Angles orientés et trigonométrie (partie 2/2)

## Point image d’un réel sur le cercle trigonométrique ### Introduction Bienvenue à cette leçon sur le cercle trigonométrique et la manière dont nous pouvons y associer des nombres réels. Le cercle trigonométrique est un outil fondamental en mathématiques, particulièrement en trigonométrie, qui nous permet de visualiser les relations entre les angles et les coordonnées de points. Comprendre comment un nombre réel "s'enroule" sur ce cercle est essentiel pour aborder les fonctions trigonométriques comme le sinus et le cosinus. ### Concepts Clés #### Le Cercle Trigonométrique Le cercle trigonométrique est un cercle très spécial dans le plan cartésien: * Il est centré à l'origine \(O(0,0)\) du repère. * Son rayon est égal à 1 (un cercle unitaire). * Il est orienté : le sens positif (ou sens direct) est le sens inverse des aiguilles d'une montre. Le sens négatif (ou sens indirect) est le sens des aiguilles d'une montre. * Le point de départ, ou "origine des abscisses curvilignes", est le point \(A(1,0)\) sur l'axe des abscisses. #### Enroulement de la Droite Réelle sur le Cercle Imaginez que vous prenez une droite numérique (la droite des réels) et que vous l'"enroulez" autour du cercle trigonométrique, en partant du point \(A(1,0)\).: * Le point 0 de la droite réelle est superposé au point \(A(1,0)\) du cercle. * Les nombres positifs de la droite réelle sont enroulés dans le sens direct (anti-horaire). * Les nombres négatifs de la droite réelle sont enroulés dans le sens indirect (horaire). Chaque nombre réel \(x\) correspond à un unique point \(M\) sur le cercle trigonométrique. Ce point \(M\) est appelé le **point image** du réel \(x\). La longueur de l'arc \(AM\) (mesurée le long du cercle) est égale à \(|x|\). #### Abscisse Curviligne d'un Point Un même point \(M\) sur le cercle trigonométrique peut correspondre à une infinité de nombres réels. Si \(x\) est l'un de ces nombres (sa première abscisse curviligne), alors tous les autres nombres réels qui aboutissent au même point \(M\) sont de la forme \(x + 2k\[ \]pi\), où \(k\) est un entier relatif (\(k \in \mathbb{Z}\)). Le nombre \(2\[ \]pi\) représente la circonférence complète du cercle unitaire. Ajouter ou soustraire des multiples de \(2\[ \]pi\) revient à faire un ou plusieurs tours complets sur le cercle pour revenir au même point. #### Abscisse Curviligne Principale Parmi toutes les abscisses curvilignes d'un point \(M\), il y en a une seule qui se trouve dans l'intervalle \(]- \[ \]pi ; \[ \]pi]\). C'est ce qu'on appelle l'**abscisse curviligne principale** du point \(M\). * Si un nombre \(x\) est en dehors de cet intervalle, on peut trouver son abscisse principale en ajoutant ou en soustrayant des multiples de \(2\[ \]pi\) jusqu'à ce que le résultat se trouve dans \(]- \[ \]pi ; \[ \]pi]\). #### Relation avec les Angles Orientés et le Radian L'enroulement de la droite réelle permet de mesurer des angles. La mesure d'un angle orienté \(( \vec{u} , \vec{v} )\) est un nombre réel unique modulo \(2\[ \]pi\). L'unité de mesure