Droites, cercles dans le plan

## Objectifs et prérequis À la fin de ce chapitre, l’élève sera capable de : - écrire l’équation d’une droite sous ses différentes formes (paramétrique, réduite, générale) ; - déterminer le coefficient directeur, la pente et les conditions de parallélisme et de perpendicularité ; - calculer la distance d’un point à une droite et l’intersection de deux droites ; - reconnaître l’équation d’un cercle, en extraire son centre et son rayon ; - étudier la position relative d’un point par rapport à un cercle et l’intersection d’une droite avec un cercle ; - établir l’équation de la tangente à un cercle en un point donné. **Prérequis** : notions de coordonnées dans le plan, résolution d’équations du premier et du second degré, propriétés de base des triangles (théorème de Pythagore), notions de vecteur (produit scalaire, norme). ## Introduction Les droites et les cercles sont les figures fondamentales de la géométrie plane. Leur étude analytique permet de traduire des propriétés géométriques en égalités algébriques, facilitant ainsi la résolution de problèmes variés (optimisation, trajectoires, conception). Au Cameroun, ces notions apparaissent régulièrement dans les épreuves du Baccalauréat séries H, A et V, où l’on demande souvent de justifier une démonstration, de déterminer une équation ou de vérifier une condition de tangence. Ce chapitre présente donc les outils nécessaires, en insistant sur les démonstrations clés et les exercices de type examen. ## I. Droites du plan ### A. Équation d’une droite **Définition** : Dans un repère orthonormé $(O;\vec{i},\vec{j})$, une droite $D$ est l’ensemble des points $M(x,y)$ dont les coordonnées vérifient une équation du premier degré : $$ax+by+c=0,\qquad (a,b)\neq(0,0).$$ > **À retenir** : La forme générale $ax+by+c=0$ représente toute droite du plan, sauf le cas où $a=b=0$ (impossible). On peut aussi l’exprimer sous forme réduite (quand $b\neq0$) : $$y=mx+p,\quad\text{avec }m=-\frac{a}{b},\;p=-\frac{c}{b}.$$ Lorsque $b=0$, la droite est verticale : $x=-\frac{c}{a}$. **Exemple 1** : Trouver l’équation de la droite passant par $A(2,-3)$ et $B(-1,4)$. Le coefficient directeur $m=\dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A}=\dfrac{4-(-3)}{-1-2}=\dfrac{7}{-3}=-\frac{7}{3}$. En utilisant la forme point‑pente : $y-y_A=m(x-x_A)$ : $$y+3=-\frac{7}{3}(x-2)\;\Longrightarrow\;y=-\frac{7}{3}x+\frac{14}{3}-3=-\frac{7}{3}x+\frac{5}{3}.$$ Multiplier par 3 : $3y=-7x+5$ ou $7x+3y-5=0$. **Exemple 2** : Écrire l’équation de la droite verticale passant par $C(5, -2)$. Comme $x$ est constant : $x-5=0$ (forme générale avec $a=1,b=0,c=-5$). ### B. Coefficient directeur et pente Le coefficient directeur $m$ d’une droite non verticale mesure son inclination : $$m=\tan\theta,$$ où $\theta$ est l’angle formé avec l’axe des $x$ dans le sens positif. > **À retenir** : Deux droites sont parallèles si et seulement si leurs coefficients directeurs sont égaux ($m_1=m_2$). **Démonstration** : Si $D_1:y=m_1x+p_1$ et $D_2:y=m_2x+p_2$, alors pour tout $x$, la différence des ordonnées est $(m_1-m_2)x+(p_1-p_2)$. Si $m_1\neq m_2$, cette différence varie avec $x$ et les droites se coupent en un point unique. Si $m_1=m_2$, la différence est constante ; si en plus $p_1=p_2$, les droites coïncident ; sinon elles sont distinctes et ne se rencontrent jamais → parallèles. **Exemple 3** : Déterminer si les droites $D_1:2x-3y+6=0$ et $D_2:4x-6y-9=0$ sont parallèles. On les met sous forme réduite : $D_1: y=\frac{2}{3}x+2$ → $m_1=\frac{2}{3}$. $D_2: y=\frac{2}{3}x-\frac{3}{2}$ → $m_2=\frac{2}{3}$. Comme $m_1=m_2$ et les ordonnées à l’origine diffèrent, les droites sont parallèles. ### C. Parallélisme et perpendicularité **Perpendicularité** : Deux droites non verticales $D_1$ et $D_2$ sont perpendiculaires si et seulement si le produit de leurs coefficients directeurs vaut $-1$ : $$m_1\cdot m_2=-1.$$ > **À retenir** : Condition de perpendicularité : $m_1m_2=-1$. **Démonstration** : Soit $\theta_1$ et $\theta_2$ les angles que forment $D_1$ et $D_2$ avec l’axe des $x$. Alors $m_1=\tan\theta_1$, $m_2=\tan\theta_2$. Les droites sont perpendiculaires si $\theta_2=\theta_1+\frac{\pi}{2}$ (ou $-\frac{\pi}{2}$). On utilise l’identité $\tan(\theta+\frac{\pi}{2})=-\cot\theta=-\frac{1}{\tan\theta}$. Donc $m_2=-\frac{1}{m_1}$ → $m_1m_2=-1$. **Exemple 4** : Vérifier si $D_1:y= -\frac{1}{2}x+3$ et $D_2:y=2x-5$ sont perpendiculaires. $m_1=-\frac{1}{2}$, $m_2=2$ → $m_1m_2=-1$. Donc elles sont perpendiculaires. ### D. Distance d’un point à une droite La distance $d$ d’un point $P(x_0,y_0)$ à la droite $D:ax+by+c=0$ est : $$d=\frac{\vert ax_0+by_0+c\vert}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}.$$ > **À retenir** : Formule de la distance point‑droite : $d=\dfrac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$. **Démonstration** : On projette $P$ orthogonnellement sur $D$. Le vecteur normal à $D$ est $\vec{n}=(a,b)$. La distance algébrique de $P$ à $D$ le long de $\vec{n}$ vaut $\dfrac{ax_0+by_0+c}{\|\vec{n}\|}$. En prenant la valeur absolue on obtient la distance positive. **Exemple 5** : Calculer la distance du point $P(4,-1)$ à la droite $D:3x-4y+7=0$. $ax_0+by_0+c=3\cdot4+(-4)\cdot(-1)+7=12+4+7=23$. $\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{3^2+(-4)^2}=5$. $d=\dfrac{23}{5}=4,6$. ### E. Intersection de deux droites Pour résoudre le système $$\begin{cases}a_1x+b_1y+c_1=0\\ a_2x+b_2y+c_2=0\end{cases}$$ on utilise la méthode de Cramer (si le déterminant $\Delta=a_1b_2-a_2b_1\neq0$) : $$x=\frac{\begin{vmatrix}-c_1&b_1\\-c_2&b_2\end{vmatrix}}{\Delta},\qquad y=\frac{\begin{vmatrix}a_1&-c_1\\a_2&-c_2\end{vmatrix}}{\Delta}.$$ Si $\Delta=0$, les droites sont soit parallèles (pas d’intersection) soit confondues (infini d’intersections). **Exemple 6** : Intersection de $D_1:2x+y-5=0$ et $D_2:x-3y+4=0$. $\Delta=2\cdot(-3)-1\cdot1=-6-1=-7\neq0$. $x=\dfrac{\begin{vmatrix}5&1\\-4&-3\end{vmatrix}}{-7}=\dfrac{5\cdot(-3)-1\cdot(-4)}{-7}=\dfrac{-15+4}{-7}=\dfrac{-11}{-7}=\frac{11}{7}$. $y=\dfrac{\begin{vmatrix}2&-5\\1&4\end{vmatrix}}{-7}=\dfrac{2\cdot4-(-5)\cdot1}{-7}=\dfrac{8+5}{-7}=\dfrac{13}{-7}=-\frac{13}{7}$. Point d’intersection $I\left(\frac{11}{7},-\frac{13}{7}\right)$. ## II. Cercles du plan ### A. Définition et équation canonique Un cercle est l’ensemble des points du plan situés à une distance fixe (le rayon $R$) d’un point fixe (le centre $C(a,b)$). **Équation canonique** : $$(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=R^{2}.