Fonctions numériques d'une variable réelle

# Fonctions numériques d'une variable réelle ## Quelques généralités ### Introduction Bienvenue dans le monde fascinant des fonctions ! Les fonctions numériques d'une variable réelle sont des outils mathématiques fondamentaux que l'on retrouve partout, de la science à l'économie en passant par notre quotidien. Elles nous permettent de modéliser des relations entre différentes quantités. Dans cette leçon, nous allons explorer les concepts de base des fonctions : ce qu'elles sont, comment les représenter et comment interpréter les informations qu'elles nous donnent. ### Concepts Clés #### 1. Définition d'une fonction numérique Une fonction numérique \( f \) est un procédé qui, à un nombre réel \( x \), associe *au plus un* autre nombre réel, appelé son image, noté \( f(x) \). * **Variable indépendante (antécédent)** : Le nombre \( x \) que l'on choisit au départ. C'est l'entrée de la fonction. * **Variable dépendante (image)** : Le nombre \( f(x) \) obtenu par la fonction. C'est la sortie de la fonction. On écrit souvent \( f: x \mapsto f(x) \) ou \( y = f(x) \). #### 2. Ensemble de définition L'ensemble de définition (ou domaine de définition) d'une fonction \( f \), noté \( D_f \), est l'ensemble de tous les nombres réels \( x \) pour lesquels la fonction \( f(x) \) est définie (c'est-à-dire pour lesquels le calcul de \( f(x) \) est possible). * **Exemples de restrictions courantes** : * **Division par zéro** : Le dénominateur d'une fraction ne peut jamais être nul. Si \( f(x) = \frac{1}{x-2} \), alors \( x-2 \neq 0 \), donc \( x \neq 2 \). * **Racine carrée** : L'expression sous une racine carrée ne peut pas être négative. Si \( f(x) = \sqrt{x+3} \), alors \( x+3 \ge 0 \), donc \( x \ge -3 \). #### 3. Représentations d'une fonction Une fonction peut être représentée de différentes manières : * **Par une expression algébrique (formule)** : C'est la méthode la plus courante. Par exemple : \[ f(x) = 2x + 3 \] ou \[ g(x) = x^2 - 4x \] * **Par un tableau de valeurs** : Un tableau liste des couples (antécédent, image). Il ne donne généralement qu'une partie des informations sur la fonction. | \( x \) | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | |---|---|---|---|---|---| | \( f(x) \) | -1 | 1 | 3 | 5 | 7 | * **Par une courbe représentative (graphe)** : Dans un repère cartésien \( (O;\vec{i};\vec{j}) \), la courbe représentative \( \mathcal{C}_f \) d'une fonction \( f \) est l'ensemble de tous les points \( M(x; y) \) tels que \( y = f(x) \). Chaque point de la courbe a pour abscisse \( x \) un antécédent et pour ordonnée \( y \) son image par la fonction \( f \). #### 4. Lecture graphique À partir de la courbe représentative d'une fonction, on peut : * **Déterminer l'image d'un nombre** : Pour trouver \( f(a) \), on se place sur l'axe des abscisses au point \( a \), on monte (ou descend) jusqu'à la courbe, puis on lit l'ordonnée du point d'intersection sur l'axe des ordonnées. * **Déterminer les antécédents d'un nombre** : Pour trouver les antécédents de \( b \), on se place sur l'axe des ordonnées au point \( b \), on trace une droite horizontale, et on lit les abscisses des points d'intersection avec la courbe. * **Déterminer l'ensemble de définition** : L'ensemble de définition se lit sur l'axe des abscisses, c'est l'intervalle où la courbe est tracée. ### Vocabulaire * **Fonction** : Procédé qui associe à un nombre, au plus un autre nombre. * **Variable réelle** : Une variable dont les valeurs sont des nombres réels. * **Variable indépendante (x)** : La valeur d'entrée de la fonction (antécédent). * **Variable dépendante (f(x) ou y)** : La valeur de sortie de la fonction (image). * **Antécédent** : Un nombre \( x \) tel que \( f(x) = y \). Un nombre \( y \) peut avoir plusieurs antécédents, un seul ou aucun. * **Image** : Le nombre \( f(x) \) associé à \( x \). Un nombre \( x \) n'a qu'une seule image par une fonction. * **Ensemble de définition (\( D_f \))** : L'ensemble des valeurs de \( x \) pour lesquelles la fonction est définie. * **Courbe représentative (\( \mathcal{C}_f \))** : La représentation graphique de la fonction dans un repère. * **Abscisse** : La coordonnée horizontale d'un point (valeur de \( x \)). * **Ordonnée** : La coordonnée verticale d'un point (valeur de \( y \) ou \( f(x) \)). ### Exemples #### Exemple 1 : Utilisation d'une expression algébrique Soit la fonction \( f \) définie par \( f(x) = x^2 - 3x + 2 \). 1. **Calculer l'image de 0, 1 et -2** : * Pour \( x = 0 \) : \( f(0) = 0^2 - 3(0) + 2 = 2 \) * Pour \( x = 1 \) : \( f(1) = 1^2 - 3(1) + 2 = 1 - 3 + 2 = 0 \) * Pour \( x = -2 \) : \( f(-2) = (-2)^2 - 3(-2) + 2 = 4 + 6 + 2 = 12 \) 2. **Déterminer les antécédents de 2** : On cherche \( x \) tel que \( f(x) = 2 \). \[ x^2 - 3x + 2 = 2 \] \[ x^2 - 3x = 0 \] \[ x(x - 3) = 0 \] Les antécédents de 2 sont donc \( x=0 \) et \( x=3 \). #### Exemple 2 : Détermination de l'ensemble de définition 1. Soit \( f(x) = \frac{1}{x+5} \). Le dénominateur ne peut pas être nul, donc \( x+5 \neq 0 \), ce qui implique \( x \neq -5 \). L'ensemble de définition est \( D_f = \mathbb{R} \setminus \{-5\} \) ou \( D_f = ]-\infty; -5[ \cup ]-5; +\infty[ \). 2. Soit \( g(x) = \sqrt{4-x} \). L'expression sous la racine doit être positive ou nulle, donc \( 4-x \ge 0 \), ce qui implique \( x \le 4 \). L'ensemble de définition est \( D_g = ]-\infty; 4] \). ### Exercices 1. Soit la fonction \( h \) définie par \( h(x) = -2x + 7 \). a. Calculer l'image de 3 par \( h \). b. Quel est l'antécédent de 1 par \( h \) ? 2. Déterminer l'ensemble de définition des fonctions suivantes : a. \( f(x) = 3x - 1 \) b. \( g(x) = \frac{5}{x-4} \) c. \( k(x) = \sqrt{x+1} \) 3. Un graphique ci-dessous représente une fonction \( f \). a. Quel est l'ensemble de définition de \( f \) ? b. Déterminer \( f(0) \) et \( f(2) \). c. Donner les antécédents de 1. (Imaginez un graphique simple allant de x=-2 à x=4, avec f(0)=3, f(2)=1, et un autre point f(4)=1). ### Devoir à la maison 1. Soit la fonction \( f \) définie par \( f(x) = x^2 + x - 6 \). a. Calculer \( f(-3) \), \( f(0) \) et \( f(2) \). b. Résoudre l'équation \( f(x) = -6 \) pour trouver les antécédents de -6. c. Déterminer les valeurs de \( x \) pour lesquelles \( f(x) = 0 \). 2. Tracer la courbe représentative de la fonction \( g(x) = -x + 4 \) sur l'intervalle \( [-1, 5] \). Pour cela, réalisez d'abord un tableau de valeurs pour quelques points. 3. Un artisan fabrique des bijoux. Le coût de fabrication de \( x \) bijoux est donné par la fonction \( C(x) = 5x + 100 \), où \( C(x) \) est en euros. a. Quel est le coût pour fabriquer 10 bijoux ? b. Combien de bijoux peut-il fabriquer pour 300 euros ? ### Résumé Dans cette leçon, nous avons découvert les bases des fonctions numériques d'une variable réelle. Nous avons appris qu'une fonction associe à chaque antécédent \( x \) une unique image \( f(x) \). L'ensemble de définition \( D_f \) regroupe toutes les valeurs de \( x \) pour lesquelles la fonction est calculable. Les fonctions peuvent être représentées par des formules algébriques, des tableaux de valeurs ou des courbes graphiques. Savoir lire et interpréter ces différentes représentations est essentiel pour comprendre les phénomènes qu'elles modélisent. La maîtrise de ces concepts est la première étape vers l'exploration plus approfondie du monde des fonctions en mathématiques. ## Étude graphique ### Introduction