d'angle la plus naturelle sur le cercle trigonométrique est le **radian**. * Un angle de 1 radian est l'angle au centre qui intercepte un arc de cercle dont la longueur est égale au rayon du cercle. Sur le cercle trigonométrique (rayon 1), un arc de longueur 1 correspond à un angle de 1 radian. * La conversion entre degrés et radians est la suivante : \[ 180^\[ \]circ = \[ \]pi \text{ radians} \] Donc, pour convertir des degrés en radians, on multiplie par \( \[ \]pi/180 \). Pour convertir des radians en degrés, on multiplie par \( 180/ \[ \]pi \). ### Vocabulaire * **Cercle trigonométrique :** Cercle de rayon 1, centré à l'origine, orienté. * **Sens direct (positif) :** Sens inverse des aiguilles d'une montre. * **Sens indirect (négatif) :** Sens des aiguilles d'une montre. * **Point image :** Le point sur le cercle trigonométrique associé à un nombre réel donné. * **Abscisse curviligne :** Tout nombre réel qui, en s'enroulant sur le cercle, arrive à un point donné. * **Abscisse curviligne principale :** L'unique abscisse curviligne d'un point qui appartient à l'intervalle \(]- \[ \]pi ; \[ \]pi]\). * **Radian :** Unité de mesure d'angle telle que \( \[ \]pi \) radians équivaut à \(180^\[ \]circ\). ### Exemples 1. **Placement de points sur le cercle :** * Le point image de \( \[ \]pi/2 \) est le point \((0,1)\) sur l'axe des ordonnées positives. * Le point image de \( \[ \]pi \) est le point \((-1,0)\) sur l'axe des abscisses négatives. * Le point image de \( - \[ \]pi/2 \) est le point \((0,-1)\) sur l'axe des ordonnées négatives (sens indirect). * Le point image de \( 3 \[ \]pi \) est le même que celui de \( \[ \]pi \) car \( 3 \[ \]pi = \[ \]pi + 2 \[ \]pi \) (un tour complet en plus). 2. **Trouver des abscisses curvilignes :** Le point \(A(1,0)\) a pour abscisses curvilignes \(0, 2 \[ \]pi, -2 \[ \]pi, 4 \[ \]pi, \dots\) (tous les \(2k \[ \]pi\)). 3. **Déterminer l'abscisse curviligne principale :** * Pour \( x = 5 \[ \]pi/2 \) : \( 5 \[ \]pi/2 = 4 \[ \]pi/2 + \[ \]pi/2 = 2 \[ \]pi + \[ \]pi/2 \). L'abscisse principale est \( \[ \]pi/2 \) car \( \[ \]pi/2 \in ]- \[ \]pi ; \[ \]pi] \). * Pour \( x = -7 \[ \]pi/3 \) : \( -7 \[ \]pi/3 = -6 \[ \]pi/3 - \[ \]pi/3 = -2 \[ \]pi - \[ \]pi/3 \). L'abscisse principale est \( - \[ \]pi/3 \) car \( - \[ \]pi/3 \in ]- \[ \]pi ; \[ \]pi] \). * Pour \( x = 11 \[ \]pi/4 \) : \( 11 \[ \]pi/4 = 8 \[ \]pi/4 + 3 \[ \]pi/4 = 2 \[ \]pi + 3 \[ \]pi/4 \). L'abscisse principale est \( 3 \[ \]pi/4 \) car \( 3 \[ \]pi/4 \in ]- \[ \]pi ; \[ \]pi] \). 4. **Conversion d'angles :** * Convertir \(30^\[ \]circ\) en radians : \( 30 imes ( \[ \]pi/180) = \[ \]pi/6 \) radians. * Convertir \( 3 \[ \]pi/4 \) radians en degrés : \( (3 \[ \]pi/4) imes (180/ \[ \]pi) = (3/4) imes 180 = 135^\[ \]circ \). ### Exercices 1. **Placez les points images des réels suivants sur un cercle trigonométrique : * \( \[ \]pi/3 \) * \( - \[ \]pi \) * \( 5 \[ \]pi/6 \) * \( - \[ \]pi/4 \) * \( 7 \[ \]pi/2 \) 2. **Donnez deux abscisses curvilignes (une positive, une négative) pour le point \(M\) de coordonnées \((0,1))\). 