Géométrie dans l'espace

## Objectifs et prérequis **Objectifs** : À la fin de ce chapitre, l’élève sera capable de - représenter un point de l’espace par ses coordonnées dans un repère orthonormé ; - calculer la distance entre deux points, le milieu d’un segment et la norme d’un vecteur ; - déterminer l’équation paramétrique et cartésienne d’une droite dans l’espace ; - déterminer l’équation d’un plan à partir d’un point et de deux vecteurs directeurs ou d’un point et d’un vecteur normal ; - analyser les positions relatives de deux droites, d’un droit et d’un plan, de deux plans (parallélisme, orthogonalité, intersection) ; - calculer la distance d’un point à une droite, d’un point à un plan, d’une droite à un plan et entre deux droites skewes. **Prérequis** : - notions de vecteur dans le plan (addition, produit scalaire, norme) ; - équations de droites et de cercles dans le plan ; - résolution de systèmes linéaires à deux inconnues ; - notions de perpendicularité et de parallélisme dans le plan. --- ### Introduction contextualisée L’étude de la géométrie dans l’espace permet de modéliser des situations réelles : architecture, navigation aérienne, modélisation 3D en infographie, etc. Le passage du plan à l’espace introduit une troisième coordonnée, ce qui enrichit les outils algébriques (vecteurs, systèmes d’équations) tout en conservant les mêmes principes de raisonnement (propriétés du produit scalaire, notions de parallèle et d’orthogonalité). Ce chapitre s’appuie sur le repère orthonormé $(O,\vec{i},\vec{j},\vec{k})$ où $\vec{i},\vec{j},\vec{k}$ sont trois vecteurs unitaires deux à deux orthogonaux. --- ## I. Leçon 33 – Description et représentation de l’espace ### A. Repère orthonormé et coordonnées d’un point Dans l’espace, on choisit un point origine $O$ et trois vecteurs unitaires $\vec{i},\vec{j},\vec{k}$ tels que $$\vec{i}\cdot\vec{j}=0,\quad \vec{j}\cdot\vec{k}=0,\quad \vec{k}\cdot\vec{i}=0,\quad \|\vec{i}\|=\|\vec{j}\|=\|\vec{k}\|=1.$$ Tout point $M$ s’associe à un triplet de réels $(x,y,z)$ appelé ses **coordonnées** vérifiant $$\overrightarrow{OM}=x\vec{i}+y\vec{j}+z\vec{k}.$$ > **>** Un point de l’espace est représenté par un triplet ordonné $(x,y,z)$ dans un repère orthonormé. ### B. Distance entre deux points Pour $M_1(x_1,y_1,z_1)$ et $M_2(x_2,y_2,z_2)$, le vecteur $\overrightarrow{M_1M_2}$ a pour composantes $(x_2-x_1,\;y_2-y_1,\;z_2-z_1)$. Sa norme donne la distance : $$d(M_1,M_2)=\|\overrightarrow{M_1M_2}\|=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2+(z_2-z_1)^2}.$$ > **>** La distance entre deux points dans l’espace s’obtient par l’extension du théorème de Pythagore à trois dimensions. #### Exemple 1 Soit $A(1,2,3)$ et $B(4,6,8)$. $$\overrightarrow{AB}=(3,4,5),\quad d(A,B)=\sqrt{3^2+4^2+5^2}=\sqrt{9+16+25}=\sqrt{50}=5\sqrt{2}.