Angles inscrits et polygones réguliers (partie 2/2)

## Construction des polygones réguliers ### Introduction Bienvenue dans ce cours sur la construction des polygones réguliers ! Les polygones réguliers sont des figures géométriques fascinantes que l'on retrouve partout dans la nature et dans l'architecture. Un polygone régulier est une figure plane dont tous les côtés ont la même longueur et tous les angles intérieurs ont la même mesure. Dans ce chapitre, nous allons apprendre à les dessiner précisément en utilisant les propriétés des angles inscrits et des angles au centre. ### Concepts Clés #### Qu'est-ce qu'un polygone régulier ? Un polygone est dit régulier si : * Tous ses côtés ont la même longueur. * Tous ses angles intérieurs ont la même mesure. Exemples : le triangle équilatéral (3 côtés), le carré (4 côtés), le pentagone régulier (5 côtés), l'hexagone régulier (6 côtés), etc. #### Cercle circonscrit à un polygone régulier Tout polygone régulier peut être inscrit dans un cercle, appelé son **cercle circonscrit**. Tous les sommets du polygone se trouvent sur ce cercle. Le centre du polygone est le centre de ce cercle. Le rayon du cercle circonscrit est appelé le rayon du polygone régulier. #### Angle au centre d'un polygone régulier L'**angle au centre** d'un polygone régulier est l'angle formé par deux rayons consécutifs qui relient le centre du cercle circonscrit à deux sommets adjacents du polygone. Si un polygone régulier possède \( n \) côtés (et donc \( n \) sommets), alors la mesure de chacun de ses angles au centre est donnée par la formule : \[ \text{Angle au centre} = \frac{360^ irc}{n} \] Par exemple : * Pour un triangle équilatéral (\( n=3 \)) : \( \frac{360^ irc}{3} = 120^ circ \) * Pour un carré (\( n=4 \)) : \( \frac{360^ irc}{4} = 90^ circ \) * Pour un hexagone régulier (\( n=6 \)) : \( \frac{360^ irc}{6} = 60^ circ \) #### Relation avec les angles inscrits (Rappel) Un **angle inscrit** est un angle dont le sommet est sur le cercle et dont les côtés sont des cordes de ce cercle. Un **angle au centre** est un angle dont le sommet est le centre du cercle et dont les côtés sont des rayons. La propriété clé est que la mesure d'un angle inscrit est égale à la moitié de la mesure de l'angle au centre qui intercepte le même arc. C'est fondamental pour comprendre la géométrie des polygones réguliers, même si pour la construction, l'angle au centre est souvent plus directement utilisé. #### Principe de construction générale Pour construire un polygone régulier à \( n \) côtés : 1. Dessinez un cercle de rayon donné (ce sera le cercle circonscrit). 2. Marquez un premier point \( A \) sur le cercle (ce sera le premier sommet du polygone). 3. À partir du centre \( O \) du cercle, tracez un rayon \( OA \). 4. En utilisant un rapporteur, mesurez l'angle au centre \( \frac{360^ circ}{n} \) à partir du rayon \( OA \). Marquez le point \( B \) sur le cercle pour former le deuxième sommet. 5. Répétez l'opération en mesurant le même angle à partir de \( OB \) pour trouver \( C \), et ainsi de suite, jusqu'à obtenir les \( n \) sommets. 6. Reliez les sommets consécutifs par des segments de droite pour former le polygone. ### Vocabulaire * **Polygone régulier** : Figure plane avec tous les côtés de même longueur et tous les angles de même mesure. * **Cercle circonscrit** : Cercle passant par tous les sommets d'un polygone. * **Rayon** : Segment reliant le centre d'un cercle à un point sur le cercle. * **Angle au centre** : Angle formé par deux rayons issus du centre d'un cercle. * **Angle inscrit** : Angle dont le sommet est sur le cercle et dont les côtés sont des cordes. * **Côté** : Segment de droite formant le contour d'un polygone. * **Sommet** : Point d'intersection de deux côtés d'un polygone. * **Compas** : Instrument de géométrie pour tracer des cercles et reporter des longueurs. * **Règle** : Instrument de géométrie pour tracer des lignes droites. ### Exemples de construction #### 1. Construction d'un Hexagone Régulier Un hexagone régulier a 6 côtés. Son angle au centre est de \( \frac{360^ circ}{6} = 60^ circ \). **Étapes :** 1. Tracez un cercle de centre \( O \) et de rayon \( r \). 