Justification des sollicitations aux efforts tranchants

# Justification des sollicitations aux efforts tranchants ## Poutre soumise à la traction simple ### Introduction Bienvenue à cette leçon sur la justification des sollicitations aux efforts tranchants. Aujourd'hui, nous allons nous concentrer sur un cas fondamental en mécanique appliquée : la poutre soumise à la traction simple. Comprendre la traction est essentiel car c'est l'une des sollicitations les plus courantes que subissent les structures et les pièces mécaniques. Nous allons explorer ce qu'est la traction, comment elle affecte une poutre et comment calculer les contraintes qui en résultent. Ceci est crucial pour assurer la sécurité et la durabilité des constructions. ### Concepts Clés #### Qu'est-ce que la traction simple ? La traction simple est un état de sollicitation où une pièce est soumise à deux forces égales, opposées et colinéaires, qui tendent à l'allonger. Ces forces agissent le long de l'axe longitudinal de la pièce. * **Forces de traction :** Les forces \(F\) appliquées à chaque extrémité de la poutre tendent à l'étirer. * **Poutre :** Une pièce longue et mince par rapport à ses autres dimensions. * **Section droite :** La surface de coupe perpendiculaire à l'axe longitudinal de la poutre. #### Contrainte normale (contrainte de traction) Lorsque la poutre est tirée, des forces internes se développent à l'intérieur de sa matière pour résister à cet étirement. Ces forces, réparties sur la section droite, créent ce qu'on appelle la contrainte normale, ou contrainte de traction (souvent notée \(\sigma\) - sigma). * **Définition :** La contrainte normale est l'intensité des forces internes par unité de surface de la section droite. * **Formule :** \[ \sigma = \frac{F}{A} \] Où : * \(\sigma\) est la contrainte normale (en Pascals (Pa) ou N/mm²) * \(F\) est la force de traction appliquée (en Newtons (N)) * \(A\) est l'aire de la section droite de la poutre (en mètres carrés (m²) ou mm²) * **Unités :** * \(1\ Pa = 1\ N/m^2\) * Il est courant d'utiliser le Mégapascal (MPa) où \(1\ MPa = 1\ N/mm^2\). #### Déformation relative (allongement unitaire) Sous l'effet de la traction, la poutre s'allonge. On caractérise cet allongement par la déformation relative (ou allongement unitaire), notée \(\varepsilon\) (epsilon). * **Définition :** C'est le rapport de l'allongement total sur la longueur initiale de la poutre. * **Formule :** \[ \varepsilon = \frac{\Delta L}{L_0} \] Où : * \(\varepsilon\) est la déformation relative (sans unité, ou m/m) * \(\Delta L\) est l'allongement total (en mètres (m) ou mm) * \(L_0\) est la longueur initiale de la poutre (en mètres (m) ou mm) #### Loi de Hooke et module d'Young Dans le domaine élastique, il existe une relation linéaire entre la contrainte et la déformation. C'est la loi de Hooke. * **Formule :** \[ \sigma = E \cdot \varepsilon \] Où : * \(E\) est le module de Young (ou module d'élasticité longitudinale) (en Pascals (Pa) ou N/mm²). * **Module d'Young (E) :** C'est une propriété intrinsèque du matériau qui représente sa rigidité. Plus \(E\) est élevé, plus le matériau est rigide et moins il se déforme pour une contrainte donnée. * Exemples de valeurs (indicatives) : * Acier : \(E \approx 200\ GPa\) (\(200\ 000\ N/mm^2\)) * Aluminium : \(E \approx 70\ GPa\) (\(70\ 000\ N/mm^2\)) #### Allongement total En combinant les formules précédentes, nous pouvons calculer l'allongement total d'une poutre soumise à la traction simple : 1. De \(\sigma = E \cdot \varepsilon\), on tire \(\varepsilon = \frac{\sigma}{E}\). 2. En substituant \(\sigma = \frac{F}{A}\) dans \(\varepsilon\) : \[ \varepsilon = \frac{F}{A \cdot E} \] 3. Puis, en utilisant \(\varepsilon = \frac{\Delta L}{L_0}\) : \[ \frac{\Delta L}{L_0} = \frac{F}{A \cdot E} \] 4. On obtient l'allongement total : \[ \Delta L = \frac{F \cdot L_0}{A \cdot E} \] #### Condition de résistance Pour qu'une pièce résiste à la traction sans rupture ni déformation excessive permanente, la contrainte maximale calculée \(\sigma_{max}\) doit être inférieure à la contrainte admissible du matériau \(\sigma_{adm}\). * **Formule :** \[ \sigma_{max} \le \sigma_{adm} \] * **\(\sigma_{adm}\) :** C'est la contrainte de sécurité du matériau, souvent calculée à partir de la limite élastique \(R_e\) ou de la résistance à la rupture \(R_m\) divisée