Calculs dans IR (partie 1/2)

## ℝ et ses sous-ensembles ### Introduction Bienvenue dans cette leçon consacrée aux nombres réels (ℝ) et à leurs sous-ensembles. En mathématiques, il est essentiel de savoir à quel type de nombre nous avons affaire. Cette classification nous aide à comprendre les propriétés de ces nombres et les opérations que nous pouvons effectuer avec eux. Nous allons explorer les différentes familles de nombres, leurs relations, et comment les représenter sous forme d'intervalles. ### Concepts Clés #### Les différents ensembles de nombres Nous connaissons déjà plusieurs ensembles de nombres, qui s'emboîtent les uns dans les autres comme des poupées russes. * ### Nombres Entiers Naturels (ℕ) Ce sont les nombres que nous utilisons pour compter, sans chiffres après la virgule et sans signe négatif. Exemples : \( 0, 1, 2, 3, 100 \). \[ \mathbb{N} = \{0, 1, 2, 3, ...\} \] * ### Nombres Entiers Relatifs (ℤ) Ils incluent les nombres entiers naturels, ainsi que leurs opposés (les nombres entiers négatifs). Exemples : \( ..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ... \). \[ \mathbb{Z} = \{..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...\} \] * ### Nombres Décimaux (D) Ce sont les nombres qui peuvent s'écrire avec un nombre fini de chiffres après la virgule. Ils peuvent aussi s'écrire sous la forme \( \frac{a}{10^n} \) où \( a \in \mathbb{Z} \) et \( n \in \mathbb{N} \). Exemples : \( 0.5, -3.25, 7, \frac{3}{4} = 0.75 \). * ### Nombres Rationnels (ℚ) Ils peuvent s'écrire sous forme de fraction \( \frac{a}{b} \) où \( a \in \mathbb{Z} \) et \( b \in \mathbb{Z}^* \) (\( b \neq 0 \)). Les nombres décimaux sont des cas particuliers de nombres rationnels. Exemples : \( \frac{1}{2}, -\frac{3}{4}, 5 \left(=\frac{5}{1}\right), 0.333... \left(=\frac{1}{3}\right) \). Attention : les nombres dont l'écriture décimale est infinie *et* périodique sont rationnels (ex: \( 0.333... \), \( 1.234234... \)). * ### Nombres Réels (ℝ) C'est l'ensemble de tous les nombres que l'on peut placer sur une droite numérique. Ils incluent tous les nombres rationnels et les nombres irrationnels. Exemples : tous les nombres cités précédemment, plus \( \sqrt{2}, \pi, e, \sqrt{7} \). #### Nombres Irrationnels Ce sont des nombres réels qui ne peuvent pas s'écrire sous forme de fraction \( \frac{a}{b} \) et dont l'écriture décimale est infinie et non périodique. Exemples : \( \sqrt{2} \approx 1.41421356..., \pi \approx 3.14159265..., e \approx 2.71828182... \). #### Relations d'inclusion entre les ensembles Ces ensembles sont liés par des relations d'inclusion, ce qui signifie qu'un ensemble est contenu dans un autre : \[ \mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{D} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R} \] #### Les intervalles de ℝ Un intervalle est un sous-ensemble de nombres réels qui représente un segment ou une demi-droite sur la droite numérique. * ### Notation des intervalles * **Intervalle fermé** : \( [a; b] \). Il inclut \( a \) et \( b \). Tous les nombres \( x \) tels que \( a \le x \le b \). * **Intervalle ouvert** : \( ]a; b[ \). Il exclut \( a \) et \( b \). Tous les nombres \( x \) tels que \( a < x < b \). * **Intervalle semi-ouvert/semi-fermé** : \( [a; b[ \) (\( a \le x < b \)) ou \( ]a; b] \) (\( a < x \le b \)). * **Intervalles infinis** : * \( [a; +\infty[ \) : \( x \ge a \) * \( ]a; +\infty[ \) : \( x > a \) * \( ]-\infty; b] \) : \( x \le b \) * \( ]-\infty; b[ \) : \( x < b \) * \( ]-\infty; +\infty[ \) : C'est l'ensemble de tous les nombres réels (ℝ). #### Opérations sur les intervalles * ### Intersection (\( \cap \)) L'intersection de deux intervalles est l'ensemble des nombres qui appartiennent aux deux intervalles simultanément. Exemple : \( [1; 5] \cap [3; 7] = [3; 5] \). * ### Union (\( \cup \)) L'union de deux intervalles est l'ensemble des nombres qui appartiennent à l'un *ou* à l'autre intervalle (ou aux deux). Exemple : \( [1; 5] \cup [3; 7] = [1; 7] \). ### Vocabulaire * **Ensemble de nombres** : Une collection de nombres ayant des propriétés communes. * **Nombre entier naturel** : Nombre positif sans décimale (\( 0, 1, 2, ... \)). * **Nombre entier relatif** : Nombre entier positif ou négatif (\( ..., -1, 0, 1, ... \)). * **Nombre décimal** : Nombre avec un nombre fini de chiffres après la virgule. * **Nombre rationnel** : Nombre qui peut s'écrire sous forme de fraction \( \frac{a}{b} \). * **Nombre irrationnel** : Nombre réel non rationnel (ex: \( \sqrt{2}, \pi \)). * **Nombre réel** : Tout nombre qui peut être représenté sur une droite numérique. * **Intervalle** : Un sous-ensemble de nombres réels représentant une portion continue de la droite numérique. * **Intersection (\( \cap \))** : L'ensemble des éléments communs à deux ensembles. * **Union (\( \cup \))** : L'ensemble des éléments appartenant à l'un ou l'autre de deux ensembles. ### Exemples 1. **Classification de nombres** : Classer \( 5, -2, 0.75, \frac{1}{3}, \sqrt{9}, \sqrt{3}, -\frac{6}{2}, \pi \) dans les ensembles de nombres appropriés. * \( 5 \in \mathbb{N}, \mathbb{Z}, \mathbb{D}, \mathbb{Q}, \mathbb{R} \) * \( -2 \in \mathbb{Z}, \mathbb{D}, \mathbb{Q}, \mathbb{R} \) * \( 0.75 \in \mathbb{D}, \mathbb{Q}, \mathbb{R} \) * \( \frac{1}{3} \in \mathbb{Q}, \mathbb{R} \) (non décimal car \( 0.333... \) est infini et périodique) * \( \sqrt{9} = 3 \in \mathbb{N}, \mathbb{Z}, \mathbb{D}, \mathbb{Q}, \mathbb{R} \) * \( \sqrt{3} \in \mathbb{R} \) (nombre irrationnel) * \( -\frac{6}{2} = -3 \in \mathbb{Z}, \mathbb{D}, \mathbb{Q}, \mathbb{R} \) * \( \pi \in \mathbb{R} \) (nombre irrationnel) 2. **Écrire un intervalle à partir d'une inégalité** : * \( x < 5 \) correspond à \( ]-\infty; 5[ \) * \( x \ge -3 \) correspond à \( [-3; +\infty[ \) * \( -1 \le x < 4 \) correspond à \( [-1; 4[ \) 3. **Opérations sur les intervalles** : Soient \( I = [-2; 4] \) et \( J = [1; 6[ \). * **Intersection** : \( I \cap J \) = \( [-2; 4] \cap [1; 6[ \). Les nombres communs sont ceux qui sont \( \ge 1 \) et \( \le 4 \). Donc, \( I \cap J = [1; 4] \). * **Union** : \( I \cup J \) = \( [-2; 4] \cup [1; 6[ \). Les nombres de l'un ou l'autre sont ceux qui sont \( \ge -2 \) et \( < 6 \). Donc, \( I \cup J = [-2; 6[ \). ### Exercices 1. Pour chaque nombre, indiquer à quels ensembles (\( \mathbb{N}, \mathbb{Z}, \mathbb{D}, \mathbb{Q}, \mathbb{R} \)) il appartient : a) \( 12 \) b) \( -7 \) c) \( 0.25 \) d) \( -\frac{2}{3} \) e) \( \sqrt{5} \) f) \( \frac{10}{2} \) g) \( 10^{-1} \) 2. Écrire les intervalles correspondant aux inégalités suivantes : a) \( x \le 8 \) b) \( x > -10 \) c) \( 0 < x \le 2.5 \) d) \( x \in \mathbb{R} \) et \( x \ne 0 \) 3. Écrire les inégalités correspondant aux intervalles suivants : a) \( [-4; 9] \) b) \( ]-3; 7[ \) c) \( ]-\infty; 0[ \) d) \( [10; +\infty[ \) 4. Soient les intervalles \( A = [-5; 2[ \), \( B = [0; 4] \) et \( C = ]-\infty; 1[ \). Déterminer : a) \( A \cap B \) b) \( A \cup B \) c) \( A \cap C \) d) \( B \cup C \) ### Devoir 1. Indiquer si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses et justifier votre réponse : a) Tout nombre entier est un nombre décimal. b) Tout nombre rationnel est un nombre décimal. c) \( \sqrt{16} \) est un nombre irrationnel. d) L'intersection de deux intervalles ouverts est toujours un intervalle ouvert. 2. Représenter graphiquement sur une droite numérique l'intervalle \( [-3; 5[ \) et l'intervalle \( [2; 7] \). Puis, représenter leur intersection et leur union. 3. Soient les ensembles \( E = ]-3; 7] \) et \( F = [5; 10[ \). Déterminer \( E \cap F \) et \( E \cup F \). 4. Trouver tous les nombres entiers relatifs \( x \) tels que \( -4.5 < x \le 2.8 \). ### Résumé Dans cette leçon, nous avons revu et approfondi les différents ensembles de nombres : les naturels (\( \mathbb{N} \)), les relatifs (\( \mathbb{Z} \)), les décimaux (\( \mathbb{D} \)), les rationnels (\( \mathbb{Q} \)) et les réels (\( \mathbb{R} \)). Nous avons compris leurs relations d'inclusion \( (\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{D} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}) \) et identifié les nombres irrationnels comme faisant partie de \( \mathbb{R} \) mais pas de \( \mathbb{Q} \). Enfin, nous avons appris à manipuler les intervalles, à les écrire à partir d'inégalités et inversement, et à effectuer des opérations d'intersection (\( \cap \)) et d'union (\( \cup \)) entre eux. Ces concepts sont fondamentaux pour toutes les études mathématiques futures. ## Opérations dans ℝ ### Introduction Bienvenue à cette leçon sur les opérations fondamentales dans l'ensemble des nombres réels, noté ℝ. Les nombres réels sont au cœur des mathématiques et vous les utiliserez constamment. Dans ce cours, nous allons revoir et consolider les règles de calcul essentielles qui vous permettront de manipuler ces nombres avec aisance et précision. Nous aborderons les propriétés de l'addition, de la soustraction, de la multiplication, de la division, ainsi que les règles des puissances et des racines carrées. Une bonne maîtrise de ces notions est fondamentale pour la suite de votre parcours en mathématiques. ### Concepts Clés #### L'ensemble des nombres réels (ℝ) Les nombres réels (ℝ) incluent tous les nombres rationnels (ceux qui peuvent s'écrire comme une fraction \( \frac{a}{b} \) où \( a \) est un entier et \( b \) un entier non nul, comme \( -3 \), \( 0 \), \( 0,5 \), \( rac{2}{3} \)) et tous les nombres irrationnels (ceux qui ne