Fonctions numériques d'une variabble réelle

## Fonctions et applications ### Introduction Les fonctions sont un concept fondamental en mathématiques. Elles nous permettent de décrire et de modéliser des relations entre différentes quantités. Que ce soit pour calculer le prix à payer en fonction de la quantité achetée, la distance parcourue en fonction du temps, ou même des phénomènes plus complexes en physique ou en économie, les fonctions sont partout. Dans ce cours, nous allons découvrir ce qu'est une fonction numérique d'une variable réelle, comment la représenter et comment l'utiliser. ### Concepts Clés #### 1. Définition d'une fonction Une fonction numérique d'une variable réelle \( f \) est un processus qui, à chaque nombre réel \( x \) d'un certain ensemble de départ, associe **un unique** nombre réel \( y \). On peut noter cette relation par: * \( f: x \mapsto y \) * ou \( y = f(x) \) #### 2. Vocabulaire des fonctions * **Variable indépendante (ou antécédent):** Le nombre \( x \) que l'on donne en entrée à la fonction. C'est la valeur dont dépend la sortie. * **Variable dépendante (ou image):** Le nombre \( y \) qui est le résultat du calcul de la fonction pour une valeur \( x \) donnée. On le note \( f(x) \). * **Image:** L'image de \( x \) par la fonction \( f \) est le nombre \( f(x) \). Un nombre \( x \) n'a qu'une seule image par une fonction donnée. * **Antécédent:** Un antécédent de \( y \) par la fonction \( f \) est un nombre \( x \) tel que \( f(x) = y \). Un nombre \( y \) peut avoir zéro, un ou plusieurs antécédents. * **Ensemble de définition (ou domaine de définition):** C'est l'ensemble de toutes les valeurs de \( x \) pour lesquelles la fonction \( f(x) \) est définie (c'est-à-dire que le calcul de \( f(x) \) est possible). #### 3. Les différentes représentations d'une fonction Une fonction peut être représentée de plusieurs manières : ##### a) Par une formule algébrique C'est la manière la plus courante de définir une fonction. Elle donne la règle de calcul de \( f(x) \) en fonction de \( x \). Exemples : * \( f(x) = 2x - 3 \) * \( g(x) = x^2 + 1 \) * \( h(x) = rac{1}{x} \) ##### b) Par un tableau de valeurs Un tableau de valeurs liste certaines valeurs de \( x \) et leurs images correspondantes \( f(x) \). | x | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | | --- | -- | -- | - | - | - | | f(x)| 4 | 1 | 0 | 1 | 4 | Dans cet exemple, l'image de 1 est 1, et -2 et 2 sont des antécédents de 4. ##### c) Par une représentation graphique La représentation graphique d'une fonction \( f \) est l'ensemble des points \( (x, y) \) dans un repère orthogonal du plan tels que \( y = f(x) \). * Pour trouver l'image d'un nombre \( x \), on place \( x \) sur l'axe des abscisses, on monte (ou descend) verticalement jusqu'à la courbe, puis on lit l'ordonnée correspondante sur l'axe des \( y \). * Pour trouver les antécédents d'un nombre \( y \), on place \( y \) sur l'axe des ordonnées, on trace une droite horizontale jusqu'à la courbe, puis on lit les abscisses des points d'intersection. #### 4. Fonctions courantes * **Fonctions linéaires:** De la forme \( f(x) = ax \). Leur représentation graphique est une droite passant par l'origine. * **Fonctions affines:** De la forme \( f(x) = ax + b \). Leur représentation graphique est une droite. * **Fonctions carrées:** De la forme \( f(x) = x^2 \). Leur représentation graphique est une parabole. * **Fonctions inverse:** De la forme \( f(x) = rac{1}{x} \). Leur représentation graphique est une hyperbole. ### Vocabulaire * **Fonction:** Une règle qui associe à chaque élément d'un ensemble de départ un unique élément d'un ensemble d'arrivée. * **Variable indépendante (x):** La valeur d'entrée de la