Equations et inéquations (partie 1/2)

## Équations et inéquations du 1er degré dans ℝ ### Introduction Bienvenue dans ce cours sur les équations et les inéquations du 1er degré. Ces outils mathématiques sont fondamentaux pour résoudre de nombreux problèmes en sciences, en économie et dans la vie quotidienne. Nous apprendrons à manipuler ces expressions pour trouver les valeurs inconnues qu'elles contiennent. Une **équation** est une égalité qui contient une ou plusieurs inconnues. **Résoudre une équation**, c'est trouver toutes les valeurs de l'inconnue pour lesquelles l'égalité est vraie. Une **inéquation** est une inégalité qui contient une ou plusieurs inconnues. **Résoudre une inéquation**, c'est trouver toutes les valeurs de l'inconnue pour lesquelles l'inégalité est vraie. Le terme « 1er degré » signifie que l'exposant le plus élevé de l'inconnue (souvent notée \( x \)) est 1 (par exemple, \( x \) et non \( x^2 \)). Le symbole « \( \mathbb{R} \) » indique que nos solutions sont des nombres réels, c'est-à-dire tous les nombres que vous connaissez (positifs, négatifs, décimaux, fractions, etc.). ### Concepts Clés #### Qu'est-ce qu'une équation du 1er degré ? Une équation du 1er degré à une inconnue \( x \) est une équation qui peut s'écrire sous la forme générale : \[ ax + b = 0 \] où \( a \) et \( b \) sont des nombres réels donnés et \( a \neq 0 \). #### Résolution d'équations du 1er degré Pour résoudre une équation, l'objectif est d'isoler l'inconnue \( x \) d'un côté de l'égalité. On utilise les propriétés suivantes : * On peut **ajouter ou soustraire le même nombre** aux deux membres d'une équation sans changer ses solutions. Si \( A = B \), alors \( A + C = B + C \) et \( A - C = B - C \). * On peut **multiplier ou diviser les deux membres par le même nombre non nul** sans changer ses solutions. Si \( A = B \) et \( C \neq 0 \), alors \( A \times C = B \times C \) et \( rac{A}{C} = rac{B}{C} \). La solution d'une équation du 1er degré est généralement un unique nombre réel. #### Qu'est-ce qu'une inéquation du 1er degré ? Une inéquation du 1er degré à une inconnue \( x \) est une inéquation qui peut s'écrire sous l'une des formes suivantes : * \( ax + b > 0 \) * \( ax + b < 0 \) * \( ax + b \ge 0 \) * \( ax + b \le 0 \) où \( a \) et \( b \) sont des nombres réels donnés et \( a \neq 0 \). À la différence des équations, les solutions d'une inéquation sont souvent un **intervalle** de nombres réels, et non un seul nombre. On peut représenter ces solutions sur une droite numérique. #### Résolution d'inéquations du 1er degré Les règles de résolution des inéquations sont similaires à celles des équations, avec une différence CRUCIALE : * On peut **ajouter ou soustraire le même nombre** aux deux membres d'une inéquation sans changer le sens de l'inégalité. * On peut **multiplier ou diviser les deux membres par un nombre positif non nul** sans changer le sens de l'inégalité. * On peut **multiplier ou diviser les deux membres par un nombre négatif non nul en INVERSANT le sens de l'inégalité**. Si \( A > B \) et \( C < 0 \), alors \( A \times C < B \times C \) et \( rac{A}{C} < rac{B}{C} \). ### Vocabulaire * **Équation** : Une égalité contenant une ou plusieurs inconnues. * **Inéquation** : Une inégalité contenant une ou plusieurs inconnues. * **Inconnue** : La valeur à déterminer dans une équation ou une inéquation, souvent représentée par \( x \). * **Solution** : La valeur (ou l'ensemble de valeurs) de l'inconnue