DYNAMIQUE

# DYNAMIQUE ## Loi fondamentale de la dynamique ### Introduction Bienvenue dans cette leçon consacrée à la Loi fondamentale de la dynamique, également connue sous le nom de Seconde Loi de Newton. Cette loi est l'une des pierres angulaires de la mécanique classique et elle est essentielle pour comprendre comment les forces influencent le mouvement des objets. Nous explorerons la relation directe entre la force appliquée à un corps, sa masse et l'accélération qu'il subit. Préparez-vous à démystifier les causes du mouvement! ### Concepts Clés #### La Force Une force est une action capable de modifier le mouvement d'un corps (accélération, décélération, changement de direction) ou de le déformer. C'est une grandeur vectorielle, ce qui signifie qu'elle possède une magnitude (intensité), une direction et un sens. * **Unité:** Le Newton (N), en hommage à Isaac Newton. * **Représentation:** Une force est représentée par un vecteur partant du point d'application. #### La Loi Fondamentale de la Dynamique (Seconde Loi de Newton) Cette loi stipule que la somme vectorielle des forces extérieures appliquées à un corps est égale au produit de sa masse par l'accélération qu'il acquiert. * **Formule:** \[ \sum \vec{F}_{\text{ext}} = m \cdot \vec{a} \] Où: * `\(\sum \vec{F}_{\text{ext}}\) ` représente la somme vectorielle (résultante) de toutes les forces extérieures appliquées au corps (en Newtons, N). * `\(m\)` est la masse du corps (en kilogrammes, kg). * `\(\vec{a}\)` est l'accélération du corps (en mètres par seconde carrée, `\(m/s^2\)`). * **Conséquences:** * **Inertie (Première Loi de Newton):** Si la somme des forces extérieures est nulle (`\(\sum \vec{F}_{\text{ext}} = \vec{0}\)`), alors l'accélération est nulle (`\(\vec{a} = \vec{0}\)`). Cela signifie que le corps est soit au repos, soit en mouvement rectiligne uniforme. * **Relation directe:** Plus la force résultante est grande, plus l'accélération est grande (pour une masse donnée). * **Relation inverse:** Plus la masse est grande, plus l'accélération est faible (pour une force résultante donnée). * **Direction:** Le vecteur accélération a toujours la même direction et le même sens que le vecteur force résultante. #### Masse et Poids Il est crucial de distinguer la masse du poids, deux concepts souvent confondus dans le langage courant. * **Masse (`\(m\)`):** * Mesure de la quantité de matière contenue dans un corps et de son inertie (sa résistance à changer son état de mouvement). * C'est une grandeur scalaire. * Son unité est le kilogramme (kg). * Sa valeur est intrinsèque au corps et ne change pas, peu importe l'endroit dans l'univers (en mécanique classique). * **Poids (`\(\vec{P}\)`):** * C'est la force d'attraction gravitationnelle exercée par un astre (comme la Terre) sur un corps. * C'est une grandeur vectorielle, dirigée vers le centre de l'astre. * Son unité est le Newton (N). * Sa valeur dépend de la masse du corps et de l'intensité du champ de pesanteur (`\(\vec{g}\)`) de l'endroit où il se trouve. * **Formule:** \[ \vec{P} = m \cdot \vec{g} \] Où `\(\vec{g}\)` est l'accélération de la pesanteur (environ `\(9.81 \, m/s^2\)` à la surface de la Terre). #### Types de Forces Courantes * **Force de gravité (Poids):** `\(\vec{P} = m \cdot \vec{g}\)`. Toujours dirigée vers le bas. * **Force normale (Réaction d'appui):** Force exercée par une surface sur un objet en contact, perpendiculaire à la surface. Souvent notée `\(\vec{N}\)` ou `\(\vec{R}\)`. * **Force de frottement:** Force qui s'oppose au mouvement ou à la tendance au mouvement entre deux surfaces en contact. Elle est parallèle à la surface. * **Frottement statique (`\(\vec{f}_s\)`):** Empêche le mouvement. * **Frottement cinétique (`\(\vec{f}_c\)`):** S'oppose au mouvement une fois qu'il est initié. `\(f_c = \mu_c \cdot N\)` où `\(\mu_c\)` est le coefficient de frottement cinétique. * **Tension:** Force exercée par une corde, un câble ou un fil tendu. Dirigée le long du fil. ### Vocabulaire Clé * **Dynamique:** Branche de la mécanique qui étudie les causes du mouvement. * **Force:** Action capable de modifier l'état de mouvement d'un corps ou de le déformer. * **Vecteur:** Grandeur possédant une magnitude, une direction et un sens. * **Masse:** Mesure de l'inertie d'un corps, quantité de matière (kg). * **Poids:** Force de gravité exercée sur un corps (N). * **Accélération:** Taux de variation de la vitesse d'un corps (`\(m/s^2\)`). * **Inertie:** Propriété d'un corps à résister à tout changement de son état de mouvement. * **Newton (N):** Unité de force dans le Système International. * **Frottement:** Force qui s'oppose au mouvement relatif entre des surfaces en contact. * **Réaction normale:** Force exercée par une surface, perpendiculairement à celle-ci. ### Exemples d'Application #### Exemple 1: Chute Libre Un objet de masse `\(m = 2 \, kg\)` est laissé tomber du repos. On néglige la résistance de l'air. Quelle est son accélération? 1. **Identifier les forces:** La seule force agissant sur l'objet est son poids `\(\vec{P}\)`. 2. **Appliquer la LFD:** `\(\sum \vec{F}_{\text{ext}} = m \cdot \vec{a}\)`. Ici, `\(\vec{P} = m \cdot \vec{a}\)`. 3. **Calcul:** On sait que `\(\vec{P} = m \cdot \vec{g}\)`. Donc `\(m \cdot \vec{g} = m \cdot \vec{a}\)`. En simplifiant la masse, on obtient `\(\vec{a} = \vec{g}\)`. L'accélération de l'objet est `\(a = g \approx 9.81 \, m/s^2\)`, dirigée vers le bas. #### Exemple 2: Bloc glissant sur une surface horizontale Un bloc de `\(5 \, kg\)` est tiré horizontalement par une force de `\(20 \, N\)` sur une surface sans frottement. Quelle est l'accélération du bloc? 1. **Identifier les forces:** Poids `\(\vec{P}\)`, force normale `\(\vec{N}\)`, et force de traction `\(\vec{F}_{\text{traction}}\) `. 2. **Décomposer:** * Sur l'axe vertical, `\(\sum F_y = N - P = 0\)` (pas de mouvement vertical). Donc `\(N = P = m \cdot g = 5 \cdot 9.81 = 49.05 \, N\)`. * Sur l'axe horizontal, `\(\sum F_x = F_{\text{traction}}\) `. 3. **Appliquer la LFD:** `\(\sum F_x = m \cdot a_x\)` `\(20 \, N = 5 \, kg \cdot a_x\)` 4. **Calcul:** `\(a_x = \frac{20}{5} = 4 \, m/s^2\)` dans la direction de la force de traction. ### Exercices 1. Un wagon de `\(1500 \, kg\)` est poussé par une locomotive avec une force de `\(4500 \, N\)` sur des rails horizontaux. Quelle est l'accélération du wagon si les frottements sont négligeables? 2. Un ascenseur de masse totale `\(800 \, kg\)` (y compris les passagers) subit une accélération vers le haut de `\(1.5 \, m/s^2\)`. Quelle est la tension dans le câble de l'ascenseur? (Prenez `\(g = 9.81 \, m/s^2\)`). 3. Dessinez un diagramme de corps libre pour un livre posé sur une table inclinée à `\(30^\circ\)` par rapport à l'horizontale. Identifiez toutes les forces agissant sur le livre. (Ne calculez rien, juste le diagramme). 4. Une balle de golf de `\(0.045 \, kg\)` quitte le club de golf avec une accélération de `\(2000 \, m/s^2\)`. Quelle est la force exercée par le club sur la balle? ### Devoir 1. Un bloc de `\(10 \, kg\)` est tiré le long d'une surface horizontale par une force de `\(60 \, N\)` appliquée à un angle de `\(30^\circ\)` au-dessus de l'horizontale. Le coefficient de frottement cinétique entre le bloc et la surface est `\(\mu_c = 0.2\)` (Prenez `\(g = 9.81 \, m/s^2\)`). a. Dessinez le diagramme de corps libre du bloc. b. Calculez la force normale. c. Calculez l'accélération du bloc. 2. Deux masses `\(m_1 = 5 \, kg\)` et `\(m_2 = 3 \, kg\)` sont reliées par une corde légère passant sur une poulie sans frottement. La masse `\(m_1\)` est sur une table horizontale sans frottement, et `\(m_2\)` pend librement. a. Dessinez un diagramme de corps libre pour chaque masse. b. Déterminez l'accélération du système. c. Déterminez la tension dans la corde. 3. Recherchez et décrivez deux applications pratiques de la Loi fondamentale de la dynamique dans l'ingénierie ou la vie quotidienne (par exemple, la conception d'un véhicule, le sport, la sécurité). ### Résumé La Loi fondamentale de la dynamique, `\(\sum \vec{F}_{\text{ext}} = m \cdot \vec{a}\)`, est un principe central en physique qui décrit la relation entre les forces agissant sur un corps, sa masse et l'accélération qu'il subit. Nous avons appris à distinguer la masse du poids, à identifier différents types de forces, et à appliquer cette loi pour analyser et prédire le mouvement des objets. Maîtriser ce concept vous permettra de comprendre une multitude de phénomènes physiques, des plus simples aux plus complexes. Continuez à pratiquer pour solidifier vos connaissances! ## Quantité d’accélération ### Introduction Bienvenue à cette leçon sur la **Quantité d’accélération** en Mécanique Appliquée. En Terminale, vous avez déjà abordé les concepts de mouvement et de vitesse. Aujourd'hui, nous allons approfondir la notion d'accélération, qui est cruciale pour comprendre comment et pourquoi les objets changent de mouvement. L'accélération est une grandeur physique fondamentale qui nous permet de décrire la façon dont la vitesse d'un corps varie dans le temps, que ce soit en magnitude ou en direction. Nous explorerons sa définition, ses différentes composantes, et son lien direct avec les forces