Angles orientés et trigonométrie (partie 1/2)

## Orientation du plan et cercle trigonométrique ### Introduction Jusqu'à présent, vous avez étudié les angles comme des mesures positives dans des figures géométriques. En trigonométrie, nous allons donner un "sens" à ces angles et les associer à des nombres réels. Cette nouvelle perspective nous permettra d'explorer de nouvelles fonctions mathématiques et de résoudre des problèmes plus complexes en géométrie et en physique. Nous allons introduire le concept d'orientation du plan et découvrir l'outil fondamental qu'est le cercle trigonométrique. ### Concepts Clés #### Orientation du plan Le plan géométrique peut être orienté de deux manières, que l'on appelle le sens direct (positif) et le sens indirect (négatif). * **Sens direct (ou sens trigonométrique) :** C'est le sens inverse des aiguilles d'une montre. Il est considéré comme le sens positif. * **Sens indirect :** C'est le sens des aiguilles d'une montre. Il est considéré comme le sens négatif. > Imaginez une montre : le sens direct est celui où les aiguilles tournent à l'envers ! #### Le cercle trigonométrique Le cercle trigonométrique est un outil essentiel en trigonométrie pour visualiser les angles et les valeurs associées. ##### Définition Un **cercle trigonométrique** est un cercle : * Centré à l'origine \( O \) \( (0,0) \) d'un repère orthonormé \( (O; \vec{i}, \vec{j}) \). * De rayon 1. Son équation est \( x^2 + y^2 = 1 \). * Muni d'une origine \( A \) de coordonnées \( (1,0) \). * Orienté dans le sens direct (sens inverse des aiguilles d'une montre). ##### Enroulement de la droite numérique On peut imaginer "enrouler" une droite numérique (l'axe des réels) autour du cercle trigonométrique. Le point d'origine 0 de la droite est placé sur le point \( A(1,0) \) du cercle. * Chaque nombre réel \( x \) de la droite correspond à un unique point \( M \) sur le cercle trigonométrique. * La longueur de l'arc \( AM \) (parcouru dans le sens direct ou indirect) est égale à la valeur absolue de \( x \). * Si \( x > 0 \), on parcourt l'arc dans le sens direct. Si \( x < 0 \), on parcourt l'arc dans le sens indirect. La circonférence du cercle est de \( 2\pi r \). Puisque le rayon \( r=1 \), la circonférence est de \( 2\pi \). ##### Abscisses curvilignes Un point \( M \) du cercle trigonométrique peut être repéré par une infinité de nombres réels appelés ses **abscisses curvilignes**. * Si \( x \) est une abscisse curviligne du point \( M \), alors tous les nombres de la forme \( x + 2k\pi \), où \( k \) est un entier relatif (\( k \in \mathbb{Z} \)), sont aussi des abscisses curvilignes du même point \( M \). * On écrit \( x' \equiv x \pmod{2\pi} \) pour signifier que \( x' \) et \( x \) sont des abscisses curvilignes du même point. ##### Abscisse curviligne principale Parmi toutes les abscisses curvilignes d'un point \( M \), il en existe une unique qui appartient à l'intervalle \( ]-\pi, \pi] \). C'est l'**abscisse curviligne principale**. #### Mesure des angles orientés ##### Définition d'un angle orienté Un **angle orienté** entre deux vecteurs non nuls \( \vec{u} \) et \( \vec{v} \) est une mesure qui tient compte du sens de rotation pour passer de \( \vec{u} \) à \( \vec{v} \). ##### Mesure en radians L'unité de mesure d'angle utilisée en trigonométrie est le **radian**. * Un angle de 1 radian est l'angle au centre d'un cercle qui intercepte un arc de cercle dont la longueur est égale au rayon du cercle. * La