$$ #### Exemple 2 (plus délicat) Trouver le point $C$ sur la droite passant par $A(0,0,0)$ et $B(2,2,2)$ tel que $AC=3$. Le vecteur directeur est $\vec{v}=(2,2,2)$. Un point de la droite s’écrit $A+t\vec{v}=(2t,2t,2t)$. On impose $\|AC\|=|t|\,\|\vec{v}\|=|t|\sqrt{12}=3\Rightarrow |t|=\frac{3}{\sqrt{12}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$. Choix $t>0$ donne $C\bigl(\sqrt{3},\sqrt{3},\sqrt{3}\bigr)$. ### C. Milieu d’un segment Le milieu $I$ de $[AB]$ a pour coordonnées $$I\Bigl(\frac{x_1+x_2}{2},\;\frac{y_1+y_2}{2},\;\frac{z_1+z_2}{2}\Bigr).$$ > **>** Le milieu d’un segment dans l’espace est la moyenne des coordonnées de ses extrémités. #### Exemple $A(-1,4,2)$ et $B(3,-2,6)$ donnent $I\bigl(1,1,4\bigr)$. ### D. Vecteur et ses opérations Un vecteur $\vec{v}=(a,b,c)$ possède : - norme $\|\vec{v}\|=\sqrt{a^2+b^2+c^2}$ ; - produit scalaire $\vec{u}\cdot\vec{v}=u_1v_1+u_2v_2+u_3v_3$ ; - deux vecteurs sont orthogonaux si leur produit scalaire vaut zéro ; - deux vecteurs sont colinéaires s’il existe $\lambda\in\mathbb{R}$ tel que $\vec{u}=\lambda\vec{v}$. > **>** Le produit scalaire caractérise l’orthogonalité dans l’espace exactement comme dans le plan. #### Démonstration (orthogonalité) Si $\vec{u}\cdot\vec{v}=0$, alors $\|\vec{u}+\vec{v}\|^2=\|\vec{u}\|^2+\|\vec{v}\|^2$ (par le théorème de Pythagore généralisé), donc l’angle entre $\vec{u}$ et $\vec{v}$ vaut $90^\circ$. --- ## II. Leçon 34 – Droites et plans de l’espace ### A. Équations d’une droite #### 1. Forme paramétrique Une droite $D$ passant par un point $A(x_0,y_0,z_0)$ et de directeur $\vec{v}=(a,b,c)\neq\vec{0}$ s’écrit $$\begin{cases} x=x_0+at\\ y=y_0+bt\\ z=z_0+ct \end{cases}\qquad t\in\mathbb{R}.$$ > **>** La forme paramétrique d’une droite utilise un point et un vecteur directeur. #### 2. Forme cartésienne (équations symétriques) Si aucune composante de $\vec{v}$ n’est nulle, on obtient $$\frac{x-x_0}{a}=\frac{y-y_0}{b}=\frac{z-z_0}{c}.$$ Lorsque certaines composantes sont nulles, on écrit les égalités correspondantes sous forme d’équations simples (ex. $x=x_0$ si $a=0$). #### Exemple 1 Droite par $A(1, -2, 3)$ avec directeur $\vec{v}=(2,0,-1)$. Paramétrique : $\begin{cases}x=1+2t\\ y=-2\\ z=3-t\end{cases}$. Cartésienne : $\displaystyle\frac{x-1}{2}= \frac{z-3}{-1},\; y=-2$. #### Exemple 2 (détermination à partir de deux points) Points $P(0,1,2)$ et $Q(3,4,5)$. $\vec{v}=\overrightarrow{PQ}=(3,3,3)$. Paramétrique : $\begin{cases}x=0+3t\\ y=1+3t\\ z=2+3t\end{cases}$. Cartésienne : $\displaystyle\frac{x}{3}= \frac{y-1}{3}= \frac{z-2}{3}$. ### B. Équations d’un plan #### 1. Forme paramétrique Un plan $\Pi$ passant par un point $A(x_0,y_0,z_0)$ et engendré par deux vecteurs non colinéaires $\vec{u}=(u_1,u_2,u_3)$ et $\vec{v}=(v_1,v_2,v_3)$ s’écrit $$\begin{cases} x=x_0+u_1 s+v_1 t\\ y=y_0+u_2 s+v_2 t\\ z=z_0+u_3 s+v_3 t \end{cases}\qquad s,t\in\mathbb{R}.