fonction. * **Variable dépendante (f(x) ou y):** La valeur de sortie de la fonction. * **Image:** Le résultat \( f(x) \) obtenu après avoir appliqué la fonction à \( x \). * **Antécédent:** La valeur \( x \) qui, par la fonction \( f \), donne une image \( y \) spécifique. * **Ensemble de définition:** L'ensemble de toutes les valeurs de \( x \) pour lesquelles \( f(x) \) est calculable. * **Courbe représentative:** Le graphique d'une fonction, ensemble de tous les points \( (x, f(x)) \). ### Exemples #### Exemple 1: Calcul d'images et d'antécédents par une formule Soit la fonction \( f \) définie par \( f(x) = -3x + 5 \). * **Calculer l'image de 2 :** On remplace \( x \) par 2. \( f(2) = -3(2) + 5 = -6 + 5 = -1 \). L'image de 2 est -1. * **Déterminer l'antécédent de 11 :** On cherche \( x \) tel que \( f(x) = 11 \). \( -3x + 5 = 11 \) \( -3x = 11 - 5 \) \( -3x = 6 \) \( x = rac{6}{-3} \) \( x = -2 \). L'antécédent de 11 est -2. #### Exemple 2: Détermination de l'ensemble de définition * Pour \( f(x) = rac{1}{x-3} \): Le dénominateur ne peut pas être nul, donc \( x-3 \neq 0 \), ce qui signifie \( x eq 3 \). L'ensemble de définition est \( ]-\infty; 3[ \cup ]3; +\infty[ \) ou \( \mathbb{R} \setminus \{3\} \). * Pour \( g(x) = \sqrt{x+2} \): L'expression sous la racine carrée doit être positive ou nulle, donc \( x+2 \ge 0 \), ce qui signifie \( x \ge -2 \). L'ensemble de définition est \( [-2; +\infty[ \). ### Exercices 1. Soit la fonction \( f \) définie par \( f(x) = 4x - 7 \). * Calculer l'image de 5 par \( f \). * Calculer \( f(-1) \). * Déterminer l'antécédent de 9 par \( f \). 2. Voici un tableau de valeurs pour une fonction \( g \) : | x | -3 | -1 | 0 | 2 | 4 | | --- | -- | -- | - | - | - | | g(x)| 9 | 1 | 0 | 4 | 16| * Quelle est l'image de 0 par \( g \)? * Quels sont les antécédents de 9 par \( g \)? 3. Donner l'ensemble de définition des fonctions suivantes : * \( h(x) = 5x^2 - 2x + 1 \) * \( k(x) = rac{x+1}{x-5} \) * \( l(x) = \sqrt{4-x} \) ### Devoir Maison 1. Soit la fonction \( P \) définie par \( P(x) = (x-3)^2 - 4 \). * Calculer \( P(1) \) et \( P(5) \). * Montrer que \( P(x) = x^2 - 6x + 5 \). * Déterminer les antécédents de 0 par \( P \). 2. Une entreprise fabrique des objets. Le coût de production \( C(x) \), en euros, pour \( x \) objets fabriqués est donné par la fonction \( C(x) = 0.5x^2 + 10x + 50 \) pour \( x \) appartenant à l'intervalle \( [0; 100] \). * Calculer le coût de production pour 10 objets. * Calculer le coût de production pour 50 objets. * L'entreprise a dépensé 50 euros. Combien d'objets a-t-elle fabriqués ? 3. Construire un tableau de valeurs pour la fonction \( f(x) = -x+2 \) pour \( x \) allant de -3 à 3 avec un pas de 1. Puis, tracer la courbe représentative de cette fonction dans un repère orthogonal. ### Résumé Les fonctions sont des outils essentiels en mathématiques qui décrivent comment une quantité dépend d'une autre. Nous avons appris que chaque \( x \) a une unique image \( f(x) \) et qu'un \( y \) peut avoir plusieurs antécédents. Les fonctions peuvent être exprimées par une formule, un tableau ou un graphique. Comprendre l'ensemble de définition est crucial pour savoir pour quelles valeurs la fonction a un sens. Ces bases vous serviront tout au long de votre parcours scientifique et dans de nombreuses applications concrètes. ## Taux d'accroissement d'une fonction ### Introduction En mathématiques, les fonctions nous permettent de modéliser des relations entre différentes quantités. Souvent, nous voulons comprendre comment la sortie d'une fonction change lorsque son entrée varie. C'est précisément ce que le **taux d'accroissement** nous aide à mesurer. Il nous donne une idée de la "pente moyenne" de la fonction sur un intervalle