Transformations du plan

## Utilisation des symétries et des translations ### Introduction Dans cette leçon, nous allons explorer les transformations du plan, des outils fondamentaux en géométrie qui nous permettent de déplacer ou de modifier des figures. Nous nous concentrerons sur deux types spécifiques de transformations : les symétries (axiale et centrale) et les translations. Comprendre ces transformations est essentiel pour analyser des motifs, résoudre des problèmes géométriques et appréhender des concepts plus avancés en mathématiques. ### Concepts Clés #### 1. Les Transformations du Plan Une transformation du plan est une fonction qui associe à chaque point du plan un unique point du même plan. Elle "transforme" une figure en une autre figure, appelée son image. #### 2. La Symétrie Axiale (ou Réflexion) ##### Définition La symétrie axiale, d'axe une droite \( (d) \), transforme tout point \( M \) en un point \( M' \) tel que la droite \( (d) \) est la médiatrice du segment \( [MM'] \). Si \( M \) est sur \( (d) \), alors \( M' = M \). ##### Propriétés La symétrie axiale est une isométrie, ce qui signifie qu'elle conserve : * Les distances (longueurs). * Les angles. * Les aires. * L'alignement des points (l'image d'une droite est une droite). * Les mesures des figures. Elle inverse l'orientation des figures (par exemple, un triangle ABC transformé en A'B'C' aura ses sommets dans l'ordre inverse). ##### Construction Pour construire l'image \( M' \) d'un point \( M \) par symétrie axiale d'axe \( (d) \) : 1. Tracez la droite perpendiculaire à \( (d) \) passant par \( M \). 2. Marquez le point \( H \) l'intersection de cette perpendiculaire avec \( (d) \). 3. Reportez la distance \( MH \) de l'autre côté de \( (d) \) pour trouver \( M' \) tel que \( H \) soit le milieu de \( [MM'] \). #### 3. La Symétrie Centrale ##### Définition La symétrie centrale, de centre un point \( O \), transforme tout point \( M \) en un point \( M' \) tel que \( O \) est le milieu du segment \( [MM'] \). C'est équivalent à une rotation de \( 180^ ext{o} \) autour du point \( O \). ##### Propriétés La symétrie centrale est également une isométrie. Elle conserve : * Les distances. * Les angles. * Les aires. * L'alignement des points. * L'orientation des figures. ##### Construction Pour construire l'image \( M' \) d'un point \( M \) par symétrie centrale de centre \( O \) : 1. Tracez la droite passant par \( M \) et \( O \). 2. Reportez la distance \( MO \) sur cette droite de l'autre côté de \( O \) pour trouver \( M' \) tel que \( O \) soit le milieu de \( [MM'] \). #### 4. La Translation ##### Définition La translation qui transforme le point \( A \) en \( B \) est la transformation qui associe à tout point \( M \) du plan un point \( M' \) tel que le quadrilatère \( AMM'B \) est un parallélogramme. On la caractérise par un vecteur \( \vec{u} \) (par exemple \( \vec{AB} \)) tel que \( \vec{MM'} = \vec{u} \). ##### Propriétés La translation est une isométrie. Elle conserve : * Les distances. * Les angles. * Les aires. * L'alignement des points. * L'orientation des figures. * Les droites parallèles sont transformées en droites parallèles. ##### Construction Pour construire l'image \( M' \) d'un point \( M \) par la translation de vecteur \( \vec{u} \) : 1. Dessinez le vecteur \( \vec{u} \) (par exemple, de \( A \) à \( B \)). 2. À partir de \( M \), tracez une ligne parallèle au vecteur \( \vec{u} \) et de même longueur et sens. Le point final de cette ligne est \( M' \). ### Vocabulaire * **Transformation du plan :** Opération géométrique qui associe à chaque point du plan un autre point. * **Symétrie axiale :** Transformation par réflexion par rapport à une droite (l'axe). * **Axe de symétrie :** La droite par rapport à laquelle s'effectue une symétrie axiale. * **Symétrie centrale :** Transformation par réflexion par rapport à un point (le centre). * **Centre de symétrie :** Le point par rapport auquel s'effectue une symétrie centrale. * **Translation :** Transformation qui "glisse" une figure le long d'un vecteur sans la tourner ni la retourner. * **Vecteur :** Un segment orienté caractérisé par une direction, un sens et une longueur (norme). * **Image :** La figure obtenue après application d'une transformation. * **Antécédent :** La figure de départ avant application d'une