$$ #### 2. Forme cartésienne (équation générale) Si $\vec{n}=(A,B,C)$ est un vecteur normal au plan (orthogonal à tout vecteur directeur du plan), alors l’équation du plan est $$A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0\quad\text{ou}\quad Ax+By+Cz+D=0,$$ avec $D=-(Ax_0+By_0+Cz_0)$. > **>** Un plan est caractérisé par un point et un vecteur normal, ou équivalentement par une équation linéaire $Ax+By+Cz+D=0$. #### Exemple 1 Plan passant par $A(1,2,-1)$ et orthogonal à $\vec{n}=(2,-3,4)$. Équation : $2(x-1)-3(y-2)+4(z+1)=0\Rightarrow 2x-3y+4z+3=0$. #### Exemple 2 (détermination à partir de trois points non alignés) Points $P(1,0,2)$, $Q(0,1,1)$, $R(2,2,0)$. Vecteurs $\vec{PQ}=(-1,1,-1)$, $\vec{PR}=(1,2,-2)$. Produit vectoriel $\vec{n}=\vec{PQ}\times\vec{PR}= \begin{vmatrix} \vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\ -1&1&-1\\ 1&2&-2 \end{vmatrix}= (0,\,-3,\,-3)$. On peut prendre $\vec{n}=(0,1,1)$ (en divisant par $-3$). Équation du plan par $P$ : $0(x-1)+1(y-0)+1(z-2)=0\Rightarrow y+z-2=0$. ### C. Positions relatives #### 1. Deux droites - **Parallèles** : leurs directeurs sont colinéaires. - **Sécantes** : il existe un point commun (on résout le système des quatre équations paramétriques). - **Skewes** (ni parallèles, ni sécantes) : les directeurs ne sont pas colinéaires et le système n’a pas de solution. > **>** Deux droites dans l’espace sont soit parallèles, soit sécantes, soit skewes. #### Distance entre deux droites skewes Soit $D_1:\;A+t\vec{v}_1$ et $D_2:\;B+s\vec{v}_2$. Le vecteur $\overrightarrow{AB}$ projeté sur la direction orthogonale aux deux droites donne $$d(D_1,D_2)=\frac{|\vec{v}_1\times\vec{v}_2\cdot\overrightarrow{AB}|}{\|\vec{v}_1\times\vec{v}_2\|}.$$ #### Exemple $D_1:(0,0,0)+t(1,0,0)$ (axe $x$) ; $D_2:(0,1,1)+s(0,1,0)$ (parallèle à $y$ passant par $(0,1,1)$). $\vec{v}_1=(1,0,0),\;\vec{v}_2=(0,1,0),\;\overrightarrow{AB}=(0,1,1)$. $\vec{v}_1\times\vec{v}_2=(0,0,1)$. $|(0,0,1)\cdot(0,1,1)|=1$, $\|\vec{v}_1\times\vec{v}_2\|=1$. Donc $d=1$. #### 2. Droite et plan - La droite est **parallèle** au plan si son directeur est orthogonal au vecteur normal du plan ($\vec{v}\cdot\vec{n}=0$) et qu’elle n’appartient pas au plan. - Elle est **sécante** si $\vec{v}\cdot\vec{n}\neq0$ ; le point d’intersection s’obtient en substituant les équations paramétriques de la droite dans l’équation du plan. - Elle est **incluse** si, en plus de $\vec{v}\cdot\vec{n}=0$, un point de la droite satisfait l’équation du plan. > **>** La position d’une droite par rapport à un plan se teste par le produit scalaire de son directeur avec le vecteur normal du plan. #### Distance d’un point à un plan Pour $P(x_0,y_0,z_0)$ et plan $\Pi:Ax+By+Cz+D=0$, $$d(P,\Pi)=\frac{|Ax_0+By_0+Cz_0+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}.