Vecteurs du plan

## Représentation et égalité de vecteurs ### Introduction En mathématiques, les vecteurs sont des outils fondamentaux pour décrire des déplacements ou des forces. Ils nous permettent de représenter non seulement une distance, mais aussi une direction et un sens. Dans ce chapitre, nous allons apprendre à définir un vecteur, à le représenter, et à comprendre quand deux vecteurs sont considérés comme égaux. C'est une notion essentielle pour la géométrie et la physique. ### Concepts Clés #### Qu'est-ce qu'un vecteur ? Un vecteur est un objet mathématique caractérisé par trois éléments : - **Une direction :** C'est la droite sur laquelle le vecteur est porté (ou toute droite parallèle). Par exemple, une droite horizontale, verticale ou oblique. - **Un sens :** Il indique l'orientation sur cette direction (par exemple, de gauche à droite ou de droite à gauche). - **Une longueur (ou norme) :** C'est la distance entre son point de départ (origine) et son point d'arrivée (extrémité). On la note \( \|\vec{AB}\| \) ou \( \|\vec{u}\| \). Graphiquement, un vecteur est représenté par une **flèche**. L'origine de la flèche est le point de départ, et la pointe de la flèche est l'extrémité. On note un vecteur avec une petite flèche au-dessus de deux lettres (par exemple, \( \vec{AB} \) si A est l'origine et B l'extrémité) ou d'une seule lettre (par exemple, \( \vec{u} \)). #### Composantes d'un vecteur dans un repère Pour travailler de manière plus précise avec les vecteurs, notamment pour les calculs, nous utilisons un repère cartésien \( (O; \vec{i}, \vec{j}) \). Chaque point du plan est alors défini par ses coordonnées \( (x, y) \). Si vous avez deux points \( A(x_A, y_A) \) et \( B(x_B, y_B) \), les composantes du vecteur \( \vec{AB} \) sont données par la formule : \[ \vec{AB} = \begin{pmatrix} x_B - x_A \\ y_B - y_A \end{pmatrix} \] Ces composantes représentent le déplacement horizontal (\( x_B - x_A \)) et le déplacement vertical (\( y_B - y_A \)) pour aller de A à B. **Exemple :** Si \( A(1, 2) \) et \( B(5, 4) \), alors \( \vec{AB} = \begin{pmatrix} 5 - 1 \\ 4 - 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \end{pmatrix} \). #### Égalité de deux vecteurs Deux vecteurs sont dits **égaux** s'ils ont la même direction, le même sens et la même longueur. Cela signifie qu'ils représentent exactement le même déplacement. Si nous travaillons avec les composantes, la condition d'égalité est très simple : Deux vecteurs \( \vec{u} = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \) et \( \vec{v} = \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} \) sont égaux si et seulement si leurs composantes sont égales, c'est-à-dire : \( x = x' \) et \( y = y' \) **Propriété du parallélogramme :** Si \( \vec{AB} = \vec{CD} \), alors le quadrilatère ABDC est un parallélogramme (attention à l'ordre des lettres !). Réciproquement, si ABDC est un parallélogramme, alors \( \vec{AB} = \vec{CD} \). #### Vecteur nul et vecteur opposé - Le **vecteur nul** est un vecteur dont l'origine et l'extrémité sont confondues. Sa longueur est 0. Ses composantes sont \( \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} \). On le note \( \vec{0} \). - Le **vecteur opposé** d'un vecteur \( \vec{u} \) est le vecteur noté \( -\vec{u} \) qui a la même direction et la même longueur que \( \vec{u} \), mais un sens opposé. Si \( \vec{u} = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \), alors \( -\vec{u} = \begin{pmatrix} -x \\ -y \end{pmatrix} \). ### Vocabulaire - **Vecteur :** Objet mathématique ayant une direction, un sens et une longueur. - **Origine :** Point de départ d'un vecteur. - **Extrémité :** Point d'arrivée d'un vecteur. - **Direction :** L'orientation de la droite supportant le vecteur. - **Sens :** L'orientation du vecteur sur sa direction. - **Longueur (Norme) :** La distance entre l'origine et l'extrémité du vecteur. - **Composantes :** Les coordonnées d'un vecteur dans un repère (déplacement horizontal et vertical). - **Vecteur nul :** Vecteur de longueur zéro, noté \( \vec{0} \). - **Vecteur opposé :** Vecteur ayant même direction et longueur, mais de sens inverse. ### Exemples 1. **Représentation graphique :** Dans un repère orthonormé, placez les points \( P(-2, 1) \) et \( Q(3, 3) \). Dessinez le vecteur \( \vec{PQ} \). 