par un coefficient de sécurité \(s\). \[ \sigma_{adm} = \frac{R_e}{s} \] ### Vocabulaire * **Traction simple :** Sollicitation où une pièce est étirée par des forces axiales opposées. * **Contrainte normale (\(\sigma\)) :** Force interne par unité de surface agissant perpendiculairement à la section. * **Déformation relative (\(\varepsilon\)) :** Allongement par unité de longueur. * **Module d'Young (\(E\)) :** Caractéristique de rigidité d'un matériau. * **Limite élastique (\(R_e\)) :** Contrainte au-delà de laquelle le matériau subit une déformation permanente. * **Contrainte admissible (\(\sigma_{adm}\)) :** Contrainte maximale que le matériau peut supporter en toute sécurité. * **Coefficient de sécurité (\(s\)) :** Facteur utilisé pour dimensionner les pièces afin de garantir une marge de sécurité. ### Exemples #### Exemple 1 : Calcul de contrainte Une barre cylindrique en acier de diamètre \(10\ mm\) est soumise à une force de traction de \(15\ kN\). 1. **Calcul de l'aire de la section droite (\(A\)) :** * Rayon \(r = 10\ mm / 2 = 5\ mm\) * \(A = \pi r^2 = \pi (5\ mm)^2 = 25\pi\ mm^2 \approx 78.54\ mm^2\) 2. **Calcul de la contrainte normale (\(\sigma\)) :** * \(F = 15\ kN = 15000\ N\) * \(\sigma = \frac{F}{A} = \frac{15000\ N}{78.54\ mm^2} \approx 190.98\ N/mm^2 \approx 191\ MPa\) #### Exemple 2 : Calcul d'allongement Reprenons la barre de l'exemple 1. Sa longueur initiale est de \(500\ mm\). Le module d'Young de l'acier est \(E = 200\ GPa\) (soit \(200\ 000\ N/mm^2\)). 1. **Calcul de l'allongement total (\(\Delta L\)) :** * \(\Delta L = \frac{F \cdot L_0}{A \cdot E} = \frac{15000\ N \cdot 500\ mm}{78.54\ mm^2 \cdot 200000\ N/mm^2}\) * \(\Delta L = \frac{7500000}{15708000} \approx 0.477\ mm\) La barre s'allonge d'environ \(0.477\ mm\). #### Exemple 3 : Vérification de la condition de résistance Si la limite élastique de l'acier est \(R_e = 350\ MPa\) et le coefficient de sécurité requis est \(s = 1.5\). 1. **Calcul de la contrainte admissible (\(\sigma_{adm}\)) :** * \(\sigma_{adm} = \frac{R_e}{s} = \frac{350\ MPa}{1.5} \approx 233.33\ MPa\) 2. **Vérification :** * La contrainte calculée \(\sigma = 191\ MPa\). * \(191\ MPa \le 233.33\ MPa\). * La condition de résistance est respectée, la barre peut supporter la charge en toute sécurité. ### Exercices 1. Une sangle de remorquage en nylon de section rectangulaire \(50\ mm \times 5\ mm\) est utilisée pour tirer une voiture avec une force de \(8\ kN\). Calculez la contrainte normale dans la sangle. (Donnée : \(1\ kN = 1000\ N\)) 2. Un câble en aluminium de diamètre \(8\ mm\) et de longueur \(10\ m\) est soumis à une force de traction de \(2\ kN\). Sachant que le module d'Young de l'aluminium est \(E = 70\ GPa\), calculez l'allongement total du câble. 3. Un tirant en acier est dimensionné pour supporter une force de \(25\ kN\) en traction simple. Si la limite élastique de l'acier est de \(300\ MPa\) et que l'on applique un coefficient de sécurité de \(2\), quelle est l'aire minimale de la section droite que doit posséder ce tirant pour être sûr ? ### Devoir 1. Un tube carré creux en laiton (côté extérieur \(40\ mm\), épaisseur \(2\ mm\)) d'une longueur de \(2\ m\) est utilisé comme tirant. Il supporte une charge de \(12\ kN\). Le module d'Young du laiton est \(E = 100\ GPa\) et sa limite élastique est de \(250\ MPa\). Le coefficient de sécurité requis est de \(1.8\). a. Calculez l'aire de la section droite du tube. b. Déterminez la contrainte normale dans le tube. c. Calculez l'allongement total du tube. d. Vérifiez si la condition de résistance est respectée. 2. Expliquez l'importance du coefficient de sécurité en ingénierie et donnez un exemple de situation où un coefficient de sécurité élevé serait justifié. ### Résumé Dans cette leçon, nous avons exploré la traction simple, une sollicitation fondamentale en mécanique. Nous avons appris que : * La **contrainte normale (\(\sigma\))** est la force par unité de surface, calculée par \(\sigma = \frac{F}{A}\). * La **déformation relative (\(\varepsilon\))** est l'allongement par unité de longueur, donnée par \(\varepsilon = \frac{\Delta L}{L_0}\). * La **loi de Hooke** relie contrainte et déformation via le **module d'Young (\(E\))** : \(\sigma = E \cdot \varepsilon\). * L'**allongement total** peut être calculé par \(\Delta L = \frac{F \cdot L_0}{A \cdot E}\). * La **condition de résistance** exige que la contrainte calculée ne dépasse pas la contrainte admissible (\(\sigma_{adm} = \frac{R_e}{s}\)). Ces principes sont essentiels pour la conception et la vérification des structures afin d'assurer leur sécurité et leur fiabilité. La prochaine fois, nous aborderons d'autres types de sollicitations. ## Pièce soumise à la compression centrée ### Introduction Bienvenue dans cette leçon dédiée à l'étude des pièces soumises à la compression centrée en mécanique appliquée. Comprendre comment les matériaux réagissent sous des charges axiales est fondamental pour la conception et la justification des structures. Nous allons explorer les concepts clés de la compression, les contraintes internes générées, et comment vérifier la résistance d'une pièce face à ce type de sollicitation. Bien que cette leçon se concentre sur la compression centrée où les efforts tranchants sur les sections droites sont nuls, il est crucial de maîtriser ces bases avant d'aborder des sollicitations plus complexes impliquant des efforts tranchants. ### Concepts Clés #### 1. Qu'est-ce que la Compression Centrée ? La compression centrée est un type de sollicitation où une pièce est soumise à des forces axiales qui tendent à la raccourcir. Ces forces sont appliquées le long de l'axe longitudinal de la pièce et passent par le centre de gravité de la section transversale. Cela garantit une répartition uniforme des contraintes sur la section. * **Force axiale (N):** Force agissant le long de l'axe de la pièce. * **Centre de gravité (G):** Point d'application de la force pour une compression "centrée". #### 2. Efforts Internes Lorsqu'une pièce est soumise à des forces externes, des efforts internes apparaissent à l'intérieur de la matière pour équilibrer ces forces. Pour une compression centrée, l'effort interne principal est l'**effort normal**. * **Effort Normal (N):** Représente la résultante des forces perpendiculaires à la section de la pièce. En compression, cet effort est négatif (par convention) et tend à raccourcir la pièce. * **Effort Tranchant (T):** Dans le cas idéal de la compression centrée pure, l'effort tranchant sur une section droite est théoriquement nul. Il représente les forces parallèles à la section qui tendent à faire glisser une partie de la pièce par rapport à l'autre. Nous verrons son importance dans d'autres types de sollicitations. * **Moment Fléchissant (Mf) et Moment de Torsion (Mt):** Également nuls dans le cas d'une compression centrée pure, ces moments sont associés respectivement à la flexion et à la torsion de la pièce. #### 3. Contraintes Normales La contrainte normale (\( \sigma \)) est la force interne par unité de surface agissant perpendiculairement à la section de la pièce. C'est la mesure de l'intensité de ces forces internes à un point donné. * **Formule de la Contrainte Normale en Compression Centrée:** La contrainte normale \( \sigma \) est calculée comme le rapport de l'effort normal \( N \) à l'aire de la section transversale \( A \). \[ \sigma = \frac{|N|}{A} \] * \( \sigma \): Contrainte normale (en Pascals (Pa) ou Mégapascals (MPa)) * \( N \): Effort normal (en Newtons (N)) * \( A \): Aire de la section transversale (en mètres carrés (m²)) #### 4. Justification de la Résistance Pour qu'une pièce résiste à la compression, la contrainte normale calculée ne doit pas dépasser une certaine valeur, appelée la **contrainte admissible** ou **résistance pratique** du matériau (\( R_p \) ou \( R_{pe} \)). * **Condition de Résistance:** \[ \sigma \le R_p \] * \( R_p \) (ou \( R_{pe} \) pour Résistance Pratique à l'Élasticité) est une caractéristique du matériau, généralement donnée en MPa. Elle est souvent déterminée à partir de la limite d'élasticité (\( R_e \)) ou de la résistance à la rupture (\( R_m \)) du matériau, divisée par un coefficient de sécurité \( s \). \[ R_p = \frac{R_e}{s} \] ou \[ R_p = \frac{R_m}{s} \] (pour matériaux fragiles) ### Vocabulaire * **Compression Centrée:** Sollicitation d'une pièce par des forces axiales passant par le centre de gravité de sa section. * **Effort Normal (N):** Force interne perpendiculaire à la section, tendant à allonger ou raccourcir la pièce. Négatif en compression. * **Effort Tranchant (T):** Force interne parallèle à la section, tendant à cisailler la pièce. * **Contrainte Normale (\( \sigma \)):** Intensité de l'effort normal par unité de surface. \( \sigma = N/A \). * **Contrainte Admissible (\( R_p \)):** Valeur maximale de contrainte que le matériau peut supporter en toute sécurité. * **Section Transversale:** La surface de coupe d'une pièce, perpendiculaire à son axe longitudinal. * **Limite d'Élasticité (\( R_e \)):** Contrainte au-delà de laquelle le matériau subit des déformations permanentes. * **Coefficient de Sécurité (s):** Facteur appliqué pour garantir que la structure ou la pièce ne tombe pas en panne, en tenant compte des incertitudes. ### Exemples #### Exemple 1: Calcul de la Contrainte Une colonne cylindrique en acier de diamètre \( D = 100 \text{ mm} \) est soumise à une charge axiale de compression \( N = 150 \text{ kN} \). 1. **Calculer l'aire de la section transversale:** \( A = \frac{\pi D^2}{4} = \frac{\pi (0.1 \text{ m})^2}{4} = 0.007854 \text{ m}^2 \) 2. **Calculer la contrainte normale:** \( \sigma = \frac{|N|}{A} = \frac{150 \times 10^3 \text{ N}}{0.007854 \text{ m}^2} \approx 19.098 \times 10^6 \text{ Pa} = 19.10 \text{ MPa} \) La contrainte normale dans la colonne est de \( 19.10 \text{ MPa} \). #### Exemple 2: Justification de Résistance Reprenons la colonne de l'Exemple 1. L'acier utilisé a une limite d'élasticité \( R_e = 235 \text{ MPa} \) et on applique un coefficient de sécurité \( s = 1.5 \). 1. **Calculer la contrainte admissible (\( R_p \)):** \( R_p = \frac{R_e}{s} = \frac{235 \text{ MPa}}{1.5} \approx 156.67 \text{ MPa} \) 2. **Comparer la contrainte calculée à la contrainte admissible:** \( \sigma = 19.10 \text{ MPa} \) \( R_p = 156.67 \text{ MPa} \) Comme \( \sigma \le R_p \) (\( 19.10 \text{ MPa} \le 156.67 \text{ MPa} \)), la colonne est **justifiée** en compression centrée ; elle résistera à la charge sans déformation permanente. ### Exercices 1. Un poteau carré de côté \( a = 200 \text{ mm} \) en béton est soumis à une charge axiale de \( 500 \text{ kN} \). Calculer la contrainte normale dans le poteau. (Réponse : \( 12.5 \text{ MPa} \)) 2. Une bielle en alliage d'aluminium (\( R_p = 250 \text{ MPa} \)) de section circulaire pleine de diamètre \( 30 \text{ mm} \) doit supporter une charge de compression de \( 120 \text{ kN} \). La bielle est-elle suffisamment dimensionnée ? Justifier par un calcul. (Réponse : Non, \( \sigma \approx 169.77 \text{ MPa} \le 250 \text{ MPa} \), donc oui elle est suffisamment dimensionnée.) ### Devoirs 1. Une poutre en bois rectangulaire de section \( 150 \text{ mm} \times 250 \text{ mm} \) est utilisée comme poteau et supporte une charge de compression de \( 300 \text{ kN} \). Le bois a une résistance pratique à la compression de \( R_p = 10 \text{ MPa} \). * Calculer la contrainte normale dans le poteau. * Vérifier si le poteau est justifié. * Si le poteau n'est pas justifié, proposer une nouvelle dimension pour la largeur (en gardant la hauteur) pour qu'il le soit, en respectant un minimum de \( R_p \). 2. Rechercher la différence entre la compression centrée et la compression excentrée. Expliquer en quoi l'excentration de la charge peut introduire des efforts tranchants et des moments fléchissants, même si la charge est axiale. ### Résumé Dans cette leçon, nous avons exploré la compression centrée, une sollicitation fondamentale en mécanique. Les points clés à retenir sont : * La compression centrée implique une force axiale passant par le centre de gravité de la section. * L'effort interne principal est l'**effort normal** \( N \), tandis que l'effort tranchant et les moments sont nuls sur les sections droites pour une compression *centrée pure*. * La **contrainte normale** \( \sigma \) est calculée par la formule \[ \sigma = \frac{|N|}{A} \]. * La **justification de résistance** est vérifiée en s'assurant que \( \sigma \le R_p \), où \( R_p \) est la contrainte admissible du matériau. * Comprendre ces principes est essentiel pour dimensionner correctement les pièces et garantir la sécurité des structures. ## Vérification de la contrainte tangentielle ### Introduction Bienvenue à cette leçon sur la vérification de la contrainte tangentielle! En mécanique appliquée, il est essentiel de s'assurer que les éléments de structure, tels que les poutres, les arbres ou les assemblages, peuvent supporter les charges qui leur sont appliquées sans défaillance. Aujourd'hui, nous