$$ > **À retenir** : Équation canonique d’un cercle : $(x-a)^2+(y-b)^2=R^2$. **Exemple 7** : Cercle de centre $C(-2,3)$ et de rayon $5$. Équation : $(x+2)^{2}+(y-3)^{2}=25$. ### B. Équation générale d’un cercle En développant l’équation canonique : $$x^{2}+y^{2}-2ax-2by+(a^{2}+b^{2}-R^{2})=0.$$ On la note sous la forme générale : $$x^{2}+y^{2}+Dx+Ey+F=0,$$ avec $D=-2a$, $E=-2b$, $F=a^{2}+b^{2}-R^{2}$. > **À retenir** : Forme générale : $x^{2}+y^{2}+Dx+Ey+F=0$. Le centre et le rayon se récupèrent par : $$a=-\frac{D}{2},\qquad b=-\frac{E}{2},\qquad R=\sqrt{a^{2}+b^{2}-F}=\frac{1}{2}\sqrt{D^{2}+E^{2}-4F}.$$ **Exemple 8** : Trouver le centre et le rayon du cercle $x^{2}+y^{2}-6x+8y+9=0$. $D=-6$, $E=8$, $F=9$. Centre : $a=-\frac{-6}{2}=3$, $b=-\frac{8}{2}=-4$ → $C(3,-4)$. Rayon : $R=\frac{1}{2}\sqrt{(-6)^{2}+8^{2}-4\cdot9} =\frac{1}{2}\sqrt{36+64-36} =\frac{1}{2}\sqrt{64}=4$. ### C. Position relative d’un point et d’un cercle Pour un point $P(x_0,y_0)$, on calcule $\Delta = (x_0-a)^{2}+(y_0-b)^{2}-R^{2}$. - Si $\Delta<0$ : $P$ est **à l’intérieur** du cercle. - Si $\Delta=0$ : $P$ est **sur** le cercle. - Si $\Delta>0$ : $P$ est **à l’extérieur** du cercle. > **À retenir** : Test du point par rapport au cercle : signe de $(x_0-a)^2+(y_0-b)^2-R^2$. **Exemple 9** : Cercle $C:(x-1)^{2}+(y+2)^{2}=16$ (centre $C(1,-2)$, $R=4$). Point $P(5,0)$. $(5-1)^{2}+(0+2)^{2}=4^{2}+2^{2}=16+4=20$. $\Delta=20-16=4>0$ → $P$ extérieur. ### D. Intersection d’une droite et d’un cercle On substitue l’équation de la droite (souvent sous forme réduite $y=mx+p$) dans l’équation du cercle et on résout l’équation du second degré en $x$. Le discriminant $\Delta'$ détermine le nombre de points d’intersection : - $\Delta'>0$ : deux points distincts (sécante). - $\Delta'=0$ : un point double (tangente). - $\Delta'<0$ : aucun point réel (pas d’intersection). > **À retenir** : Condition de tangence droite‑cercle : le discriminant du système vaut zéro. **Exemple 10** : Déterminer les points d’intersection de la droite $D:y=2x-1$ et du cercle $C:(x-3)^{2}+(y+2)^{2}=25$. Substituer $y$ : $(x-3)^{2}+(2x-1+2)^{2}=25$ → $(x-3)^{2}+(2x+1)^{2}=25$. Développer : $(x^{2}-6x+9)+(4x^{2}+4x+1)=25$ → $5x^{2}-2x+10=25$ → $5x^{2}-2x-15=0$. Discriminant : $\Delta'=(-2)^{2}-4\cdot5\cdot(-15)=4+300=304>0$. Deux solutions : $x=\dfrac{2\pm\sqrt{304}}{2\cdot5}=\dfrac{2\pm4\sqrt{19}}{10}=\dfrac{1\pm2\sqrt{19}}{5}$. Puis $y=2x-1$ donne les deux points : $P_1\Bigl(\dfrac{1+2\sqrt{19}}{5},\;\dfrac{2(1+2\sqrt{19})}{5}-1\Bigr)$ $P_2\Bigl(\dfrac{1-2\sqrt{19}}{5},\;\dfrac{2(1-2\sqrt{19})}{5}-1\Bigr)$. ### E. Tangente à un cercle en un point donné Soit le cercle $C:(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=R^{2}$ et un point $T(x_0,y_0)$ appartenant au cercle. La tangente en $T$ est la droite perpendiculaire au rayon $CT$. Son équation s’obtient par : $$(x_0-a)(x-x_0)+(y_0-b)(y-y_0)=0.