2. Marquez un point \( A \) sur le cercle. 3. Avec le compas, sans changer l'ouverture (qui est égale au rayon \( r \)), placez la pointe sur \( A \) et marquez un arc sur le cercle pour trouver le point \( B \). 4. Déplacez la pointe du compas sur \( B \) et marquez \( C \), et ainsi de suite jusqu'à revenir à \( A \). 5. Vous obtiendrez 6 points (\( A, B, C, D, E, F \)) sur le cercle. Reliez ces points consécutivement pour former l'hexagone. *Pourquoi cette méthode fonctionne-t-elle ?* Dans un hexagone régulier, le côté est égal au rayon du cercle circonscrit. Cela crée des triangles équilatéraux (comme \( OAB \)), dont les angles au centre sont de \( 60^ circ \). #### 2. Construction d'un Carré Un carré a 4 côtés. Son angle au centre est de \( \frac{360^ circ}{4} = 90^ circ \). **Étapes :** 1. Tracez un cercle de centre \( O \) et de rayon \( r \). 2. Tracez un diamètre horizontal \( AC \) passant par \( O \). 3. Tracez la perpendiculaire à \( AC \) passant par \( O \). Cette droite coupe le cercle en deux points \( B \) et \( D \). 4. Les points \( A, B, C, D \) sont les sommets du carré. Reliez-les consécutivement. #### 3. Construction d'un Triangle Équilatéral Un triangle équilatéral a 3 côtés. Son angle au centre est de \( \frac{360^ circ}{3} = 120^ circ \). **Étapes :** 1. Tracez un cercle de centre \( O \) et de rayon \( r \). 2. Marquez un point \( A \) sur le cercle. 3. À partir de \( A \), tracez un arc de cercle de rayon \( r \) qui coupe le cercle en un point que nous appellerons \( X \). 4. À partir de \( X \), tracez un autre arc de cercle de rayon \( r \) qui coupe le cercle en un point que nous appellerons \( B \). 5. À partir de \( B \), tracez un autre arc de cercle de rayon \( r \) qui coupe le cercle en un point que nous appellerons \( C \). 6. Les points \( A, B, C \) sont les sommets d'un triangle équilatéral. Reliez-les consécutivement. *Note :* Pour le triangle équilatéral, une autre méthode consiste à marquer A, puis à utiliser l'ouverture du compas égale au rayon à partir de A pour trouver un point M. Puis, toujours avec la même ouverture, à partir de M, on trouve un point B, et à partir de B, on trouve un point C. Les points A, B, C ne seront pas les sommets mais trois points sur le cercle équidistants. Les sommets du triangle seraient A, puis le point situé à \( 120^ circ \) de A et le point situé à \( 240^ circ \) de A. Une méthode plus simple : tracez un diamètre. À partir d'une extrémité A, prenez l'ouverture du compas au rayon et coupez le cercle en B et C. Le triangle ABC n'est pas équilatéral. Une méthode correcte serait de prendre un point A sur le cercle, puis avec le compas ouvert au rayon, tracer deux arcs à partir de A qui coupent le cercle en deux points. Ces points seront les sommets d'un hexagone. Pour un triangle équilatéral, il faut relier des sommets alternés (par exemple le premier, le troisième et le cinquième sommet de l'hexagone). Autre approche : on peut marquer un point A, puis avec un compas dont l'ouverture est égale au côté d'un hexagone régulier (qui est le rayon), tracer 3 points. Les points A, C et E d'un hexagone ACEGIB sont les sommets d'un triangle équilatéral. ### Exercices 1. Quel est l'angle au centre d'un polygone régulier à 8 côtés (un octogone régulier) ? 2. Peut-on inscrire un rectangle non carré dans un cercle ? Est-ce un polygone régulier ? Justifiez. 3. Tracez un cercle de 5 cm de rayon. Construisez un hexagone régulier à l'intérieur de ce cercle en utilisant uniquement un compas et une règle non graduée. 4. Si un polygone régulier a un angle au centre de \( 36^ circ \), combien de côtés a-t-il ? Quel est son nom ? ### Devoir à la maison 1. Construisez un cercle de rayon 4 cm. En vous aidant d'un rapporteur pour les angles au centre, construisez un pentagone régulier (5 côtés). Rappelez l'angle au centre d'un pentagone régulier. 