SOLLICITATIONS COMPOSEES EN RESISTANCE DES MATERIAUX

# SOLLICITATIONS COMPOSEES EN RESISTANCE DES MATERIAUX ## Sollicitations composées de Flexion et Torsion : Contraintes normales et tangentielles équivalentes, déformations, conditions de résistance, condition de rigidité ### Introduction Dans le monde de la mécanique, les pièces sont rarement soumises à un seul type de sollicitation. Souvent, elles sont soumises simultanément à plusieurs forces et moments. Cette leçon abordera un cas courant et crucial en résistance des matériaux : la combinaison de la flexion et de la torsion. Nous étudierons comment déterminer les contraintes et les déformations résultantes, et comment vérifier que la pièce respecte les conditions de résistance et de rigidité nécessaires à sa bonne conception et à sa sécurité. ### Concepts Clés #### Rappel sur la Flexion Simple La flexion simple est une sollicitation où une pièce est soumise à un moment de flexion \(M_f\) qui tend à la courber. Elle génère des contraintes normales (\(\sigma\)) qui varient linéairement de la fibre neutre. Les contraintes normales maximales se situent sur les fibres les plus éloignées de la fibre neutre. * **Contrainte normale de flexion :** \[ \sigma = \frac{M_f \cdot v}{I_G} \] où: * \( \sigma \) est la contrainte normale (en Pascals, Pa) * \( M_f \) est le moment de flexion (en Newton-mètres, N.m) * \( v \) est la distance de la fibre neutre à la fibre considérée (en mètres, m) * \( I_G \) est le moment quadratique de la section par rapport à l'axe de flexion (en \(m^4\)) * Pour la contrainte maximale, \(v = v_{max}\). On peut aussi écrire : \[ \sigma_{max} = \frac{M_f}{W_f} \] où \( W_f = I_G / v_{max} \) est le module de résistance de la section en flexion (en \(m^3\)). #### Rappel sur la Torsion Simple La torsion simple est une sollicitation où une pièce (généralement un arbre) est soumise à un moment de torsion \(M_t\) qui tend à la faire vriller autour de son axe longitudinal. Elle génère des contraintes tangentielles (\(\tau\)) qui varient linéairement à partir du centre de la section. * **Contrainte tangentielle de torsion :** \[ \tau = \frac{M_t \cdot r}{I_0} \] où: * \( \tau \) est la contrainte tangentielle (en Pascals, Pa) * \( M_t \) est le moment de torsion (en Newton-mètres, N.m) * \( r \) est la distance du centre de la section au point considéré (en mètres, m) * \( I_0 \) est le moment quadratique polaire de la section (en \(m^4\)) * Pour la contrainte maximale, \(r = r_{max}\) (rayon extérieur). On peut aussi écrire : \[ \tau_{max} = \frac{M_t}{W_t} \] où \( W_t = I_0 / r_{max} \) est le module de résistance de la section en torsion (en \(m^3\)). #### Sollicitations Composées de Flexion et Torsion Lorsque les deux sollicitations agissent simultanément, on parle de sollicitation composée. Le cas le plus courant est celui d'un arbre transmettant de la puissance tout en étant soumis à des charges transversales (par exemple, un arbre de transmission avec des engrenages ou des poulies). ##### Analyse des Contraintes Équivalentes Pour évaluer la résistance d'une pièce soumise à des contraintes combinées, il est nécessaire de calculer une contrainte équivalente qui représente l'état de contrainte multiaxial par une contrainte uniaxiale. Les critères les plus utilisés sont ceux de Tresca et de Von Mises. * **Contraintes maximales dues aux sollicitations indépendantes :** * Contrainte normale maximale due à la flexion : \( \sigma_f = \frac{M_f}{W_f} \) * Contrainte tangentielle maximale due à la torsion : \( \tau_t = \frac{M_t}{W_t} \) * **Calcul des Contraintes Principales :** Dans un plan où agissent une contrainte normale \( \sigma_x \) (ici \( \sigma_f \)) et une contrainte tangentielle \( \tau_{xy} \) (ici \( \tau_t \)), les contraintes principales \( \sigma_1 \) et \( \sigma_2 \) (qui sont les contraintes normales maximales et minimales) sont données par : \[ \sigma_{1,2} = \frac{\sigma_x}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{\sigma_x}{2}\right)^2 + \tau_{xy}^2} \] où \( \sigma_x \) est la contrainte normale de flexion et \( \tau_{xy} \) est la contrainte tangentielle de torsion. * **Critère de Tresca (ou Critère de Cisailement Maximal) :** Ce critère est souvent utilisé pour les matériaux ductiles. Il stipule que la rupture se produit lorsque la contrainte tangentielle maximale absolue atteint la moitié de la limite d'élasticité en traction. La contrainte équivalente de Tresca est : \[ \sigma_{eq, Tresca} = \sigma_{1} - \sigma_{2} \] En remplaçant les valeurs des contraintes principales, on obtient : \[ \sigma_{eq, Tresca} = 2 \sqrt{\left(\frac{\sigma_f}{2}\right)^2 + \tau_t^2} \] * **Critère de Von Mises (ou Critère d'Énergie de Déformation Distorsionnelle) :** Également très utilisé pour les matériaux ductiles, ce critère est généralement plus précis. La contrainte équivalente de Von Mises est : \[ \sigma_{eq, VM} = \sqrt{\sigma_f^2 + 3\tau_t^2} \] Ce sont ces contraintes équivalentes (\( \sigma_{eq, Tresca} \) ou \( \sigma_{eq, VM} \)) qui devront être comparées à la limite élastique du matériau pour les conditions de résistance. ##### Déformations Les déformations dues à la flexion et à la torsion s'ajoutent, mais ne sont généralement pas directement combinées de la même manière que les contraintes. * **Flèche (due à la flexion) :** La déflexion ou flèche \( y \) est calculée comme en flexion simple. Elle dépend du moment de flexion, du module d'Young \( E \) et du moment quadratique \( I_G \). Pour une poutre console chargée à son extrémité : \[ y_{max} = \frac{F L^3}{3 E I_G} \] où \( F \) est la force, \( L \) la longueur. * **Angle de Torsion (due à la torsion) :** L'angle de torsion \( \theta \) est calculé comme en torsion simple. Il dépend du moment de torsion, du module de cisaillement \( G \) et du moment quadratique polaire \( I_0 \). Pour un arbre de longueur \( L \) : \[ \theta = \frac{M_t L}{G I_0} \] ##### Conditions de Résistance Une pièce est considérée comme résistante si la contrainte équivalente maximale qu'elle subit reste inférieure à une contrainte admissible, déterminée à partir des propriétés du matériau et d'un coefficient de sécurité. * **Condition générale :** \( \sigma_{eq, max} \leq \sigma_{adm} \) * **Contrainte admissible (\( \sigma_{adm} \)) :** Elle est calculée à partir de la limite élastique \( R_e \) (ou limite de rupture \( R_m \) pour les matériaux fragiles) et d'un coefficient de sécurité \( s \) : \( \sigma_{adm} = \frac{R_e}{s} \) (pour les matériaux ductiles) \( \sigma_{adm} = \frac{R_m}{s} \) (pour les matériaux fragiles) ##### Condition de Rigidité La rigidité concerne la capacité de la pièce à ne pas trop se déformer sous charge. Même si la pièce est suffisamment résistante, une déformation excessive peut nuire au bon fonctionnement du système ou provoquer des vibrations. * **Condition de flèche :** La flèche maximale \( y_{max} \) doit être inférieure à une valeur admissible \( y_{adm} \) spécifiée par le cahier des charges : \( y_{max} \leq y_{adm} \) * **Condition d'angle de torsion :** L'angle de torsion maximal \( \theta_{max} \) doit être inférieur à une valeur admissible \( \theta_{adm} \) : \( \theta_{max} \leq \theta_{adm} \) ### Vocabulaire * **Flexion :** Sollicitation due à un moment qui tend à courber une pièce. * **Torsion :** Sollicitation due à un moment qui tend à faire vriller une pièce autour de son axe. * **Contrainte normale (\(\sigma\)) :** Force par unité de surface agissant perpendiculairement à la section (en traction ou compression). * **Contrainte tangentielle (\(\tau\)) :** Force par unité de surface agissant parallèlement à la section (en cisaillement). * **Moment de flexion (\(M_f\)) :** Moment qui provoque la flexion. * **Moment de torsion (\(M_t\)) :** Moment qui provoque la torsion. * **Module d'élasticité (E) (Module de Young) :** Caractéristique d'un matériau mesurant sa rigidité en traction/compression (en Pascals, Pa). * **Module de cisaillement (G) (Module de Coulomb) :** Caractéristique d'un matériau mesurant sa rigidité en cisaillement (en Pascals, Pa). * **Moment quadratique (\(I_G\)) :** Propriété géométrique d'une section influençant sa résistance à la flexion (en \(m^4\)). * **Moment quadratique polaire (\(I_0\)) :** Propriété géométrique d'une section influençant sa résistance à la torsion (en \(m^4\)). * **Limite élastique (\(R_e\)) :** Contrainte maximale qu'un matériau peut supporter sans déformation permanente. * **Critère de Tresca :** Critère de rupture basé sur la contrainte tangentielle maximale. * **Critère de Von Mises :** Critère de rupture basé sur l'énergie de déformation distorsionnelle, généralement plus précis pour les matériaux ductiles. * **Déformation :** Changement de forme ou de dimension d'une pièce sous l'effet des contraintes. * **Flèche :** Déplacement transversal d'une poutre sous charge (déformation due à la flexion). * **Angle de torsion :** Angle de rotation d'une section par rapport à une autre le long de l'axe longitudinal (déformation due à la torsion). * **Condition de résistance :** Exigence que la pièce ne se rompe pas ou ne subisse pas de déformation plastique permanente. * **Condition de rigidité :** Exigence que la pièce ne se déforme pas excessivement sous charge. ### Exemples #### Exemple 1 : Arbre de transmission Un arbre de transmission d'un moteur doit transmettre une puissance \( P \) (en Watts) à une certaine vitesse de rotation \( N \) (en tr/min) tout en supportant le poids d'une poulie excentrée, générant un moment de flexion \( M_f \). 