Statistiques

## Tableaux des effectifs et fréquences cumulés ### Introduction En statistiques, il est souvent utile de savoir non seulement combien de fois une valeur particulière apparaît (son effectif) ou sa proportion (sa fréquence), mais aussi combien de valeurs sont *inférieures ou égales* à une certaine valeur, ou *supérieures ou égales* à celle-ci. C'est là qu'interviennent les effectifs et fréquences cumulés. Ils permettent d'avoir une vision rapide de la répartition des données et de répondre à des questions comme "Combien d'élèves ont eu moins de 10/20 ?" ou "Quel pourcentage de la population a plus de 60 ans ?". ### Concepts Clés #### Rappels sur les effectifs et les fréquences * **Effectif (\(n_i\)):** C'est le nombre de fois qu'une valeur (ou une modalité) apparaît dans une série statistique. * **Effectif total (\(N\)):** C'est la somme de tous les effectifs. \[ N = \sum n_i \] * **Fréquence (\(f_i\)):** C'est la proportion d'une valeur par rapport à l'effectif total. Elle se calcule comme le rapport de l'effectif de la valeur sur l'effectif total. \[ f_i = \frac{n_i}{N} \] * La fréquence peut être exprimée en valeur décimale (entre 0 et 1) ou en pourcentage (entre 0% et 100%). * La somme de toutes les fréquences est toujours égale à 1 (ou 100%). #### Les effectifs cumulés Pour calculer les effectifs cumulés, il faut impérativement que les valeurs de la série statistique soient **ordonnées** (généralement dans l'ordre croissant). ##### Effectifs Cumulés Croissants (ECC) L'effectif cumulé croissant d'une valeur est la somme de l'effectif de cette valeur et de tous les effectifs des valeurs qui la précèdent dans la série ordonnée. Il répond à la question : "Combien d'individus ont une valeur *inférieure ou égale* à celle-ci ?" * Le premier ECC est l'effectif de la première valeur. * Le dernier ECC est l'effectif total de la série. ##### Effectifs Cumulés Décroissants (ECD) L'effectif cumulé décroissant d'une valeur est la somme de l'effectif de cette valeur et de tous les effectifs des valeurs qui la suivent dans la série ordonnée. Il répond à la question : "Combien d'individus ont une valeur *supérieure ou égale* à celle-ci ?" * Le premier ECD est l'effectif total de la série. * Le dernier ECD est l'effectif de la dernière valeur. #### Les fréquences cumulées Les fréquences cumulées suivent la même logique que les effectifs cumulés, mais utilisent les fréquences. ##### Fréquences Cumulées Croissantes (FCC) La fréquence cumulée croissante d'une valeur est la somme de la fréquence de cette valeur et de toutes les fréquences des valeurs qui la précèdent. Elle peut aussi être calculée en divisant l'effectif cumulé croissant par l'effectif total. * Formule: \( \text{FCC}_i = \frac{\text{ECC}_i}{N} \) * Elle s'exprime souvent en pourcentage et indique le pourcentage d'individus ayant une valeur *inférieure ou égale* à la valeur concernée. * La dernière FCC est toujours égale à 1 (ou 100%). ##### Fréquences Cumulées Décroissantes (FCD) La fréquence cumulée décroissante d'une valeur est la somme de la fréquence de cette valeur et de toutes les fréquences des valeurs qui la suivent. Elle peut aussi être calculée en divisant l'effectif cumulé décroissant par l'effectif total. * Formule: \( \text{FCD}_i = \frac{\text{ECD}_i}{N} \) * Elle s'exprime souvent en pourcentage et indique le pourcentage d'individus ayant une valeur *supérieure ou égale* à la valeur concernée. * La première FCD est toujours égale à 1 (ou 100%). ### Vocabulaire * **Série statistique:** Un ensemble de données collectées sur une population ou un échantillon. * **Valeur (ou modalité):** Une caractéristique observée ou mesurée dans la série statistique. * **Effectif (\(n_i\)):** Le nombre d'occurrences d'une valeur particulière. * **Effectif total (\(N\)):** Le nombre total d'individus ou d'observations dans la série. * **Fréquence (\(f_i\)):** La