Chap1: Calculs dans IR

# Chap1: Calculs dans IR ## ℝ et ses sous-ensembles ### Introduction Pourquoi étudier les différents types de nombres ? Pour comprendre le monde qui nous entoure ! Cette leçon vous introduira aux nombres réels et à leurs différentes familles, essentielles pour résoudre des problèmes en mathématiques et au-delà. ### Concepts Clés #### 1. Les Nombres Réels (ℝ) * Définition : L'ensemble de tous les nombres que l'on peut placer sur une droite numérique infinie. Ils incluent les nombres positifs, négatifs, les fractions, les décimales, etc. * Ils sont utilisés pour mesurer des grandeurs continues (longueurs, températures, temps). #### 2. Les Sous-ensembles des Nombres Réels ##### 2.1. Les Nombres Entiers Naturels (ℕ) * Définition : Ce sont les nombres utilisés pour compter. Ils sont positifs et sans partie décimale. * Exemples : \[ 0, 1, 2, 3, 10, 100 \] * Notation : \( \mathbb{N} \) ##### 2.2. Les Nombres Entiers Relatifs (ℤ) * Définition : Ce sont les nombres entiers naturels, leurs opposés (nombres négatifs), et zéro. * Exemples : \[ \dots, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, \dots \] * Notation : \( \mathbb{Z} \) ##### 2.3. Les Nombres Décimaux (𝔻) * Définition : Ce sont les nombres qui peuvent s'écrire sous la forme \( \frac{a}{10^n} \) où \( a \) est un entier relatif (\( a \in \mathbb{Z} \)) et \( n \) est un entier naturel (\( n \in \mathbb{N} \)). Leur écriture décimale a un nombre fini de chiffres après la virgule. * Exemples : \( 0.5 = \frac{5}{10} \), \( -2.75 = \frac{-275}{100} \), \( 3 = \frac{3}{10^0} \) * Notation : \( \mathbb{D} \) ##### 2.4. Les Nombres Rationnels (ℚ) * Définition : Ce sont les nombres qui peuvent s'écrire sous la forme d'une fraction \( \frac{a}{b} \) où \( a \) est un entier relatif (\( a \in \mathbb{Z} \)) et \( b \) est un entier relatif non nul (\( b \in \mathbb{Z}^* \)). Leur écriture décimale est soit finie, soit périodique. * Exemples : \( \frac{1}{3} = 0.333\dots \), \( \frac{-5}{2} = -2.5 \), \( 0.142857142857\dots = \frac{1}{7} \) * Notation : \( \mathbb{Q} \) ##### 2.5. Les Nombres Irrationnels * Définition : Ce sont des nombres réels qui ne peuvent pas s'écrire sous forme de fraction \( \frac{a}{b} \). Leur écriture décimale est infinie et non périodique. * Exemples : \( \pi \approx 3.14159265\dots \), \( \sqrt{2} \approx 1.41421356\dots \), \( \phi \) (le nombre d'or) * Ils appartiennent à \( \mathbb{R} \) mais pas à \( \mathbb{Q} \). #### 3. Relations d'Inclusion entre les Ensembles * Les ensembles de nombres sont emboîtés les uns dans les autres. * Tout nombre naturel est aussi un entier relatif, un décimal, un rationnel et un réel. * \[ \mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{D} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R} \] * Le symbole \( \subset \) signifie "est inclus dans". ### Vocabulaire * **Ensemble de nombres :** Une collection de nombres ayant des propriétés communes. * **Nombre naturel (\( \mathbb{N} \)) :** Nombres entiers positifs ou nuls (0, 1, 2, ...). * **Nombre entier relatif (\( \mathbb{Z} \)) :** Nombres entiers positifs, négatifs ou nuls (..., -1, 0, 1, ...). * **Nombre décimal (\( \mathbb{D} \)) :** Nombre dont l'écriture décimale a un nombre fini de chiffres après la virgule. * **Nombre rationnel (\( \mathbb{Q} \)) :** Nombre pouvant s'écrire comme une fraction d'entiers \( \frac{a}{b} \) avec \( b \neq 0 \). * **Nombre irrationnel :** Nombre réel qui ne peut pas s'écrire comme une fraction d'entiers. * **Nombre réel (\( \mathbb{R} \)) :** Tout nombre pouvant être représenté sur une droite numérique. * **Inclusion (\( \subset \)) :** Relation indiquant qu'un ensemble est une partie d'un autre. ### Exemples 1. **Classification de nombres :** * \( 7 \) : \( \in \mathbb{N}, \in \mathbb{Z}, \in \mathbb{D} (\text{car } \frac{7}{1}), \in \mathbb{Q} (\text{car } \frac{7}{1}), \in \mathbb{R} \) * \( -3 \) : \( \notin \mathbb{N}, \in \mathbb{Z}, \in \mathbb{D} (\text{car } \frac{-3}{1}), \in \mathbb{Q} (\text{car } \frac{-3}{1}), \in \mathbb{R} \) * \( 0.25 \) : \( \notin \mathbb{N}, \notin \mathbb{Z}, \in \mathbb{D} (\text{car } \frac{25}{100}), \in \mathbb{Q} (\text{car } \frac{1}{4}), \in \mathbb{R} \) * \( \frac{2}{3} \) : \( \notin \mathbb{N}, \notin \mathbb{Z}, \notin \mathbb{D} (\text{car } 0.666\dots), \in \mathbb{Q}, \in \mathbb{R} \) * \( \sqrt{9} \) : \( = 3 \), donc \( \in \mathbb{N}, \in \mathbb{Z}, \in \mathbb{D}, \in \mathbb{Q}, \in \mathbb{R} \) * \( \sqrt{5} \) : \( \notin \mathbb{N}, \notin \mathbb{Z}, \notin \mathbb{D}, \notin \mathbb{Q}, \in \mathbb{R} \) (nombre irrationnel) 2. **Représentation sur la droite numérique :** * Placez les nombres \( -2, 0, 1.5, \frac{1}{2}, \pi \) sur une droite numérique. * \( -2 \in \mathbb{Z} \), \( 0 \in \mathbb{N} \), \( 1.5 \in \mathbb{D} \), \( \frac{1}{2} \in \mathbb{D} \), \( \pi \) est irrationnel. ### Exercices 1. Pour chaque nombre ci-dessous, indiquez le plus petit ensemble de nombres auquel il appartient (\( \mathbb{N}, \mathbb{Z}, \mathbb{D}, \mathbb{Q}, \mathbb{R} \)) : * a) \( 12 \) * b) \( -7 \) * c) \( \frac{3}{4} \) * d) \( \sqrt{16} \) * e) \( 0.333\dots \) * f) \( \sqrt{3} \) * g) \( -2.5 \) 2. Vrai ou Faux? Justifiez votre réponse. * a) Tout nombre entier naturel est un nombre rationnel. * b) Tout nombre décimal est un nombre entier relatif. * c) L'ensemble des nombres irrationnels est un sous-ensemble de \( \mathbb{Q} \). * d) \( -5 \in \mathbb{N} \) * e) \( \frac{1}{2} \in \mathbb{D} \) 3. Donnez un exemple de nombre qui appartient à \( \mathbb{Q} \) mais pas à \( \mathbb{D} \). 4. Donnez un exemple de nombre qui appartient à \( \mathbb{R} \) mais pas à \( \mathbb{Q} \). ### Devoirs 1. Complétez le tableau suivant en cochant la ou les bonnes cases : | Nombre | \( \mathbb{N} \) | \( \mathbb{Z} \) | \( \mathbb{D} \) | \( \mathbb{Q} \) | \( \mathbb{R} \) | | :---------------- | :---------------: | :---------------: | :---------------: | :---------------: | :---------------: | | \( -10 \) | | X | X | X | X | | \( 0 \) | X | X | X | X | X | | \( \frac{1}{4} \) | | | X | X | X | | \( 1.7 \) | | | X | X | X | | \( \sqrt{7} \) | | | | | X | | \( \frac{1}{3} \) | | | | X | X | | \( 10^2 \) | X | X | X | X | X | | \( -\frac{9}{3} \) | | X | X | X | X | 2. Rangez les nombres suivants dans l'ordre croissant : \( -3, \sqrt{2}, 0, -\frac{5}{2}, \frac{7}{4}, \pi \). Indiquez à quel ensemble de nombres appartient chaque nombre. 