1. **Calcul du moment de torsion \(M_t\) :** Le moment de torsion est lié à la puissance et à la vitesse angulaire \( \omega \) (en rad/s) : \( \omega = \frac{2\pi N}{60} \) \( M_t = \frac{P}{\omega} \) 2. **Calcul des contraintes :** * Contrainte normale maximale due à la flexion : \( \sigma_f = \frac{M_f}{W_f} \) * Contrainte tangentielle maximale due à la torsion : \( \tau_t = \frac{M_t}{W_t} \) 3. **Calcul de la contrainte équivalente (Critère de Von Mises) :** \( \sigma_{eq, VM} = \sqrt{\sigma_f^2 + 3\tau_t^2} \) 4. **Vérification de la condition de résistance :** Si \( \sigma_{eq, VM} \leq \sigma_{adm} \), alors l'arbre est résistant. #### Exemple 2 : Dimensionnement d'un arbre cylindrique plein Un arbre en acier de diamètre \( D \) est soumis à un moment de flexion \( M_f = 200 \text{ N.m} \) et un moment de torsion \( M_t = 300 \text{ N.m} \). L'acier a une limite élastique \( R_e = 300 \text{ MPa} \) et on applique un coefficient de sécurité \( s = 2 \). On souhaite dimensionner le diamètre minimal de l'arbre. 1. **Contrainte admissible :** \( \sigma_{adm} = \frac{R_e}{s} = \frac{300 \text{ MPa}}{2} = 150 \text{ MPa} \) 2. **Modules de résistance pour un arbre cylindrique plein de diamètre \( D \) :** * Module de résistance en flexion : \( W_f = \frac{\pi D^3}{32} \) * Module de résistance en torsion : \( W_t = \frac{\pi D^3}{16} \) (car \( W_t = 2 W_f \) pour un cylindre) 3. **Expressions des contraintes en fonction de D :** * \( \sigma_f = \frac{M_f}{W_f} = \frac{200}{\frac{\pi D^3}{32}} = \frac{6400}{\pi D^3} \) * \( \tau_t = \frac{M_t}{W_t} = \frac{300}{\frac{\pi D^3}{16}} = \frac{4800}{\pi D^3} \) 4. **Application du critère de Von Mises :** \( \sigma_{eq, VM} = \sqrt{\left(\frac{6400}{\pi D^3}\right)^2 + 3\left(\frac{4800}{\pi D^3}\right)^2} \) \( \sigma_{eq, VM} = \frac{1}{\pi D^3} \sqrt{6400^2 + 3 \cdot 4800^2} \) \( \sigma_{eq, VM} = \frac{1}{\pi D^3} \sqrt{40 960 000 + 3 \cdot 23 040 000} \) \( \sigma_{eq, VM} = \frac{1}{\pi D^3} \sqrt{40 960 000 + 69 120 000} \) \( \sigma_{eq, VM} = \frac{1}{\pi D^3} \sqrt{110 080 000} \approx \frac{10491.9}{\pi D^3} \) 5. **Condition de résistance :** \( \frac{10491.9}{\pi D^3} \leq 150 \times 10^6 \) (en Pa) \( D^3 \geq \frac{10491.9}{\pi \cdot 150 \times 10^6} \) \( D^3 \geq 2.227 \times 10^{-5} \) \( D \geq \sqrt[3]{2.227 \times 10^{-5}} \approx 0.02809 \text{ m} \) Le diamètre minimal de l'arbre est d'environ \( 28.1 \text{ mm} \). ### Exercices 1. Un arbre en acier de diamètre \( D = 40 \text{ mm} \) est soumis à un moment de flexion de \( M_f = 400 \text{ N.m} \) et à un moment de torsion de \( M_t = 600 \text{ N.m} \). L'acier a une limite élastique \( R_e = 250 \text{ MPa} \). En utilisant le critère de Von Mises et un coefficient de sécurité de \( s = 2.5 \) : a. Calculez la contrainte normale de flexion maximale. b. Calculez la contrainte tangentielle de torsion maximale. c. Calculez la contrainte équivalente de Von Mises. d. L'arbre respecte-t-il la condition de résistance ? 2. Un arbre de transmission doit transmettre une puissance de \( 15 \text{ kW} \) à \( 1500 \text{ tr/min} \). Il est également soumis à un moment de flexion maximal de \( 100 \text{ N.m} \). Le matériau a une limite élastique \( R_e = 220 \text{ MPa} \) et le coefficient de sécurité est de \( 2 \). Déterminez le diamètre minimal de l'arbre en utilisant le critère de Tresca. 3. Un arbre de longueur \( L = 1 \text{ m} \) est soumis à un moment de torsion de \( M_t = 200 \text{ N.m} \). Le module de cisaillement \( G = 80 \text{ GPa} \). Quel est le diamètre minimal de l'arbre si l'angle de torsion ne doit pas dépasser \( 0.05 \text{ rad} \) ? (Condition de rigidité en torsion). ### Devoirs 1. **Problème de Conception :** Vous devez concevoir un arbre cylindrique plein pour un système de levage. L'arbre doit supporter un moment de flexion maximal de \( 500 \text{ N.m} \) et un moment de torsion maximal de \( 800 \text{ N.m} \). Le matériau est un acier avec \( R_e = 350 \text{ MPa} \) et \( G = 79 \text{ GPa} \). Le coefficient de sécurité requis est de \( 2.5 \). De plus, la flèche maximale due à la flexion ne doit pas dépasser \( 1 \text{ mm} \) et l'angle de torsion sur une longueur de \( 0.5 \text{ m} \) ne doit pas dépasser \( 0.02 \text{ rad} \). Déterminez le diamètre minimal de l'arbre en tenant compte de toutes ces conditions (résistance et rigidité). Comparez les diamètres obtenus par chaque critère et choisissez le plus contraignant. 2. **Analyse d'un Arbre Creux :** Reprenez l'Exercice 1, mais cette fois-ci, l'arbre est creux avec un diamètre extérieur de \( D_e = 40 \text{ mm} \) et un diamètre intérieur de \( D_i = 30 \text{ mm} \). Recalculez la contrainte équivalente de Von Mises et vérifiez la condition de résistance. Comparez vos résultats avec ceux de l'Exercice 1. Qu'est-ce que l'arbre creux offre par rapport à l'arbre plein de même diamètre extérieur ? (Rappel : pour un cylindre creux, \( W_f = \frac{\pi(D_e^4 - D_i^4)}{32 D_e} \) et \( W_t = \frac{\pi(D_e^4 - D_i^4)}{16 D_e} \) ) ### Résumé Cette leçon nous a permis de comprendre comment analyser les sollicitations composées de flexion et de torsion, un cas fréquent en mécanique. Nous avons revu les bases de la flexion et de la torsion simples, puis nous avons appris à calculer les contraintes équivalentes en utilisant des critères de résistance tels que ceux de Tresca et de Von Mises. Ces critères sont essentiels pour transformer un état de contrainte multiaxial en une contrainte simple comparable aux limites du matériau. Nous avons également abordé les déformations (flèche et angle de torsion) et l'importance de vérifier à la fois les conditions de résistance (pour éviter la rupture ou la déformation plastique) et les conditions de rigidité (pour assurer le bon fonctionnement de la pièce sans déformation excessive). La bonne application de ces principes est fondamentale pour la conception sécurisée et efficace des éléments de machines. ## Sollicitations composées de Torsion et Traction/Compression : Généralités, efforts de cohésion, moments, équations, diagrammes ### Introduction En résistance des matériaux, les pièces mécaniques sont rarement soumises à une seule sollicitation. Dans la réalité, elles subissent souvent plusieurs types d'efforts simultanément, ce qui entraîne des sollicitations dites "composées". Comprendre comment ces sollicitations se combinent est crucial pour garantir la sécurité et la durabilité des structures. Ce cours se concentrera sur la combinaison de la **torsion** et de la **traction/compression**, deux des sollicitations les plus fondamentales. Nous explorerons les principes de superposition des contraintes, la manière de calculer les contraintes résultantes et les critères de résistance associés, afin de pouvoir dimensionner correctement les éléments mécaniques. ### Concepts Clés #### Rappel sur les Sollicitations Simples ##### Traction/Compression La traction et la compression sont des sollicitations axiales qui entraînent une déformation de l'objet dans le sens de l'application de la force. Elles génèrent des **contraintes normales** (\( \sigma \)) uniformément réparties sur la section droite de la pièce. * **Effort normal (N):** Force agissant perpendiculairement à la section, soit en traction (tirement), soit en compression (poussement). * **Contrainte normale (\( \sigma \)):** Force par unité de surface. \[ \sigma = \frac{N}{A} \] où: * \( N \) est l'effort normal (en Newton, N). * \( A \) est l'aire de la section droite de la pièce (en \( m^2 \)). * \( \sigma \) est la contrainte normale (en Pascal, Pa ou \( N/m^2 \)). ##### Torsion La torsion est une sollicitation qui résulte de l'application d'un couple (ou moment de torsion) autour de l'axe longitudinal de la pièce. Elle provoque un cisaillement dans la matière et génère des **contraintes tangentielles** (\( \tau \)). * **Moment de torsion (\( M_t \)):** Couple agissant autour de l'axe longitudinal (en Newton-mètre, N.m). * **Contrainte tangentielle (\( \tau \)):** Contrainte de cisaillement qui varie linéairement du centre à la périphérie d'une section circulaire (elle est maximale en surface). Pour une section circulaire (pleine ou creuse): \[ \tau = \frac{M_t \cdot r}{I_p} \] où: * \( M_t \) est le moment de torsion (en N.m). * \( r \) est la distance du centre de la section au point où la contrainte est calculée (rayon, en m). * \( I_p \) est le moment d'inertie polaire de la section (en \( m^4 \)). * Pour une section circulaire pleine de rayon \( R \): \( I_p = \frac{\pi R^4}{2} \) * Pour une section circulaire creuse de rayons \( R_e \) (extérieur) et \( R_i \) (intérieur): \( I_p = \frac{\pi (R_e^4 - R_i^4)}{2} \) #### Sollicitations Composées : Torsion et Traction/Compression Lorsque une pièce est soumise simultanément