allons nous concentrer sur la contrainte tangentielle, également appelée contrainte de cisaillement, qui est générée par l'effort tranchant. Comprendre comment calculer et vérifier cette contrainte est crucial pour garantir la sécurité et la durabilité des constructions. ### Concepts Clés #### 1. Qu'est-ce que la contrainte tangentielle ? La contrainte tangentielle (ou contrainte de cisaillement), notée \( \tau \) (tau), est une contrainte qui agit parallèlement à la surface d'un matériau. Contrairement à la contrainte normale (qui agit perpendiculairement), la contrainte tangentielle tend à faire glisser ou à cisailler une partie du matériau par rapport à une autre. #### 2. L'effort tranchant (V) L'effort tranchant, noté \( V \) ou \( T \) (pour "tranchant"), est la résultante des forces extérieures agissant perpendiculairement à l'axe longitudinal d'une poutre ou d'un élément structurel. C'est cet effort qui est à l'origine de la contrainte tangentielle. Il est exprimé en Newtons (N) ou en kiloNewtons (kN). #### 3. Calcul de la contrainte tangentielle moyenne Pour une section droite donnée, la contrainte tangentielle moyenne \( \tau_{moy} \) est calculée par la formule suivante : \[ \tau_{moy} = \frac{V}{A} \] Où : * \( \tau_{moy} \) est la contrainte tangentielle moyenne (en Pascals, Pa, ou MégaPascals, MPa). * \( V \) est l'effort tranchant agissant sur la section (en Newtons, N). * \( A \) est l'aire de la section transversale (en mètres carrés, \( m^2 \)). Il est important de noter que cette formule donne une valeur moyenne. La distribution réelle de la contrainte tangentielle n'est pas uniforme sur la section, en particulier pour les poutres. #### 4. Distribution de la contrainte tangentielle La contrainte tangentielle n'est généralement pas uniformément répartie sur la section. Sa valeur maximale se trouve souvent au centre de gravité de la section pour les formes simples (comme un rectangle ou un cercle) et dans l'âme pour les profilés en I. * **Pour une section rectangulaire (largeur b, hauteur h) :** * La contrainte tangentielle est nulle sur les bords supérieur et inférieur. * Elle est maximale au centre de la hauteur (axe neutre). * La formule de la contrainte tangentielle maximale est : \[ \tau_{max} = 1.5 \times \frac{V}{A} \] * **Pour un profilé en I ou H :** * La majeure partie de l'effort tranchant est reprise par l'âme du profilé. * La contrainte tangentielle maximale se situe généralement au niveau de l'axe neutre dans l'âme. * Une simplification courante pour les profilés en I/H est de considérer que l'aire de l'âme seule résiste à l'effort tranchant, d'où \( \tau_{moy,âme} = \frac{V}{A_{âme}} \). #### 5. Contrainte tangentielle admissible (\( \tau_{adm} \)) La contrainte tangentielle admissible est la contrainte maximale que le matériau peut supporter en toute sécurité sans subir de déformation permanente excessive ou de rupture. Elle est déterminée en divisant la limite d'élasticité au cisaillement (ou la résistance à la rupture au cisaillement) du matériau par un coefficient de sécurité. \[ \tau_{adm} = \frac{R_{egc}}{s} \] ou \[ \tau_{adm} = \frac{R_{gc}}{s} \] Où : * \( R_{egc} \) est la limite d'élasticité au cisaillement. * \( R_{gc} \) est la résistance à la rupture au cisaillement. * \( s \) est le coefficient de sécurité (valeur supérieure à 1, dépendant de l'application et des normes). #### 6. Condition de vérification Pour qu'un élément structurel soit considéré comme sûr vis-à-vis de l'effort tranchant, la contrainte tangentielle maximale calculée ne doit pas dépasser la contrainte tangentielle admissible du matériau : \[ \tau_{max} \le \tau_{adm} \] Si cette condition n'est pas respectée, l'élément est sous-dimensionné et risque de céder au cisaillement. Il faut alors modifier les dimensions de la section ou choisir un matériau plus résistant. ### Vocabulaire * **Contrainte tangentielle (\( \tau \)) :** Force par unité de surface agissant parallèlement à la surface, tendant à cisailler le matériau. * **Effort tranchant (V) :** Force interne résultant des forces extérieures, agissant perpendiculairement à l'axe longitudinal de l'élément. * **Section droite (A) :** Surface de la coupe transversale d'un élément structurel. * **Contrainte admissible (\( \tau_{adm} \)) :** Contrainte maximale que le matériau peut supporter en toute sécurité. * **Coefficient de sécurité (s) :** Facteur utilisé pour garantir la sécurité d'une structure, en divisant la résistance du matériau par ce facteur. * **Axe neutre :** Axe de la section où la contrainte normale de flexion est nulle. Souvent l'axe où la contrainte tangentielle est maximale pour les poutres. ### Exemples #### Exemple 1 : Poutre rectangulaire Une poutre en acier de section rectangulaire de 100 mm de largeur (b) et 200 mm de hauteur (h) est soumise à un effort tranchant maximal de 50 kN. L'acier a une contrainte tangentielle admissible \( \tau_{adm} = 100 \text{ MPa} \). 