CALCULS DE BETON ARME AUX ETATS LIMITES

# CALCULS DE BETON ARME AUX ETATS LIMITES ## Flexion à l'Etat Limite Ultime(1) # Flexion à l'Etat Limite Ultime (1)\n\n## Introduction\nBienvenue dans cette leçon consacrée aux calculs de béton armé en flexion à l'Etat Limite Ultime (ELU). Le béton armé est un matériau de construction essentiel, combinant la résistance à la compression du béton et la résistance à la traction de l'acier. Pour assurer la sécurité et la durabilité des structures, il est crucial de les dimensionner correctement face aux charges qu'elles devront supporter. Les calculs à l'ELU permettent de s'assurer que la structure ne s'effondrera pas ou ne subira pas de dommages irréversibles sous les sollicitations maximales prévues. Cette première partie vous introduira aux concepts fondamentaux de la flexion à l'ELU, aux hypothèses de calcul et aux diagrammes de comportement des matériaux.\n\n## Concepts Clés\n\n### Qu'est-ce que l'Etat Limite Ultime (ELU) ?\nL'Etat Limite Ultime (ELU) est un état où la structure atteint sa capacité portante maximale ou subit des dommages qui compromettent sa sécurité. En d'autres termes, c'est l'état à ne pas dépasser pour éviter la ruine ou l'instabilité de l'ouvrage. Il existe plusieurs types d'ELU, mais pour la flexion, nous nous concentrons sur l'ELU de résistance, qui assure que le matériau ne rompt pas.\n\n### Pourquoi calculer à l'ELU ?\nLes calculs à l'ELU sont essentiels pour garantir :\n* La **sécurité des personnes** : Éviter l'effondrement des bâtiments et les accidents.\n* L'**intégrité de la structure** : Empêcher la rupture des éléments porteurs (poutres, poteaux, dalles). Services.\n* Le **dimensionnement** : Déterminer les dimensions des sections de béton et les quantités d'armatures en acier nécessaires pour résister aux sollicitations extrêmes.\n\n### Hypothèses de calcul du béton armé à l'ELU en flexion\nPour simplifier les calculs tout en restant conservateur et sécuritaire, plusieurs hypothèses fondamentales sont admises :\n* **Hypothèse de Bernoulli** : Les sections planes avant déformation restent planes et normales à la fibre moyenne après déformation. Cela implique une distribution linéaire des déformations dans la section.\n* **Adhérence parfaite** : Il n'y a pas de glissement relatif entre l'acier et le béton. La déformation de l'acier est donc égale à celle du béton qui l'entoure.\n* **Déformation maximale du béton** : La déformation maximale admissible du béton en compression est limitée à \( \epsilon_{bc} = 3.5\text{‰} \).\n* **Négligence de la résistance à la traction du béton** : Le béton est un matériau peu performant en traction, sa résistance est donc négligée dans les calculs à l'ELU. Seules les armatures reprennent les efforts de traction.\n* **Diagrammes contraintes-déformations spécifiques** : Les comportements du béton et de l'acier sont modélisés par des diagrammes idéalisés.\n\n### Diagramme contraintes-déformations du béton à l'ELU\nÀ l'ELU, le comportement du béton est représenté par un diagramme idéalisé. Le plus couramment utilisé est le **diagramme parabole-rectangle** ou sa simplification, le **diagramme rectangulaire forfaitaire** (pour les bétons de classe jusqu'à C50/60). Ce dernier est souvent préféré pour sa simplicité :\n* La contrainte de compression dans le béton est considérée constante sur une partie de la hauteur comprimée.\n* La contrainte de calcul du béton est : \( f_{cd} = \frac{0.85 f_{c28}}{\gamma_b} \)\n * où \( f_{c28} \) est la résistance caractéristique à la compression du béton à 28 jours (en MPa).\n * \( \gamma_b \) est le coefficient de sécurité du béton (généralement \( 1.5 \) pour les situations courantes).\n * Le coefficient \( 0.85 \) prend en compte les effets de longue durée (fluage).\n* La hauteur du bloc de contrainte équivalent est souvent prise à \( 0.8y \) où \( y \) est la profondeur de l'axe neutre.\n\n### Diagramme contraintes-déformations de l'acier à l'ELU\nLe comportement de l'acier est modélisé par un **diagramme élasto-plastique parfait** :\n* Dans la phase élastique, la contrainte est proportionnelle à la déformation (Loi de Hooke).\n* Après avoir atteint la limite d'élasticité, l'acier entre en phase plastique et sa contrainte reste constante même si la déformation augmente (jusqu'à une certaine limite).\n* La contrainte de calcul de l'acier est : \( f_{sd} = \frac{f_e}{\gamma_s} \)\n * où \( f_e \) est la limite d'élasticité caractéristique de l'acier (en MPa).\n * \( \gamma_s \) est le coefficient de sécurité de l'acier (généralement \( 1.15 \) pour les situations courantes).\n* La déformation limite de l'acier est généralement prise à \( 10\text{‰} \) (pour des aciers courants comme les HA 500).\n\n### Principes de calcul de flexion simple à l'ELU\nLe calcul d'une section en flexion à l'ELU repose sur deux conditions d'équilibre fondamentales :\n1. **Équilibre des forces axiales** : La somme des forces de compression dans le béton doit être égale à la somme des forces de traction dans l'acier (dans le cas de la flexion simple sans effort normal).\n * Force de compression dans le béton : \( F_{bc} = (0.8y) \cdot b \cdot f_{cd} \) (pour une section rectangulaire)\n * Force de traction dans l'acier : \( F_s = A_s \cdot f_{sd} \) (si l'acier atteint sa limite d'élasticité)\n * Donc : \( (0.8y) \cdot b \cdot f_{cd} = A_s \cdot f_{sd} \)\n2. **Équilibre des moments** : Le moment résistant interne de la section (Moment Résistant Ultime, \( M_{ru} \)) doit être supérieur ou égal au moment de calcul sollicitant (Moment Ultime, \( M_u \)).\n * Le bras de levier \( z \) entre les forces \( F_{bc} \) et \( F_s \) est : \( z = d - 0.4y \)\n * Le moment résistant est alors : \( M_{ru} = F_s \cdot z = A_s \cdot f_{sd} \cdot (d - 0.4y) \) ou \( M_{ru} = F_{bc} \cdot z = (0.8y) \cdot b \cdot f_{cd} \cdot (d - 0.4y) \)\n * L'objectif est de s'assurer que \( M_u \le M_{ru} \).\n\n## Vocabulaire\n* **Béton Armé** : Matériau composite constitué de béton et d'armatures en acier, travaillant ensemble pour résister aux contraintes.\n* **Etat Limite Ultime (ELU)** : Etat de la structure au-delà duquel la ruine ou l'instabilité est atteinte.\n* **Flexion** : Déformation d'un élément structural sous l'action de forces perpendiculaires à son axe longitudinal, provoquant des contraintes de compression et de traction.\n* **Contrainte (\\( \sigma \\))** : Force interne par unité de surface au sein d'un matériau. Unité : MégaPascal (MPa) ou N/mm\( ^2 \).\n* **Déformation (\\( \epsilon \\))** : Variation de longueur par unité de longueur d'un matériau soumis à une contrainte. Unité : sans dimension (souvent en pour mille, ‰).\n* **Armatures** : Barres ou treillis en acier insérés dans le béton pour reprendre les efforts de traction.\n* **Axe Neutre** : Ligne dans une section transversale où les contraintes longitudinales sont nulles. Il sépare la zone comprimée de la zone tendue.\n* **Moment de calcul (\\( M_u \\))** : Valeur du moment fléchissant maximal que la structure doit supporter, calculée avec des coefficients de sécurité sur les charges.\n* **Moment résistant (\\( M_{ru} \\))** : Capacité maximale de la section à résister au moment fléchissant.\n* **Hauteur utile (\\( d \\))** : Distance entre la fibre la plus comprimée du béton et le centre de gravité des armatures tendues.\n\n## Exemples\n\n### Exemple de calcul de l'aire d'acier nécessaire\nConsidérons une poutre en béton armé de section rectangulaire soumise à un moment de calcul ultime \( M_u \). Nous voulons déterminer l'aire d'acier tendu \( A_s \) nécessaire.\n\n**Données :**\n* Section de la poutre : \( b = 25 \text{ cm} \) (largeur), \( d = 45 \text{ cm} \) (hauteur utile)\n* Béton : \( f_{c28} = 25 \text{ MPa} \) (\( \gamma_b = 1.5 \))\n* Acier : \( f_e = 500 \text{ MPa} \) (\( \gamma_s = 1.15 \))\n* Moment de calcul : \( M_u = 150 \text{ kNm} \)\n\n**Étapes :**\n1. **Calcul des résistances de calcul :**\n * Résistance de calcul du béton : \( f_{cd} = \frac{0.85 \times f_{c28}}{\gamma_b} = \frac{0.85 \times 25}{1.5} = 14.17 \text{ MPa} \)\n * Résistance de calcul de l'acier : \( f_{sd} = \frac{f_e}{\gamma_s} = \frac{500}{1.15} = 434.78 \text{ MPa} \)\n2. **Détermination de la position de l'axe neutre (y) :**\n Pour déterminer \( A_s \), on utilise l'équation du moment résistant. On peut exprimer \( y \) en fonction de \( A_s \) ou résoudre itérativement. Une méthode courante est d'utiliser une équation basée sur l'équilibre des moments.\n * Moment réduit \( \mu_{bu} = \frac{M_u}{b d^2 f_{cd}} \)\n \( \mu_{bu} = \frac{150 \times 10^6 \text{ Nmm}}{250 \text{ mm} \times (450 \text{ mm})^2 \times 14.17 \text{ N/mm}^2} \approx 0.209 \)\n * On trouve ensuite la position de l'axe neutre \( y \) à partir de ce moment réduit (par des abaques ou formules, e.g., \( y \) liée à \( \mu_{bu} \)). Pour le diagramme rectangulaire, on peut utiliser \( \frac{y}{d} = 1.25 (1 - \sqrt{1 - 2 \mu_{bu}}) \) qui donne \( y/d \approx 0.29 \), donc \( y = 0.29 \times 450 = 130.5 \text{ mm} \).\n * Vérification de la déformation du béton : \( y \) doit être inférieur à \( 0.618d \) (pour \( \epsilon_c = 3.5\text{‰} \) et \( \epsilon_s = 10\text{‰} \)). Ici, \( 0.29d < 0.618d \) donc la section est sous-armée, et l'acier atteint bien sa limite d'élasticité.