transformation. * **Isométrie :** Transformation qui conserve les distances. ### Exemples #### Exemple 1 : Symétrie Axiale Soit un point \( A(1, 2) \) et l'axe de symétrie \( (d) \) l'axe des ordonnées. L'image de \( A \) par rapport à \( (d) \) est \( A'(-1, 2) \). #### Exemple 2 : Symétrie Centrale Soit un point \( B(3, 1) \) et le centre de symétrie \( O(0, 0) \). L'image de \( B \) par rapport à \( O \) est \( B'(-3, -1) \). En effet, \( O \) est le milieu de \( [BB'] \), donc \( rac{3+x_{B'}}{2} = 0 \) et \( rac{1+y_{B'}}{2} = 0 \). #### Exemple 3 : Translation Soit un point \( C(2, 4) \) et le vecteur de translation \( \vec{u}(3, -1) \). L'image de \( C \) par la translation de vecteur \( \vec{u} \) est \( C'(2+3, 4-1) = C'(5, 3) \). ### Exercices 1. Dessinez un triangle \( ABC \) et une droite \( (d) \). Construisez l'image \( A'B'C' \) du triangle \( ABC \) par la symétrie axiale d'axe \( (d) \). 2. Dessinez un carré \( DEFG \) et un point \( H \) à l'extérieur du carré. Construisez l'image \( D'E'F'G' \) du carré \( DEFG \) par la symétrie centrale de centre \( H \). 3. Dessinez un segment \( [IJ] \) et un vecteur \( \vec{v} \). Construisez l'image \( [I'J'] \) du segment \( [IJ] \) par la translation de vecteur \( \vec{v} \). 4. On donne les points \( P(1, 0) \), \( Q(5, 0) \) et \( R(3, 4) \). Trouvez les coordonnées de l'image de \( P \) par la translation de vecteur \( \vec{QR} \). *Indice : Déterminez d'abord les coordonnées du vecteur \( \vec{QR} \).* \[ \vec{QR} = (x_R - x_Q, y_R - y_Q) \] ### Devoir Maison 1. Dans un repère orthonormé, placez les points \( A(-2, 1) \), \( B(1, 3) \) et \( C(0, -2) \). a. Construisez le point \( A_1 \) image de \( A \) par la symétrie axiale d'axe \( (Oy) \). b. Construisez le point \( B_2 \) image de \( B \) par la symétrie centrale de centre \( C \). c. Construisez le point \( C_3 \) image de \( C \) par la translation de vecteur \( \vec{AB} \). d. Donnez les coordonnées de \( A_1 \), \( B_2 \) et \( C_3 \). 2. Expliquez comment identifier la transformation (symétrie axiale, symétrie centrale ou translation) ayant transformé une figure initiale en sa figure image, en vous basant sur les propriétés conservées ou non. 3. Recherchez des exemples de symétries axiales, de symétries centrales et de translations dans la nature ou l'architecture et présentez-en un de chaque type. ### Résumé Les transformations du plan sont des outils puissants pour comprendre comment les figures peuvent être déplacées ou modifiées. Nous avons étudié : * **La symétrie axiale :** Une réflexion par rapport à une droite, qui inverse l'orientation des figures. * **La symétrie centrale :** Une réflexion par rapport à un point (équivalente à une rotation de 180°), qui conserve l'orientation des figures. * **La translation :** Un glissement le long d'un vecteur, qui conserve l'orientation des figures. Toutes ces transformations sont des isométries, c'est-à-dire qu'elles conservent les distances, les angles et les aires. La compréhension de ces concepts est fondamentale pour de nombreux aspects des mathématiques et de leurs applications. ## Propriétés des homothéties ### Introduction L'homothétie est une transformation géométrique fondamentale qui permet d'agrandir ou de réduire une figure en conservant sa forme. Dans cette leçon, nous allons explorer les propriétés clés des homothéties qui nous aideront à comprendre comment les figures sont transformées et quelles caractéristiques sont préservées ou modifiées. ### Concepts Clés #### Définition de l'homothétie Une homothétie de centre O (un point) et de rapport k (un nombre réel non nul) est la transformation qui, à tout point M du plan, associe le point M' tel que : \[ \vec{OM'} = k \vec{OM} \] * Si \( k > 0 \), M et M' sont du même côté par rapport au centre O. * Si \( k < 0 \), M et M' sont de côtés opposés par rapport au centre O. * Si \( k = 1 \), l'homothétie est l'identité (chaque point est sa propre image). * Si \( k = -1 \), l'homothétie est une symétrie centrale de centre O. #### Propriétés Fondamentales ##### 1. Conservation de l'alignement et du parallélisme * L'image d'une droite par une homothétie est une droite qui lui est parallèle. * L'image de trois points alignés est trois points alignés. * L'image d'un segment est un segment parallèle au segment initial. * L'image d'une