Bienvenue à cette leçon sur l'étude graphique des fonctions numériques ! Dans le monde des mathématiques, les fonctions sont partout. Elles nous permettent de modéliser des phénomènes variés, comme l'évolution d'une température, la trajectoire d'un objet, ou même la croissance d'une population. Comprendre les fonctions, c'est comprendre comment une quantité dépend d'une autre. L'étude graphique est une approche visuelle essentielle pour appréhender le comportement d'une fonction. Elle nous permet de "voir" les relations entre les nombres, de repérer rapidement des informations clés et de résoudre des problèmes sans toujours recourir à de longs calculs. Préparez-vous à transformer des nombres en images et à décoder ce que ces images nous révèlent ! ### Concepts clés #### 1. Définition et représentation d'une fonction Une **fonction numérique d'une variable réelle** est un processus qui, à chaque nombre réel \(x\) (appelé **antécédent**) d'un ensemble donné, associe un unique nombre réel \(y\) (appelé **image**). On note souvent cette association \(y = f(x)\). * **Variable réelle \(x\):** C'est le nombre d'entrée de la fonction. On dit qu'elle appartient au **domaine de définition** de la fonction, noté \(D_f\). Cet ensemble est souvent un intervalle ou une union d'intervalles. * **Image \(f(x)\):** C'est le nombre de sortie. Pour un \(x\) donné, il n'y a qu'une seule image. La **représentation graphique** d'une fonction \(f\), notée \(C_f\), est l'ensemble de tous les points \(M(x; y)\) du plan dont les coordonnées vérifient \(y = f(x)\). Ces points sont tracés dans un **repère orthogonal** (ou orthonormé) constitué d'un **axe des abscisses** (horizontal, pour les \(x\)) et d'un **axe des ordonnées** (vertical, pour les \(y\)). #### 2. Lecture graphique : Image et antécédents La courbe représentative \(C_f\) est un outil puissant pour lire des informations directement. ##### a. Déterminer l'image d'un nombre Pour trouver l'image de \(a\) par \(f\), c'est-à-dire \(f(a)\) : 1. Repérez \(a\) sur l'axe des abscisses. 2. Tracez une droite verticale passant par \(a\) jusqu'à ce qu'elle rencontre la courbe \(C_f\). 3. À partir de ce point d'intersection, tracez une droite horizontale jusqu'à l'axe des ordonnées. 4. Le nombre lu sur l'axe des ordonnées est \(f(a)\). ##### b. Déterminer les antécédents d'un nombre Pour trouver les antécédents de \(b\) par \(f\), c'est-à-dire les \(x\) tels que \(f(x) = b\) : 1. Repérez \(b\) sur l'axe des ordonnées. 2. Tracez une droite horizontale passant par \(b\) jusqu'à ce qu'elle rencontre la courbe \(C_f\). 3. À partir de chaque point d'intersection, tracez une droite verticale jusqu'à l'axe des abscisses. 4. Les nombres lus sur l'axe des abscisses sont les antécédents de \(b\). **Attention :** Un nombre peut avoir zéro, un ou plusieurs antécédents. Une image est toujours unique. #### 3. Tableau de valeurs Un **tableau de valeurs** liste quelques couples \((x; f(x))\) qui appartiennent à la courbe. Il est utile pour placer des points et esquisser la courbe. | \(x\) | \(x_1\) | \(x_2\) | \(x_3\) | ... | | :---------- | :------ | :------ | :------ | :-- | | \(f(x)\) | \(y_1\) | \(y_2\) | \(y_3\) | ... | #### 4. Variations d'une fonction L'étude des variations décrit comment la fonction évolue : augmente, diminue ou reste constante. * **Fonction croissante :** Sur un intervalle, si lorsque \(x\) augmente, \(f(x)\) augmente aussi. La courbe "monte" de gauche à droite. * **Fonction décroissante :** Sur un intervalle, si lorsque \(x\) augmente, \(f(x)\) diminue. La courbe "descend" de gauche à droite. * **Fonction constante :** Sur un intervalle, si \(f(x)\) reste la même quelle que soit la valeur de \(x\). La courbe