\n3. **Calcul de l'aire d'acier nécessaire (\\( A_s \\)) :**\n * Bras de levier : \( z = d - 0.4y = 450 - 0.4 \times 130.5 = 397.8 \text{ mm} \)\n * À l'équilibre, \( M_u = A_s f_{sd} z \)\n * \( A_s = \frac{M_u}{f_{sd} \cdot z} = \frac{150 \times 10^6 \text{ Nmm}}{434.78 \text{ N/mm}^2 \times 397.8 \text{ mm}} \approx 868 \text{ mm}^2 = 8.68 \text{ cm}^2 \)\n\nOn devra donc prévoir une section d'armatures tendues d'au moins \( 8.68 \text{ cm}^2 \).\n\n## Exercices\n\n1. Définissez ce qu'est l'Etat Limite Ultime (ELU) et expliquez pourquoi il est si important de le considérer dans le dimensionnement des structures en béton armé.\n2. Énumérez les trois principales hypothèses de calcul du béton armé à l'ELU en flexion simple.\n3. Une poutre rectangulaire a pour dimensions \( b = 30 \text{ cm} \) et une hauteur utile \( d = 50 \text{ cm} \). Le béton utilisé a une résistance \( f_{c28} = 30 \text{ MPa} \) et l'acier une limite d'élasticité \( f_e = 500 \text{ MPa} \). En prenant \( \gamma_b = 1.5 \) et \( \gamma_s = 1.15 \) :\n * Calculez la contrainte de calcul du béton \( f_{cd} \).\n * Calculez la contrainte de calcul de l'acier \( f_{sd} \).\n4. En utilisant les résultats de l'exercice 3, si la poutre est soumise à un moment de calcul \( M_u = 200 \text{ kNm} \), estimez la profondeur \( y \) de l'axe neutre et l'aire d'acier \( A_s \) nécessaire (vous pouvez utiliser l'approche par le moment réduit \( \mu_{bu} \) et la formule \( \frac{y}{d} = 1.25 (1 - \sqrt{1 - 2 \mu_{bu}}) \) ).\n\n## Devoir\n\n**Problème :** Vérification de la capacité d'une section en flexion.\nUne poutre en béton armé de section rectangulaire \( b = 30 \text{ cm} \) et \( h = 60 \text{ cm} \) (hauteur utile \( d = 55 \text{ cm} \) ) est armée en partie inférieure par 4 barres de diamètre \( \phi 20 \text{ mm} \). \n(\n L'aire d'une barre \( \phi 20 \text{ mm} \) est \( \pi \cdot (10 \text{ mm})^2 \approx 314 \text{ mm}^2 \). Donc l'aire totale \( A_s = 4 \times 314 = 1256 \text{ mm}^2 = 12.56 \text{ cm}^2 \).\n)\nLe béton a une résistance \( f_{c28} = 25 \text{ MPa} \) et l'acier a une limite d'élasticité \( f_e = 500 \text{ MPa} \).\n\n**Questions :**\n1. Calculez les contraintes de calcul \( f_{cd} \) et \( f_{sd} \) en utilisant les coefficients de sécurité \( \gamma_b = 1.5 \) et \( \gamma_s = 1.15 \).\n2. En supposant que l'acier atteint sa limite d'élasticité (hypothèse usuelle pour une section sous-armée), déterminez la position \( y \) de l'axe neutre en utilisant l'équilibre des forces.\n3. Vérifiez que la déformation du béton en compression \( \epsilon_c \) reste inférieure à \( 3.5\text{‰} \) et que l'hypothèse de l'acier élastique est vérifiée. Est-ce que la section est correctement dimensionnée du point de vue des déformations ?\n4. Calculez le moment résistant ultime \( M_{ru} \) que cette section peut supporter.\n\n## Résumé\nCette leçon nous a permis d'explorer les bases du calcul en flexion des structures en béton armé à l'Etat Limite Ultime. Nous avons mis en évidence l'importance de l'ELU pour la sécurité des constructions et les hypothèses simplificatrices essentielles. La compréhension des diagrammes contraintes-déformations du béton et de l'acier, ainsi que l'application des conditions d'équilibre des forces et des moments, sont fondamentales pour déterminer le dimensionnement nécessaire des éléments en béton armé. Dans la prochaine leçon, nous approfondirons ces calculs et aborderons des cas plus complexes de flexion. ## Flexion à l'Etat Limite Ultime (2) ### Introduction Bienvenue à cette deuxième partie du cours sur le calcul des structures en béton armé à l'État Limite Ultime (ELU) en flexion. Dans la leçon précédente, nous avons introduit les principes fondamentaux de l'ELU et les hypothèses de base. Aujourd'hui, nous allons approfondir ces concepts en nous concentrant sur les méthodes de calcul détaillées pour déterminer la résistance d'une section à la flexion, notamment la position de l'axe neutre, le bras de levier des forces internes et le moment résistant ultime. Nous insisterons sur l'importance d'assurer une rupture ductile de la structure. ### Concepts Clés #### Rappel des Hypothèses de Calcul à l'ELU en Flexion Simple Pour rappel, les calculs à l'ELU en flexion sont basés sur les hypothèses suivantes (selon l'Eurocode 2): * **Hypothèse de Bernoulli:** Les sections planes avant déformation restent planes après déformation. Cela signifie une répartition linéaire des déformations dans la section. * **Déformation maximale du béton:** La déformation de compression maximale du béton est limitée à \[ \epsilon_{bc} = 3.5 \permil \] (ou \( 0.0035 \)). * **Diagramme Contraintes-Déformations du Béton:** Pour les calculs à l'ELU, on utilise un diagramme simplifié, souvent le diagramme rectangulaire équivalent de l'Eurocode 2. Ce diagramme représente une contrainte de compression constante de \( 0.85 f_{cd} \) sur une hauteur de \( 0.8x \) (où \( x \) est la hauteur de l'axe neutre). * La résistance de calcul du béton est \[ f_{cd} = \frac{0.85 f_{cK}}{\gamma_b} \] où \( f_{cK} \) est la résistance caractéristique du béton et \( \gamma_b \) est le coefficient de sécurité du béton (généralement 1,5). * **Diagramme Contraintes-Déformations de l'Acier:** Pour l'acier, on utilise un diagramme bilinéaire élasto-plastique. L'acier est supposé atteindre sa limite élastique de calcul. * La résistance de calcul de l'acier est \[ f_{yd} = \frac{f_{eK}}{\gamma_s} \] où \( f_{eK} \) est la limite élastique caractéristique de l'acier et \( \gamma_s \) est le coefficient de sécurité de l'acier (généralement 1,15). #### Calcul de la Position de l'Axe Neutre (x) La position de l'axe neutre \( x \) est cruciale car elle sépare la zone comprimée (béton) de la zone tendue (acier). On la détermine en écrivant l'équilibre des forces internes: la force de compression dans le béton doit équilibrer la force de traction dans l'acier. Pour une section rectangulaire de largeur \( b \), hauteur utile \( d \) et section d'armatures tendues \( A_s \): * **Force de compression dans le béton (\( F_c \)):** \[ F_c = (0.8x) \cdot b \cdot (0.85 f_{cd}) \] * **Force de traction dans l'acier (\( F_s \)):** \[ F_s = A_s \cdot f_{yd} \] * **Équilibre:** \( F_c = F_s \), donc: \[ 0.8x \cdot b \cdot (0.85 f_{cd}) = A_s \cdot f_{yd} \] D'où la position de l'axe neutre: \[ x = \frac{A_s \cdot f_{yd}}{0.8 \cdot b \cdot (0.85 f_{cd})} \] #### Détermination du Bras de Levier (z) Le bras de levier \( z \) est la distance entre le centre de gravité des forces de compression du béton et le centre de gravité des forces de traction de l'acier. Pour le diagramme rectangulaire équivalent: \[ z = d - 0.4x \] #### Calcul du Moment Résistant Ultime (\( M_{ru} \)) Le moment résistant ultime de la section est le produit de l'une des forces internes (compression ou traction) par le bras de levier: \[ M_{ru} = F_s \cdot z = A_s \cdot f_{yd} \cdot z \] Ou alternativement: \[ M_{ru} = F_c \cdot z = (0.8x \cdot b \cdot 0.85 f_{cd}) \cdot z \] #### Sections Sous-Armées et Rupture Ductile Pour assurer la sécurité et la ductilité d'une structure en béton armé, on vise toujours une **rupture de type sous-armée**. Cela signifie que l'acier atteint sa limite élastique et se plastifie avant que le béton n'atteigne sa déformation ultime de rupture. * **Condition de section sous-armée:** La position de l'axe neutre \( x \) doit être inférieure ou égale à une valeur limite \( x_{lim} \). Pour l'Eurocode 2, pour des raisons de ductilité, on limite souvent \( x \) à environ \( 0.45d \) à \( 0.5d \) (pour des aciers de classe B500B et bétons courants). \[ x \le x_{lim} \] Si \( x > x_{lim} \), la section est dite sur-armée, ce qui conduit à une rupture fragile du béton, généralement non souhaitable. ### Vocabulaire * **ELU (État Limite Ultime):** État où la structure ne peut plus supporter les charges sans risque de ruine ou de déformation excessive. C'est un critère de résistance. * **Béton armé:** Matériau composite constitué de béton et d'armatures d'acier travaillant ensemble. * **Flexion:** Sollicitation qui provoque une courbure dans un élément structurel (poutre, dalle). * **Axe neutre:** Ligne dans une section transversale où les déformations et les contraintes normales sont nulles. * **Bras de levier (z):** Distance entre le centre de compression du béton et le centre de traction de l'acier. * **Moment résistant ultime (\( M_{ru} \)):** Moment maximal que peut supporter une section avant d'atteindre l'ELU. * **Hauteur utile (d):** Distance entre la fibre la plus comprimée et le centre de gravité des armatures tendues. * **Section sous-armée:** Section dont la rupture est initiée par la plastification de l'acier, garantissant une rupture ductile. * **Section sur-armée:** Section dont la rupture est initiée par l'écrasement du béton avant la plastification de l'acier, conduisant à une rupture fragile. * **Ductilité:** Capacité d'un matériau ou d'une structure à subir de grandes déformations plastiques avant la rupture, souvent souhaitable pour la sécurité. ### Exemples #### Exemple 1: Calcul du Moment Résistant d'une Poutre Rectangulaire Considérons une poutre en béton armé de section rectangulaire