 25 | \( \frac{25}{100} = 0,25 \) | \( 0,25 \times 360^ ext{o} = 90^ ext{o} \) | | Sport | 40 | \( \frac{40}{100} = 0,40 \) | \( 0,40 \times 360^ ext{o} = 144^ ext{o} \) | | Jeux vidéo | 20 | \( \frac{20}{100} = 0,20 \) | \( 0,20 \times 360^ ext{o} = 72^ ext{o} \) | | Musique | 15 | \( \frac{15}{100} = 0,15 \) | \( 0,15 \times 360^ ext{o} = 54^ ext{o} \) | | **Total** | **100** | **1** | **\( 360^ ext{o} \)** | Pour le diagramme circulaire, nous tracerons un cercle et diviserons en quatre secteurs avec les angles calculés. Le secteur "Sport" sera le plus grand avec \( 144^ ext{o} \). #### Exemple 3 : Pictogramme (Ventes de smartphones) Une entreprise a vendu des smartphones sur trois mois : | Mois | Nombre de smartphones vendus | | :------- | :-------------------------- | | Janvier | 300 | | Février | 450 | | Mars | 600 | Nous choisissons le symbole d'un smartphone \( \large \text{📱} \) pour représenter 150 smartphones vendus. Alors : * Janvier : \( 300 \div 150 = 2 \) smartphones \( \large \text{📱 📱} \) * Février : \( 450 \div 150 = 3 \) smartphones \( \large \text{📱 📱 📱} \) * Mars : \( 600 \div 150 = 4 \) smartphones \( \large \text{📱 📱 📱 📱} \) ### Exercices #### Exercice 1 Un sondage a été réalisé auprès de 50 élèves de Seconde pour connaître leur sport préféré : | Sport | Effectif | | :---------- | :------- | | Football | 18 | | Basketball | 12 | | Natation | 10 | | Athlétisme | 5 | | Autre | 5 | 1. Construisez un diagramme à bâtons pour ces données. 2. Construisez un diagramme circulaire. N'oubliez pas de calculer les fréquences relatives et les angles pour chaque secteur. #### Exercice 2 Voici la répartition des élèves d'un lycée selon leur moyen de transport pour venir en cours : | Moyen de transport | Effectif | | :----------------- | :------- | | Bus | 250 | | Voiture | 150 | | Vélo | 100 | | Marche | 50 | 1. Calculez l'effectif total d'élèves. 2. Calculez la fréquence relative (en pourcentage) pour chaque moyen de transport. 3. Calculez l'angle de chaque secteur pour un diagramme semi-circulaire. ### Devoir à la maison #### Exercice 1 Demandez à 20 personnes de votre entourage (famille, amis) quel est leur fruit préféré (choisissez 4 ou 5 fruits populaires et une catégorie "Autre"). 1. Organisez vos données dans un tableau d'effectifs. 2. Construisez un diagramme à bandes pour représenter ces données. 3. Créez un pictogramme pour ces mêmes données. Choisissez un symbole approprié et définissez une échelle (par exemple, un symbole représente 2 personnes). #### Exercice 2 Le tableau suivant montre la répartition des ventes d'un livre en librairie sur une semaine : | Jour de la semaine | Nombre de livres vendus | | :---------------- | :---------------------- | | Lundi | 30 | | Mardi | 25 | | Mercredi | 40 | | Jeudi | 20 | | Vendredi | 35 | | Samedi | 50 | Construisez un diagramme semi-circulaire pour représenter ces données. Assurez-vous d'inclure tous les calculs (fréquences relatives et angles) dans votre démarche. ### Résumé Dans cette leçon, nous avons exploré les différents moyens de représenter visuellement des données statistiques. Nous avons appris que : * Les **diagrammes à bâtons** et **à bandes** sont excellents pour comparer des effectifs ou des fréquences de catégories distinctes. * Les **diagrammes circulaires** et **semi-circulaires** sont parfaits pour montrer la proportion de chaque partie dans un tout. * Les **pictogrammes** apportent une touche visuelle et attrayante, mais nécessitent une attention particulière à l'échelle pour éviter les erreurs d'interprétation. Chaque type de diagramme a ses avantages et est adapté à des situations différentes. Bien choisir son diagramme est essentiel pour communiquer efficacement les informations contenues dans les données.