à un effort normal (traction ou compression) et à un moment de torsion, on parle de sollicitation composée. ##### Principe de superposition Dans la plupart des cas en résistance des matériaux, si le matériau est élastique linéaire et que les déformations sont faibles, on peut utiliser le **principe de superposition**. Cela signifie que l'effet total des charges est la somme des effets de chaque charge appliquée séparément. * La contrainte normale due à la traction/compression est \( \sigma_N = \frac{N}{A} \). * La contrainte tangentielle due à la torsion est \( \tau_T = \frac{M_t \cdot r}{I_p} \). ##### Calcul des Contraintes Résultantes (État de Contrainte) Sur un élément de matière donné à la surface de la pièce (où \( r \) est maximal, soit \( R \)), les contraintes sont: * **Contrainte normale axiale (\( \sigma_x \)):** Causée par l'effort normal. \[ \sigma_x = \frac{N}{A} \] * **Contrainte tangentielle (\( \tau_{xy} \)):** Causée par le moment de torsion. \[ \tau_{xy} = \frac{M_t \cdot R}{I_p} \] Ces deux contraintes agissent sur des plans différents ou dans des directions différentes sur un même point. Il est essentiel de déterminer les **contraintes principales** et la **contrainte tangentielle maximale** pour évaluer la sécurité de la pièce. ##### Cercles de Mohr et Contraintes Principales Le **Cercle de Mohr** est une représentation graphique qui permet de visualiser l'état de contrainte en un point et de déterminer les contraintes principales (contraintes normales extrêmes) et la contrainte tangentielle maximale. Pour un état de contrainte plan avec \( \sigma_x \) et \( \tau_{xy} \) : * **Contraintes principales (\( \sigma_1, \sigma_2 \)):** Ce sont les contraintes normales maximales et minimales agissant sur des plans où la contrainte tangentielle est nulle. \[ \sigma_{1,2} = \frac{\sigma_x}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{\sigma_x}{2}\right)^2 + \tau_{xy}^2} \] * **Contrainte tangentielle maximale (\( \tau_{max} \)):** C'est la contrainte tangentielle la plus élevée agissant sur un plan à 45° des plans principaux. \[ \tau_{max} = \sqrt{\left(\frac{\sigma_x}{2}\right)^2 + \tau_{xy}^2} \] ##### Critères de Résistance Une fois les contraintes principales ou la contrainte tangentielle maximale connues, il faut les comparer à la limite d'élasticité du matériau pour s'assurer que la pièce ne rompra pas ou ne se déformera pas de manière permanente. Les critères de résistance les plus courants pour les matériaux ductiles (comme l'acier) sont le critère de Tresca et le critère de Von Mises. * **Critère de Von Mises (ou critère de l'énergie de distorsion) :** C'est le plus souvent utilisé pour les matériaux ductiles. L'état de contrainte est ramené à une contrainte équivalente (\( \sigma_{eq} \)) qui est comparée à la limite d'élasticité du matériau (\( R_e \)). Pour un état de contrainte plan (\( \sigma_x, \tau_{xy} \)) : \[ \sigma_{eq} = \sqrt{\sigma_x^2 + 3\tau_{xy}^2} \] La condition de résistance est : \( \sigma_{eq} \le R_e \) (ou \( R_{p0.2} \) pour la limite élastique conventionnelle). #### Efforts de Cohésion et Moments Les efforts de cohésion (effort normal N, moment de torsion \( M_t \)) représentent les forces et moments internes qui maintiennent l'équilibre d'une section coupée. Pour les sollicitations composées, il faut déterminer ces efforts en chaque section critique de la pièce pour pouvoir calculer les contraintes. #### Équations et Diagrammes Les équations des contraintes (\( \sigma_x \) et \( \tau_{xy} \)) peuvent être tracées sous forme de diagrammes le long de l'axe de la pièce pour visualiser leur variation. Pour un arbre cylindrique sous torsion et traction/compression, les diagrammes de l'effort normal et du moment de torsion sont relativement simples, souvent constants ou variant linéairement entre les points d'application des charges. * **Diagramme de l'Effort Normal (N):** Montre la variation de l'effort normal le long de l'axe. * **Diagramme du Moment de Torsion (\( M_t \)):** Montre la variation du moment de torsion le long de l'axe. ### Vocabulaire * **Sollicitation composée :** La pièce est soumise à plusieurs types d'efforts simultanément. * **Torsion :** Sollicitation due à un couple autour de l'axe longitudinal. * **Traction :** Sollicitation axiale qui tend à allonger la pièce. * **Compression :** Sollicitation axiale qui tend à raccourcir la pièce. * **Contrainte normale (\( \sigma \)) :** Force perpendiculaire à une surface par unité de surface. * **Contrainte tangentielle (\( \tau \)) :** Force parallèle à une surface (cisaillement) par unité de surface. * **Effort normal (N) :** Force axiale interne dans une section. * **Moment de torsion (\( M_t \)) :** Couple interne dans une section. * **Moment d'inertie polaire (\( I_p \)) :** Caractéristique géométrique de la section pour la torsion. * **Contraintes principales (\( \sigma_1, \sigma_2 \)) :** Contraintes normales extrêmes en un point, où il n'y a pas de contrainte tangentielle. * **Cercle de Mohr :** Représentation graphique de l'état de contrainte en un point. * **Critère de résistance :** Règle permettant de prévoir la rupture ou la déformation plastique d'un matériau sous contrainte. * **Contrainte équivalente (\( \sigma_{eq} \)) :** Contrainte fictive utilisée pour comparer un état de contraintes complexes à la limite d'élasticité. ### Exemples #### Exemple 1 : Arbre cylindrique sous charge axiale et torsion Un arbre cylindrique plein en acier, de diamètre \( D = 50 \) mm, est soumis à un effort de traction \( N = 10 \) kN et à un moment de torsion \( M_t = 800 \) N.m. La limite élastique de l'acier est \( R_e = 250 \) MPa. 1. **Calcul de la section et du moment d'inertie polaire :** * Rayon \( R = D/2 = 25 \) mm \( = 0.025 \) m. * Aire \( A = \pi R^2 = \pi (0.025)^2 \approx 1.963 \times 10^{-3} \) \( m^2 \). * Moment d'inertie polaire \( I_p = \frac{\pi R^4}{2} = \frac{\pi (0.025)^4}{2} \approx 6.136 \times 10^{-7} \) \( m^4 \). 2. **Calcul des contraintes simples :** * Contrainte normale de traction : \( \sigma_x = \frac{N}{A} = \frac{10 \times 10^3}{1.963 \times 10^{-3}} \approx 5.094 \times 10^6 \) Pa \( = 5.094 \) MPa. * Contrainte tangentielle maximale (à la surface) : \( \tau_{xy} = \frac{M_t \cdot R}{I_p} = \frac{800 \cdot 0.025}{6.136 \times 10^{-7}} \approx 32.59 \times 10^6 \) Pa \( = 32.59 \) MPa. 3. **Calcul des contraintes principales et \( \tau_{max} \) :** * \( \frac{\sigma_x}{2} = \frac{5.094}{2} = 2.547 \) MPa. * \( \sigma_{1,2} = 2.547 \pm \sqrt{(2.547)^2 + (32.59)^2} = 2.547 \pm \sqrt{6.487 + 1062.108} = 2.547 \pm \sqrt{1068.595} = 2.547 \pm 32.689 \) MPa. * \( \sigma_1 = 2.547 + 32.689 = 35.236 \) MPa. * \( \sigma_2 = 2.547 - 32.689 = -30.142 \) MPa. * \( \tau_{max} = 32.689 \) MPa. 4. **Vérification selon le critère de Von Mises :** * \( \sigma_{eq} = \sqrt{\sigma_x^2 + 3\tau_{xy}^2} = \sqrt{(5.094)^2 + 3(32.59)^2} \) * \( \sigma_{eq} = \sqrt{25.94 + 3 \times 1062.108} = \sqrt{25.94 + 3186.324} = \sqrt{3212.264} \approx 56.67 \) MPa. * Comme \( 56.67 \) MPa \( < 250 \) MPa, la pièce résiste bien à la sollicitation composée. ### Exercices 1. Un tube cylindrique creux en aluminium (\( R_e = 150 \) MPa) a un diamètre extérieur de 40 mm et un diamètre intérieur de 30 mm. Il est soumis à un effort de compression de 20 kN et un moment de torsion de 300 N.m. * Calculez la contrainte normale de compression (\( \sigma_x \)). * Calculez la contrainte tangentielle maximale (\( \tau_{xy} \)). * Déterminez les contraintes principales (\( \sigma_1, \sigma_2 \)) et \( \tau_{max} \). * Vérifiez la résistance de la pièce selon le critère de Von Mises. 2. Expliquez pourquoi il est important d'utiliser des critères comme celui de Von Mises plutôt que de simplement comparer les contraintes \( \sigma_x \) et \( \tau_{xy} \) séparément aux limites d'élasticité en traction et en cisaillement. ### Devoir à la maison 1. Reprenez l'exemple 1 avec un arbre en laiton de \( D = 40 \) mm, \( N = 8 \) kN (traction) et \( M_t = 600 \) N.m. La limite élastique du laiton est \( R_e = 180 \) MPa. * Effectuez tous les calculs (\( \sigma_x, \tau_{xy}, \sigma_{1,2}, \tau_{max}, \sigma_{eq} \)). * Concluez sur la résistance de la pièce. 