proportion d'une valeur par rapport à l'effectif total (\(n_i/N\)). * **Effectif cumulé croissant (ECC):** Somme des effectifs jusqu'à une valeur donnée (incluse). * **Fréquence cumulée croissante (FCC):** Somme des fréquences jusqu'à une valeur donnée (incluse), ou ECC / Effectif total. * **Effectif cumulé décroissant (ECD):** Somme des effectifs à partir d'une valeur donnée (incluse) et des suivantes. * **Fréquence cumulée décroissante (FCD):** Somme des fréquences à partir d'une valeur donnée (incluse) et des suivantes, ou ECD / Effectif total. ### Exemples Considérons les notes sur 20 obtenues par 20 élèves à un contrôle de mathématiques: 8, 10, 12, 10, 15, 8, 10, 12, 15, 18, 10, 8, 12, 10, 15, 12, 10, 18, 12, 15. **Étape 1: Ordonner les valeurs et construire le tableau des effectifs et fréquences simples.** | Notes (\(x_i\)) | Effectif (\(n_i\)) | Fréquence (\(f_i\)) | Fréquence (%) | |:---------------:|:-------------------:|:---------------------:|:---------------:| | 8 | 3 | 0.15 | 15% | | 10 | 6 | 0.30 | 30% | | 12 | 5 | 0.25 | 25% | | 15 | 4 | 0.20 | 20% | | 18 | 2 | 0.10 | 10% | | **Total** | **20** | **1.00** | **100%** | **Étape 2: Ajouter les colonnes des effectifs et fréquences cumulés.** | Notes (\(x_i\)) | Effectif (\(n_i\)) | Fréquence (%) | ECC | FCC (%) | ECD | FCD (%) | |:---------------:|:-------------------:|:---------------:|:---:|:-------:|:---:|:-------:| | 8 | 3 | 15% | 3 | 15% | 20 | 100% | | 10 | 6 | 30% | 9 | 45% | 17 | 85% | | 12 | 5 | 25% | 14 | 70% | 11 | 55% | | 15 | 4 | 20% | 18 | 90% | 6 | 30% | | 18 | 2 | 10% | 20 | 100% | 2 | 10% | | **Total** | **20** | **100%** | | | | | **Interprétation des résultats:** * **ECC pour la note 12 est 14:** Cela signifie que 14 élèves ont eu une note *inférieure ou égale* à 12. * **FCC pour la note 12 est 70%:** Cela signifie que 70% des élèves ont eu une note *inférieure ou égale* à 12. * **ECD pour la note 15 est 6:** Cela signifie que 6 élèves ont eu une note *supérieure ou égale* à 15. * **FCD pour la note 15 est 30%:** Cela signifie que 30% des élèves ont eu une note *supérieure ou égale* à 15. ### Exercices 1. **Série des âges:** Voici les âges des participants à un petit tournoi de jeux vidéo : 16, 17, 18, 16, 19, 17, 20, 18, 16, 19. * Créez un tableau complet incluant les effectifs, les fréquences (en %), les effectifs cumulés croissants (ECC), les fréquences cumulées croissantes (FCC en %), les effectifs cumulés décroissants (ECD) et les fréquences cumulées décroissantes (FCD en %). * Combien de participants ont moins de 18 ans (strictement) ? * Quel pourcentage des participants a 17 ans ou plus ? 2. **Lecture de tableau:** Un tableau statistique donne les résultats d'une enquête sur le nombre de livres lus par mois par des adultes. Seules quelques valeurs sont visibles : | Nombre de livres | Effectif | Fréquence (%) | ECC | FCC (%) | ECD | FCD (%) | |:----------------:|:--------:|:-------------:|:---:|:-------:|:---:|:-------:| | 0 | 5 | 10% | | | | | | 1 | 15 | 30% | | | | | | 2 | | | 35 | 70% | | | | 3 | 10 | 20% | | | | | | 4 | | | | | 10 | 20% | | **Total** | **50** | **100%** | | | | | * Complétez les cases vides du tableau. * Quel est le nombre d'adultes ayant lu 2 livres par mois ? * Quel est le pourcentage d'adultes ayant lu au moins 3 livres par mois ? ### Devoir à la maison 1. **Temps de trajet:** Un sondage a été réalisé auprès de 40 employés d'une entreprise concernant leur temps de trajet quotidien pour se rendre au travail (en minutes). | Temps de trajet (min) | Effectif | |:---------------------:|:--------:| | [0 ; 10[ | 8 | | [10 ; 20[ | 12 | | [20 ; 30[ | 10 | | [30 ; 40[ | 7 | | [40 ; 50[ | 3 | * Recopiez et complétez ce tableau en ajoutant les colonnes de fréquence (en %), d'effectif cumulé croissant (ECC), de fréquence cumulée croissante (FCC en %), d'effectif cumulé décroissant (ECD) et de fréquence cumulée décroissante (FCD en %). * Quel est le nombre d'employés qui mettent moins de 30 minutes pour se rendre au travail ? * Quel pourcentage d'employés mettent au moins 20 minutes pour aller au travail ? * Si le temps de trajet médian est la valeur pour laquelle la FCC atteint 50%, dans quelle classe se situe le temps de trajet médian ? 