3. **Déterminez l'abscisse curviligne principale des réels suivants : * \( 13 \[ \]pi/6 \) * \( -10 \[ \]pi/3 \) * \( 25 \[ \]pi/4 \) * \( -19 \[ \]pi/2 \) 4. **Convertissez les mesures d'angles suivantes : * \(60^\[ \]circ\) en radians. * \(270^\[ \]circ\) en radians. * \( 2 \[ \]pi/3 \) radians en degrés. * \( 5 \[ \]pi/12 \) radians en degrés. ### Devoirs 1. **Recherchez :** À quoi servent les fonctions sinus et cosinus sur le cercle trigonométrique ? Comment sont-elles définies à partir du point image d'un réel ? 2. **Calculs :** * Déterminez les abscisses curvilignes principales de \( 17 \[ \]pi/3 \) et \( -23 \[ \]pi/6 \). * Trouvez un nombre réel \(x\) tel que le point image de \(x\) soit le même que le point image de \( \[ \]pi/4 \) et \(x\) soit compris entre \( 4 \[ \]pi \) et \( 6 \[ \]pi \). 3. **Défi :** Un angle mesure \(1 \text{ radian}\). À combien de degrés cela correspond-il (arrondi à une décimale) ? ### Résumé Nous avons exploré le concept fondamental du point image d'un réel sur le cercle trigonométrique. Nous avons appris que chaque nombre réel correspond à un point unique sur ce cercle de rayon 1. Cependant, un même point sur le cercle peut être atteint par une infinité de nombres réels, appelés abscisses curvilignes, qui diffèrent par des multiples de \(2\[ \]pi\). L'abscisse curviligne principale, située dans l'intervalle \(]- \[ \]pi ; \[ \]pi]\), permet de caractériser un point de manière unique. Enfin, nous avons introduit le radian comme unité de mesure d'angle et établi les conversions nécessaires avec les degrés. Ces bases sont cruciales pour la suite de votre apprentissage en trigonométrie. ## Cos, sin et tan d’un angle orienté ### Introduction Bienvenue à cette leçon sur les angles orientés et la trigonométrie! En classe de Seconde, vous avez déjà abordé les notions de cosinus et sinus dans le triangle rectangle. Aujourd'hui, nous allons étendre ces définitions pour des angles de toutes mesures, positifs ou négatifs, grâce au **cercle trigonométrique**. Ce nouvel outil est fondamental pour comprendre de nombreux phénomènes périodiques en sciences et vous permettra de résoudre une plus grande variété de problèmes géométriques et analytiques. ### Concepts Clés #### Le Cercle Trigonométrique Le cercle trigonométrique est un cercle très spécial. Il est défini de la manière suivante: * Son centre est l'origine \(O(0;0)\) d'un repère orthonormé \((O; \vec{i}, \vec{j})\). * Son rayon est de \(1\) unité de longueur. * Il est orienté : le sens positif (ou direct) est le sens inverse des aiguilles d'une montre. Le sens négatif (ou indirect) est le sens des aiguilles d'une montre. Un point \(M\) sur le cercle trigonométrique est associé à un angle orienté \(x\) (en radians ou degrés) à partir du point \(I(1;0)\) (qui est le point de départ de la mesure des angles). #### Les Angles Orientés Un **angle orienté** est un angle dont on considère l'orientation. Il est défini par une paire de vecteurs. Par exemple, l'angle \( (\vec{u}, \vec{v}) \) est l'angle orienté du vecteur \( \vec{u} \) vers le vecteur \( \vec{v} \). * **Mesure