en jeu. ### Concepts Clés #### Qu'est-ce que l'Accélération ? L'accélération est la mesure du taux de changement de la vitesse d'un objet. Contrairement à la vitesse, qui est un vecteur décrivant à la fois la magnitude (rapidité) et la direction, l'accélération décrit comment ce vecteur vitesse lui-même change. * **Définition Vectorielle:** L'accélération est une grandeur vectorielle, ce qui signifie qu'elle possède une **magnitude** (valeur numérique) et une **direction**. * **Formule Générale:** Mathématiquement, l'accélération moyenne \( \vec{a}_{moy} \) est donnée par le changement de vitesse \( \Delta\vec{v} \) divisé par le temps \( \Delta t \) nécessaire à ce changement: \[ \vec{a}_{moy} = \frac{\Delta\vec{v}}{\Delta t} = \frac{\vec{v}_f - \vec{v}_i}{t_f - t_i} \] où \( \vec{v}_f \) est la vitesse finale, \( \vec{v}_i \) est la vitesse initiale, \( t_f \) est le temps final et \( t_i \) est le temps initial. * **Accélération Instantanée:** Pour un instant \( t \) donné, l'accélération instantanée \( \vec{a} \) est la dérivée de la vitesse par rapport au temps: \[ \vec{a} = \frac{d\vec{v}}{dt} \] * **Unité:** L'unité d'accélération dans le Système International (SI) est le **mètre par seconde carrée** (\( m/s^2 \)). #### Composantes de l'Accélération Dans un mouvement curviligne (où la trajectoire n'est pas une ligne droite), l'accélération peut être décomposée en deux composantes perpendiculaires : ##### 1. Accélération Tangentielle (\( a_t \)) * **Rôle:** Cette composante est responsable du **changement de la magnitude de la vitesse** (c'est-à-dire, elle fait accélérer ou ralentir l'objet). * **Direction:** Elle est toujours tangente à la trajectoire de l'objet, dans la direction du mouvement si l'objet accélère, ou opposée au mouvement si l'objet ralentit. * **Formule:** \( a_t = \frac{dv}{dt} \) (où \( v \) est la magnitude de la vitesse). ##### 2. Accélération Normale (ou Centripète) (\( a_n \)) * **Rôle:** Cette composante est responsable du **changement de la direction de la vitesse** et est présente dans tout mouvement curviligne. * **Direction:** Elle est toujours perpendiculaire à la trajectoire (normale) et pointe vers le centre de courbure de la trajectoire. * **Formule:** L'accélération normale est donnée par: \[ a_n = \frac{v^2}{R} \] où \( v \) est la magnitude de la vitesse et \( R \) est le rayon de courbure de la trajectoire à cet instant. ##### Accélération Totale Le vecteur accélération totale \( \vec{a} \) est la somme vectorielle de ses composantes tangentielle et normale : \[ \vec{a} = \vec{a}_t + \vec{a}_n \] La magnitude de l'accélération totale est donnée par le théorème de Pythagore : \[ |\vec{a}| = \sqrt{a_t^2 + a_n^2} \] #### Loi Fondamentale de la Dynamique (2ème Loi de Newton) L'accélération est directement liée à la force nette appliquée à un objet, selon la deuxième loi de Newton : \[ \sum \vec{F} = m \cdot \vec{a} \] Où \( \sum \vec{F} \) est la somme vectorielle de toutes les forces externes agissant sur l'objet, \( m \) est la masse de l'objet, et \( \vec{a} \) est l'accélération résultante. Cette loi montre que plus la force nette est grande ou plus la masse est petite, plus l'accélération sera importante. ### Vocabulaire * **Dynamique:** Branche de la mécanique qui étudie les causes du mouvement des corps (les forces). * **Vitesse (\( \vec{v} \)):** Taux de changement de position d'un objet. C'est un vecteur. * **Accélération (\( \vec{a} \)):** Taux de changement de vitesse d'un objet. C'est aussi un vecteur. * **Accélération Tangentielle (\( a_t \)):** Composante de l'accélération qui modifie la magnitude de la vitesse (la rapidité). * **Accélération Normale / Centripète (\( a_n \)):** Composante de l'accélération qui modifie la direction de la vitesse, toujours dirigée vers le centre de courbure de la trajectoire. * **Masse (\( m \)):** Mesure de l'inertie d'un corps, c'est-à-dire sa résistance à tout changement de son état de mouvement. * **Newton (N):** Unité de mesure de la force dans le Système International (SI). * **Rayon de Courbure (\( R \)):** Le rayon du cercle qui correspond le mieux à la courbe de la trajectoire en un point donné. ### Exemples #### Exemple 1: Voiture en Ligne Droite * **Accélération constante:** Une voiture qui part d'un feu rouge et accélère en ligne droite augmente sa vitesse. L'accélération est purement tangentielle et est dirigée dans le sens du mouvement. * **Décélération:** Si la voiture freine, l'accélération est toujours tangentielle mais dirigée dans le sens inverse du mouvement, ce qui diminue la magnitude de la vitesse. #### Exemple 2: Voiture dans un Virage Une voiture prend un virage à une vitesse **constante** (en magnitude). Bien que la magnitude de sa vitesse ne change pas, sa direction change constamment. Il y a donc une accélération normale (centripète) dirigée vers l'intérieur du virage, qui est responsable de ce changement de direction. L'accélération tangentielle est nulle car la vitesse ne change pas en magnitude. #### Exemple 3: Projectile Lancé Lorsqu'un projectile est lancé (en négligeant la résistance de l'air), il est soumis uniquement à la force de gravité. Son accélération est constante et toujours dirigée vers le bas, égale à \( g \approx 9.81 m/s^2 \). Au sommet de sa trajectoire, sa vitesse verticale est nulle, mais son accélération verticale est toujours \( g \). Sa vitesse horizontale reste constante (\( a_t=0 \) dans cette direction), mais la direction de sa vitesse change continuellement, indiquant une composante normale d'accélération. ### Exercices 1. Une moto accélère de \( 10 m/s \) à \( 30 m/s \) en \( 5 \) secondes en ligne droite. Quelle est son accélération moyenne ? 2. Un objet de \( 2 kg \) est soumis à une force nette de \( 10 N \). Quelle est l'accélération de l'objet ? 3. Un satellite tourne autour de la Terre à une vitesse de \( 7600 m/s \) sur une orbite de rayon \( 7 \times 10^6 m \). Quelle est l'accélération normale (centripète) du satellite ? ### Devoir à la Maison 1. Un patineur se déplace à \( 5 m/s \) sur une piste circulaire de \( 20 m \) de rayon. Il décide d'accélérer et atteint \( 10 m/s \) en \( 4 \) secondes. Calculez : * L'accélération normale initiale. * L'accélération normale finale. * L'accélération tangentielle moyenne. * La magnitude de l'accélération totale au moment où il a atteint \( 10 m/s \), en supposant que l'accélération tangentielle est constante. 2. Un ascenseur part du repos et atteint une vitesse de \( 3 m/s \) vers le haut en \( 2 \) secondes. Sa masse est de \( 500 kg \). Quelle est la tension dans le câble de l'ascenseur pendant cette phase d'accélération ? (Prenez \( g = 9.81 m/s^2 \)). 3. Expliquez avec vos propres mots la différence entre l'accélération tangentielle et l'accélération normale, en donnant un exemple concret pour chacune. ### Résumé Nous avons exploré la notion cruciale d'**accélération**, qui est le taux de changement de la vitesse d'un objet. Nous avons retenu les points essentiels suivants : * L'accélération est une **grandeur vectorielle** (magnitude et direction) dont l'unité est le \( m/s^2 \). * Elle peut être décomposée en deux composantes principales : * L'**accélération tangentielle** (\( a_t \)), qui modifie la **magnitude** de la vitesse (accélération ou décélération). * L'**accélération normale** ou **centripète** (\( a_n \)), qui modifie la **direction** de la vitesse dans un mouvement curviligne, et est donnée par \( a_n = \frac{v^2}{R} \). * La **deuxième loi de Newton** établit un lien direct entre la force nette appliquée à un corps, sa masse et son accélération : \( \sum \vec{F} = m \cdot \vec{a} \). Comprendre l'accélération est fondamental pour analyser tout type de mouvement et pour relier les forces aux effets qu'elles produisent sur les corps. Continuez à pratiquer pour maîtriser ces concepts fondamentaux de la dynamique. ## Moment résultant par rapport à O ### Introduction Dans ce cours de Mécanique Appliquée, nous allons explorer un concept fondamental de la dynamique : le moment résultant. Lorsque plusieurs forces agissent sur un corps, elles peuvent non seulement provoquer un mouvement de translation, mais aussi un mouvement de rotation. Comprendre comment calculer l'effet de rotation combiné de ces forces autour d'un point spécifique est crucial pour l'analyse des systèmes mécaniques en équilibre ou en mouvement de rotation. ### Concepts Clés #### Le Moment d'une Force par Rapport à un Point Le moment d'une force, souvent appelé moment de force ou couple, est une mesure de sa tendance à faire pivoter un objet autour d'un point ou d'un axe. * **Définition vectorielle :** Le moment \(\vec{M_O}(\vec{F})\) d'une force \(\vec{F}\) appliquée en un point P, par rapport à un point O, est défini par le produit vectoriel : \[ \vec{M_O}(\vec{F}) = \vec{OP} \times \vec{F} \] Où \(\vec{OP}\) est le vecteur position allant du point O (centre de rotation) au point d'application P de la force. * **Magnitude (Module) :** Le module du moment peut être calculé par : \[ M_O(F) = F \cdot d \] Où \(F\) est l'intensité de la force et \(d\) est le bras de levier. Le bras de levier \(d\) est la distance perpendiculaire