Flexion plane simple

# Flexion plane simple ## Moment statique et moment d’inertie des aires planes ### Introduction Bienvenue dans ce cours de mécanique appliquée ! Aujourd'hui, nous allons aborder des concepts fondamentaux essentiels pour comprendre comment les structures, et notamment les poutres, réagissent aux sollicitations comme la flexion : le moment statique et le moment d'inertie des aires planes. Ces notions vous permettront de caractériser la géométrie des sections transversales des pièces et de prédire leur comportement sous charge. ### Concepts Clés #### Moment Statique d'une Aire (\(S\)) ##### Définition Le moment statique d'une aire par rapport à un axe est une grandeur qui représente la "répartition" de cette aire par rapport à cet axe. Il est particulièrement utile pour localiser le centre de gravité des sections. Plus simplement, c'est la somme des produits de chaque petite surface élémentaire par sa distance à l'axe considéré. ##### Calcul Pour une aire \(A\) par rapport à l'axe \(x\), le moment statique \(S_x\) est : \[ S_x = \int_A y \, dA \] Et par rapport à l'axe \(y\), le moment statique \(S_y\) est : \[ S_y = \int_A x \, dA \] Pour une aire composée de plusieurs sous-aires \(A_i\), dont les centres de gravité sont \((x_i, y_i))\) : \[ S_x = \sum A_i y_i \] \[ S_y = \sum A_i x_i \] ##### Unités Le moment statique s'exprime en unités de longueur au cube, généralement en \( \text{mm}^3 \) ou \( \text{m}^3 \). #### Centre de Gravité (ou Centroïde) d'une Aire (G) ##### Définition Le centre de gravité (ou centroïde) d'une aire est le point où l'on peut considérer que toute l'aire est concentrée, sans changer son moment statique par rapport à n'importe quel axe. C'est le centre géométrique de la surface. ##### Localisation Les coordonnées \((x_G, y_G))\) du centre de gravité sont déterminées à partir des moments statiques et de l'aire totale \(A_{totale}\) : \[ x_G = \frac{S_y}{A_{totale}} = \frac{\sum A_i x_i}{\sum A_i} \] \[ y_G = \frac{S_x}{A_{totale}} = \frac{\sum A_i y_i}{\sum A_i} \] Si l'aire possède un ou plusieurs axes de symétrie, le centre de gravité se trouve sur ces axes. #### Moment d'Inertie d'une Aire Plane (\(I\)) ##### Définition Le moment d'inertie d'une aire (aussi appelé second moment d'aire) par rapport à un axe est une grandeur qui caractérise la distribution de la matière par rapport à cet axe. Il mesure la résistance d'une section à la flexion. Plus le moment d'inertie est grand, plus la section est résistante à la flexion autour de cet axe. ##### Calcul Pour une aire \(A\) par rapport à l'axe \(x\), le moment d'inertie \(I_x\) est : \[ I_x = \int_A y^2 \, dA \] Et par rapport à l'axe \(y\), le moment d'inertie \(I_y\) est : \[ I_y = \int_A x^2 \, dA \] ##### Unités Le moment d'inertie s'exprime en unités de longueur à la puissance quatre, généralement en \( \text{mm}^4 \) ou \( \text{m}^4 \). ##### Théorème de Steiner (ou des axes parallèles) Ce théorème est fondamental pour calculer le moment d'inertie d'une aire par rapport à un axe quelconque, connaissant son moment d'inertie par rapport à un axe parallèle passant par son centre de gravité. Le moment d'inertie \(I_a\) par rapport à un axe \(a\) est : \[ I_a = I_G + A d^2 \] Où : * \(I_G\) est le moment d'inertie de l'aire par rapport à l'axe parallèle à \(a\) passant par le centre de gravité \(G\). * \(A\) est l'aire totale de la section. * \(d\) est la distance perpendiculaire entre l'axe \(a\) et l'axe passant par \(G\). #### Rayon de Giration (\(r\)) ##### Définition et Formule Le rayon de giration d'une aire par rapport à un axe est la distance à laquelle toute l'aire pourrait être concentrée pour avoir le même moment d'inertie par rapport à cet axe. C'est une mesure de la "compacité" d'une section. Pour l'axe \(x\) : \[ r_x = \sqrt{\frac{I_x}{A}} \] Pour l'axe \(y\) : \[ r_y = \sqrt{\frac{I_y}{A}} \] ### Vocabulaire Clé * **Moment Statique (\(S\))** : Mesure de la distribution d'une aire par rapport à un axe, utile pour trouver le centroïde. * **Centre de Gravité (G) / Centroïde** : Le centre géométrique d'une aire plane. * **Moment d'Inertie (\(I\))** : Mesure de la résistance d'une section à la flexion ou à la rotation. Aussi appelé second moment d'aire. * **Théorème de Steiner** : Permet de calculer le moment d'inertie par rapport à un axe décalé du centroïde. * **Rayon de Giration (\(r\))** : Distance équivalente de concentration d'une aire pour un moment d'inertie donné. * **Aire (\(A\))** : Surface d'une section. ### Exemples #### Exemple 1 : Moment statique d'un rectangle Considérons un rectangle de largeur \(b\) et de hauteur \(h\), avec sa base sur l'axe \(x\). L'aire \(A = b \cdot h\). Le centre de gravité est à \(x_G = b/2\) et \(y_G = h/2\). Le moment statique par rapport à l'axe \(x\) est \(S_x = A \cdot y_G = (b \cdot h) \cdot (h/2) = b h^2 / 2\). #### Exemple 2 : Centre de gravité d'une section en T Soit une section en T composée de deux rectangles : 1. Une âme verticale : largeur \(b_1 = 20\, \text{mm}\), hauteur \(h_1 = 100\, \text{mm}\). 