2. **Vrai ou Faux:** Indiquez si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses et justifiez votre réponse. * a) Le dernier effectif cumulé croissant est toujours égal à l'effectif total. * b) La somme des fréquences cumulées croissantes est toujours égale à 1. * c) Si la FCC d'une valeur est de 75%, cela signifie que 75% des données ont cette valeur ou une valeur supérieure. * d) La FCD d'une valeur est toujours égale à 1 moins la FCC de la valeur *précédente*. ### Résumé Les tableaux des effectifs et fréquences cumulés sont des outils puissants en statistiques pour analyser la répartition des données. Ils nous permettent de : * Comprendre combien d'observations se situent en dessous ou au-dessus d'un certain seuil. * Calculer des proportions ou des pourcentages pour des intervalles de valeurs. * Répondre rapidement à des questions de type "moins de X" ou "plus de Y". Pour les construire, il est crucial de d'abord **ordonner** les valeurs de la série statistique. Les effectifs cumulés s'obtiennent en additionnant les effectifs successifs, et les fréquences cumulées s'en déduisent en divisant par l'effectif total, ou en additionnant les fréquences successives. Ils représentent une somme progressive (pour les cumulés croissants) ou dégressive (pour les cumulés décroissants) des informations de la série. ## Diagrammes statistiques ### Introduction Les statistiques sont un outil puissant pour comprendre et analyser des informations. Cependant, les tableaux de données peuvent parfois être difficiles à interpréter rapidement. C'est là qu'interviennent les diagrammes statistiques ! Ce sont des représentations visuelles qui transforment les chiffres en images, facilitant ainsi la compréhension, la comparaison et la prise de décision. Dans cette leçon, nous allons explorer les différents types de diagrammes que l'on utilise le plus souvent pour visualiser des données en Seconde. ### Concepts Clés #### Qu'est-ce qu'un diagramme statistique ? Un diagramme statistique est une représentation graphique de données statistiques. Il permet de visualiser rapidement la répartition d'un caractère au sein d'une population et de faire ressortir les tendances ou les particularités. #### Les différents types de diagrammes ##### Diagramme en bâtons (ou en barres) * **Quand l'utiliser ?** Ce diagramme est idéal pour représenter des données qualitatives (non mesurables, comme les couleurs préférées) ou des données quantitatives discrètes (qui ne prennent que certaines valeurs, comme le nombre d'enfants). * **Comment le construire ?** * L'axe horizontal représente les différentes modalités du caractère (les catégories ou les valeurs discrètes). * L'axe vertical représente l'effectif (le nombre d'individus) ou la fréquence (la proportion). * Pour chaque modalité, on trace un bâton (ou une barre) dont la hauteur est proportionnelle à son effectif ou à sa fréquence. * **Particularité :** Les bâtons sont généralement séparés pour bien distinguer chaque modalité. ##### Diagramme circulaire (ou en secteurs) * **Quand l'utiliser ?** Ce type de diagramme est excellent pour montrer la répartition des parties d'un tout. Il est souvent utilisé pour des données qualitatives ou quantitatives discrètes lorsque l'on veut visualiser les proportions. * **Comment le construire ?