entre le point O et la ligne d'action de la force \(\vec{F}\). Alternativement, si \(\theta\) est l'angle entre \(\vec{OP}\) et \(\vec{F}\) : \[ M_O(F) = ||\vec{OP}|| \cdot ||\vec{F}|| \cdot \sin(\theta) \] * **Sens de rotation :** Pour des problèmes 2D, le sens du moment est généralement indiqué par un signe (+ pour le sens anti-horaire, - pour le sens horaire) ou par un vecteur perpendiculaire au plan (règle du tire-bouchon ou de la main droite). * **Unité :** L'unité du moment est le Newton-mètre (N.m). #### Rappel sur le Produit Vectoriel Le produit vectoriel de deux vecteurs \(\vec{A}\) et \(\vec{B}\) donne un vecteur \(\vec{C} = \vec{A} \times \vec{B}\) qui possède les propriétés suivantes : * **Module :** \(||\vec{C}|| = ||\vec{A}|| \cdot ||\vec{B}|| \cdot \sin(\theta)\), où \(\theta\) est l'angle entre \(\vec{A}\) et \(\vec{B}\). * **Direction :** \(\vec{C}\) est perpendiculaire au plan formé par \(\vec{A}\) et \(\vec{B}\). * **Sens :** Déterminé par la règle du tire-bouchon ou de la main droite. #### Le Moment Résultant par Rapport à un Point O Lorsque plusieurs forces agissent sur un corps, le moment résultant est la somme vectorielle des moments individuels de chaque force par rapport au même point O. * **Définition :** \[ \vec{M_{res/O}} = \sum_{i=1}^{n} \vec{M_O}(\vec{F_i}) \] Où \(\vec{M_O}(\vec{F_i})\) est le moment de la force \(\vec{F_i}\) par rapport au point O. * **Cas des forces coplanaires :** Si toutes les forces sont dans un même plan et que le point O est dans ce plan, les moments individuels sont des scalaires (avec un signe pour le sens) et peuvent être additionnés algébriquement. \[ M_{res/O} = \sum_{i=1}^{n} M_O(F_i) \] Il est conventionnel de prendre le sens anti-horaire comme positif. #### Théorème du Moment Résultant (ou Principe Fondamental de la Dynamique en Rotation) Ce théorème relie le moment résultant appliqué à un corps à son accélération angulaire. * **Pour un corps en rotation autour d'un axe fixe :** \[ \sum \vec{M_O} = I_O \cdot \vec{\alpha} \] Où \(\sum \vec{M_O}\) est le moment résultant par rapport à l'axe de rotation passant par O, \(I_O\) est le moment d'inertie du corps par rapport à cet axe, et \(\vec{\alpha}\) est l'accélération angulaire du corps. * **Cas de l'équilibre statique :** Pour un corps en équilibre (sans mouvement de translation ni de rotation), la somme des moments résultants est nulle. \[ \sum \vec{M_O} = \vec{0} \] Ceci est une condition essentielle pour l'équilibre de rotation. ### Vocabulaire * **Moment d'une force :** Tendance d'une force à faire tourner un objet autour d'un point ou d'un axe. * **Bras de levier (\(d\)) :** Distance perpendiculaire entre le point de pivot (ou axe de rotation) et la ligne d'action de la force. * **Produit vectoriel :** Opération entre deux vecteurs donnant un troisième vecteur perpendiculaire au plan formé par les deux premiers. * **Moment résultant :** Somme vectorielle de tous les moments individuels agissant sur un corps. * **Point d'application :** Le point sur l'objet où une force est appliquée. * **Axe de rotation :** La ligne imaginaire autour de laquelle un objet tourne. * **Équilibre :** État d'un corps où la somme des forces et la somme des moments sont toutes deux nulles, entraînant l'absence de mouvement de translation et de rotation. * **Moment d'inertie (\(I_O\)) :** Mesure de la résistance d'un corps à changer son état de mouvement de rotation. ### Exemples #### Exemple 1 : Ouverture d'une porte Une porte (longueur 1 m) est actionnée par une force de 50 N perpendiculaire à la porte et appliquée à 80 cm des gonds. * Point O : Les gonds de la porte. * Force \(F = 50\,N\). * Distance du point d'application à O : \(||\vec{OP}|| = 0.8\,m\). * Angle entre \(\vec{OP}\) et \(\vec{F}\) : \(90^\circ\), donc \(\sin(90^\circ) = 1\). * Le moment créé par cette force est : \[ M_O(F) = F \cdot d = 50\,N \cdot 0.8\,m = 40\,N \cdot m \] Ce moment provoque la rotation de la porte. #### Exemple 2 : Serrer un boulon avec une clé Une clé de 30 cm est utilisée pour serrer un boulon. Une force de 100 N est appliquée à l'extrémité de la clé, faisant un angle de \(60^\circ\) avec le bras de la clé. * Point O : Le boulon. * Force \(F = 100\,N\). * Distance du point d'application à O : \(||\vec{OP}|| = 0.3\,m\). * Angle \(\theta = 60^\circ\). * Le moment est : \[ M_O(F) = ||\vec{OP}|| \cdot ||\vec{F}|| \cdot \sin(\theta) = 0.3\,m \cdot 100\,N \cdot \sin(60^\circ) \] \[ M_O(F) = 30 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 25.98\,N \cdot m \] #### Exemple 3 : Équilibre d'une poutre Une poutre de longueur \(L = 2\,m\) est posée sur un pivot au centre (point O). Deux forces sont appliquées : \(F_1 = 10\,N\) à 0.5 m à gauche de O, et \(F_2 = 15\,N\) à 0.5 m à droite de O. * Point O : Le pivot. * \(F_1\) agit vers le bas, à \(d_1 = 0.5\,m\). Elle crée un moment dans le sens anti-horaire (positif). \(M_1 = F_1 \cdot d_1 = 10\,N \cdot 0.5\,m = 5\,N \cdot m\). * \(F_2\) agit vers le bas, à \(d_2 = 0.5\,m\). Elle crée un moment dans le sens horaire (négatif). \(M_2 = -F_2 \cdot d_2 = -15\,N \cdot 0.5\,m = -7.5\,N \cdot m\). * Le moment résultant par rapport à O est : \[ M_{res/O} = M_1 + M_2 = 5\,N \cdot m - 7.5\,N \cdot m = -2.5\,N \cdot m \] La poutre aura tendance à tourner dans le sens horaire. Pour qu'elle soit en équilibre, un moment additionnel de \(+2.5\,N \cdot m\) serait nécessaire. ### Exercices 1. Calculez le moment d'une force \(F = 25\,N\) appliquée à 1.2 m d'un point de pivot O, si la force est perpendiculaire au bras de levier. 2. Une force \(F = 60\,N\) est appliquée à l'extrémité d'une barre de 0.8 m. La force fait un angle de \(45^\circ\) avec la barre. Calculez le moment de cette force par rapport au point de pivot à l'autre extrémité de la barre. 3. Une poutre de 4 m est soutenue à son centre (point O). Une force de 30 N est appliquée à 1.5 m à gauche de O (vers le bas) et une autre force de 20 N est appliquée à 2 m à droite de O (vers le bas). Calculez le moment résultant par rapport à O. Quel est le sens de rotation de la poutre ? 4. Reprenez l'exercice 3. Quelle force additionnelle (magnitude et point d'application) faudrait-il appliquer à 1 m à droite du point O pour que la poutre soit en équilibre de rotation ? ### Devoir 1. Une roue de bicyclette (rayon 30 cm) est immobilisée. Une force tangentielle de 15 N est appliquée au bord de la roue. * Quel est le moment créé par cette force par rapport à l'axe de la roue ? * Si une seconde force est appliquée sur le même rayon mais à 10 cm du centre, quelle doit être sa magnitude et son sens (radiale ou tangentielle) pour annuler le moment de la première force ? 2. Une échelle de 5 m de long et de 20 kg de masse (supposée uniformément répartie, donc son poids agit au centre) est appuyée contre un mur lisse (pas de frottement) et posée sur un sol rugueux (avec frottement). L'échelle fait un angle de \(60^\circ\) avec le sol. Un homme de 70 kg monte aux trois quarts de la longueur de l'échelle. * Calculez le moment créé par le poids de l'échelle par rapport au point de contact avec le sol. * Calculez le moment créé par le poids de l'homme par rapport au point de contact avec le sol. * Déterminez les réactions du sol et du mur sur l'échelle pour que l'échelle soit en équilibre. (Indice : Considérez les moments par rapport à différents points pour simplifier les calculs). ### Résumé En résumé, le moment d'une force est une mesure de sa capacité à provoquer une rotation, calculé comme le produit de la force par la distance perpendiculaire à l'axe de rotation (bras de levier). Le moment résultant est la somme vectorielle de tous les moments individuels agissant sur un corps. Pour des systèmes coplanaires, cette somme peut être algébrique en attribuant un signe aux moments (par exemple, positif pour anti-horaire). Le concept de moment résultant est fondamental pour comprendre l'équilibre de rotation et la dynamique des corps en rotation, en particulier avec le théorème du moment résultant \(\sum \vec{M_O} = I_O \cdot \vec{\alpha}\). Maîtriser ce concept est essentiel pour analyser de nombreux systèmes mécaniques. ## Moment de translation rectiligne des solides ### Introduction Bienvenue dans cette leçon dédiée au "Moment de translation rectiligne des solides" en Mécanique Appliquée. En Terminale, vous avez déjà étudié les notions de force et de mouvement. Aujourd'hui, nous allons approfondir la dynamique, c'est-à-dire l'étude des causes du mouvement. Nous nous concentrerons sur le mouvement de translation rectiligne des solides, en appliquant le Principe Fondamental de la Dynamique pour comprendre comment les forces agissent pour provoquer ou modifier ce mouvement. ### Concepts Clés #### 1. Rappel des lois de Newton Les lois de Newton sont la base de la mécanique classique et sont essentielles pour comprendre la dynamique. * **Première Loi de Newton (Principe d'Inertie):** Tout corps persévère dans son état de repos ou de mouvement rectiligne uniforme si les forces extérieures qui s'exercent sur lui se compensent. * **Deuxième Loi de Newton (Principe Fondamental de la Dynamique - PFD):** L'accélération d'un corps est directement proportionnelle