2. Une table horizontale : largeur \(b_2 = 80\, \text{mm}\), hauteur \(h_2 = 20\, \text{mm}\). Divisons la section en deux rectangles : * **Rectangle 1 (Âme)** : \(A_1 = 20 \times 100 = 2000\, \text{mm}^2\). Si l'origine est en bas à gauche de l'âme, \(x_1 = 10\, \text{mm}\), \(y_1 = 50\, \text{mm}\). * **Rectangle 2 (Table)** : \(A_2 = 80 \times 20 = 1600\, \text{mm}^2\). \(x_2 = 40\, \text{mm}\) (si axe y au milieu de l'âme), ou \(x_2 = 40\, \text{mm}\) (si axe y au milieu de la table), \(y_2 = 100 + 10 = 110\, \text{mm}\). Calculons \(S_x\) et \(S_y\) pour trouver \(y_G\) et \(x_G\) (en considérant l'axe \(x\) à la base de l'âme et l'axe \(y\) au centre de l'âme pour simplifier le calcul de \(x_G\)). * \(A_{totale} = A_1 + A_2 = 2000 + 1600 = 3600\, \text{mm}^2\). * \(S_x = A_1 y_1 + A_2 y_2 = (2000 \times 50) + (1600 \times 110) = 100000 + 176000 = 276000\, \text{mm}^3\). * \(y_G = \frac{S_x}{A_{totale}} = \frac{276000}{3600} \approx 76.67\, \text{mm}\) (depuis la base). L'axe \(y\) est un axe de symétrie, donc \(x_G = b_1/2 = 10\, \text{mm}\) (si l'origine de l'axe \(y\) est à gauche de l'âme) ou \(x_G = 0\) (si l'axe \(y\) est l'axe de symétrie central de l'âme). #### Exemple 3 : Moment d'inertie d'un rectangle par rapport à son centre de gravité Pour un rectangle de largeur \(b\) et de hauteur \(h\) : * Moment d'inertie par rapport à l'axe \(x\) passant par son centre de gravité (axe \(x_G\)) : \[ I_{x_G} = \frac{b h^3}{12} \] * Moment d'inertie par rapport à l'axe \(y\) passant par son centre de gravité (axe \(y_G\)) : \[ I_{y_G} = \frac{h b^3}{12} \] #### Exemple 4 : Utilisation du théorème de Steiner Reprenons le rectangle de l'exemple 3. Calculons son moment d'inertie par rapport à sa base (axe \(x\)). L'axe \(x\) est parallèle à l'axe \(x_G\) et la distance entre les deux axes est \(d = h/2\). \[ I_x = I_{x_G} + A d^2 \] \[ I_x = \frac{b h^3}{12} + (b h) \left(\frac{h}{2}\right)^2 \] \[ I_x = \frac{b h^3}{12} + b h \frac{h^2}{4} \] \[ I_x = \frac{b h^3}{12} + \frac{3 b h^3}{12} = \frac{4 b h^3}{12} = \frac{b h^3}{3} \] ### Exercices 1. **Calcul du Moment Statique :** Une section en forme de L a les dimensions suivantes : une branche horizontale de 100 mm de long et 20 mm d'épaisseur, et une branche verticale de 80 mm de long (y compris l'épaisseur de la branche horizontale) et 20 mm d'épaisseur. Déterminez les moments statiques \(S_x\) et \(S_y\) par rapport aux axes \(x\) et \(y\) passant par l'angle intérieur de la section (origine en bas à gauche). 2. **Localisation du Centre de Gravité :** En utilisant les résultats de l'exercice 1, déterminez les coordonnées \((x_G, y_G))\) du centre de gravité de la section en L. 3. **Moment d'Inertie d'un carré :** Calculez le moment d'inertie \(I_x\) et \(I_y\) d'un carré de côté \(a = 50\, \text{mm}\) par rapport à des axes passant par son centre de gravité. 4. **Application du Théorème de Steiner :** Pour le carré de l'exercice 3, calculez son moment d'inertie \(I_x\) par rapport à sa base en utilisant le théorème de Steiner. ### Devoir 1. **Analyse d'une section en I :** Une poutre en I a les dimensions suivantes : * Hauteur totale \(H = 200\, \text{mm}\). * Largeur des ailes (tablettes) \(B = 120\, \text{mm}\). * Épaisseur des ailes \(t_f = 10\, \text{mm}\). * Épaisseur de l'âme \(t_w = 8\, \text{mm}\). a. Déterminez les coordonnées du centre de gravité de cette section. b. Calculez le moment d'inertie \(I_x\) par rapport à l'axe horizontal passant par le centre de gravité. c. Calculez le rayon de giration \(r_x\) de la section. 2. **Importance pratique du moment d'inertie :** Expliquez en vos propres mots pourquoi une poutre avec un moment d'inertie plus élevé résiste mieux à la flexion. Donnez un exemple concret d'une application où cela est important. ### Résumé Nous avons exploré aujourd'hui les concepts cruciaux de moment statique et de moment d'inertie des aires planes. Le **moment statique** nous aide à localiser le **centre de gravité (centroïde)** d'une section, qui est son point d'équilibre géométrique. Le **moment d'inertie**, quant à lui, est une mesure de la résistance d'une section à la flexion, les sections avec un moment d'inertie élevé étant plus rigides et donc plus résistantes aux déformations sous charge. Le **théorème de Steiner** est un outil puissant qui simplifie le calcul du moment d'inertie pour des sections composites ou des axes non centroïdaux. Enfin, le **rayon de giration** offre une façon concise de caractériser la distribution de l'aire par rapport à un axe. La maîtrise de ces concepts est fondamentale pour toute étude en résistance des matériaux et en conception de structures. ## Dimensionnement et vérification à la résistance à la flexion ### Introduction Bienvenue dans ce cours sur le dimensionnement et la vérification des pièces soumises à la flexion plane simple. La flexion est l'une des sollicitations les plus courantes en mécanique appliquée, rencontrée dans les poutres, les arbres, les