** * Le cercle entier représente l'effectif total (100 %). * Chaque modalité est représentée par un secteur circulaire dont l'angle est proportionnel à son effectif ou sa fréquence. * La formule pour calculer l'angle d'un secteur est : \[ \text{Angle du secteur} = \frac{\text{Effectif de la modalité}}{\text{Effectif total}} \times 360^ \quad \text{ou} \quad \text{Angle du secteur} = \text{Fréquence de la modalité} \times 360^ \] * **Attention :** Il est difficile de comparer précisément de nombreuses catégories avec ce type de diagramme. ##### Histogramme * **Quand l'utiliser ?** L'histogramme est le diagramme de référence pour les données quantitatives continues (qui peuvent prendre n'importe quelle valeur dans un intervalle, comme la taille, le poids, le temps). Ces données sont généralement regroupées en classes (intervalles). * **Comment le construire ?** * L'axe horizontal représente les classes de valeurs du caractère. * Pour chaque classe, on trace un rectangle. Les rectangles sont *adjacents* (collés) car les données sont continues. * La base de chaque rectangle correspond à l'amplitude de la classe. * Si les classes ont la même amplitude, la hauteur du rectangle est proportionnelle à l'effectif (ou la fréquence) de la classe. Si les amplitudes sont différentes, la *surface* du rectangle est proportionnelle à l'effectif (ou la fréquence). On parle alors de **densité d'effectif** (ou de fréquence) pour la hauteur : \[ \text{Densité d'effectif} = \frac{\text{Effectif de la classe}}{\text{Amplitude de la classe}} \] * **Particularité :** L'aire totale de l'histogramme représente l'effectif total (ou la fréquence totale si on utilise des fréquences). ##### Polygone des effectifs (ou des fréquences) * **Quand l'utiliser ?** Il est souvent utilisé en complément d'un histogramme pour visualiser l'évolution des effectifs (ou fréquences) d'une variable continue. Il peut aussi être utilisé seul pour des données discrètes. * **Comment le construire ?** * Pour un histogramme, on place un point au milieu du côté supérieur de chaque rectangle. * On relie ensuite ces points par des segments de droite. * On joint les points extrêmes à l'axe des abscisses au milieu des classes "virtuelles" précédentes et suivantes pour fermer le polygone. ### Vocabulaire * **Caractère statistique (ou variable statistique) :** La propriété étudiée sur la population (ex : couleur des yeux, taille, nombre de frères et sœurs). * **Population :** L'ensemble des individus sur lesquels porte l'étude statistique (ex : tous les élèves d'un lycée). * **Individu (ou unité statistique) :** Un élément de la population (ex : un élève). * **Modalité :** Une valeur ou une catégorie que peut prendre un caractère statistique (ex : bleu, vert, marron pour la couleur des yeux ; 1,75 m pour la taille). * **Effectif :** Le nombre d'individus qui possèdent une certaine modalité ou qui appartiennent à une certaine classe. L'effectif total est le nombre total d'individus dans la population. * **Fréquence :** La proportion d'individus qui possèdent une certaine modalité. Elle se calcule par \( \text{Fréquence} = \frac{\text{Effectif de la modalité}}{\text{Effectif total}} \). Elle peut être exprimée en valeur décimale ou en pourcentage. * **Classe :** Un intervalle de valeurs pour regrouper des données quantitatives continues (ex : \[160 ; 170[ ext{ cm}). * **Amplitude de classe :** La largeur d'une classe (ex : pour \[160 ; 170[ ext{, l'amplitude est } 170 - 160 = 10 ext{ cm}). * **Densité d'effectif (ou de fréquence) :** La hauteur d'un rectangle dans un histogramme quand les classes n'ont pas la même amplitude. Elle est calculée par \( \frac{\text{effectif}}{\text{amplitude de la classe}} \). ### Exemples #### Exemple 1 : Diagramme en bâtons (Notes d'un devoir) Un professeur a relevé les notes sur 5 à un devoir pour sa classe de Seconde : | Note /5 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | |---------|---|---|---|---|---|---| | Effectif | 2 | 3 | 5 | 8 | 4 | 3 | Pour construire le diagramme en bâtons : 1. Sur l'axe des abscisses, on place les notes de 0 à 5. 2. Sur l'axe des ordonnées, on gradue les effectifs (de 0 à 8). 