d'un angle orienté :** Les angles peuvent être mesurés en degrés ou en radians. La conversion est la suivante : \( 180^{\circ} = \pi \text{ radians} \). * **Mesure principale :** Pour tout angle \(x\), il existe une infinité de mesures possibles (par exemple, un tour complet \(2\pi\) ou \(360^{\circ}\) ramène au même point sur le cercle). La mesure principale d'un angle \(x\) est l'unique mesure appartenant à l'intervalle \( ]-\pi, \pi ] \) (ou \( ]-180^{\circ}, 180^{\circ} ] \)). Tout angle \(x\) peut s'écrire sous la forme \( x_0 + 2k\pi \), où \(x_0\) est la mesure principale et \(k\) est un entier relatif. #### Cosinus et Sinus d'un Angle Orienté Considérons un angle orienté \(x\) et \(M\) le point du cercle trigonométrique qui lui est associé. * Le **cosinus** de l'angle \(x\), noté \( \cos(x) \), est l'abscisse du point \(M\). * Le **sinus** de l'angle \(x\), noté \( \sin(x) \), est l'ordonnée du point \(M\). Ces définitions sont universelles pour tout angle réel \(x\). **Propriétés fondamentales :** * Pour tout angle \(x\) réel : * \[ -1 \le \cos(x) \le 1 \] * \[ -1 \le \sin(x) \le 1 \] * \[ \cos^2(x) + \sin^2(x) = 1 \] (relation fondamentale de la trigonométrie). **Valeurs remarquables :** Voici quelques valeurs à connaître par cœur : | Angle (radians) | Angle (degrés) | \( \cos(x) \) | \( \sin(x) \) | |-----------------|----------------|--------------|--------------| | \( 0 \) | \( 0^{\circ} \) | \( 1 \) | \( 0 \) | | \( \frac{\pi}{6} \) | \( 30^{\circ} \) | \( \frac{\sqrt{3}}{2} \) | \( \frac{1}{2} \) | | \( \frac{\pi}{4} \) | \( 45^{\circ} \) | \( \frac{\sqrt{2}}{2} \) | \( \frac{\sqrt{2}}{2} \) | | \( \frac{\pi}{3} \) | \( 60^{\circ} \) | \( \frac{1}{2} \) | \( \frac{\sqrt{3}}{2} \) | | \( \frac{\pi}{2} \) | \( 90^{\circ} \) | \( 0 \) | \( 1 \) | | \( \pi \) | \( 180^{\circ} \) | \( -1 \) | \( 0 \) | **Angles associés :** Il existe des relations entre les cosinus et sinus d'angles associés : * \( \cos(-x) = \cos(x) \) * \( \sin(-x) = -\sin(x) \) * \( \cos(\pi - x) = -\cos(x) \) * \( \sin(\pi - x) = \sin(x) \) * \( \cos(\pi + x) = -\cos(x) \) * \( \sin(\pi + x) = -\sin(x) \) * \( \cos(\frac{\pi}{2} - x) = \sin(x) \) * \( \sin(\frac{\pi}{2} - x) = \cos(x) \) * \( \cos(\frac{\pi}{2} + x) = -\sin(x) \) * \( \sin(\frac{\pi}{2} + x) = \cos(x) \) #### Tangente d'un Angle Orienté La **tangente** d'un angle \(x\), notée \( \tan(x) \), est définie comme le rapport du sinus sur le cosinus : \[ \tan(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)} \] * **Domaine de définition :** La tangente est définie uniquement si \( \cos(x) \neq 0 \). Cela signifie que \(x\) ne peut pas être de la forme \( \frac{\pi}{2} + k\pi \), où \(k\) est un entier relatif (c'est-à-dire \( 90^{\circ} \), \( 270^{\circ} \), etc.). * **Périodicité :** La fonction tangente est périodique de période \( \pi \), c'est-à-dire \( \tan(x+\pi) = \tan(x) \). ### Vocabulaire * **Cercle trigonométrique :** Cercle de rayon 1 centré à l'origine du repère, servant à définir les fonctions trigonométriques pour des angles de toutes mesures. * **Angle orienté :** Angle doté d'un sens de parcours (positif ou négatif). * **Mesure principale :** Mesure d'un angle orienté appartenant à l'intervalle \( ]-\pi, \pi ] \) (ou \( ]-180^{\circ}, 180^{\circ} ] \)). * **Radians :** Unité de mesure des angles, où \( \pi \) radians équivaut à \( 180^{\circ} \). * **Degrés :** Unité de mesure des angles, où \( 360^{\circ} \) équivaut à un tour complet. * **Cosinus (cos) :** Abscisse du point associé à l'angle sur le cercle trigonométrique. * **Sinus (sin) :** Ordonnée du point associé à l'angle sur le cercle trigonométrique. * **Tangente (tan) :** Rapport \( \frac{\sin(x)}{\cos(x)} \). * **Sens direct/positif :** Sens inverse des aiguilles d'une montre. * **Sens indirect/négatif :** Sens des aiguilles d'une montre. ### Exemples #### Exemple 1 : Placer un angle sur le cercle trigonométrique Placez le point \(M\) associé à l'angle \( \frac{2\pi}{3} \) sur le cercle trigonométrique et déterminez ses coordonnées. * \( \frac{2\pi}{3} \) radians correspond à \( \frac{2 \times 180}{3} = 120^{\circ} \). * Sur le cercle trigonométrique, en partant de \(I(1;0)\) et en tournant dans le sens positif, \( \frac{2\pi}{3} \) est dans le deuxième quadrant. * \( \cos(\frac{2\pi}{3}) = \cos(\pi - \frac{\pi}{3}) = -\cos(\frac{\pi}{3}) = -\frac{1}{2} \). * \( \sin(\frac{2\pi}{3}) = \sin(\pi - \frac{\pi}{3}) = \sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2} \). * Donc, le point \(M\) a pour coordonnées \( (-\frac{1}{2}; \frac{\sqrt{3}}{2}) \). #### Exemple 2 : Utiliser la relation fondamentale Sachant que \( \cos(x) = \frac{3}{5} \) et que \( x \in ]-\frac{\pi}{2}, 0[ \), déterminez \( \sin(x) \) et \( \tan(x) \). * On utilise la relation fondamentale : \( \cos^2(x) + \sin^2(x) = 1 \). * \( (\frac{3}{5})^2 + \sin^2(x) = 1 \implies \frac{9}{25} + \sin^2(x) = 1 \). * \( \sin^2(x) = 1 - \frac{9}{25} = \frac{25-9}{25} = \frac{16}{25} \). * Donc, \( \sin(x) = \frac{4}{5} \) ou \( \sin(x) = -\frac{4}{5} \). * Puisque \( x \in ]-\frac{\pi}{2}, 0[ \), l'angle est dans le quatrième quadrant où le sinus est négatif. * Ainsi, \( \sin(x) = -\frac{4}{5} \). * Pour \( \tan(x) \) : \( \tan(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)} = \frac{-\frac{4}{5}}{\frac{3}{5}} = -\frac{4}{3} \). #### Exemple 3 : Simplifier une expression trigonométrique Simplifiez l'expression : \( A = \cos(x) + \cos(-x) + \sin(x) + \sin(-x) \). * On sait que \( \cos(-x) = \cos(x) \) et \( \sin(-x) = -\sin(x) \). * \( A = \cos(x) + \cos(x) + \sin(x) - \sin(x) \). * \( A = 2\cos(x) + 0 \). * \( A = 2\cos(x) \). ### Exercices 1. Donnez les valeurs exactes de : * \( \cos(\frac{\pi}{2}) \) * \( \sin(\pi) \) * \( \tan(\frac{\pi}{4}) \) * \( \cos(\frac{3\pi}{4}) \) * \( \sin(-\frac{\pi}{3}) \) 2. Indiquez le signe de \( \cos(x) \) et de \( \sin(x) \) pour les angles suivants : * \( x = \frac{5\pi}{6} \) * \( x = \frac{7\pi}{4} \) * \( x = -\frac{2\pi}{3} \) 3. Sachant que \( \sin(x) = \frac{1}{3} \) et que \( x \in ]0, \frac{\pi}{2}[ \), calculez \( \cos(x) \) et \( \tan(x) \). 