à la force nette agissant sur lui et inversement proportionnelle à sa masse. Elle est donnée par la relation vectorielle: \[ \sum \vec{F} = m \vec{a} \] où: * \( \sum \vec{F} \) est la somme vectorielle des forces extérieures s'exerçant sur le solide (en Newtons, N). * \( m \) est la masse du solide (en kilogrammes, kg). * \( \vec{a} \) est le vecteur accélération du centre d'inertie du solide (en mètres par seconde carrée, \( \text{m/s}^2 \)). * **Troisième Loi de Newton (Principe d'Action-Réaction):** Si un corps A exerce une force sur un corps B, alors le corps B exerce simultanément sur le corps A une force de même intensité, de même direction mais de sens opposé. #### 2. Solide en Translation Rectiligne Un solide est en translation rectiligne si tous ses points décrivent des trajectoires rectilignes parallèles. Cela signifie que l'orientation du solide ne change pas au cours de son mouvement. #### 3. Les Forces Une force est une action mécanique capable de modifier l'état de mouvement d'un corps ou de le déformer. Elle est caractérisée par: * **Son point d'application:** Là où la force est appliquée. * **Sa direction:** La droite selon laquelle la force agit. * **Son sens:** L'orientation sur la droite. * **Son intensité (ou norme):** La valeur numérique de la force (en Newtons, N). Quelques forces courantes: * **Le poids (\( \vec{P} \)):** Force d'attraction gravitationnelle exercée par la Terre sur un corps. \( \vec{P} = m \vec{g} \), où \( \vec{g} \) est le vecteur accélération de la pesanteur (environ \( 9.81 \text{ m/s}^2 \)). * **La réaction normale (\( \vec{R}_N \)):** Force exercée par une surface sur un corps en contact avec elle, perpendiculaire à la surface. * **Les forces de frottement (\( \vec{f} \)):** Forces qui s'opposent au mouvement ou à la tendance au mouvement entre deux surfaces en contact. Elles sont parallèles à la surface de contact et de sens opposé au mouvement. * **La tension (\( \vec{T} \)):** Force exercée par une corde, un câble, etc. #### 4. Application du Principe Fondamental de la Dynamique (PFD) en translation Pour résoudre un problème de dynamique en translation, suivez ces étapes: 1. **Définir le système étudié:** Isoler le corps dont on veut étudier le mouvement. 2. **Choisir un référentiel:** Généralement, un référentiel terrestre (supposé galiléen) est utilisé. 3. **Faire le bilan des forces extérieures:** Représenter toutes les forces agissant sur le solide (diagramme des forces). 4. **Écrire le PFD:** Appliquer \( \sum \vec{F} = m \vec{a} \). 5. **Projeter le PFD sur des axes:** Choisir un système d'axes cartésiens (\( Ox, Oy, Oz \)) et projeter l'équation vectorielle sur ces axes pour obtenir des équations scalaires. * Sur l'axe x: \( \sum F_x = m a_x \) * Sur l'axe y: \( \sum F_y = m a_y \) * Sur l'axe z: \( \sum F_z = m a_z \) 6. **Résoudre le système d'équations:** Calculer l'accélération, les forces inconnues ou d'autres grandeurs. ### Vocabulaire * **Dynamique:** Partie de la mécanique qui étudie les relations entre les mouvements des corps et les forces qui les produisent. * **Statique:** Étude de l'équilibre des corps, c'est-à-dire des corps au repos ou en mouvement rectiligne uniforme. * **Cinématique:** Étude du mouvement des corps sans s'intéresser aux causes de ce mouvement. * **Solide indéformable:** Modèle théorique d'un corps dont la forme et les dimensions ne changent pas sous l'effet des forces. * **Translation rectiligne:** Mouvement où tous les points d'un corps se déplacent en lignes droites parallèles. * **Référentiel Galiléen:** Référentiel dans lequel le principe d'inertie est vérifié (en mouvement de translation rectiligne uniforme par rapport à un référentiel fixe). * **Force:** Cause capable de modifier le mouvement d'un objet. * **Masse:** Mesure de l'inertie d'un corps, de sa résistance à être mis en mouvement ou à voir son mouvement modifié. * **Accélération:** Taux de variation de la vitesse au cours du temps. * **Poids:** Force gravitationnelle exercée par la Terre sur un objet. * **Réaction normale:** Force de contact perpendiculaire à la surface. * **Frottement:** Force de résistance au mouvement entre deux surfaces en contact. * **Principe Fondamental de la Dynamique (PFD):** Deuxième loi de Newton, \( \sum \vec{F} = m \vec{a} \). ### Exemples #### Exemple 1: Bloc glissant sur un plan horizontal sans frottement Un bloc de masse \( m = 10 \text{ kg} \) est tiré par une force horizontale \( \vec{F} \) d'intensité \( F = 20 \text{ N} \) sur une surface horizontale lisse (pas de frottement). Déterminez l'accélération du bloc. 1. **Système:** Le bloc. 2. **Référentiel:** Terrestre (galiléen). 3. **Bilan des forces:** * Poids \( \vec{P} \) (verticale, vers le bas). * Réaction normale \( \vec{R}_N \) (verticale, vers le haut). * Force de traction \( \vec{F} \) (horizontale, dans le sens du mouvement). 4. **PFD:** \( \vec{P} + \vec{R}_N + \vec{F} = m \vec{a} \) 5. **Projection sur les axes (\( Ox \) horizontal, \( Oy \) vertical):** * Axe \( Oy \): \( R_N - P = m a_y \). Comme il n'y a pas de mouvement vertical, \( a_y = 0 \), donc \( R_N = P = m g \). * Axe \( Ox \): \( F = m a_x \). 6. **Résolution:** \( a_x = \frac{F}{m} = \frac{20 \text{ N}}{10 \text{ kg}} = 2 \text{ m/s}^2 \). L'accélération du bloc est de \( 2 \text{ m/s}^2 \). #### Exemple 2: Bloc glissant sur un plan incliné avec frottement Un bloc de masse \( m = 5 \text{ kg} \) repose sur un plan incliné d'un angle \( \alpha = 30° \) par rapport à l'horizontale. Le coefficient de frottement cinétique est \( \mu_c = 0.2 \). Le bloc est libéré et commence à glisser vers le bas. Calculez son accélération. 1. **Système:** Le bloc. 2. **Référentiel:** Terrestre (galiléen). 3. **Bilan des forces:** * Poids \( \vec{P} \) (vertical, vers le bas). * Réaction normale \( \vec{R}_N \) (perpendiculaire au plan, vers le haut). * Force de frottement cinétique \( \vec{f}_c \) (parallèle au plan, vers le haut, s'opposant au mouvement). 4. **PFD:** \( \vec{P} + \vec{R}_N + \vec{f}_c = m \vec{a} \) 5. **Projection sur les axes (\( Ox \) parallèle au plan et vers le bas, \( Oy \) perpendiculaire au plan et vers le haut):** * Poids: \( P_x = P \sin \alpha = m g \sin \alpha \) ; \( P_y = -P \cos \alpha = -m g \cos \alpha \). * Réaction normale: \( R_{Ny} = R_N \) ; \( R_{Nx} = 0 \). * Frottement: \( f_{cx} = -f_c \) ; \( f_{cy} = 0 \). * Axe \( Oy \): \( R_N - m g \cos \alpha = m a_y \). Comme \( a_y = 0 \), \( R_N = m g \cos \alpha \). * Axe \( Ox \): \( m g \sin \alpha - f_c = m a_x \). La force de frottement cinétique est \( f_c = \mu_c R_N = \mu_c m g \cos \alpha \). 6. **Résolution:** \( m g \sin \alpha - \mu_c m g \cos \alpha = m a_x \) \( a_x = g (\sin \alpha - \mu_c \cos \alpha) \) \( a_x = 9.81 (\sin 30° - 0.2 \cos 30°) \) \( a_x = 9.81 (0.5 - 0.2 \times 0.866) \) \( a_x = 9.81 (0.5 - 0.1732) \) \( a_x = 9.81 \times 0.3268 \approx 3.20 \text{ m/s}^2 \). L'accélération du bloc est d'environ \( 3.20 \text{ m/s}^2 \). ### Exercices 1. Un wagon de masse \( M = 500 \text{ kg} \) est tiré par une locomotive avec une force de \( F = 1500 \text{ N} \) sur des rails horizontaux. On néglige les frottements. Quelle est l'accélération du wagon? 2. Un ascenseur de masse totale (cabine + passagers) \( M = 800 \text{ kg} \) démarre du repos et accélère vers le haut à \( a = 1.2 \text{ m/s}^2 \). Quelle est la tension dans le câble de levage? 3. Un colis de masse \( m = 2 \text{ kg} \) est poussé sur une table horizontale. Le coefficient de frottement cinétique entre le colis et la table est \( \mu_c = 0.3 \). Si le colis est poussé avec une force de \( F = 10 \text{ N} \), quelle est son accélération? ### Devoir 1. Un bloc de bois de masse \( m = 4 \text{ kg} \) glisse le long d'un plan incliné de \( 25° \) par rapport à l'horizontale. Le coefficient de frottement cinétique est \( \mu_c = 0.15 \). Quelle est la vitesse du bloc après avoir parcouru \( 2 \text{ m} \) à partir du repos? 