3. Pour chaque note, on trace un bâton dont la hauteur correspond à son effectif. Par exemple, pour la note 3, le bâton monte jusqu'à 8. #### Exemple 2 : Diagramme circulaire (Moyen de transport des élèves) Dans une classe de 25 élèves : | Moyen de transport | Effectif | Fréquence | Angle du secteur | |--------------------|----------|-----------|------------------| | Vélo | 5 | 0,20 | \(0,20 imes 360^ ext{o} = 72^ ext{o}\) | | Bus | 10 | 0,40 | \(0,40 imes 360^ ext{o} = 144^ ext{o}\) | | Voiture | 4 | 0,16 | \(0,16 imes 360^ ext{o} = 57,6^ ext{o}\) | | À pied | 6 | 0,24 | \(0,24 imes 360^ ext{o} = 86,4^ ext{o}\) | | **Total** | **25** | **1** | **\(360^ ext{o}\)** | Pour construire le diagramme circulaire, on utilise un rapporteur pour tracer les angles calculés pour chaque catégorie. #### Exemple 3 : Histogramme (Temps de trajet pour aller au lycée) Un sondage auprès de 50 lycéens sur leur temps de trajet (en minutes) : | Temps (min) | Effectif | Amplitude | Densité d'effectif | |-------------|----------|-----------|--------------------| | \[0 ; 10\[ | 12 | 10 | \(12/10 = 1,2\) | | \[10 ; 20\[ | 18 | 10 | \(18/10 = 1,8\) | | \[20 ; 30\[ | 10 | 10 | \(10/10 = 1,0\) | | \[30 ; 50\[ | 8 | 20 | \(8/20 = 0,4\) | | \[50 ; 60\[ | 2 | 10 | \(2/10 = 0,2\) | Pour construire l'histogramme : 1. Sur l'axe des abscisses, on place les classes de temps (0, 10, 20, 30, 50, 60). 2. Sur l'axe des ordonnées, on place la densité d'effectif. 3. Pour chaque classe, on dessine un rectangle. Par exemple, pour la classe \[0 ; 10\[, le rectangle aura une base de 10 unités (de 0 à 10) et une hauteur de 1,2 unités. 4. Pour la classe \[30 ; 50\[, le rectangle aura une base de 20 unités (de 30 à 50) et une hauteur de 0,4 unités. ### Exercices 1. **Choix et construction de diagramme :** Un fleuriste a relevé les ventes de roses de différentes couleurs en une journée : * Rouges : 45 * Blanches : 25 * Jaunes : 15 * Roses : 35 a. Quel type de diagramme serait le plus approprié pour représenter ces données ? Justifiez votre choix. b. Construisez ce diagramme. 2. **Lecture d'un diagramme :** Un diagramme en bâtons montre le nombre de livres lus par des élèves de Seconde en un mois. Les hauteurs des bâtons sont : * 0 livre : 5 élèves * 1 livre : 12 élèves * 2 livres : 8 élèves * 3 livres et plus : 3 élèves a. Combien d'élèves ont participé à cette enquête ? b. Quel est le pourcentage d'élèves ayant lu au moins 2 livres ? (Arrondir au dixième de pourcentage). 3. **Construction d'histogramme :** Voici la répartition des salaires (en euros) dans une petite entreprise : | Salaire (en €) | Effectif | |----------------|----------| | \[1200 ; 1500\[| 10 | | \[1500 ; 1800\[| 8 | | \[1800 ; 2000\[| 5 | | \[2000 ; 2500\[| 2 | Construisez l'histogramme correspondant à cette distribution. N'oubliez pas de calculer les densités d'effectif si nécessaire. ### Devoir 1. **Sondage personnel et représentations :** Réalisez un mini-sondage auprès de 20 personnes (amis, famille, camarades de classe) sur leur genre de film préféré (action, comédie, science-fiction, drame, horreur, autre). a. Organisez vos données dans un tableau d'effectifs et de fréquences. b. Construisez un diagramme en bâtons pour représenter ces données. c. Construisez un diagramme circulaire pour les mêmes données. 2. **Analyse de données climatiques :** Le tableau ci-dessous indique la répartition des températures maximales journalières (en \(^ ext{o} ext{C}\)) relevées en juillet dans une ville : | Température ( | Effectif | |--------------------|----------| | \[20 ; 24\[ | 5 | | \[24 ; 28\[ | 12 | | \[28 ; 30\[ | 8 | | \[30 ; 32\[ | 4 | | \[32 ; 36\[ | 2 | a. Quel type de diagramme est le plus adapté pour ces données ? Pourquoi ? b. Construisez ce diagramme en faisant apparaître les densités d'effectif si les amplitudes de classes sont différentes. ### Résumé Les diagrammes statistiques sont des outils visuels