1. **Calcul de l'aire de la section (A) :** \( A = b \times h = 0.100 \text{ m} \times 0.200 \text{ m} = 0.02 \text{ m}^2 \) 2. **Calcul de l'effort tranchant V en Newtons :** \( V = 50 \text{ kN} = 50 \times 10^3 \text{ N} \) 3. **Calcul de la contrainte tangentielle maximale (\( \tau_{max} \)) pour une section rectangulaire :** \( \tau_{max} = 1.5 \times \frac{V}{A} = 1.5 \times \frac{50 \times 10^3 \text{ N}}{0.02 \text{ m}^2} = 1.5 \times 2.5 \times 10^6 \text{ Pa} = 3.75 \times 10^6 \text{ Pa} \) \( \tau_{max} = 3.75 \text{ MPa} \) 4. **Vérification de la condition :** \( \tau_{max} = 3.75 \text{ MPa} \) \( \tau_{adm} = 100 \text{ MPa} \) Comme \( 3.75 \text{ MPa} \le 100 \text{ MPa} \), la condition est respectée. La poutre est sécuritaire vis-à-vis de l'effort tranchant. ### Exercices 1. Une tôle d'acier de 5 mm d'épaisseur est soumise à un effort de cisaillement de 12 kN le long d'une ligne de 250 mm de long. Calculez la contrainte tangentielle moyenne dans la tôle. 2. Une poutre en bois de section carrée de 150 mm de côté est soumise à un effort tranchant de 30 kN. La contrainte tangentielle admissible du bois est de 8 MPa. a. Calculez la contrainte tangentielle maximale dans la poutre. b. Vérifiez si la poutre est conforme à la contrainte admissible. ### Devoir 1. Un profilé en IPE 300 est utilisé comme poutre. Les caractéristiques de sa section sont les suivantes : * Hauteur totale \( h = 300 \text{ mm} \) * Largeur de l'aile \( b_f = 150 \text{ mm} \) * Épaisseur de l'âme \( t_w = 7.1 \text{ mm} \) * Épaisseur de l'aile \( t_f = 10.7 \text{ mm} \) * Aire de la section \( A = 53.8 \text{ cm}^2 \) La poutre est soumise à un effort tranchant maximal de 120 kN. Pour simplifier, on estimera la contrainte tangentielle dans l'âme en considérant que l'aire de l'âme seule reprend l'effort tranchant. L'âme peut être approximée comme un rectangle de hauteur \( h_w = h - 2t_f \) et de largeur \( t_w \). * Calculez l'aire de l'âme (\( A_{âme} \)). * Calculez la contrainte tangentielle moyenne dans l'âme (\( \tau_{âme} \)). * Sachant que la contrainte tangentielle admissible de l'acier est de 165 MPa, vérifiez si la poutre est adéquate. 2. Expliquez en vos propres mots pourquoi il est important de considérer la distribution de la contrainte tangentielle (et pas seulement la moyenne) pour les calculs de vérification des éléments structurels. ### Résumé En résumé, la vérification de la contrainte tangentielle est une étape fondamentale dans la conception et l'analyse des structures. Nous avons appris que : * La contrainte tangentielle (\( \tau \)) est causée par l'effort tranchant (V) et agit parallèlement à la surface. * La contrainte tangentielle moyenne est calculée par la formule \[ \tau_{moy} = \frac{V}{A} \]. * Pour les sections rectangulaires, la contrainte maximale est \( \tau_{max} = 1.5 \times \frac{V}{A} \). * La contrainte tangentielle admissible (\( \tau_{adm} \)) dépend du matériau et d'un coefficient de sécurité. * La condition de vérification essentielle est \[ \tau_{max} \le \tau_{adm} \] pour assurer la sécurité de l'élément. Maîtriser ces concepts vous permettra de dimensionner et de vérifier de manière appropriée les composants structurels afin qu'ils résistent aux sollicitations d'effort tranchant. ## Détermination des armatures d’âmes ### Introduction Dans le domaine de la Mécanique Appliquée, spécifiquement en génie civil et en béton armé, la détermination des armatures d’âmes est une étape cruciale pour assurer la sécurité et la durabilité des structures. Cette leçon vous guidera à travers les concepts fondamentaux de l'effort tranchant et la méthode de calcul des armatures nécessaires pour y résister. Comprendre ces principes est essentiel pour dimensionner correctement