3. Trouvez un nombre décimal entre \( \frac{1}{3} \) et \( \frac{1}{2} \). 4. Expliquez avec vos propres mots la différence entre un nombre rationnel et un nombre irrationnel. Donnez un exemple pour chacun. ### Résumé Nous avons exploré les différents ensembles de nombres : * Les **Nombres Naturels (\( \mathbb{N} \))** pour compter. * Les **Nombres Entiers Relatifs (\( \mathbb{Z} \))** incluant les nombres négatifs. * Les **Nombres Décimaux (\( \mathbb{D} \))** avec un nombre fini de chiffres après la virgule. * Les **Nombres Rationnels (\( \mathbb{Q} \))** qui peuvent s'écrire comme une fraction d'entiers. * Les **Nombres Irrationnels** qui sont réels mais non rationnels (décimales infinies non périodiques). * L'ensemble des **Nombres Réels (\( \mathbb{R} \))** qui englobe tous ces ensembles. * La relation d'inclusion : \[ \mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{D} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R} \] Comprendre ces distinctions est fondamental pour toutes les futures notions mathématiques. ## Opérations dans ℝ ### Introduction Bienvenue dans ce chapitre sur les calculs dans l'ensemble des nombres réels, noté ℝ. Les nombres réels sont la base de la plupart des calculs en mathématiques, en sciences et dans la vie quotidienne. Dans cette leçon, nous allons revoir et approfondir les quatre opérations fondamentales - l'addition, la soustraction, la multiplication et la division - ainsi que leurs propriétés et la priorité des opérations. Une bonne maîtrise de ces concepts est essentielle pour aborder les chapitres futurs. ### Concepts Clés #### Rappel sur l'ensemble des nombres réels (ℝ) L'ensemble ℝ comprend tous les nombres qui peuvent être représentés sur une droite numérique. Il inclut : * Les nombres entiers (\( ..., -2, -1, 0, 1, 2, ... \)) * Les nombres décimaux (\( 0.5, -3.25 \)) * Les nombres rationnels (qui peuvent s'écrire sous forme de fraction \( rac{a}{b} \) où \( a \) est un entier et \( b \) un entier non nul, comme \( rac{1}{3}, rac{7}{2} \)) * Les nombres irrationnels (qui ne peuvent pas s'écrire sous forme de fraction et ont un développement décimal illimité et non périodique, comme \( \sqrt{2} \) ou \( \pi \)) #### Opérations de base dans ℝ ##### Addition et Soustraction * **Définition :** L'addition combine deux nombres pour obtenir leur somme. La soustraction est l'opération inverse de l'addition. * **Propriétés :** * **Commutativité :** L'ordre des termes n'affecte pas la somme. \[ a + b = b + a \] * **Associativité :** L'ordre dans lequel les additions sont effectuées n'affecte pas la somme. \[ (a + b) + c = a + (b + c) \] * **Élément neutre :** Zéro est l'élément neutre de l'addition. \[ a + 0 = a \] * **Opposé :** Chaque nombre \( a \) a un opposé \( -a \) tel que \( a + (-a) = 0 \). * **Règles des signes :** * \( (+) + (+) = (+) \) * \( (-) + (-) = (-) \) * \( (+) + (-) \) ou \( (-) + (+) \) : le signe est celui du nombre ayant la plus grande valeur absolue. ##### Multiplication * **Définition :** La multiplication combine deux nombres (facteurs) pour obtenir leur produit. * **Propriétés :** * **Commutativité :** L'ordre des facteurs n'affecte pas le produit. \[ a \times b = b \times a \] * **Associativité :** L'ordre dans lequel les multiplications sont effectuées n'affecte pas le produit. \[ (a \times b) \times c = a \times (b \times c) \] * **Élément neutre :** Un est l'élément neutre de la multiplication. \[ a \times 1 = a \] * **Élément absorbant :** Zéro est l'élément absorbant de la multiplication. \[ a \times 0 = 0 \] * **Distributivité :** La multiplication est distributive par rapport à l'addition et à la soustraction. \[ a \times (b + c) = a \times b + a \times c \] * **Règles des signes :** * \( (+) \times (+) = (+) \) * \( (-) \times (-) = (+) \) * \( (+) \times (-) = (-) \) * \( (-) \times (+) = (-) \) ##### Division * **Définition :** La division est l'opération inverse de la multiplication. Diviser par un nombre non nul revient à multiplier par son inverse. * Pour tout nombre réel \( a \) et tout nombre réel non nul \( b \) : \[ \frac{a}{b} = a \times \frac{1}{b} \] * **Inverse :** Pour tout nombre réel non nul \( a \), son inverse est \( rac{1}{a} \) tel que \( a \times \frac{1}{a} = 1 \). * **Attention :** La division par zéro est *impossible* ou *non définie*. #### Priorité des opérations (PEMDAS/BODMAS) Pour les expressions comportant plusieurs opérations, l'ordre est crucial. On suit l'ordre suivant : 1. **P**arenthèses (ou crochets) 2. **E**xposants (ou puissances) 3. **M**ultiplication et **D**ivision (de gauche à droite) 4. **A**ddition et **S**oustraction (de gauche à droite) #### Calcul avec des fractions Soient \( a, b, c, d \) des nombres réels avec \( b \neq 0 \) et \( d \neq 0 \). * **Addition/Soustraction :** Nécessite un dénominateur commun. \[ \frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{ad + bc}{bd} \] * **Multiplication :** Multiplier les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux. \[ \frac{a}{b} \times \frac{c}{d} = \frac{ac}{bd} \] * **Division :** Multiplier par l'inverse de la deuxième fraction. \[ \frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \times \frac{d}{c} = \frac{ad}{bc} \] (avec \( c \neq 0 \)) #### Calcul avec des racines carrées Pour \( a \ge 0 \) et \( b \ge 0 \) : * **Produit :** \[ \sqrt{a \times b} = \sqrt{a} \times \sqrt{b} \] * **Quotient :** \[ \sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} \] (avec \( b > 0 \)) * **Simplification :** Chercher les facteurs carrés dans le nombre sous le radical. Par exemple, \( \sqrt{12} = \sqrt{4 \times 3} = \sqrt{4} \times \sqrt{3} = 2\sqrt{3} \). ### Vocabulaire * **Nombre réel (ℝ) :** Tout nombre pouvant être placé sur une droite numérique. * **Nombre rationnel :** Nombre qui peut s'écrire comme une fraction de deux entiers. * **Nombre irrationnel :** Nombre réel qui ne peut pas s'écrire comme une fraction de deux entiers (ex: \( \sqrt{2} \), \( \pi \)). * **Opposé :** L'opposé d'un nombre \( a \) est \( -a \). * **Inverse :** L'inverse d'un nombre non nul \( a \) est \( rac{1}{a} \). * **Commutativité :** Propriété selon laquelle l'ordre des opérandes ne change pas le résultat (addition, multiplication). * **Associativité :** Propriété selon laquelle le regroupement des opérandes ne change pas le résultat (addition, multiplication). * **Distributivité :** Propriété qui lie la multiplication et l'addition/soustraction (ex: \( a(b+c) = ab+ac \)). * **Priorité des opérations :** L'ordre établi pour effectuer les calculs dans une expression. * **Fraction irréductible :** Fraction dont le numérateur et le dénominateur n'ont pas de diviseur commun autre que 1. * **Radical / Racine carrée :** Symbole \( \sqrt{} \) désignant la racine carrée d'un nombre. ### Exemples #### Exemple 1: Priorité des opérations Calculez l'expression : \( 5 + 3 \times (7 - 2) - 10 \div 2 \) 1. Parenthèses : \( 7 - 2 = 5 \) L'expression devient : \( 5 + 3 \times 5 - 10 \div 2 \) 2. Multiplication et Division (de gauche à droite) : \( 3 \times 5 = 15 \) \( 10 \div 2 = 5 \) L'expression devient : \( 5 + 15 - 5 \) 3. Addition et Soustraction (de gauche à droite) : \( 5 + 15 = 20 \) \( 20 - 5 = 15 \) Donc, \( 5 + 3 \times (7 - 2) - 10 \div 2 = 15 \). #### Exemple 2: Calcul avec des fractions Calculez : \( \frac{2}{3} + \frac{1}{4} - \frac{1}{2} \) 1. Trouver un dénominateur commun (PPCM de 3, 4, 2 est 12) : \( \frac{2 \times 4}{3 \times 4} + \frac{1 \times 3}{4 \times 3} - \frac{1 \times 6}{2 \times 6} \) \( = \frac{8}{12} + \frac{3}{12} - \frac{6}{12} \) 2. Effectuer les additions et soustractions : \( = \frac{8 + 3 - 6}{12} = \frac{11 - 6}{12} = \frac{5}{12} \) #### Exemple 3: Calcul avec des racines carrées Simplifiez l'expression : \( 3\sqrt{2} + \sqrt{18} - \sqrt{50} \) 1. Simplifier chaque terme si possible : \( \sqrt{18} = \sqrt{9 \times 2} = \sqrt{9} \times \sqrt{2} = 3\sqrt{2} \) \( \sqrt{50} = \sqrt{25 \times 2} = \sqrt{25} \times \sqrt{2} = 5\sqrt{2} \) 2. Substituer les termes simplifiés dans l'expression : \( 3\sqrt{2} + 3\sqrt{2} - 5\sqrt{2} \) 3. Combiner les termes semblables : \( (3 + 3 - 5)\sqrt{2} = (6 - 5)\sqrt{2} = 1\sqrt{2} = \sqrt{2} \) ### Exercices (à faire en classe) 1. Calculez : a) \( -7 + 12 - (-3) \) b) \( 4 \times (-5) + 20 \div (-4) \) c) \( 15 - [3 \times (6 - 8) + 1] \) 2. Effectuez les calculs et donnez le résultat sous forme de fraction irréductible : a) \( \frac{3}{5} - \frac{1}{10} \) b) \( \frac{2}{7} \times \frac{14}{3} \) c) \( (\frac{1}{3} + \frac{1}{6}) \div \frac{5}{2} \) 3. Simplifiez les expressions suivantes : a) \( \sqrt{48} \) b) \( 5\sqrt{7} - \sqrt{28} \) c) \( \frac{\sqrt{72}}{\sqrt{8}} \) ### Devoir (à faire à la maison) 1. Calculez les expressions suivantes en détaillant chaque étape : a) \( -1.5 + 2.3 - (4.7 - 6.1) \) b) \( 2.5 \times (-4) - 15 \div (-3) + 7 \) c) \( [18 \div (-6) + 2] \times (5 - 3 \times 2) \) 2. Effectuez les calculs et exprimez les résultats sous forme de fraction irréductible : a) \( \frac{5}{6} + \frac{3}{4} - \frac{1}{12} \) b) \( \frac{9}{8} \div (\frac{3}{2} \times \frac{1}{4}) \) c) \( (\frac{2}{5} - 1) \times (\frac{3}{4} + \frac{1}{2}) \) 3. Simplifiez au maximum les expressions avec des racines carrées : a) \( \sqrt{75} + 2\sqrt{3} - \sqrt{12} \) b) \( (\sqrt{5} + \sqrt{2})(\sqrt{5} - \sqrt{2}) \) c) \( \frac{10}{\sqrt{2}} \) (rendre le dénominateur rationnel) ### Résumé Dans cette leçon, nous avons revu les fondamentaux des opérations dans l'ensemble des nombres réels (ℝ). Il est crucial de maîtriser : * Les propriétés de l'addition, de la soustraction, de la multiplication et de la division (commutativité, associativité, distributivité, élément neutre, opposé, inverse). * Les règles des signes pour les multiplications et divisions. * L'ordre de priorité des opérations (PEMDAS/BODMAS) pour résoudre des expressions complexes de manière cohérente. * Les techniques de calcul avec des fractions (dénominateur commun, multiplication des numérateurs/dénominateurs, multiplication par l'inverse). * La simplification et les opérations de base avec les racines carrées. Une solide compréhension de ces concepts est la clé de votre succès en mathématiques et dans les sciences. Continuez à pratiquer pour renforcer vos compétences ! ## Comparaisons dans ℝ et PGCD de deux entiers naturels ### Introduction Dans ce chapitre, nous allons approfondir notre compréhension des nombres réels en apprenant à les comparer et à manipuler les inégalités. Nous étudierons également la notion de valeur absolue. Une deuxième partie sera consacrée aux entiers naturels, avec la découverte du Plus Grand Commun Diviseur (PGCD), un outil essentiel en arithmétique qui permet notamment de simplifier des fractions et de résoudre des problèmes de partage. ### Concepts Clés #### 1. Comparaison de nombres réels Comparer deux nombres réels \( a \) et \( b \), c'est déterminer si \( a < b \), \( a > b \) ou \( a = b \). * **Définition de l'ordre sur ℝ:** * \( a < b \) signifie que \( a - b < 0 \). * \( a > b \) signifie que \( a - b > 0 \). * \( a eq b \) signifie que \( a < b \) ou \( a > b \). * **Propriétés des inégalités:** * **Addition/Soustraction:** Si \( a \[ T^2 = \frac{4\pi^2}{GM} r^3 \] < b \), alors pour tout réel \( c \), \( a+c < b+c \) et \( a-c < b-c \). * **Multiplication/Division:** * Si \( a < b \) et \( c > 0 \), alors \( ac < bc \) et \( \frac{a}{c} < \frac{b}{c} \). * Si \( a < b \) et \( c < 0 \), alors \( ac > bc \) et \( \frac{a}{c} > \frac{b}{c} \) (l'ordre change de sens). * **Intervalles de ℝ:** Un intervalle est un sous-ensemble de nombres réels représenté sur une droite numérique. * **Intervalle fermé:** \( [a, b] = \{x \in \mathbb{R} \mid a \[ T^2 = \frac{4\pi^2}{GM} r^3 \] \[ T^2 = \frac{4\pi^2}{GM} r^3 \] x \[ T^2 = \frac{4\pi^2}{GM} r^3 \] b\} \) * **Intervalle ouvert:** \( ]a, b[ = \{x \in \mathbb{R} \mid a < x < b\} \) * **Intervalle semi-ouvert/fermé:** \( [a, b[ \) ou \( ]a, b] \) * **Intervalles non bornés:** * \( [a, +\[ infty[ = \{x \in \mathbb{R} \mid x \ge a\} \) * \( ]-\[ infty, b] = \{x \in \mathbb{R} \mid x \le b\} \) * \( ]-\[ infty, +\[ infty[ = \mathbb{R} \) #### 2. Valeur absolue La valeur absolue d'un