avec les caractéristiques suivantes: * Largeur \( b = 30 \text{ cm} \) * Hauteur utile \( d = 50 \text{ cm} \) * Section d'armatures tendues \( A_s = 10 \text{ cm}^2 \) (par exemple, 2 barres de \( \phi \) 25 mm) * Béton C25/30: \( f_{cK} = 25 \text{ MPa} \) (on prendra \( \gamma_b = 1.5 \)) * Acier B500B: \( f_{eK} = 500 \text{ MPa} \) (on prendra \( \gamma_s = 1.15 \)) **1. Calcul des résistances de calcul:** * \( f_{cd} = \frac{0.85 \cdot 25}{1.5} \approx 14.17 \text{ MPa} \) * \( f_{yd} = \frac{500}{1.15} \approx 434.78 \text{ MPa} \) **2. Calcul de la position de l'axe neutre (\( x \)):** Convertissons les unités en mètres et Pascals: \( b = 0.3 \text{ m} \), \( d = 0.5 \text{ m} \), \( A_s = 10 \cdot 10^{-4} \text{ m}^2 \) \[ x = \frac{A_s \cdot f_{yd}}{0.8 \cdot b \cdot (0.85 f_{cd})} \] \[ x = \frac{(10 \cdot 10^{-4}) \cdot (434.78 \cdot 10^6)}{0.8 \cdot 0.3 \cdot (0.85 \cdot 14.17 \cdot 10^6)} \] \[ x = \frac{434780}{0.24 \cdot 12.04 \cdot 10^6} = \frac{434780}{2.8896 \cdot 10^6} \approx 0.150 \text{ m} = 15 \text{ cm} \] **3. Vérification de la condition de non-fragilité:** Pour l'acier B500B et le béton C25/30, \( x_{lim} \) est environ \( 0.45d \). \( x_{lim} = 0.45 \cdot 50 \text{ cm} = 22.5 \text{ cm} \) Puisque \( x = 15 \text{ cm} < x_{lim} = 22.5 \text{ cm} \), la section est sous-armée et la rupture sera ductile. **4. Calcul du bras de levier (\( z \)):** \[ z = d - 0.4x = 50 \text{ cm} - 0.4 \cdot 15 \text{ cm} = 50 - 6 = 44 \text{ cm} = 0.44 \text{ m} \] **5. Calcul du moment résistant ultime (\( M_{ru} \)):** \[ M_{ru} = A_s \cdot f_{yd} \cdot z \] \[ M_{ru} = (10 \cdot 10^{-4} \text{ m}^2) \cdot (434.78 \cdot 10^6 \text{ Pa}) \cdot (0.44 \text{ m}) \] \[ M_{ru} = 434780 \cdot 0.44 \approx 191303 \text{ Nm} \approx 191.3 \text{ kNm} \] La poutre peut résister à un moment fléchissant ultime de 191.3 kNm. ### Exercices #### Exercice 1 Une poutre en béton armé a une section rectangulaire de \( b = 25 \text{ cm} \) et \( d = 45 \text{ cm} \). Elle est armée avec \( A_s = 8 \text{ cm}^2 \) d'acier B500B. Le béton est de classe C30/37. (Prendre \( \gamma_b = 1.5 \) et \( \gamma_s = 1.15 \)). 1. Calculez \( f_{cd} \) et \( f_{yd} \). 2. Déterminez la position de l'axe neutre \( x \). 3. Vérifiez si la section est sous-armée (on considèrera \( x_{lim} = 0.45d \)). 4. Calculez le bras de levier \( z \). 5. Déduisez le moment résistant ultime \( M_{ru} \) de la section. #### Exercice 2 Vous devez dimensionner les armatures tendues \( A_s \) d'une poutre rectangulaire soumise à un moment ultime de calcul \( M_{u,ser} = 150 \text{ kNm} \). Les données sont les suivantes: * Largeur \( b = 20 \text{ cm} \) * Hauteur utile \( d = 40 \text{ cm} \) * Béton C25/30 * Acier B500B * On limitera l'axe neutre à \( x_{lim} = 0.45d \) pour assurer la ductilité. 1. Calculez les résistances de calcul \( f_{cd} \) et \( f_{yd} \). 2. En utilisant \( x = x_{lim} \), calculez le bras de levier \( z \). 3. Déduisez la section d'armatures \( A_s \) nécessaire. (Conseil: Calculez \( F_s \) à partir de \( M_{u,ser} \) et \( z \), puis \( A_s \)). ### Devoir à la Maison 1. Reprenez l'Exercice 1 en supposant que la section d'armatures \( A_s \) est augmentée à \( 15 \text{ cm}^2 \). Quel serait le nouvel \( x \) ? La section serait-elle toujours sous-armée ? Si non, quelle est l'implication pour le comportement de la poutre ? 2. Pour l'Exercice 2, si vous étiez limité à \( A_s \) maximum de \( 12 \text{ cm}^2 \) pour des raisons d'encombrement, quelle serait l'action à entreprendre pour que la poutre puisse résister au moment \( M_{u,ser} = 150 \text{ kNm} \) ? (Plusieurs solutions peuvent être envisagées, par exemple changer les dimensions de la poutre ou la classe du béton/acier). 3. Effectuez une recherche sur l'importance des sections sous-armées dans le dimensionnement parasismique des structures en béton armé. Rédigez un court paragraphe expliquant pourquoi la ductilité est essentielle dans ce contexte. ### Résumé Dans cette leçon, nous avons approfondi les calculs de flexion à l'ELU pour les sections en béton armé. Nous avons revu les hypothèses clés, appris à calculer la position de l'axe neutre \( x \) et le bras de levier \( z \), et surtout, à déterminer le moment résistant ultime \( M_{ru} \) d'une section. Nous avons mis en évidence l'importance capitale de dimensionner les sections pour qu'elles soient sous-armées, garantissant ainsi une rupture ductile et une meilleure sécurité des ouvrages. La maîtrise de ces calculs est fondamentale pour tout ingénieur ou technicien du bâtiment travaillant avec le béton armé. ## Compression centrée ### Introduction Bienvenue à cette leçon sur la compression centrée en béton armé. En Mécanique Appliquée, comprendre comment les éléments d'une structure réagissent aux forces est fondamental. Aujourd'hui, nous allons nous concentrer sur la **compression centrée**, un cas de sollicitation où une force s'applique exactement au centre de gravité d'un élément, comme un poteau. Ce type de calcul est crucial pour dimensionner correctement les poteaux et les voiles en béton armé afin de garantir la sécurité et la durabilité des bâtiments. ### Concepts Clés #### Qu'est-ce que la compression centrée ? La compression centrée est une sollicitation axiale où une force de compression \( N \) est appliquée le long de l'axe longitudinal d'un élément, et son point d'application coïncide avec le centre de gravité de la section transversale de l'élément. Dans ce cas, les contraintes sont uniformément réparties sur la section. #### Hypothèses de calcul Pour simplifier les calculs à notre niveau, nous nous basons sur plusieurs hypothèses: * **Sections planes restent planes :** Avant et après déformation, les sections planes de l'élément restent planes et perpendiculaires à la fibre moyenne. Ceci est la théorie de Navier-Bernoulli. * **Matériaux :** * Le béton est un matériau fragile à la traction mais résistant à la compression. * L'acier est un matériau ductile, résistant à la traction et à la compression. * **Non-élancement :** Nous considérons que l'élément n'est pas élancé, ce qui signifie que le risque de flambement (perte de stabilité latérale) est négligeable pour cette leçon. Les poteaux élancés nécessitent des calculs plus complexes. #### Calcul à l'État Limite Ultime (ELU) L'État Limite Ultime (ELU) correspond à l'état où la structure ou l'un de ses éléments atteint sa capacité portante maximale ou devient instable. Pour la compression centrée, il s'agit de s'assurer que l'élément ne rupture pas sous les charges maximales pondérées. ##### Forces et Résistances de calcul Les forces agissantes sont pondérées par des coefficients de sécurité pour tenir compte des incertitudes sur les charges et sur la résistance des matériaux. La résistance de calcul d'une section en béton armé soumise à la compression centrée est donnée par la somme de la résistance du béton et de la résistance des armatures longitudinales. La formule générale pour la capacité portante ultime \( N_{Rd} \) d'une section en compression centrée est: \[ N_{Rd} = A_c imes f_{cd} + A_s imes f_{yd} \] Où: * \( N_{Rd} \) : Résistance de calcul de la section à l'ELU (en Newtons). * \( A_c \) : Aire de la section de béton (en \( mm^2 \)). * \( f_{cd} \) : Résistance de calcul à la compression du béton (en MPa). * \( A_s \) : Aire totale des armatures longitudinales (en \( mm^2 \)). * \( f_{yd} \) : Résistance de calcul à la traction ou compression de l'acier (en MPa). ##### Résistances de calcul des matériaux Les résistances de calcul sont obtenues à partir des résistances caractéristiques des matériaux, divisées par des coefficients de sécurité partiels: * **Pour le béton (Eurocode 2):** \[ f_{cd} = \frac{f_{ck}}{\gamma_c} \] Où: * \( f_{ck} \) : Résistance caractéristique à la compression du béton à 28 jours (par exemple, C25/30 signifie \( f_{ck} \) = 25 MPa). * \( \gamma_c \) : Coefficient de sécurité partiel pour le béton. En général, \( \gamma_c \) = 1,5 à l'ELU. * **Pour l'acier (Eurocode 2):** \[ f_{yd} = \frac{f_{yk}}{\gamma_s} \] Où: * \( f_{yk} \) : Limite d'élasticité caractéristique de l'acier (par exemple, FeB500 signifie \( f_{yk} \) = 500 MPa). * \( \gamma_s \) : Coefficient de sécurité partiel pour l'acier. En général, \( \gamma_s \) = 1,15 à l'ELU. ##### Armatures minimales et maximales Pour des raisons de ductilité, de retrait et de fluage, des pourcentages minimaux d'armatures sont requis. De même, des pourcentages maximaux sont imposés pour assurer un bon enrobage et la compacité du béton. * \( A_{s,min} = max\left(0,10 \frac{N_{Ed}}{f_{yd}} ; 0,002 A_c\right) \) pour les poteaux. * \( A_{s,max} \le 0,04 A_c \) dans le cas général (peut aller jusqu'à 0,08 \( A_c \) aux jonctions). #### Calcul à l'État Limite de Service (ELS) L'État Limite de Service (ELS) concerne les conditions d'utilisation normales de la structure (déformations, fissures, vibrations). Pour la compression centrée, les vérifications à l'ELS sont souvent moins critiques que pour l'ELU, mais peuvent inclure la vérification des contraintes pour s'assurer qu'elles ne dépassent pas les limites admissibles et que les déformations restent acceptables. ### Vocabulaire * **Compression centrée :** Sollicitation