2. Un système est composé de deux masses \( m_1 = 3 \text{ kg} \) et \( m_2 = 7 \text{ kg} \) reliées par une corde passant sur une poulie sans masse et sans frottement. La masse \( m_1 \) est sur un plan horizontal sans frottement, et la masse \( m_2 \) est suspendue verticalement. a. Dessinez le diagramme de corps libre pour chaque masse. b. Appliquez le PFD à chaque masse et déterminez les équations du mouvement. c. Calculez l'accélération du système et la tension de la corde. ### Résumé La dynamique en translation rectiligne des solides est régie par le Principe Fondamental de la Dynamique, \( \sum \vec{F} = m \vec{a} \). Pour appliquer ce principe, il est crucial de bien identifier toutes les forces externes agissant sur le système, de choisir un référentiel galiléen, de projeter l'équation vectorielle sur des axes, puis de résoudre le système d'équations scalaires. La compréhension des forces (poids, réaction normale, frottement, tension) est fondamentale pour analyser et prédire le mouvement des solides. ## Travail: puissance: énergie ### Introduction Dans le domaine de la mécanique appliquée, comprendre le travail, la puissance et l'énergie est fondamental pour analyser le mouvement des systèmes et les interactions des forces. Ces concepts sont étroitement liés et permettent de quantifier l'efficacité des machines, la dépense énergétique ou les effets des forces sur les objets en mouvement. Cette leçon explorera la définition de chacun de ces termes, leurs formules, et comment ils s'appliquent dans diverses situations. ### Concepts Clés #### Travail d'une force (\( W \)) ##### Définition Le travail d'une force est une grandeur physique qui mesure l'énergie transférée à un corps par l'application de cette force le long d'un déplacement. C'est une grandeur scalaire, ce qui signifie qu'elle n'a pas de direction, seulement une valeur numérique. L'unité de mesure du travail est le Joule (J). ##### Travail d'une force constante Lorsqu'une force \( \vec{F} \) constante s'applique sur un corps qui se déplace d'un point A à un point B, le travail effectué par cette force est donné par le produit scalaire du vecteur force par le vecteur déplacement: \[ W_{AB}(\vec{F}) = \vec{F} \cdot \vec{AB} = F \cdot AB \cdot \cos(\alpha) \] Où: * \( F \) est l'intensité de la force (en Newtons, N). * \( AB \) est la distance parcourue (en mètres, m). * \( \alpha \) est l'angle entre le vecteur force \( \vec{F} \) et le vecteur déplacement \( \vec{AB} \). Selon la valeur de l'angle \( \alpha \): * **Travail moteur** (\( 0 \le \alpha < 90^\circ \)): Le travail est positif (\( W > 0 \)). La force favorise le mouvement. * **Travail résistant** (\( 90^\circ < \alpha \le 180^\circ \)): Le travail est négatif (\( W < 0 \)). La force s'oppose au mouvement. * **Travail nul** (\( \alpha = 90^\circ \)): Le travail est nul (\( W = 0 \)). La force est perpendiculaire au déplacement et n'affecte pas son énergie de translation. ##### Travail du poids (\( W_P \)) Le travail du poids \( \vec{P} = m\vec{g} \) d'un corps, lorsqu'il se déplace d'un point A à un point B, ne dépend pas du chemin suivi, mais uniquement de la variation d'altitude entre ces deux points. Le poids est une force conservative. \[ W_{AB}(\vec{P}) = mg(h_A - h_B) \] Où: * \( m \) est la masse du corps (en kg). * \( g \) est l'accélération de la pesanteur (environ \( 9.81 \text{ m/s}^2 \)). * \( h_A \) et \( h_B \) sont les altitudes des points A et B respectivement (en mètres). ##### Travail d'une force de frottement (\( W_f \)) Les forces de frottement s'opposent toujours au mouvement relatif entre deux surfaces ou à la tendance au mouvement. Leur travail est toujours résistant et donc négatif. \[ W_{AB}(\vec{f}) = -f \cdot AB \] Où \( f \) est l'intensité de la force de frottement (en N). #### Puissance (\( P \)) ##### Définition La puissance est la vitesse à laquelle le travail est effectué ou l'énergie est transférée. C'est une grandeur scalaire, exprimée en watts (W). ##### Puissance moyenne La puissance moyenne \( P_m \) d'une force qui effectue un travail \( W \) pendant une durée \( \Delta t \) est: \[ P_m = \frac{W}{\Delta t} \] Où: * \( W \) est le travail (en J). * \( \Delta t \) est la durée (en s). ##### Puissance instantanée La puissance instantanée \( P \) d'une force \( \vec{F} \) agissant sur un corps en mouvement avec une vitesse \( \vec{v} \) est donnée par le produit scalaire: \[ P = \vec{F} \cdot \vec{v} = F \cdot v \cdot \cos(\alpha) \] Où \( \alpha \) est l'angle entre le vecteur force \( \vec{F} \) et le vecteur vitesse \( \vec{v} \). #### Énergie (\( E \)) ##### Définition générale L'énergie est la capacité d'un système à effectuer un travail. Elle existe sous diverses formes (cinétique, potentielle de pesanteur, potentielle élastique, thermique, etc.). L'énergie peut être transformée d'une forme à l'autre, mais elle est conservée dans un système isolé. L'unité de l'énergie est également le Joule (J). ##### Énergie cinétique (\( E_c \)) L'énergie cinétique est l'énergie qu'un corps possède en raison de son mouvement. Elle dépend de la masse du corps et de sa vitesse. \[ E_c = \frac{1}{2}mv^2 \] Où: * \( m \) est la masse du corps (en kg). * \( v \) est la vitesse du corps (en m/s). ##### Théorème de l'énergie cinétique (TEC) La variation de l'énergie cinétique d'un corps entre deux points A et B est égale à la somme algébrique des travaux de toutes les forces extérieures s'exerçant sur le corps entre ces deux points. \[ \Delta E_c = E_{cB} - E_{cA} = \sum W_{AB}(\vec{F}_{ext}) \] ##### Énergie potentielle de pesanteur (\( E_{pp} \)) L'énergie potentielle de pesanteur est l'énergie qu'un corps possède en raison de sa position (hauteur) dans un champ de pesanteur. Elle est définie par rapport à un niveau de référence arbitraire (où \( E_{pp} = 0 \)). \[ E_{pp} = mgh \] Où: * \( h \) est l'altitude du corps par rapport au niveau de référence (en m). Le travail du poids peut également être exprimé comme la variation négative de l'énergie potentielle de pesanteur: \( W_{AB}(\vec{P}) = E_{ppA} - E_{ppB} = -\Delta E_{pp} \). ##### Énergie potentielle élastique (\( E_{pe} \)) L'énergie potentielle élastique est l'énergie emmagasinée dans un corps élastique (comme un ressort) lorsqu'il est déformé (étiré ou comprimé). \[ E_{pe} = \frac{1}{2}k x^2 \] Où: * \( k \) est la constante de raideur du ressort (en N/m). * \( x \) est l'allongement ou la compression du ressort par rapport à sa position d'équilibre (en m). ##### Énergie mécanique (\( E_m \)) L'énergie mécanique d'un système est la somme de son énergie cinétique et de toutes ses énergies potentielles (potentielle de pesanteur, potentielle élastique, etc.). \[ E_m = E_c + E_{pp} + E_{pe} + ... \] ##### Conservation de l'énergie mécanique Dans un système où seules des forces conservatives (comme le poids ou la force de rappel d'un ressort) effectuent un travail, ou si le travail des forces non conservatives (comme les frottements) est négligeable, l'énergie mécanique du système se conserve. \[ E_m = \text{constante} \implies \Delta E_m = 0 \] Si des forces non conservatives agissent, la variation de l'énergie mécanique est égale au travail de ces forces: \[ \Delta E_m = W_{forces\ non\ conservatives} \] ### Vocabulaire * **Travail (Joule, J)**: Mesure de l'énergie transférée par une force sur un déplacement. * **Puissance (Watt, W)**: Vitesse à laquelle le travail est effectué ou l'énergie est transférée. * **Énergie (Joule, J)**: Capacité d'un système à effectuer un travail ou à produire un changement. * **Énergie cinétique (\( E_c \))**: Énergie associée au mouvement d'un corps. * **Énergie potentielle de pesanteur (\( E_{pp} \))**: Énergie due à la position d'un corps dans un champ de pesanteur. * **Énergie potentielle élastique (\( E_{pe} \))**: Énergie emmagasinée dans un corps élastique déformé. * **Énergie mécanique (\( E_m \))**: Somme de l'énergie cinétique et des énergies potentielles d'un système. * **Forces conservatives**: Forces dont le travail ne dépend pas du chemin suivi (ex: poids, force de rappel d'un ressort). * **Forces non conservatives**: Forces dont le travail dépend du chemin suivi (ex: frottements, forces de traînée). * **Théorème de l'énergie cinétique (TEC)**: Principe reliant la variation de l'énergie cinétique d'un corps à la somme des travaux des forces extérieures. ### Exemples 1. **Calcul du travail d'une force**: Un chariot est tiré sur une distance de 10 m par une force de 50 N faisant un angle de 30° avec l'horizontale. \( W = F \cdot AB \cdot \cos(\alpha) = 50 \text{ N} \cdot 10 \text{ m} \cdot \cos(30^\circ) \approx 500 \cdot 0.866 = 433 \text{ J} \). 2. **Travail du poids**: Un objet de 2 kg tombe d'une hauteur de 5 m. \( W_P = mg(h_A - h_B) = 2 \text{ kg} \cdot 9.81 \text{ m/s}^2 \cdot (5 \text{ m} - 0 \text{ m}) \approx 98.1 \text{ J} \). 3. **Calcul de la puissance**: Un moteur soulève une charge de 200 kg sur une hauteur de 10 m en 5 secondes. Le travail effectué est \( W = W_P = mg\Delta h = 200 \text{ kg} \cdot 9.81 \text{ m/s}^2 \cdot 10 \text{ m} = 19620 \text{ J} \). La puissance moyenne est \( P_m = \frac{W}{\Delta t} = \frac{19620 \text{ J}}{5 \text{ s}} = 3924 \text{ W} \). 4. **Application du TEC**: Une voiture de masse 1000 kg accélère de 10 m/s à 20 m/s. Quel est le travail des forces qui l'ont propulsée? \( \Delta E_c = \frac{1}{2}m(v_B^2 - v_A^2) = \frac{1}{2} \cdot 1000 \text{ kg} \cdot ((20 \text{ m/s})^2 - (10 \text{ m/s})^2) = 500 \cdot (400 - 100) = 500 \cdot 300 = 150000 \text{ J} \). Le travail total des forces est de \( 150 \text{ kJ} \). 5. **Conservation de l'énergie mécanique**: Un pendule de masse \( m \) est lâché sans vitesse initiale d'une hauteur \( h_A \). Sans frottement, sa vitesse au point le plus bas (\( h_B = 0 \)) peut être trouvée: \( E_{mA} = E_{mB} \implies E_{cA} + E_{ppA} = E_{cB} + E_{ppB} \) \( 0 + mgh_A = \frac{1}{2}mv_B^2 + 0 \implies v_B = \sqrt{2gh_A} \). ### Exercices 1. Un bloc de masse \( m=2 \text{ kg} \) est tiré sur une distance de \( 5 \text{ m} \) par une force \( F=10 \text{ N} \) faisant un angle de \( 30^\circ \) avec l'horizontale. Calculer le travail de cette force. 2. Un moteur de \( 1500 \text{ W} \) soulève une charge de \( 100 \text{ kg} \) à une hauteur de \( 5 \text{ m} \). Calculer le temps nécessaire pour cette opération. 