2. Un axe de transmission d'un moteur doit supporter un couple de 1500 N.m et une force axiale de 5 kN (compression). L'axe est en acier avec une limite élastique de 300 MPa. Proposez un diamètre minimal pour cet axe s'il est plein et circulaire, en utilisant le critère de Von Mises et en considérant un coefficient de sécurité de 2 (c'est-à-dire \( \sigma_{eq} \le R_e/2 \)). ### Résumé Les sollicitations composées de torsion et traction/compression sont très fréquentes en mécanique. Pour les analyser, nous appliquons le **principe de superposition** des effets. Cela nous permet de calculer la **contrainte normale axiale** (due à l'effort normal) et la **contrainte tangentielle** (due au moment de torsion). L'état de contrainte résultant est ensuite évalué à l'aide des **contraintes principales** et du **Cercle de Mohr**, ou directement par une **contrainte équivalente** (comme celle de Von Mises) que l'on compare à la limite d'élasticité du matériau. Cette approche garantit que la pièce est correctement dimensionnée pour résister aux combinaisons d'efforts qu'elle subit. ## Sollicitations composées de Torsion et Traction/Compression : Contraintes normales et tangentielles équivalentes, déformations, conditions de résistance, condition de rigidité ### 1. Introduction Dans le monde réel de l'ingénierie, les pièces mécaniques sont rarement soumises à un seul type de force. Il est très fréquent qu'un élément de structure, comme un arbre de transmission ou une vis, soit simultanément étiré ou compressé (traction/compression) et tordu (torsion). C'est ce que l'on appelle les **sollicitations composées**. Comprendre comment ces différentes sollicitations agissent ensemble est crucial pour concevoir des pièces robustes et sécuritaires. Dans cette leçon, nous allons explorer comment combiner les effets de la torsion et de la traction/compression. Nous apprendrons à calculer les contraintes résultantes (normales et tangentielles), à déterminer les contraintes équivalentes pour évaluer la résistance des matériaux, et à vérifier les conditions de rigidité des pièces sous ces charges combinées. ### 2. Concepts Clés #### 2.1 Rappel des sollicitations simples Avant d'aborder les sollicitations composées, rappelons les bases de chaque sollicitation prise isolément. ##### 2.1.1 Traction ou Compression Lorsqu'une pièce est tirée (traction) ou poussée (compression) le long de son axe, elle subit une **contrainte normale** (\( \sigma \)) et une **déformation longitudinale** (\( \epsilon \)). * **Contrainte normale (\( \sigma_N \))** : C'est la force appliquée par unité de surface. Elle est positive en traction et négative en compression. \[ \sigma_N = \frac{N}{S} \] où: * \( N \) est l'effort normal (en Newtons, N) * \( S \) est l'aire de la section transversale de la pièce (en mètres carrés, \( m^2 \)) * **Déformation longitudinale (\( \epsilon \))** : C'est le changement de longueur par unité de longueur initiale. \[ \epsilon = \frac{\Delta L}{L_0} \] où: * \( \Delta L \) est la variation de longueur (en mètres, m) * \( L_0 \) est la longueur initiale de la pièce (en mètres, m) * **Loi de Hooke** : Pour les matériaux élastiques, la contrainte est proportionnelle à la déformation via le **Module d'Young** (\( E \)). \[ \sigma_N = E \epsilon \] où \( E \) est le module d'élasticité longitudinale (en Pascals, Pa). ##### 2.1.2 Torsion Lorsqu'une pièce est soumise à un **moment de torsion** (\( M_t \)) autour de son axe longitudinal, elle subit une **contrainte tangentielle** (\( \tau \)) et une **déformation angulaire** (\( \theta \)). La contrainte tangentielle est maximale en surface. * **Contrainte tangentielle maximale (\( \tau_T \))** : Elle est calculée au point le plus éloigné de l'axe de torsion (en surface de la pièce). \[ \tau_T = \frac{M_t}{W_t} \] ou, pour une section circulaire pleine de rayon \( R \) (ou diamètre \( D \)) : \[ \tau_T = \frac{M_t \cdot R}{I_0} = \frac{M_t \cdot (D/2)}{\frac{\pi D^4}{32}} = \frac{16 M_t}{\pi D^3} \] où: * \( M_t \) est le moment de torsion (en Newton-mètres, N.m) * \( W_t \) est le module de torsion de la section (en \( m^3 \)) * \( I_0 \) est le moment d'inertie polaire de la section (en \( m^4 \)), pour un cercle plein \( I_0 = \frac{\pi D^4}{32} \) * **Angle de torsion (\( \theta \))** : C'est la rotation relative entre deux sections éloignées de la pièce. \[ \theta = \frac{M_t L}{G I_0} \] où: * \( L \) est la longueur de la pièce soumise à torsion (en mètres, m) * \( G \) est le module d'élasticité transversale ou module de cisaillement (en Pascals, Pa) #### 2.2 Combinaison des sollicitations : Torsion et Traction/Compression Quand une pièce est soumise simultanément à un effort normal \( N \) et à un moment de torsion \( M_t \), l'état de contrainte en un point est plus complexe. On a à la fois une contrainte normale \( \sigma_N \) et une contrainte tangentielle \( \tau_T \) agissant sur la même section. * **Contrainte normale due à la traction/compression** : \( \sigma_N = \frac{N}{S} \) * **Contrainte tangentielle due à la torsion** : \( \tau_T = \frac{M_t}{W_t} \) Ces deux contraintes agissent perpendiculairement l'une à l'autre sur les facettes du matériau. Pour évaluer si le matériau résistera, nous devons les combiner en une **contrainte équivalente**. #### 2.3 Critères de Résistance : Contraintes Équivalentes Les critères de résistance permettent de comparer un état de contraintes complexes (comme \( \sigma_N \) et \( \tau_T \) simultanées) à une limite de résistance simple obtenue par un essai de traction uniaxial (comme la limite d'élasticité \( R_e \)). ##### 2.3.1 Critère de Von Mises (ou de l'énergie de déformation de distorsion) C'est le critère le plus couramment utilisé pour les matériaux ductiles (métaux qui se déforment avant de rompre, comme l'acier). Il stipule que la rupture par plastification se produit lorsque l'énergie de déformation de distorsion atteint une valeur critique. La contrainte équivalente de Von Mises (\( \sigma_{eq,VM} \)) est calculée comme suit pour un état de contrainte planaire avec une contrainte normale \( \sigma \) et une contrainte tangentielle \( \tau \) : \[ \sigma_{eq,VM} = \sqrt{\sigma_N^2 + 3\tau_T^2} \] ##### 2.3.2 Condition de résistance La pièce est considérée comme résistante si la contrainte équivalente calculée est inférieure ou égale à la limite élastique pratique du matériau. On utilise souvent un **coefficient de sécurité** \( s \) pour assurer une marge de sécurité. \[ \sigma_{eq,VM} \le R_{pe} \quad \text{ou} \quad \sigma_{eq,VM} \le \frac{R_e}{s} \] où: * \( R_{pe} \) est la Résistance Pratique à l'Élasticité (limite élastique admissible, \( R_{pe} = R_e/s \)) * \( R_e \) est la limite d'élasticité du matériau (en Pa) * \( s \) est le coefficient de sécurité (sans unité, \( s > 1 \)) #### 2.4 Critère de Rigidité : Déformations Combinées En plus de la résistance (ne pas casser), il est important que la pièce ne se déforme pas excessivement. C'est la condition de **rigidité**. Pour les sollicitations combinées de torsion et traction/compression, on vérifie généralement la rigidité pour chaque sollicitation séparément par rapport à des seuils admissibles spécifiés dans le cahier des charges. * **Déformation longitudinale due à l'effort normal** : \[ \Delta L = \frac{N L}{E S} \] Condition de rigidité : \( |\Delta L| \le \Delta L_{adm} \) * **Angle de torsion dû au moment de torsion** : \[ \theta = \frac{M_t L}{G I_0} \] Condition de rigidité : \( |\theta| \le \theta_{adm} \) Les valeurs \( \Delta L_{adm} \) et \( \theta_{adm} \) sont des limites maximales de déformation ou de rotation acceptables, souvent spécifiées pour le bon fonctionnement du système mécanique. ### 3. Vocabulaire * **Sollicitations composées** : Effets de plusieurs forces ou moments agissant simultanément sur une pièce. * **Torsion** : Sollicitation due à un moment agissant autour de l'axe longitudinal d'une pièce, entraînant une torsion. * **Traction/Compression (Axiale)** : Sollicitation due à une force agissant le long de l'axe longitudinal d'une pièce, l'étirant ou la compressant. * **Contrainte normale (\( \sigma \))** : Force perpendiculaire à une surface par unité de surface. * **Contrainte tangentielle (\( \tau \))** : Force parallèle à une surface par unité de surface (aussi appelée contrainte de cisaillement). * **Module d'Young (\( E \))** : Mesure de la rigidité d'un matériau en traction/compression. * **Module de cisaillement (\( G \))** : Mesure de la rigidité d'un matériau en cisaillement (torsion). * **Moment de torsion (\( M_t \))** : Couple appliqué qui provoque la torsion. * **Moment d'inertie polaire (\( I_0 \))** : Propriété géométrique d'une section qui caractérise sa résistance à la torsion. * **Module de torsion (\( W_t \))** : Propriété géométrique d'une section égale à \( I_0/R_{max} \), utilisée pour calculer la contrainte tangentielle maximale. * **Contrainte équivalente** : Contrainte calculée qui représente la sévérité d'un état de contrainte complexe par rapport à un état de contrainte simple. * **Critère de Von Mises** : Critère de rupture pour matériaux ductiles basé sur l'énergie de déformation de distorsion. * **Résistance pratique à l'élasticité (\( R_{pe} \))** : Limite d'élasticité admissible après application d'un coefficient de sécurité. * **Coefficient de sécurité (\( s \))** : Facteur numérique utilisé pour réduire la contrainte admissible et garantir la sécurité de la structure. * **Rigidité** : Capacité d'une structure à ne pas se déformer excessivement sous charge. * **Déformation angulaire (\( \theta \))** : Angle de torsion d'une pièce. * **Déformation longitudinale (\( \Delta L \))** : Changement de longueur d'une pièce. ### 4. Exemples #### Exemple 1 : Arbre de transmission avec charge axiale Un arbre de transmission en acier de diamètre \( D = 50 \text{ mm} \) et de longueur \( L = 1.2 \text{ m} \) est soumis simultanément à un moment de torsion \( M_t = 1500 \text{ N.m} \) et à une force de traction axiale \( N = 25 \text{ kN} \). Le matériau a une limite d'élasticité \( R_e = 300 \text{ MPa} \) et un module de cisaillement \( G = 80 \text{ GPa} \). On utilise un coefficient de sécurité \( s = 2 \). **Question :** Vérifier la résistance de l'arbre selon le critère de Von Mises. **Données :** * \( D = 50 \text{ mm} = 0.050 \text{ m} \) * \( L = 1.2 \text{ m} \) * \( M_t = 1500 \text{ N.m} \) * \( N = 25 \text{ kN} = 25000 \text{ N} \) * \( R_e = 300 \text{ MPa} = 300 \times 10^6 \text{ Pa} \) * \( s = 2 \) **1. Calcul des propriétés géométriques :** * Section transversale (aire) : \[ S = \frac{\pi D^2}{4} = \frac{\pi (0.050)^2}{4} \approx 0.001963 \text{ m}^2 \] * Module de torsion : \[ W_t = \frac{\pi D^3}{16} = \frac{\pi (0.050)^3}{16} \approx 0.000002454 \text{ m}^3 \] **2. Calcul des contraintes simples :** * Contrainte normale de traction : \[ \sigma_N = \frac{N}{S} = \frac{25000}{0.001963} \approx 12.73 \times 10^6 \text{ Pa} = 12.73 \text{ MPa} \] * Contrainte tangentielle maximale de torsion : \[ \tau_T = \frac{M_t}{W_t} = \frac{1500}{0.000002454} \approx 611.25 \times 10^6 \text{ Pa} = 611.25 \text{ MPa} \] **3. Calcul de la contrainte équivalente de Von Mises :** \[ \sigma_{eq,VM} = \sqrt{\sigma_N^2 + 3\tau_T^2} \] \[ \sigma_{eq,VM} = \sqrt{(12.73 \times 10^6)^2 + 3(611.25 \times 10^6)^2} \] \[ \sigma_{eq,VM} = \sqrt{162.05 \times 10^{12} + 3(373.63 \times 10^{12})} \] \[ \sigma_{eq,VM} = \sqrt{162.05 \times 10^{12} + 1120.89 \times 10^{12}} \] \[ \sigma_{eq,VM} = \sqrt{1282.94 \times 10^{12}} \approx 35.82 \times 10^6 \text{ Pa} = 35.82 \text{ MPa} \] *(ATTENTION, j'ai fait une erreur de calcul ici, la valeur de \( \tau_T \) est beaucoup trop grande. Revérifions les calculs.)* **Reprenons le calcul de \( \tau_T \) et \( \sigma_{eq,VM} \) :** * \( W_t = \frac{\pi D^3}{16} = \frac{\pi (0.050)^3}{16} \approx 2.454 \times 10^{-6} \text{ m}^3 \) * \( \tau_T = \frac{1500 \text{ N.m}}{2.454 \times 10^{-6} \text{ m}^3} \approx 611246 \text{ Pa} = 0.611 \text{ MPa} \) *(Ah, mon erreur était dans l'échelle, c'est 0.611 MPa et non 611 MPa. La relecture est cruciale!)* * \( \sigma_N = 12.73 \text{ MPa} \) * \( \tau_T = 0.611 \text{ MPa} \) * Calcul de la contrainte équivalente de Von Mises (avec les bonnes valeurs): \[ \sigma_{eq,VM} = \sqrt{(12.73 \times 10^6)^2 + 3(0.611 \times 10^6)^2} \] \[ \sigma_{eq,VM} = \sqrt{(162.05 \times 10^{12}) + 3(0.373 \times 10^{12})} \] \[ \sigma_{eq,VM} = \sqrt{162.05 \times 10^{12} + 1.119 \times 10^{12}} \] \[ \sigma_{eq,VM} = \sqrt{163.169 \times 10^{12}} \approx 12.77 \times 10^6 \text{ Pa} = 12.77 \text{ MPa} \] **4. Vérification de la condition de résistance :** * Résistance pratique à l'élasticité : \[ R_{pe} = \frac{R_e}{s} = \frac{300 \text{ MPa}}{2} = 150 \text{ MPa} \] * Comparaison : \( \sigma_{eq,VM} = 12.77 \text{ MPa} \le R_{pe} = 150 \text{ MPa} \) **Conclusion :** La contrainte équivalente de Von Mises (12.77 MPa) est bien inférieure à la résistance pratique à l'élasticité (150 MPa). L'arbre résiste donc aux sollicitations combinées de torsion et de traction. ### 5. Exercices #### Exercice 1 : Vérification de résistance Un axe cylindrique plein en aluminium (\( R_e = 200 \text{ MPa} \)) de diamètre \( D = 40 \text{ mm} \) est soumis à une force de compression \( N = 50 \text{ kN} \) et à un moment de torsion \( M_t = 800 \text{ N.m} \). On prend un coefficient de sécurité \( s = 1.8 \). 1. Calculez la contrainte normale due à la compression. 2. Calculez la contrainte tangentielle maximale due à la torsion. 3. Calculez la contrainte équivalente de Von Mises. 4. Vérifiez si l'axe est résistant. Justifiez votre réponse. #### Exercice 2 : Détermination de diamètre Un arbre doit transmettre un couple de \( M_t = 2500 \text{ N.m} \) et supporter une charge de traction \( N = 40 \text{ kN} \). Le matériau a une limite d'élasticité \( R_e = 450 \text{ MPa} \) et on exige un coefficient de sécurité \( s = 2.5 \). L'arbre est de section circulaire pleine. 1. Déterminez la résistance pratique à l'élasticité \( R_{pe} \). 2. En considérant la contrainte équivalente de Von Mises, déterminez le diamètre minimal \( D \) de l'arbre pour assurer sa résistance. (Vous devrez peut-être résoudre une équation non linéaire ou procéder par itération). ### 6. Devoir à la maison Un boulon M16 (diamètre nominal \( d_0 = 16 \text{ mm} \), diamètre du noyau \( d_k \approx 13.8 \text{ mm} \)) est serré à un couple de \( M_t = 120 \text{ N.m} \). Lors du serrage, le boulon est également mis en traction par la force de précontrainte qui en résulte. Supposons qu'une force de traction \( N = 60 \text{ kN} \) est appliquée au boulon après le serrage initial. Le matériau du boulon est un acier à haute résistance avec \( R_e = 800 \text{ MPa} \). Le coefficient de sécurité requis est \( s = 3 \). 1. Calculez la surface de la section soumise à la traction (prenez la section du noyau du boulon, \( S = \frac{\pi d_k^2}{4} \)). 2. Calculez le module de torsion pour la section du noyau du boulon (\( W_t = \frac{\pi d_k^3}{16} \)). 3. Calculez la contrainte normale (traction) et la contrainte tangentielle (torsion) maximales. 4. Calculez la contrainte équivalente de Von Mises. 5. Vérifiez la résistance du boulon. 6. Discutez de l'importance des sollicitations composées dans la conception des assemblages boulonnés et comment un serrage excessif pourrait affecter la sécurité de l'assemblage. ### 7. Résumé Cette leçon nous a montré que dans de nombreuses applications, les pièces mécaniques sont soumises à des **sollicitations composées**, notamment la **torsion** et la **traction/compression** simultanément. Pour évaluer la sécurité de ces pièces, il est essentiel de : 1. **Calculer les contraintes simples** : La contrainte normale (\( \sigma_N = N/S \)) et la contrainte tangentielle (\( \tau_T = M_t/W_t \)) découlant de chaque sollicitation. 2. **Combiner ces contraintes** en utilisant des critères de contrainte équivalente, comme le **critère de Von Mises** (\( \sigma_{eq,VM} = \sqrt{\sigma_N^2 + 3\tau_T^2} \)), particulièrement adapté aux matériaux ductiles. 3. **Vérifier la condition de résistance** en comparant la contrainte équivalente à la résistance pratique à l'élasticité (\( R_{pe} = R_e/s \)). Si \( \sigma_{eq,VM} \le R_{pe} \), la pièce est considérée comme résistante à la plastification. 4. **Vérifier les conditions de rigidité** pour s'assurer que les déformations (allongement et angle de torsion) restent dans des limites acceptables, souvent vérifiées séparément. La prise en compte des sollicitations composées est une étape fondamentale et réaliste dans la conception mécanique, garantissant la fiabilité et la sécurité des structures et des machines. ## Sollicitations composées de Flexion et Traction/Compression : Généralités, efforts de cohésion, moments, équations, diagrammes ### Introduction En résistance des matériaux, vous avez déjà étudié les sollicitations simples comme la traction, la compression ou la flexion simple. Cependant, dans la réalité, de nombreuses pièces mécaniques ou structures sont soumises simultanément à plusieurs types de sollicitations. C'est ce que l'on appelle les **sollicitations composées**. Dans ce cours, nous allons nous concentrer sur la combinaison la plus courante et la plus importante : la **flexion composée**, qui est la superposition de la flexion et de la traction ou compression. Nous verrons comment analyser ces situations, déterminer les efforts internes, les moments, et calculer les contraintes résultantes dans les matériaux. ### Concepts Clés #### 1. Généralités sur les sollicitations composées Une pièce est en sollicitation composée lorsque les efforts internes et/ou les moments qui s'exercent sur une section droite ne peuvent pas être ramenés à une seule sollicitation simple (traction, compression, cisaillement, torsion, flexion simple). * **Principe de superposition :** Pour les matériaux se comportant de manière élastique linéaire, on peut additionner les effets (déformations, contraintes) de chaque sollicitation simple agissant séparément pour trouver l'effet total de la sollicitation composée. C'est ce principe que nous utiliserons. #### 2. Efforts de cohésion Pour analyser une sollicitation composée, la première étape est de déterminer les efforts de cohésion (ou efforts internes) au sein de la pièce. Cela se fait par la méthode de la coupure. * **Effort Normal (N) :** C'est la composante des efforts internes perpendiculaire à la section droite. Il est positif en traction et négatif en compression. Il est responsable des contraintes normales uniformes. * **Effort Tranchant (Ty, Tz) :** Ce sont les composantes des efforts internes contenues dans le plan de la section droite. Ils sont responsables des contraintes tangentielles (cisaillement). En flexion simple, l'effort tranchant est souvent présent et lié à la variation du moment fléchissant. * **Moment Fléchissant (Mf ou My, Mz) :** C'est le moment des efforts internes par rapport au centre de gravité de la section, dont le vecteur est contenu dans le plan de la section droite. Il est responsable de la flexion et des contraintes normales non uniformes (linéaires) dans la section. #### 3. Calcul des contraintes normales en flexion composée La flexion composée de flexion et traction/compression est