Equations et inéquations (partie 2/2)

## Équations et Inéquations rationnelles dans ℝ ### Introduction Bienvenue dans cette leçon consacrée aux équations et inéquations rationnelles. En mathématiques, vous avez déjà appris à résoudre des équations et inéquations du premier degré ou du second degré. Aujourd'hui, nous allons aborder des problèmes où l'inconnue se trouve au dénominateur d'une fraction. Ces types d'expressions sont appelées expressions rationnelles. La clé pour les résoudre est de toujours commencer par déterminer leur domaine de définition, car on ne peut jamais diviser par zéro. Suivez attentivement les étapes et les méthodes, elles vous seront très utiles! ### Concepts Clés #### Qu'est-ce qu'une expression rationnelle? Une **expression rationnelle** est le quotient de deux polynômes. Elle se présente sous la forme \[ \frac{A(x)}{B(x)} \] où \( A(x) \) et \( B(x) \) sont des polynômes et \( B(x) \) n'est pas le polynôme nul. #### Domaine de définition Pour qu'une expression rationnelle soit définie, son dénominateur ne doit jamais être égal à zéro. L'ensemble des valeurs de \( x \) pour lesquelles le dénominateur n'est pas nul est appelé le **domaine de définition** (ou ensemble de définition) de l'expression. **Comment déterminer le domaine de définition:** 1. Identifiez le polynôme au dénominateur, \( B(x) \). 2. Trouvez les valeurs de \( x \) pour lesquelles \( B(x) = 0 \). Ce sont les **valeurs interdites**. 3. Le domaine de définition est l'ensemble \( \mathbb{R} \) privé de ces valeurs interdites. #### Équations rationnelles Une **équation rationnelle** est une équation dans laquelle l'inconnue apparaît au dénominateur d'une ou plusieurs expressions rationnelles. Elles se présentent souvent sous la forme \[ \frac{A(x)}{B(x)} = C(x) \] ou \[ \frac{A(x)}{B(x)} = \frac{C(x)}{D(x)} \]. **Méthode de résolution:** 1. **Déterminer le domaine de définition (D.D.):** Identifier toutes les valeurs de \( x \) qui annulent les dénominateurs. Ces valeurs seront exclues des solutions. 2. **Ramener l'équation à la forme \( \frac{P(x)}{Q(x)} = 0 \):** * Si l'équation est de la forme \( \frac{A(x)}{B(x)} = C(x) \), réécrivez-la comme \( \frac{A(x)}{B(x)} - C(x) = 0 \). Mettez \( A(x) - C(x)B(x) \) sur le même dénominateur \( B(x) \). * Si l'équation est de la forme \( \frac{A(x)}{B(x)} = \frac{C(x)}{D(x)} \), réécrivez-la comme \( \frac{A(x)}{B(x)} - \frac{C(x)}{D(x)} = 0 \). Mettez les deux fractions sur un dénominateur commun, par exemple \( B(x)D(x) \). 3. **Résoudre l'équation résultante:** Une fois l'équation sous la forme \( \frac{P(x)}{Q(x)} = 0 \), cela signifie que le numérateur doit être nul et que le dénominateur ne doit pas l'être. On résout donc \( P(x) = 0 \). 4. **Vérifier les solutions:** Comparez les solutions trouvées à l'étape 3 avec les valeurs interdites du domaine de définition. Seules les solutions appartenant au D.D. sont valides. L'ensemble des solutions est alors noté \( S \). #### Inéquations rationnelles Une **inéquation rationnelle** est une inéquation dans laquelle l'inconnue apparaît au dénominateur d'une ou plusieurs expressions rationnelles. Elles se présentent sous des formes comme \[ \frac{A(x)}{B(x)} > 0 \], \[ \frac{A(x)}{B(x)} \le C(x) \], etc. **Méthode de résolution:** 1. **Déterminer le domaine de définition (D.D.):** Comme pour les équations, identifier toutes les valeurs de \( x \) qui annulent les dénominateurs. 