$$ #### Exemple Point $P(2, -1, 3)$ et plan $2x-3y+6z-12=0$. Numérateur : $|2\cdot2-3(-1)+6\cdot3-12|=|4+3+18-12|=13$. Dénominateur : $\sqrt{4+9+36}=7$. $d=13/7$. #### 3. Deux plans - **Parallèles** : leurs normales sont colinéaires. - **Orthogonaux** : leurs normales sont orthogonales ($\vec{n}_1\cdot\vec{n}_2=0$). - **Sécants** : intersection est une droite ; on résout le système des deux équations. > **>** Deux plans dans l’espace sont soit parallèles, soit orthogonaux, soit sécants (intersection en une droite). #### Distance entre deux plans parallèles Si $\Pi_1:Ax+By+Cz+D_1=0$ et $\Pi_2:Ax+By+Cz+D_2=0$, alors $$d(\Pi_1,\Pi_2)=\frac{|D_2-D_1|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}.$$ #### Exemple Plans $2x+4y-2z+5=0$ et $2x+4y-2z-3=0$. $d=\frac{|-3-5|}{\sqrt{4+16+4}}=\frac{8}{\sqrt{24}}=\frac{8}{2\sqrt{6}}=\frac{4}{\sqrt{6}}=\frac{2\sqrt{6}}{3}$. ### D. Applications : calculs de distances #### Distance point–droite Pour $P$ et droite $D:A+t\vec{v}$, $$d(P,D)=\frac{\|\vec{v}\times\overrightarrow{AP}\|}{\|\vec{v}\|}.$$ #### Exemple $P(1,2,3)$, $D:(0,0,0)+t(1,1,1)$. $\overrightarrow{AP}=(1,2,3)$, $\vec{v}=(1,1,1)$. $\vec{v}\times\overrightarrow{AP}= \begin{vmatrix} \vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\ 1&1&1\\ 1&2&3 \end{vmatrix}= (1\cdot3-1\cdot2,\;1\cdot1-1\cdot3,\;1\cdot2-1\cdot1)=(1,-2,1)$. Norme du produit vectoriel : $\sqrt{1+4+1}=\sqrt{6}$. Norme de $\vec{v}$ : $\sqrt{3}$. $d=\sqrt{6}/\sqrt{3}=\sqrt{2}$. --- ## III. Synthèse du chapitre - **Repère orthonormé** : point $O$, trois vecteurs unitaires deux à deux orthogonaux. - **Coordonnées d’un point** : $\overrightarrow{OM}=x\vec{i}+y\vec{j}+z\vec{k}$. - **Distance** : $d(M_1,M_2)=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2+(z_2-z_1)^2}$. - **Milieu** : $I\bigl(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2},\frac{z_1+z_2}{2}\bigr)$. - **Vecteur** : norme, produit scalaire, orthogonalité ($\vec{u}\cdot\vec{v}=0$), colinéarité ($\vec{u}=\lambda\vec{v}$). - **Droite** : forme paramétrique $A+t\vec{v}$ ; forme cartésienne $\frac{x-x_0}{a}=\frac{y-y_0}{b}=\frac{z-z_0}{c}$ (avec adaptations si composante nulle). - **Plan** : forme paramétrique $A+s\vec{u}+t\vec{v}$ ; équation cartésienne $Ax+By+Cz+D=0$ avec $\vec{n}=(A,B,C)$ normal. - **Positions relatives** : - Deux droites : parallèles (directeurs colinéaires), sécantes (solution commune), skewes (sinon). - Droite–plan : parallèle si $\vec{v}\cdot\vec{n}=0$ et pas d’appartenance ; sécante si $\vec{v}\cdot\vec{n}\neq0$ ; incluse si, en plus, un point de la droite vérifie l’équation du plan. - Deux plans : parallèles (normales colinéaires), orthogonaux ($\vec{n}_1\cdot\vec{n}_2=0$), sécants (intersection en droite). - **Formules de distance** : - Point–plan : $\displaystyle d(P,\Pi)=\frac{|Ax_0+By_0+Cz_0+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$. - Point–droite : $\displaystyle d(P,D)=\frac{\|\vec{v}\times\overrightarrow{AP}\|}{\|\vec{v}\|}$. - Deux droites skewes : $\displaystyle d(D_1,D_2)=\frac{|\vec{v}_1\times\vec{v}_2\cdot\overrightarrow{AB}|}{\|\vec{v}_1\times\vec{v}_2\|}$. - Deux plans parallèles : $\displaystyle d(\Pi_1,\Pi_2)=\frac{|D_2-D_1|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$. --- ## Glossaire | Terme | Définition | |-------|------------| | Repère orthonormé | Système $(O,\vec{i},\vec{j},\vec{k})$ où $\vec{i},\vec{j},\vec{k}$ sont orthonormés. | | Coordonnées d’un point | Triplet $(x,y,z)$ tel que $\overrightarrow{OM}=x\vec{i}+y\vec{j}+z\vec{k}$. | | Vecteur directeur | Vecteur non nul donnant la direction d’une droite. | | Vecteur normal | Vecteur orthogonal à un plan. | | Produit scalaire | $\vec{u}\cdot\vec{v}=u_1v_1+u_2v_2+u_3v_3$ ; mesure l’alignement. | | Produit vectoriel | $\vec{u}\times\vec{v}$ donne un vecteur orthogonal à $\vec{u}$ et $\vec{v}$. | | Droite skewes | Deux droites qui ne sont ni parallèles ni sécantes. | | Distance point–plan | Longueur du segment perpendiculaire du point au plan. | --- ## Exercices d'application corrigés ### Exercice 1 Soit $A(2,-1,4)$ et $B(-3,5,-2)$. 1. Calculer la distance $AB$. 2. Déterminer les coordonnées du milieu $I$ de $[AB]$. **Corrigé** 1. $\overrightarrow{AB}=(-5,6,-6)$. $d(A,B)=\sqrt{(-5)^2+6^2+(-6)^2}=\sqrt{25+36+36}=\sqrt{97}$. 2. $I\bigl(\frac{2+(-3)}{2},\frac{-1+5}{2},\frac{4+(-2)}{2}\bigr)=\bigl(-\frac12,2,1\bigr)$. --- ### Exercice 2 Une droite $D$ passe par $P(1,0,-2)$ et a pour directeur $\vec{v}=(3,-1,2)$. 1. Écrire ses équations paramétriques. 2. Trouver son équation cartésienne. 3. Déterminer si le point $Q(4,-1,0)$ appartient à $D$. **Corrigé** 1. $\begin{cases}x=1+3t\\ y=0-t\\ z=-2+2t\end{cases}$. 2. Comme aucune composante de $\vec{v}$ n’est nulle : $\displaystyle\frac{x-1}{3}= \frac{y-0}{-1}= \frac{z+2}{2}$. 3. On cherche $t$ tel que les coordonnées de $Q$ soient obtenues : $1+3t=4\Rightarrow t=1$ ; alors $y=0-1=-1$ (ok) et $z=-2+2\cdot1=0$ (ok). Donc $Q\in D$. --- ### Exercice 3 Soit le plan $\Pi: 2x-3y+6z-12=0$. 1. Vérifier que le point $R(3,2,1)$ appartient à $\Pi$. 2. Calculer la distance du point $S(-1,4,0)$ au plan $\Pi$. **Corrigé** 1. En remplaçant : $2\cdot3-3\cdot2+6\cdot1-12=6-6+6-12=-6\neq0$. Donc $R\notin\Pi$. (On remarque l’erreur volontaire pour montrer la vérification.) 