relation entre degrés et radians est : \[ 180^ ext{o} = \pi \text{ radians} \] * Pour convertir des degrés en radians : \( \text{radians} = \text{degrés} \times \frac{\pi}{180} \) * Pour convertir des radians en degrés : \( \text{degrés} = \text{radians} \times \frac{180}{\pi} \) Voici quelques correspondances importantes : | Degrés | Radians | |:-----------|:------------------| | \( 0^ ext{o} \) | \( 0 \) | | \( 30^ ext{o} \) | \( \frac{\pi}{6} \) | | \( 45^ ext{o} \) | \( \frac{\pi}{4} \) | | \( 60^ ext{o} \) | \( \frac{\pi}{3} \) | | \( 90^ ext{o} \) | \( \frac{\pi}{2} \) | | \( 180^ ext{o} \) | \( \pi \) | | \( 270^ ext{o} \) | \( \frac{3\pi}{2} \) | | \( 360^ ext{o} \) | \( 2\pi \) | ### Vocabulaire * **Sens direct (trigonométrique) :** Sens inverse des aiguilles d'une montre (positif). * **Sens indirect :** Sens des aiguilles d'une montre (négatif). * **Cercle trigonométrique :** Cercle de rayon 1, centré à l'origine d'un repère orthonormé, orienté et avec un point d'origine \( (1,0) \). * **Abscisse curviligne :** Nombre réel qui repère un point sur le cercle trigonométrique par la longueur de l'arc correspondant. * **Abscisse curviligne principale :** L'unique abscisse curviligne d'un point qui appartient à l'intervalle \( ]-\pi, \pi] \). * **Angle orienté :** Angle avec un sens de rotation spécifié. * **Radian :** Unité de mesure d'angle où \( 180^ ext{o} = \pi \) radians. ### Exemples 1. **Placement de points sur le cercle trigonométrique :** * Le point associé à \( \frac{\pi}{2} \) est le point \( (0,1) \). * Le point associé à \( -\pi \) est le point \( (-1,0) \). * Pour placer \( \frac{7\pi}{4} \) : \( \frac{7\pi}{4} = 2\pi - \frac{\pi}{4} \). C'est le même point que \( -\frac{\pi}{4} \) (qui est son abscisse principale). Il se situe dans le 4ème quadrant. 2. **Détermination de l'abscisse curviligne principale :** * Pour \( x = \frac{11\pi}{3} \) : \( \frac{11\pi}{3} = \frac{12\pi - \pi}{3} = 4\pi - \frac{\pi}{3} \). L'abscisse curviligne principale est \( -\frac{\pi}{3} \) car \( -\frac{\pi}{3} \in ]-\pi, \pi] \). * Pour \( x = \frac{19\pi}{6} \) : \( \frac{19\pi}{6} = \frac{18\pi + \pi}{6} = 3\pi + \frac{\pi}{6} \). Comme \( 3\pi \) est une rotation de \( 2\pi + \pi \), on peut écrire \( 3\pi + \frac{\pi}{6} = (2\pi + \pi) + \frac{\pi}{6} = 2\pi + (\pi + \frac{\pi}{6}) \). Ou plus simplement, on cherche \( k \) tel que \( ]-\pi, \pi] \). \( \frac{19\pi}{6} \approx 3.16\pi \). Si \( k=-1 \) : \( \frac{19\pi}{6} - 2\pi = \frac{19\pi - 12\pi}{6} = \frac{7\pi}{6} \). Pas dans \( ]-\pi, \pi] \). Si \( k=-2 \) : \( \frac{19\pi}{6} - 4\pi = \frac{19\pi - 24\pi}{6} = -\frac{5\pi}{6} \). Ceci est dans \( ]-\pi, \pi] \). L'abscisse curviligne principale est \( -\frac{5\pi}{6} \). 3. **Conversion d'angles :** * Convertir \( 150^ ext{o} \) en radians : \( 150 \times \frac{\pi}{180} = \frac{150\pi}{180} = \frac{5\pi}{6} \) radians. * Convertir \( \frac{3\pi}{4} \) radians en degrés : \( \frac{3\pi}{4} \times \frac{180}{\pi} = \frac{3 \times 180}{4} = 3 \times 45 = 135^ ext{o} \). ### Exercices 1. Décrivez le sens de rotation (direct ou indirect) pour les mouvements suivants : a. Les aiguilles d'une horloge. b. Une vis qu'on serre (généralement). c. Le mouvement de la Terre autour du Soleil (vu du pôle Nord). 