nombre réel \( x \), notée \( |x| \), est la distance entre ce nombre et zéro sur la droite numérique. Elle est toujours positive ou nulle. * **Définition:** \[ |x| = \begin{cases} x & \text{si } x \ge 0 \\ -x & \text{si } x < 0 \end{cases} \] * **Propriétés:** * \( |x| \ge 0 \) * \( |-x| = |x| \) * \( |xy| = |x||y| \) * \( |\frac{x}{y}| = \frac{|x|}{|y|} \) (pour \( y \neq 0 \)) * \( \sqrt{x^2} = |x| \) * La distance entre deux réels \( a \) et \( b \) est \( |b-a| \). * \( |x| \le k \) équivaut à \( -k \le x \le k \) (avec \( k \ge 0 \)) * \( |x| \ge k \) équivaut à \( x \le -k \) ou \( x \ge k \) (avec \( k \ge 0 \)) #### 3. PGCD de deux entiers naturels Le Plus Grand Commun Diviseur (PGCD) de deux entiers naturels non nuls \( a \) et \( b \) est le plus grand nombre entier qui divise à la fois \( a \) et \( b \). * **Diviseurs d'un entier naturel:** Un entier \( d \) est un diviseur de \( n \) si la division euclidienne de \( n \) par \( d \) donne un reste de zéro. * **Méthodes pour calculer le PGCD:** * **Liste des diviseurs:** Lister tous les diviseurs de chaque nombre, puis identifier le plus grand commun. * **Décomposition en facteurs premiers:** Décomposer chaque nombre en produit de facteurs premiers. Le PGCD est le produit des facteurs premiers communs, affectés de leur plus petite puissance. * **Algorithme d'Euclide:** Cette méthode utilise des divisions euclidiennes successives. * Pour trouver \( PGCD(a,b) \) avec \( a > b \): * Diviser \( a \) par \( b \): \( a = bq_1 + r_1 \). Si \( r_1 = 0 \), alors \( PGCD(a,b) = b \). * Si \( r_1 eq 0 \), diviser \( b \) par \( r_1 \): \( b = r_1q_2 + r_2 \). * Continuer jusqu'à ce que le reste soit \( 0 \). Le PGCD est le dernier reste non nul. * **Propriété fondamentale:** \( PGCD(a,b) = PGCD(b, r_1) \). * **Nombres premiers entre eux:** Deux entiers naturels \( a \) et \( b \) sont dits premiers entre eux si leur PGCD est égal à 1 (\( PGCD(a,b) = 1 \)). ### Vocabulaire * **Inégalité:** Relation qui établit un ordre entre deux valeurs.\n* **Intervalle:** Ensemble de nombres réels compris entre deux bornes.\n* **Valeur absolue:** Distance d'un nombre à zéro sur la droite numérique.\n* **Diviseur:** Nombre qui divise un autre nombre sans laisser de reste.\n* **Multiple:** Nombre qui est le produit d'un entier par un autre entier.\n* **Nombre premier:** Entier naturel supérieur à 1 qui n'a que deux diviseurs distincts : 1 et lui-même.\n* **PGCD (Plus Grand Commun Diviseur):** Le plus grand nombre entier qui divise deux ou plusieurs entiers naturels donnés.\n* **Nombres premiers entre eux:** Deux nombres dont le PGCD est 1.\n* **Algorithme d'Euclide:** Méthode systématique pour trouver le PGCD de deux nombres. ### Exemples #### Exemple 1: Comparaisons et Intervalles 1. Comparer \( \sqrt{3} + 2 \) et \( 4 - \sqrt{3} \). * Calculons la différence: \( ( \sqrt{3} + 2) - (4 - \sqrt{3}) = \sqrt{3} + 2 - 4 + \sqrt{3} = 2 \sqrt{3} - 2 \). * Puisque \( \sqrt{3} \approx 1.732 \), \( 2 \sqrt{3} \approx 3.464 \). Donc \( 2 \sqrt{3} - 2 \approx 1.464 > 0 \). * Conclusion: \( \sqrt{3} + 2 > 4 - \sqrt{3} \). 2. Résoudre l'inéquation \( 3x - 5 < x + 3 \). * \( 3x - x < 3 + 5 \) * \( 2x < 8 \) * \( x < 4 \) * La solution est l'intervalle \( ]-\[ infty, 4[ \). #### Exemple 2: Valeur absolue 1. Calculer \( |-7| \) et \( |12 - 5| \). * \( |-7| = 7 \). * \( |12 - 5| = |7| = 7 \). 2. Résoudre l'équation \( |x-3| = 2 \). * Cela signifie que la distance entre \( x \) et 3 est 2. * \( x-3 = 2 \) ou \( x-3 = -2 \). * \( x = 5 \) ou \( x = 1 \). * Les solutions sont \( 1 \) et \( 5 \). #### Exemple 3: PGCD 1. Trouver \( PGCD(36, 48) \) en listant les diviseurs. * Diviseurs de 36: \( \{1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36\} \) * Diviseurs de 48: \( \{1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48\} \) * Diviseurs communs: \( \{1, 2, 3, 4, 6, 12\} \) * Le plus grand est 12. Donc \( PGCD(36, 48) = 12 \). 2. Calculer \( PGCD(105, 45) \) avec l'algorithme d'Euclide. * \( 105 = 2 imes 45 + 15 \) * \( 45 = 3 imes 15 + 0 \) * Le dernier reste non nul est 15. Donc \( PGCD(105, 45) = 15 \). 3. Simplifier la fraction \( \frac{45}{105} \). * Nous avons trouvé \( PGCD(105, 45) = 15 \). * \( \frac{45}{105} = \frac{45 \div 15}{105 \div 15} = \frac{3}{7} \). ### Exercices 1. Ordonnez les nombres suivants par ordre croissant: \( -3.5 \), \( \sqrt{7} \), \( - \frac{10}{3} \), \( 2.8 \). 2. Représentez sur une droite numérique l'intervalle \( ]-3, 5] \) et l'intervalle \( [-1, 6[ \). Donnez l'intersection et l'union de ces deux intervalles. 3. Résolvez les inéquations suivantes et donnez l'ensemble des solutions sous forme d'intervalle: a. \( 4x + 7 \ge 15 \) b. \( 2(x - 1) < 5x + 4 \) 4. Calculez: a. \( |-9 + 2| \) b. \( |- \sqrt{5}| \) 5. Résolvez les équations et inéquations suivantes: a. \( |x+4| = 7 \) b. \( |x-1| \le 3 \) 6. Trouvez le PGCD des paires de nombres suivantes en utilisant la méthode de votre choix: a. \( PGCD(54, 72) \) b. \( PGCD(120, 28) \) 7. Déterminez si les nombres 35 et 88 sont premiers entre eux. 8. Simplifiez la fraction \( \frac{60}{144} \) en la rendant irréductible. ### Devoir Maison 1. Résolvez l'inéquation \( (x-3)(x+2) > x^2 + 1 \). Donnez la solution sous forme d'intervalle. 2. On considère l'expression \( A = |x-5| + |x+2| \). a. Calculez \( A \) pour \( x = 4 \) et pour \( x = -3 \). b. Sans utiliser de valeur absolue, écrivez \( A \) en fonction de \( x \) sur les intervalles \( ]-\[ infty, -2[ \), \( [-2, 5[ \) et \( [5, +\[ infty[ \). 3. Un chocolatier dispose de 288 chocolats noirs et 168 chocolats au lait. Il souhaite confectionner des ballotins identiques, contenant chacun le même nombre de chocolats noirs et le même nombre de chocolats au lait, et utiliser tous les chocolats. a. Quel est le nombre maximal de ballotins qu'il peut réaliser? b. Quelle sera alors la composition de chaque ballotin? 