2. Recherchez et décrivez une méthode de construction d'un octogone régulier (8 côtés) à l'aide d'une règle et d'un compas (sans rapporteur si possible, en combinant des constructions de carrés ou en utilisant la bissection d'angles). Tracez-le. 3. Expliquez pourquoi le triangle équilatéral et l'hexagone régulier ont des constructions particulières plus simples que les autres polygones réguliers. ### Résumé Pour récapituler, un polygone régulier est une figure dont tous les côtés et tous les angles sont égaux. Il peut toujours être inscrit dans un cercle, son cercle circonscrit. L'**angle au centre**, calculé par la formule \( \frac{360^ circ}{n} \), est la clé de sa construction. Les cas du triangle équilatéral, du carré et de l'hexagone régulier ont des méthodes de construction par compas et règle relativement simples en raison de leurs angles au centre spécifiques (\( 120^ circ \), \( 90^ circ \) et \( 60^ circ \)). La maîtrise de ces techniques vous permettra de dessiner une grande variété de formes géométriques précises. ## Angles inscrits définis par une demi-tangente ### Introduction Dans cette leçon, nous allons approfondir notre compréhension des angles dans un cercle. Après avoir revu les notions d'angle inscrit et d'angle au centre, nous allons découvrir un type d'angle particulier : l'angle formé par une demi-tangente et une corde. Nous étudierons la relation fondamentale qui lie cet angle aux angles inscrits et aux angles au centre qui interceptent le même arc. ### Concepts Clés #### Rappels sur le cercle et les angles ##### Définition d'une tangente à un cercle * Une droite est dite **tangente** à un cercle en un point `\( A \)` si elle touche le cercle en un seul point, ce point `\( A \)` étant appelé le **point de tangence**. * La tangente en `\( A \)` est perpendiculaire au rayon `\( [OA] \)` (où `\( O \)` est le centre du cercle). ##### Définition d'une demi-tangente * Une **demi-tangente** est une portion de la tangente qui part du point de tangence et s'étend dans une seule direction. Si `\( (D) \)` est la tangente au cercle en `\( A \)`, alors `\( [At) \)` est une demi-tangente si `\( t \)` est un point de `\( (D) \)` et `\( A \)` est l'extrémité de la demi-droite. ##### Rappel sur l'angle au centre et l'angle inscrit * Un **angle au centre** a son sommet au centre du cercle et ses côtés coupent le cercle. Par exemple, `\( \widehat{AOB} \)`. * Un **angle inscrit** a son sommet sur le cercle et ses côtés coupent également le cercle. Par exemple, `\( \widehat{ACB} \)`. * **Théorème** : Si un angle inscrit et un angle au centre interceptent le même arc, alors la mesure de l'angle au centre est le double de la mesure de l'angle inscrit. \[ \widehat{AOB} = 2 \times \widehat{ACB} \] #### Angle formé par une demi-tangente et une corde ##### Définition Soit un cercle, un point `\( A \)` sur ce cercle, et `\( [At) \)` une demi-tangente au cercle en `\( A \)`. Soit `\( [AB] \)` une corde issue de `\( A \)`. L'**angle formé par la demi-tangente et la corde** est l'angle `\( \widehat{tAB} \)`. ##### Théorème fondamental L'angle `\( \widehat{tAB} \)` (formé par une demi-tangente `\( [At) \)` et une corde `\( [AB] \)`) est égal à tout angle inscrit `\( \widehat{ACB} \)` qui intercepte le même arc `\( \stackrel{\frown}{AB} \)`. Cet angle est aussi égal à la moitié de l'angle au centre `\( \widehat{AOB} \)` qui intercepte le même arc `\( \stackrel{\frown}{AB} \)`. \[ \widehat{tAB} = \widehat{ACB} \] \[ \widehat{tAB} = \frac{1}{2} \widehat{AOB} \] ### Vocabulaire * **Cercle** : Ensemble des points équidistants d'un point appelé centre. * **Corde** : Segment de droite reliant deux points d'un cercle. * **Tangente** : Droite qui touche un cercle en un seul point. * **Demi-tangente** : Portion d'une tangente partant du point de tangence. * **Point de tangence** : Le point unique où une tangente touche un cercle. * **Angle inscrit** : Angle dont le sommet est sur le cercle et dont les côtés sont des cordes du cercle. * **Angle au centre** : Angle dont le sommet est le centre du cercle