où la force est appliquée le long de l'axe longitudinal et passe par le centre de gravité de la section. * **Béton armé :** Matériau composite constitué de béton et d'armatures en acier, travaillant ensemble. * **État Limite Ultime (ELU) :** État où la structure atteint sa capacité maximale de résistance ou devient instable. * **État Limite de Service (ELS) :** État où la structure cesse de remplir les conditions d'utilisation normale (confort, esthétique). * **Coefficient de sécurité :** Facteur appliqué aux charges ou aux résistances des matériaux pour tenir compte des incertitudes. * **Résistance caractéristique (\( f_{ck}, f_{yk} \)) :** Valeur de résistance d'un matériau ayant une probabilité faible d'être inférieure. * **Contrainte de calcul (\( f_{cd}, f_{yd} \)) :** Résistance caractéristique divisée par un coefficient de sécurité partiel. * **Armatures longitudinales :** Barres d'acier principales, placées dans le sens de la longueur de l'élément, reprenant les efforts axiaux. * **Cadres / Épingles / Armatures transversales :** Armatures secondaires qui maintiennent les armatures longitudinales en place et améliorent la résistance au cisaillement et le confinement du béton. ### Exemples #### Exemple 1 : Vérification d'un poteau Un poteau carré de 30 cm de côté en béton C25/30 est armé avec 8 barres de \( \phi \) 16 (acier FeB500). Il est soumis à une charge axiale ultime \( N_{Ed} \) de 1500 kN. Vérifiez la résistance de ce poteau. **Données :** * Poteau carré : 30 cm x 30 cm. * Béton C25/30 : \( f_{ck} \) = 25 MPa, \( \gamma_c \) = 1,5 \(\implies f_{cd} = 25/1,5 = 16,67 \text{ MPa} \). * Acier FeB500 : \( f_{yk} \) = 500 MPa, \( \gamma_s \) = 1,15 \(\implies f_{yd} = 500/1,15 = 434,78 \text{ MPa} \). * Armatures : 8 barres de \( \phi \) 16. L'aire d'une barre \( \phi \) 16 est \( A_{barre} = \pi (16/2)^2 = 201,06 \text{ mm}^2 \). Donc \( A_s = 8 \times 201,06 = 1608,48 \text{ mm}^2 \). * Charge ultime \( N_{Ed} \) = 1500 kN = \( 1500 \times 10^3 \text{ N} \). **Calculs :** 1. **Aire de béton \( A_c \) :** \( A_{brute} = 300 \text{ mm} \times 300 \text{ mm} = 90000 \text{ mm}^2 \). L'aire de béton à prendre en compte est \( A_c = A_{brute} - A_s = 90000 - 1608,48 = 88391,52 \text{ mm}^2 \). 2. **Résistance de calcul \( N_{Rd} \) :** \[ N_{Rd} = A_c \times f_{cd} + A_s \times f_{yd} \] \( N_{Rd} = (88391,52 \text{ mm}^2 \times 16,67 \text{ MPa}) + (1608,48 \text{ mm}^2 \times 434,78 \text{ MPa}) \) \( N_{Rd} = 1473489,6 + 699478,5 \) \( N_{Rd} = 2172968,1 \text{ N} \) \( N_{Rd} = 2172,97 \text{ kN} \) **Conclusion :** La résistance du poteau \( N_{Rd} \) est de 2172,97 kN. La charge ultime appliquée \( N_{Ed} \) est de 1500 kN. Puisque \( N_{Ed} \le N_{Rd} \) (1500 kN \( \le \) 2172,97 kN), le poteau est **résistant** à la compression centrée pour cette charge. ### Exercices #### Exercice 1 Un poteau circulaire de diamètre 40 cm en béton C30/37 est armé avec 12 barres de \( \phi \) 20 (acier FeB500). Calculez la résistance de calcul à l'ELU de ce poteau. #### Exercice 2 Un voile en béton de 20 cm d'épaisseur et de 3 mètres de long (représentant une bande de 1 mètre pour le calcul) doit supporter une charge ultime de 2000 kN/mètre linéaire. Le béton est de classe C20/25 et l'acier est FeB500. Déterminez l'aire minimale d'armatures longitudinales requises (\( A_s \) en \( mm^2/m \)) pour cette section, en respectant \( A_{s,min} = 0,002 A_c \). ### Devoir #### Problème 1 Vous devez concevoir un poteau carré en béton armé qui doit supporter une charge permanente \( G \) de 500 kN et une charge d'exploitation \( Q \) de 300 kN. Les coefficients de pondération sont \( \gamma_G \) = 1,35 et \( \gamma_Q \) = 1,5. Le béton est de classe C25/30 et l'acier est FeB500. 1. Calculez la charge ultime de calcul \( N_{Ed} \). 2. Déterminez les dimensions minimales du côté du poteau si vous n'utilisez aucune armature longitudinale (seulement du béton). 3. Si le côté du poteau est fixé à 40 cm, quelle est l'aire minimale d'armatures longitudinales (en \( mm^2 \)) requise pour le poteau, en tenant compte de \( A_{s,min} = 0,002 A_c \)? (Utilisez \( A_c \) comme l'aire brute du béton moins l'aire des armatures minimales déjà calculée pour être plus précis). 4. Proposez une disposition d'armatures (nombre et diamètre des barres) qui répond à ce besoin, en respectant \( A_{s,max} \le 0,04 A_c \). ### Résumé Dans cette leçon, nous avons exploré le calcul en **compression centrée** pour les éléments en béton armé. Nous avons appris que : * La compression centrée est une sollicitation axiale où la force agit au centre de gravité de la section. * Le calcul à l'**État Limite Ultime (ELU)** est essentiel pour garantir la sécurité et la non-rupture de la structure. * La résistance d'un élément en compression est la somme des résistances du béton et des armatures longitudinales, pondérées par les coefficients de sécurité des matériaux. * La formule clé pour la résistance de calcul est \[ N_{Rd} = A_c \times f_{cd} + A_s \times f_{yd} \]. * Les **coefficients de sécurité** (\( \gamma_c \) et \( \gamma_s \)) sont cruciaux pour la fiabilité du dimensionnement. * Des **armatures minimales et maximales** sont requises pour assurer la ductilité et la constructibilité. Comprendre la compression centrée est une étape fondamentale dans l'étude de la mécanique appliquée et du dimensionnement des structures en béton armé. ## Flexion à l'Etat Limite de Service ### Introduction Bienvenue à cette leçon sur le calcul de béton armé à l'Etat Limite de Service (ELS) en flexion. En génie civil, il est crucial non seulement de s'assurer qu'une structure ne s'effondrera pas sous des charges extrêmes (c'est le rôle de l'Etat Limite Ultime ou ELU), mais aussi qu'elle se comporte de manière satisfaisante sous les charges d'utilisation courantes. L'ELS garantit la durabilité de l'ouvrage, le confort des usagers et son aspect esthétique en limitant les déformations excessives et les fissurations. Cette leçon vous guidera à travers les principes et les méthodes de calcul en ELS pour les éléments fléchis en béton armé. ### Concepts Clés #### Qu'est-ce que l'Etat Limite de Service (ELS) ? L'ELS est un état où une structure ou un élément de structure atteint une limite d'aptitude au service. En d'autres termes, la structure doit être capable de remplir sa fonction sans inconvénients majeurs pour l'utilisateur ou la durabilité de l'ouvrage. Les objectifs principaux de la vérification à l'ELS sont : * **Durabilité :** Limiter l'ouverture des fissures pour protéger les armatures de la corrosion. * **Confort :** Eviter les déformations excessives (flèches) qui pourraient nuire à l'esthétique, au bon fonctionnement des éléments non structuraux (cloisons, revêtements) ou causer des vibrations désagréables. * **Esthétique :** Maîtriser l'aspect général de la structure en évitant une fissuration trop visible. Les charges considérées en ELS sont les charges d'exploitation normales (permanentes et variables) non majorées par des coefficients de sécurité partiels, contrairement à l'ELU. #### Hypothèses de Calcul en ELS pour la Flexion Simple Pour le calcul en ELS, on utilise généralement le modèle du **béton fissuré**, car le béton travaille mal en traction. Les hypothèses sont les suivantes : 1. La section droite reste plane après déformation (hypothèse de Navier-Bernoulli). 2. Le comportement des matériaux (béton et acier) est élastique linéaire. 3. La liaison béton-acier est parfaite. 4. Le béton tendu est fissuré et ne participe plus à la reprise des efforts de traction. Seules les armatures reprennent la traction. 5. Le béton comprimé travaille selon un diagramme contrainte-déformation linéaire. #### Contraintes Admissibles en ELS Pour assurer la durabilité et le service, les contraintes dans le béton et l'acier sont limitées en ELS. ##### Contrainte dans le béton comprimé ( \( \sigma_{bc} \) ) La contrainte de compression dans le béton doit être inférieure ou égale à une valeur limite : \( \sigma_{bc} \le \overline{\sigma_{bc}} = 0.6 f_{c28} \) Où : * \( f_{c28} \) est la résistance caractéristique à la compression du béton à 28 jours (en MPa). ##### Contrainte dans l'acier tendu ( \( \sigma_s \) ) La contrainte de traction dans l'acier doit être inférieure ou égale à une valeur limite : \( \sigma_s \le \overline{\sigma_s} = \frac{2}{3} f_e \) Où : * \( f_e \) est la limite élastique de l'acier (en MPa). Ces limites sont fixées pour contrôler la fissuration du béton et les déformations de la structure. #### Méthode de la Section Transformée Pour calculer les contraintes dans une section en béton armé fissuré, on utilise la méthode de la **section transformée**. Puisque le béton tendu est négligé et que l'acier et le béton ont des modules d'élasticité différents, on "transforme" la section d'acier en une section équivalente de béton. Pour cela, on utilise le **coefficient d'équivalence n** : \( n = \frac{E_s}{E_b} \) Où : * \( E_s \) est le module de Young de l'acier (généralement 200 000 MPa). * \( E_b \) est le module de Young longitudinal instantané du béton. \( E_b \) dépend de la classe de béton. Par exemple, pour un béton de classe C25/30, \( E_b \approx 32 000 \text{ MPa} \). La section d'acier \( A_s \) est