figure par une homothétie est une figure qui lui est "semblable", c'est-à-dire qu'elle a la même forme mais une taille différente, et ses côtés sont parallèles aux côtés originaux. ##### 2. Conservation des angles * Une homothétie conserve les mesures des angles. Si un angle mesure \( \alpha \) dans la figure originale, son image mesurera également \( \alpha \). ##### 3. Transformation des distances (longueurs) * Si A' et B' sont les images respectives de A et B par une homothétie de rapport k, alors la longueur du segment [A'B'] est donnée par : \[ A'B' = |k| \times AB \] * Si \( |k| > 1 \), il s'agit d'un agrandissement. * Si \( 0 < |k| < 1 \), il s'agit d'une réduction. ##### 4. Transformation des aires * Si \( \mathcal{A} \) est l'aire d'une figure et \( \mathcal{A'} \) est l'aire de son image par une homothétie de rapport k, alors : \[ \mathcal{A'} = k^2 \times \mathcal{A} \] * Notez que le rapport \( k \) est mis au carré, car une aire est une mesure bidimensionnelle. ##### 5. Transformation des volumes (pour information) * Si \( \mathcal{V} \) est le volume d'un solide et \( \mathcal{V'} \) est le volume de son image par une homothétie de rapport k, alors : \[ \mathcal{V'} = |k|^3 \times \mathcal{V} \] * Pour des raisons de simplicité au lycée, on utilise souvent \( k^3 \) en supposant \( k \) positif. Le cube du rapport est utilisé car le volume est une mesure tridimensionnelle. ### Vocabulaire * **Homothétie :** Transformation géométrique qui agrandit ou réduit une figure à partir d'un point fixe. * **Centre de l'homothétie (O) :** Le point fixe à partir duquel l'agrandissement ou la réduction est effectué. * **Rapport de l'homothétie (k) :** Le nombre réel qui détermine l'ampleur et le sens de l'agrandissement ou de la réduction. * **Image :** La figure obtenue après application de l'homothétie. * **Antécédent :** La figure originale avant l'application de l'homothétie. * **Agrandissement :** Une homothétie dont \( |k| > 1 \). * **Réduction :** Une homothétie dont \( 0 < |k| < 1 \). ### Exemples #### Exemple 1 : Longueur d'un segment Soit un segment [AB] de longueur 8 cm. On applique une homothétie de centre O et de rapport \( k = 2.5 \). Quelle est la longueur de l'image [A'B'] ? * D'après la propriété des distances : \( A'B' = |k| \times AB \) * \( A'B' = |2.5| \times 8 = 2.5 \times 8 = 20 \) cm. L'image [A'B'] mesure 20 cm. C'est un agrandissement. #### Exemple 2 : Transformation d'un triangle Un triangle ABC a des angles de 40°, 70° et 70°. On lui applique une homothétie de centre P et de rapport \( k = -0.5 \). * Les mesures des angles du triangle image A'B'C' restent inchangées : 40°, 70° et 70°. * Les côtés du triangle A'B'C' sont parallèles aux côtés correspondants de ABC. * La longueur de chaque côté du triangle A'B'C' est \( |-0.5| = 0.5 \) fois la longueur du côté correspondant de ABC. C'est une réduction. De plus, comme \( k < 0 \), le triangle image est "inversé" par rapport au centre P. #### Exemple 3 : Aire d'un rectangle Un rectangle d'aire 25 cm² est transformé par une homothétie de rapport \( k = 4 \). Quelle est l'aire de l'image ? * D'après la propriété des aires : \( \mathcal{A'} = k^2 \times \mathcal{A} \) * \( \mathcal{A'} = (4)^2 \times 25 = 16 \times 25 = 400 \) cm². L'aire de l'image est 400 cm². ### Exercices 1. Un segment de longueur 12 cm est transformé par une homothétie de rapport \( k = -0.75 \). Quelle est la longueur de l'image de ce segment ? 2. Un angle mesure 110°. Quelle est la mesure de son image par une homothétie de rapport \( k = 3 \) ? 3. Un carré a une aire de 36 cm². Il est transformé par une homothétie dont le rapport est \( k = 2 \). Quelle est l'aire du carré image ? 4. Un trapèze a une hauteur de 6 cm et des bases de 8 cm et 12 cm. On lui applique une homothétie de rapport \( k = 1.5 \). * Quelle est la hauteur de l'image du trapèze ? * Quelles sont les longueurs des bases de l'image du trapèze ? ### Devoir 1. **Application concrète :** Un plan de maison est réalisé à l'échelle \( 1:100 \) (ce qui correspond à un rapport \( k = 0.01 \)). Une pièce rectangulaire mesure 5 m sur 7 m dans la réalité. * Quelles sont les dimensions de cette pièce sur le plan (en cm) ? * Quelle est l'aire réelle de la pièce (en m²) ? * Quelle est l'aire de la pièce sur le plan (en cm²) ? Vérifiez le résultat en utilisant la propriété des aires. 