2. Distance : Numérateur : $|2(-1)-3\cdot4+6\cdot0-12|=|-2-12-12|=|-26|=26$. Dénominateur : $\sqrt{2^2+(-3)^2+6^2}=\sqrt{4+9+36}=7$. $d(S,\Pi)=\dfrac{26}{7}$. --- ### Exercice 4 Déterminer la position relative des droites $D_1:\begin{cases}x=2+t\\ y=1-2t\\ z=3t\end{cases}$ et $D_2:\begin{cases}x=1+2s\\ y=-1+s\\ z=4-3s\end{cases}$. **Corrigé** Directeurs : $\vec{v}_1=(1,-2,3)$, $\vec{v}_2=(2,1,-3)$. Ils ne sont pas colinéaires (pas de $\lambda$ tel que $\vec{v}_1=\lambda\vec{v}_2$). On cherche une intersection : égalons les coordonnées. $x: 2+t = 1+2s \Rightarrow t = 2s-1$. $y: 1-2t = -1+s \Rightarrow 1-2(2s-1) = -1+s \Rightarrow 1-4s+2 = -1+s \Rightarrow 3-4s = -1+s \Rightarrow 5 = 5s \Rightarrow s=1$. Alors $t = 2\cdot1-1 =1$. Vérif. $z$: $3t = 3$, $4-3s = 4-3 =1$ → pas égal. Donc pas de solution commune → les droites sont **skewes**. Distance : $\overrightarrow{P_1P_2}$ avec $P_1(2,1,0)$ (pour $t=0$) et $P_2(1,-1,4)$ (pour $s=0$) donne $\overrightarrow{P_1P_2}=(-1,-2,4)$. $\vec{v}_1\times\vec{v}_2 = \begin{vmatrix} \vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\ 1&-2&3\\ 2&1&-3 \end{vmatrix}= ((-2)(-3)-3\cdot1,\;3\cdot2-1\cdot(-3),\;1\cdot1-(-2)\cdot2) = (6-3,\;6+3,\;1+4) = (3,9,5)$. Norme du produit vectoriel : $\sqrt{3^2+9^2+5^2}= \sqrt{9+81+25}= \sqrt{115}$. Produit mixte : $(\vec{v}_1\times\vec{v}_2)\cdot\overrightarrow{P_1P_2}= (3,9,5)\cdot(-1,-2,4)= -3-18+20=-1$. Valeur absolue : $1$. $d(D_1,D_2)=\dfrac{1}{\sqrt{115}}$. --- ### Exercice 5 Soit le plan $\Pi_1: x+2y-2z+3=0$ et le plan $\Pi_2: 2x+4y-4z-5=0$. 1. Montrer que $\Pi_1$ et $\Pi_2$ sont parallèles. 2. Calculer la distance entre eux. **Corrigé** Normales : $\vec{n}_1=(1,2,-2)$, $\vec{n}_2=(2,4,-4)=2\vec{n}_1$ → colinéaires → plans parallèles. Distance : $d=\dfrac{|D_2-D_1|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$ avec l’équation sous la forme $Ax+By+Cz+D=0$. Pour $\Pi_1$, $D_1=3$. Pour $\Pi_2$, on divise par 2 pour avoir les mêmes coefficients $A,B,C$ : $x+2y-2z-\frac52=0$ → $D_2=-\frac52$. $|D_2-D_1| = |-\frac52-3| = |-\frac{11}{2}| = \frac{11}{2}$. Dénominateur : $\sqrt{1^2+2^2+(-2)^2}= \sqrt{1+4+4}=3$. $d = \dfrac{11/2}{3}= \dfrac{11}{6}$. --- ### Exercice 6 (synthèse) Un tetraèdre $ABCD$ a pour sommets $A(0,0,0)$, $B(4,0,0)$, $C(0,3,0)$, $D(0,0,5)$. 1. Calculer l’aire du triangle $ABC$. 2. Déterminer l’équation du plan passant par $A$, $B$, $D$. 3. Trouver la distance du sommet $C$ au plan $ABD$. **Corrigé** 1. Vecteurs $\overrightarrow{AB}=(4,0,0)$, $\overrightarrow{AC}=(0,3,0)$. Produit vectoriel : $\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}= (0,0,12)$. Norme = $12$. Aire $= \frac12\|\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}\| = 6$. 