essentiels pour comprendre et communiquer des informations chiffrées. Nous avons vu trois types principaux : * Le **diagramme en bâtons**, parfait pour les données discrètes ou qualitatives, où la hauteur des bâtons représente l'effectif ou la fréquence. * Le **diagramme circulaire**, excellent pour montrer les proportions de chaque partie d'un tout, où l'angle de chaque secteur est proportionnel à sa fréquence. * L'**histogramme**, indispensable pour les données continues regroupées en classes, où la surface des rectangles représente l'effectif (et la hauteur la densité d'effectif si les amplitudes de classes varient). Bien choisir son diagramme en fonction du type de données est crucial pour une représentation claire et une interprétation juste des statistiques. ## Caractéristiques de position et de dispersion ### Introduction En mathématiques, les statistiques nous permettent d'analyser et d'interpréter des ensembles de données. Pour comprendre un groupe de données, nous utilisons des "caractéristiques" qui décrivent ses propriétés. Ces caractéristiques sont de deux types principaux : les **caractéristiques de position**, qui nous disent où se situe le centre ou la tendance principale des données, et les **caractéristiques de dispersion**, qui nous indiquent comment les données sont réparties ou étalées. Dans cette leçon, nous allons explorer ces différentes caractéristiques et apprendre à les calculer pour mieux comprendre nos séries statistiques. ### Concepts Clés #### Caractéristiques de Position Les caractéristiques de position (ou de tendance centrale) donnent une idée de la valeur "typique" ou "centrale" d'une série statistique. ##### La Moyenne Arithmétique (\( \bar{x} \) ou \( \mu \)) La moyenne est la somme de toutes les valeurs divisée par le nombre total de valeurs. C'est la caractéristique de position la plus couramment utilisée. * **Pour une série de valeurs simples \( x_1, x_2, ..., x_N \) :** \[ \bar{x} = \frac{x_1 + x_2 + ... + x_N}{N} = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} x_i \] où \( N \) est l'effectif total. * **Pour une série statistique regroupée par effectifs (\( x_i \) avec effectif \( n_i \)) :** \[ \bar{x} = \frac{n_1 x_1 + n_2 x_2 + ... + n_k x_k}{N} = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{k} n_i x_i \] où \( N = \sum_{i=1}^{k} n_i \) est l'effectif total et \( k \) est le nombre de valeurs distinctes. ##### La Médiane (Me) La médiane est la valeur qui partage la série statistique ordonnée en deux groupes de même effectif. Il y a autant de valeurs inférieures ou égales à la médiane que de valeurs supérieures ou égales. * **Méthode de calcul :** 1. Ordonner la série statistique dans l'ordre croissant. 2. Si l'effectif total \( N \) est impair, la médiane est la valeur située à la \( \left( \frac{N+1}{2} \right)^{\text{ème}} \) position. 3. Si l'effectif total \( N \) est pair, la médiane est la moyenne des deux valeurs centrales, situées aux \( \left( \frac{N}{2} \right)^{\text{ème}} \) et \( \left( \frac{N}{2} + 1 \right)^{\text{ème}} \) positions. On peut aussi dire que c'est n'importe quelle valeur entre ces deux-là (inclues) qui divise l'effectif en deux moitiés égales, mais on prend généralement la moyenne pour être précis. ##### Le Mode Le mode est la valeur (ou la classe) qui a l'effectif le plus élevé dans une série statistique. C'est la valeur la plus fréquente. * Une série statistique peut avoir un mode (unimodale), plusieurs modes (multimodale) ou aucun mode si toutes les valeurs ont la même fréquence. ##### Les Quartiles (Q1, Q2, Q3) Les quartiles divisent la série statistique ordonnée en quatre parties égales. * **Premier Quartile (Q1) :** C'est la plus petite valeur telle qu'au moins 25% des données lui sont inférieures ou égales. C'est la médiane de la première moitié de la série (avant la médiane globale). * **Deuxième Quartile (Q2) :** C'est