2. **Construction graphique :** Soit un triangle DEF et un point O. Construisez l'image du triangle DEF par l'homothétie de centre O et de rapport \( k = -1.5 \). Décrivez les propriétés que vous observez entre le triangle initial et son image (position par rapport à O, orientations, longueurs des côtés, mesures des angles). ### Résumé L'homothétie est une transformation puissante qui agrandit ou réduit des figures à partir d'un centre et d'un rapport. Elle possède des propriétés essentielles : * Elle conserve l'**alignement** des points et le **parallélisme** des droites. * Elle conserve la mesure des **angles**. * Les **longueurs** sont multipliées par \( |k| \). * Les **aires** sont multipliées par \( k^2 \). * Les **volumes** (si applicables) sont multipliés par \( |k|^3 \). Comprendre ces propriétés est crucial pour travailler avec des figures semblables et des problèmes d'échelle en géométrie. ## Rotations et propriétés ### Introduction Bienvenue dans cette leçon dédiée aux rotations ! Après avoir étudié les symétries axiales et centrales, ainsi que les translations, nous allons découvrir une quatrième transformation géométrique fondamentale du plan : la rotation. Les rotations sont omniprésentes autour de nous, des aiguilles d'une montre aux engrenages, en passant par les mouvements artistiques ou les motifs décoratifs. Comprendre les rotations nous permettra non seulement de décrire ces mouvements mais aussi de résoudre des problèmes géométriques complexes. Préparez-vous à faire tourner vos neurones ! ### Concepts Clés #### 1. Définition d'une rotation Une rotation est une transformation géométrique qui fait "tourner" une figure autour d'un point fixe. Pour la définir, nous avons besoin de trois éléments : * **Le centre de rotation (O)** : C'est le point autour duquel la rotation s'effectue. Ce point est le seul qui ne bouge pas (il est invariant) par la rotation. * **L'angle de rotation (\( \alpha \))** : C'est la valeur de l'angle dont on fait tourner la figure. Il est généralement exprimé en degrés. Par exemple, une rotation de 90°. * **Le sens de rotation** : Il existe deux sens : * **Le sens direct (ou positif, ou trigonométrique)** : C'est le sens inverse des aiguilles d'une montre. * **Le sens indirect (ou négatif, ou horaire)** : C'est le sens des aiguilles d'une montre. Formellement, une rotation de centre O et d'angle \( \alpha \) (dans un sens donné) transforme un point M en un point M' tel que : 1. La distance entre O et M est égale à la distance entre O et M' : \( OM = OM' \). 2. L'angle \( \widehat{MOM'} \) est égal à l'angle de rotation \( \alpha \). Le sens de cet angle doit correspondre au sens de rotation choisi. #### 2. Propriétés des rotations Les rotations sont des **isométries**, ce qui signifie qu'elles conservent de nombreuses propriétés géométriques des figures. Voici les principales : * **Conservation des distances** : Si un segment a une longueur donnée, son image par rotation aura la même longueur. Si \( M_1M_2 \) est un segment, alors sa longueur est égale à la longueur de son image \( M'_1M'_2 \). * **Conservation des angles** : L'image d'un angle par rotation est un angle de même mesure. * **Conservation de l'alignement** : L'image de points alignés sont des points alignés. * **Conservation des aires** : L'aire d'une figure est conservée après rotation. * **Conservation du parallélisme** : L'image d'une droite parallèle à une autre est une droite parallèle à l'image de l'autre. L'image d'une droite est une droite. L'image d'un segment est un segment de même longueur. L'image d'un cercle est un cercle de même rayon. #### 3. Construire l'image d'un point par rotation Pour construire l'image M' d'un point M par une rotation de centre O et d'angle \( \alpha \) (par exemple, dans le sens direct) : 1. **Tracez le segment [OM]**. 2. **Mesurez l'angle** : À l'aide d'un rapporteur, placez le centre du rapporteur sur O et alignez la base du rapporteur avec le segment [OM]. Mesurez l'angle \( \alpha \) dans le sens souhaité (direct ou indirect) et marquez un petit trait. 3. **Tracez la demi-droite** : Tracez une demi-droite d'origine O passant par le trait que vous venez de marquer. 