2. **Calcul de composantes :** Soient les points \( R(0, 5) \) et \( S(-4, 1) \). Calculer les composantes du vecteur \( \vec{RS} \). \( \vec{RS} = \begin{pmatrix} x_S - x_R \\ y_S - y_R \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -4 - 0 \\ 1 - 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -4 \\ -4 \end{pmatrix} \) 3. **Égalité de vecteurs :** Les vecteurs \( \vec{u} = \begin{pmatrix} 2 \\ -3 \end{pmatrix} \) et \( \vec{v} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix} \) sont-ils égaux ? Non, car leurs composantes \( y \) sont différentes (\( -3 \neq 3 \)). 4. **Détermination d'un point :** Soient \( A(1, 1) \), \( B(4, 2) \) et \( C(2, 4) \). Déterminer les coordonnées du point D tel que \( \vec{AB} = \vec{CD} \). Désignons \( D(x_D, y_D) \). \( \vec{AB} = \begin{pmatrix} 4 - 1 \\ 2 - 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix} \) \( \vec{CD} = \begin{pmatrix} x_D - 2 \\ y_D - 4 \end{pmatrix} \) Pour que \( \vec{AB} = \vec{CD} \) : \( x_D - 2 = 3 \Rightarrow x_D = 5 \) \( y_D - 4 = 1 \Rightarrow y_D = 5 \) Donc, \( D(5, 5) \). ### Exercices 1. Soient les points \( E(-1, 3) \) et \( F(2, -2) \). a. Calculer les composantes du vecteur \( \vec{EF} \). b. Dessiner le vecteur \( \vec{EF} \) dans un repère orthonormé. 2. On donne les vecteurs \( \vec{u} = \begin{pmatrix} 5 \\ -1 \end{pmatrix} \), \( \vec{v} = \begin{pmatrix} 5 \\ -1 \end{pmatrix} \) et \( \vec{w} = \begin{pmatrix} -5 \\ 1 \end{pmatrix} \). a. Les vecteurs \( \vec{u} \) et \( \vec{v} \) sont-ils égaux ? Justifier. b. Les vecteurs \( \vec{u} \) et \( \vec{w} \) sont-ils égaux ? Justifier. c. Comment \( \vec{u} \) et \( \vec{w} \) sont-ils liés ? 3. Dans un repère, placez les points \( G(0, 0) \), \( H(3, 1) \), \( I(1, 2) \) et \( J(-2, 1) \). Calculer les composantes de \( \vec{GH} \) et \( \vec{IJ} \). Ces vecteurs sont-ils égaux ? ### Devoir 1. Soient les points \( K(2, 1) \), \( L(-1, 4) \) et \( M(0, -3) \). a. Calculer les composantes des vecteurs \( \vec{KL} \) et \( \vec{LM} \). b. Déterminer les coordonnées du point N tel que \( KLMN \) soit un parallélogramme. 2. On considère un repère orthonormé et les points \( A(1, 0) \), \( B(4, 1) \), \( C(3, 4) \) et \( D(0, 3) \). a. Calculer les composantes des vecteurs \( \vec{AB} \) et \( \vec{DC} \). b. Que pouvez-vous en déduire pour le quadrilatère ABCD ? Justifier précisément. 3. Un navire se déplace du point \( P_1(10, 20) \) au point \( P_2(30, 50) \) en 2 heures. Décrire ce déplacement à l'aide d'un vecteur. Si le navire continue avec le même vecteur de déplacement pendant 1 heure supplémentaire à partir de \( P_2 \), quelles seront ses nouvelles coordonnées \( P_3 \) ? ### Résumé Un vecteur est un outil puissant pour décrire un déplacement, caractérisé par une direction, un sens et une longueur. Il est représenté graphiquement par une flèche. Dans un repère, ses composantes \( \begin{pmatrix} x_B - x_A \\ y_B - y_A \end{pmatrix} \) permettent des calculs précis. Deux vecteurs sont égaux si et seulement si leurs composantes sont identiques, ce qui correspond à un même déplacement. La compréhension de l'égalité des vecteurs est cruciale pour l'étude des parallélogrammes et bien d'autres applications en géométrie. ## Combinaisons linéaires et bases ### Introduction Dans ce chapitre, nous allons approfondir notre compréhension des vecteurs en explorant les concepts de combinaisons linéaires et de bases. Ces outils sont fondamentaux pour manipuler les vecteurs de manière algébrique et pour comprendre comment n'importe