peuvent pas s'écrire comme une fraction et dont l'écriture décimale est infinie et non périodique, comme \( oot{2} \) ou \( \) ). L'ensemble des nombres réels peut être représenté par une ligne continue, appelée droite numérique. #### Opérations fondamentales ##### 1. Addition et Soustraction * **Commutativité de l'addition :** L'ordre des termes n'affecte pas le résultat. \[ a + b = b + a \] * **Associativité de l'addition :** Le regroupement des termes n'affecte pas le résultat. \[ (a + b) + c = a + (b + c) \] * **Élément neutre de l'addition :** L'addition de zéro ne change pas le nombre. \[ a + 0 = a \] * **Opposé :** Chaque nombre réel \( a \) possède un opposé, noté \( -a \), tel que leur somme est zéro. \[ a + (-a) = 0 \] * La soustraction \( a - b \) est définie comme \( a + (-b) \). ##### 2. Multiplication et Division * **Commutativité de la multiplication :** L'ordre des facteurs n'affecte pas le résultat. \[ a imes b = b imes a \] * **Associativité de la multiplication :** Le regroupement des facteurs n'affecte pas le résultat. \[ (a imes b) imes c = a imes (b imes c) \] * **Élément neutre de la multiplication :** La multiplication par un ne change pas le nombre. \[ a imes 1 = a \] * **Inverse :** Chaque nombre réel \( a \) non nul possède un inverse, noté \( rac{1}{a} \) ou \( a^{-1} \), tel que leur produit est un. \[ a imes rac{1}{a} = 1 \] (pour \( a eq 0 \)) * La division \( rac{a}{b} \) (pour \( b eq 0 \)) est définie comme \( a imes rac{1}{b} \). * **Distributivité de la multiplication sur l'addition (et la soustraction) :** \[ a imes (b + c) = a imes b + a imes c \] \[ a imes (b - c) = a imes b - a imes c \] #### Priorité des opérations (PEMDAS / BODMAS) Pour calculer une expression, il est crucial de respecter l'ordre des opérations : 1. **P**arenthèses (ou crochets) 2. **E**xposants (ou puissances) 3. **M**ultiplications et **D**ivisions (de gauche à droite) 4. **A**dditions et **S**oustractions (de gauche à droite) #### Puissances Pour un nombre réel \( a \) et un entier naturel \( n \) non nul : * **Définition :** \( a^n = a imes a imes ext{...} imes a \) (n fois) * **Cas particuliers :** * \( a^0 = 1 \) (pour \( a eq 0 \)) * \( a^1 = a \) * \( a^{-n} = rac{1}{a^n} \) (pour \( a eq 0 \)) * **Propriétés des puissances :** * Multiplication : \( a^m imes a^n = a^{m+n} \) * Division : \( rac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \) (pour \( a eq 0 \)) * Puissance d'une puissance : \( (a^m)^n = a^{m imes n} \) * Puissance d'un produit : \( (a imes b)^n = a^n imes b^n \) * Puissance d'un quotient : \( ( rac{a}{b})^n = rac{a^n}{b^n} \) (pour \( b eq 0 \)) #### Racines carrées Pour un nombre réel positif \( a \), la racine carrée de \( a \), notée \( oot{a} \), est le nombre réel positif tel que son carré est \( a \). \[ ( oot{a})^2 = a \] et \( oot{a} imes oot{a} = a \). * **Conditions d'existence :** La racine carrée d'un nombre négatif n'existe pas dans ℝ. Donc, \( a \) doit être \( ext{a} ext{ ext{0} } \). * **Propriétés des racines carrées :** * Produit : \( oot{a imes b} = oot{a} imes oot{b} \) (pour \( a ext{0} \) et \( b ext{0} \)) * Quotient : \( oot{ rac{a}{b}} = rac{ oot{a}}{ oot{b}} \) (pour \( a ext{0} \) et \( b > 0 \)) * Attention : \( oot{a+b} eq oot{a} + oot{b} \) * Simplification : \( oot{a^2} = |a| \). Si \( a ext{0} \), alors \( oot{a^2} = a \). ### Vocabulaire * **Nombre réel (ℝ) :** Tout nombre qui peut être placé sur une droite numérique (incluant rationnels et irrationnels). * **Opposé :** Le nombre qui, additionné à un autre, donne zéro (ex: \( 5 \) et \( -5 \)). * **Inverse :** Le nombre qui, multiplié à un autre (non nul), donne un (ex: \( 4 \) et \( rac{1}{4} \)). * **Priorité des opérations :** L'ordre défini pour effectuer les calculs dans une expression. * **Distributivité :** Propriété de la multiplication par rapport à l'addition/soustraction. * **Puissance :** Le résultat de la multiplication répétée d'un nombre par lui-même (ex: \( a^n \)). * **Exposant :** Le petit nombre en haut à droite dans une puissance, indiquant le nombre de répétitions. * **Racine carrée :** L'opération inverse du carré, qui trouve la base d'un carré (ex: \( oot{9} = 3 \)). * **Ensemble :** Une collection d'objets ou de nombres, comme l'ensemble des nombres réels. ### Exemples Voici quelques exemples pour illustrer les concepts : 1. **Priorité des opérations :** \[ 5 + 3 imes (8 - 2)^2 = 5 + 3 imes (6)^2 \] \[ = 5 + 3 imes 36 \] \[ = 5 + 108 \] \[ = 113 \] 2. **Calculs avec des fractions :** \[ rac{2}{3} + rac{1}{4} imes rac{8}{3} = rac{2}{3} + rac{8}{12} \] \[ = rac{2}{3} + rac{2}{3} \] \[ = rac{4}{3} \] 3. **Simplification de racines carrées :** \[ oot{75} - oot{27} = oot{25 imes 3} - oot{9 imes 3} \] \[ = 5 oot{3} - 3 oot{3} \] \[ = (5-3) oot{3} \] \[ = 2 oot{3} \] 4. **Utilisation des propriétés des puissances :** \[ rac{(2^3)^2 imes 2^{-4}}{2^5} = rac{2^{3 imes 2} imes 2^{-4}}{2^5} \] \[ = rac{2^6 imes 2^{-4}}{2^5} \] \[ = rac{2^{6+(-4)}}{2^5} \] \[ = rac{2^2}{2^5} \] \[ = 2^{2-5} \] \[ = 2^{-3} = rac{1}{2^3} = rac{1}{8} \] ### Exercices Calculez les expressions suivantes en respectant la priorité des opérations : 1. \( 15 - 3 imes 4 + (7 - 2)^2 \) 2. \( rac{1}{2} + rac{3}{4} imes rac{2}{9} \) 3. Simplifiez l'expression : \( oot{48} + oot{12} \) 4. Simplifiez l'expression : \( rac{5^7 imes (5^2)^{-3}}{5^{-4}} \) 5. Sachant que \( a = 2 \) et \( b = -3 \), calculez \( 3a^2 - 2b + ab \). ### Devoir Maison 1. Calculez la valeur exacte de \( A = 7 - 2 imes [3 + (4 - 6)^2] - rac{15}{3} \). 2. Écrivez sous la forme \( a oot{b} \), où \( a \) et \( b \) sont des entiers et \( b \) le plus petit possible : \[ B = oot{18} + 5 oot{2} - oot{50} \] 3. Donnez l'écriture scientifique du nombre \( C = rac{3 imes 10^5 imes 2,4 imes 10^{-7}}{4 imes 10^3} \). 4. Développez et réduisez l'expression : \( (2x - 3)(x + 5) - (x + 1)^2 \). 