2. **Ramener l'inéquation à la forme \( \frac{P(x)}{Q(x)} > 0 \) (ou \( \ge 0 \), \( < 0 \), \( \le 0 \)):** Pour ce faire, passez tous les termes d'un seul côté de l'inéquation et mettez-les sur un dénominateur commun. 3. **Étudier les signes des polynômes \( P(x) \) et \( Q(x) \):** Trouvez les racines (valeurs qui annulent) de \( P(x) \) et de \( Q(x) \). 4. **Construire un tableau de signes:** * Placez sur la première ligne toutes les racines de \( P(x) \) et \( Q(x) \) par ordre croissant. * Sur les lignes suivantes, indiquez le signe de \( P(x) \) et de \( Q(x) \) sur chaque intervalle. * Sur la dernière ligne, déduisez le signe du quotient \( \frac{P(x)}{Q(x)} \) en appliquant la règle des signes (plus par plus donne plus, etc.). * **Très important:** Pour les valeurs de \( x \) qui annulent le dénominateur \( Q(x) \), indiquez une **double barre verticale** sous \( \frac{P(x)}{Q(x)} \) pour signifier que la fonction n'est pas définie en ces points. 5. **Conclure l'ensemble des solutions:** À partir du tableau de signes, identifiez les intervalles où l'inéquation est vérifiée, en tenant compte du domaine de définition et des inégalités strictes ou larges. N'oubliez pas que les valeurs qui annulent le dénominateur sont toujours exclues (intervalles ouverts pour ces points). ### Vocabulaire * **Expression rationnelle:** Quotient de deux polynômes, \( \frac{A(x)}{B(x)} \). * **Équation rationnelle:** Égalité entre expressions rationnelles où l'inconnue apparaît au dénominateur. * **Inéquation rationnelle:** Inégalité entre expressions rationnelles où l'inconnue apparaît au dénominateur. * **Domaine de définition (D.D. ou \( D_f \)):** L'ensemble de toutes les valeurs de la variable pour lesquelles l'expression rationnelle est définie (c'est-à-dire le dénominateur n'est pas nul). * **Valeur interdite:** Une valeur de l'inconnue qui annule le dénominateur d'une expression rationnelle. * **Tableau de signes:** Un outil graphique permettant d'organiser l'étude du signe d'une expression, notamment un produit ou un quotient, sur différents intervalles. ### Exemples #### Exemple 1: Équation rationnelle Résoudre l'équation \[ \frac{2x+1}{x-3} = 5 \] 1. **Domaine de définition:** Le dénominateur \( x-3 \) ne doit pas être nul, donc \( x \ne 3 \). D.D. \( = \mathbb{R} \setminus \{3\} \). 2. **Ramener à \( \frac{P(x)}{Q(x)} = 0 \):** \[ \frac{2x+1}{x-3} - 5 = 0 \] \[ \frac{2x+1}{x-3} - \frac{5(x-3)}{x-3} = 0 \] \[ \frac{2x+1 - 5x + 15}{x-3} = 0 \] \[ \frac{-3x+16}{x-3} = 0 \] 3. **Résoudre le numérateur:** \( -3x+16 = 0 \implies -3x = -16 \implies x = \frac{16}{3} \). 4. **Vérifier la solution:** \( \frac{16}{3} \) n'est pas \( 3 \), donc cette solution est valide. L'ensemble des solutions est \( S = \left\{\frac{16}{3}\right\} \). #### Exemple 2: Inéquation rationnelle Résoudre l'inéquation \[ \frac{x-1}{x+2} \ge 0 \] 1. **Domaine de définition:** Le dénominateur \( x+2 \) ne doit pas être nul, donc \( x \ne -2 \). D.D. \( = \mathbb{R} \setminus \{-2\} \). 2. L'inéquation est déjà sous la forme \( \frac{P(x)}{Q(x)} \ge 0 \) avec \( P(x) = x-1 \) et \( Q(x) = x+2 \). 