donné, une notion fondamentale qui ouvrira la porte à l'étude de la dérivation. ### Concepts Clés #### Rappel sur les fonctions Une **fonction numérique** \(f\) est une relation qui associe à chaque nombre réel \(x\) (appelé antécédent) de son **domaine de définition** un unique nombre réel \(y\), noté \(f(x)\) (appelé image). * **Notation:** \(f: x \mapsto f(x)\) * **Variable indépendante:** \(x\) * **Variable dépendante:** \(y\) ou \(f(x)\) #### Définition du taux d'accroissement Le taux d'accroissement d'une fonction \(f\) entre deux valeurs distinctes \(a\) et \(b\) de son domaine de définition mesure la variation relative de la valeur de la fonction par rapport à la variation de la variable. Il est défini par la formule : \[ T_{a,b} = \frac{f(b) - f(a)}{b - a} \] Où : * \(f(b) - f(a)\) représente la variation des images. * \(b - a\) représente la variation des antécédents. On peut aussi noter la variation de \(x\) par \(h\) tel que \(b = a + h\). Dans ce cas, \(b - a = h\) (avec \(h \neq 0\)), et la formule devient : \[ T_{a, a+h} = \frac{f(a+h) - f(a)}{h} \] #### Interprétation géométrique Graphiquement, le taux d'accroissement de la fonction \(f\) entre \(a\) et \(b\) est le **coefficient directeur** (ou la **pente**) de la droite sécante qui relie les points \(A(a, f(a))\) et \(B(b, f(b))\) sur la courbe représentative de la fonction. * Si \(T_{a,b} > 0\), la fonction est croissante en moyenne sur l'intervalle \([a, b]\). * Si \(T_{a,b} < 0\), la fonction est décroissante en moyenne sur l'intervalle \([a, b]\). * Si \(T_{a,b} = 0\), la fonction ne varie pas en moyenne sur l'intervalle \([a, b]\) (ou ses valeurs sont égales aux extrémités de l'intervalle). ### Vocabulaire * **Fonction numérique :** Fonction dont les variables et les valeurs sont des nombres réels. * **Variable réelle :** Une variable qui peut prendre n'importe quelle valeur dans l'ensemble des nombres réels. * **Taux d'accroissement :** Mesure de la variation moyenne d'une fonction entre deux points. Il indique la rapidité avec laquelle la valeur de la fonction change par rapport à la variation de sa variable. * **Sécante :** Une droite qui coupe une courbe en au moins deux points. * **Coefficient directeur (ou Pente) :** Mesure l'inclinaison d'une droite. Pour une droite passant par \((x_1, y_1)\) et \((x_2, y_2)\), il est donné par \(m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}\). ### Exemples #### Exemple 1 : Fonction linéaire Soit la fonction \(f(x) = 3x + 2\). Calculons le taux d'accroissement entre \(x_1 = 1\) et \(x_2 = 3\). 1. Calculons les images : * \(f(1) = 3(1) + 2 = 5\) * \(f(3) = 3(3) + 2 = 11\) 2. Appliquons la formule du taux d'accroissement : \[ T_{1,3} = \frac{f(3) - f(1)}{3 - 1} = \frac{11 - 5}{2} = \frac{6}{2} = 3 \] *Remarque :* Pour une fonction linéaire, le taux d'accroissement est constant et égal au coefficient directeur de la droite. #### Exemple 2 : Fonction quadratique Soit la fonction \(g(x) = x^2\). Calculons le taux d'accroissement entre \(x_1 = -1\) et \(x_2 = 2\). 1. Calculons les images : * \(g(-1) = (-1)^2 = 1\) * \(g(2) = (2)^2 = 4\) 2. Appliquons la formule du taux d'accroissement : \[ T_{-1,2} = \frac{g(2) - g(-1)}{2 - (-1)} = \frac{4 - 1}{2 + 1} = \frac{3}{3} = 1 \] #### Exemple 3 : Calcul avec \(h\) Soit la fonction \(f(x) = x^2 + x\). Calculons le taux d'accroissement entre \(x\) et \(x+h\) (avec \(h \neq 0\)). 1. Calculons les images : * \(f(x) = x^2 + x\) * \(f(x+h) = (x+h)^2 + (x+h) = x^2 + 2xh + h^2 + x + h\) 2. Appliquons la formule : \[ \begin{aligned} T_{x, x+h} &= \frac{f(x+h) - f(x)}{h} \\ &= \frac{(x^2 + 2xh + h^2 + x + h) - (x^2 + x)}{h} \\ &= \frac{x^2 + 2xh + h^2 + x + h - x^2 - x}{h} \\ &= \frac{2xh + h^2 + h}{h} \\ &= \frac{h(2x + h + 1)}{h} \\ &= 2x + h + 1 \end{aligned} \] ### Exercices Calculez le taux d'accroissement des fonctions suivantes sur les intervalles donnés : 1. \(f(x) = 5x - 7\) entre \(x_1 = 0\) et \(x_2 = 4\). 