est une droite horizontale. ##### a. Maximum et minimum (extrema) * Un **maximum** est la plus grande valeur que la fonction atteint sur un certain intervalle (ou sur tout le domaine de définition). * Un **minimum** est la plus petite valeur que la fonction atteint sur un certain intervalle (ou sur tout le domaine de définition). ##### b. Tableau de variations Il résume les intervalles où la fonction est croissante ou décroissante, et indique les extrema. | \(x\) | \(x_{min}\) | ... | \(x_{max}\) | ... | \(x_{end}\) | | :---------- | :------------- | :-- | :------------- | :-- | :------------ | | \(f(x)\) | \(f(x_{min})\) | \(\searrow\)| \(f(x_{max})\) | \(\nearrow\) | \(f(x_{end})\) | (Les flèches indiquent la croissance ou la décroissance.) #### 5. Signe d'une fonction Le signe d'une fonction \(f(x)\) indique si ses images sont positives, négatives ou nulles. * **\(f(x) > 0\) :** La courbe \(C_f\) est **au-dessus de l'axe des abscisses**. * **\(f(x) < 0\) :** La courbe \(C_f\) est **en dessous de l'axe des abscisses**. * **\(f(x) = 0\) :** La courbe \(C_f\) **coupe l'axe des abscisses**. Les valeurs de \(x\) pour lesquelles \(f(x) = 0\) sont appelées les **racines** de la fonction. ##### a. Tableau de signes Il indique sur quels intervalles la fonction est positive, négative ou nulle. | \(x\) | \(-\infty\) | \(r_1\) | \(r_2\) | \(+\infty\) | | :---------- | :----------- | :------ | :------ | :----------- | | \(f(x)\) | \(+\) | \(0\) | \(0\) | \(+\) | (Exemple avec deux racines \(r_1\) et \(r_2\).) #### 6. Résolution graphique d'équations et d'inéquations La lecture graphique permet de résoudre visuellement des équations et des inéquations. ##### a. Résoudre \(f(x) = k\) 1. Tracez la droite horizontale d'équation \(y = k\). 2. Les solutions sont les abscisses des points d'intersection entre \(C_f\) et la droite \(y = k\). ##### b. Résoudre \(f(x) < k\) (ou \(f(x) > k\)) 1. Tracez la droite horizontale d'équation \(y = k\). 2. Les solutions sont les abscisses des points de la courbe \(C_f\) qui sont **strictement en dessous** (ou **strictement au-dessus**) de la droite \(y = k\). ##### c. Résoudre \(f(x) = g(x)\) 1. Tracez les courbes représentatives \(C_f\) et \(C_g\). 2. Les solutions sont les abscisses des points d'intersection entre \(C_f\) et \(C_g\). ##### d. Résoudre \(f(x) \le g(x)\) (ou \(f(x) \ge g(x)\)) 1. Tracez les courbes représentatives \(C_f\) et \(C_g\). 2. Les solutions sont les abscisses des points de la courbe \(C_f\) qui sont **en dessous ou sur** (ou **au-dessus ou sur**) la courbe \(C_g\). ### Vocabulaire * **Fonction numérique :** Règle qui associe à un nombre d'entrée un unique nombre de sortie. * **Variable réelle :** Le nombre \(x\) d'entrée d'une fonction. * **Antécédent :** Un nombre \(x\) pour lequel une fonction donne une certaine image. * **Image :** Le nombre \(f(x)\) produit par la fonction à partir d'un antécédent \(x\). * **Courbe représentative (\(C_f\)) :** L'ensemble des points \((x; f(x))\) dans un repère. * **Domaine de définition (\(D_f\)) :** L'ensemble de toutes les valeurs de \(x\) pour lesquelles la fonction est définie. * **Axe des abscisses :** L'axe horizontal d'un repère, gradué avec les valeurs de \(x\). * **Axe des ordonnées :** L'axe vertical d'un repère, gradué avec les valeurs de \(y\) ou \(f(x)\). * **Origine :** Le point \((0;0)\) où les axes se croisent. * **Ordonnée :** La coordonnée verticale d'un point (sa valeur sur l'axe des ordonnées). * **Abscisse :** La coordonnée horizontale d'un point (sa valeur sur l'axe des abscisses). * **Fonction croissante :** Une fonction dont les images augmentent quand les antécédents augmentent. * **Fonction décroissante :** Une fonction dont les images