quel vecteur du plan peut être exprimé à partir de seulement deux vecteurs non colinéaires. C'est la pierre angulaire de la géométrie analytique. ### Concepts Clés #### Combinaison Linéaire de Vecteurs ##### Définition Étant donnés deux vecteurs \( \vec{u} \) et \( \vec{v} \) et deux nombres réels \( a \) et \( b \), le vecteur \( \vec{w} \) défini par la relation \[ \vec{w} = a\vec{u} + b\vec{v} \] est appelé une **combinaison linéaire** des vecteurs \( \vec{u} \) et \( \vec{v} \). Les nombres \( a \) et \( b \) sont appelés les coefficients de la combinaison linéaire. ##### Propriétés * Le résultat d'une combinaison linéaire de vecteurs est toujours un vecteur. * Les propriétés d'addition de vecteurs et de multiplication par un scalaire s'appliquent. Par exemple, si \( \vec{u} = \vec{AB} \) et \( \vec{v} = \vec{CD} \), on peut construire le vecteur \( a\vec{u} + b\vec{v} \). #### Vecteurs Colinéaires ##### Rappel Deux vecteurs \( \vec{u} \) et \( \vec{v} \) sont dits **colinéaires** s'il existe un nombre réel \( k \) tel que \( \vec{v} = k\vec{u} \) (ou \( \vec{u} = k\vec{v} \)). Géométriquement, cela signifie qu'ils ont la même direction (leurs supports sont parallèles). ##### Lien avec les combinaisons linéaires * Si deux vecteurs sont colinéaires, alors l'un est une combinaison linéaire de l'autre avec un seul terme non nul (e.g., \( \vec{v} = k\vec{u} \) peut être vu comme \( \vec{v} = k\vec{u} + 0\vec{w} \) pour n'importe quel autre vecteur \( \vec{w} \)). * Si deux vecteurs \( \vec{u} \) et \( \vec{v} \) ne sont pas colinéaires, ils sont dits **non colinéaires**. Dans le plan, deux vecteurs non colinéaires sont essentiels pour former une base. #### Bases de Vecteurs dans le Plan ##### Définition Une **base** du plan est un ensemble de deux vecteurs non colinéaires, généralement notés \( (\vec{i}, \vec{j}) \). Propriété fondamentale: Pour toute base \( (\vec{i}, \vec{j}) \), tout vecteur \( \vec{w} \) du plan peut être écrit de manière unique comme une combinaison linéaire de \( \vec{i} \) et \( \vec{j} \) : \[ \vec{w} = x\vec{i} + y\vec{j} \] Les nombres réels \( x \) et \( y \) sont appelés les **coordonnées** du vecteur \( \vec{w} \) dans la base \( (\vec{i}, \vec{j}) \). On note souvent \( \vec{w} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \) dans cette base. ##### Base Orthogonale et Orthonormée * **Base orthogonale :** Une base \( (\vec{i}, \vec{j}) \) est orthogonale si les vecteurs \( \vec{i} \) et \( \vec{j} \) sont perpendiculaires (leurs directions sont à 90 degrés l'une de l'autre). * **Base orthonormée :** Une base \( (\vec{i}, \vec{j}) \) est orthonormée si elle est orthogonale et si les vecteurs \( \vec{i} \) et \( \vec{j} \) sont des vecteurs unitaires (leur longueur est 1 : \( ||\vec{i}|| = 1 \) et \( ||\vec{j}|| = 1 \)). C'est la base la plus couramment utilisée dans les repères cartésiens. ##### Importance Les bases permettent de transformer les problèmes de géométrie vectorielle en problèmes d'algèbre en utilisant les coordonnées des vecteurs, ce qui simplifie grandement les calculs. ### Vocabulaire * **Combinaison linéaire :** Somme de vecteurs multipliés par des scalaires. * **Vecteurs colinéaires :** Vecteurs ayant la même direction (l'un est un multiple de l'autre). * **Vecteurs non colinéaires :** Vecteurs n'ayant pas la même direction. * **Base du plan :** Ensemble de deux vecteurs non colinéaires permettant d'exprimer tous les vecteurs du plan. * **Coordonnées d'un vecteur :** Les coefficients uniques d'un vecteur dans une base donnée. * **Base orthogonale :** Base dont les vecteurs sont perpendiculaires. * **Base orthonormée :** Base orthogonale dont les vecteurs sont de longueur unitaire. ### Exemples Supposons une base orthonormée \( (\vec{i}, \vec{j}) \). 