2. \(g(x) = x^2 - 3x + 1\) entre \(x_1 = 1\) et \(x_2 = 5\). 3. \(h(x) = \frac{1}{x+1}\) entre \(x_1 = 0\) et \(x_2 = 1\). 4. Soit \(k(x) = -2x^2 + 4x\). Calculez le taux d'accroissement entre \(x\) et \(x+h\). ### Devoir 1. Pour la fonction \(f(x) = x^3\), calculez le taux d'accroissement entre \(a\) et \(b\). Simplifiez l'expression au maximum. 2. Soit la fonction \(g(x) = \sqrt{x}\). Calculez le taux d'accroissement entre \(x = 1\) et \(x = 9\). 3. Un cycliste parcourt une distance (en kilomètres) donnée par la fonction \(D(t) = 20t + t^2\), où \(t\) est le temps en heures. Calculez la vitesse moyenne (qui est le taux d'accroissement de la distance) du cycliste entre \(t = 0.5\) heure et \(t = 2\) heures. 4. Expliquez avec vos propres mots l'interprétation graphique du taux d'accroissement. ### Résumé Le taux d'accroissement est un outil essentiel pour comprendre la dynamique d'une fonction. Il permet de quantifier la variation moyenne de la sortie d'une fonction par rapport à la variation de son entrée sur un intervalle donné. * **Formule :** \( \frac{f(b) - f(a)}{b - a} \) ou \( \frac{f(a+h) - f(a)}{h} \). * **Interprétation graphique :** C'est la pente de la droite sécante qui connecte deux points sur la courbe de la fonction. * Ce concept est une première étape cruciale vers l'étude de la **dérivation**, qui permet de calculer le taux d'accroissement instantané (la pente de la tangente) en un point précis. ## Ensemble de définition; sens de variation et courbe des fonctions usuelles ### Introduction Bienvenue à ce cours sur les fonctions numériques d'une variable réelle ! Dans ce chapitre, nous allons approfondir notre compréhension des fonctions en explorant trois aspects fondamentaux : leur **ensemble de définition** (les valeurs pour lesquelles une fonction est calculable), leur **sens de variation** (si elles montent ou descendent) et l'allure de leurs **courbes représentatives**, en nous concentrant sur les fonctions usuelles que vous rencontrerez fréquemment en mathématiques. ### Concepts Clés #### 1. Notion de fonction et de variable réelle Une fonction numérique \(f\) est un processus qui associe à chaque nombre réel \(x\) (appelé variable) d'un ensemble donné, un unique nombre réel, noté \(f(x)\). * **Image :** Pour une valeur donnée de \(x\), \(f(x)\) est l'image de \(x\) par la fonction \(f\). * **Antécédent :** Si \(y = f(x)\), alors \(x\) est un antécédent de \(y\) par la fonction \(f\). Un nombre peut avoir plusieurs antécédents, ou aucun. #### 2. Ensemble de définition (Domaine de définition) L'ensemble de définition (noté \(D_f\)) d'une fonction \(f\) est l'ensemble de toutes les valeurs de \(x\) pour lesquelles le calcul de \(f(x)\) est possible. Pour déterminer l'ensemble de définition, il faut souvent identifier les valeurs de \(x\) qui posent problème : * **Division par zéro :** Le dénominateur d'une fraction ne doit jamais être nul. Si \(f(x) = \frac{N(x)}{D(x)}\), alors \(D(x) \neq 0\). * **Racine carrée :** L'expression sous un radical (signe de la racine carrée) doit être positive ou nulle. Si \(f(x) = \sqrt{A(x)}\), alors \(A(x) \ge 0\). * **Autres contraintes :** Plus tard, vous rencontrerez d'autres fonctions avec leurs propres contraintes (par exemple, les logarithmes). #### 3. Sens de variation d'une fonction Le sens de variation d'une fonction décrit comment les valeurs de \(f(x)\) évoluent lorsque \(x\) augmente. * **Fonction croissante sur un intervalle \(I\) :** Pour tous \(x_1, x_2 \in I\) tels que \(x_1 < x_2\), on