5. Vrai ou faux ? Justifiez votre réponse. * \( oot{16+9} = oot{16} + oot{9} \) * \( (-2)^4 = -16 \) ### Résumé Dans cette leçon, nous avons révisé les opérations fondamentales sur les nombres réels. Il est essentiel de maîtriser les propriétés de l'addition et de la multiplication (commutativité, associativité, distributivité, éléments neutres et inverses/opposés). Nous avons également mis en évidence l'importance de la priorité des opérations pour obtenir des résultats corrects. Enfin, nous avons exploré les règles de calcul avec les puissances et les racines carrées, qui sont des outils indispensables en algèbre. Une pratique régulière de ces concepts vous permettra de construire une base solide en mathématiques. ## Comparaisons dans ℝ ### Introduction Bienvenue à cette leçon sur les comparaisons de nombres réels (ℝ)! Dans notre vie quotidienne et en mathématiques, nous avons constamment besoin de comparer des grandeurs. Que ce soit pour déterminer si un nombre est plus grand, plus petit, ou égal à un autre, cette compétence est fondamentale. Cette leçon vous guidera à travers les règles et les propriétés qui régissent ces comparaisons, vous aidant à manipuler les inégalités et à comprendre les intervalles de nombres réels. ### Concepts Clés #### La Relation d'Ordre dans ℝ La relation d'ordre sur l'ensemble des nombres réels \( \mathbb{R} \) nous permet de classer les nombres. * **\( a < b \)** : \( a \) est strictement inférieur à \( b \). * **\( a > b \)** : \( a \) est strictement supérieur à \( b \). * **\( a \le b \)** : \( a \) est inférieur ou égal à \( b \). * **\( a \ge b \)** : \( a \) est supérieur ou égal à \( b \). * **\( a = b \)** : \( a \) est égal à \( b \). Une propriété fondamentale est la **transitivité** : si \( a < b \) et \( b < c \), alors \( a < c \). #### Propriétés des Inégalités ##### Addition et Soustraction * Si \( a \le b \), alors pour tout nombre réel \( c \), on a : \( a+c \le b+c \) et \( a-c \le b-c \). * *Exemple* : Si \( 3 \le 5 \), alors \( 3+2 \le 5+2 \) (ce qui donne \( 5 \le 7 \)). * Si \( a \le b \) et \( c \le d \), alors \( a+c \le b+d \). * *Exemple* : Si \( 2 \le 4 \) et \( 1 \le 3 \), alors \( 2+1 \le 4+3 \) (ce qui donne \( 3 \le 7 \)). ##### Multiplication et Division * **Multiplication/Division par un nombre positif (\( c > 0 \))** : Si \( a \le b \), alors \( ac \le bc \) et \( \frac{a}{c} \le \frac{b}{c} \). * *Le sens de l'inégalité est conservé.* * *Exemple* : Si \( 2 \le 5 \), alors \( 2 \times 3 \le 5 \times 3 \) (ce qui donne \( 6 \le 15 \)). * **Multiplication/Division par un nombre négatif (\( c < 0 \))** : Si \( a \le b \), alors \( ac \ge bc \) et \( \frac{a}{c} \ge \frac{b}{c} \). * *Le sens de l'inégalité est inversé.* C'est une erreur très fréquente, soyez vigilant ! * *Exemple* : Si \( 2 \le 5 \), alors \( 2 \times (-3) \ge 5 \times (-3) \) (ce qui donne \( -6 \ge -15 \)). ##### Inverse * Si \( a \) et \( b \) sont deux nombres réels **de même signe et non nuls** : Si \( a \le b \), alors \( \frac{1}{a} \ge \frac{1}{b} \). * *Le sens de l'inégalité est inversé.* Attention aux signes ! * *Exemple* : Si \( 2 \le 4 \), alors \( \frac{1}{2} \ge \frac{1}{4} \). * *Exemple* : Si \( -4 \le -2 \), alors \( \frac{1}{-4} \ge \frac{1}{-2} \) (ce qui donne \( -0.25 \ge -0.5 \)). ##### Carré * Si \( a \ge 0 \) et \( b \ge 0 \) (nombres positifs ou nuls) : Si \( a \le b \), alors \( a^2 \le b^2 \). * *Le sens de l'inégalité est conservé.* * *Exemple* : Si \( 2 \le 3 \), alors \( 2^2 \le 3^2 \) (ce qui donne \( 4 \le 9 \)). * Si \( a \le 0 \) et \( b \le 0 \) (nombres négatifs ou nuls) : Si \( a \le b \), alors \( a^2 \ge b^2 \). * *Le sens de l'inégalité est inversé.