structures de bâtiments, etc. Comprendre comment dimensionner correctement une pièce ou vérifier sa capacité à résister est fondamental pour garantir la sécurité et la fonctionnalité des systèmes. Dans cette leçon, nous allons revoir les concepts clés de la flexion, apprendre à calculer les contraintes maximales, et appliquer la condition de résistance pour choisir les dimensions appropriées d'une pièce ou pour s'assurer qu'une pièce existante ne rompra pas sous charge. ### Concepts Clés #### Rappels sur la Flexion Plane Simple La flexion plane simple est un état de contrainte où une poutre est sollicitée principalement par un moment fléchissant \( M_f \) et un effort tranchant \( T \) agissant dans un plan de symétrie de la poutre. Les hypothèses principales sont celles de Navier-Bernoulli : * Les sections droites de la poutre restent planes et perpendiculaires à la fibre moyenne après déformation. * Il existe une fibre neutre dont la longueur ne varie pas. * Le matériau est homogène, isotrope et se comporte de manière élastique linéaire (Loi de Hooke). #### La Contrainte Normale de Flexion (Formule de Navier) Sous l'effet de la flexion, les fibres d'une poutre sont soumises à des contraintes normales (traction d'un côté de la fibre neutre, compression de l'autre). La contrainte normale \( \sigma \) varie linéairement avec la distance \( y \) à la fibre neutre. La formule de Navier est la suivante : \[ \sigma = \frac{M_f}{I_{Gz}} y \] Où : * \( \sigma \) : Contrainte normale (en Pascals, Pa ou N/m²) * \( M_f \) : Moment fléchissant dans la section (en Newton-mètres, N.m) * \( I_{Gz} \) : Moment quadratique de la section par rapport à l'axe neutre Gz (en \( m^4 \)) * \( y \) : Distance de la fibre considérée à la fibre neutre (en mètres, m) Les contraintes maximales \( \sigma_{max} \) se situent aux fibres les plus éloignées de la fibre neutre (là où \( y \) est maximal). #### La Condition de Résistance à la Flexion Pour qu'une pièce résiste à la flexion, la contrainte normale maximale calculée ne doit pas dépasser une valeur admissible, appelée Résistance Pratique à la Flexion (RPF), notée \( R_{pf} \). Cette condition s'écrit : \[ |\sigma_{max}| \le R_{pf} \] La Résistance Pratique à la Flexion est généralement déterminée à partir de la limite d'élasticité du matériau \( R_e \) (ou de la résistance à la rupture \( R_m \) pour les matériaux fragiles) divisée par un coefficient de sécurité \( s \) : \[ R_{pf} = \frac{R_e}{s} \] #### Le Moment Quadratique \( I_{Gz} \) Le moment quadratique, souvent appelé moment d'inertie de surface, est une caractéristique géométrique de la section transversale qui mesure sa capacité à résister à la flexion. Plus \( I_{Gz} \) est grand, plus la poutre est rigide en flexion. Voici quelques formules pour des sections courantes (axe Gz passant par le centre de gravité) : * **Section rectangulaire (base \( b \), hauteur \( h \)) :** \[ I_{Gz} = \frac{b \cdot h^3}{12} \] * **Section circulaire (diamètre \( D \)) :** \[ I_{Gz} = \frac{\pi D^4}{64} \] Pour les sections composées ou lorsque l'axe neutre ne passe pas par le centre de gravité de chaque sous-section, on utilise le théorème de Huygens (ou des axes parallèles) : \[ I_{Gz} = I_{G'_z} + A \cdot d^2 \] Où \( I_{G'_z} \) est le moment quadratique de la sous-section par rapport à son propre axe de gravité, \( A \) est l'aire de la sous-section et \( d \) est la distance entre l'axe de gravité de la sous-section et l'axe neutre global Gz. #### Le Module de Résistance à la Flexion \( W_f \) Le module de résistance à la flexion est une autre caractéristique géométrique de la section, directement liée à la résistance. Il est défini par : \[ W_f = \frac{I_{Gz}}{y_{max}} \] Où \( y_{max} \) est la distance maximale de la fibre neutre aux fibres extrêmes. La condition de résistance peut alors se réécrire de manière plus simple : \[ \frac{|M_f|_{max}}{W_f} \le R_{pf} \] Voici quelques formules pour des sections courantes : * **Section rectangulaire (base \( b \), hauteur \( h \)) :** \[ W_f = \frac{b \cdot h^2}{6} \] * **Section circulaire (diamètre \( D \)) :** \[ W_f = \frac{\pi D^3}{32} \] #### Le Dimensionnement à la Flexion Le dimensionnement consiste à déterminer les dimensions d'une section transversale pour qu'elle puisse résister au moment fléchissant maximal auquel elle sera soumise. À partir de la condition de résistance, on cherche le \( W_f \) minimal requis : \[ W_f \ge \frac{|M_f|_{max}}{R_{pf}} \] Une fois le \( W_f \) minimal calculé, on peut choisir une section standard dans un catalogue (ex: profilés IPE, HEA) ou calculer les dimensions spécifiques (ex: hauteur \( h \) pour une section rectangulaire de largeur \( b \) donnée) qui satisfont cette condition. #### La Vérification à la Résistance à la Flexion La vérification consiste à s'assurer qu'une poutre de dimensions données (et donc de \( W_f \) connu) peut supporter un moment fléchissant maximal sans dépasser la contrainte admissible. Pour cela : 1. On calcule la contrainte