4. **Reportez la distance** : À l'aide d'un compas, tracez un arc de cercle de centre O et de rayon OM. L'intersection de cet arc de cercle avec la demi-droite tracée à l'étape 3 est le point M'. #### 4. Cas particuliers de rotations * **Rotation d'angle 180°** : Une rotation d'angle 180° (dans n'importe quel sens) est équivalente à une **symétrie centrale** de centre O. L'image M' d'un point M est telle que O est le milieu du segment [MM']. * **Rotation d'angle 360° (ou 0°)** : L'image de tout point est le point lui-même. C'est l'identité. ### Vocabulaire * **Rotation** : Transformation qui fait tourner une figure autour d'un point. * **Centre de rotation** : Le point fixe autour duquel la rotation s'effectue. * **Angle de rotation** : La valeur de l'angle dont une figure est tournée. * **Sens direct (ou trigonométrique)** : Le sens inverse des aiguilles d'une montre. * **Sens indirect (ou horaire)** : Le sens des aiguilles d'une montre. * **Image** : La figure ou le point obtenu après l'application de la transformation. * **Antécédent** : La figure ou le point avant l'application de la transformation. * **Isométrie** : Transformation qui conserve les distances et les angles (symétries, translations, rotations). ### Exemples #### Exemple 1 : Construction d'un point Soit un point A, un centre O, et une rotation d'angle 70° dans le sens direct. Construisons A', l'image de A par cette rotation. 1. On joint O à A. 2. Avec un rapporteur, on mesure 70° autour de O en partant de [OA], dans le sens inverse des aiguilles d'une montre. 3. On trace un arc de cercle de centre O passant par A. L'intersection de cet arc avec la demi-droite mesurée est A'. \( OA = OA' \) et \( \widehat{AOA'} = 70° \). #### Exemple 2 : Identifier une rotation Dans un engrenage, si la roue A tourne de 90° dans le sens horaire autour de son centre, alors la roue B engrenée va tourner d'un certain angle autour de son propre centre, dans le sens anti-horaire. La transformation de l'axe de chaque dent est une rotation. #### Exemple 3 : Rotation d'une figure Considérons un triangle ABC. Pour trouver l'image A'B'C' par une rotation de centre O et d'angle \( \alpha \), on construit l'image de chaque sommet (A', B', C') individuellement comme dans l'Exemple 1, puis on relie ces images pour former le triangle A'B'C'. ### Exercices #### Exercice 1 Soit un point O et un segment [AB]. Tracez l'image du segment [AB] par la rotation de centre O et d'angle 90° dans le sens direct. #### Exercice 2 On donne deux points A et A'. Déterminez le centre et l'angle de la rotation qui transforme A en A'. (Indice : Le centre de rotation se trouve sur la médiatrice du segment [AA']). Que se passe-t-il si \( A = A' \) ? #### Exercice 3 Vrai ou Faux ? Justifiez votre réponse. 1. Une rotation conserve l'aire d'une figure. 2. Le centre de rotation est toujours le milieu du segment reliant un point et son image. 3. La composition de deux rotations est toujours une rotation. ### Devoir à la maison #### Exercice 1 Dessinez un carré ABCD. Soit O son centre. Dessinez l'image de ce carré par la rotation de centre A et d'angle 90° dans le sens indirect. #### Exercice 2 Dans un plan muni d'un repère orthonormé, on considère le point A(2, 1) et le centre de rotation O(0, 0). Déterminez les coordonnées du point A' image de A par une rotation de centre O et d'angle 90° dans le sens direct. (Indice : Pensez à la rotation des coordonnées : \( (x,y) \rightarrow (-y,x) \) pour une rotation de 90° autour de l'origine dans le sens direct). #### Exercice 3 Soient deux points distincts M et M'. Montrez qu'il existe une unique rotation qui transforme M en M', à moins que M et M' ne soient confondus. Dans ce cas, discutez des possibilités. (Aide : Réfléchissez au centre et à l'angle). ### Résumé Nous avons exploré les rotations, une transformation essentielle en géométrie. Nous avons appris qu'une rotation est définie par un **centre**, un **angle** et un **sens**. Les rotations sont des **isométries**, ce qui signifie qu'elles conservent les distances, les angles, l'alignement et les aires, rendant l'image d'une figure identique à l'originale, mais orientée différemment. Nous avons également vu comment construire l'image d'un point ou d'une figure, et identifié des cas particuliers comme la symétrie centrale pour une rotation de 180°. Maîtriser les rotations est une étape clé pour comprendre les transformations du plan et les symétries dans le monde qui nous entoure.