des poutres et autres éléments structurels en béton armé. ### Concepts Clés #### L'effort tranchant L'effort tranchant, noté \( V_u \) (ou \( V_{Ed} \) selon les normes), est une sollicitation interne qui tend à cisailler un élément structurel. Il est maximal près des appuis d'une poutre et diminue vers le milieu de la portée. Il est généré par les charges appliquées perpendiculairement à l'axe de la poutre. #### Résistance du béton au cisaillement Le béton seul possède une certaine capacité à résister à l'effort tranchant, mais elle est généralement insuffisante pour les charges courantes, surtout en présence de fortes contraintes. Au-delà d'une certaine valeur, des fissures obliques apparaissent, signalant la nécessité d'un renforcement. #### Nécessité des armatures d'âmes Lorsque l'effort tranchant appliqué \( V_u \) dépasse la résistance propre du béton \( V_{Rd,c} \), il est impératif d'ajouter des armatures d'âmes. Ces armatures, souvent appelées étriers, cadres ou épingles, sont des barres d'acier disposées perpendiculairement ou obliquement à l'axe longitudinal de la poutre. Leur rôle est de reprendre les efforts de cisaillement et d'empêcher la fissuration diagonale et la rupture fragile du béton. #### Calcul des armatures d'âmes La détermination des armatures d'âmes implique plusieurs étapes et l'application de formules spécifiques selon les normes (par exemple, l'Eurocode 2). ##### Justification de l'effort tranchant On doit vérifier que la contrainte de cisaillement ne dépasse pas une valeur limite. La vérification principale est que \( V_{Ed} \) (effort tranchant de calcul) doit être inférieur ou égal à \( V_{Rd} \) (résistance de calcul de l'élément). ##### Formule de calcul des armatures d’âmes La surface d'armatures d'âmes par unité de longueur \( \frac{A_{sw}}{s} \) requise est déterminée par la formule: \[ \frac{A_{sw}}{s} = \frac{V_{Ed} - V_{Rd,c}}{0.9 d f_{ywd} (cot \theta + cot \alpha) sin \alpha} \] Où: * \( A_{sw} \) est la section d'une nappe d'armatures d'âmes (par exemple, 2 branches d'un étrier). * \( s \) est l'espacement des armatures d'âmes le long de la poutre. * \( V_{Ed} \) est l'effort tranchant de calcul. * \( V_{Rd,c} \) est la contribution du béton à la résistance à l'effort tranchant. * \( d \) est la hauteur utile de la section. * \( f_{ywd} \) est la limite élastique de calcul de l'acier des armatures d'âmes. * \( \theta \) est l'angle d'inclinaison des bielles de compression du béton (généralement entre 21,8° et 45°). * \( \alpha \) est l'angle d'inclinaison des armatures d'âmes par rapport à l'axe de la poutre (90° pour les étriers verticaux). Pour les étriers verticaux (\( \alpha = 90° \) et \( sin \alpha = 1 \)) et si \( V_{Rd,c} \) est négligé (approche sécuritaire): \[ \frac{A_{sw}}{s} = \frac{V_{Ed}}{0.9 d f_{ywd} cot \theta} \] ##### Contraintes d'espacement minimal et maximal Les normes imposent des espacements minimaux et maximaux \( s_{max} \) pour garantir l'efficacité des armatures et le bon enrobage du béton. Typiquement, \( s_{max} \) est limité à \( 0.75d \) ou une valeur absolue (par exemple, 300 mm ou 400 mm). #### Coefficients de sécurité Des coefficients de sécurité sont appliqués aux charges (\( \gamma_f \)) et aux résistances des matériaux (\( \gamma_c \) pour le béton, \( \gamma_s \) pour l'acier) pour prendre en compte les incertitudes et garantir un niveau de sécurité adéquat. Par exemple, \( \gamma_s = 1.15 \) pour l'acier et \( \gamma_c = 1.5 \) pour le béton dans les situations de projet courantes. ### Vocabulaire * **Armatures d'âmes**: Barres d'acier transversales (étriers, cadres, épingles) destinées à reprendre l'effort tranchant. * **Effort tranchant (\( V_u \) ou \( V_{Ed} \))**: Sollicitation interne qui tend à cisailler une section d'un élément structurel. * **Béton armé**: Matériau composite constitué de béton et d'armatures en acier, travaillant ensemble pour résister aux diverses sollicitations. * **Fissuration diagonale**: Apparition de fissures inclinées dans l'âme d'une poutre sous l'effet de l'effort tranchant. * **Hauteur utile (\( d \))**: Distance entre la fibre la plus comprimée de la section et le centre de gravité des armatures tendues longitudinales. * **Étriers, cadres, épingles**: Différentes formes d'armatures d'âmes. * **Bielle de compression**: Trajectoire des contraintes de