caractérisée par la présence simultanée d'un effort normal \( N \) et d'un moment fléchissant \( M_f \) sur une section. Les contraintes normales \( \sigma \) dans la section résultent de la superposition de ces deux sollicitations. * **Contrainte due à l'effort normal (Traction/Compression) :** L'effort normal \( N \) crée une contrainte normale \( \sigma_N \) uniformément répartie sur la section. \[ \sigma_N = \frac{N}{S} \] Où : * \( N \) est l'effort normal (en Newtons, N). * \( S \) est l'aire de la section (en mètres carrés, \( m^2 \)). * \( \sigma_N \) est la contrainte normale (en Pascals, Pa). * **Contrainte due au moment fléchissant (Flexion simple) :** Le moment fléchissant \( M_f \) crée une contrainte normale \( \sigma_f \) qui varie linéairement avec la distance à la fibre neutre. La fibre neutre est l'axe passant par le centre de gravité de la section et où la contrainte est nulle. \[ \sigma_f = \frac{M_f \cdot y}{I_G} \] Où : * \( M_f \) est le moment fléchissant (en Newton-mètres, N.m). * \( y \) est la distance entre la fibre considérée et la fibre neutre (en mètres, m). * \( I_G \) est le moment quadratique (ou moment d'inertie) de la section par rapport à l'axe neutre (en \( m^4 \)). Il caractérise la résistance de la section à la flexion. * \( \sigma_f \) est la contrainte normale (en Pascals, Pa). * **Contrainte normale totale (Superposition) :** La contrainte normale totale \( \sigma \) en tout point de la section est la somme algébrique des contraintes dues à l'effort normal et au moment fléchissant : \[ \sigma = \sigma_N + \sigma_f = \frac{N}{S} + \frac{M_f \cdot y}{I_G} \] Il est crucial de faire attention aux signes : * \( N \) est positif pour la traction, négatif pour la compression. * \( M_f \) est généralement positif pour la flexion qui met en traction les fibres inférieures (si l'axe y est orienté vers le bas), et négatif pour la flexion qui met en compression les fibres inférieures. Une convention de signe cohérente est essentielle. * \( y \) est positif d'un côté de la fibre neutre et négatif de l'autre. #### 4. Diagrammes des efforts de cohésion et moments La représentation graphique des efforts normaux (N), des efforts tranchants (T) et des moments fléchissants (Mf) le long de l'axe de la poutre est essentielle pour comprendre la répartition des sollicitations et identifier les sections critiques. * **Diagramme de l'effort normal (N) :** Représente la variation de N le long de la poutre. * **Diagramme de l'effort tranchant (T) :** Représente la variation de T le long de la poutre. * Relation : \( T(x) = \frac{dM_f}{dx} \) * **Diagramme du moment fléchissant (Mf) :** Représente la variation de Mf le long de la poutre. * Relation : \( M_f(x) = \int T(x) dx + C \) * Les pentes du diagramme de Mf sont données par les valeurs de T. * Les extremums de Mf se trouvent là où T est nul. ### Vocabulaire Important * **Sollicitation composée :** Combinaison de plusieurs sollicitations simples agissant simultanément sur une pièce. * **Flexion composée :** Sollicitation composée de flexion et de traction ou compression. * **Effort Normal (N) :** Force axiale agissant perpendiculairement à la section. * **Effort Tranchant (T) :** Force agissant dans le plan de la section, provoquant le cisaillement. * **Moment Fléchissant (Mf) :** Moment qui tend à courber la pièce. * **Contrainte normale (\( \sigma \)) :** Force par unité de surface agissant perpendiculairement à la section. * **Fibre neutre :** Axe de la section où la contrainte normale est nulle en flexion. * **Moment quadratique (\( I_G \)) :** Caractéristique géométrique de la section qui mesure sa résistance à la flexion. Plus \( I_G \) est grand, plus la section résiste à la flexion pour un même matériau. ### Exemples d'application #### Exemple 1 : Poteau avec charge excentrée Considérons un poteau de section rectangulaire \( b \times h \) soumis à une force \( P \) appliquée à une distance \( e \) (excentricité) du centre de gravité de la section. Cette charge excentrée peut être remplacée par une force \( P \) appliquée au centre de gravité de la section PLUS un moment \( M_f = P \cdot e \). * L'effort normal est \( N = -P \) (compression). * Le moment fléchissant est \( M_f = P \cdot e \). La contrainte normale résultante à une distance \( y \) de la fibre neutre (qui coïncide avec l'axe de symétrie passant par le centre de gravité et perpendiculaire à la direction de la flexion) sera : \[ \sigma = \frac{N}{S} + \frac{M_f \cdot y}{I_G} = -\frac{P}{b \cdot h} + \frac{(P \cdot e) \cdot y}{\frac{b \cdot h^3}{12}} \] Les contraintes maximales et minimales se trouvent aux fibres extrêmes (\( y = \pm h/2 \)). ### Exercices 1. Une poutre de section carrée de côté \( a = 50 \text{ mm} \) est soumise à un effort de compression \( N = -10 \text{ kN} \) et à un moment fléchissant \( M_f = 500 \text{ N.m} \). * a) Calculez l'aire de la section \( S \) et le moment quadratique \( I_G \) de la section. * b) Déterminez la contrainte normale maximale et minimale dans la section. * c) Dessinez la répartition des contraintes normales sur la section. 2. Expliquez pourquoi le principe de superposition est fondamental dans l'étude des sollicitations composées. ### Devoirs 1. Un support mural, schématisé par une poutre encastrée à une extrémité et libre à l'autre, supporte une charge ponctuelle \( F = 2 \text{ kN} \) à son extrémité libre, orientée vers le bas. De plus, une force axiale de traction \( N_0 = 5 \text{ kN} \) est appliquée le long de la poutre. La poutre a une longueur \( L = 1.5 \text{ m} \) et une section rectangulaire de \( b = 50 \text{ mm} \) et \( h = 100 \text{ mm} \). * a) Tracez les diagrammes de l'effort normal, de l'effort tranchant et du moment fléchissant le long de la poutre. * b) Calculez la contrainte normale maximale dans la section d'encastrement. * c) Où se situe la fibre neutre dans la section d'encastrement sous l'effet combiné ? 2. Recherchez et décrivez au moins deux exemples de structures ou de pièces mécaniques où l'on rencontre des sollicitations de flexion composée. ### Résumé Nous avons exploré les sollicitations composées, en nous concentrant sur la combinaison de la flexion et de la traction/compression. Le principe clé est la **superposition des effets**. La contrainte normale totale \( \sigma \) en un point d'une section est la somme de la contrainte due à l'effort normal \( N \) et de la contrainte due au moment fléchissant \( M_f \) : \[ \sigma = \frac{N}{S} + \frac{M_f \cdot y}{I_G} \] Comprendre cette formule et savoir comment déterminer \( N \), \( M_f \), \( S \), \( I_G \) et \( y \) est essentiel pour dimensionner et vérifier la résistance des pièces soumises à ces sollicitations complexes. Les diagrammes des efforts internes sont des outils indispensables pour localiser les sections les plus sollicitées. ## Sollicitations composées de Flexion et Traction/Compression : Contraintes équiv balentes, déformations, conditions de résistance ### Introduction Bienvenue à cette leçon sur les sollicitations composées en Résistance des Matériaux. Jusqu'à présent, vous avez étudié des cas de sollicitations simples comme la traction, la compression et la flexion pure. Dans la réalité, de nombreuses pièces mécaniques sont soumises simultanément à plusieurs types de sollicitations. Cette leçon vous apprendra à analyser les effets combinés de la flexion et de la traction/compression, à calculer les contraintes équivalentes, à comprendre les déformations qui en résultent et à vérifier les conditions de résistance pour assurer la sécurité des structures. ### Concepts Clés #### Rappel des sollicitations simples Avant d'aborder les sollicitations composées, rappelons les bases : * **Traction / Compression :** * Force axiale \(N\) agissant le long de l'axe de la pièce. * Contrainte normale uniforme : \( \sigma = \frac{N}{S} \), où \(S\) est l'aire de la section. * \( \sigma > 0 \) pour la traction, \( \sigma < 0 \) pour la compression. * **Flexion Simple :** * Moment de flexion \(M_f\) agissant dans la section. * Contrainte normale linéaire : \( \sigma_f(y) = \frac{M_f}{I_G} y \), où \(I_G\) est le moment quadratique et \(y\) est la distance à l'axe neutre. * L'axe neutre passe par le centre de gravité de la section. #### Sollicitations composées de Flexion et Traction/Compression Une sollicitation est dite composée lorsque la pièce est soumise simultanément à un effort normal \(N\) (traction ou compression) et à un moment de flexion \(M_f\). C'est un cas très courant dans la conception des poutres, des poteaux et d'autres éléments structuraux qui peuvent supporter des charges excentrées. #### Principe de Superposition Pour analyser les sollicitations composées de flexion et traction/compression, on utilise le **principe de superposition**. Ce principe stipule que si les déformations sont faibles (hypothèse des petites déformations), l'effet total d'une combinaison de charges est la somme des effets de chaque charge appliquée individuellement. Donc, la contrainte normale totale \( \sigma_{total} \) en un point de la section sera la somme algébrique de la contrainte due à l'effort normal (traction/compression) et