maximale générée par le moment fléchissant : \[ \sigma_{max} = \frac{|M_f|_{max}}{W_f} \] 2. On compare cette contrainte avec la Résistance Pratique à la Flexion du matériau : \[ |\sigma_{max}| \le R_{pf} \] Si la condition est respectée, la poutre résiste ; sinon, elle risque la rupture ou la déformation plastique permanente. ### Vocabulaire * **Flexion Plane Simple :** Sollicitation d'une poutre par un moment fléchissant et un effort tranchant dans un plan de symétrie. * **Fibre Neutre :** Axe longitudinal de la poutre qui ne subit ni allongement ni raccourcissement sous l'effet de la flexion. * **Contrainte Normale (\( \sigma \)) :** Force interne par unité de surface agissant perpendiculairement à la section, mesurée en Pa ou N/m². * **Moment Fléchissant (\( M_f \)) :** Grandeur mesurant l'intensité de la sollicitation de flexion dans une section de la poutre, mesurée en N.m. * **Moment Quadratique (\( I_{Gz} \)) :** Caractéristique géométrique de la section transversale qui indique sa résistance à la déformation par flexion, mesurée en \( m^4 \). * **Module de Résistance à la Flexion (\( W_f \)) :** Caractéristique géométrique de la section utilisée dans la condition de résistance, mesurée en \( m^3 \). * **Résistance Pratique à la Flexion (\( R_{pf} \)) :** Contrainte maximale admissible pour un matériau, déterminée en divisant la limite d'élasticité par un coefficient de sécurité, mesurée en Pa ou N/m². * **Limite d'Élasticité (\( R_e \)) :** Contrainte au-delà de laquelle un matériau commence à se déformer de manière permanente. * **Coefficient de Sécurité (\( s \)) :** Facteur appliqué pour garantir la sécurité d'une structure face aux incertitudes (charges, propriétés des matériaux, défauts de fabrication, etc.). ### Exemples #### Exemple 1 : Vérification d'une poutre rectangulaire Une poutre en acier S235 (\( R_e = 235 \text{ MPa} \), avec un coefficient de sécurité \( s=1.5 \)) a une section rectangulaire de 100 mm de base et 200 mm de hauteur. Elle est soumise à un moment fléchissant maximal de 15 kN.m. La poutre résiste-t-elle à la flexion ? 1. **Calcul de la Résistance Pratique à la Flexion (RPF) :** \( R_{pf} = \frac{R_e}{s} = \frac{235 \text{ MPa}}{1.5} \approx 156.67 \text{ MPa} \) 2. **Calcul du Module de Résistance à la Flexion (\( W_f \)) de la section :** \( b = 100 \text{ mm} = 0.100 \text{ m} \) \( h = 200 \text{ mm} = 0.200 \text{ m} \) \( W_f = \frac{b \cdot h^2}{6} = \frac{0.100 \text{ m} \cdot (0.200 \text{ m})^2}{6} = \frac{0.100 \cdot 0.04}{6} = \frac{0.004}{6} \approx 0.000667 \text{ m}^3 \) (On peut aussi exprimer \( W_f \) en \( cm^3 \) : \( 0.000667 \text{ m}^3 = 667 \text{ cm}^3 \)) 3. **Calcul de la contrainte maximale \( \sigma_{max} \) dans la poutre :** \( M_f = 15 \text{ kN.m} = 15 \cdot 10^3 \text{ N.m} \) \( \sigma_{max} = \frac{|M_f|_{max}}{W_f} = \frac{15 \cdot 10^3 \text{ N.m}}{0.000667 \text{ m}^3} \approx 22.49 \cdot 10^6 \text{ Pa} = 22.49 \text{ MPa} \) 4. **Vérification de la condition de résistance :** \( |\sigma_{max}| \le R_{pf} \Rightarrow 22.49 \text{ MPa} \le 156.67 \text{ MPa} \) La condition est respectée. **Conclusion :** La poutre en acier S235 résiste aux sollicitations de flexion. #### Exemple 2 : Dimensionnement d'un arbre circulaire On souhaite dimensionner un arbre de transmission en acier (dont la Résistance Pratique à la Flexion est \( R_{pf} = 180 \text{ MPa} \)) soumis à un moment fléchissant de 5 kN.m. Quel diamètre minimal doit avoir cet arbre si sa section est circulaire pleine ? 1. **Calcul du Module de Résistance à la Flexion (\( W_f \)) minimal requis :** \( W_f \ge \frac{|M_f|_{max}}{R_{pf}} \) \( |M_f|_{max} = 5 \text{ kN.m} = 5 \cdot 10^3 \text{ N.m} \) \( R_{pf} = 180 \text{ MPa} = 180 \cdot 10^6 \text{ Pa} \) \( W_f \ge \frac{5 \cdot 10^3 \text{ N.m}}{180 \cdot 10^6 \text{ Pa}} \approx 2.778 \cdot 10^{-5} \text{ m}^3 \) 2. **Utilisation de la formule de \( W_f \) pour une section circulaire pleine pour trouver le diamètre \( D \) :** \( W_f = \frac{\pi D^3}{32} \) Nous devons avoir : \( \frac{\pi D^3}{32} \ge 2.778 \cdot 10^{-5} \text{ m}^3 \) \( D^3 \ge \frac{32 \cdot 2.778 \cdot 10^{-5}}{\pi} \) \( D^3 \ge 2.83 \cdot 10^{-4} \text{ m}^3 \) \( D \ge \sqrt[3]{2.83 \cdot 10^{-4}} \approx 0.0656 \text{ m} \) **Conclusion :** L'arbre doit avoir un diamètre minimal d'environ 65.6 mm. Pour des raisons pratiques, on choisira souvent un diamètre standard supérieur (ex: 70 mm). ### Exercices 1. Une poutre en bois de section rectangulaire (base = 80 mm, hauteur = 150 mm) est soumise à un moment fléchissant de 500 N.m. Si la Résistance Pratique à la Flexion du bois est de \( R_{pf} = 10 \text{ MPa} \), calculez la contrainte maximale et vérifiez si la poutre résiste. 2. Un profilé en I en acier (\( R_{pf} = 200 \text{ MPa} \)) a un module de résistance à la flexion \( W_f = 250 \text{ cm}^3 \). Quel est le moment fléchissant maximal qu'il peut supporter sans dépasser la contrainte admissible ? 