a \(f(x_1) \le f(x_2)\). (La courbe monte). * **Fonction décroissante sur un intervalle \(I\) :** Pour tous \(x_1, x_2 \in I\) tels que \(x_1 < x_2\), on a \(f(x_1) \ge f(x_2)\). (La courbe descend). * **Fonction constante sur un intervalle \(I\) :** Pour tous \(x_1, x_2 \in I\), on a \(f(x_1) = f(x_2)\). (La courbe est horizontale). ##### Tableau de variation Un tableau de variation résume le sens de variation d'une fonction sur son ensemble de définition. Il indique les intervalles où la fonction est croissante, décroissante ou constante, ainsi que les valeurs extrêmes (maximums et minimums locaux) si elles existent. #### 4. Courbe représentative d'une fonction La courbe représentative de la fonction \(f\), notée \(C_f\), est l'ensemble de tous les points \(M(x; f(x))\) dans un repère orthogonal. Chaque point de la courbe a pour abscisse \(x\) et pour ordonnée son image \(f(x)\). #### 5. Fonctions usuelles ##### a) Fonction affine * **Expression :** \(f(x) = ax + b\), où \(a\) et \(b\) sont des nombres réels.\ *Cas particulier : Fonction linéaire (\(b=0\), \(f(x) = ax\)).\* *Cas particulier : Fonction constante (\(a=0\), \(f(x) = b\)).* * **Ensemble de définition :** \(D_f = \mathbb{R}\) (tous les nombres réels). * **Sens de variation :** * Si \(a > 0\), \(f\) est strictement croissante sur \(\mathbb{R}\). * Si \(a < 0\), \(f\) est strictement décroissante sur \(\mathbb{R}\). * Si \(a = 0\), \(f\) est constante sur \(\mathbb{R}\). * **Courbe représentative :** Une droite. ##### b) Fonction carrée * **Expression :** \(f(x) = x^2\). * **Ensemble de définition :** \(D_f = \mathbb{R}\). * **Sens de variation :** * Décroissante sur \((-\infty; 0]\). * Croissante sur \([0; +\infty))\). * **Courbe représentative :** Une parabole, symétrique par rapport à l'axe des ordonnées, dont le sommet est l'origine \((0; 0))\). ##### c) Fonction inverse * **Expression :** \(f(x) = \frac{1}{x}\). * **Ensemble de définition :** \(D_f = \mathbb{R}^* = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty))\) (tous les réels sauf 0). * **Sens de variation :** * Strictement décroissante sur \((-\infty; 0))\). * Strictement décroissante sur \((0; +\infty))\). * **Courbe représentative :** Une hyperbole, composée de deux branches séparées par l'axe des ordonnées et l'axe des abscisses (qui sont ses asymptotes). ##### d) Fonction racine carrée * **Expression :** \(f(x) = \sqrt{x}\). * **Ensemble de définition :** \(D_f = [0; +\infty))\) (seuls les nombres positifs ou nuls). * **Sens de variation :** Strictement croissante sur \([0; +\infty))\). * **Courbe représentative :** Une demi-parabole horizontale, partant de l'origine \((0;0))\). ### Vocabulaire * **Fonction :** Règle qui associe une unique sortie à chaque entrée. * **Variable réelle :** La variable \(x\) qui peut prendre n'importe quelle valeur réelle. * **Ensemble de définition (Domaine) :** L'ensemble des valeurs d'entrée \(x\) pour lesquelles la fonction est définie. * **Image :** La valeur \(f(x)\) obtenue pour une entrée \(x\). * **Antécédent :** La valeur \(x\) qui, appliquée à \(f\), donne \(f(x)\). * **Croissante :** Une fonction dont les valeurs augmentent lorsque \(x\) augmente. * **Décroissante :** Une fonction dont les valeurs diminuent lorsque \(x\) augmente. * **Tableau de variation :** Un tableau qui résume le sens de variation d'une fonction. * **Courbe représentative :** Le graphique de la fonction dans un repère. * **Parabole :** La forme de la courbe de la fonction carrée. * **Hyperbole :** La forme de la courbe de la fonction inverse. ### Exemples #### Exemple 1 : Déterminer l'ensemble de définition 1. **\(f(x) = 3x^2 - 5x + 1\)** : Il n'y a pas de division par zéro ni de racine carrée. Donc \(D_f = \mathbb{R}\). 