4. Deux nombres sont tels que leur somme est 120 et leur PGCD est 15. Quels peuvent être ces deux nombres? (Indice: Cherchez \( a' \) et \( b' \) tels que \( a=15a' \) et \( b=15b' \) avec \( a' \) et \( b' \) premiers entre eux). ### Résumé Ce chapitre nous a permis de consolider nos compétences en manipulation des nombres réels et des entiers naturels. * Nous avons appris à **comparer** des nombres réels en étudiant le signe de leur différence, et à résoudre des inéquations. Les **intervalles** sont un moyen pratique de représenter des ensembles de solutions. * La **valeur absolue** mesure la distance d'un nombre à zéro et est cruciale pour résoudre certains types d'équations et d'inéquations. * Pour les entiers naturels, nous avons découvert le **PGCD** (Plus Grand Commun Diviseur), un concept fondamental pour simplifier les fractions et résoudre des problèmes arithmétiques, notamment grâce à l'**algorithme d'Euclide**. Nous avons aussi défini ce que sont les **nombres premiers entre eux**. ## Valeurs absolues ### Introduction Dans le chapitre précédent, nous avons révisé les calculs dans l'ensemble des nombres réels \( \mathbb{R} \). Aujourd'hui, nous allons introduire une notion fondamentale en mathématiques : la valeur absolue. La valeur absolue d'un nombre est un concept simple mais puissant, qui nous aide à comprendre la notion de distance sur la droite numérique. Elle est essentielle pour résoudre certains types d'équations et d'inéquations, et pour manipuler des expressions mathématiques. ### Concepts Clés #### 1. Définition de la valeur absolue La valeur absolue d'un nombre réel \( x \), notée \( |x| \), est la distance entre ce nombre et zéro sur la droite numérique. Elle est toujours positive ou nulle. Plus formellement, la valeur absolue de \( x \) est définie comme suit : - Si \( x \ge 0 \), alors \( |x| = x \). - Si \( x < 0 \), alors \( |x| = -x \). Exemples : - \( |5| = 5 \) (car 5 est positif) - \( |-5| = -(-5) = 5 \) (car -5 est négatif) - \( |0| = 0 \) La valeur absolue d'un nombre nous donne toujours sa "taille" ou son "amplitude" sans tenir compte de son signe. #### 2. Propriétés de la valeur absolue La valeur absolue possède plusieurs propriétés importantes : - **Non-négativité :** Pour tout nombre réel \( x \), \( |x| \ge 0 \). - **Nullité :** \( |x| = 0 \) si et seulement si \( x = 0 \). - **Symétrie :** Pour tout nombre réel \( x \), \( |x| = |-x| \). - **Produit :** Pour tous nombres réels \( x \) et \( y \), \( |xy| = |x||y| \). - **Quotient :** Pour tous nombres réels \( x \) et \( y \) (avec \( y \ne 0 \)), \( \left|\frac{x}{y}\right| = \frac{|x|}{|y|} \). - **Inégalité triangulaire :** Pour tous nombres réels \( x \) et \( y \), \( |x+y| \le |x|+|y| \). - **Racine carrée :** Pour tout nombre réel \( x \), \( \sqrt{x^2} = |x| \). #### 3. Distance entre deux nombres réels La distance entre deux nombres réels \( a \) et \( b \) sur la droite numérique est donnée par la valeur absolue de leur différence. C'est-à-dire : \[ d(a,b) = |b-a| \] ou de manière équivalente : \[ d(a,b) = |a-b| \] Exemples : - La distance entre 2 et 7 est \( |7-2| = |5| = 5 \). - La distance entre -3 et 4 est \( |4-(-3)| = |4+3| = |7| = 7 \). - La distance entre -1 et -5 est \( |-5-(-1)| = |-5+1| = |-4| = 4 \). #### 4. Résolution d'équations et d'inéquations avec valeurs absolues La valeur absolue est souvent utilisée dans les équations et inéquations. Voici les cas les plus courants (avec \( a > 0 \)) : - **Équation \( |x| = a \) :** Cela signifie que \( x \) est à une distance de \( a \) de zéro. Il y a donc deux solutions possibles : \( x = a \) ou \( x = -a \). - **Inéquation \( |x| < a \) :** Cela signifie que \( x \) est à une distance de zéro strictement inférieure à \( a \). Les solutions sont les nombres \( x \) tels que \( -a < x < a \). L'ensemble des solutions est l'intervalle ouvert \( ]-a, a[ \). - **Inéquation \( |x| \le a \) :** Cela signifie que \( x \) est à une distance de zéro inférieure ou égale à \( a \). Les solutions sont les nombres \( x \) tels que \( -a \le x \le a \). L'ensemble des solutions est l'intervalle fermé \( [-a, a] \). - **Inéquation \( |x| > a \) :** Cela signifie que \( x \) est à une distance de zéro strictement supérieure à \( a \). Les solutions sont les nombres \( x \) tels que \( x < -a \) ou \( x > a \). L'ensemble des solutions est \( ]-\infty, -a[ \cup ]a, +\infty[ \). - **Inéquation \( |x| \ge a \) :** Cela signifie que \( x \) est à une distance de zéro supérieure ou égale à \( a \). Les solutions sont les nombres \( x \) tels que \( x \le -a \) ou \( x \ge a \). L'ensemble des solutions est \( ]-\infty, -a] \cup [a, +\infty[ \). ### Vocabulaire - **Valeur absolue :** La distance d'un nombre à zéro sur la droite numérique. Toujours positive ou nulle. - **Distance entre deux nombres :** La valeur absolue de leur différence. - **Inégalité triangulaire :** Une propriété importante de la valeur absolue qui énonce que \( |x+y| \le |x|+|y| \). - **Opposé :** Si \( x \) est un nombre, son opposé est \( -x \). Par exemple, l'opposé de 5 est -5. ### Exemples 1. **Calculer des valeurs absolues :** - \( |-7| = 7 \) - \( |4.5| = 4.5 \) - \( |0| = 0 \) - \( |rac{3}{4}| = rac{3}{4} \) - \( |\pi - 3| = \pi - 3 \) (car \( \pi \approx 3.14 \), donc \( \pi - 3 \) est positif) - \( |\sqrt{2} - 2| = -(\sqrt{2} - 2) = 2 - \sqrt{2} \) (car \( \sqrt{2} \approx 1.41 \), donc \( \sqrt{2} - 2 \) est négatif) 2. **Vérifier une propriété :** - Soient \( x=2 \) et \( y=-3 \). \( |xy| = |2 \times (-3)| = |-6| = 6 \). \( |x||y| = |2| \times |-3| = 2 \times 3 = 6 \). On a bien \( |xy| = |x||y| \). - Soient \( x=2 \) et \( y=-5 \). \( |x+y| = |2+(-5)| = |-3| = 3 \). \( |x|+|y| = |2|+|-5| = 2+5 = 7 \). On a bien \( |x+y| \le |x|+|y| \) car \( 3 \le 7 \). 3. **Calculer des distances :** - La distance entre 8 et -3 est \( |-3-8| = |-11| = 11 \) ou \( |8-(-3)| = |11| = 11 \). - La distance entre \( \frac{1}{2} \) et \( \frac{3}{4} \) est \( |\frac{3}{4} - \frac{1}{2}| = |\frac{3}{4} - \frac{2}{4}| = |\frac{1}{4}| = \frac{1}{4} \). 4. **Résoudre une équation :** - Résoudre \( |x-1|=4 \) Cela signifie que \( x-1 = 4 \) ou \( x-1 = -4 \). Si \( x-1=4 \), alors \( x=5 \). Si \( x-1=-4 \), alors \( x=-3 \). Les solutions sont \( S = \{-3, 5\} \). 5. **Résoudre une inéquation :** - Résoudre \( |2x+3| \le 5 \) Cela signifie que \( -5 \le 2x+3 \le 5 \). On sépare en deux inéquations : 1) \( -5 \le 2x+3 \implies -5-3 \le 2x \implies -8 \le 2x \implies -4 \le x \). 