3. Une voiture de \( 1200 \text{ kg} \) roule à \( 72 \text{ km/h} \). a) Calculer son énergie cinétique. b) Si elle freine sur \( 40 \text{ m} \) jusqu'à l'arrêt, quel est le travail des forces de frottement exercées sur la voiture? ### Devoir 1. Une bille de masse \( m \) est lâchée sans vitesse initiale d'une hauteur \( H \) par rapport au sol. a) Exprimer son énergie mécanique au point de départ. b) Exprimer son énergie mécanique à une hauteur \( h \) quelconque au cours de sa chute. c) En supposant l'absence de frottements, et en utilisant la conservation de l'énergie mécanique, déterminer la vitesse de la bille juste avant d'atteindre le sol. 2. Un skieur de masse \( 80 \text{ kg} \) (équipement compris) descend une pente rectiligne de \( 200 \text{ m} \) de long, inclinée de \( 20^\circ \) par rapport à l'horizontale. Les frottements de l'air et de la neige sont équivalents à une force constante de \( 50 \text{ N} \) opposée au mouvement. Le skieur part du repos. a) Calculer le travail du poids du skieur. b) Calculer le travail des forces de frottement. c) Calculer la variation de l'énergie cinétique du skieur. d) En déduire la vitesse du skieur en bas de la pente. ### Résumé Cette leçon a exploré les concepts fondamentaux de travail, de puissance et d'énergie en mécanique. Le travail quantifie l'énergie transférée par une force sur un déplacement, la puissance mesure la rapidité de ce transfert, et l'énergie représente la capacité d'un système à effectuer un travail, se manifestant sous diverses formes (cinétique, potentielle). Nous avons vu les formules clés pour calculer ces grandeurs, le théorème de l'énergie cinétique, et le principe de conservation de l'énergie mécanique, essentiel pour analyser les mouvements des corps en l'absence de forces dissipatives. La maîtrise de ces concepts est cruciale pour l'analyse des systèmes mécaniques. ## Dynamique des solides (1) ### Introduction La dynamique est la branche de la mécanique qui étudie les relations entre les forces agissant sur un corps et le mouvement qu'elles produisent. Contrairement à la cinématique qui décrit le mouvement, ou à la statique qui étudie l'équilibre des corps, la dynamique explique pourquoi les corps se mettent en mouvement, changent de vitesse ou s'arrêtent. Dans ce premier chapitre, nous allons nous concentrer sur le mouvement de translation des solides, en nous appuyant sur les lois fondamentales découvertes par Isaac Newton. ### Concepts Clés #### Le Principe Fondamental de la Dynamique (PFD) Le PFD est la pierre angulaire de la dynamique classique. Il relie la somme vectorielle des forces appliquées à un corps à son accélération. ##### Les Lois de Newton * **Première Loi de Newton (Principe d'Inertie)**: Tout corps persévère dans son état de repos ou de mouvement rectiligne uniforme si la somme des forces extérieures qui s'exercent sur lui est nulle. Autrement dit, si \( \Sigma \vec{F} = \vec{0} \), alors \( \vec{a} = \vec{0} \). Un corps au repos reste au repos, un corps en mouvement rectiligne uniforme conserve cette vitesse. * **Deuxième Loi de Newton (Relation Fondamentale de la Dynamique)**: L'accélération d'un corps est directement proportionnelle à la somme vectorielle des forces extérieures agissant sur lui et inversement proportionnelle à sa masse. Cette accélération a la même direction et le même sens que la force résultante. La formule est : \[ \Sigma \vec{F} = m \cdot \vec{a} \] Où : * \( \Sigma \vec{F} \) est la somme vectorielle de toutes les forces extérieures appliquées au corps (en Newtons, N). * \( m \) est la masse du corps (en kilogrammes, kg). * \( \vec{a} \) est l'accélération du corps (en mètres par seconde carrée, m/s²). * **Troisième Loi de Newton (Principe des Actions Réciproques)**: Lorsque deux corps A et B sont en interaction, la force exercée par A sur B est égale et opposée à la force exercée par B sur A. Formellement : \[ \vec{F}_{A/B} = - \vec{F}_{B/A} \] Ces forces sont de même direction, de même intensité, mais de sens opposé. Elles s'appliquent sur des corps différents. ##### Le Référentiel Galiléen Les lois de Newton ne sont valables que dans un type de référentiel particulier appelé **référentiel galiléen (ou inertiel)**. Un référentiel galiléen est un référentiel en translation rectiligne uniforme par rapport à un autre référentiel galiléen (ou en repos). Dans la plupart des problèmes de mécanique à l'échelle terrestre, le référentiel terrestre (lié à la Terre) est considéré comme approximativement galiléen. #### Types de Forces Courantes * **Le Poids (\( \vec{P} \))**: C'est la force d'attraction gravitationnelle exercée par la Terre sur un corps. Elle est toujours verticale et dirigée vers le centre de la Terre. Formule : \[ \vec{P} = m \cdot \vec{g} \] Où \( \vec{g} \) est l'accélération de la pesanteur (environ \( 9,81 \, m/s^2 \) à la surface de la Terre). * **La Force Normale (\( \vec{N} \) ou \( \vec{R}_N \))**: C'est la force de réaction exercée par une surface sur un corps en contact avec elle. Elle est toujours perpendiculaire (normale) à la surface de contact et s'oppose à la pénétration du corps dans la surface. * **La Force de Frottement (\( \vec{F}_f \))**: C'est une force qui s'oppose au mouvement ou à la tendance au mouvement entre deux surfaces en contact. Elle est parallèle à la surface de contact. * **Frottement statique** (quand il n'y a pas de mouvement). * **Frottement cinétique** (quand il y a mouvement). Son intensité est souvent modélisée par : \( F_f = \mu \cdot N \), où \( \mu \) est le coefficient de frottement (statique \( \mu_s \) ou cinétique \( \mu_c \)). * **La Tension (\( \vec{T} \))**: Force exercée par une corde, un câble ou une chaîne tendue. Elle est dirigée le long de la corde, s'éloignant du point d'attache. #### Méthode de Résolution des Problèmes de Dynamique Pour appliquer le PFD de manière efficace, suivez ces étapes systématiques : 1. **Isoler le système** : Définissez clairement le corps ou l'ensemble de corps dont vous étudiez le mouvement. 2. **Choisir un référentiel** : Sélectionnez un référentiel galiléen adapté au problème (souvent le référentiel terrestre). 3. **Faire le bilan des forces** : Identifiez toutes les forces extérieures s'exerçant sur le système isolé. Dessinez un **diagramme de corps libre** (Free-Body Diagram - FBD) pour visualiser ces forces. 4. **Projeter le PFD** : Choisissez un système d'axes de coordonnées (cartésien, polaire, etc.) et projetez l'équation vectorielle \( \Sigma \vec{F} = m \cdot \vec{a} \) sur chacun de ces axes. 5. **Résoudre les équations** : Obtenez un système d'équations scalaires et résolvez-les pour trouver les inconnues (accélération, forces, etc.). ### Vocabulaire * **Dynamique** : Étude du mouvement des corps sous l'action des forces. * **Cinématique** : Étude de la description du mouvement sans considérer les forces. * **Statique** : Étude de l'équilibre des corps (somme des forces nulle). * **Force (\( \vec{F} \))** : Cause capable de modifier l'état de mouvement d'un corps ou de le déformer. Unité : Newton (N). * **Masse (\( m \))** : Mesure de l'inertie d'un corps (sa résistance au changement de mouvement). Unité : Kilogramme (kg). * **Accélération (\( \vec{a} \))** : Taux de variation de la vitesse. Unité : mètre par seconde carrée (m/s²). * **Principe Fondamental de la Dynamique (PFD)** : Deuxième loi de Newton, \( \Sigma \vec{F} = m \cdot \vec{a} \). * **Référentiel Galiléen (Inertiel)** : Référentiel où les lois de Newton sont valides. * **Poids (\( \vec{P} \))** : Force gravitationnelle exercée sur un corps, \( \vec{P} = m \cdot \vec{g} \). * **Force Normale (\( \vec{N} \))** : Force de réaction perpendiculaire à une surface de contact. * **Frottement (\( \vec{F}_f \))** : Force s'opposant au mouvement relatif entre deux surfaces en contact. * **Tension (\( \vec{T} \))** : Force transmise par une corde ou un câble tendu. ### Exemples #### Exemple 1 : Bloc tiré sur une surface horizontale Un bloc de masse \( m = 5 \, kg \) est tiré sur une surface horizontale par une force \( \vec{F} \) de \( 20 \, N \) formant un angle de \( 30° \) avec l'horizontale. Il y a une force de frottement cinétique de \( 5 \, N \) s'opposant au mouvement. Calculez l'accélération du bloc. **Solution :** 1. **Système** : Le bloc. 2. **Référentiel** : Terrestre, considéré galiléen. 3. **Bilan des forces** : Poids (\( \vec{P} \)), Force normale (\( \vec{N} \)), Force appliquée (\( \vec{F} \)), Force de frottement (\( \vec{F}_f \)). 4. **Projection du PFD** : * Axes : x (horizontal, dans le sens du mouvement), y (vertical, vers le haut). * PFD sur l'axe x : \( \Sigma F_x = F \cos(30°) - F_f = m \cdot a_x \) \( 20 \cos(30°) - 5 = 5 \cdot a_x \) * PFD sur l'axe y : \( \Sigma F_y = N + F \sin(30°) - P = m \cdot a_y = 0 \) (pas d'accélération verticale) \( N + 20 \sin(30°) - 5 \cdot 9,81 = 0 \) 5. **Résolution** : De l'axe x : \( 20 \cdot 0,866 - 5 = 5 \cdot a_x \) \( 17,32 - 5 = 5 \cdot a_x \) \( 12,32 = 5 \cdot a_x \) \( a_x = \frac{12,32}{5} \approx 2,46 \, m/s^2 \) L'accélération du bloc est d'environ \( 2,46 \, m/s^2 \). #### Exemple 2 : Objet sur un plan incliné Un objet de masse \( m = 2 \, kg \) glisse sans frottement le long d'un plan incliné à \( 30° \) par rapport à l'horizontale. Déterminez son accélération. **Solution :** 1. **Système** : L'objet. 