$$ Équivalentement : $$(x_0-a)x+(y_0-b)y=(x_0-a)x_0+(y_0-b)y_0.$$ > **À retenir** : Équation de la tangente en $T(x_0,y_0)$ au cercle $(x-a)^2+(y-b)^2=R^2$ : $(x_0-a)(x-x_0)+(y_0-b)(y-y_0)=0$. **Démonstration** : Le vecteur $\vec{CT}=(x_0-a,\;y_0-b)$ est normal à la tangente. Le produit scalaire $\vec{CT}\cdot\vec{MT}=0$ pour tout point $M(x,y)$ de la tangente donne l’équation ci‑dessus. **Exemple 11** : Tangente au cercle $C:(x+1)^{2}+(y-4)^{2}=9$ en le point $T(2,6)$. Vérifions que $T$ appartient au cercle : $(2+1)^{2}+(6-4)^{2}=3^{2}+2^{2}=9+4=13\neq9$ → erreur, choisissons un point correct. Prenons plutôt $T(-1,7)$ : $(-1+1)^{2}+(7-4)^{2}=0+3^{2}=9$ → appartient. Vecteur $\vec{CT}=(-1+1,\;7-4)=(0,3)$. Équation de la tangente : $0\cdot(x+1)+3\cdot(y-7)=0$ → $3(y-7)=0$ → $y=7$. Donc la tangente est la droite horizontale $y=7$. ## Synthèse du chapitre - **Droite** : forme générale $ax+by+c=0$ ; forme réduite $y=mx+p$ (si $b\neq0$) ; coefficient directeur $m$ ; parallélisme $m_1=m_2$ ; perpendicularité $m_1m_2=-1$ ; distance point‑droite $d=\dfrac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$ ; intersection par résolution d’un système linéaire. - **Cercle** : équation canonique $(x-a)^2+(y-b)^2=R^2$ ; forme générale $x^2+y^2+Dx+Ey+F=0$ avec centre $(-D/2,-E/2)$ et rayon $\frac12\sqrt{D^2+E^2-4F}$ ; test de position d’un point par le signe de $(x_0-a)^2+(y_0-b)^2-R^2$ ; intersection droite‑cercle via substitution et analyse du discriminant ; tangente en $T(x_0,y_0)$ : $(x_0-a)(x-x_0)+(y_0-b)(y-y_0)=0$. ## Glossaire | Terme | Définition | |-------|------------| | Coefficient directeur | Rapport $\displaystyle\frac{\Delta y}{\Delta x}$ d’une droite non verticale, noté $m$. | | Forme réduite | Équation d’une droite $y=mx+p$ (valable lorsque $b\neq0$ dans $ax+by+c=0$). | | Vecteur normal | Pour une droite $ax+by+c=0$, le vecteur $(a,b)$ est orthogonal à la droite. | | Cercle | Ensemble des points situés à une distance fixe $R$ d’un point fixe $C(a,b)$. | | Équation canonique | $(x-a)^2+(y-b)^2=R^2$. | | Forme générale | $x^2+y^2+Dx+Ey+F=0$ d’un cercle. | | Puissance d’un point | Valeur $(x_0-a)^2+(y_0-b)^2-R^2$ ; son signe indique la position du point par rapport au cercle. | | Tangente | Droite qui touche le cercle en un seul point et est perpendiculaire au rayon en ce point. | ## Exercices d'application corrigés ### Exercice 1 Déterminer l’équation de la droite passant par les points $A(-2,5)$ et $B(4,-1)$. **Corrigé** Coefficient directeur $m=\dfrac{-1-5}{4-(-2)}=\dfrac{-6}{6}=-1$. En utilisant la forme point‑pente avec $A$ : $y-5=-1(x+2)$ → $y-5=-x-2$ → $y=-x+3$. Forme générale : $x+y-3=0$. ### Exercice 2 Vérifier si les droites $D_1:3x-4y+7=0$ et $D_2:8x+6y-5=0$ sont perpendiculaires. **Corrigé** On les met sous forme réduite : $D_1: -4y=-3x-7$ → $y=\frac{3}{4}x+\frac{7}{4}$ → $m_1=\frac{3}{4}$. $D_2: 6y=-8x+5$ → $y=-\frac{4}{3}x+\frac{5}{6}$ → $m_2=-\frac{4}{3}$. Produit $m_1m_2=\frac{3}{4}\cdot\left(-\frac{4}{3}\right)=-1$. Donc les droites sont perpendiculaires. ### Exercice 