diminuent quand les antécédents augmentent. * **Fonction constante :** Une fonction dont les images ne changent pas quand les antécédents augmentent. * **Extremum :** Un maximum ou un minimum d'une fonction. * **Racine :** Une valeur de \(x\) pour laquelle \(f(x) = 0\). * **Tableau de variations :** Tableau qui résume les intervalles de croissance et de décroissance d'une fonction. * **Tableau de signes :** Tableau qui résume les intervalles où une fonction est positive ou négative. * **Équation :** Une égalité contenant une ou plusieurs variables. * **Inéquation :** Une inégalité contenant une ou plusieurs variables. ### Exemples Considérons une fonction \(f\) dont la courbe représentative \(C_f\) est donnée sur l'intervalle \([-4; 5]\). La courbe ressemble à un "W" légèrement incliné, passant par \((-4, 0)\), descendant jusqu'à \((-2, -3)\), remontant jusqu'à \((1, 2)\), redescendant à \((3, -1)\) et remontant jusqu'à \((5, 1)\). 1. **Image de -2 :** Pour trouver \(f(-2)\), on part de \(-2\) sur l'axe des abscisses, on monte jusqu'à la courbe, puis on lit l'ordonnée. On trouve \(f(-2) = -3\). 2. **Antécédents de 1 :** Pour trouver les \(x\) tels que \(f(x) = 1\), on trace la droite horizontale \(y = 1\). Elle coupe la courbe en \(x = 5\) et \(x = 0.5\) (environ). Les antécédents de \(1\) sont donc \(0.5\) et \(5\). 3. **Tableau de variations :** * \(f\) est décroissante sur \([-4; -2]\) (de \(0\) à \(-3\)). * \(f\) est croissante sur \([-2; 1]\) (de \(-3\) à \(2\)). * \(f\) est décroissante sur \([1; 3]\) (de \(2\) à \(-1\)). * \(f\) est croissante sur \([3; 5]\) (de \(-1\) à \(1\)). | \(x\) | -4 | -2 | 1 | 3 | 5 | | :---------- | :- | :-- | :- | :-- | :- | | \(f(x)\) | 0 | \(\searrow\)-3 | \(\nearrow\)2 | \(\searrow\)-1 | \(\nearrow\)1 | 4. **Signe de \(f(x)\) :** * \(f(x) > 0\) sur \([-4; 0]\) et sur \([0.5; 3.8]\) (environ) et sur \([3.8; 5]\) (en fait entre 0.5 et 3.8 la fonction est en dessous de l'axe des x à partir de 0.5 elle remonte de 0 à 1, alors \(f(x)>0\) sur \([-4; -4]\) et \([0.5; 3.8]\) et \([3.8; 5]\)) plus précisément: \(f(x) > 0\) sur \([-4; 0]\) et sur \(]3.8; 5]\) (où \(0\) et \(3.8\) sont les racines). * \(f(x) < 0\) sur \(]0; 3.8[\). * \(f(x) = 0\) pour \(x = -4\), \(x = 0\) et \(x \approx 3.8\). | \(x\) | -4 | 0 | \(\approx 3.8\) | 5 | | :---------- | :- | :- | :--------------- | :- | | \(f(x)\) | 0 | 0 | 0 | + | 5. **Résoudre \(f(x) = -1\) :** Tracez la droite \(y = -1\). Elle coupe \(C_f\) en \(x \approx -1\) et \(x = 3\). Les solutions sont donc \(x = -1\) et \(x = 3\). 6. **Résoudre \(f(x) \ge 0\) :** C'est quand la courbe est au-dessus ou sur l'axe des abscisses. Les solutions sont \(x \in [-4; 0] \cup [3.8; 5]\). ### Exercices **Exercice 1 : Analyse graphique** La courbe \(C_g\) ci-dessous représente une fonction \(g\) définie sur \([-3; 4]\). (Imaginez une courbe qui part de \((-3, 2)\), descend à \((0, -2)\), puis remonte à \((2, 3)\) et redescend à \((4, 0)\).) 1. Déterminez graphiquement : a. L'image de \(0\) par \(g\). b. L'image de \(2\) par \(g\). c. Les antécédents de \(-2\) par \(g\). d. Les antécédents de \(0\) par \(g\). e. Le nombre d'antécédents de \(4\) par \(g\). 2. Dressez le tableau de variations de la fonction \(g\). 3. Dressez le tableau de signes de la fonction \(g\). 4. Résolvez graphiquement l'équation \(g(x) = 1\). 5. Résolvez graphiquement l'inéquation \(g(x) > 0\). **Exercice 2 : Calcul et tracé** Soit la fonction \(h\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(h(x) = x^2 - 4x + 3\). 1. Calculez les images de \(-1\), \(0\), \(1\), \(2\), \(3\), \(4\), \(5\) par \(h\). 2. À l'aide des points obtenus, tracez la courbe représentative de \(h\) dans un repère orthogonal. 