2) \( 2x+3 \le 5 \implies 2x \le 5-3 \implies 2x \le 2 \implies x \le 1 \). Les solutions sont les nombres \( x \) tels que \( -4 \le x \le 1 \). L'ensemble des solutions est \( S = [-4, 1] \). - Résoudre \( |x+2| > 3 \) Cela signifie que \( x+2 < -3 \) ou \( x+2 > 3 \). 1) \( x+2 < -3 \implies x < -3-2 \implies x < -5 \). 2) \( x+2 > 3 \implies x > 3-2 \implies x > 1 \). Les solutions sont \( x < -5 \) ou \( x > 1 \). L'ensemble des solutions est \( S = ]-\infty, -5[ \cup ]1, +\infty[ \). ### Exercices 1. **Calculer les valeurs absolues suivantes :** a) \( |10| \) b) \( |-12| \) c) \( |\frac{2}{3}| \) d) \( |-\frac{5}{7}| \) e) \( |4 - \sqrt{10}| \) (sachant que \( \sqrt{10} \approx 3.16 \)) 2. **Calculer la distance entre les paires de nombres suivantes :** a) 5 et 13 b) -2 et 6 c) -8 et -3 d) \( -\frac{1}{3} \) et \( \frac{1}{2} \) 3. **Résoudre les équations suivantes :** a) \( |x| = 7 \) b) \( |x+5| = 2 \) c) \( |2x-1| = 9 \) 4. **Résoudre les inéquations suivantes et donner l'ensemble des solutions sous forme d'intervalle :** a) \( |x| < 3 \) b) \( |x| \ge 5 \) c) \( |3x-1| < 7 \) d) \( |4-x| \ge 1 \) ### Devoir 1. **Trouver tous les nombres réels \( x \) qui vérifient :** a) La distance entre \( x \) et 3 est égale à 5. b) La distance entre \( x \) et -2 est inférieure ou égale à 4. 2. **Déterminer l'ensemble des points M d'abscisse \( x \) sur la droite numérique tels que :** a) \( |x-3| \le 2 \) b) \( |x+1| > 4 \) 3. **Résoudre l'équation suivante :** \( |x^2-4| = 0 \) Donner une interprétation géométrique pour les solutions. 4. **Sans calculer la valeur exacte, comparer \( |x+y| \) et \( |x|+|y| \) pour les cas suivants :** a) \( x = 5 \) et \( y = 3 \) b) \( x = -5 \) et \( y = -3 \) c) \( x = 5 \) et \( y = -3 \) ### Résumé La valeur absolue d'un nombre \( x \), notée \( |x| \), est sa distance à zéro sur la droite numérique. Elle est définie comme \( x \) si \( x \ge 0 \) et \( -x \) si \( x < 0 \). Elle est toujours positive ou nulle. Les propriétés clés incluent \( |x|=|-x| \), \( |xy|=|x||y| \), et l'inégalité triangulaire \( |x+y| \le |x|+|y| \). La distance entre deux nombres \( a \) et \( b \) est donnée par \( |a-b| \). Pour résoudre des équations et inéquations impliquant la valeur absolue (pour \( a > 0 \)) : - \( |x|=a \) équivaut à \( x=a \) ou \( x=-a \). - \( |x|<a \) équivaut à \( -a < x < a \). - \( |x|>a \) équivaut à \( x < -a \) ou \( x > a \). La maîtrise de la valeur absolue est fondamentale pour la suite de votre parcours en mathématiques. ## Puissances ### Introduction Bienvenue dans ce chapitre dédié aux puissances ! Les puissances sont un outil fondamental en mathématiques qui permet de simplifier l'écriture de multiplications répétées. Elles sont omniprésentes en sciences, en ingénierie et même dans la vie de tous les jours (par exemple, pour exprimer de très grands ou de très petits nombres). Comprendre les règles de calcul des puissances vous donnera une base solide pour de nombreux concepts futurs. ### Concepts Clés #### 1. Définition d'une puissance Une puissance est une manière abrégée d'écrire une multiplication répétée du même nombre. * **Notation :** `\( a^n \)` se lit "a puissance n" ou "a exposant n". * `\( a \)` est la **base** (le nombre qui est multiplié). * `\( n \)` est l'**exposant** (le nombre de fois que la base est multipliée par elle-même). * **Formule :** \[ a^n = \underbrace{a \times a \times ... \times a}_{n\text{ fois}} \] **Exemple :** * `\( 2^3 = 2 \times 2 \times 2 = 8 \) * `\( (-3)^2 = (-3) \times (-3) = 9 \) * `\( (1/2)^4 = (1/2) \times (1/2) \times (1/2) \times (1/2) = 1/16 \) #### 2. Cas Particuliers Certaines puissances ont des définitions spécifiques ou des propriétés importantes : * **Exposant 1 :** Tout nombre élevé à la puissance 1 est égal à lui-même. * `\( a^1 = a \)` * **Exemple :** `\( 7^1 = 7 \)` * **Exposant 0 :** Tout nombre non nul élevé à la puissance 0 est égal à 1. * `\( a^0 = 1 \)` (pour `\( a \neq 0 \)`) * **Exemple :** `\( 5^0 = 1 \)` ; `\( (-12)^0 = 1 \)` * **Puissances de 10 :** Très utiles pour les grands et petits nombres. * `\( 10^n = 1 \underbrace{00...0}_{n \text{ zéros}} \)` (si `\( n > 0 \)`) * `\( 10^{-n} = 0,\underbrace{00...0}_{n-1 \text{ zéros}}1 \)` (si `\( n > 0 \)`) ou `\( rac{1}{10^n} \)` * **Exemples :** `\( 10^3 = 1000 \)` ; `\( 10^0 = 1 \)` ; `\( 10^{-2} = 0,01 \)` * **Exposants Négatifs :** Pour `\( a \neq 0 \)`, une puissance avec un exposant négatif est l'inverse de la puissance avec l'exposant positif. * `\( a^{-n} = rac{1}{a^n} \)` * **Exemple :** `\( 3^{-2} = rac{1}{3^2} = rac{1}{9} \)` ; `\( (2/3)^{-1} = rac{1}{(2/3)^1} = rac{3}{2} \) #### 3. Règles de Calcul sur les Puissances Ces règles sont essentielles pour simplifier les expressions avec des puissances. Soient `a` et `b` des nombres réels non nuls, et `n` et `m` des entiers relatifs. * **Produit de puissances de même base :** * Règle : `\( a^n \times a^m = a^{n+m} \)` * **Exemple :** `\( 2^3 \times 2^4 = 2^{3+4} = 2^7 = 128 \)` * **Quotient de puissances de même base :** * Règle : `\( rac{a^n}{a^m} = a^{n-m} \)` * **Exemple :** `\( rac{5^7}{5^4} = 5^{7-4} = 5^3 = 125 \)` * **Puissance d'une puissance :** * Règle : `\( (a^n)^m = a^{n \times m} \)` * **Exemple :** `\( (3^2)^3 = 3^{2 \times 3} = 3^6 = 729 \)` * **Puissance d'un produit :** * Règle : `\( (a \times b)^n = a^n \times b^n \)` * **Exemple :** `\( (2 \times 5)^3 = 2^3 \times 5^3 = 8 \times 125 = 1000 \)` (ou `\( 10^3 = 1000 \)`) * **Puissance d'un quotient :** * Règle : `\( \left(\frac{a}{b}\right)^n = rac{a^n}{b^n} \)` (pour `\( b \neq 0 \)`) * **Exemple :** `\( \left(\frac{2}{3}\right)^3 = rac{2^3}{3^3} = rac{8}{27} \)` #### 4. Écriture Scientifique L'écriture scientifique est une façon de noter les très grands ou très petits nombres à l'aide des puissances de 10. Elle est très utile pour comparer et manipuler ces nombres. * **Forme :** Un nombre en écriture scientifique s'écrit sous la forme `\( a \times 10^n \)`, où : * `\( a \)` est un nombre décimal tel que `\( 1 \leq |a| < 10 \)` (c'est-à-dire que `a` a un seul chiffre non nul avant la virgule). * `\( n \)` est un entier relatif. **Exemples :** * `\( 123000 = 1,23 \times 10^5 \)` * `\( 0,0000045 = 4,5 \times 10^{-6} \)` * `\( 78,5 \times 