* * *Exemple* : Si \( -3 \le -2 \), alors \( (-3)^2 \ge (-2)^2 \) (ce qui donne \( 9 \ge 4 \)). * Si \( a \) et \( b \) sont de signes différents, on ne peut pas comparer leurs carrés directement avec cette règle. * *Exemple* : \( -2 \le 1 \), mais \( (-2)^2 = 4 \) et \( 1^2 = 1 \), donc \( 4 \ge 1 \). #### Intervalles de ℝ Un intervalle est un ensemble de nombres réels compris entre deux bornes. Il existe différentes notations : * **Intervalle fermé** : \( [a, b] \) signifie \( a \le x \le b \). Les bornes \( a \) et \( b \) sont incluses. * **Intervalle ouvert** : \( ]a, b[ \) signifie \( a < x < b \). Les bornes \( a \) et \( b \) sont exclues. * **Intervalle semi-ouvert/fermé** : * \( [a, b[ \) signifie \( a \le x < b \). * \( ]a, b] \) signifie \( a < x \le b \). * **Intervalles non bornés** : * \( [a, +\infty[ \) signifie \( x \ge a \). * \( ]a, +\infty[ \) signifie \( x > a \). * \( ]-\infty, b] \) signifie \( x \le b \). * \( ]-\infty, b[ \) signifie \( x < b \). * \( ]-\infty, +\infty[ = \mathbb{R} \). **Représentation graphique** : Les intervalles peuvent être représentés sur une droite numérique, les bornes étant indiquées par des crochets ouverts/fermés ou par des points pleins/vides. ### Vocabulaire * **Nombres Réels (ℝ)** : L'ensemble de tous les nombres que l'on peut représenter sur une droite numérique, incluant les nombres rationnels et irrationnels. * **Inégalité** : Une relation qui indique que deux quantités ne sont pas égales (par exemple, \( <, >, \le, \ge \)). * **Strictement supérieur/inférieur** : Indique que la comparaison n'inclut pas l'égalité (\( > \) ou \( < \)). * **Supérieur/inférieur ou égal** : Indique que la comparaison inclut l'égalité (\( \ge \) ou \( \le \)). * **Intervalle** : Un sous-ensemble de nombres réels qui comprend tous les nombres entre deux points donnés. * **Borne** : Les valeurs aux extrémités d'un intervalle. * **Ouvert/Fermé (pour un intervalle)** : Désigne si les bornes de l'intervalle sont incluses (fermé) ou exclues (ouvert). ### Exemples 1. **Comparer \( \sqrt{3} \) et \( 1.732 \)** : Nous savons que \( 1.732^2 = 2.999824 \) et \( (\sqrt{3})^2 = 3 \). Puisque \( 2.999824 < 3 \) et les deux nombres sont positifs, alors \( 1.732 < \sqrt{3} \). 2. **Résoudre l'inéquation \( 2x - 7 < 3 \)** : * Ajouter 7 des deux côtés : \( 2x - 7 + 7 < 3 + 7 \) ce qui donne \( 2x < 10 \). * Diviser par 2 (nombre positif, le sens de l'inégalité est conservé) : \( \frac{2x}{2} < \frac{10}{2} \) ce qui donne \( x < 5 \). * L'ensemble des solutions est l'intervalle \( ]-\infty, 5[ \). 3. **Résoudre l'inéquation \( -3x + 1 \ge 10 \)** : * Soustraire 1 des deux côtés : \( -3x + 1 - 1 \ge 10 - 1 \) ce qui donne \( -3x \ge 9 \). * Diviser par -3 (nombre négatif, **le sens de l'inégalité est inversé**) : \( \frac{-3x}{-3} \le \frac{9}{-3} \) ce qui donne \( x \le -3 \). * L'ensemble des solutions est l'intervalle \( ]-\infty, -3] \). 4. **Écrire sous forme d'intervalle et représenter sur une droite numérique** : * \( x > -2 \) : \( ]-2, +\infty[ \). * \( x \le 4 \) : \( ]-\infty, 4] \). 