3. Dressez le tableau de variations de \(h\) (vous pouvez identifier le sommet par symétrie). 4. Déterminez les racines de \(h\) (quand \(h(x)=0\)). ### Devoirs à la maison **Devoir 1 : Approfondissement graphique** Soient \(f\) et \(g\) deux fonctions dont les courbes représentatives \(C_f\) (une parabole ouverte vers le bas, sommet en \((0, 4)\) passant par \((-2, 0)\) et \((2, 0)\)) et \(C_g\) (une droite passant par \((-2, 0)\) et \((0, 2)\)) sont données ci-dessous. \(f(x) = -x^2 + 4\) et \(g(x) = x + 2\). 1. Sur quel intervalle la fonction \(f\) est-elle croissante ? Décroissante ? 2. Quel est le maximum de \(f\) ? Pour quelle valeur de \(x\) est-il atteint ? 3. Résolvez graphiquement l'équation \(f(x) = g(x)\). 4. Résolvez graphiquement l'inéquation \(f(x) > g(x)\). 5. Donnez les signes de \(f(x)\) et \(g(x)\) sur \([-3; 3]\). **Devoir 2 : Étude complète** Soit la fonction \(k\) définie sur \([-5; 5]\) dont la courbe passe par les points \((-5, -2)\), \((-3, 3)\), \((-1, 0)\), \((1, -2)\), \((3, 0)\), \((5, 4)\). (Imaginez une courbe qui monte, descend, remonte). 1. Tracez une allure possible de la courbe de \(k\). 2. Estimez \(k(0)\). 3. Estimez les antécédents de \(1\). 4. Dressez un tableau de variations et un tableau de signes approximatifs pour \(k\). 5. Résolvez graphiquement \(k(x) < 0\). ### Résumé Au cours de cette leçon, nous avons exploré l'**étude graphique des fonctions numériques**. Vous avez appris à : * **Identifier** les images et les antécédents d'un nombre à partir d'une courbe. * **Interpréter** les variations d'une fonction (croissante, décroissante, constante) et ses extrema (maximums et minimums) à l'aide d'un tableau de variations. * **Déterminer** le signe d'une fonction (positive ou négative) en observant sa position par rapport à l'axe des abscisses, et à l'organiser dans un tableau de signes. * **Résoudre graphiquement** des équations de type \(f(x) = k\), \(f(x) = g(x)\) et des inéquations de type \(f(x) < k\), \(f(x) > g(x)\). L'étude graphique est une compétence fondamentale en mathématiques. Elle vous offre une compréhension intuitive du comportement des fonctions et complète parfaitement l'approche algébrique. Continuez à pratiquer la lecture et l'interprétation des courbes, c'est la clé pour maîtriser ce sujet ! ## Fonctions usuelles ### Introduction Bienvenue dans cette leçon sur les fonctions usuelles ! En mathématiques, une fonction est une sorte de "machine" qui, à chaque nombre d'entrée, associe un unique nombre de sortie. Les fonctions usuelles sont des fonctions fondamentales que nous rencontrons très souvent. Les comprendre est essentiel car elles sont les "briques de base" pour construire et étudier des fonctions plus complexes. Nous allons explorer leurs définitions, leurs propriétés, leurs représentations graphiques et leurs variations. ### Concepts clés #### 1. La fonction affine ##### Définition Une fonction affine est une fonction qui peut s'écrire sous la forme \( f(x) = ax + b \), où \( a \) et \( b \) sont des nombres réels fixés, et \( x \) est la variable réelle. L'ensemble de définition est \( \mathbb{R} \). * **\( a \)** est appelé le coefficient directeur (ou pente). Il indique la direction de la droite. * **\( b \)** est appelé l'ordonnée à l'origine. C'est le point où la droite coupe l'axe des ordonnées (quand \( x=0 \), \( f(x)=b \)). ##### Représentation graphique La représentation graphique d'une fonction affine est toujours une **droite**. ##### Cas particuliers * **Fonction linéaire:** Si \( b = 0 \), la fonction s'écrit \( f(x) = ax \). Sa représentation graphique est une droite passant par l'origine \( (0,0) \). * **Fonction constante:** Si \( a = 0 \), la fonction s'écrit \( f(x) = b \). Sa