10^3 \)` n'est pas en écriture scientifique, car `\( 78,5 \)` n'est pas entre 1 et 10. Sa forme scientifique est `\( 7,85 \times 10^1 \times 10^3 = 7,85 \times 10^4 \)`. ### Vocabulaire * **Puissance :** Résultat d'une multiplication répétée d'un nombre par lui-même (ex: `\( 2^3 \)`). * **Base :** Le nombre qui est multiplié dans une puissance (ex: 2 dans `\( 2^3 \)`). * **Exposant :** Le nombre qui indique combien de fois la base est multipliée par elle-même (ex: 3 dans `\( 2^3 \)`). * **Exposant positif :** Un exposant supérieur à zéro (ex: `\( 2^3 \)`). * **Exposant négatif :** Un exposant inférieur à zéro (ex: `\( 2^{-3} \)`). * **Écriture scientifique :** Représentation d'un nombre sous la forme `\( a \times 10^n \)`, où `\( 1 \leq |a| < 10 \)` et `n` est un entier relatif. ### Exemples 1. **Calculer :** `\( 4^2 + 3^3 \)` * `\( 4^2 = 4 \times 4 = 16 \)` * `\( 3^3 = 3 \times 3 \times 3 = 27 \)` * `\( 16 + 27 = 43 \)` 2. **Simplifier l'expression :** `\( rac{10^5 \times 10^{-2}}{10^4} \)` * Au numérateur : `\( 10^5 \times 10^{-2} = 10^{5 + (-2)} = 10^3 \)` (Règle du produit) * Maintenant : `\( rac{10^3}{10^4} = 10^{3-4} = 10^{-1} \)` (Règle du quotient) * Résultat : `\( 10^{-1} = 0,1 \)` 3. **Mettre en écriture scientifique :** `\( 0,000000678 \)` * On déplace la virgule pour avoir un chiffre non nul avant : `\( 6,78 \)`. * On a déplacé la virgule de 7 rangs vers la droite, donc l'exposant est négatif : `\( 10^{-7} \)`. * Résultat : `\( 6,78 \times 10^{-7} \)` 4. **Calculer :** `\( (-2)^3 - 5^0 \)` * `\( (-2)^3 = (-2) \times (-2) \times (-2) = -8 \)` * `\( 5^0 = 1 \)` * `\( -8 - 1 = -9 \)` ### Exercices 1. **Calculez les valeurs suivantes :** a. `\( 3^4 \)` b. `\( (-5)^2 \)` c. `\( 10^{-3} \)` d. `\( 7^0 \)` e. `\( (2/3)^3 \)` 2. **Simplifiez les expressions suivantes en utilisant les règles des puissances :** a. `\( 5^2 \times 5^6 \)` b. `\( rac{7^9}{7^3} \)` c. `\( (4^3)^2 \)` d. `\( (2 \times 3)^4 \)` e. `\( rac{2^{10} \times 2^{-4}}{2^3} \)` 3. **Écrivez les nombres suivants en écriture scientifique :** a. `\( 4500000 \)` b. `\( 0,000012 \)` c. `\( 345,6 \)` d. `\( 0,001 \times 10^5 \)` ### Devoirs 1. **Vrai ou Faux ? Justifiez vos réponses :** a. `\( (2+3)^2 = 2^2 + 3^2 \)` b. `\( 4^2 \times 4^3 = 4^6 \)` c. `\( (10^2)^3 = 10^5 \)` d. `\( 2^{-1} = -2 \)` 2. **Effectuez les calculs suivants en donnant le résultat sous forme d'une puissance, puis sa valeur si possible :** a. `\( (3^2)^3 \times 3^{-4} \)` b. `\( rac{2^5 \times (2^2)^3}{2^{10}} \)` c. `\( (5^{-2} \times 5^3)^{-1} \)` 3. **Problème :** La distance Terre-Soleil est d'environ `\( 1,5 \times 10^8 \)` km. La vitesse de la lumière est d'environ `\( 3 \times 10^5 \)` km/s. Combien de temps (en secondes) la lumière met-elle pour nous parvenir du Soleil ? (Rappel : temps = distance / vitesse). 4. **Classez les nombres suivants par ordre croissant :** `\( 2,5 \times 10^3 \)` ; `\( 0,00025 \times 10^6 \)` ; `\( 250 \)` ; `\( 25 \times 10^{-1} \)` ### Résumé Ce chapitre vous a introduit aux **puissances**, un concept crucial en mathématiques. Voici les points essentiels à retenir : * **Définition :** `\( a^n \)` représente la multiplication de `a` par lui-même `n` fois. * **Cas spéciaux :** `\( a^1 = a \)`, `\( a^0 = 1 \)` (pour `\( a \neq 0 \)`), et `\( a^{-n} = rac{1}{a^n} \)`. * **Règles de calcul :** Maîtrisez les cinq règles fondamentales pour simplifier les produits, quotients et puissances de puissances. Elles permettent de manipuler efficacement les expressions complexes. * **Écriture scientifique :** Permet d'exprimer très grands et très petits nombres sous la forme `\( a \times 10^n \)` avec `\( 1 \leq |a| < 10 \)`. C'est un outil indispensable en sciences. La pratique régulière de ces règles est la clé pour bien maîtriser les puissances. N'hésitez pas à refaire les exemples et exercices ! ## Calculs approchés ### Introduction En mathématiques et dans la vie quotidienne, il est fréquent de ne pas pouvoir utiliser les valeurs exactes des nombres. Par exemple, la valeur de \( \pi \) est infinie, ou la mesure d'une grandeur physique est toujours soumise à une certaine imprécision. C'est pourquoi nous utilisons des **calculs approchés**. Cette leçon vous aidera à comprendre comment obtenir des valeurs approchées, à évaluer leur précision et à maîtriser les notions d'erreur. ### Concepts clés #### 1. Valeur exacte et valeur approchée * **Valeur exacte**: C'est la valeur précise et complète d'un nombre. Elle peut être une fraction (ex: \( 1/3 \)), une racine (ex: \( \sqrt{2} \)), ou un nombre avec un nombre infini de décimales (ex: \( \pi \)). * **Valeur approchée**: C'est une estimation d'un nombre, obtenue en le simplifiant ou en tronquant/arrondissant ses décimales. Elle est souvent utilisée pour faciliter les calculs ou parce que la valeur exacte est inconnue ou trop complexe à utiliser. #### 2. Arrondi et Troncature Ce sont deux méthodes courantes pour obtenir une valeur approchée d'un nombre décimal. ##### a) La troncature (ou valeur approchée par défaut) La troncature consiste à couper le nombre après un certain nombre de décimales, en ignorant tous les chiffres suivants. * **Exemple**: Pour tronquer \( 3,14159265 \) au centième (2 décimales), on garde \( 3,14 \). * **Exemple**: Pour tronquer \( 7,899 \) à l'unité, on garde \( 7 \). ##### b) L'arrondi L'arrondi est une méthode d'approximation qui consiste à choisir la valeur approchée la plus proche à un certain rang de décimales. * **Règle**: On regarde le chiffre qui suit le rang de l'arrondi souhaité : * Si ce chiffre est \( 0, 1, 2, 3 \) ou \( 4 \), on garde le chiffre du rang souhaité tel quel (comme la troncature). * Si ce chiffre est \( 5, 6, 7, 8 \) ou \( 9 \), on augmente le chiffre du rang souhaité d'une unité. * **Exemple**: Arrondir \( 3,14159265 \) au centième : * Le centième est \( 4 \). * Le chiffre suivant est \( 1 \) (inférieur à 5). * Donc, l'arrondi est \( 3,14 \). * **Exemple**: Arrondir \( 7,899 \) au dixième : * Le dixième est \( 8 \). * Le chiffre suivant est \( 9 \) (supérieur ou égal à 5). * Donc, l'arrondi est \( 7,9 \). #### 3. Précision d'une approximation La précision d'une approximation est mesurée par l'erreur qu'elle introduit. ##### a) L'erreur