qui rend l'égalité (ou l'inégalité) vraie. * **Membre** : Chacune des deux expressions séparées par le signe \( = \) ou un signe d'inégalité (ex: côté gauche ou droit). * **Degré** : L'exposant le plus élevé de l'inconnue. Pour nos équations et inéquations, il est de 1. * **Ensemble de définition (\( \mathbb{R} \))** : L'ensemble de tous les nombres réels. C'est l'ensemble dans lequel on cherche les solutions. * **Intervalle** : Un ensemble de nombres réels compris entre deux bornes. Ex: \( [a;b] \), \( ]a;b[ \), \( [a;+\infty[ \). ### Exemples #### Exemple 1 : Résolution d'une équation Résolvons l'équation suivante : \( 3x - 7 = 5x + 3 \) 1. Regrouper les termes en \( x \) d'un côté et les constantes de l'autre. \( 3x - 5x = 3 + 7 \) 2. Simplifier les deux membres. \( -2x = 10 \) 3. Isoler \( x \) en divisant par le coefficient de \( x \). \( x = rac{10}{-2} \) \( x = -5 \) La solution de l'équation est \( x = -5 \). L'ensemble des solutions est \( S = \{-5\} \). #### Exemple 2 : Résolution d'une inéquation Résolvons l'inéquation suivante : \( -2x + 1 > 5 \) 1. Soustraire 1 aux deux membres. \( -2x > 5 - 1 \) \( -2x > 4 \) 2. Diviser par \( -2 \). Attention, on divise par un nombre négatif, il faut donc INVERSER le sens de l'inégalité. \( x < rac{4}{-2} \) \( x < -2 \) Les solutions de l'inéquation sont tous les nombres réels strictement inférieurs à \( -2 \). L'ensemble des solutions est \( S = ]-\infty; -2[ \). Représentation graphique sur une droite numérique : ``` <------------------( ----|------|------|------|------|----> -4 -3 -2 -1 0 ``` ### Exercices Résolvez les équations et inéquations suivantes dans \( \mathbb{R} \) et donnez l'ensemble des solutions : 1. \( 4x - 1 = 9 \) 2. \( 2x + 5 = 7x - 10 \) 3. \( 3(x - 2) + 4 = 1 - 2x \) 4. \( 5x + 2 < 12 \) 5. \( -3x + 7 \ge 1 \) 6. \( rac{x}{2} - 3 \le x + 1 \) ### Devoir 1. Résolvez les inéquations suivantes et représentez leurs solutions sur une droite numérique : a. \( 6x - (x + 3) > 2x + 9 \) b. \( 4(2 - 3x) \ge 5x + 1 \) c. \( rac{2x - 1}{3} < rac{x + 4}{2} \) 2. **Problème :** Un technicien de surface est payé 12€ de l'heure. Il a également une prime fixe de 50€ par semaine. S'il souhaite gagner au moins 500€ par semaine, combien d'heures doit-il travailler au minimum ? (Posez une inéquation et résolvez-la). ### Résumé Nous avons exploré les équations et inéquations du 1er degré dans \( \mathbb{R} \). * Une **équation** du 1er degré se met sous la forme \( ax+b=0 \) et a une solution unique. * Une **inéquation** du 1er degré se met sous les formes \( ax+b > 0 \), \( ax+b < 0 \), etc., et ses solutions sont généralement un intervalle. * Les règles de résolution sont similaires : on peut ajouter/soustraire le même nombre ou multiplier/diviser par le même nombre non nul des deux côtés. * La différence essentielle pour les inéquations est que si l'on **multiplie ou divise par un nombre négatif, il faut impérativement INVERSER le sens de l'inégalité**. * Les solutions des inéquations sont souvent représentées par des intervalles et sur une droite numérique. La maîtrise de ces concepts est cruciale pour la suite de votre parcours en mathématiques ! ## Équations et inéquations du 2nd degré dans ℝ ### Introduction Bienvenue dans ce cours sur les équations et inéquations du second degré! Après avoir étudié les équations et inéquations du premier degré, nous allons explorer des problèmes où l'inconnue est élevée au carré. Ces outils sont fondamentaux en mathématiques et