2. Placez approximativement sur un cercle trigonométrique les points associés aux abscisses curvilignes suivantes : a. \( \frac{\pi}{3} \) b. \( \frac{3\pi}{2} \) c. \( -\frac{\pi}{4} \) d. \( \frac{5\pi}{6} \) 3. Pour chaque abscisse curviligne, déterminez son abscisse curviligne principale : a. \( \frac{9\pi}{2} \) b. \( -\frac{7\pi}{3} \) c. \( \frac{13\pi}{4} \) 4. Convertissez les angles suivants en radians : a. \( 210^ ext{o} \) b. \( 315^ ext{o} \) 5. Convertissez les angles suivants en degrés : a. \( \frac{5\pi}{3} \) radians b. \( -\frac{7\pi}{6} \) radians ### Devoir à la maison 1. **Exploration des symétries :** a. Sur un cercle trigonométrique, placez le point \( M \) associé à l'abscisse \( x = \frac{\pi}{6} \). b. Placez les points \( M_1 \), \( M_2 \), \( M_3 \) associés respectivement à \( -x \), \( \pi - x \) et \( \pi + x \). c. Décrivez les symétries qui lient \( M \) à \( M_1 \), \( M_2 \) et \( M_3 \). 2. **Points confondus :** Donnez trois abscisses curvilignes différentes (une positive, une négative, une principale) pour le point du cercle trigonométrique de coordonnées \( (0,-1) \). 3. **Problème d'application :** Un cycliste fait le tour d'une piste circulaire de rayon 100 mètres. Quel est l'angle (en radians, abscisse principale) parcouru après avoir roulé : a. 250 mètres ? b. 1 kilomètre ? ### Résumé Nous avons introduit la notion d'**orientation du plan**, qui nous permet de distinguer le sens direct (positif) du sens indirect (négatif). Le **cercle trigonométrique**, de rayon 1 et centré à l'origine, est notre principal outil pour visualiser et manipuler les angles. Chaque point de ce cercle est associé à une infinité d'**abscisses curvilignes** de la forme \( x + 2k\pi \), parmi lesquelles une unique **abscisse curviligne principale** se trouve dans \( ]-\pi, \pi] \). Enfin, nous avons appris à utiliser le **radian** comme unité de mesure des angles, avec l'équivalence fondamentale \( 180^ ext{o} = \pi \) radians. Ces concepts sont les fondations de la trigonométrie et seront essentiels pour les leçons futures. ## Présentation d’un angle orienté à partir d’un cercle trigonométrique ### Introduction Jusqu'à présent, vous avez étudié les angles en géométrie plane, principalement avec des mesures en degrés, allant de \( 0^\circ \) à \( 360^\circ \) (ou \( 0^\circ \) à \( 180^\circ \) pour les angles d'un triangle). En trigonométrie, nous allons étendre cette notion avec les **angles orientés**, qui tiennent compte du sens de rotation et peuvent prendre des valeurs positives ou négatives, et même des valeurs supérieures à \( 360^\circ \) ou inférieures à \( -360^\circ \). Pour cela, nous utiliserons un outil fondamental : le **cercle trigonométrique**. ### Concepts Clés #### Le Cercle Trigonométrique ##### Définition Le cercle trigonométrique est un cercle : * Centré à l'origine \( O(0,0) \) d'un repère orthonormé \( (O; \vec{i}, \vec{j}) \). * De rayon 1. * Orienté dans le **sens direct** (ou **sens positif** ou **sens trigonométrique**), c'est-à-dire le sens inverse des aiguilles d'une montre. * Le **sens indirect** (ou **sens négatif**) est le sens des aiguilles d'une montre. Le point \( A \) de coordonnées \( (1,0) \) est appelé l'origine du cercle trigonométrique. ##### Unité de Mesure : Le Radian En plus des degrés, nous utiliserons une nouvelle unité de mesure d'angle : le **radian**. Un radian est la mesure d'un angle au centre qui intercepte un arc de cercle dont la longueur est égale au rayon du cercle. * La circonférence d'un cercle de rayon \( R \) est \( 2\pi R \). Pour le cercle trigonométrique (où \( R=1 \)), la circonférence est \( 2\pi \). * Ainsi, un tour complet (\( 360^\circ \)) correspond à \( 2\pi \) radians. * Demi-tour (\( 180^\circ \)) correspond à \( \pi \) radians. **Formules de conversion :** * Pour convertir des degrés en radians : \[ \text{radians} = \text{degrés} \times \frac{\pi}{180} \] * Pour convertir des radians en degrés : \[ \text{degrés} = \text{radians} \times \frac{180}{\pi} \] #### Association d'un nombre réel à un point du cercle trigonométrique ##### Enroulement de la droite numérique Imaginons une droite numérique graduée, tangente au cercle trigonométrique au point \( A(1,0) \). Nous pouvons "enrouler" cette droite autour du cercle. Chaque nombre réel \( x \) de cette droite correspond alors à un point unique \( M \) sur le cercle trigonométrique. * Le réel \( 0 \) correspond au point \( A(1,0) \). * Le réel \( \frac{\pi}{2} \) correspond au point \( B(0,1) \). * Le réel \( \pi \) correspond au point \( A'(-1,0) \). * Le réel \( \frac{3\pi}{2} \) (ou \( -\frac{\pi}{2} \)) correspond au point \( B'(0,-1) \). * Le réel \( 2\pi \) correspond à nouveau au point \( A(1,0) \), après un tour complet dans le sens direct. ##### Mesures d'un même angle Par l'enroulement de la droite numérique, on constate que plusieurs nombres réels peuvent correspondre au même point sur le cercle. Par exemple, le point \( A \) est associé aux réels \( 0, 2\pi, -2\pi, 4\pi, -4\pi, \ldots \). Plus généralement, si un point \( M \) est associé au réel \( x \), il est aussi associé à tous les réels de la forme \( x + 2k\pi \), où \( k \) est un entier relatif (\( k \in \mathbb{Z} \)). #### Angles Orientés ##### Définition Un **angle orienté** est défini par un couple de vecteurs non nuls \( (\vec{u}, \vec{v}) \). Sa mesure est le réel qui correspond à la rotation permettant de passer du vecteur \( \vec{u} \) au vecteur \( \vec{v} \) en tenant compte du sens. Sur le cercle trigonométrique, on considère souvent l'angle orienté \( (\vec{i}, \vec{OM}) \) où \( M \) est un point du cercle et \( \vec{i} \) est le vecteur unitaire de l'axe des abscisses. La mesure de cet angle est le réel \( x \) associé au point \( M \). ##### Mesures d'un angle orienté Toutes les mesures d'un angle orienté sont de la forme \( \alpha + 2k\pi \), où \( \alpha \) est une mesure particulière de l'angle et \( k \) est un entier relatif. On dit que ces mesures sont **égales modulo \( 2\pi \)** ou **co-terminales**. #### Mesure Principale d'un Angle Orienté ##### Définition Parmi toutes les mesures possibles d'un angle orienté, la **mesure principale** est celle qui appartient à l'intervalle \( ]-\pi, \pi] \). Autrement dit, c'est la seule mesure \( x \) telle que \( -\pi < x \le \pi \). ##### Comment trouver la mesure principale ? Pour trouver la mesure principale d'un angle donné \( \alpha \) : 1. **Méthode par soustraction/addition de \( 2\pi \) :** * Si \( \alpha > \pi \), soustrayez \( 2\pi \) (ou un multiple de \( 2\pi \)) autant de fois que nécessaire jusqu'à obtenir une valeur \( x \) telle que \( x \le \pi \). * Si \( \alpha \le -\pi \), ajoutez \( 2\pi \) (ou un multiple de \( 2\pi \)) autant de fois que nécessaire jusqu'à obtenir une valeur \( x \) telle que \( x > -\pi \). * La valeur obtenue doit alors se trouver dans l'intervalle \( ]-\pi, \pi] \). **Exemple :** Trouver la mesure principale de \( \frac{13\pi}{4} \). * \( \frac{13\pi}{4} \approx 3.25\pi \). Cette valeur est \( > \pi \). On soustrait \( 2\pi \). * \( \frac{13\pi}{4} - 2\pi = \frac{13\pi - 8\pi}{4} = \frac{5\pi}{4} \). Cette valeur est toujours \( > \pi \). On soustrait encore \( 2\pi \). * \( \frac{5\pi}{4} - 2\pi = \frac{5\pi - 8\pi}{4} = -\frac{3\pi}{4} \). Cette valeur est dans \( ]-\pi, \pi] \) car \( -\pi \approx -3.14 \) et \( -\frac{3\pi}{4} \approx -2.36 \). C'est la mesure principale. **Exemple :** Trouver la mesure principale de \( -\frac{11\pi}{4} \). * \( -\frac{11\pi}{4} \approx -2.75\pi \). Cette valeur est \( \le -\pi \). On ajoute \( 2\pi \). * \( -\frac{11\pi}{4} + 2\pi = \frac{-11\pi + 8\pi}{4} = -\frac{3\pi}{4} \). Cette valeur est dans \( ]-\pi, \pi] \) car \( -\pi < -\frac{3\pi}{4} \le \pi \). C'est la mesure principale. ### Vocabulaire * **Cercle trigonométrique :** Cercle de rayon 1 centré à l'origine d'un repère orthonormé, orienté dans le sens direct. * **Sens direct (positif) :** Sens inverse des aiguilles d'une montre. * **Sens indirect (négatif) :** Sens des aiguilles d'une montre. * **Radian :** Unité de mesure d'angle, où \( \pi \) radians équivaut à \( 180^\circ \). * **Angle orienté :** Angle dont la mesure prend en compte le sens de rotation (positif ou négatif). * **Mesure principale :** La mesure d'un angle orienté qui appartient à l'intervalle \( ]-\pi, \pi] \). * **Mesures co-terminales (ou égales modulo \( 2\pi \)) :** Mesures d'angles qui désignent le même angle orienté, de la forme \( \alpha + 2k\pi \) avec \( k \in \mathbb{Z} \). ### Exemples 1. **Conversions d'angles :** * Convertir \( 45^\circ \) en radians : \[ 45 \times \frac{\pi}{180} = \frac{\pi}{4} \text{ radians} \] * Convertir \( \frac{2\pi}{3} \) radians en degrés : \[ \frac{2\pi}{3} \times \frac{180}{\pi} = \frac{2 \times 180}{3} = 120^\circ \] 2. **Placement de points sur le cercle trigonométrique :** * Le point associé à \( \frac{\pi}{3} \) est dans le premier quadrant (\( 60^\circ \)). * Le point associé à \( -\frac{\pi}{6} \) est dans le quatrième quadrant (\( -30^\circ \)). * Le point associé à \( \frac{5\pi}{2} \) : \( \frac{5\pi}{2} = \frac{\pi}{2} + 2\pi \). Il correspond au même point que \( \frac{\pi}{2} \) (le point \( B(0,1) \)). 3. **Détermination de la mesure principale :** * Pour \( \frac{7\pi}{3} \) : * \( \frac{7\pi}{3} = \frac{6\pi + \pi}{3} = 2\pi + \frac{\pi}{3} \). * La mesure principale est \( \frac{\pi}{3} \) car \( -\pi < \frac{\pi}{3} \le \pi \). * Pour \( -\frac{11\pi}{4} \) (réalisé ci-dessus) : La mesure principale est \( -\frac{3\pi}{4} \). ### Exercices 1. **Conversions :** * a) Convertissez \( 60^\circ \) et \( 210^\circ \) en radians. * b) Convertissez \( \frac{\pi}{6} \) et \( \frac{5\pi}{4} \) radians en degrés. 2. **Mesure principale :** Déterminez la mesure principale de chacun des angles orientés suivants : * a) \( \frac{9\pi}{2} \) * b) \( -\frac{7\pi}{3} \) * c) \( \frac{10\pi}{3} \) * d) \( -\frac{15\pi}{4} \) 3. **Placement sur le cercle :** Sur un cercle trigonométrique, placez les points \( M_1, M_2, M_3 \) associés respectivement aux réels \( \frac{3\pi}{4}, -\frac{5\pi}{6}, \frac{11\pi}{4} \). ### Devoir à la maison 1. **Vrai ou Faux :** Justifiez votre réponse. * a) L'angle \( \frac{17\pi}{6} \) a pour mesure principale \( \frac{5\pi}{6} \). * b) Les angles \( -\frac{2\pi}{3} \) et \( \frac{4\pi}{3} \) représentent le même point sur le cercle trigonométrique. 2. **Calculs et application :** * a) Donnez trois mesures différentes (dont une positive et une négative) de l'angle dont la mesure principale est \( \frac{\pi}{4} \). * b) Si un point \( P \) sur le cercle trigonométrique est associé à l'angle \( \frac{17\pi}{3} \), à quel point remarquable (A, B, A', B') est-il le plus proche ? Justifiez votre réponse en calculant la mesure principale. 