de la contrainte due à la flexion : \[ \sigma_{total}(y) = \sigma_N + \sigma_f(y) \] \[ \sigma_{total}(y) = \frac{N}{S} + \frac{M_f}{I_G} y \] * \(N\) : Effort normal (positif en traction, négatif en compression) * \(S\) : Aire de la section * \(M_f\) : Moment de flexion (attention au signe, selon la convention choisie) * \(I_G\) : Moment quadratique de la section par rapport à l'axe neutre * \(y\) : Distance du point considéré à l'axe neutre de la flexion pure (passant par le centre de gravité). #### Position de l'axe neutre Dans le cas de la flexion composée, l'axe neutre (où la contrainte normale est nulle) ne coïncide plus nécessairement avec l'axe passant par le centre de gravité de la section. Pour trouver la position du nouvel axe neutre, on pose \( \sigma_{total}(y) = 0 \) : \[ \frac{N}{S} + \frac{M_f}{I_G} y = 0 \] \[ y = - \frac{N}{S} \frac{I_G}{M_f} \] Cette valeur de \(y\) indique la position de l'axe neutre par rapport au centre de gravité. Si \(N\) et \(M_f\) ont des signes tels que \(y\) soit en dehors de la section, cela signifie que toute la section est soit en traction, soit en compression. #### Contraintes maximales et minimales Les contraintes normales maximales et minimales se produisent aux fibres les plus éloignées de l'axe neutre. Elles sont cruciales pour vérifier la résistance de la pièce. Soit \(y_{max}\) et \(y_{min}\) les distances maximales aux fibres extrêmes (souvent \(y_{max} = h/2\) et \(y_{min} = -h/2\) pour une section rectangulaire de hauteur \(h\)). \[ \sigma_{max} = \frac{N}{S} + \frac{M_f}{I_G} y_{max} \] \[ \sigma_{min} = \frac{N}{S} + \frac{M_f}{I_G} y_{min} \] Il est souvent utile d'exprimer cela avec le module de flexion \(W = I_G / y_{max} \) (ou \(W = I_G / y_{min} \) si l'on considère l'autre extrémité): \[ \sigma_{max/min} = \frac{N}{S} \pm \frac{M_f}{W} \] #### Conditions de Résistance Pour qu'une pièce résiste aux sollicitations composées, les contraintes maximales calculées ne doivent pas dépasser la Résistance Pratique au Matériau \(R_p\) (limite élastique divisée par un coefficient de sécurité \(s\), soit \(R_p = R_e / s\)). * En traction : \( \sigma_{max} \le R_p \) (ou \(R_{pt} \) si différente) * En compression : \( |\sigma_{min}| \le R_p \) (ou \(R_{pc} \) si différente) La condition générale est : \[ |\sigma_{max}| \le R_p \] et \[ |\sigma_{min}| \le R_p \] Il est souvent plus critique de considérer la valeur absolue de la contrainte la plus élevée, qu'elle soit en traction ou en compression. #### Cas particulier : Flexion déviée (ou flexion avec effort normal excentré) Si l'effort normal \(N\) n'est pas appliqué au centre de gravité de la section, mais à une distance \(e\) (excentricité), cela génère un moment de flexion additionnel. Ce moment est \( M_f = N \cdot e \). On retombe alors sur le cas précédent avec un moment \(M_f\) connu. Si l'excentricité se produit selon deux axes (par exemple \(e_y\) et \(e_z\)), alors il y aura deux moments de flexion \(M_y = N e_z \) et \(M_z = N e_y \), et la formule de la contrainte normale devient : \[ \sigma_{total}(y,z) = \frac{N}{S} + \frac{M_z}{I_z} y + \frac{M_y}{I_y} z \] (où \(y\) et \(z\) sont les coordonnées du point, \(I_z\) et \(I_y\) les moments quadratiques principaux). #### Déformations Les déformations suivent aussi le principe de superposition. L'allongement total \( \Delta L \) d'une poutre soumise à l'effort normal \(N\) et à un moment de flexion \(M_f\) peut être vu comme la somme de l'allongement dû à \(N\) et de la déformation due à la courbure de flexion. Cependant, en pratique, on s'intéresse souvent à la flèche \(w(x)\) due à la flexion et à la variation de longueur \( \Delta L = \frac{N L}{E S} \) due à l'effort normal. Pour les sollicitations composées, la flèche est principalement dictée par le moment de flexion. Le calcul de la flèche est le même que pour la flexion simple, mais avec le diagramme de moments résultant de toutes les charges. ### Vocabulaire * **Sollicitation composée :** État où une pièce est soumise simultanément à plusieurs types de sollicitations (ex: flexion et traction/compression). * **Principe de superposition :** Méthode permettant d'additionner les effets de différentes charges pour obtenir l'effet total, sous certaines conditions (petites déformations). * **Contrainte normale :** Force par unité de surface agissant perpendiculairement à la section (unité : Pascals, Pa). * **Moment de flexion :** Mesure de la tendance d'une force à faire plier ou courber un élément (unité : Newton-mètre, Nm). * **Axe neutre :** L'axe dans une section où la contrainte normale est nulle. Sa position peut changer en cas de sollicitations composées. * **Centre de gravité (G) :** Point d'équilibre géométrique de la section. En flexion simple, l'axe neutre passe par G. * **Moment quadratique (I_G) :** Caractéristique géométrique de la section qui mesure sa capacité à résister à la flexion (unité : \(m^4\)). * **Module de flexion (W) :** Rapport du moment quadratique à la distance à la fibre la plus éloignée de l'axe neutre \( (W = I_G / y_{max}) \) (unité : \(m^3\)). Il caractérise la résistance d'une section à la flexion. * **Excentricité (e) :** Distance entre le point d'application d'une force et l'axe longitudinal d'une pièce ou le centre de gravité de sa section. * **Résistance Pratique (R_p) :** La contrainte maximale que le matériau peut supporter en toute sécurité, obtenue en divisant la limite élastique par un coefficient de sécurité. ### Exemples #### Exemple 1 : Poteau soumis à une charge excentrée Un poteau rectangulaire en acier de section 100 mm x 200 mm est soumis à une force de compression \(N = 100 \text{ kN}\) appliquée à 30 mm de l'axe passant par le centre de gravité selon la direction de la hauteur (axe y). Le module de Young \(E = 210 \text{ GPa}\). La limite élastique \(R_e = 250 \text{ MPa}\). Coefficient de sécurité \(s = 2\). * **1. Calcul des propriétés de la section :** * Largeur \(b = 100 \text{ mm} = 0.1 \text{ m}\) * Hauteur \(h = 200 \text{ mm} = 0.2 \text{ m}\) * Aire \(S = b \cdot h = 0.1 \cdot 0.2 = 0.02 \text{ m}^2\) * Moment quadratique \(I_G = \frac{b h^3}{12} = \frac{0.1 \cdot (0.2)^3}{12} = 6.667 \cdot 10^{-5} \text{ m}^4\) * Distance à la fibre extrême \(y_{max} = h/2 = 0.1 \text{ m}\) * Module de flexion \(W = \frac{I_G}{y_{max}} = \frac{6.667 \cdot 10^{-5}}{0.1} = 6.667 \cdot 10^{-4} \text{ m}^3\) * **2. Calcul de l'effort normal et du moment de flexion :** * Effort normal \(N = -100 \text{ kN} = -100 \cdot 10^3 \text{ N}\) (compression) * Excentricité \(e = 30 \text{ mm} = 0.03 \text{ m}\) * Moment de flexion \(M_f = N \cdot e = (-100 \cdot 10^3) \cdot 0.03 = -3000 \text{ N\cdot m}\) * **3. Calcul des contraintes extrêmes :** * Contrainte due à l'effort normal : \( \sigma_N = \frac{N}{S} = \frac{-100 \cdot 10^3}{0.02} = -5 \cdot 10^6 \text{ Pa} = -5 \text{ MPa}\) * Contrainte due à la flexion (aux fibres extrêmes) : \( \sigma_f = \frac{|M_f|}{W} = \frac{|-3000|}{6.667 \cdot 10^{-4}} = 4.5 \cdot 10^6 \text{ Pa} = 4.5 \text{ MPa}\) * La fibre la plus sollicitée en compression sera du côté de l'application de la charge excentrée. Soit \(y = 0.1 \text{ m}\) (côté opposé à l'excentricité) et \(y = -0.1 \text{ m}\) (côté de l'excentricité) par rapport au centre de gravité. * \( \sigma_{total, haut} = \frac{N}{S} + \frac{M_f}{I_G} (+y_{max}) = -5 \text{ MPa} + \frac{-3000}{6.667 \cdot 10^{-5}} (0.1) = -5 \text{ MPa} - 4.5 \text{ MPa} = -9.5 \text{ MPa}\) * \( \sigma_{total, bas} = \frac{N}{S} + \frac{M_f}{I_G} (-y_{max}) = -5 \text{ MPa} + \frac{-3000}{6.667 \cdot 10^{-5}} (-0.1) = -5 \text{ MPa} + 4.5 \text{ MPa} = -0.5 \text{ MPa}\) * **4. Vérification de la condition de résistance :** * \( R_p = R_e / s = 250 \text{ MPa} / 2 = 125 \text{ MPa}\) * La contrainte maximale en valeur absolue est \( |-9.5 \text{ MPa}| = 9.5 \text{ MPa}\). * Comme \( 9.5 \text{ MPa} \le 125 \text{ MPa} \), la condition de résistance est respectée. ### Exercices 1. Une poutre en béton armé de section carrée de 300 mm de côté est soumise à un effort de compression de 500 kN et à un moment de flexion de 30 kNm autour d'un axe passant par le centre de gravité. Calculez les contraintes normales maximales et minimales dans la section. (On négligera l'armature pour ce calcul de section homogène). Rappel : \(I_G = a^4/12\) pour un carré de côté \(a\). 2. Décrivez comment la position de l'axe neutre est affectée si l'effort normal de compression est très important par rapport au moment de flexion. 3. Pourquoi est-il important de calculer les contraintes aux fibres extrêmes de la section pour les sollicitations composées ? ### Devoir à la maison 1. Un tube carré creux en aluminium (section extérieure 80x80 mm, épaisseur 5 mm) est utilisé comme poutre. Il est soumis à un effort de traction de 50 kN et un moment de flexion de 2 kNm. * Calculez l'aire de la section \(S\) et le moment quadratique \(I_G\) de la section. * Déterminez les contraintes normales maximale et minimale dans la section. * L'aluminium a une limite élastique de 270 MPa. Si le coefficient de sécurité requis est de 2.5, la poutre résiste-t-elle ? 