remplacée par une section équivalente de béton \( A'_{s} = n A_s \) placée au même niveau que l'acier. On calcule ensuite l'axe neutre et les moments d'inertie de cette section "homogène" en béton. Le calcul des contraintes se fait ensuite par les formules classiques de résistance des matériaux : \( \sigma_{bc} = \frac{M_{serv}}{I_g} y_{bc} \) \( \sigma_s = n \frac{M_{serv}}{I_g} y_s \) Où : * \( M_{serv} \) est le moment de flexion de service. * \( I_g \) est le moment d'inertie de la section transformée par rapport à l'axe neutre. * \( y_{bc} \) est la distance entre l'axe neutre et la fibre la plus comprimée du béton. * \( y_s \) est la distance entre l'axe neutre et les armatures tendues. ### Vocabulaire * **ELS (Etat Limite de Service) :** Ensemble des conditions pour lesquelles une structure remplit sa fonction sans désagrément pour l'utilisateur ni atteinte à sa durabilité (fissuration, déformation, vibration). * **ELU (Etat Limite Ultime) :** Ensemble des conditions pour lesquelles une structure résiste sans rupture ni instabilité sous les charges extrêmes. * **Flexion Simple :** Sollicitation où un élément est soumis à un moment de flexion seul, sans effort normal significatif. * **Module de Young ( \( E \) ) :** Caractéristique d'un matériau qui mesure sa rigidité. C'est le rapport entre la contrainte et la déformation (en régime élastique). * **Coefficient d'équivalence ( \( n \) ) :** Rapport entre le module de Young de l'acier et celui du béton ( \( E_s / E_b \) ), utilisé pour les calculs en section transformée. * **Axe Neutre :** Ligne dans la section transversale d'une poutre où la contrainte normale (compression ou traction) est nulle en flexion. * **Section Transformée :** Méthode de calcul qui consiste à remplacer la section d'armatures par une section équivalente de béton, multipliée par le coefficient d'équivalence n, afin d'homogénéiser le calcul de la section en un seul matériau. * **Fissuration :** Apparition de fissures dans le béton sous l'effet des contraintes de traction. En ELS, on cherche à limiter l'ouverture de ces fissures. * **Flèche :** Déformation verticale d'une poutre sous l'effet des charges. En ELS, la flèche doit être limitée pour le confort et l'esthétique. ### Exemples #### Exemple 1 : Vérification des contraintes en ELS Considérons une poutre en béton armé de section rectangulaire \( b = 30 \text{ cm} \) et de hauteur utile \( d = 50 \text{ cm} \). Elle est armée de 3 barres de \( \phi 20 \) ( \( A_s = 9.42 \text{ cm}^2 \) ). La fibre la plus basse du béton est à \( h = 55 \text{ cm} \) de la fibre la plus haute. Matériaux : * Béton C25/30 : \( f_{c28} = 25 \text{ MPa} \). \( E_b = 32000 \text{ MPa} \). * Acier FeB400 : \( f_e = 400 \text{ MPa} \). \( E_s = 200000 \text{ MPa} \). La poutre est soumise à un moment de service \( M_{serv} = 150 \text{ kN.m} \). **1. Calcul du coefficient d'équivalence n :** \( n = \frac{E_s}{E_b} = \frac{200000}{32000} = 6.25 \) **2. Position de l'axe neutre (y) :** L'axe neutre est trouvé en écrivant que le moment statique de la section transformée par rapport à l'axe neutre est nul. \( b \frac{y^2}{2} - n A_s (d-y) = 0 \) \( 30 \frac{y^2}{2} - 6.25 \times 9.42 \times (50-y) = 0 \) \( 15 y^2 - 58.875 (50-y) = 0 \) \( 15 y^2 + 58.875 y - 2943.75 = 0 \) Résolvons cette équation du second degré : \( y \approx 11.95 \text{ cm} \). **3. Moment d'inertie de la section transformée ( \( I_g \) ) :** \( I_g = \frac{b y^3}{3} + n A_s (d-y)^2 \) \( I_g = \frac{30 \times (11.95)^3}{3} + 6.25 \times 9.42 \times (50-11.95)^2 \) \( I_g = 17095.6 + 6.25 \times 9.42 \times (38.05)^2 \) \( I_g = 17095.6 + 85150.9 \approx 102246.5 \text{ cm}^4 \) **4. Vérification des contraintes :** * Contrainte admissible béton : \( \overline{\sigma_{bc}} = 0.6 \times 25 = 15 \text{ MPa} \) * Contrainte admissible acier : \( \overline{\sigma_s} = \frac{2}{3} \times 400 = 266.67 \text{ MPa} \) * Contrainte réelle dans le béton ( \( y_{bc} = y \) ) : \( \sigma_{bc} = \frac{M_{serv}}{I_g} y = \frac{150 \times 10^6 \text{ N.mm}}{102246.5 \times 10^4 \text{ mm}^4} \times 119.5 \text{ mm} \) \( \sigma_{bc} = \frac{150 \times 10^6}{1.022465 \times 10^8} \times 119.5 = 17.54 \text{ MPa} \) **Comparaison :** \( 17.54 \text{ MPa} > 15 \text{ MPa} \). La contrainte dans le béton est **dépassée**. * Contrainte réelle dans l'acier ( \( y_s = d-y \) ) : \( \sigma_s = n \frac{M_{serv}}{I_g} (d-y) = 6.25 \times \frac{150 \times 10^6 \text{ N.mm}}{1.022465 \times 10^8 \text{ mm}^4} \times (500 - 119.5) \text{ mm} \) \( \sigma_s = 6.25 \times 17.54 \times \frac{380.5}{119.5} = 6.25 \times 55.77 = 348.56 \text{ MPa} \) **Comparaison :** \( 348.56 \text{ MPa} > 266.67 \text{ MPa} \). La contrainte dans l'acier est également **dépassée**. **Conclusion de l'exemple :** Dans cet exemple, les contraintes admissibles en ELS sont dépassées pour le béton et l'acier sous le moment de service donné. La section n'est pas conforme aux exigences de l'ELS. Il faudrait augmenter la section de béton, la quantité d'armatures, ou utiliser des matériaux de meilleure qualité. ### Exercices 1. Quelles sont les principales différences entre une vérification à l'ELU et une vérification à l'ELS ? Donnez deux objectifs distincts pour chaque état limite. 2. Expliquez pourquoi le béton tendu est généralement négligé dans les calculs de flexion en ELS pour le béton armé. 3. Calculez le coefficient d'équivalence \( n \) pour les matériaux suivants : * Béton C30/37 (\( E_b = 33000 \text{ MPa} \)) * Acier FeB500 (\( E_s = 200000 \text{ MPa} \)) 4. Une poutre en béton armé a un axe neutre situé à \( y = 10 \text{ cm} \) de la fibre supérieure. Le moment de service est de \( 120 \text{ kN.m} \) et le moment d'inertie de la section transformée est \( I_g = 80000 \text{ cm}^4 \). Calculez la contrainte maximale dans le béton comprimé. Est-elle acceptable si \( f_{c28} = 25 \text{ MPa} \)? ### Devoir Reprenez la poutre de l'exemple 1 avec les mêmes matériaux et dimensions : * Section rectangulaire : \( b = 30 \text{ cm} \), \( d = 50 \text{ cm} \), \( h = 55 \text{ cm} \). * Armatures : \( A_s = 3 \text{ barres de } \phi 20 \) (\( 9.42 \text{ cm}^2 \)). * Béton C25/30 : \( f_{c28} = 25 \text{ MPa} \), \( E_b = 32000 \text{ MPa} \). * Acier FeB400 : \( f_e = 400 \text{ MPa} \), \( E_s = 200000 \text{ MPa} \). 1. En gardant les mêmes dimensions, quelle est la valeur maximale du moment de service \( M_{serv} \) que cette poutre peut supporter en respectant simultanément les contraintes admissibles du béton et de l'acier en ELS ? (Indice : Déterminez quel matériau est le plus limitant en calculant le moment résistant pour chaque contrainte limite et prenez le plus petit des deux). 2. Si la poutre devait supporter le \( M_{serv} = 150 \text{ kN.m} \) de l'exemple, proposez une modification (augmentation de la section d'acier \( A_s \) ou augmentation de la hauteur \( d \)) qui permettrait de valider les vérifications ELS. Justifiez votre choix en effectuant un nouveau calcul simplifié. ### Résumé Dans cette leçon, nous avons exploré les principes fondamentaux du calcul de flexion en béton armé à l'Etat Limite de Service (ELS). Nous avons appris que l'ELS est essentiel pour garantir la **durabilité**, le **confort** et l'**esthétique** des structures sous des charges d'utilisation normales. Pour cela, des contraintes admissibles sont imposées au béton ( \( \overline{\sigma_{bc}} = 0.6 f_{c28} \) ) et à l'acier ( \( \overline{\sigma_s} = \frac{2}{3} f_e \) ). La méthode de la **section transformée** est l'outil principal pour l'analyse en ELS. Elle permet de modéliser une section hétérogène (béton et acier) comme une section homogène en béton, en utilisant le **coefficient d'équivalence n** ( \( n = E_s / E_b \) ). Cette approche nous permet de calculer la position de l'axe neutre et les moments d'inertie, puis de déterminer les contraintes réelles dans les matériaux pour les comparer aux contraintes admissibles. La non-conformité aux exigences ELS signifie souvent un besoin de redimensionnement de la structure ou d'utilisation de matériaux plus performants. ## Traction simple ### Introduction Bienvenue à cette leçon sur la traction simple en béton armé. La traction simple est l'un des états de contrainte les plus fondamentaux et les plus importants à comprendre dans la conception des structures en béton armé. Lorsque nous parlons de traction simple, nous faisons référence à une pièce de béton armé soumise uniquement à des forces d'étirement agissant le long de son axe longitudinal. Le béton est excellent en compression, mais très faible en traction. C'est pourquoi nous utilisons des armatures en acier, qui elles, sont excellentes pour résister aux efforts de traction. Comprendre comment calculer les armatures nécessaires pour résister à ces efforts est crucial pour garantir la sécurité et la durabilité des structures. Dans cette leçon, nous allons explorer les principes de calcul des éléments en béton armé soumis à la traction simple, en nous concentrant sur les États Limites de Service (ELS) et les États Limites Ultimes (ELU), conformément aux méthodes de calcul modernes. ### Concepts Clés #### Définition de la Traction Simple La traction simple est l'état de sollicitation où un élément