3. **Recherche :** Faites une brève recherche sur l'origine historique de l'utilisation des radians comme unité de mesure d'angle en mathématiques. ### Résumé Nous avons introduit les **angles orientés** et le **cercle trigonométrique**, des outils essentiels en mathématiques. Le cercle trigonométrique, de rayon 1 et orienté, permet d'associer un point à une infinité de nombres réels (angles en radians) de la forme \( x + 2k\pi \). Parmi ces mesures, la **mesure principale** est unique et se situe dans l'intervalle \( ]-\pi, \pi] \). La compréhension de ces concepts est fondamentale pour aborder la suite de la trigonométrie et l'étude des fonctions trigonométriques. ## Mesure d’un angle orienté ### Introduction En géométrie, un angle est souvent perçu comme l'ouverture entre deux demi-droites, sa mesure étant toujours positive et comprise entre \( 0^ \) et \( 180^ \). Cependant, en mathématiques, notamment en trigonométrie, nous allons introduire la notion d'angle orienté. Cette notion permet de prendre en compte non seulement l'ouverture, mais aussi le "sens" de rotation, et d'attribuer aux angles des mesures positives ou négatives, qui peuvent même dépasser \( 360^ \) ou \( 2 \pi \) radians. Comprendre la mesure d'un angle orienté est fondamental pour la suite de vos études en trigonométrie et en analyse. ### Concepts Clés #### Le cercle trigonométrique Le cercle trigonométrique est un outil essentiel pour travailler avec les angles orientés. * **Définition** * C'est un cercle dont le centre est l'origine \( O(0,0) \) d'un repère orthonormé \( (O; \vec{i}, \vec{j}) \). * Son rayon est égal à 1. * Le point de coordonnées \( A(1,0) \) est choisi comme origine des "mesures" sur le cercle. * **Sens de parcours :** * Le **sens direct** (ou positif) est le sens inverse des aiguilles d'une montre. * Le **sens indirect** (ou négatif) est le sens des aiguilles d'une montre. * **Association entre un réel et un point du cercle** * À tout nombre réel \( x \), on peut associer un unique point \( M \) sur le cercle trigonométrique. * Pour trouver \( M \), on "enroule" la droite réelle autour du cercle à partir du point \( A(1,0) \). Si \( x > 0 \), on parcourt une distance \( x \) sur le cercle dans le sens direct. Si \( x < 0 \), on parcourt une distance \( |x| \) dans le sens indirect. #### Angles orientés Un angle orienté va au-delà de la simple ouverture, il prend en compte la direction. * **Définition** * Un angle orienté est formé par un couple de vecteurs non nuls \( ( \vec{u}, \vec{v}) \). Il représente la rotation nécessaire pour amener le vecteur \( \vec{u} \) sur le vecteur \( \vec{v} \). * **Mesure d'un angle orienté** * La mesure d'un angle orienté \( ( \vec{u}, \vec{v}) \) est la valeur (en radians ou degrés) de l'arc parcouru sur le cercle trigonométrique pour passer de l'extrémité du vecteur \( \vec{u} \) (quand il est ramené à l'origine) à l'extrémité du vecteur \( \vec{v} \). * Une caractéristique fondamentale des angles orientés est qu'ils possèdent une **infinité de mesures**. * Si \( \alpha \) est une mesure de l'angle orienté \( ( \vec{u}, \vec{v}) \), alors toutes les valeurs de la forme \( \alpha + 2k \pi \) (en radians) ou \( \alpha + k \cdot 360^ \) (en degrés), où \( k \) est un entier relatif (\( k \in \mathbb{Z} \)), sont aussi des mesures de cet angle. * On note cela \( ( \vec{u}, \vec{v}) = \alpha \pmod{2 \pi} \) (lire "alpha modulo 2 pi"). #### Mesure principale d'un angle orienté Parmi toutes les mesures d'un angle orienté, une seule est considérée comme la plus "simple" ou la plus "courte". * La **mesure principale** d'un angle orienté est l'unique mesure \( \theta \) (thêta) appartenant à l'intervalle \( ]- \pi, \pi] \) (en radians) ou \( ]-180^ \, 180^ \] (en degrés). * Cela signifie que la mesure principale est la mesure la plus proche de 0. * **Comment trouver la mesure principale ?** 1. Prenez une mesure de l'angle (appelons-la \( \alpha \)). 2. Divisez \( \alpha \) par \( 2 \pi \) (ou \( 360^ \) si en degrés) et identifiez la partie entière \( k \). 3. Calculez \( \alpha' = \alpha - k \cdot 2 \pi \) (ou \( \alpha' = \alpha - k \cdot 360^ \)). Cette valeur sera dans \( [0, 2 \pi[ \) ou \( [0, 360^ \[ \). 4. Si \( \alpha' \) est dans \( ] \pi, 2 \pi[ \) (ou \( ]180^ \, 360^ \[ \)), soustrayez \( 2 \pi \) (ou \( 360^ \)) pour la ramener dans l'intervalle \( ]- \pi, \pi] \). #### Mesures d'angles en radians Le radian est l'unité de mesure d'angle privilégiée en mathématiques. * **Définition du radian** * Un angle mesure **1 radian** si, placé au centre d'un cercle, il intercepte un arc dont la longueur est égale au rayon du cercle. * Sur le cercle trigonométrique (rayon 1), la mesure en radians d'un angle est égale à la longueur de l'arc qu'il intercepte. * **Relation entre degrés et radians** * Un tour complet représente \( 360^ \) en degrés ou \( 2 \pi \) radians. * Un demi-tour représente \( 180^ \) en degrés ou \( \pi \) radians. * **Formules de conversion :** * Pour convertir des **degrés en radians** : \[ \text{radians} = \text{degrés} \times \frac{\pi}{180} \] * Pour convertir des **radians en degrés** : \[ \text{degrés} = \text{radians} \times \frac{180}{\pi} \] * **Quelques correspondances importantes :** | Degrés | Radians | | :--------------- | :---------------- | | \( 0^ \) | \( 0 \) | | \( 30^ \) | \( \frac{\pi}{6} \) | | \( 45^ \) | \( \frac{\pi}{4} \) | | \( 60^ \) | \( \frac{\pi}{3} \) | | \( 90^ \) | \( \frac{\pi}{2} \) | | \( 180^ \) | \( \pi \) | | \( 270^ \) | \( \frac{3 \pi}{2} \) | | \( 360^ \) | \( 2 \pi \) | ### Vocabulaire * **Cercle trigonométrique :** Cercle de rayon 1 centré à l'origine d'un repère orthonormé. * **Sens direct (positif) :** Sens de rotation inverse des aiguilles d'une montre. * **Sens indirect (négatif) :** Sens de rotation des aiguilles d'une montre. * **Angle orienté :** Représente à la fois l'ouverture et le sens de rotation entre deux vecteurs. * **Mesure principale :** L'unique mesure d'un angle orienté qui appartient à l'intervalle \( ]- \pi, \pi] \) (ou \( ]-180^ \, 180^ \]). * **Radian :** Unité de mesure d'angle. \( \pi \) radians = \( 180^ \). * **Modulo (\( \pmod{2 \pi} \)) :** Indique que la mesure est définie à un multiple de \( 2 \pi \) près, reflétant l'infinité des mesures possibles pour un angle orienté. ### Exemples #### Exemple 1 : Conversion d'angles a. Convertir \( 120^ \) en radians. \[ 120 \times \frac{\pi}{180} = \frac{120\pi}{180} = \frac{2\pi}{3} \text{ radians} \] b. Convertir \( \frac{5 \pi}{6} \) radians en degrés. \[ \frac{5\pi}{6} \times \frac{180}{\pi} = \frac{5 \times 180}{6} = 5 \times 30 = 150^ \ \] #### Exemple 2 : Détermination de la mesure principale a. Trouver la mesure principale de l'angle de \( \frac{13 \pi}{4} \) radians. * On a \( \frac{13 \pi}{4} = 3 \pi + \frac{\pi}{4} \). Ceci n'est pas