2. Expliquez le principe de superposition en résistance des matériaux et mentionnez ses limites d'application. 3. Proposez une application concrète (dans l'ingénierie civile ou mécanique) où la sollicitation de flexion et traction/compression est prépondérante et justifiez votre choix. ### Résumé Dans cette leçon, nous avons exploré les sollicitations composées de flexion et de traction/compression, qui sont très courantes en ingénierie. Nous avons appris que le **principe de superposition** est fondamental pour analyser ces cas, permettant de sommer les effets des sollicitations simples. La contrainte normale totale en un point est la somme de la contrainte due à l'effort normal \( (N/S) \) et de la contrainte due à la flexion \( (M_f y / I_G) \). L'axe neutre, où la contrainte est nulle, se déplace par rapport au centre de gravité. Les **contraintes maximales et minimales**, situées aux fibres extrêmes, sont cruciales pour vérifier les **conditions de résistance** de la pièce, en s'assurant qu'elles ne dépassent pas la résistance pratique du matériau. Comprendre ces concepts est essentiel pour la conception sécuritaire et fiable des structures et des composants mécaniques. ## Sollicitations composées de Flexion et Torsion : Généralités, efforts de cohésion, moments, équations, diagrammes ### Introduction En mécanique appliquée, il est rare qu'une pièce soit soumise à un seul type de sollicitation. Très souvent, plusieurs forces et moments agissent simultanément, créant des « sollicitations composées ». Cette leçon se concentre sur l'une des combinaisons les plus courantes et critiques : la **flexion et la torsion combinées**. Comprendre comment ces deux types de sollicitations interagissent est fondamental pour concevoir des structures et des machines sûres et efficaces. Nous allons explorer les efforts internes générés, les moments associés, les équations pour calculer les contraintes résultantes et la méthode des diagrammes pour visualiser ces efforts. ### Concepts Clés #### Généralités sur les sollicitations composées * Une pièce est soumise à une sollicitation composée lorsque plusieurs sollicitations simples (traction, compression, cisaillement, flexion, torsion) agissent simultanément sur une même section. * Le principe de superposition est souvent utilisé pour combiner les effets des sollicitations simples, notamment pour les contraintes et les déformations, à condition que les déformations soient faibles et que le matériau reste dans son domaine élastique linéaire. * L'analyse des sollicitations composées est essentielle car elle permet de dimensionner correctement les pièces pour éviter la rupture ou la déformation excessive en service. #### Efforts de cohésion (ou efforts internes) Lorsque l'on "coupe" mentalement une pièce soumise à des charges externes, des efforts internes (dits de cohésion) apparaissent à la surface de la coupe pour maintenir l'équilibre. Ces efforts se décomposent en: * **Effort normal (N):** Agit perpendiculairement à la section (traction ou compression). * **Effort tranchant (T ou V):** Agit dans le plan de la section (cisaillement). * **Moment de flexion (M_f):** Tendance à courber la pièce autour d'un axe de la section. * **Moment de torsion (M_t):** Tendance à tordre la pièce autour de son axe longitudinal. Dans le cas des sollicitations composées de flexion et torsion, les moments \(M_f\) et \(M_t\) sont les principaux contributeurs aux contraintes critiques. #### Moments ##### Moment de Flexion \(M_f\) * **Définition:** Le moment de flexion représente l'effet des forces qui tendent à faire fléchir (courber) une poutre ou un arbre. Il est calculé comme le produit d'une force par sa distance perpendiculaire à l'axe de la section où l'on calcule le moment. * **Contrainte normale de flexion:** La flexion génère des contraintes normales \(\sigma_f\) (traction d'un côté, compression de l'autre) dans la section, maximales aux fibres les plus éloignées de l'axe neutre. La formule pour une flexion simple est : \\[ \sigma_f = \frac{M_f}{I_G/v} = \frac{M_f}{W_f} \\] où \(M_f\) est le moment de flexion, \(I_G\) est le moment d'inertie quadratique de la section par rapport à l'axe neutre, \(v\) est la distance de la fibre la plus éloignée à l'axe neutre, et \(W_f\) est le module de flexion. ##### Moment de Torsion \(M_t\) * **Définition:** Le moment de torsion (ou couple de torsion) représente l'effet des forces qui tendent à faire tordre une pièce autour de son axe longitudinal. Il est également un produit force-distance, mais la force agit de manière à créer une rotation. * **Contrainte de cisaillement de torsion:** La torsion génère des contraintes de cisaillement \(\tau_t\) dans la section, maximales à la surface extérieure de la pièce. La formule pour une torsion simple est : \\[ \tau_t = \frac{M_t}{I_0/v} = \frac{M_t}{W_t} \\] où \(M_t\) est le moment de torsion, \(I_0\) est le moment d'inertie polaire de la section, \(v\) est la distance du point considéré au centre de la section, et \(W_t\) est le module de torsion. #### Équations de comportement et critère de résistance Lorsqu'une pièce est soumise simultanément à la flexion et à la torsion, les contraintes normales de flexion et les contraintes de cisaillement de torsion agissent sur la même section. Pour évaluer la résistance globale du matériau, on ne peut pas simplement additionner ces contraintes car elles sont de natures différentes. On utilise alors un **critère de résistance équivalente**. * **Contrainte normale maximale due à la flexion:** \(\sigma_{f,max} = \frac{|M_f|_{max}}{W_f}\) * **Contrainte de cisaillement maximale due à la torsion:** \(\tau_{t,max} = \frac{|M_t|_{max}}{W_t}\) Le critère le plus couramment utilisé en ductilité est le **critère de Von Mises** (ou critère de l'énergie de distorsion). Ce critère permet de calculer une contrainte équivalente \(\sigma_{eq}\) qui peut être comparée à la limite élastique du matériau. Pour un état de contrainte simple avec \(\sigma_x\) (flexion) et \(\tau_{xy}\) (torsion) : \\[ \sigma_{eq} = \sqrt{\sigma_x^2 + 3\tau_{xy}^2} \\] Dans notre cas, \(\sigma_x\) est la contrainte normale de flexion \(\sigma_f\), et \(\tau_{xy}\) est la contrainte de cisaillement de torsion \(\tau_t\) : \\[ \sigma_{eq} = \sqrt{\sigma_f^2 + 3\tau_t^2} \\] * **Condition de résistance:** Pour qu'une pièce résiste sans déformation permanente, la contrainte équivalente calculée doit être inférieure ou égale à la limite élastique \(R_e\) du matériau divisée par un coefficient de sécurité \(s\) : \\[ \sigma_{eq} \le \frac{R_e}{s} \\] #### Diagrammes des efforts internes Les diagrammes des efforts internes sont des représentations graphiques de la variation des efforts tranchants, des moments de flexion et des moments de torsion le long de l'axe de la pièce. Ils sont cruciaux pour : * **Localiser les sections critiques :** Identifier les points où les moments de flexion \(M_f\) et de torsion \(M_t\) atteignent leurs valeurs maximales, car ce sont ces points qui sont les plus sollicités. * **Calculer les contraintes :** Une fois les valeurs maximales de \(M_f\) et \(M_t\) connues, on peut calculer les contraintes \(\sigma_f\) et \(\tau_t\) et ensuite la contrainte équivalente \(\sigma_{eq}\). **Construction des diagrammes :** Elle implique de déterminer les réactions aux appuis, puis de "couper" la pièce en différentes sections pour établir les équations de \(M_f(x)\) et \(M_t(x)\) le long de la pièce, et enfin de les tracer. * **Diagramme de Moment de Flexion \(M_f(x)\)** * **Diagramme de Moment de Torsion \(M_t(x)\)** ### Vocabulaire * **Sollicitation composée:** État où une pièce est soumise à plusieurs types de sollicitations simples simultanément. * **Flexion:** Déformation résultant d'un moment qui tend à courber une pièce. * **Torsion:** Déformation résultant d'un moment qui tend à tordre une pièce autour de son axe longitudinal. * **Effort normal (N):** Force interne axiale (traction ou compression) dans une section. * **Effort tranchant (T ou V):** Force interne tangentielle dans une section, perpendiculaire à l'axe longitudinal. * **Moment de flexion (M_f):** Moment interne qui provoque la flexion d'une pièce. * **Moment de torsion (M_t):** Moment interne qui provoque la torsion d'une pièce. * **Contrainte normale (\(\sigma\)):** Force par unité de surface agissant perpendiculairement à la section (résultant de traction, compression ou flexion). * **Contrainte de cisaillement (\(\tau\)):** Force par unité de surface agissant parallèlement à la section (résultant de cisaillement ou torsion). * **Moment d'inertie quadratique (\(I_G\)):** Propriété géométrique d'une section qui caractérise sa résistance à la flexion. * **Module de flexion (\(W_f\)):** Résistance d'une section à la flexion (\(W_f = I_G/v\)). * **Moment d'inertie polaire (\(I_0\)):** Propriété géométrique d'une section qui caractérise sa résistance à la torsion. * **Module de torsion (\(W_t\)):** Résistance d'une section à la torsion (\(W_t = I_0/v\)). * **Critère de Von Mises:** Critère de plasticité utilisé pour prédire la déformation permanente d'un matériau ductile sous des contraintes combinées, en calculant une contrainte équivalente.