apparaissent dans de nombreux domaines, de la physique à l'économie. ### Concepts Clés #### 1. Équations du second degré Une équation du second degré est une équation qui peut s'écrire sous la forme : \[ ax^2 + bx + c = 0 \] où \( a, b, c \) sont des nombres réels, et \( a \neq 0 \). * \( a \) est le coefficient du terme en \( x^2 \). * \( b \) est le coefficient du terme en \( x \). * \( c \) est le terme constant. ##### Le Discriminant (\( \Delta \)) Pour résoudre une équation du second degré, nous calculons une valeur appelée le discriminant, noté \( \Delta \) (delta). La formule du discriminant est : \[ \Delta = b^2 - 4ac \] ##### Nombre et nature des solutions Le signe du discriminant nous indique le nombre de solutions réelles de l'équation : * **Si \( \Delta > 0 \):** L'équation admet **deux solutions réelles distinctes**, appelées racines : \[ x_1 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} \] \[ x_2 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} \] * **Si \( \Delta = 0 \):** L'équation admet **une unique solution réelle** (appelée racine double) : \[ x_0 = \frac{-b}{2a} \] * **Si \( \Delta < 0 \):** L'équation n'admet **aucune solution réelle**. #### 2. Forme factorisée d'un trinôme du second degré Un trinôme du second degré \( P(x) = ax^2 + bx + c \) peut être factorisé en fonction de son discriminant : * **Si \( \Delta > 0 \):** \( P(x) = a(x - x_1)(x - x_2) \) * **Si \( \Delta = 0 \):** \( P(x) = a(x - x_0)^2 \) * **Si \( \Delta < 0 \):** Le trinôme n'est pas factorisable dans \( \mathbb{R} \). #### 3. Signe d'un trinôme du second degré L'étude du signe de \( P(x) = ax^2 + bx + c \) est essentielle pour résoudre les inéquations. * **Cas \( \Delta > 0 \):** * Entre les racines \( x_1 \) et \( x_2 \), le trinôme est du signe **opposé** à \( a \). * À l'extérieur des racines, le trinôme est du signe de \( a \). | \( x \) | \( -\infty \) | \( x_1 \) | | \( x_2 \) | \( +\infty \) | |---|---|---|---|---|---| | \( P(x) \) | signe de \( a \) | 0 | signe opposé à \( a \) | 0 | signe de \( a \) | * **Cas \( \Delta = 0 \):** * Le trinôme est toujours du signe de \( a \) (sauf en \( x_0 \) où il est nul). | \( x \) | \( -\infty \) | | \( x_0 \) | | \( +\infty \) | |---|---|---|---|---|---| | \( P(x) \) | signe de \( a \) | | 0 | | signe de \( a \) | * **Cas \( \Delta < 0 \):** * Le trinôme est toujours du signe de \( a \) pour tout \( x \in \mathbb{R} \). #### 4. Inéquations du second degré Une inéquation du second degré est une inéquation qui peut s'écrire sous la forme \( ax^2 + bx + c > 0 \), \( ax^2 + bx + c < 0 \), \( ax^2 + bx + c \ge 0 \) ou \( ax^2 + bx + c \le 0 \). ##### Méthode de résolution 1. Ramener l'inéquation à l'une des formes précédentes (par exemple, tout d'un côté de l'inégalité). 2. Résoudre l'équation associée \( ax^2 + bx + c = 0 \). 3. Étudier le signe du trinôme \( ax^2 + bx + c \) à l'aide d'un tableau de signes (en utilisant les règles ci-dessus). 4. Conclure sur l'ensemble des solutions en lisant le tableau de signes. ### Vocabulaire * **Équation du second degré :** Équation de la forme \( ax^2 + bx + c = 0 \) avec \( a \neq 0 \). * **Trinôme du second degré :** Expression de la forme \( ax^2 + bx + c \). * **Discriminant (\( \Delta \)) :** Valeur \( b^2 - 4ac \) qui détermine le nombre de solutions d'une équation du second degré. * **Racines :** Les solutions d'une équation du second degré. * **Racine double :** Solution unique obtenue lorsque le discriminant est nul. * **Inéquation du second degré :** Inégalité impliquant un trinôme du second degré. ### Exemples #### Exemple 1 : Résoudre une équation avec \( \Delta > 0 \) Résolvons l'équation \( x^2 - 5x + 6 = 0 \). Ici, \( a=1 \), \( b=-5 \), \( c=6 \). 