2. **Référentiel** : Terrestre. 3. **Bilan des forces** : Poids (\( \vec{P} \)), Force normale (\( \vec{N} \)). 4. **Projection du PFD** : * Axes : x (parallèle au plan incliné, vers le bas), y (perpendiculaire au plan, vers le haut). * Décomposition du poids : \( P_x = P \sin(30°) = m \cdot g \sin(30°) \) \( P_y = - P \cos(30°) = - m \cdot g \cos(30°) \) * PFD sur l'axe x : \( \Sigma F_x = P_x = m \cdot a_x \) \( m \cdot g \sin(30°) = m \cdot a_x \) * PFD sur l'axe y : \( \Sigma F_y = N + P_y = m \cdot a_y = 0 \) (pas de mouvement perpendiculaire au plan) \( N - m \cdot g \cos(30°) = 0 \) 5. **Résolution** : De l'axe x : \( g \sin(30°) = a_x \) \( a_x = 9,81 \cdot 0,5 = 4,905 \, m/s^2 \) L'accélération de l'objet est de \( 4,905 \, m/s^2 \). ### Exercices 1. Un chariot de \( 10 \, kg \) est tiré horizontalement sur une surface lisse (sans frottement) par une force de \( 30 \, N \). Quelle est son accélération ? 2. Un ascenseur de masse totale \( 500 \, kg \) (cabine + passagers) monte avec une accélération constante de \( 1,5 \, m/s^2 \). Quelle est la tension dans le câble de l'ascenseur ? (Prenez \( g = 9,81 \, m/s^2 \)). 3. Un bloc de \( 3 \, kg \) est poussé le long d'une table horizontale par une force de \( 15 \, N \). Si le coefficient de frottement cinétique entre le bloc et la table est de \( \mu_c = 0,2 \), quelle est l'accélération du bloc ? ### Devoirs 1. Un skieur de \( 70 \, kg \) descend une piste inclinée à \( 20° \). Le coefficient de frottement cinétique entre les skis et la neige est de \( 0,1 \). Calculez l'accélération du skieur. 2. Deux blocs sont connectés par une corde légère et inextensible passant sur une poulie sans frottement. Le bloc A (\( m_A = 4 \, kg \)) est sur une table horizontale avec un coefficient de frottement cinétique de \( 0,3 \). Le bloc B (\( m_B = 2 \, kg \)) est suspendu librement. Déterminez l'accélération des blocs et la tension dans la corde. (Dessinez les FBD pour chaque bloc). 3. Un colis de \( 25 \, kg \) est descendu verticalement dans un entrepôt à l'aide d'une corde. Si la corde ne peut supporter une tension maximale de \( 200 \, N \) sans rompre, quelle est l'accélération minimale avec laquelle le colis peut être descendu en toute sécurité ? ### Résumé Ce premier chapitre sur la dynamique des solides nous a introduit aux principes fondamentaux qui régissent le mouvement. Nous avons vu que la **Deuxième Loi de Newton**, \( \Sigma \vec{F} = m \cdot \vec{a} \), est l'outil central pour analyser la relation entre les forces et l'accélération d'un corps. Il est crucial de savoir identifier toutes les forces (poids, normale, frottement, tension, etc.), de les représenter correctement sur un diagramme de corps libre, et de projeter le PFD dans un référentiel galiléen. La maîtrise de ces concepts et de la méthode de résolution systématique est essentielle pour aborder des problèmes de dynamique plus complexes. ## Dynamique des solides (2) ### Introduction Dans la leçon précédente, nous avons abordé les bases de la dynamique des solides en translation. Cette deuxième partie est consacrée à l'étude des mouvements de rotation des corps rigides. Nous explorerons des concepts fondamentaux tels que le moment d'inertie, l'énergie cinétique de rotation, et comment les forces et les couples influencent ces mouvements. ### Concepts Clés #### 1. Moment d'Inertie Le moment d'inertie, noté \( J \), est l'analogue de la masse pour les mouvements de rotation. Il représente la résistance d'un corps à un changement de son état de rotation. ##### Définition Pour un système de particules discrètes, le moment d'inertie par rapport à un axe est la somme des produits de la masse de chaque particule par le carré de sa distance à l'axe: \[ J = \sum_i m_i r_i^2 \] Pour un solide continu, on utilise une intégrale: \[ J = \int r^2 dm \] L'unité du moment d'inertie est le kilogramme-mètre carré (\( kg \cdot m^2 \)). ##### Moments d'Inertie Usuels (quelques exemples) * **Disque ou Cylindre plein** (de masse \( M \), rayon \( R \), axe passant par son centre): \( J = \frac{1}{2} M R^2 \) * **Barre homogène** (de masse \( M \), longueur \( L \), axe passant par son centre et perpendiculaire à la barre): \( J = \frac{1}{12} M L^2 \) ##### Théorème de Huygens-Steiner (ou théorème des axes parallèles) Ce théorème permet de calculer le moment d'inertie \( J_{\Delta} \) d'un solide par rapport à un axe quelconque \( \Delta \) si l'on connaît son moment d'inertie \( J_G \) par rapport à un axe parallèle passant par son centre de masse \( G \). Si \( d \) est la distance entre les deux axes: \[ J_{\Delta} = J_G + M d^2 \] #### 2. Énergie Cinétique de Rotation Un corps en rotation possède de l'énergie cinétique de rotation. ##### Définition L'énergie cinétique de rotation \( E_c^{rot} \) est donnée par: \[ E_c^{rot} = \frac{1}{2} J \omega^2 \] où \( J \) est le moment d'inertie par rapport à l'axe de rotation et \( \omega \) est la vitesse angulaire (en \( rad/s \)). ##### Énergie Cinétique Totale pour un Mouvement Plan Pour un solide en mouvement plan (combinaison de translation et de rotation, par exemple un cylindre qui roule sans glisser), l'énergie cinétique totale est la somme de l'énergie cinétique de translation de son centre de masse et de l'énergie cinétique de rotation autour de son centre de masse: \[ E_c^{totale} = \frac{1}{2} M v_G^2 + \frac{1}{2} J_G \omega^2 \] où \( M \) est la masse totale, \( v_G \) est la vitesse du centre de masse, et \( J_G \) est le moment d'inertie par rapport à l'axe passant par \( G \). #### 3. Travail et Puissance d'un Couple ##### Travail d'un couple Lorsqu'un couple \( C \) fait tourner un solide d'un angle \( \Delta\theta \) (en radians), le travail \( W \) effectué est: \[ W = C \cdot \Delta\theta \] Si le couple varie, on utilise l'intégrale: \[ W = \int_{\theta_1}^{\theta_2} C(\theta) d\theta \] L'unité du travail est le Joule (J). ##### Puissance d'un couple La puissance \( P \) développée par un couple \( C \) agissant sur un solide en rotation à une vitesse angulaire \( \omega \) est: \[ P = C \cdot \omega \] L'unité de la puissance est le Watt (W). #### 4. Théorème de l'Énergie Cinétique (TEC) Le théorème de l'énergie cinétique est applicable aux mouvements de rotation. La variation de l'énergie cinétique d'un solide est égale à la somme des travaux de toutes les forces extérieures et couples appliqués au solide: \[ \Delta E_c = \sum W \] Pour un mouvement de rotation autour d'un axe fixe, \( \Delta E_c^{rot} = E_{c,finale}^{rot} - E_{c,initiale}^{rot} = \sum W_{couples} \). ### Vocabulaire * **Moment d'inertie (\( J \))**: Mesure de la résistance d'un corps à changer son état de rotation. * **Vitesse angulaire (\( \omega \))**: Vitesse de rotation, mesurée en radians par seconde (\( rad/s \)). * **Couple (\( C \))**: Tendance d'une force à provoquer ou modifier un mouvement de rotation, mesuré en Newton-mètre (\( N \cdot m \)). * **Théorème de Huygens-Steiner**: Permet de calculer le moment d'inertie par rapport à un axe parallèle à un axe passant par le centre de masse. * **Théorème de l'Énergie Cinétique (TEC)**: Principe selon lequel la variation d'énergie cinétique d'un système est égale au travail total des forces et couples externes. ### Exemples #### Exemple 1: Roue de vélo en rotation Une roue de vélo peut être modélisée comme un anneau mince de masse \( M=2~kg \) et de rayon \( R=0.3~m \). Son moment d'inertie est \( J = M R^2 \). Elle tourne à \( 100~tours/min \). 1. **Calcul du moment d'inertie**: \( J = (2~kg) \cdot (0.3~m)^2 = 2 \cdot 0.09 = 0.18~kg \cdot m^2 \). 2. **Conversion de la vitesse angulaire**: \( \omega = 100~tours/min \cdot \frac{2\pi~rad}{1~tour} \cdot \frac{1~min}{60~s} \approx 10.47~rad/s \). 3. **Calcul de l'énergie cinétique de rotation**: \( E_c^{rot} = \frac{1}{2} (0.18~kg \cdot m^2) (10.47~rad/s)^2 \approx \frac{1}{2} \cdot 0.18 \cdot 109.62 \approx 9.87~J \). #### Exemple 2: Cylindre roulant sur un plan incliné Un cylindre plein de masse \( M \) et de rayon \( R \) roule sans glisser sur un plan incliné. Son moment d'inertie par rapport à son axe central est \( J_G = \frac{1}{2} M R^2 \). Pour le roulement sans glissement, \( v_G = R \omega \). L'énergie cinétique totale est: \[ E_c^{totale} = \frac{1}{2} M v_G^2 + \frac{1}{2} J_G \omega^2 = \frac{1}{2} M (R\omega)^2 + \frac{1}{2} (\frac{1}{2} M R^2) \omega^2 \] \[ E_c^{totale} = \frac{1}{2} M R^2 \omega^2 + \frac{1}{4} M R^2 \omega^2 = \frac{3}{4} M R^2 \omega^2 \] ### Exercices 1. Une sphère homogène de masse \( M=5~kg \) et de rayon \( R=0.1~m \) a un moment d'inertie \( J_G = \frac{2}{5} M R^2 \) par rapport à un axe passant par son centre. Calculez son moment d'inertie si l'axe de rotation est tangent à la sphère. (Indice: Utilisez le théorème de Huygens-Steiner). 2. Un disque de \( 2~kg \) et de \( 0.2~m \) de rayon tourne à \( 300~tours/min \). Quelle est son énergie cinétique de rotation? 