4. Vrai ou Faux ? Justifiez votre réponse. * Pour tout \( x \in \mathbb{R} \), \( \cos(x) = \cos(x+2\pi) \). * Pour tout \( x \in \mathbb{R} \), \( \sin(x) \ge 0 \). * Si \( \cos(x) = \frac{1}{2} \), alors \( x = \frac{\pi}{3} \). ### Devoirs 1. Placez les angles suivants sur un cercle trigonométrique et déterminez leur mesure principale : * \( \frac{11\pi}{4} \) * \( -\frac{13\pi}{6} \) * \( 450^{\circ} \) 2. Sans utiliser de calculatrice, simplifiez les expressions suivantes : * \( B = \cos(\frac{\pi}{2}-x) + \sin(\pi-x) - \cos(\pi+x) \) * \( C = \cos^2(x) - \sin^2(x) + 2\sin^2(x) \) 3. Démontrez que pour tout \( x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi \) : * \( 1 + \tan^2(x) = \frac{1}{\cos^2(x)} \). 4. Soit \( x \) un réel tel que \( \sin(x) = -\frac{\sqrt{5}}{3} \) et \( x \in ]\pi, \frac{3\pi}{2}[ \). * Calculez la valeur exacte de \( \cos(x) \). * Déduisez-en la valeur exacte de \( \tan(x) \). ### Résumé Cette leçon nous a permis d'étendre la définition du cosinus et du sinus à tous les angles réels grâce au **cercle trigonométrique**. Nous avons vu que : * Le cosinus d'un angle \(x\) est l'abscisse du point \(M\) associé sur le cercle, et son sinus est l'ordonnée de ce point. * La **relation fondamentale** \( \cos^2(x) + \sin^2(x) = 1 \) est essentielle. * La tangente est définie par \( \tan(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)} \), pourvu que \( \cos(x) \neq 0 \). * Les angles orientés peuvent avoir de multiples mesures, mais une seule **mesure principale** dans \( ]-\pi, \pi ] \). * Il est important de connaître les valeurs remarquables des angles et les relations entre les angles associés pour simplifier les calculs. La maîtrise du cercle trigonométrique et des propriétés fondamentales est cruciale pour la suite de votre parcours en mathématiques. Continuez à pratiquer ces concepts pour les assimiler pleinement! ## Points images des angles associés à un réel donné ### Introduction Bienvenue dans ce cours sur les angles orientés et la trigonométrie ! Aujourd'hui, nous allons explorer une notion fondamentale : comment associer un point unique sur un cercle particulier, appelé **cercle trigonométrique**, à un nombre réel donné. Vous découvrirez qu'un même point du cercle peut correspondre à une infinité de nombres réels, et nous apprendrons à naviguer entre ces différentes représentations. ### Concepts Clés #### 1. Le Cercle Trigonométrique Le cercle trigonométrique est un outil essentiel en trigonométrie. C'est un cercle : * Centré à l'origine \( O(0,0) \) d'un repère orthonormé. * De rayon 1. * Orienté positivement dans le sens inverse des aiguilles d'une montre (sens anti-horaire). * Le point de départ est le point \( I(1,0) \) sur l'axe des abscisses. #### 2. Point Image d'un Réel sur le Cercle Trigonométrique Chaque nombre réel \( x \) peut être associé à un point unique \( M \) sur le cercle trigonométrique. Imaginez que vous dérouliez la droite réelle le long du cercle, en partant de \( I(1,0) \): * Si \( x > 0 \), on parcourt une longueur d'arc \( x \) dans le sens positif (anti-horaire). * Si \( x < 0 \), on parcourt une longueur d'arc \( |x| \) dans