3. On veut dimensionner une équerre en aluminium (\( R_{pf} = 120 \text{ MPa} \)) de section carrée pleine pour qu'elle puisse supporter un moment fléchissant de 1.2 kN.m. Quelle doit être la longueur minimale du côté du carré ? ### Devoirs à la maison 1. Une console de balcon en béton armé (\( R_{pf} = 8 \text{ MPa} \)) doit supporter un moment fléchissant maximal de 25 kN.m. Si la section est rectangulaire avec une largeur de 300 mm, quelle doit être sa hauteur minimale pour résister ? 2. Recherchez les valeurs de moments quadratiques \( I_{Gz} \) et modules de résistance \( W_f \) pour des profilés standards (par exemple, IPE 200, HEA 300, UPN 160) que l'on trouve dans les abaques ou les tables de profils. Expliquez pourquoi ces valeurs sont directement utilisées en conception mécanique sans refaire tous les calculs. 3. Expliquez l'intérêt d'utiliser des profilés en I ou en H pour des structures soumises à la flexion, plutôt que des sections pleines rectangulaires de même aire. Appuyez votre explication sur les concepts de moment quadratique ou de module de résistance. ### Résumé * Le dimensionnement et la vérification à la flexion sont des étapes cruciales en conception mécanique pour assurer la sécurité et l'intégrité structurelle des pièces. * La contrainte normale dans une poutre en flexion est calculée par la **formule de Navier** : \( \sigma = \frac{M_f}{I_{Gz}} y \). * La **condition de résistance** est satisfaite lorsque la contrainte maximale \( \sigma_{max} \) ne dépasse pas la Résistance Pratique à la Flexion \( R_{pf} \) du matériau : \( |\sigma_{max}| \le R_{pf} \). * Le **Moment Quadratique (\( I_{Gz} \))** et le **Module de Résistance à la Flexion (\( W_f \))** sont des caractéristiques géométriques de la section qui mesurent sa capacité à résister à la flexion. Plus ces valeurs sont élevées, plus la pièce est résistante et rigide. * Le **dimensionnement** implique le calcul du \( W_f \) minimal requis pour choisir une section adéquate, tandis que la **vérification** consiste à calculer la contrainte maximale dans une section donnée et à la comparer à la \( R_{pf} \). * L'utilisation d'un **coefficient de sécurité** est essentielle pour prendre en compte les incertitudes et garantir la fiabilité de la structure. ## Déformation d’une poutre fléchie ### Introduction Dans le domaine de la mécanique appliquée, la flexion est une sollicitation très courante pour de nombreuses structures, comme les poutres des bâtiments ou les bras de grues. Lorsque ces poutres sont soumises à des charges transversales, elles ne se cassent pas immédiatement, mais se déforment. Il est crucial de comprendre et de calculer ces déformations pour garantir la sécurité et la fonctionnalité des structures. Cette leçon se concentre sur la manière dont une poutre se déforme sous l'effet de la flexion plane simple. Nous allons étudier la relation entre les efforts internes (le moment fléchissant) et la géométrie de la déformation, caractérisée par la *flèche* (le déplacement vertical) et l'*angle de rotation*. ### Concepts Clés #### Hypothèses Fondamentales de la Flexion Simple Pour simplifier l'étude de la déformation, nous faisons certaines hypothèses : * **Matériau homogène et isotrope :** Le matériau a les mêmes propriétés partout et dans toutes les directions. * **Petits déplacements :** La déformation est suffisamment faible pour ne pas modifier de manière significative la géométrie initiale de la poutre. * **Loi de Hooke :** Le matériau est en comportement élastique linéaire (contrainte proportionnelle à la déformation). * **Sections planes conservent leur planéité :** Les sections transversales de la poutre, planes et perpendiculaires à la fibre moyenne avant déformation, le restent après déformation et restent perpendiculaires à la fibre moyenne déformée (hypothèse de Bernoulli). #### La Fibre Neutre * **Définition :** C'est la ligne longitudinale au sein de la poutre qui ne subit ni allongement ni raccourcissement lors de la flexion. Elle reste à sa longueur initiale. Toutes les fibres au-dessus de la fibre neutre sont comprimées, et toutes celles en dessous sont tendues (ou vice-versa, selon le sens de la flexion). * **Localisation :** Pour une flexion pure, la fibre neutre coïncide avec l'axe passant par le centre de gravité de la section transversale de la poutre. #### Relation entre Courbure et Moment Fléchissant La courbure d'une poutre est directement liée au moment fléchissant qu'elle subit et à sa rigidité en flexion. Le **rayon de courbure** \( ho \) est le rayon du cercle tangent à la fibre neutre déformée à un point donné. La relation fondamentale est : \[ \frac{1}{\rho} = \frac{M_f(x)}{E I_z} \] Où : * \( \frac{1}{\rho} \) est la courbure de la poutre. * \( M_f(x) \) est le moment fléchissant en un point \( x \) le long de la poutre. * \( E \) est le module d'Young du matériau (mesure sa rigidité). * \( I_z \) est le moment quadratique de la section transversale par rapport à l'axe \( z \) (axe neutre) (mesure la capacité de la section à résister à la flexion). Le produit \( E I_z \) représente la **rigidité en flexion** de la poutre. #### Équation Différentielle de la Déformée En considérant que pour les petits déplacements, la courbure \( \frac{1}{\rho} \) peut être approximée par la dérivée seconde de la flèche \( y(x) \), on obtient l'équation différentielle fondamentale de la déformée : \[ E I_z \frac{d^2 y}{dx^2} = M_f(x) \] Où : * \( y(x) \) est la flèche (déplacement vertical) de la poutre à la position \( x \). * \( \frac{d^2 y}{dx^2} \) représente la courbure de la poutre. #### Calcul de l'Angle de Rotation et de la Flèche Pour trouver la flèche \( y(x) \) et l'angle de rotation \( \theta(x) \) le long de la poutre, nous devons intégrer l'équation différentielle : 1. **Première intégration :** Intégrer \( M_f(x) \) une première fois par rapport à \( x \) donne l'angle de rotation, \( \theta(x) \), à une constante près : \[ \theta(x) = \frac{dy}{dx} = \frac{1}{E I_z} \int M_f(x) dx + C_1 \] 2. **Deuxième intégration :** Intégrer \( \theta(x) \) une seconde fois par rapport à \( x \) donne la flèche \( y(x) \), à une seconde constante près : \[ y(x) = \int \theta(x) dx + C_2 \] Les constantes d'intégration \( C_1 \) et \( C_2 \) sont déterminées à partir des **conditions aux limites** imposées par les appuis de la poutre. #### Conditions aux Limites Typiques * **Appui simple (charnière ou articulation) :** Permet la rotation mais empêche le déplacement vertical. * Condition : \( y = 0 \) * **Encastrement :** Empêche le déplacement vertical et la rotation. * Conditions : \( y = 0 \) et \( \theta = \frac{dy}{dx} = 0 \) * **Appui à rouleau :** Permet la rotation et le déplacement horizontal, mais empêche le déplacement vertical. * Condition : \( y = 0 \) * **Extrémité libre (console) :** Aucune condition sur \( y \) ou \( \theta \) (mais le moment fléchissant et l'effort tranchant sont nuls, ce qui peut être utilisé pour les réactions). ### Vocabulaire * **Flèche (Deflection) :** Le déplacement vertical d'un point de la poutre par rapport à sa position initiale non déformée. * **Angle de rotation (Angle of rotation) :** L'angle formé par la tangente à la fibre neutre déformée et l'axe horizontal d'origine. * **Fibre neutre (Neutral axis) :** La fibre longitudinale de la poutre qui ne subit ni allongement ni raccourcissement lors de la flexion. * **Moment fléchissant (Bending moment) :** L'effort interne qui provoque la flexion de la poutre, mesuré en Newton-mètres (Nm). * **Module d'Young (Young's modulus) :** Une propriété mécanique du matériau qui mesure sa rigidité. Plus \( E \) est élevé, plus le matériau est rigide (Pa ou N/m²). * **Moment quadratique (Second moment of area ou Moment d'inertie de la section) :** Une propriété géométrique de la section transversale de la poutre qui indique sa résistance à la flexion. Plus \( I_z \) est élevé, plus la section résiste à la flexion (m⁴). * **Rayon de courbure (Radius of curvature) :** Le rayon de la courbe formée par la fibre neutre déformée. * **Poutre (Beam) :** Un élément de structure long et mince, principalement conçu pour résister à des charges transversales. * **Déformée (Deflected shape) :** La forme réelle prise par la poutre après application des charges. ### Exemples #### Méthodologie Générale pour le Calcul de la Flèche Pour déterminer la flèche et l'angle de rotation d'une poutre, on suit généralement ces étapes : 1. **Déterminer les réactions aux appuis :** Calculer les forces et les moments aux points d'appui en utilisant les équations d'équilibre statique. 2. **Établir l'équation du moment fléchissant \( M_f(x) \) :** Découper la poutre par sections si nécessaire et écrire l'expression du moment fléchissant en fonction de la position \( x \). 3. **Intégrer l'équation différentielle :** * Intégrer \( E I_z \frac{d^2 y}{dx^2} = M_f(x) \) une première fois pour obtenir l'expression de \( \theta(x) \). * Intégrer \( \theta(x) \) une seconde fois pour obtenir l'expression de \( y(x) \). 4. **Appliquer les conditions aux limites :** Utiliser les conditions aux appuis (par exemple, \( y=0 \) ou \( \theta=0 \) à certains points) pour déterminer les constantes d'intégration \( C_1 \) et \( C_2 \). 5. **Calculer la flèche et l'angle de rotation :** Une fois les constantes trouvées, les expressions de \( y(x) \) et \( \theta(x) \) sont complètes et peuvent être utilisées pour trouver la flèche et l'angle de rotation à n'importe quel point de la poutre. #### Exemple Simple : Poutre sur Deux Appuis Simples avec Charge Ponctuelle au Milieu Considérons une poutre de longueur \( L \) sur deux appuis simples aux extrémités, soumise à une force ponctuelle \( F \) au milieu. Après avoir déterminé les réactions aux appuis et l'expression du moment fléchissant pour chaque section, on intégrerait l'équation différentielle. Les conditions aux limites seraient \( y(0) = 0 \) et \( y(L) = 0 \). On trouverait que la flèche maximale se situe au milieu de la poutre. ### Exercices 1. **Question de compréhension :** Expliquez pourquoi le produit \( E I_z \) est appelé la « rigidité en flexion » d'une poutre. Quels sont les deux facteurs qui contribuent à cette rigidité ? 