compression dans le béton modélisée par un treillis lors de l'étude de l'effort tranchant. ### Exemples #### Exemple 1: Calcul de l'espacement Une poutre en béton armé a un effort tranchant de calcul \( V_{Ed} = 250 \text{ kN} \), une hauteur utile \( d = 600 \text{ mm} \) et une largeur d'âme \( b_w = 300 \text{ mm} \). On utilise des étriers \( \text{2} \Phi \text{10} \) (deux branches de \( \text{10 mm} \) de diamètre, donc \( A_{sw} = 2 \times \frac{\pi \times 10^2}{4} = 157 \text{ mm}^2 \)). L'acier a une limite élastique de calcul \( f_{ywd} = 435 \text{ MPa} \). On prend \( \cot \theta = 2.5 \) et on néglige \( V_{Rd,c} \). En utilisant la formule simplifiée: \[ \frac{A_{sw}}{s} = \frac{V_{Ed}}{0.9 d f_{ywd} cot \theta} \] Nous cherchons \( s \): \[ s = \frac{A_{sw} \times 0.9 d f_{ywd} \times cot \theta}{V_{Ed}} \] \[ s = \frac{157 \text{ mm}^2 \times 0.9 \times 600 \text{ mm} \times 435 \text{ N/mm}^2 \times 2.5}{250 \times 10^3 \text{ N}} \] \[ s \approx 369 \text{ mm} \] En respectant les règles de l'art et les \( s_{max} \) normatifs (par exemple \( 0.75d = 0.75 \times 600 = 450 \text{ mm} \) et \( 300 \text{ mm} \) ou \( 400 \text{ mm} \) pour les poutres), on pourrait choisir un espacement de \( 350 \text{ mm} \) ou \( 300 \text{ mm} \) pour plus de sécurité. #### Exemple 2: Vérification d'une section Une section est armée avec des étriers \( \text{2} \Phi \text{8} \) espacés de \( 200 \text{ mm} \). \( d = 450 \text{ mm} \), \( f_{ywd} = 435 \text{ MPa} \), \( \cot \theta = 2.0 \). Quel effort tranchant résistant peut reprendre cette section (en négligeant \( V_{Rd,c} \))? \[ A_{sw} = 2 \times \frac{\pi \times 8^2}{4} = 100.5 \text{ mm}^2 \] \[ V_{Rd,s} = \frac{A_{sw}}{s} \times 0.9 d f_{ywd} \times cot \theta \] \[ V_{Rd,s} = \frac{100.5 \text{ mm}^2}{200 \text{ mm}} \times 0.9 \times 450 \text{ mm} \times 435 \text{ N/mm}^2 \times 2.0 \] \[ V_{Rd,s} \approx 176500 \text{ N} \approx 176.5 \text{ kN} \] Cette section peut reprendre un effort tranchant de calcul allant jusqu'à \( 176.5 \text{ kN} \). ### Exercices 1. Définissez l'effort tranchant et expliquez pourquoi il est essentiel de le prendre en compte dans le dimensionnement des poutres en béton armé. 2. Décrivez le rôle des armatures d'âmes et nommez trois types courants d'armatures d'âmes. 3. Une poutre a un effort tranchant de calcul \( V_{Ed} = 180 \text{ kN} \), \( d = 500 \text{ mm} \), et utilise des étriers \( \text{2} \Phi \text{8} \). L'acier a \( f_{ywd} = 435 \text{ MPa} \). En prenant \( \cot \theta = 2.5 \) et en négligeant \( V_{Rd,c} \), calculez l'espacement nécessaire pour ces armatures. (\( A_{sw} \) pour \( \text{2} \Phi \text{8} \) est \( 100.5 \text{ mm}^2 \)) 4. Quels sont les facteurs de sécurité utilisés pour le béton et l'acier dans les calculs de béton armé selon l'Eurocode 2 (valeurs courantes)? ### Devoirs 1. Recherchez les valeurs de \( V_{Rd,c} \) (contribution du béton à la résistance à l'effort tranchant) selon l'Eurocode 2 et expliquez comment cette valeur est calculée en fonction de la résistance caractéristique du béton et du pourcentage d'armatures longitudinales. 2. Une poutre de 7 m de portée est soumise à une charge uniforme répartie \( q = 30 \text{ kN/m} \). Dessinez le diagramme de l'effort tranchant et déterminez l'effort tranchant maximal. Si \( d = 650 \text{ mm} \), \( b_w = 300 \text{ mm} \), \( f_{ywd} = 435 \text{ MPa} \), \( \cot \theta = 2.0 \) et \( V_{Rd,c} = 0 \), calculez la surface \( \frac{A_{sw}}{s} \) requise aux appuis. Proposez ensuite un diamètre et un espacement d'étriers (par exemple, \( \text{2} \Phi \text{8} \) ou \( \text{2} \Phi \text{10} \)). 3. Expliquez l'importance de l'ancrage des armatures d'âmes dans les poutres. ### Résumé La détermination des armatures d’âmes est une étape essentielle en béton armé pour prévenir la rupture fragile par cisaillement. L'effort tranchant \( V_{Ed} \) doit être repris par la contribution du béton \( V_{Rd,c} \) et surtout par les armatures d'âmes \( V_{Rd,s} \). La formule clé \( \frac{A_{sw}}{s} = \frac{V_{Ed}}{0.9 d f_{ywd} cot \theta} \) permet de calculer la section d'armatures par unité de longueur nécessaire. Il est crucial de respecter les espacements normatifs et d'appliquer les coefficients de sécurité appropriés pour garantir la robustesse et la sécurité des structures en béton armé.