1. **Calcul d'une combinaison linéaire :** Soient \( \vec{u} = 2\vec{i} + \vec{j} \) et \( \vec{v} = -\vec{i} + 3\vec{j} \). Calculons \( \vec{w} = 3\vec{u} - 2\vec{v} \). \[ \vec{w} = 3(2\vec{i} + \vec{j}) - 2(-\vec{i} + 3\vec{j}) \] \[ \vec{w} = (6\vec{i} + 3\vec{j}) - (-2\vec{i} + 6\vec{j}) \] \[ \vec{w} = 6\vec{i} + 3\vec{j} + 2\vec{i} - 6\vec{j} \] \[ \vec{w} = (6+2)\vec{i} + (3-6)\vec{j} \] \[ \vec{w} = 8\vec{i} - 3\vec{j} \] Donc, \( \vec{w} \begin{pmatrix} 8 \\ -3 \end{pmatrix} \) dans la base \( (\vec{i}, \vec{j}) \). 2. **Expression d'un vecteur dans une base :** Soit le vecteur \( \vec{a} \begin{pmatrix} 5 \\ -5 \end{pmatrix} \) dans la base \( (\vec{i}, \vec{j}) \). Peut-on l'exprimer comme une combinaison linéaire de \( \vec{u} = 2\vec{i} + \vec{j} \) et \( \vec{v} = -\vec{i} + 3\vec{j} \) ? C'est-à-dire, existe-t-il \( a \) et \( b \) tels que \( \vec{a} = a\vec{u} + b\vec{v} \) ? \[ 5\vec{i} - 5\vec{j} = a(2\vec{i} + \vec{j}) + b(-\vec{i} + 3\vec{j}) \] \[ 5\vec{i} - 5\vec{j} = (2a-b)\vec{i} + (a+3b)\vec{j} \] Par identification des coefficients (car la représentation est unique dans une base) : * \( 2a - b = 5 \) (1) * \( a + 3b = -5 \) (2) De (2), on a \( a = -5 - 3b \). Substituons dans (1) : \( 2(-5 - 3b) - b = 5 \) \( -10 - 6b - b = 5 \) \( -7b = 15 \) \( b = -\frac{15}{7} \) Ensuite, \( a = -5 - 3(-\frac{15}{7}) = -5 + \frac{45}{7} = -\frac{35}{7} + \frac{45}{7} = \frac{10}{7} \) Donc, \( \vec{a} = \frac{10}{7}\vec{u} - \frac{15}{7}\vec{v} \). ### Exercices 1. Soient \( \vec{a} = 3\vec{i} - 2\vec{j} \) et \( \vec{b} = -\vec{i} + 5\vec{j} \) dans une base \( (\vec{i}, \vec{j}) \). Calculez les vecteurs suivants : * \( \vec{c} = 2\vec{a} + \vec{b} \) * \( \vec{d} = -\vec{a} - 3\vec{b} \) * \( \vec{e} = 0.5\vec{a} + 1.5\vec{b} \) 2. Les vecteurs \( \vec{u} = 4\vec{i} - 6\vec{j} \) et \( \vec{v} = -2\vec{i} + 3\vec{j} \) sont-ils colinéaires ? Justifiez votre réponse. 3. Montrez que les vecteurs \( \vec{e_1} = \vec{i} + \vec{j} \) et \( \vec{e_2} = \vec{i} - \vec{j} \) forment une base du plan. 4. Dans la base \( (\vec{e_1}, \vec{e_2}) \) définie à l'exercice 3, exprimez le vecteur \( \vec{w} = 5\vec{i} - \vec{j} \) comme une combinaison linéaire de \( \vec{e_1} \) et \( \vec{e_2} \). ### Devoir 1. Considérons les points A(1, 2), B(3, 5) et C(-1, -1) dans un repère orthonormé \( (O; \vec{i}, \vec{j}) \). * Calculez les coordonnées des vecteurs \( \vec{AB} \), \( \vec{BC} \) et \( \vec{AC} \). * Le vecteur \( \vec{AC} \) peut-il s'écrire comme une combinaison linéaire de \( \vec{AB} \) et \( \vec{BC} \) ? Si oui, trouvez les coefficients. * Les points A, B et C sont-ils alignés ? Justifiez votre réponse en utilisant le concept de colinéarité. 2. Soient \( \vec{u} = \begin{pmatrix} 1 \\ m \end{pmatrix} \) et \( \vec{v} = \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \end{pmatrix} \). * Pour quelle(s) valeur(s) de \( m \) les vecteurs \( \vec{u} \) et \( \vec{v} \) sont-ils colinéaires ? * Pour quelle(s) valeur(s) de \( m \) les vecteurs \( \vec{u} \) et \( \vec{v} \) forment-ils une base du plan ? 3. Écrivez un court paragraphe expliquant pourquoi il est impossible d'avoir une base du plan composée de trois vecteurs. ### Résumé Nous avons exploré deux concepts essentiels des vecteurs dans le plan : les combinaisons linéaires et les bases. Une **combinaison linéaire** nous permet de construire de nouveaux vecteurs à partir de vecteurs existants en les multipliant par des nombres réels (scalaires) et en les additionnant. Une **base** du plan est un ensemble de deux vecteurs **non colinéaires** (c'est-à-dire qui ne sont pas des multiples l'un de l'autre). L'importance d'une base réside dans le fait que tout vecteur du plan peut être exprimé de manière unique comme une combinaison linéaire de ces deux vecteurs de base. Les coefficients de cette combinaison linéaire sont les **coordonnées** du vecteur dans cette base, ce qui simplifie grandement l'étude des vecteurs et des figures géométriques. Les bases orthogonales et orthonormées sont particulièrement utiles pour des calculs simples.