représentation graphique est une droite horizontale. ##### Sens de variation * Si \( a > 0 \), la fonction affine est **strictement croissante**. * Si \( a < 0 \), la fonction affine est **strictement décroissante**. * Si \( a = 0 \), la fonction affine est **constante**. #### 2. La fonction carré ##### Définition La fonction carré est la fonction qui, à tout nombre réel \( x \), associe son carré \( x^2 \). Elle est définie par \[ f(x) = x^2 \] L'ensemble de définition est \( \mathbb{R} \). ##### Représentation graphique La représentation graphique de la fonction carré est une **parabole** dont le sommet est l'origine \( (0,0) \) et l'axe de symétrie est l'axe des ordonnées. ##### Sens de variation * La fonction carré est **strictement décroissante** sur l'intervalle \( ]-\\infty; 0] \). * La fonction carré est **strictement croissante** sur l'intervalle \( [0; +\\infty[ \). ##### Parité La fonction carré est une **fonction paire**, car pour tout \( x \in \mathbb{R} \), \( f(-x) = (-x)^2 = x^2 = f(x) \). Sa courbe est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées. #### 3. La fonction inverse ##### Définition La fonction inverse est la fonction qui, à tout nombre réel \( x \) non nul, associe son inverse \( \frac{1}{x} \). Elle est définie par \[ f(x) = \frac{1}{x} \] L'ensemble de définition est \( \mathbb{R}^* \) (tous les réels sauf 0), ou \( ]-\\infty; 0[ \cup ]0; +\\infty[ \). ##### Représentation graphique La représentation graphique de la fonction inverse est une **hyperbole** composée de deux branches. Elle ne coupe ni l'axe des abscisses, ni l'axe des ordonnées (qui sont ses asymptotes). ##### Sens de variation * La fonction inverse est **strictement décroissante** sur l'intervalle \( ]-\\infty; 0[ \). * La fonction inverse est **strictement décroissante** sur l'intervalle \( ]0; +\\infty[ \). ##### Parité La fonction inverse est une **fonction impaire**, car pour tout \( x \in \mathbb{R}^* \), \( f(-x) = \frac{1}{-x} = -\frac{1}{x} = -f(x) \). Sa courbe est symétrique par rapport à l'origine \( (0,0) \). #### 4. La fonction racine carrée ##### Définition La fonction racine carrée est la fonction qui, à tout nombre réel positif \( x \), associe sa racine carrée \( \sqrt{x} \). Elle est définie par \[ f(x) = \sqrt{x} \] L'ensemble de définition est \( [0; +\\infty[ \) (tous les réels positifs ou nuls). ##### Représentation graphique La représentation graphique de la fonction racine carrée est une demi-parabole horizontale partant de l'origine \( (0,0) \). ##### Sens de variation * La fonction racine carrée est **strictement croissante** sur l'intervalle \( [0; +\\infty[ \). ### Vocabulaire * **Fonction:** Une relation qui associe à chaque élément d'un ensemble de départ (domaine) un seul élément d'un ensemble d'arrivée (codomaine). * **Ensemble de définition (ou domaine):** L'ensemble de toutes les valeurs possibles pour la variable \( x \) pour lesquelles la fonction est définie. * **Image:** La valeur \( f(x) \) associée à un \( x \) donné par la fonction. * **Antécédent:** La ou les valeurs de \( x \) qui donnent une image \( y \) spécifique (\( f(x)=y \)). * **Représentation graphique (ou courbe représentative):** L'ensemble de tous les points \( (x, f(x)) \) dans un repère cartésien. * **Courbe:** Nom générique pour la représentation graphique d'une fonction. * **Droite:** Représentation graphique d'une fonction affine. * **Parabole:** Représentation graphique de la fonction carré (ou de fonctions polynomiales du second degré). * **Hyperbole:** Représentation graphique de la fonction inverse. * **Variations:** Le comportement d'une fonction (croissante, décroissante, constante) sur un intervalle donné. * **Parité:** Propriété d'une fonction qui peut être paire (symétrique par rapport à l'axe des ordonnées) ou impaire (symétrique par rapport à l'origine). ### Exemples #### Exemple 1: Fonction affine Soit la fonction \( f(x) = 2x - 3 \). 