3 Calculer la distance du point $P(3,-2)$ à la droite $D:5x-12y+10=0$. **Corrigé** $ax_0+by_0+c=5\cdot3+(-12)\cdot(-2)+10=15+24+10=49$. $\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{5^2+(-12)^2}=\sqrt{25+144}=13$. $d=\dfrac{49}{13}\approx3,77$. ### Exercice 4 Trouver le centre et le rayon du cercle dont l’équation générale est $x^{2}+y^{2}+10x-6y+9=0$. **Corrigé** $D=10$, $E=-6$, $F=9$. Centre : $a=-\frac{D}{2}=-5$, $b=-\frac{E}{2}=3$ → $C(-5,3)$. Rayon : $R=\frac12\sqrt{D^{2}+E^{2}-4F} =\frac12\sqrt{10^{2}+(-6)^{2}-4\cdot9} =\frac12\sqrt{100+36-36} =\frac12\sqrt{100}=5$. ### Exercice 5 Déterminer les points d’intersection de la droite $D:y=-2x+3$ et du cercle $C:(x-1)^{2}+(y+2)^{2}=16$. **Corrigé** Substituer $y$ : $(x-1)^{2}+(-2x+3+2)^{2}=16$ → $(x-1)^{2}+(-2x+5)^{2}=16$. Développer : $(x^{2}-2x+1)+(4x^{2}-20x+25)=16$ → $5x^{2}-22x+26=16$ → $5x^{2}-22x+10=0$. Discriminant : $\Delta'=(-22)^{2}-4\cdot5\cdot10=484-200=284>0$. Deux solutions : $x=\dfrac{22\pm\sqrt{284}}{2\cdot5}=\dfrac{22\pm2\sqrt{71}}{10}=\dfrac{11\pm\sqrt{71}}{5}$. Puis $y=-2x+3$ donne : $y=-2\left(\dfrac{11\pm\sqrt{71}}{5}\right)+3 =-\dfrac{22\pm2\sqrt{71}}{5}+3 =\dfrac{-22\pm2\sqrt{71}+15}{5} =\dfrac{-7\pm2\sqrt{71}}{5}$. Points d’intersection : $P_1\left(\dfrac{11+\sqrt{71}}{5},\;\dfrac{-7+2\sqrt{71}}{5}\right)$, $P_2\left(\dfrac{11-\sqrt{71}}{5},\;\dfrac{-7-2\sqrt{71}}{5}\right)$. ### Exercice 6 Écrire l’équation de la tangente au cercle $C:(x+4)^{2}+(y-3)^{2}=25$ en le point $T(-1,7)$. **Corrigé** Vérifions que $T$ appartient au cercle : $(-1+4)^{2}+(7-3)^{2}=3^{2}+4^{2}=9+16=25$ → oui. Vecteur $\vec{CT}=(-1+4,\;7-3)=(3,4)$. Équation de la tangente : $3(x+1)+4(y-7)=0$ → $3x+3+4y-28=0$ → $3x+4y-25=0$. ## Erreurs fréquentes 1. **Confondre forme réduite et forme générale** : oublier que la forme réduite $y=mx+p$ n’est valable que lorsque $b\neq0$. En cas de droite verticale, on doit revenir à $x=\text{constante}$. 2. **Erreur de signe dans la distance point‑droite** : omettre la valeur absolue au numérateur ou prendre le dénominateur $\sqrt{a^2+b^2}$ avec un signe négatif. Toujours utiliser $\dfrac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$. 3. **Mauvaise identification du centre dans la forme générale** : croire que le centre est $(-D,-E)$ au lieu de $\left(-\frac{D}{2},-\frac{E}{2}\right)$. Rappel : on divise par 2 après avoir changé le signe. 4. **Oublier de vérifier l’appartenance du point au cercle avant de chercher la tangente** : la formule de la tangente suppose que le point appartient effectivement au cercle ; sinon on obtient une droite qui ne touche pas le cercle. 5. **Erreur de discriminant dans l’intersection droite‑cercle** : substituer mal l’équation de la droite (souvent oublier de mettre $y$ au carré) ou faire une erreur de développement du carré. Il faut procéder pas à pas et contrôler chaque étape. 6. **Confondre parallélisme et coincident** : deux droites ayant le même coefficient directeur peuvent être parallèles ou confondues ; il faut comparer les ordonnées à l’origine (ou le terme constant) pour distinguer les deux cas. --- Fin du cours.