3. **Étudier les signes:** * \( x-1 = 0 \implies x=1 \) * \( x+2 = 0 \implies x=-2 \) 4. **Tableau de signes:** | \( x \) | \( -\infty \) | \( -2 \) | \( 1 \) | \( +\infty \) | | :--- | :-----------: | :------: | :-----: | :-----------: | | \( x-1 \) | \( - \) | \( - \) | \( 0 \) | \( + \) | | \( x+2 \) | \( - \) | \( 0 \) | \( + \) | \( + \) | | \( \frac{x-1}{x+2} \) | \( + \) | \( \vert \vert \) | \( 0 \) | \( + \) | *Note: \( || \) signifie valeur interdite.* 5. **Conclure:** Nous cherchons \( \frac{x-1}{x+2} \ge 0 \). Les intervalles où le quotient est positif ou nul sont \( ]-\infty ; -2[ \) et \( [1 ; +\infty[ \). Notez que \( x=-2 \) est exclu car c'est une valeur interdite, mais \( x=1 \) est inclus car \( \frac{0}{\dots} = 0 \) et \( 0 \ge 0 \) est vrai. L'ensemble des solutions est \( S = ]-\infty ; -2[ \cup [1 ; +\infty[ \). ### Exercices Résolvez les équations et inéquations suivantes: 1. \( \frac{3x-6}{x+1} = 0 \) 2. \( \frac{4}{x-2} = 3 \) 3. \( \frac{x+5}{x-1} \le 0 \) 4. \( \frac{2x-1}{x+3} > 1 \) ### Devoirs 1. Déterminez l'ensemble de définition de l'expression \( f(x) = \frac{x^2-4}{x^2-x-6} \). 2. Résolvez l'équation \[ \frac{2x}{x-1} - \frac{x+1}{x-2} = 0 \] 3. Résolvez l'inéquation \[ \frac{x^2-9}{x+2} < 0 \] 4. Un rectangle a une longueur de \( 2x+1 \) cm et une largeur de \( x-3 \) cm. Pour quelle(s) valeur(s) de \( x \) le rapport de la longueur sur la largeur est-il inférieur ou égal à 2? (N'oubliez pas les contraintes de dimensions réelles). ### Résumé Félicitations! Vous avez appris à résoudre les équations et inéquations rationnelles. Voici les points essentiels à retenir: * Toujours commencer par déterminer le **domaine de définition** en excluant les valeurs qui annulent le(s) dénominateur(s). * Pour les **équations**, ramener l'expression à la forme \( \frac{P(x)}{Q(x)} = 0 \) et résoudre \( P(x) = 0 \). Vérifier les solutions par rapport au domaine de définition. * Pour les **inéquations**, ramener l'expression à la forme \( \frac{P(x)}{Q(x)} \ge 0 \) (ou \( \le 0 \), etc.) et utiliser un **tableau de signes** pour déterminer les intervalles solutions, en veillant à exclure les valeurs interdites (double barre). ## Système d’équations et d’inéquations dans ℝ2 ### Introduction Bienvenue dans ce cours sur les systèmes d'équations et d'inéquations à deux variables dans le plan cartésien (ℝ2). Dans de nombreuses situations, un seul énoncé mathématique ne suffit pas à décrire un problème. Il est souvent nécessaire d'utiliser plusieurs équations ou inéquations simultanément. Ce chapitre vous apprendra à résoudre ces systèmes, que ce soit pour trouver un point précis ou une région du plan. ### Concepts Clés #### Systèmes d'équations linéaires à deux inconnues Un système d'équations linéaires à deux inconnues est composé de deux équations du premier degré avec deux variables, généralement \(x\) et \(y\). L'objectif est de trouver un couple de valeurs \((x, y)\) qui satisfait simultanément les deux équations. ##### Forme générale Un système typique s'écrit: \[ \begin{cases} ax + by = c \\ dx + ey = f \end{cases} \] où \(a, b, c, d, e, f\) sont des nombres réels, et \(x, y\) sont les inconnues. ##### Méthodes de résolution algébriques * **Méthode par substitution**: 1. Exprimer une des inconnues en fonction de l'autre à partir de l'une des équations. 