de structure est soumis à des forces axiales de traction, c'est-à-dire des forces qui tendent à allonger l'élément, et qui passent par le centre de gravité de la section. Dans ce cas, les contraintes sont uniformément réparties sur la section résistante. En béton armé, cela signifie que c'est l'acier qui doit reprendre l'intégralité de l'effort de traction, le béton étant considéré comme fissuré et donc inefficace pour reprendre la traction. #### Hypothèses de Calcul aux États Limites Ultimes (ELU) Les calculs aux ELU visent à s'assurer que la structure ne s'effondrera pas ou ne subira pas de défaillance majeure sous les charges maximales et exceptionnelles. Pour la traction simple, les hypothèses principales sont : * **Le béton tendu est négligé :** On considère que le béton est fissuré et ne participe plus à la reprise des efforts de traction. Toute la traction est reprise par les armatures en acier. * **L'acier atteint sa limite élastique de calcul :** Les armatures sont supposées travailler à leur contrainte de calcul \( f_{ed} \). ##### Contrainte de calcul de l'acier La contrainte de calcul de l'acier, \( f_{ed} \), est obtenue à partir de la limite élastique caractéristique de l'acier, \( f_y \), divisée par un coefficient de sécurité partiel pour l'acier, \( \gamma_s \). Pour les ELU, \( \gamma_s \) est généralement pris égal à 1,15. \[ f_{ed} = \frac{f_y}{\gamma_s} \] Par exemple, pour un acier S500 (\( f_y = 500 \text{ MPa} \)), \( f_{ed} = \frac{500}{1,15} \approx 434,78 \text{ MPa} \). #### Efforts et Formules Fondamentales (ELU) L'objectif est de dimensionner la section d'armatures \( A_s \) capable de reprendre l'effort normal de traction ultime de calcul \( N_u \). La force de traction \( N_u \) est la somme des charges de service (permanentes et d'exploitation) multipliées par des coefficients de majoration (par exemple, 1,35 pour les charges permanentes et 1,50 pour les charges variables). L'équilibre des forces exige que la force de traction \( N_u \) soit égale à la force résistée par l'acier, soit \( A_s \cdot f_{ed} \). \[ N_u = A_s \cdot f_{ed} \] Donc, la section d'armatures nécessaire est : \[ A_s = \frac{N_u}{f_{ed}} \] #### Vérification de non-fragilité Pour éviter une rupture brutale et fragile du béton sous de faibles charges (avant que l'acier ne s'active pleinement), les règlements de calcul exigent la mise en place d'une section minimale d'armatures \( A_{s,min} \). Cette section minimale est généralement exprimée en pourcentage de la section droite du béton ou calculée à partir de la résistance à la traction du béton et de la limite élastique de l'acier. Sa valeur précise est donnée par les normes de calcul (par exemple, l'Eurocode 2). #### Vérification aux États Limites de Service (ELS) Les calculs aux ELS visent à s'assurer que la structure reste fonctionnelle, confortable et esthétique sous les charges normales d'utilisation, sans fissuration excessive ni déformations importantes. Pour la traction simple, la vérification principale concerne la limitation de la contrainte dans l'acier pour contrôler la fissuration. La contrainte de l'acier à l'ELS, \( \sigma_s \), doit être inférieure à une contrainte admissible \( \bar{\sigma}_s \) pour limiter l'ouverture des fissures. L'effort de traction de service est \( N_{ser} \). \[ \sigma_s = \frac{N_{ser}}{A_s} \] La contrainte admissible \( \bar{\sigma}_s \) dépend des conditions d'exposition et du type d'armatures. Elle est généralement une fraction de \( f_y \) (par exemple, \( 0,8 \cdot f_y \) pour des environnements peu agressifs). \[ \sigma_s \le \bar{\sigma}_s \] ### Vocabulaire * **Traction simple :** Sollicitation où un élément est uniquement étiré selon son axe longitudinal. * **Béton armé :** Matériau composite constitué de béton (résistant à la compression) et d'acier (résistant à la traction). * **ELU (État Limite Ultime) :** État au-delà duquel la structure cesserait de résister ou de supporter les charges, pouvant entraîner la ruine ou une défaillance majeure. * **ELS (État Limite de Service) :** État au-delà duquel les exigences de service de la structure ne sont plus satisfaites (fissuration excessive, déformation, vibration, etc.). * **Armature (acier) :** Barres d'acier noyées dans le béton pour reprendre les efforts de traction. * **Contrainte :** Force par unité de surface (MPa). * **Déformation :** Variation de dimension d'un matériau sous l'effet d'une contrainte. * **Fissuration :** Apparition de fissures dans le béton tendu, phénomène normal en béton armé mais à contrôler. * **Coefficient de sécurité :** Facteur utilisé pour majorer les charges ou minorer les résistances des matériaux afin de garantir la sécurité des constructions. * **\( f_y \) :** Limite élastique caractéristique de l'acier. * **\( f_{ed} \) :** Contrainte de calcul de l'acier à l'ELU. * **\( \gamma_s \) :** Coefficient partiel de sécurité de l'acier. * **\( N_u \) :** Effort normal de traction ultime de calcul. * **\( N_{ser} \) :** Effort normal de traction de service. * **\( A_s \) :** Section d'armatures en acier. ### Exemples #### Exemple 1 : Calcul de la section d'armatures (ELU) Une barre de béton armé est soumise à un effort de traction ultime de calcul \( N_u = 250 \text{ kN} \). L'acier utilisé est de type S500 (\( f_y = 500 \text{ MPa} \)) et le coefficient de sécurité partiel \( \gamma_s = 1,15 \). 1. **Calcul de la contrainte de calcul de l'acier :** \[ f_{ed} = \frac{f_y}{\gamma_s} = \frac{500}{1,15} \approx 434,78 \text{ MPa} \] (Convertissons en \( \text{kN/cm}^2 \) pour plus de cohérence avec \( N_u \) en \( \text{kN} \). \( 1 \text{ MPa} = 1000 \text{ kN/m}^2 = 0,1 \text{ kN/cm}^2 \). Donc, \( f_{ed} = 43,478 \text{ kN/cm}^2 \).) 2. **Calcul de la section d'armatures nécessaire :** \[ A_s = \frac{N_u}{f_{ed}} = \frac{250 \text{ kN}}{43,478 \text{ kN/cm}^2} \approx 5,75 \text{ cm}^2 \] Il faudra donc disposer une section d'armatures d'au moins \( 5,75 \text{ cm}^2 \). Si on utilise des barres de \( 14 \text{ mm} \) (\( \emptyset 14 \)), dont la section est de \( 1,54 \text{ cm}^2 \), il faudrait \( \frac{5,75}{1,54} \approx 3,73 \) barres. On en choisirait 4 barres de \( \emptyset 14 \) (totalisant \( 4 \times 1,54 = 6,16 \text{ cm}^2 \)). #### Exemple 2 : Vérification à l'ELS Reprenons l'exemple précédent avec \( A_s = 6,16 \text{ cm}^2 \) (4 barres \( \emptyset 14 \)). L'effort de traction de service est \( N_{ser} = 170 \text{ kN} \). La contrainte admissible dans l'acier à l'ELS est \( \bar{\sigma}_s = 300 \text{ MPa} \) (soit \( 30 \text{ kN/cm}^2 \)). 1. **Calcul de la contrainte de l'acier à l'ELS :** \[ \sigma_s = \frac{N_{ser}}{A_s} = \frac{170 \text{ kN}}{6,16 \text{ cm}^2} \approx 27,59 \text{ kN/cm}^2 \] (Soit environ \( 275,9 \text{ MPa} \)). 2. **Vérification :** Nous avons \( \sigma_s = 27,59 \text{ kN/cm}^2 \) et \( \bar{\sigma}_s = 30 \text{ kN/cm}^2 \). Puisque \( 27,59 \text{ kN/cm}^2 \le 30 \text{ kN/cm}^2 \), la condition à l'ELS est satisfaite. La fissuration sera limitée. ### Exercices 1. Un tirant en béton armé est soumis à un effort de traction ultime de calcul \( N_u = 180 \text{ kN} \). L'acier est un S500. Déterminez la section d'armatures minimale requise à l'ELU. 2. Si l'effort de service pour le tirant de l'exercice 1 est \( N_{ser} = 120 \text{ kN} \) et que la section d'armatures finalement adoptée est de \( 4,5 \text{ cm}^2 \). Vérifiez si la contrainte dans l'acier est acceptable à l'ELS si \( \bar{\sigma}_s = 320 \text{ MPa} \). 3. Expliquez pourquoi le béton tendu est négligé dans les calculs à l'ELU pour la traction simple. ### Devoirs 1. Un élément de balcon est modélisé comme une console soumise à une traction simple à son extrémité. L'effort de traction ultime de calcul est de \( 320 \text{ kN} \) et l'effort de service est de \( 210 \text{ kN} \). L'acier est de classe S400 (\( f_y = 400 \text{ MPa} \)). a. Calculez la section d'armatures minimale à l'ELU (prenez \( \gamma_s = 1,15 \)). b. Proposez une combinaison de barres de \( \emptyset 12 \) (section \( 1,13 \text{ cm}^2 \)) et/ou de \( \emptyset 16 \) (section \( 2,01 \text{ cm}^2 \)) pour cette section. Justifiez votre choix. c. Vérifiez la contrainte dans l'acier à l'ELS avec la section d'armatures choisie. La contrainte admissible \( \bar{\sigma}_s \) est fixée à \( 280 \text{ MPa} \). 