le sens négatif (horaire). * La mesure de l'angle \( (\vec{OI}, \vec{OM}) \) en radians est égale à \( x \). #### 3. Angles Associés et Périodicité C'est le cœur de notre leçon ! Si vous parcourez le cercle trigonométrique à partir du point \( I \) d'une longueur \( x \), vous arrivez à un point \( M \). Si vous faites un tour complet supplémentaire (soit \( 2 \pi \) radians), vous revenez au même point \( M \). De même pour plusieurs tours, dans un sens ou dans l'autre. Cela signifie qu'un même point \( M \) du cercle trigonométrique est associé à une infinité de nombres réels de la forme : \[ x + 2k\pi \] où \( k \) est un entier relatif (\( k \in \mathbb{Z} \)). On dit que \( x \) et \( x' \) sont des mesures du même angle orienté si et seulement si \( x' = x + 2k\pi \) pour un certain \( k \in \mathbb{Z} \). Ces nombres sont dits **congrus modulo \( 2\pi \)**. #### 4. Mesure Principale d'un Angle Parmi toutes les mesures d'un angle orienté, il en existe une unique qui se trouve dans l'intervalle \( ]-\pi, \pi] \). C'est ce qu'on appelle la **mesure principale** de l'angle. Elle est souvent notée \( \alpha \). Pour trouver la mesure principale d'un angle \( x \): 1. Divisez \( x \) par \( 2\pi \). 2. Retirez la partie entière de ce résultat pour obtenir le reste fractionnaire. 3. Multipliez ce reste par \( 2\pi \). C'est une première mesure \( x_0 \). 4. Si \( x_0 > \pi \), soustrayez \( 2\pi \) pour le ramener dans l'intervalle \( ]-\pi, \pi] \). 5. Si \( x_0 \le -\pi \), ajoutez \( 2\pi \) pour le ramener dans l'intervalle \( ]-\pi, \pi] \). Une méthode plus intuitive est d'ajouter ou soustraire des multiples de \( 2\pi \) à \( x \) jusqu'à ce que le résultat soit dans l'intervalle \( ]-\pi, \pi] \). ### Vocabulaire * **Cercle Trigonométrique :** Cercle de rayon 1 centré à l'origine, orienté positivement. * **Angle Orienté :** Angle dont l'orientation (sens positif ou négatif) est prise en compte. * **Radian :** Unité de mesure d'angle. Un tour complet correspond à \( 2\pi \) radians, soit 360 degrés. * **Point Image :** Le point sur le cercle trigonométrique associé à un nombre réel. * **Mesure Principale :** L'unique mesure d'un angle orienté qui appartient à l'intervalle \( ]-\pi, \pi] \). * **Congruence modulo \( 2\pi \) :** Relation entre deux nombres réels qui diffèrent d'un multiple entier de \( 2\pi \), signifiant qu'ils correspondent au même point image sur le cercle trigonométrique. ### Exemples #### Exemple 1 : Localiser des points images 1. **Trouver le point image de \( \frac{\pi}{3} \) :** On parcourt \( \frac{\pi}{3} \) dans le sens positif depuis \( I(1,0) \). 2. **Trouver le point image de \( \frac{7\pi}{3} \) :** On a \( \frac{7\pi}{3} = \frac{6\pi + \pi}{3} = 2\pi + \frac{\pi}{3} \). C'est un tour complet plus \( \frac{\pi}{3} \). Le point image est le même que celui de \( \frac{\pi}{3} \). 