2. Substituer cette expression dans l'autre équation. 3. Résoudre l'équation à une inconnue obtenue. 4. Utiliser la valeur trouvée pour calculer la deuxième inconnue. * **Méthode par combinaison linéaire (ou addition)**: 1. Multiplier chaque équation par un nombre choisi de manière à ce que, en additionnant ou soustrayant les deux équations, l'une des inconnues s'élimine. 2. Résoudre l'équation à une inconnue restante. 3. Substituer la valeur trouvée dans l'une des équations initiales pour trouver la deuxième inconnue. ##### Interprétation graphique Chaque équation linéaire à deux inconnues représente une droite dans le plan. La solution du système est le point d'intersection de ces deux droites. Il y a trois cas possibles: * **Une solution unique**: Les droites se coupent en un seul point (cas général). * **Aucune solution**: Les droites sont parallèles et distinctes (elles ne se coupent jamais). * **Une infinité de solutions**: Les droites sont confondues (elles sont la même droite). #### Systèmes d'inéquations linéaires à deux inconnues Un système d'inéquations linéaires à deux inconnues est composé de deux (ou plus) inéquations du premier degré avec deux variables. La solution n'est pas un point, mais une région du plan. ##### Forme générale Un système typique peut s'écrire: \[ \begin{cases} ax + by \leq c \\ dx + ey > f \end{cases} \] Les symboles \( \leq, <, \geq, > \) définissent les inégalités. ##### Méthode de résolution graphique 1. **Tracer les droites frontières**: Pour chaque inéquation, considérer l'équation associée (remplacer le signe d'inégalité par \( = \)) et tracer la droite correspondante. * Si l'inégalité est stricte (\( < \) ou \( > \)), la droite frontière est **pointillée** (les points de la droite ne sont pas inclus dans la solution). * Si l'inégalité est large (\( \leq \) ou \( \geq \)), la droite frontière est **pleine** (les points de la droite sont inclus). 2. **Déterminer le demi-plan solution pour chaque inéquation**: Pour chaque droite, choisir un point test (souvent \((0,0)\) si la droite ne passe pas par l'origine) et le substituer dans l'inéquation. Si le point satisfait l'inéquation, le demi-plan contenant ce point est la solution. Sinon, l'autre demi-plan est la solution. 3. **Hachurer la région de solution**: La solution du système est l'intersection (la zone commune) de tous les demi-plans solutions. C'est cette région qui doit être hachurée ou mise en évidence. ### Vocabulaire * **Système d'équations**: Ensemble de plusieurs équations à résoudre simultanément. * **Système d'inéquations**: Ensemble de plusieurs inéquations dont il faut trouver la région solution commune. * **Inconnue**: Variable dont la valeur est recherchée (ici \(x\) et \(y\)). * **Couple solution**: Pair de valeurs \((x, y)\) qui vérifie toutes les équations ou inéquations d'un système. * **Ensemble de solutions**: Pour un système d'inéquations, c'est la région du plan qui contient tous les couples solutions. * **Droite frontière**: Droite qui délimite un demi-plan, obtenue en remplaçant l'inégalité par une égalité. * **Demi-plan**: Région du plan délimitée par une droite. * **Région admissible**: Autre terme pour l'ensemble de solutions d'un système d'inéquations. ### Exemples #### Exemple 1: Résolution d'un système d'équations par substitution Résoudre le système: \[ \begin{cases} 2x + y = 7 \quad (L_1) \\ x - 3y = 0 \quad (L_2) \end{cases} \] 1. De \((L_2)\), on peut exprimer \(x\) en fonction de \(y\): \(x = 3y\). 