2. Recherchez dans l'Eurocode 2 ou un règlement de calcul national (par exemple, le BAEL si encore étudié dans votre programme) la formule exacte de la section minimale d'armatures \( A_{s,min} \) pour un élément tendu. Discutez de l'importance de cette vérification de non-fragilité. ### Résumé Nous avons vu aujourd'hui que la traction simple est une sollicitation fondamentale en béton armé où seule l'acier reprend les efforts de traction. Les calculs se font principalement à l'ELU pour garantir la résistance de la structure et à l'ELS pour contrôler la fissuration. La formule clé pour le dimensionnement des armatures à l'ELU est : \[ A_s = \frac{N_u}{f_{ed}} \] où \( f_{ed} = \frac{f_y}{\gamma_s} \). Pour l'ELS, il est crucial de s'assurer que la contrainte dans l'acier \( \sigma_s = \frac{N_{ser}}{A_s} \) reste inférieure à une contrainte admissible \( \bar{\sigma}_s \) pour limiter l'ouverture des fissures. N'oubliez pas l'importance de la section minimale d'armatures \( A_{s,min} \) pour assurer la non-fragilité de l'élément. La maîtrise de ces concepts est essentielle pour la conception sécuritaire et durable des structures en béton armé. ## Etat Limite vis-à-vis de l'effort tranchant (1) ### Introduction Bienvenue à cette première partie du cours sur le calcul des structures en béton armé à l'état limite vis-à-vis de l'effort tranchant. L'effort tranchant est une force interne qui tend à cisailler un élément structurel, comme une poutre. Sa maîtrise est essentielle pour garantir la sécurité et la durabilité des constructions. Dans ce cours, nous allons découvrir ce qu'est l'effort tranchant, comment le béton armé y résiste, et quelles sont les vérifications nécessaires selon les règles de calcul aux États Limites Ultimes (ELU). ### Concepts Clés #### Qu'est-ce que l'effort tranchant ? L'effort tranchant, noté \( V \) ou \( T \) (pour traction), est une force interne qui agit perpendiculairement à l'axe longitudinal d'une poutre et tend à provoquer un glissement relatif entre deux sections adjacentes. Il est principalement généré par les charges appliquées sur la structure (charges concentrées, charges réparties) et les réactions d'appui. * **Représentation :** L'effort tranchant est souvent représenté par un diagramme qui montre sa variation le long de la poutre. * **Unité :** Il s'exprime en Newtons (N) ou en kiloNewtons (kN). #### Les contraintes de cisaillement L'effort tranchant \( V_u \) (effort tranchant de calcul à l'ELU) engendre des contraintes de cisaillement (aussi appelées contraintes tangentielles) à l'intérieur de l'élément en béton armé. Ces contraintes tendent à déformer et, en cas de dépassement des limites, à rompre le matériau. La contrainte tangente conventionnelle, \( \tau_u \), est calculée par la formule : \[ \tau_u = \frac{V_u}{b_0 d} \] Où : * \( V_u \) est l'effort tranchant de calcul à l'État Limite Ultime (ELU). * \( b_0 \) est la largeur de l'âme de la poutre (ou la largeur de la section rectangulaire). * \( d \) est la hauteur utile de la section (distance entre la fibre la plus comprimée et le centre de gravité des armatures tendues). #### Mécanismes de résistance à l'effort tranchant Le béton armé résiste à l'effort tranchant grâce à deux mécanismes principaux : 1. **Le béton lui-même :** Le béton non fissuré peut reprendre une partie de l'effort tranchant grâce à sa résistance à la compression et à la traction diagonale (effet de bielles de compression). 2. **Les armatures transversales :** Ce sont des aciers (étriers, cadres, épingles) disposés perpendiculairement ou obliquement à l'axe de la poutre. Elles sont essentielles pour reprendre l'essentiel de l'effort tranchant, notamment lorsque le béton est fissuré. Le comportement est souvent modélisé par l'analogie du **treillis** ou **treillis de Mörsch**, où les bielles de béton comprimées forment les diagonales, et les armatures transversales (étriers) forment les montants tendus. #### Conditions d'État Limite Ultime (ELU) à l'effort tranchant La sécurité d'une structure vis-à-vis de l'effort tranchant est vérifiée si l'effort tranchant sollicitant \( V_u \) est inférieur ou égal à l'effort tranchant résistant \( V_{Rd} \). Plusieurs vérifications sont nécessaires : 1. **Vérification de la résistance du béton (non-écrasement) :** Il faut s'assurer que la contrainte de cisaillement \( \tau_u \) ne dépasse pas une contrainte limite \( \tau_{lim} \) pour éviter l'écrasement du béton. \( \tau_u \le \tau_{lim} \) Cette condition garantit que le béton seul ne sera pas détruit, même avant la mobilisation pleine des aciers. 2. **Calcul et vérification des armatures transversales :** Si la résistance propre du béton n'est pas suffisante (ce qui est le cas général), des armatures transversales doivent être mises en place pour reprendre l'effort tranchant excédentaire. L'aire des armatures transversales par unité de longueur (\( A_t/s \)) doit être suffisante. Pour des armatures transversales verticales (cas le plus courant), la formule simplifiée pour le calcul de \( A_t/s \) est souvent : \[ \frac{A_t}{s} \ge \frac{V_u}{0.9 d f_e} \] Où : * \( A_t \) est la somme des aires des sections de toutes les branches d'un cadre ou étrier (par exemple, pour un étrier à 2 branches de diamètre \( \phi \), \( A_t = 2 \times \frac{\pi \phi^2}{4} \)). * \( s \) est l'espacement des armatures transversales le long de la poutre. * \( V_u \) est l'effort tranchant de calcul. * \( d \) est la hauteur utile. * \( f_e \) est la limite élastique de l'acier des armatures transversales (en MPa ou N/mm²), divisée par le coefficient de sécurité \( \gamma_s \). #### Dispositions constructives Des règles de ferraillage spécifiques encadrent la mise en place des armatures transversales : * **Armatures minimales :** Même si le calcul montre qu'elles ne sont pas strictement nécessaires, une armature minimale est toujours requise pour des raisons constructives et pour la prévention de la fissuration. * **Espacement maximal :** L'espacement \( s \) entre les armatures transversales ne doit pas dépasser une certaine valeur limite (par exemple, \( 0.9d/2 \) ou 40 cm) pour assurer une bonne distribution des contraintes et un confinement efficace du béton. * **Ancrage :** Les armatures transversales doivent être correctement ancrées dans le béton pour pouvoir développer leur pleine résistance. ### Vocabulaire * **Effort tranchant (\( V_u \)) :** Force interne qui tend à cisailler un élément. * **État Limite Ultime (ELU) :** État au-delà duquel la structure risque la ruine ou une perte d'équilibre. * **Armatures transversales :** Aciers disposés perpendiculairement ou obliquement à l'axe d'une poutre pour reprendre l'effort tranchant (étriers, cadres, épingles). * **Béton armé :** Matériau composite constitué de béton et d'armatures d'acier. * **Contrainte de cisaillement (\( \tau_u \)) :** Contrainte tangentielle résultant de l'effort tranchant. * **Treillis de Mörsch :** Modèle de calcul assimilant le comportement d'une poutre en béton armé soumise à l'effort tranchant à un treillis (poutre en treillis). * **Hauteur utile (\( d \)) :** Distance entre la fibre la plus comprimée et le centre de gravité des armatures tendues. * **\( A_t/s \) :** Aire d'armatures transversales par unité de longueur, exprimée en mm²/m. ### Exemples **Exemple 1 : Calcul de la contrainte tangente conventionnelle** Une poutre rectangulaire en béton armé a une largeur d'âme \( b_0 = 200 \) mm et une hauteur utile \( d = 450 \) mm. L'effort tranchant de calcul à l'ELU est \( V_u = 150 \) kN. Calculez la contrainte tangente conventionnelle \( \tau_u \). * **Solution :** Nous avons \( V_u = 150 \text{ kN} = 150 \times 10^3 \text{ N} \). \[ \tau_u = \frac{V_u}{b_0 d} = \frac{150 \times 10^3 \text{ N}}{200 \text{ mm} \times 450 \text{ mm}} \] \[ \tau_u = \frac{150 \times 10^3}{90 \times 10^3} = 1.67 \text{ N/mm}^2 \text{ (ou MPa)} \] **Exemple 2 : Détermination de \( A_t/s \)** Reprenons la poutre de l'exemple 1. On donne \( f_e = 400 \) MPa pour les armatures transversales. Déterminez l'aire d'armatures transversales par mètre linéaire nécessaire pour reprendre l'effort tranchant. * **Solution :** Nous avons \( V_u = 150 \text{ kN} \), \( d = 450 \text{ mm} \), \( f_e = 400 \text{ MPa} \). \[ \frac{A_t}{s} \ge \frac{V_u}{0.9 d f_e} \] Il faut veiller aux unités : \( V_u \) en N, \( d \) en mm, \( f_e \) en N/mm². \[ \frac{A_t}{s} \ge \frac{150 \times 10^3 \text{ N}}{0.9 \times 450 \text{ mm} \times 400 \text{ N/mm}^2} \] \[ \frac{A_t}{s} \ge \frac{150 \times 10^3}{162 \times 10^3} \approx 0.926 \text{ mm}^2\text{/mm} \] Pour exprimer cela en mm²/m, on multiplie par 1000 : \( \frac{A_t}{s} \ge 0.926 \times 1000 = 926 \text{ mm}^2\text{/m} \) Ainsi, il faudrait au moins \( 926 \text{ mm}^2 \) d'armatures transversales par mètre linéaire de poutre. ### Exercices 1. Une poutre de largeur \( b_0 = 250 \) mm et de hauteur utile \( d = 500 \) mm est soumise à un effort tranchant \( V_u = 200 \) kN. a. Calculez la contrainte tangente conventionnelle \( \tau_u \). b. Si la contrainte limite \( \tau_{lim} \) du béton est de \( 2.5 \) MPa, la section de béton est-elle suffisante vis-à-vis de l'écrasement ? 2. Pour la poutre de l'exercice 1, en supposant \( f_e = 500 \) MPa pour les aciers transversaux, déterminez l'aire d'armatures transversales par mètre linéaire (en mm²/m) requise. 3. Proposez une solution de ferraillage (type d'étrier, diamètre et espacement) pour l'exercice 2. (Indice : un étrier \( \phi \) 8 à 2 branches a une section \( A_t = 2 \times 50.27 = 100.54 \text{ mm}^2 \)). ### Devoir à la maison Une poutre console de longueur \( L = 2.5 \) m et de section \( b_0 = 200 \) mm par \( h = 600 \) mm (avec une hauteur utile \( d = 540 \) mm) est soumise à une charge uniformément répartie \( q = 20 \) kN/m à l'ELU. 1. Calculez l'effort tranchant maximal \( V_u \) dans la poutre. 2. Vérifiez la contrainte tangente \( \tau_u \) et comparez-la à \( \tau_{lim} = 2.8 \) MPa. 3. Calculez l'aire d'armatures transversales \( A_t/s \) nécessaire au niveau de l'encastrement (où \( V_u \) est maximal), en utilisant \( f_e = 400 \) MPa. 4. En supposant l'utilisation d'étriers \( \phi \) 10 à 2 branches (\( A_t = 157 \text{ mm}^2 \) pour un étrier), déduisez l'espacement maximal \( s \) à prévoir à cet endroit. 