absolue L'erreur absolue est la différence positive entre la valeur exacte et la valeur approchée. Elle indique à quel point l'approximation est proche de la valeur exacte. * **Formule**: \[ E_a = |\text{Valeur exacte} - \text{Valeur approchée}| \] * **Exemple**: Si la valeur exacte est \( \pi \approx 3,14159 \) et la valeur approchée est \( 3,14 \). * \( E_a = |3,14159 - 3,14| = 0,00159 \). ##### b) L'erreur relative L'erreur relative est le rapport de l'erreur absolue à la valeur exacte (lorsque la valeur exacte n'est pas nulle). Elle donne une idée de l'importance de l'erreur par rapport à la grandeur du nombre. * **Formule**: \[ E_r = \frac{E_a}{|\text{Valeur exacte}|} \] (souvent exprimée en pourcentage) * **Exemple**: Reprenons l'exemple précédent : \( E_a = 0,00159 \) et la valeur exacte \( 3,14159 \). * \( E_r = \frac{0,00159}{3,14159} \approx 0,000506 \) soit environ \( 0,0506\% \). #### 4. Encadrement d'un nombre Une valeur approchée donne une idée du nombre, mais un encadrement nous donne un intervalle dans lequel se trouve la valeur exacte. C'est particulièrement utile pour les troncatures et les arrondis. * Si \( x_a \) est une troncature à \( n \) décimales, alors \( x_a \le x < x_a + 10^{-n} \). * **Exemple**: \( 3,14 \) est la troncature de \( \pi \) au centième. Alors \( 3,14 \le \pi < 3,14 + 0,01 \), soit \( 3,14 \le \pi < 3,15 \). * Si \( x_a \) est un arrondi à \( n \) décimales, alors \( x_a - 0,5 \times 10^{-n} \le x < x_a + 0,5 \times 10^{-n} \). * **Exemple**: \( 3,14 \) est l'arrondi de \( \pi \) au centième. Alors \( 3,14 - 0,005 \le \pi < 3,14 + 0,005 \), soit \( 3,135 \le \pi < 3,145 \). ### Vocabulaire * **Valeur exacte**: La vraie valeur d'un nombre. * **Valeur approchée**: Une estimation de la valeur exacte. * **Troncature**: Méthode d'approximation consistant à couper les décimales à un certain rang. * **Arrondi**: Méthode d'approximation consistant à choisir la valeur la plus proche à un certain rang, en suivant des règles spécifiques (en regardant le chiffre suivant). * **Précision**: Le degré de justesse d'une mesure ou d'une approximation. * **Erreur absolue**: La différence positive entre la valeur exacte et la valeur approchée.\( |V_{exacte} - V_{approchée}| \). * **Erreur relative**: Le rapport de l'erreur absolue à la valeur exacte. \( \frac{E_a}{|V_{exacte}|} \). * **Encadrement**: Définir un intervalle autour de la valeur exacte. ### Exemples #### Exemple 1: Approximation de \( \sqrt{3} \) La calculatrice nous donne \( \sqrt{3} \approx 1,7320508 \). * **Troncature au millième**: \( 1,732 \) * **Arrondi au millième** (le chiffre suivant est \( 0 \), donc on ne change rien): \( 1,732 \) * **Arrondi au centième** (le chiffre suivant est \( 2 \), donc on ne change rien): \( 1,73 \) * **Arrondi au dixième** (le chiffre suivant est \( 3 \), donc on ne change rien): \( 1,7 \) #### Exemple 2: Calcul d'erreurs Soit la fraction \( \frac{2}{3} \). Sa valeur exacte est \( 0,6666... \). Prenons \( 0,67 \) comme valeur approchée. * **Valeur exacte**: \( \frac{2}{3} \) * **Valeur approchée**: \( 0,67 \) * **Erreur absolue**: \[ E_a = |\frac{2}{3} - 0,67| = |\frac{2}{3} - \frac{67}{100}| = |\frac{200}{300} - \frac{201}{300}| = |-\frac{1}{300}| = \frac{1}{300} \approx 0,00333 \] * **Erreur relative**: \[ E_r = \frac{\frac{1}{300}}{\frac{2}{3}} = \frac{1}{300} \times \frac{3}{2} = \frac{1}{200} = 0,005 \] L'erreur relative est de \( 0,5\% \). #### Exemple 3: Mesure d'une longueur Un menuisier mesure une planche et trouve \( 2,45 \) mètres. L'outil de mesure a une précision de \( \pm 0,01 \) mètre. * Cela signifie que la valeur exacte de la longueur \( L \) est encadrée par: \[ 2,45 - 0,01 \le L \le 2,45 + 0,01 \] Soit \[ 2,44 \le L \le 2,46 \] ### Exercices 1. Donnez la troncature et l'arrondi des nombres suivants à la précision indiquée: a) \( 5,7831 \) au centième b) \( 12,496 \) au dixième c) \( 0,0075 \) au millième d) \( 9,999 \) à l'unité 2. La valeur exacte de \( A = \frac{17}{7} \) est une valeur infinie. On prend \( 2,428 \) comme valeur approchée de \( A \). a) Calculez l'erreur absolue pour cette approximation. b) Calculez l'erreur relative (en pourcentage) pour cette approximation. 3. Un carré a une aire de \( 50 \) cm². Calculez la longueur de son côté \( c \) sous forme exacte, puis donnez son arrondi au millimètre près (arrondi au dixième de centimètre). 4. On souhaite estimer la circonférence d'un cercle de rayon \( 5 \) cm en prenant \( \pi \approx 3,14 \). a) Quelle est la valeur exacte de la circonférence? b) Quelle est la valeur approchée calculée? c) Calculez l'erreur absolue et l'erreur relative de cette approximation. ### Devoirs 1. Un rectangle a une longueur de \( 8,35 \) m et une largeur de \( 4,2 \) m. Les mesures sont précises au centimètre près. a) Encadrez la longueur et la largeur. b) Déterminez un encadrement de l'aire de ce rectangle. c) Quelle est l'aire approchée obtenue en multipliant les valeurs mesurées? Quelle est l'erreur maximale possible sur cette aire approchée? 2. Dans une expérience physique, une mesure est de \( 25,4 \) unités avec une erreur relative maximale de \( 2\% \). a) Quelle est l'erreur absolue maximale possible pour cette mesure? b) Donnez un encadrement de la valeur exacte de cette mesure. 3. Recherchez trois exemples de la vie courante (hors mathématiques) où les calculs approchés sont utilisés et expliquez pourquoi ils sont nécessaires dans ces contextes. ### Résumé Les calculs approchés sont indispensables lorsque les valeurs exactes sont impossibles, complexes ou inutiles. Nous avons appris à distinguer la **valeur exacte** de la **valeur approchée**. Deux méthodes principales d'approximation sont la **troncature** (couper les décimales) et l'**arrondi** (choisir la valeur la plus proche selon des règles spécifiques). La **précision** d'une approximation peut être évaluée par l'**erreur absolue** (différence brute) ou l'**erreur relative** (différence par rapport à la grandeur du nombre). Enfin, l'**encadrement** permet de définir un intervalle dans lequel se situe la valeur exacte. La maîtrise de ces notions est cruciale pour l'interprétation des résultats en sciences et dans la vie quotidienne.