et dont les côtés sont des rayons du cercle. * **Arc de cercle** : Portion du cercle délimitée par deux points sur le cercle. ### Exemples #### Exemple 1 : Calcul à partir d'un angle inscrit Soit un cercle. On considère un point `\( A \)` sur le cercle, une demi-tangente `\( [At) \)` en `\( A \)`, et une corde `\( [AB] \)`. Si `\( C \)` est un autre point sur le cercle tel que `\( \widehat{ACB} = 40^{\circ} \)`, alors d'après le théorème, l'angle `\( \widehat{tAB} \)` est égal à `\( \widehat{ACB} \)`. Donc, `\( \widehat{tAB} = 40^{\circ} \)`. #### Exemple 2 : Calcul à partir d'un angle au centre Dans le même cercle, si l'angle au centre `\( \widehat{AOB} = 100^{\circ} \)`, alors l'angle `\( \widehat{tAB} \)` est la moitié de l'angle au centre. Donc, `\( \widehat{tAB} = \frac{1}{2} \times 100^{\circ} = 50^{\circ} \)`. #### Exemple 3 : Application géométrique Considérons un cercle passant par les points `\( A \)`, `\( B \)`, `\( C \)`. Une droite `\( (D) \)` est tangente au cercle en `\( A \)`. Si on sait que `\( \widehat{tAB} = 60^{\circ} \)`, où `\( [At) \)` est une demi-tangente, alors on peut déduire que l'angle inscrit `\( \widehat{ACB} = 60^{\circ} \)`. Si de plus, `\( AB = AC \)`, alors le triangle `\( ABC \)` est isocèle en `\( A \)`. Puisque `\( \widehat{ACB} = 60^{\circ} \)`, et `\( \widehat{ABC} = \widehat{ACB} \)`, alors `\( \widehat{ABC} = 60^{\circ} \)`. Il s'ensuit que `\( \widehat{BAC} = 180^{\circ} - 60^{\circ} - 60^{\circ} = 60^{\circ} \)`, ce qui signifie que le triangle `\( ABC \)` est équilatéral. ### Exercices 1. Soit un cercle de centre `\( O \)`. `\( (D) \)` est une tangente au cercle en un point `\( A \)`. `\( [AB] \)` est une corde. Si l'angle inscrit `\( \widehat{AMB} \)` qui intercepte l'arc `\( \stackrel{\frown}{AB} \)` mesure `\( 45^{\circ} \)`, quelle est la mesure de l'angle `\( \widehat{tAB} \)` formé par la demi-tangente `\( [At) \)` et la corde `\( [AB] \)`? 2. Dans un cercle, l'angle au centre `\( \widehat{AOB} \)` mesure `\( 130^{\circ} \)`. Quelle est la mesure de l'angle `\( \widehat{tAB} \)` formé par la demi-tangente `\( [At) \)` en `\( A \)` et la corde `\( [AB] \)`? 3. Dessinez un cercle, tracez une tangente en un point `\( P \)`, puis une corde `\( [PQ] \)`. Identifiez l'angle formé par la demi-tangente et la corde. Tracez ensuite un point `\( R \)` sur le cercle et l'angle inscrit `\( \widehat{PRQ} \)`. Quelle relation lie ces deux angles? ### Devoirs 1. **Démonstration** : Soit un cercle de centre `\( O \)`. `\( [AB] \)` est une corde du cercle. `\( (D) \)` est la tangente au cercle en `\( A \)`. Soit `\( \widehat{tAB} \)` l'angle formé par la demi-tangente et la corde. Démontrez que `\( \widehat{tAB} \)` est égal à l'angle `\( \widehat{AMB} \)` (où `\( M \)` est un point quelconque du grand arc `\( \stackrel{\frown}{AB} \)`) en utilisant le cas particulier où `\( [AB] \)` est un diamètre, puis le cas général. Indice : considérez le triangle `\( OAB \)` et la relation entre `\( \widehat{OAB} \)` et `\( \widehat{tAB} \)`. 2. Dans un quadrilatère `\( ABCD \)` inscrit dans un cercle, une tangente `\( (D) \)` au cercle est tracée en `\( A \)`. La demi-tangente `\( [At) \)` forme un angle de `\( 70^{\circ} \)` avec la corde `\( [AB] \)`. Calculez la mesure de l'angle `\( \widehat{ADB} \)`. Sachant que `\( \widehat{BCD} = 110^{\circ} \)`, calculez les mesures des angles `\( \widehat{DAB} \)`, `\( \widehat{ABC} \)` et `\( \widehat{CDA} \)`. ### Résumé Nous avons appris aujourd'hui un théorème fondamental concernant les angles dans un cercle. L'angle formé par une demi-tangente et une corde est égal à tout angle inscrit qui intercepte le même arc. Il est également égal à la moitié de l'angle au centre qui intercepte ce même arc. Cette relation s'exprime par : \[ \widehat{tAB} = \widehat{ACB} = \frac{1}{2} \widehat{AOB} \] Ce théorème est un outil puissant pour résoudre des problèmes de géométrie impliquant des cercles, des tangentes et des cordes, et il complète notre connaissance des propriétés des angles dans le cercle.