3. Un moteur exerce un couple constant de \( 20~N \cdot m \) sur un arbre pendant une rotation de \( 5 \) tours. Quel est le travail effectué par le moteur? ### Devoirs 1. Un treuil est constitué d'un cylindre plein de masse \( 10~kg \) et de rayon \( 0.2~m \). Une masse de \( 5~kg \) y est suspendue par un câble léger et inélastique. Si le système est libéré du repos, utilisez le Théorème de l'Énergie Cinétique pour calculer la vitesse angulaire du treuil après que la masse soit descendue de \( 1~m \). 2. Concevez un problème simple (avec solution) impliquant le calcul de l'énergie cinétique totale d'un objet composé qui combine translation et rotation (par exemple, un yo-yo qui descend ou un véhicule en mouvement). ### Résumé Dans cette leçon, nous avons approfondi la dynamique des solides en rotation. Les points clés à retenir sont: * Le **moment d'inertie** (\( J \)) est la mesure de l'inertie en rotation. * L'**énergie cinétique de rotation** est donnée par \( E_c^{rot} = \frac{1}{2} J \omega^2 \). * Le **Théorème de Huygens-Steiner** permet de trouver le moment d'inertie par rapport à un axe parallèle au centre de masse. * Le **travail d'un couple** est \( W = C \cdot \Delta\theta \) et sa **puissance** est \( P = C \cdot \omega \). * Le **Théorème de l'Énergie Cinétique** s'applique également à la rotation, reliant la variation d'énergie cinétique au travail total des couples. ## Dynamique des solides (3) ### Introduction Bienvenue dans ce troisième module sur la dynamique des solides ! Après avoir exploré les principes fondamentaux de la dynamique pour les mouvements de translation, nous allons maintenant nous plonger plus profondément dans les mouvements de rotation. Nous verrons comment les concepts de force et de masse se traduisent en moments et en moments d'inertie, et comment appliquer le Principe Fondamental de la Dynamique aux systèmes en rotation. Préparez-vous à comprendre comment l'énergie est conservée même lorsque les objets tournent ! ### Concepts Clés #### 1. Rappel : Principe Fondamental de la Dynamique (Translation) Pour un solide en translation, la somme vectorielle des forces extérieures appliquées est égale au produit de sa masse par l'accélération de son centre de masse. \[ \sum \vec{F}_{ext} = m \cdot \vec{a}_G \] Où : * \( \sum \vec{F}_{ext} \) est la somme des forces extérieures. * \( m \) est la masse du solide. * \( \vec{a}_G \) est l'accélération du centre de masse G. #### 2. Principe Fondamental de la Dynamique en Rotation (PFRD) Pour un solide en rotation autour d'un axe fixe (\( \Delta \)), le PFRD établit une relation entre la somme des moments des forces extérieures et l'accélération angulaire. ##### a. Moment d'une force (Couple) Le moment d'une force \( \vec{F} \) par rapport à un point O (ou à un axe \( \Delta \)) est sa capacité à faire tourner l'objet. Il est défini par : \( M_O(\vec{F}) = r \cdot F \cdot \sin(\alpha) \) Où : * \( M_O(\vec{F}) \) est le moment de la force par rapport à O. * \( r \) est la distance du point O à la ligne d'action de la force (bras de levier). * \( F \) est l'intensité de la force. * \( \alpha \) est l'angle entre le vecteur position \( \vec{r} \) et le vecteur force \( \vec{F} \). Pour un couple \( C \), son moment est simplement \( C \). Il est positif s'il tend à provoquer une rotation dans le sens positif (conventionnel). ##### b. Moment d'inertie (\( J_\Delta \) ou \( I_\Delta \)) Le moment d'inertie est l'équivalent de la masse pour les mouvements de rotation. Il représente la résistance d'un corps à changer son état de rotation. Il dépend de la masse du corps et de la répartition de cette masse par rapport à l'axe de rotation \( \Delta \). Pour une particule ponctuelle de masse \( m \) à une distance \( r \) de l'axe : \( J_\Delta = m r^2 \) Pour un solide continu, c'est l'intégrale sur la masse du solide : \( J_\Delta = \int r^2 dm \) Unités : kilogramme mètre carré (\( kg \cdot m^2 \)). ##### c. Équation du PFRD en Rotation La somme des moments des forces extérieures (ou des couples) par rapport à l'axe \( \Delta \) est égale au produit du moment d'inertie \( J_\Delta \) par l'accélération angulaire \( \ddot{\theta} \) (ou \( \alpha \)). \( \sum M_\Delta = J_\Delta \cdot \ddot{\theta} \) Où : * \( \sum M_\Delta \) est la somme des moments des forces et couples extérieurs par rapport à l'axe \( \Delta \). * \( J_\Delta \) est le moment d'inertie du solide par rapport à l'axe \( \Delta \). * \( \ddot{\theta} \) est l'accélération angulaire (en \( rad/s^2 \)). #### 3. Travail et Puissance d'un Couple ##### a. Travail d'un Couple Lorsqu'un couple \( C \) agit sur un solide et le fait tourner d'un angle \( \Delta\theta \) (en radians), le travail effectué est : \( W = C \cdot \Delta\theta \) Unités : Joules (J). ##### b. Puissance d'un Couple La puissance développée par un couple \( C \) agissant sur un solide en rotation avec une vitesse angulaire \( \dot{\theta} \) (ou \( \omega \)) est : \( P = C \cdot \dot{\theta} \) Unités : Watts (W). #### 4. Énergie Cinétique de Rotation Un solide en rotation possède une énergie cinétique de rotation, analogue à l'énergie cinétique de translation (\( \frac{1}{2} m v^2 \)). \( E_c^{rot} = \frac{1}{2} J_\Delta \cdot \dot{\theta}^2 \) Où : * \( E_c^{rot} \) est l'énergie cinétique de rotation. * \( J_\Delta \) est le moment d'inertie par rapport à l'axe de rotation. * \( \dot{\theta} \) est la vitesse angulaire (en \( rad/s \)). #### 5. Théorème de l'Énergie Cinétique (pour un solide en rotation) La variation de l'énergie cinétique de rotation d'un solide entre deux instants est égale à la somme des travaux des forces et couples extérieurs appliqués pendant cet intervalle. \( \Delta E_c^{rot} = E_{c2}^{rot} - E_{c1}^{rot} = \sum W_{ext} \) #### 6. Conservation de l'Énergie Mécanique (avec rotation) Si toutes les forces et couples extérieurs qui travaillent sont des forces conservatives (par exemple, gravité, ressorts), l'énergie mécanique totale du système (comprenant l'énergie cinétique de translation, de rotation et l'énergie potentielle) est conservée. \( E_m = E_c^{trans} + E_c^{rot} + E_p = constante \) Où : * \( E_c^{trans} = \frac{1}{2} m v_G^2 \) * \( E_c^{rot} = \frac{1}{2} J_\Delta \dot{\theta}^2 \) * \( E_p \) est l'énergie potentielle (gravitationnelle, élastique, etc.). ### Vocabulaire * **Moment d'une force (Couple)** : Capacité d'une force à provoquer ou modifier un mouvement de rotation autour d'un axe. Son unité est le Newton-mètre (N·m). * **Moment d'inertie (\( J_\Delta \))** : Mesure de la résistance d'un corps à la modification de son état de rotation. Dépend de la masse et de sa répartition par rapport à l'axe de rotation. Unité : \( kg \cdot m^2 \). * **Accélération angulaire (\( \ddot{\theta} \) ou \( \alpha \))** : Taux de variation de la vitesse angulaire. Unité : \( rad/s^2 \). * **Vitesse angulaire (\( \dot{\theta} \) ou \( \omega \))** : Taux de variation de la position angulaire. Unité : \( rad/s \). * **Travail d'un couple (\( W \))** : Énergie transférée par un couple lors d'une rotation. Unité : Joule (J). * **Puissance d'un couple (\( P \))** : Taux auquel le travail est effectué par un couple. Unité : Watt (W). * **Énergie cinétique de rotation (\( E_c^{rot} \))** : Énergie due au mouvement de rotation d'un corps. Unité : Joule (J). ### Exemples #### Exemple 1 : Démarrage d'une roue Une roue de rayon \( R=0.5 \ m \) et de moment d'inertie \( J = 2 \ kg \cdot m^2 \) est soumise à un couple moteur constant \( C = 10 \ N \cdot m \). Si la roue démarre du repos, quelle est son accélération angulaire ? * **Application du PFRD** : \( \sum M_\Delta = J \cdot \ddot{\theta} \) * Ici, \( \sum M_\Delta = C = 10 \ N \cdot m \) * Donc, \( 10 = 2 \cdot \ddot{\theta} \) * \( \ddot{\theta} = \frac{10}{2} = 5 \ rad/s^2 \) L'accélération angulaire de la roue est de \( 5 \ rad/s^2 \). #### Exemple 2 : Descente d'un cylindre sur un plan incliné Un cylindre homogène de masse \( m \) et de rayon \( R \) roule sans glisser sur un plan incliné d'un angle \( \alpha \). Déterminer l'accélération de son centre de masse. * **Forces en jeu** : Poids (\( m\vec{g} \)), Réaction normale (\( \vec{N} \)), Force de frottement statique (\( \vec{f} \)). * **PFRD en translation (axe x parallèle au plan)** : \( mg \sin(\alpha) - f = m a_G \) (1) * **PFRD en rotation (autour du centre G)** : Le moment d'inertie d'un cylindre homogène est \( J_G = \frac{1}{2} m R^2 \). Seule la force de frottement crée un moment par rapport à G : \( M_G = f \cdot R \). \( f \cdot R = J_G \cdot \ddot{\theta} = \frac{1}{2} m R^2 \cdot \ddot{\theta} \) (2) * **Condition de roulement sans glissement** : \( a_G = R \cdot \ddot{\theta} \) ou \( \ddot{\theta} = \frac{a_G}{R} \) * Substituons \( \ddot{\theta} \) dans (2) : \( f \cdot R = \frac{1}{2} m R^2 \cdot \frac{a_G}{R} \Rightarrow f = \frac{1}{2} m a_G \) (3) * Substituons \( f \) dans (1) : \( mg \sin(\alpha) - \frac{1}{2} m a_G = m a_G \) * \( mg \sin(\alpha) = \frac{3}{2} m a_G \) * \( a_G = \frac{2}{3} g \sin(\alpha) \) L'accélération du centre de masse du cylindre est \( \frac{2}{3} g \sin(\alpha) \). ### Exercices 1. Une toupie a un moment d'inertie de \( 0.005 \ kg \cdot m^2 \) par rapport à son axe de rotation. Quel couple est nécessaire pour lui donner une accélération angulaire de \( 20 \ rad/s^2 \) ?