2. **Application conceptuelle :** Pour une poutre en console (encastrée à une extrémité et libre à l'autre) soumise à une charge ponctuelle à son extrémité libre, décrivez les conditions aux limites à l'encastrement et à l'extrémité libre en termes de flèche et d'angle de rotation. Où s'attendrait-on à trouver la flèche maximale et l'angle de rotation maximal ? 3. **Analyse d'étapes :** Sans faire de calculs, décrivez les étapes principales pour déterminer l'expression de la flèche \( y(x) \) pour une poutre simplement appuyée (sur deux appuis) avec une charge uniformément répartie \( q \) sur toute sa longueur. ### Devoirs 1. **Recherche :** Recherchez des exemples concrets d'applications où la limitation de la flèche est un critère de conception essentiel (ex: ponts, planchers de bâtiments, ailes d'avion). Discutez des conséquences d'une flèche excessive dans ces applications. 2. **Dessin de la déformée :** Dessinez l'allure de la déformée (la forme de la poutre après flexion) pour les cas suivants : * Poutre sur deux appuis simples avec une charge ponctuelle au milieu. * Poutre en console avec une charge uniformément répartie sur toute sa longueur. 3. **Problème de réflexion :** Une poutre est faite d'un matériau avec un module d'Young \( E \) élevé, et une autre poutre du même matériau a un moment quadratique \( I_z \) élevé. Laquelle de ces deux poutres sera la plus rigide en flexion ? Justifiez votre réponse en vous basant sur la formule de la courbure. ### Résumé La déformation d'une poutre en flexion est un phénomène essentiel à comprendre en mécanique appliquée. Nous avons vu que : * La **flèche** et l'**angle de rotation** caractérisent la déformation de la poutre. * La relation fondamentale entre la courbure et le moment fléchissant est donnée par \( \frac{1}{\rho} = \frac{M_f}{E I_z} \). * L'équation différentielle \( E I_z \frac{d^2 y}{dx^2} = M_f(x) \) permet de calculer la flèche et l'angle de rotation par double intégration. * Les **conditions aux limites**, spécifiques à chaque type d'appui, sont cruciales pour déterminer les constantes d'intégration et obtenir les expressions complètes de la flèche et de l'angle de rotation. * La **rigidité en flexion** \( E I_z \) joue un rôle prépondérant dans la résistance à la déformation d'une poutre. Un \( E I_z \) élevé signifie une poutre plus rigide et donc moins de déformation pour une même charge. ## Expression de la flèche ### Introduction Bienvenue dans cette leçon sur l'expression de la flèche en mécanique appliquée. La flexion plane simple est un mode de sollicitation très courant dans les structures, comme les poutres, les traverses ou les planchers. Lorsqu'une poutre est soumise à des charges perpendiculaires à son axe longitudinal, elle se déforme. Cette déformation, appelée "flèche", est un déplacement vertical de la ligne moyenne de la poutre par rapport à sa position initiale. Comprendre et calculer la flèche est crucial en conception mécanique pour garantir la rigidité, la sécurité et le bon fonctionnement des structures. Dans ce cours, nous allons explorer les principes fondamentaux qui permettent de déterminer cette flèche. ### Concepts Clés #### Rappel sur la flexion plane simple La flexion plane simple est l'étude du comportement d'une poutre dont la ligne moyenne est déformée dans un plan, sous l'action de forces et de moments agissant dans ce même plan. Elle repose sur des hypothèses simplificatrices : * **Hypothèses de Bernoulli-Navier :** * Le matériau est homogène et isotrope. * Les déformations sont petites. * Les sections droites restent planes et perpendiculaires à la ligne moyenne déformée après déformation. * L'axe neutre est confondu avec l'axe de la poutre. * **Relations fondamentales :** * **Moment fléchissant (\( M_f(x) \)) :** Il représente l'ensemble des efforts internes de flexion dans une section droite de la poutre à l'abscisse \( x \). * **Contrainte normale (\( \sigma(y) \)) :** Elle varie linéairement le long de la hauteur de la section : \[ \sigma(y) = \frac{M_f(x)}{I_z} y \] où \( I_z \) est le moment quadratique de la section par rapport à l'axe neutre \( z \), et \( y \) est la distance à l'axe neutre. * **Rayon de courbure (\( R \)) :** La courbure de la poutre est liée au moment fléchissant par la relation : \[ \frac{1}{R} = \frac{M_f(x)}{E I_z} \] où \( E \) est le module de Young du matériau. #### Définition de la flèche La flèche, notée \( v(x) \), est le déplacement vertical (ou transversal) d'un point de la ligne moyenne de la poutre par rapport à sa position initiale. Elle est généralement mesurée à partir de l'axe initial de la poutre. * La flèche maximale est souvent un critère de dimensionnement important, car une déformation excessive peut entraîner : * Un inconfort visuel ou fonctionnel. * Des dommages aux éléments non structuraux (fissures dans les murs, défaillance de revêtements). * Une