2. **\(g(x) = \frac{2x+1}{x-3}\)** : Le dénominateur ne doit pas être nul : \(x-3 \neq 0 \Rightarrow x \neq 3\). Donc \(D_g = \mathbb{R} \setminus \{3\} = (-\infty; 3) \cup (3; +\infty))\). 3. **\(h(x) = \sqrt{4-x}\)** : L'expression sous la racine doit être positive ou nulle : \(4-x \ge 0 \Rightarrow 4 \ge x \Rightarrow x \le 4\). Donc \(D_h = (-\infty; 4]\). #### Exemple 2 : Sens de variation d'une fonction affine Soit \(f(x) = -2x + 5\). Ici, \(a = -2\) qui est \(< 0\). Donc la fonction \(f\) est strictement décroissante sur \(\mathbb{R}\). #### Exemple 3 : Tableau de variation de la fonction carrée La fonction \(f(x) = x^2\) est : * Décroissante sur \((-\infty; 0]\). * Croissante sur \([0; +\infty))\). ```mermaid graph TD A[x] --> B[-∞] --> C[0] --> D[+∞] E[f(x)] --> F[+∞] --> G[0] --> H[+∞] ``` (Note: Le format mermaid n'est pas supporté directement comme image dans le JSON, c'est une représentation textuelle du tableau. Imaginez une flèche descendante de +∞ vers 0, puis une flèche montante de 0 vers +∞). #### Exemple 4 : Représentation graphique d'une fonction affine Pour tracer la droite \(y = -2x+5\) : * Si \(x=0\), \(y=5\) (point \((0; 5))\). * Si \(x=2\), \(y=1\) (point \((2; 1))\). Tracez la droite passant par ces deux points. ### Exercices 1. **Déterminer l'ensemble de définition des fonctions suivantes :** a) \(f(x) = 5x - 8\) b) \(g(x) = \frac{3}{x+2}\) c) \(h(x) = \sqrt{x-1}\) d) \(k(x) = \frac{1}{\sqrt{x^2+1}}\) 2. **Indiquer le sens de variation des fonctions affines suivantes sur \(\mathbb{R}\) :** a) \(f(x) = 4x + 1\) b) \(g(x) = -x + 10\) c) \(h(x) = -7\) 3. **Compléter le tableau de variation suivant pour une fonction \(f\) dont la courbe est donnée ci-dessous :** (Imaginez une courbe qui descend de \((-\infty, 3])\), atteint un minimum en \(x=3\) avec \(f(3)=-2\), puis remonte de \(([3, +\infty))\)). | x | -∞ | 3 | +∞ | | ------ | ---- | ---- | ---- | | f(x) | | | | 4. **Associer chaque fonction usuelle à la forme de sa courbe représentative :** a) \(f(x) = x^2\) b) \(g(x) = \frac{1}{x}\) c) \(h(x) = \sqrt{x}\) d) \(k(x) = 2x - 3\) * Hyperbole * Parabole * Droite * Demi-parabole ### Devoirs 1. **Pour chaque fonction, déterminer son ensemble de définition, puis étudier son sens de variation sur son domaine (en utilisant la définition pour les fonctions non usuelles si besoin) et esquisser l'allure de sa courbe :** a) \(f(x) = -3x + 2\) b) \(g(x) = x^2 - 4\) (Indice : comment \(x^2\) varie-t-il?) c) \(h(x) = \frac{1}{x-1}\) 2. **Un agriculteur souhaite clôturer un champ rectangulaire d'aire \(100\) m\(^2\). Soit \(x\) la longueur d'un côté du champ. Exprimer le périmètre \(P(x)\) du champ en fonction de \(x\). Quel est l'ensemble de définition de la fonction \(P\)?** 3. **Soit la fonction \(f(x) = \frac{x+1}{x}\).** a) Déterminer l'ensemble de définition de \(f\). b) Montrer que \(f(x) = 1 + \frac{1}{x}\). En déduire le sens de variation de \(f\) sur \((-\infty; 0))\) et sur \((0; +\infty))\). c) Esquisser la courbe représentative de \(f\). ### Résumé Dans ce chapitre, nous avons exploré trois aspects cruciaux des fonctions numériques : * L'**ensemble de définition** : Les valeurs pour lesquelles \(f(x)\) est calculable, souvent restreint par les divisions par zéro ou les racines carrées de nombres négatifs. * Le **sens de variation** : Si une fonction est croissante (monte), décroissante (descend) ou constante sur des intervalles donnés, résumé par un tableau de variation. * La **courbe représentative** : La visualisation graphique de la fonction, qui permet de comprendre son comportement. Nous avons revu les formes caractéristiques des fonctions affines (droites), carrées (paraboles), inverse (hyperboles) et racine carrée (demi-paraboles).