3. **Trouver le point image de \( -\frac{5\pi}{3} \) :** On a \( -\frac{5\pi}{3} = -2\pi + \frac{\pi}{3} \). C'est un tour complet dans le sens négatif plus \( \frac{\pi}{3} \) dans le sens positif. Le point image est le même que celui de \( \frac{\pi}{3} \). Ces trois nombres réels \( \frac{\pi}{3}, \frac{7\pi}{3}, -\frac{5\pi}{3} \) correspondent au **même point image** sur le cercle trigonométrique. #### Exemple 2 : Déterminer la mesure principale 1. **Déterminer la mesure principale de \( \frac{11\pi}{4} \) :** * \( \frac{11\pi}{4} = \frac{8\pi + 3\pi}{4} = 2\pi + \frac{3\pi}{4} \). * La mesure principale est \( \frac{3\pi}{4} \), car \( \frac{3\pi}{4} \in ]-\pi, \pi] \). 2. **Déterminer la mesure principale de \( -\frac{17\pi}{6} \) :** * Nous cherchons \( k \in \mathbb{Z} \) tel que \( -\pi < -\frac{17\pi}{6} + 2k\pi \le \pi \). * Divisons \( -\frac{17}{6} \) par 2 : \( -\frac{17}{12} \approx -1.41 \). Pour être dans \( ]-1, 1] \), il faut ajouter 2 fois \( 2\pi \). * \( -\frac{17\pi}{6} + 2(2\pi) = -\frac{17\pi}{6} + \frac{24\pi}{6} = \frac{7\pi}{6} \). * \( \frac{7\pi}{6} \) n'est pas dans \( ]-\pi, \pi] \) (car \( \frac{7}{6} > 1 \)). Il faut soustraire \( 2\pi \). * \( \frac{7\pi}{6} - 2\pi = \frac{7\pi}{6} - \frac{12\pi}{6} = -\frac{5\pi}{6} \). * La mesure principale est donc \( -\frac{5\pi}{6} \), car \( -\frac{5\pi}{6} \in ]-\pi, \pi] \). ### Exercices 1. **Placez les points images correspondants aux réels suivants sur un cercle trigonométrique (à main levée ou esquisse) :** * \( \frac{\pi}{2} \) * \( -\pi \) * \( \frac{5\pi}{4} \) * \( -\frac{\pi}{6} \) * \( \frac{10\pi}{3} \) 2. **Parmi les paires de réels suivantes, indiquez celles qui correspondent au même point image sur le cercle trigonométrique :** * a) \( \frac{\pi}{4} \) et \( \frac{9\pi}{4} \) * b) \( \frac{2\pi}{3} \) et \( -\frac{4\pi}{3} \) * c) \( 5\pi \) et \( -\pi \) * d) \( \frac{3\pi}{2} \) et \( -\frac{\pi}{2} \) 3. **Déterminez la mesure principale des angles suivants :** * a) \( \frac{13\pi}{3} \) * b) \( -\frac{9\pi}{4} \) * c) \( 7\pi \) * d) \( \frac{23\pi}{6} \) ### Devoir 1. **Représentez sur un cercle trigonométrique les points images associés aux réels suivants :** * \( \frac{\pi}{6} \), \( \frac{\pi}{6} + \pi \), \( -\frac{\pi}{6} \), \( \pi - \frac{\pi}{6} \) * Décrivez la relation géométrique entre ces points. 2. **Trouvez tous les réels \( x \) dans l'intervalle \( [0, 6\pi] \) qui ont le même point image que \( \frac{3\pi}{4} \).** 3. **Si un angle a pour mesure principale \( \alpha = \frac{2\pi}{5} \), donnez trois autres mesures (une positive supérieure à \( 2\pi \), une négative, et une autre de votre choix) pour cet angle.** ### Résumé Nous avons appris aujourd'hui que chaque nombre réel correspond à un point unique sur le cercle trigonométrique. L'aspect le plus important à retenir est que de nombreux nombres réels peuvent correspondre au même point image. Ces nombres diffèrent les uns des autres par un multiple entier de \( 2\pi \) (périodicité). Pour chaque point image, il existe une **mesure principale** unique, située dans l'intervalle \( ]-\pi, \pi] \), qui est la plus simple pour le caractériser. Maîtriser ces concepts est fondamental pour la suite de vos études en trigonométrie et dans d'autres domaines des mathématiques et de la physique.