la médiane de la série entière (Me). * **Troisième Quartile (Q3) :** C'est la plus petite valeur telle qu'au moins 75% des données lui sont inférieures ou égales. C'est la médiane de la seconde moitié de la série (après la médiane globale). * **Méthode de calcul (pour une série ordonnée de \( N \) valeurs) :** 1. Calculer \( P_1 = N \times 0,25 \). Si \( P_1 \) est un entier, \( Q_1 \) est la moyenne de la valeur à la \( P_1^{\text{ème}} \) position et de la valeur à la \( (P_1+1)^{\text{ème}} \) position. Si \( P_1 \) n'est pas un entier, \( Q_1 \) est la valeur à la position \( \lceil P_1 \rceil^{\text{ème}} \) (arrondi à l'entier supérieur). 2. Calculer \( P_3 = N \times 0,75 \). Si \( P_3 \) est un entier, \( Q_3 \) est la moyenne de la valeur à la \( P_3^{\text{ème}} \) position et de la valeur à la \( (P_3+1)^{\text{ème}} \) position. Si \( P_3 \) n'est pas un entier, \( Q_3 \) est la valeur à la position \( \lceil P_3 \rceil^{\text{ème}} \) (arrondi à l'entier supérieur). #### Caractéristiques de Dispersion Les caractéristiques de dispersion nous renseignent sur l'étalement des données autour de la tendance centrale. ##### L'Étendue L'étendue est la différence entre la valeur maximale et la valeur minimale d'une série statistique. \[ \text{Étendue} = \text{Valeur maximale} - \text{Valeur minimale} \] * Elle donne une idée de la largeur totale de l'intervalle où se trouvent les données. ##### La Variance (\( \sigma^2 \)) La variance mesure la dispersion des valeurs par rapport à la moyenne. C'est la moyenne des carrés des écarts à la moyenne. * **Pour une série de valeurs simples :** \[ \sigma^2 = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} (x_i - \bar{x})^2 \] * **Pour une série regroupée par effectifs :** \[ \sigma^2 = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{k} n_i (x_i - \bar{x})^2 \] * **Formule de Koenig-Huygens (plus facile à calculer) :** \[ \sigma^2 = \left( \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} x_i^2 \right) - \bar{x}^2 \] ou pour les séries regroupées : \[ \sigma^2 = \left( \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{k} n_i x_i^2 \right) - \bar{x}^2 \] ##### L'Écart-type (\( \sigma \)) L'écart-type est la racine carrée de la variance. Il est exprimé dans la même unité que les données, ce qui le rend plus facile à interpréter que la variance. \[ \sigma = \sqrt{\sigma^2} \] * Un petit écart-type indique que les données sont regroupées près de la moyenne. Un grand écart-type indique qu'elles sont très dispersées. ##### L'Intervalle Interquartile (IIQ) L'intervalle interquartile est la différence entre le troisième quartile (Q3) et le premier quartile (Q1). \[ \text{IIQ} = Q_3 - Q_1 \] * Il représente l'étendue des 50% de valeurs centrales de la série. C'est une mesure de dispersion moins sensible aux valeurs extrêmes (outliers) que l'étendue ou l'écart-type. ### Vocabulaire * **Série statistique :** Un ensemble de données numériques collectées. * **Effectif (\( n \)) :** Le nombre d'individus ou d'observations pour une modalité ou une valeur donnée. L'effectif total (\( N \)) est le nombre total d'observations. * **Fréquence :** La proportion d'un effectif par rapport à l'effectif total. \( f = n/N \). * **Moyenne :** La somme des valeurs divisée par le nombre de valeurs. Une mesure de tendance centrale. * **Médiane :** La valeur qui divise la série ordonnée en deux parties égales. Une mesure de tendance centrale. * **Mode :** La valeur la plus fréquente dans une série. Une mesure de tendance centrale. * **Quartiles (Q1, Q2, Q3) :** Valeurs qui divisent une série ordonnée en quatre parties égales. * **Étendue :** Différence entre la valeur maximale et la valeur minimale. Une mesure de dispersion. * **Variance :** Moyenne des carrés des écarts à la moyenne. Mesure la dispersion. * **Écart-type :** Racine carrée de la variance. Exprimé dans la même unité que les données, il quantifie l'étalement autour de la moyenne. * **Intervalle Interquartile (IIQ) :** La différence entre le troisième et le premier quartile. Mesure la dispersion des 50% de données centrales. ### Exemples Considérons les notes suivantes obtenues par 10 élèves à un devoir de mathématiques (sur 20) : 12, 15, 9, 18, 10, 13, 11, 16, 14, 12. 