2. Vecteurs dans le plan $ABD$ : $\overrightarrow{AB}=(4,0,0)$, $\overrightarrow{AD}=(0,0,5)$. Produit vectoriel : $\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AD}= (0,-20,0)$ (ou $(0,20,0)$ selon l’ordre). On prend $\vec{n}=(0,1,0)$ après simplification (en divisant par $-20$). Équation du plan par $A(0,0,0)$ : $0(x-0)+1(y-0)+0(z-0)=0$ → $y=0$. En effet, les points $A,B,D$ ont tous $y=0$. 3. Distance du point $C(0,3,0)$ au plan $y=0$ : Forme réduite : $0x+1y+0z+0=0$ → $A=0,B=1,C=0,D=0$. $d(C,\Pi_{ABD}) = \dfrac{|0\cdot0+1\cdot3+0\cdot0+0|}{\sqrt{0^2+1^2+0^2}} = \dfrac{3}{1}=3$. --- ## Erreurs fréquentes 1. **Confondre produit scalaire et produit vectoriel** - *Piège* : croire que $\vec{u}\cdot\vec{v}$ donne un vecteur orthogonal. - *Correction* : le produit scalaire est un scalaire ; l’orthogonalité se teste par $\vec{u}\cdot\vec{v}=0$. Le produit vectoriel $\vec{u}\times\vec{v}$ donne un vecteur orthogonal aux deux. 2. **Oublier de vérifier l’appartenance d’un point à un plan lorsqu’on teste le parallélisme droite–plan** - *Piège* : dire qu’une droite est parallèle au plan parce que $\vec{v}\cdot\vec{n}=0$, alors qu’elle est en fait incluse. - *Correction* : après avoir vérifié $\vec{v}\cdot\vec{n}=0$, substituer les coordonnées d’un point de la droite dans l’équation du plan ; si l’égalité vaut, la droite est dans le plan, sinon elle est strictement parallèle. 3. **Mauvaise manipulation des signes lors du calcul d’une distance point–plan** - *Piège* : oublier la valeur absolue dans le numérateur ou mettre un signe moins devant $D$. - *Correction* : utiliser la formule $d(P,\Pi)=\dfrac{|Ax_0+By_0+Cz_0+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$ ; le numérateur doit toujours être positif ou nul. 4. **Confondre droites skewes et droites parallèles lorsqu’on résout le système** - *Piège* : conclure à l’absence de solution donc les droites sont parallèles. - *Correction* : vérifier d’abord si les directeurs sont colinéaires ; si oui → parallèles (ou confondues) ; si non et pas de solution → skewes. 5. **Erreur dans le produit vectoriel (ordre des composantes)** - *Piège* : inverser les signes lors du développement du déterminant. - *Correction* : retenir la règle mnémotechnique : $\vec{u}\times\vec{v}= (u_2v_3-u_3v_2,\; u_3v_1-u_1v_3,\; u_1v_2-u_2v_1)$. Vérifier chaque composante avec un exemple simple ($\vec{i}\times\vec{j}=\vec{k}$). 6. **Utiliser une forme cartésienne inadéquate quand une composante du directeur est nulle** - *Piège* : écrire $\frac{x-x_0}{0}$ ce qui est interdit. - *Correction* : lorsqu’une composante du directeur vaut zéro, on écrit l’équation correspondante sous forme d’égalité simple (ex. $a=0\Rightarrow x=x_0$) et on ne garde que les fractions où le dénominateur est non nul. --- *Fin du cours.*