1. Calcul du discriminant : \[ \Delta = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4(1)(6) = 25 - 24 = 1 \] 2. Puisque \( \Delta > 0 \), il y a deux solutions distinctes : \[ x_1 = \frac{-(-5) - \sqrt{1}}{2(1)} = \frac{5 - 1}{2} = \frac{4}{2} = 2 \] \[ x_2 = \frac{-(-5) + \sqrt{1}}{2(1)} = \frac{5 + 1}{2} = \frac{6}{2} = 3 \] L'ensemble des solutions est \( S = \{2, 3\} \). #### Exemple 2 : Résoudre une équation avec \( \Delta = 0 \) Résolvons l'équation \( 4x^2 - 12x + 9 = 0 \). Ici, \( a=4 \), \( b=-12 \), \( c=9 \). 1. Calcul du discriminant : \[ \Delta = (-12)^2 - 4(4)(9) = 144 - 144 = 0 \] 2. Puisque \( \Delta = 0 \), il y a une solution double : \[ x_0 = \frac{-(-12)}{2(4)} = \frac{12}{8} = \frac{3}{2} \] L'ensemble des solutions est \( S = \left\{\frac{3}{2}\right\} \). #### Exemple 3 : Résoudre une équation avec \( \Delta < 0 \) Résolvons l'équation \( 2x^2 + x + 1 = 0 \). Ici, \( a=2 \), \( b=1 \), \( c=1 \). 1. Calcul du discriminant : \[ \Delta = 1^2 - 4(2)(1) = 1 - 8 = -7 \] 2. Puisque \( \Delta < 0 \), il n'y a aucune solution réelle. L'ensemble des solutions est \( S = \emptyset \) (ensemble vide). #### Exemple 4 : Résoudre une inéquation Résolvons l'inéquation \( x^2 - 2x - 3 > 0 \). 1. On considère l'équation associée \( x^2 - 2x - 3 = 0 \). Ici, \( a=1 \), \( b=-2 \), \( c=-3 \). \[ \Delta = (-2)^2 - 4(1)(-3) = 4 + 12 = 16 \] \[ x_1 = \frac{-(-2) - \sqrt{16}}{2(1)} = \frac{2 - 4}{2} = -1 \] \[ x_2 = \frac{-(-2) + \sqrt{16}}{2(1)} = \frac{2 + 4}{2} = 3 \] 2. Étude du signe du trinôme \( x^2 - 2x - 3 \). Puisque \( a=1 > 0 \) et \( \Delta > 0 \), le trinôme est positif à l'extérieur des racines et négatif entre les racines. | \( x \) | \( -\infty \) | \( -1 \) | | \( 3 \) | \( +\infty \) | |---|---|---|---|---|---| | \( x^2 - 2x - 3 \) | \( + \) | 0 | \( - \) | 0 | \( + \) | 3. L'inéquation est \( x^2 - 2x - 3 > 0 \). Nous cherchons les intervalles où le trinôme est strictement positif. L'ensemble des solutions est \( S = ]-\infty, -1[ \cup ]3, +\infty[ \). ### Exercices 1. Résolvez les équations suivantes : a. \( x^2 + 7x + 10 = 0 \) b. \( -3x^2 + 6x - 3 = 0 \) c. \( x^2 - 3x + 5 = 0 \) 2. Étudiez le signe des trinômes suivants et dressez le tableau de signes : a. \( P(x) = x^2 - x - 2 \) b. \( Q(x) = -x^2 + 4x - 4 \) 3. Résolvez les inéquations suivantes : a. \( x^2 + 2x - 8 \le 0 \) b. \( -x^2 + 5x - 6 > 0 \) ### Devoir 1. Résolvez les équations suivantes : a. \( 2x^2 + 5x - 3 = 0 \) b. \( 9x^2 - 6x + 1 = 0 \) c. \( x^2 + x + 1 = 0 \) 2. Résolvez les inéquations suivantes en utilisant un tableau de signes : a. \( x^2 - 6x + 9 \ge 0 \) b. \( -2x^2 + x + 1 < 0 \) 3. Un carré a pour côté \( x \) cm. On augmente la longueur d'un côté de 2 cm et l'autre de 3 cm. L'aire du nouveau rectangle est 30 \( cm^2 \). Déterminez la valeur de \( x \). ### Résumé Nous avons appris à résoudre des équations et inéquations du second degré. La clé est le **discriminant \( \Delta = b^2 - 4ac \)**, qui nous indique le nombre de solutions. Ensuite, les formules de résolution et l'étude du signe du trinôme (grâce au coefficient \( a \) et aux racines) nous permettent de trouver les solutions des inéquations. Ces méthodes sont essentielles et seront utilisées fréquemment en mathématiques.