2. Substituons cette expression de \(x\) dans \((L_1)\): \(2(3y) + y = 7\) \(6y + y = 7\) \(7y = 7\) \(y = 1\) 3. Maintenant, substituons \(y = 1\) dans \(x = 3y\): \(x = 3(1)\) \(x = 3\) Le couple solution est \((3, 1)\). #### Exemple 2: Résolution d'un système d'inéquations graphiquement Déterminer l'ensemble des solutions du système: \[ \begin{cases} x + y \leq 4 \quad (I_1) \\ x - y > 0 \quad (I_2) \end{cases} \] 1. **Pour \((I_1): x + y \leq 4\)**: * Tracer la droite \(D_1: x + y = 4\). Points: \((0,4)\), \((4,0)\). La droite est pleine. * Point test \((0,0)\): \(0 + 0 \leq 4 \Rightarrow 0 \leq 4\). C'est vrai, donc on hachure le demi-plan contenant \((0,0)\). 2. **Pour \((I_2): x - y > 0\)**: * Tracer la droite \(D_2: x - y = 0\) (ou \(y = x\)). Points: \((0,0)\), \((1,1)\). La droite est pointillée. * Point test \((1,0)\) (ne pas choisir \((0,0)\) car il est sur la droite): \(1 - 0 > 0 \Rightarrow 1 > 0\). C'est vrai, donc on hachure le demi-plan contenant \((1,0)\) (sous la droite \(y=x\)). 3. **Intersection**: La région de solution est la zone où les deux hachures se superposent. ### Exercices 1. **Résoudre par la méthode de votre choix (substitution ou combinaison linéaire):** \[ \begin{cases} 3x + 2y = 11 \\ x - y = 2 \end{cases} \] 2. **Résoudre graphiquement le système d'équations suivant et vérifier votre solution algébriquement:** \[ \begin{cases} y = -x + 3 \\ y = 2x - 3 \end{cases} \] 3. **Représenter graphiquement l'ensemble des solutions du système d'inéquations:** \[ \begin{cases} y \geq 2x - 1 \\ x + y < 5 \end{cases} \] ### Devoirs 1. **Problème**: Un magasin vend des T-shirts à 15€ et des casquettes à 10€. À la fin de la journée, le magasin a vendu 20 articles pour un total de 240€. Combien de T-shirts et de casquettes ont été vendus? (Mettre en place un système d'équations et le résoudre). 2. **Résoudre les systèmes d'équations suivants par deux méthodes différentes (une algébrique et une graphique):** a) \[ \begin{cases} 5x - 2y = 1 \\ -x + 4y = 7 \end{cases} \] b) \[ \begin{cases} 2x + 3y = 6 \\ 4x + 6y = 12 \end{cases} \] (Qu'observez-vous?) 3. **Déterminer et hachurer la région du plan satisfaisant le système d'inéquations:** \[ \begin{cases} x \geq 0 \\ y \geq 0 \\ x + 2y \leq 6 \\ 3x + y \leq 9 \end{cases} \] (Cette situation est fréquente en programmation linéaire pour trouver un optimum.) ### Résumé Dans cette leçon, nous avons exploré les systèmes d'équations et d'inéquations linéaires à deux inconnues dans ℝ2. Pour les systèmes d'équations, nous avons appris à trouver le couple solution unique (ou l'absence de solution, ou une infinité) par des méthodes algébriques (substitution, combinaison linéaire) ou graphiques (point d'intersection de droites). Pour les systèmes d'inéquations, la solution est une région du plan, trouvée en hachurant l'intersection des demi-plans définis par chaque inéquation. La distinction entre droites pleines (inégalités larges) et pointillées (inégalités strictes) est cruciale. Ces compétences sont fondamentales pour résoudre des problèmes complexes dans de nombreux domaines.