1. **Ordonner la série :** 9, 10, 11, 12, 12, 13, 14, 15, 16, 18. (\( N = 10 \)) 2. **Moyenne :** \( \bar{x} = \frac{9+10+11+12+12+13+14+15+16+18}{10} = \frac{130}{10} = 13 \) La moyenne des notes est de 13/20. 3. **Médiane :** \( N=10 \) (pair). Les valeurs centrales sont à la \( 5^{\text{ème}} \) et \( 6^{\text{ème}} \) position, soit 12 et 13. \( \text{Me} = \frac{12+13}{2} = 12,5 \) La moitié des élèves ont eu une note inférieure ou égale à 12,5 et la moitié une note supérieure ou égale. 4. **Mode :** La note 12 apparaît deux fois, les autres une seule fois. Le mode est 12. 5. **Quartiles :** * \( N \times 0,25 = 10 \times 0,25 = 2,5 \). On prend la valeur à la \( 3^{\text{ème}} \) position. \( Q_1 = 11 \). * \( N \times 0,75 = 10 \times 0,75 = 7,5 \). On prend la valeur à la \( 8^{\text{ème}} \) position. \( Q_3 = 15 \). 6. **Étendue :** \( \text{Étendue} = 18 - 9 = 9 \) L'écart entre la meilleure et la moins bonne note est de 9 points. 7. **Variance et Écart-type :** * Calculons les écarts à la moyenne et leurs carrés : \( (9-13)^2 = (-4)^2 = 16 \) \( (10-13)^2 = (-3)^2 = 9 \) \( (11-13)^2 = (-2)^2 = 4 \) \( (12-13)^2 = (-1)^2 = 1 \) \( (12-13)^2 = (-1)^2 = 1 \) \( (13-13)^2 = 0^2 = 0 \) \( (14-13)^2 = 1^2 = 1 \) \( (15-13)^2 = 2^2 = 4 \) \( (16-13)^2 = 3^2 = 9 \) \( (18-13)^2 = 5^2 = 25 \) * Somme des carrés des écarts : \( 16+9+4+1+1+0+1+4+9+25 = 70 \) * \( \sigma^2 = \frac{70}{10} = 7 \) * \( \sigma = \sqrt{7} \approx 2,65 \) L'écart-type est d'environ 2,65 points, ce qui indique une dispersion modérée des notes autour de la moyenne. 8. **Intervalle Interquartile (IIQ) :** \( \text{IIQ} = Q_3 - Q_1 = 15 - 11 = 4 \) Les 50% des élèves ayant des notes centrales ont un écart de 4 points entre eux. ### Exercices Voici le nombre de livres lus par 8 élèves au cours du dernier mois : 3, 2, 5, 1, 4, 3, 2, 6. 1. Ordonnez cette série statistique. 2. Calculez la moyenne arithmétique du nombre de livres lus. 3. Déterminez la médiane. 4. Quel est le mode de cette série ? 5. Calculez l'étendue de cette série. 6. Calculez le premier quartile (Q1) et le troisième quartile (Q3). 7. Déterminez l'intervalle interquartile (IIQ). 8. Calculez la variance et l'écart-type (arrondi au centième). ### Devoir Un professeur a relevé les temps (en minutes) mis par ses 20 élèves pour résoudre un problème : 5, 7, 8, 8, 9, 9, 9, 10, 10, 10, 10, 11, 11, 12, 12, 13, 14, 15, 15, 18. 1. Calculez la moyenne, la médiane et le mode de cette série de temps. 2. Déterminez l'étendue, le premier quartile (Q1), le troisième quartile (Q3) et l'intervalle interquartile (IIQ). 3. Calculez la variance et l'écart-type de cette série (arrondi à deux décimales). 4. Interprétez les valeurs de la moyenne et de l'écart-type. Que nous disent-elles sur les performances des élèves ? ### Résumé Nous avons exploré deux types de caractéristiques statistiques essentielles pour comprendre les données : * **Caractéristiques de position :** La **moyenne**, la **médiane** et le **mode** nous aident à situer le centre ou la valeur typique d'une série statistique. * **Caractéristiques de dispersion :** L'**étendue**, la **variance**, l'**écart-type** et l'**intervalle interquartile** (IIQ) nous renseignent sur la façon dont les données sont étalées ou regroupées. L'écart-type est particulièrement utile car il est dans la même unité que les données, tandis que l'IIQ est moins sensible aux valeurs extrêmes. Comprendre et savoir calculer ces indicateurs est fondamental pour analyser de manière critique n'importe quel ensemble de données.