dans \( ]- \pi, \pi] \). * On peut écrire \( \frac{13 \pi}{4} = \frac{8 \pi + 5 \pi}{4} = 2 \pi + \frac{5 \pi}{4} \). * La mesure \( \frac{5 \pi}{4} \) n'est toujours pas dans \( ]- \pi, \pi] \) car \( \frac{5 \pi}{4} > \pi \). * On soustrait \( 2 \pi \) : \( \frac{5 \pi}{4} - 2 \pi = \frac{5 \pi - 8 \pi}{4} = - rac{3 \pi}{4} \). * Comme \( - \pi < - rac{3 \pi}{4} \le \pi \), la mesure principale est \( - rac{3 \pi}{4} \). b. Trouver la mesure principale de l'angle de \( -\frac{20 \pi}{3} \) radians. * On cherche \( k \in \mathbb{Z} \) tel que \( - \pi < - rac{20 \pi}{3} + 2k \pi \le \pi \). * \( - rac{20}{3} = -6.66... \). Pour se rapprocher de l'intervalle, on doit ajouter \( 2 \pi \) plusieurs fois. Si \( k=3 \), on ajoute \( 6 \pi \). * \( - rac{20 \pi}{3} + 6 \pi = - rac{20 \pi}{3} + \frac{18 \pi}{3} = - rac{2 \pi}{3} \). * Comme \( - \pi < - rac{2 \pi}{3} \le \pi \), la mesure principale est \( - rac{2 \pi}{3} \). c. Trouver la mesure principale de l'angle de \( 500^ \). * On a \( 500^ \) qui est supérieur à \( 360^ \). On soustrait un multiple de \( 360^ \). * \( 500^ \ - 360^ \ = 140^ \). * Comme \( -180^ \ < 140^ \ \le 180^ \), la mesure principale est \( 140^ \). ### Exercices 1. **Conversions :** a. Convertir en radians : * \( 45^ \) * \( 210^ \) * \( -75^ \) b. Convertir en degrés : * \( \frac{\pi}{12} \) * \( \frac{7 \pi}{4} \) * \( - rac{5 \pi}{2} \) 2. **Mesures d'un angle :** Donner trois mesures différentes (une positive, une négative, et la mesure principale) pour les angles dont une mesure est : a. \( \frac{\pi}{3} \) b. \( 100^ \) 3. **Mesure principale :** Déterminer la mesure principale des angles orientés suivants : a. \( \frac{7 \pi}{3} \) b. \( - rac{11 \pi}{6} \) c. \( 480^ \) d. \( -900^ \) e. \( \frac{25 \pi}{2} \) ### Devoir Maison 1. **Conversions complexes :** a. Convertir \( 315^ \) en radians. b. Convertir \( \frac{11 \pi}{5} \) radians en degrés (arrondir au dixième si nécessaire). 2. **Angles et rotations :** Un point \( M \) se déplace sur un cercle trigonométrique à partir du point \( A(1,0) \). a. Quelle est la position finale de \( M \) si le déplacement correspond à un angle de \( \frac{17 \pi}{4} \) radians ? Donner la mesure principale et situer le point sur le cercle. b. Si le point \( M \) part de \( A(1,0) \) et effectue une rotation de \( -1200^ \), quelle est sa position finale ? Donner la mesure principale de cet angle en degrés puis en radians. 3. **Problème de synthèse :** Un angle orienté \( \theta \) a pour mesure \( \frac{57 \pi}{7} \) radians. a. Déterminer la mesure principale de \( \theta \). b. Donner une autre mesure de \( \theta \) comprise entre \( 4 \pi \) et \( 6 \pi \). c. Convertir la mesure principale de \( \theta \) en degrés (arrondir à l'unité). ### Résumé Les angles orientés sont une extension des angles géométriques, intégrant la notion de sens de rotation (sens direct/positif et sens indirect/négatif). Leur mesure est notée modulo \( 2 \pi \) (ou \( 360^ \)) car il existe une infinité de mesures pour un même angle.\nLa **mesure principale** est la plus importante ; c'est l'unique mesure dans l'intervalle \( ]- \pi, \pi] \) (ou \( ]-180^ \, 180^ \]). Le **radian** est l'unité de mesure privilégiée en trigonométrie, et il est crucial de savoir convertir des degrés en radians et vice-versa, en utilisant la relation clé \( 180^ \ = \pi \) radians. Maîtriser ces concepts est la première étape pour naviguer avec aisance dans le monde de la trigonométrie.