5. **Intersection et Union d'intervalles** : * Soit \( I_1 = [-3, 5[ \) et \( I_2 = ]1, 7] \). * L'**intersection** (les nombres communs aux deux intervalles) : \( I_1 \cap I_2 = ]1, 5[ \). * L'**union** (tous les nombres de l'un ou l'autre intervalle) : \( I_1 \cup I_2 = [-3, 7] \). ### Exercices 1. **Comparaison de nombres** : Comparez les paires de nombres suivantes en utilisant \( < \), \( > \), \( \le \) ou \( \ge \). a. \( \frac{10}{3} \) et \( 3.33 \) b. \( (\sqrt{5})^2 \) et \( 2^2 \) c. \( -\frac{1}{2} \) et \( -0.49 \) 2. **Résolution d'inéquations** : Résolvez les inéquations suivantes et donnez l'ensemble des solutions sous forme d'intervalle. a. \( 4x + 8 \le 20 \) b. \( 5 - 2x > 11 \) c. \( \frac{x}{3} - 1 < 0 \) 3. **Appartenance à un intervalle** : Pour l'intervalle \( I = [-4, 2[ \), indiquez si les nombres suivants appartiennent à \( I \). a. \( -4 \) b. \( 2 \) c. \( 0 \) d. \( -5 \) 4. **Manipulation d'inégalités** : Soit \( a \) et \( b \) deux nombres tels que \( a < b \). Que peut-on dire de : a. \( a - 5 \) et \( b - 5 \) b. \( 2a \) et \( 2b \) c. \( -a \) et \( -b \) d. \( \frac{a}{3} \) et \( \frac{b}{3} \) e. \( \frac{1}{a} \) et \( \frac{1}{b} \) (si \( a,b > 0 \)) ### Devoirs 1. **Inéquations complexes** : Résolvez les inéquations suivantes et représentez leurs solutions sur une droite numérique. a. \( 3(x - 2) + 5 \ge 2x + 1 \) b. \( \frac{2x - 1}{4} < \frac{x + 3}{2} \) c. \( -x^2 \le -9 \) (Indice : attention aux signes si vous prenez la racine carrée ou multipliez par un négatif) 2. **Intersections et Unions** : Soient les intervalles \( A = ]-\infty, 6] \), \( B = [-1, 10[ \), et \( C = [3, +\infty[ \). a. Déterminez \( A \cap B \). b. Déterminez \( B \cup C \). c. Déterminez \( (A \cup C) \cap B \). 3. **Problème appliqué** : Un agriculteur veut clôturer un champ rectangulaire dont la longueur est le double de sa largeur. S'il dispose de moins de 150 mètres de clôture, quelle est la longueur maximale que peut avoir la largeur du champ ? Exprimez votre réponse sous forme d'inégalité et d'intervalle. 4. **Comparaison de fractions** : Sans utiliser de calculatrice, comparez \( \frac{5}{7} \) et \( \frac{7}{9} \). ### Résumé Félicitations ! Vous avez exploré les fondements des comparaisons dans \( \mathbb{R} \). Voici les points clés à retenir : * Les symboles \( <, >, \le, \ge \) sont utilisés pour exprimer les relations d'ordre. * L'**addition** et la **soustraction** conservent toujours le sens de l'inégalité. * La **multiplication** et la **division** par un nombre **positif** conservent le sens de l'inégalité. * La **multiplication** et la **division** par un nombre **négatif** **inversent** le sens de l'inégalité. * Prendre l'**inverse** de nombres de même signe **inverse** le sens de l'inégalité. * Élever au **carré** des nombres positifs conserve le sens, mais l'inverse pour des nombres négatifs. * Les **intervalles** sont des sous-ensembles de \( \mathbb{R} \) représentés par des bornes et des crochets indiquant si les bornes sont incluses ou exclues. `[a, b]` signifie \( a \le x \le b \), tandis que `]a, b[` signifie \( a < x < b \).