5. Sachant que l'espacement maximal réglementaire est \( s_{max} = 0.9d/2 \) ou \( 400 \) mm, quel espacement retiendriez-vous ? ### Résumé Nous avons exploré dans ce premier cours l'État Limite vis-à-vis de l'effort tranchant. Il est crucial de retenir que : * L'effort tranchant \( V_u \) est une force de cisaillement interne générée par les charges. * La résistance à l'effort tranchant est assurée conjointement par le béton et, de manière prépondérante, par les armatures transversales (étriers). * Deux vérifications principales sont effectuées à l'ELU : la non-rupture du béton par écrasement (\( \tau_u \le \tau_{lim} \)) et la suffisance des armatures transversales (calcul de \( A_t/s \)). * Les dispositions constructives, telles que l'espacement maximal des étriers, sont essentielles pour assurer la bonne performance des armatures. La prochaine leçon abordera des aspects plus détaillés du calcul des armatures transversales et leur répartition. Restez attentifs et n'hésitez pas à revoir ces concepts fondamentaux ! ## Etat Limite vis-à-vis de l'effort tranchant (2) ### Introduction Bienvenue à cette deuxième partie de notre leçon sur les calculs aux états limites concernant l'effort tranchant dans le béton armé. Dans la première partie, nous avons introduit la notion d'effort tranchant et la résistance du béton seul. Aujourd'hui, nous allons approfondir nos connaissances en nous concentrant sur le rôle essentiel des armatures transversales (étriers, cadres, épingles) et les méthodes de calcul pour dimensionner correctement ces armatures afin d'assurer la sécurité et la durabilité des structures en béton armé. L'objectif principal de cette leçon est de vous permettre de comprendre pourquoi et comment dimensionner les armatures transversales pour qu'elles reprennent l'effort tranchant que le béton seul ne peut pas supporter, en respectant les règles de l'Eurocode 2 (EC2) ou les normes équivalentes. ### Concepts Clés #### Rappel sur l'effort tranchant et les ELU ##### Définition de l'effort tranchant L'effort tranchant \( V \) est une force interne qui agit perpendiculairement à l'axe longitudinal d'un élément de structure (comme une poutre ou une dalle) et qui tend à le cisailler ou à le « trancher ». Il est maximal généralement près des appuis et sous les charges concentrées. Le dimensionnement doit se faire pour l'effort tranchant de calcul à l'État Limite Ultime (ELU), noté \( V_{Ed} \). ##### Les États Limites Ultimes (ELU) Les ELU correspondent aux conditions de rupture ou d'instabilité de la structure. Pour l'effort tranchant, l'ELU de résistance nous assure que la structure ne cède pas sous les charges maximales, soit par rupture du béton, soit par plastification des armatures. #### Résistance du béton à l'effort tranchant ##### Mécanisme de reprise Lorsque l'effort tranchant agit sur une poutre en béton armé, des fissures inclinées apparaissent. Le béton non armé contribue à la reprise de cet effort grâce à l'interpénétration des granulats et à la résistance à la traction du béton. Cependant, cette contribution est limitée. ##### Résistance du béton seul \( V_{Rd,c} \) Selon l'Eurocode 2, la résistance en cisaillement d'un élément sans armatures d'effort tranchant est donnée par : \[ V_{Rd,c} = [C_{Rd,c} k (100 \rho_l f_{ck})^{1/3} + k_1 \sigma_{cp}] b_w d \] Avec des conditions sur les valeurs minimales et maximales. En général, si l'effort tranchant de calcul \( V_{Ed} \) est supérieur à \( V_{Rd,c} \), des armatures transversales sont nécessaires. * \( C_{Rd,c} \) et \( k_1 \) sont des coefficients (par exemple \( C_{Rd,c} = 0.18 / \gamma_c \) et \( k_1 = 0.15 \)). * \( k = 1 + \sqrt{200/d} \) avec \( d \) en mm, \( k \le 2 \). * \( \rho_l = A_{sl} / (b_w d) \le 0.02 \) est le rapport d'armatures longitudinales de traction. * \( f_{ck} \) est la résistance caractéristique à la compression du béton (en MPa). * \( \sigma_{cp} \) est la contrainte normale dans le béton due à la précontrainte ou aux forces axiales. * \( b_w \) est la largeur de l'âme de l'élément. * \( d \) est la hauteur utile de la section. #### Les armatures transversales (étriers, cadres et épingles) ##### Rôle et fonction Les armatures transversales sont essentielles pour : * **Reprendre l'effort tranchant résiduel** que le béton seul ne peut pas supporter. * **Empêcher la propagation des fissures** d'effort tranchant, améliorant ainsi la ductilité de la structure. * **Assurer la stabilité des armatures longitudinales** en compression, en évitant leur flambement. ##### Types d'armatures transversales * **Étriers :** Armatures en forme de U ou rectangulaires qui entourent les armatures longitudinales. Elles sont les plus courantes. * **Cadres :** Similaires aux étriers mais peuvent fermer complètement la section, offrant une meilleure liaison. * **Épingles :** Petites barres en U utilisées pour lier les barres de coin des cadres ou des étriers et pour améliorer le confinement. Toutes ces armatures sont généralement en acier à haute adhérence (HA). #### Calcul des armatures transversales ##### Hypothèses de calcul La méthode la plus couramment utilisée est le **modèle du treillis équivalent de Mörsch**, qui assimile la partie cisaillée d'une poutre à un treillis composé : * De bielles comprimées en béton, inclinées d'un angle \( \theta \) par rapport à l'axe longitudinal. * D'armatures longitudinales tendues. * D'armatures transversales tendues (étriers) verticales. ##### Condition de non-fragilité (armatures minimales) Pour garantir une certaine ductilité et éviter une rupture fragile, une section minimale d'armatures transversales est toujours requise, même si \( V_{Ed} \) n'est pas beaucoup plus grand que \( V_{Rd,c} \) : \[ (A_{sw}/s)_{min} = 0.08 b_w \sqrt{f_{ck}} / f_{yk} \] * \( A_{sw} \) : section d'une armature transversale (par exemple, la section de deux brins d'un étrier). * \( s \) : espacement des armatures transversales. * \( f_{yk} \) : limite d'élasticité caractéristique de l'acier des armatures transversales. ##### Résistance des armatures transversales \( V_{Rd,s} \) Si \( V_{Ed} > V_{Rd,c} \), il faut dimensionner les armatures transversales. La résistance à l'effort tranchant des armatures transversales (étriers verticaux) est donnée par : \[ V_{Rd,s} = \frac{A_{sw}}{s} z f_{ywd} \cot \theta \] Pour la sécurité, il faut que \( V_{Ed} \le V_{Rd,s} \). En isolant \( A_{sw}/s \), on obtient la section d'armatures transversales nécessaire : \[ (A_{sw}/s)_{nécessaire} = \frac{V_{Ed}}{z f_{ywd} \cot \theta} \] * \( z \approx 0.9 d \) : bras de levier interne (distance entre les centres des armatures longitudinales tendues et comprimées). * \( f_{ywd} = f_{yk} / \gamma_s \) : résistance de calcul des armatures transversales (\( \gamma_s \) est le coefficient de sécurité pour l'acier, généralement 1.15). * \( \cot \theta \) : dépend de l'angle \( \theta \) des bielles de compression du béton. Selon l'EC2, \( \theta \) peut varier entre \( 21.8^\circ \) (\( \cot \theta = 2.5 \)) et \( 45^ ho \) (\( \cot \theta = 1 \)). Pour les calculs courants en phase projet, une valeur moyenne est souvent utilisée, ou bien \( \theta = 45^ ho \) pour des sections élancées ou avec effort tranchant important. ##### Résistance maximale de l'âme \( V_{Rd,max} \) Il est également nécessaire de vérifier que l'effort tranchant ne provoque pas l'écrasement des bielles de béton. La résistance maximale est donnée par : \[ V_{Rd,max} = \alpha_{cw} b_w z v_1 f_{cd} / (\cot \theta + \tan \theta) \] Il faut toujours que \( V_{Ed} \le V_{Rd,max} \). Si cette condition n'est pas respectée, il faut augmenter la section de béton \( b_w \) ou \( d \) ou la qualité du béton. #### Dispositions constructives Pour assurer une bonne exécution et une bonne performance structurelle, des règles d'espacement et de diamètre doivent être respectées : ##### Espacement maximal \( s_{max} \) L'espacement maximal des armatures transversales est limité pour contrôler la fissuration et garantir que toutes les bielles de béton sont efficacement intersectées par les armatures. Selon l'EC2 : * Pour les poutres : \( s_{max} = 0.75 d \) ou \( 300 mm \) (la plus petite valeur). * En présence d'un fort effort tranchant (\( V_{Ed} > 0.5 V_{Rd,max} \)) : \( s_{max} = 0.5 d \) ou \( 200 mm \). ##### Espacement minimal \( s_{min} \) Un espacement minimal est nécessaire pour permettre le bon passage et la vibration du béton entre les armatures. En général, \( s_{min} \ge \text{diamètre des armatures longitudinales} \) et \( s_{min} \ge 20 mm \). ##### Diamètre minimal \( \phi_{min} \) Le diamètre des armatures transversales \( \phi_t \) ne doit pas être trop faible. Généralement, \( \phi_t \ge 6 mm \) et \( \phi_t \ge 0.2 \phi_l \) (\( \phi_l \) étant le diamètre des armatures longitudinales les plus grandes). ##### Ancrage des armatures transversales Les étriers et cadres doivent être correctement ancrés par des crochets ou des soudures pour développer pleinement leur résistance à la traction. Les crochets doivent avoir une longueur droite adéquate après le coude. ### Vocabulaire