1. Quel est son coefficient directeur ? Son ordonnée à l'origine ? * \( a = 2 \), \( b = -3 \). 2. Est-elle croissante ou décroissante ? * Puisque \( a=2 > 0 \), la fonction est strictement croissante. 3. Calculez \( f(0) \) et \( f(5) \). * \( f(0) = 2(0) - 3 = -3 \). * \( f(5) = 2(5) - 3 = 10 - 3 = 7 \). #### Exemple 2: Fonction carré Soit la fonction \( f(x) = x^2 \). 1. Calculez l'image de \( -4 \). * \( f(-4) = (-4)^2 = 16 \). 2. Quels sont les antécédents de \( 9 \)? * Nous cherchons \( x \) tel que \( x^2 = 9 \). Les solutions sont \( x = 3 \) et \( x = -3 \). #### Exemple 3: Fonction inverse Soit la fonction \( f(x) = \frac{1}{x} \). 1. Quel est son ensemble de définition ? * \( \mathbb{R}^* \) (\( x \neq 0 \)). 2. Calculez \( f(0.5) \). * \( f(0.5) = \frac{1}{0.5} = 2 \). 3. La fonction est-elle croissante sur \( ]0; +\\infty[ \) ? * Non, elle est strictement décroissante sur cet intervalle. #### Exemple 4: Fonction racine carrée Soit la fonction \( f(x) = \sqrt{x} \). 1. Quel est son ensemble de définition ? * \( [0; +\\infty[ \). 2. Calculez \( f(16) \) et \( f(0) \). * \( f(16) = \sqrt{16} = 4 \). * \( f(0) = \sqrt{0} = 0 \). ### Exercices 1. Pour chacune des fonctions suivantes, identifiez son type (affine, carré, inverse, racine carrée) et donnez son ensemble de définition: a) \( f(x) = 5 - 2x \) b) \( g(x) = x^2 + 1 \) c) \( h(x) = \frac{1}{x-3} \) d) \( k(x) = \sqrt{x+2} \) e) \( m(x) = 7 \) 2. Soit la fonction \( f(x) = 3x + 1 \). a) Calculez l'image de \( -2 \). b) Déterminez l'antécédent de \( 10 \). 3. La fonction \( f(x) = x^2 \) est-elle croissante sur \( [-5; -1] \) ? Justifiez votre réponse. 4. Vrai ou faux ? La courbe de la fonction \( f(x) = \frac{1}{x} \) passe par le point \( (0, 1) \). ### Devoirs 1. Tracez dans un même repère orthonormé les courbes représentatives des fonctions suivantes : a) \( f(x) = -x + 4 \) b) \( g(x) = x^2 \) c) \( h(x) = \frac{1}{x} \) (sur \( ]-\\infty; 0[ \) et \( ]0; +\\infty[ \)) d) \( k(x) = \sqrt{x} \) (sur \( [0; +\\infty[ \)) Décrivez pour chaque courbe le sens de variation et si elle possède un axe ou un centre de symétrie. 2. Résolvez les équations et inéquations suivantes : a) \( x^2 = 25 \) b) \( \frac{1}{x} > 2 \) c) \( \sqrt{x} = 3 \) d) \( -3x + 7 \le 1 \) 3. Une piscine est remplie à l'aide d'un tuyau. Le volume d'eau (en litres) en fonction du temps \( t \) (en minutes) est donné par \( V(t) = 50t \). Au bout de combien de temps la piscine contiendra-t-elle 1500 litres ? Quel type de fonction est \( V(t) \) ? ### Résumé Dans cette leçon, nous avons exploré les quatre fonctions usuelles principales : * **Fonction affine \( f(x) = ax+b \):** Sa courbe est une droite. Son sens de variation dépend du signe de \( a \). * **Fonction carré \( f(x) = x^2 \):** Sa courbe est une parabole. Elle est décroissante sur \( ]-\\infty; 0] \) et croissante sur \( [0; +\\infty[ \). Elle est paire. * **Fonction inverse \( f(x) = \frac{1}{x} \):** Sa courbe est une hyperbole. Elle est décroissante sur \( ]-\\infty; 0[ \) et sur \( ]0; +\\infty[ \). Elle est impaire et non définie en 0. * **Fonction racine carrée \( f(x) = \sqrt{x} \):** Sa courbe est une demi-parabole. Elle est définie et strictement croissante sur \( [0; +\\infty[ \). Ces fonctions sont fondamentales en mathématiques et leurs propriétés graphiques et algébriques doivent être maîtrisées pour la suite de votre parcours. Continuez à vous entraîner avec les exercices et n'hésitez pas à revoir les concepts clés si nécessaire.