perte de stabilité pour certaines structures. #### Équation différentielle de la ligne élastique Pour des petites déformations, la courbure d'une poutre peut être approximée par la dérivée seconde de sa flèche : \[ \frac{1}{R} \approx \frac{d^2v}{dx^2} \] En combinant cette approximation avec la relation du rayon de courbure vue précédemment, nous obtenons l'équation différentielle fondamentale de la ligne élastique : \[ E I_z \frac{d^2v}{dx^2} = M_f(x) \] Cette équation nous permet de déterminer la forme de la poutre déformée (la ligne élastique) par double intégration. #### Méthode de calcul de la flèche La détermination de la flèche \( v(x) \) et de la pente (ou rotation) \( \theta(x) = \frac{dv}{dx} \) se fait par intégration de l'équation différentielle : 1. **Déterminer l'expression du moment fléchissant \( M_f(x) \) :** Cela nécessite une analyse statique de la poutre pour chaque section ou tronçon. 2. **Première intégration :** Intégrer l'équation différentielle une première fois par rapport à \( x \) pour obtenir l'expression de la pente \( \theta(x) \). Cette étape introduira une première constante d'intégration \( C_1 \) : \[ E I_z \frac{dv}{dx} = \int M_f(x) dx + C_1 \] 3. **Seconde intégration :** Intégrer l'expression de la pente une seconde fois par rapport à \( x \) pour obtenir l'expression de la flèche \( v(x) \). Cette étape introduira une seconde constante d'intégration \( C_2 \) : \[ E I_z v(x) = \int \left( \int M_f(x) dx + C_1 \right) dx + C_2 \] 4. **Déterminer les constantes d'intégration :** Les constantes \( C_1 \) et \( C_2 \) sont déterminées en appliquant les **conditions aux limites** de la poutre, c'est-à-dire les conditions de déplacement et de rotation aux appuis ou aux encastrements. #### Conditions aux limites (Exemples) Les conditions aux limites sont essentielles pour résoudre l'équation différentielle : * **Appui simple (charnière) :** * La flèche est nulle : \( v(x_{appui}) = 0 \). * La rotation est libre. * **Encastrement :** * La flèche est nulle : \( v(x_{encastrement}) = 0 \). * La rotation est nulle : \( \frac{dv}{dx}(x_{encastrement}) = 0 \). * **Extrémité libre :** * Le moment fléchissant est nul : \( M_f(x_{libre}) = 0 \). * L'effort tranchant est nul. #### Cas de charges simples (Formules courantes de flèche maximale) Voici quelques formules de flèche maximale pour des cas de chargement et d'appuis courants (pour \( L \) longueur de la poutre) : * **Poutre sur deux appuis simples avec charge ponctuelle \( P \) au centre :** \[ v_{max} = \frac{P L^3}{48 E I_z} \] * **Poutre sur deux appuis simples avec charge répartie uniforme \( q \) sur toute la longueur :** \[ v_{max} = \frac{5 q L^4}{384 E I_z} \] * **Poutre en console avec charge ponctuelle \( P \) à l'extrémité libre :** \[ v_{max} = \frac{P L^3}{3 E I_z} \] * **Poutre en console avec charge répartie uniforme \( q \) sur toute la longueur :** \[ v_{max} = \frac{q L^4}{8 E I_z} \] ### Vocabulaire * **Flexion plane simple :** Sollicitation où la poutre fléchit dans un seul plan sous l'action de forces perpendiculaires à son axe. * **Flèche (\( v(x) \)) :** Déplacement transversal d'un point de la ligne moyenne de la poutre déformée. * **Ligne élastique :** Courbe représentant l'axe neutre de la poutre après déformation. * **Moment fléchissant (\( M_f \)) :** Mesure des efforts internes qui tendent à faire plier la poutre. * **Module de Young (\( E \)) :** Caractéristique mécanique du matériau qui mesure sa rigidité (sa capacité à résister à la déformation élastique). * **Moment quadratique (\( I_z \)) :** Caractéristique géométrique de la section transversale qui représente sa capacité à résister à la flexion. * **Conditions aux limites :** Contraintes ou informations connues sur les déplacements et rotations aux extrémités ou aux appuis de la poutre. * **Poutre en console :** Poutre encastrée à une extrémité et libre à l'autre. * **Appui simple :** Type d'appui qui empêche le déplacement vertical mais autorise la rotation. * **Encastrement :** Type d'appui qui empêche le déplacement vertical et la rotation. ### Exemples #### Exemple 1 : Poutre sur deux appuis simples Une poutre en acier (\( E = 210 \text{ GPa} \)) de 5 m de long, de section rectangulaire (largeur \( b = 150 \text{ mm} \), hauteur \( h = 250 \text{ mm} \)), est posée sur deux appuis simples. Elle est soumise à une charge ponctuelle centrée de \( P = 20 \text{ kN} \). 1. **Calcul du moment quadratique \( I_z \) :** \[ I_z = \frac{b h^3}{12} = \frac{0.150 \times (0.250)^3}{12} = \frac{0.150 \times 0.015625}{12} = 0.0001953125 / 12 \approx 1.6276 \times 10^{-5} \text{ m}^4 \] 2. **Calcul de la flèche maximale \( v_{max} \) :** \( P = 20 \text{ kN} = 20000 \text{ N} \) \( L = 5 \text{ m} \) \( E = 210 \text{ GPa} = 210 \times 10^9 \text{ Pa} \) \[ v_{max} = \frac{P L^3}{48 E I_z} = \frac{20000 \times 5^3}{48 \times 210 \times 10^9 \times 1.6276 \times 10^{-5}} \] \[ v_{max} = \frac{20000 \times 125}{48 \times 210 \times 10^9 \times 1.6276 \times 10^{-5}} \approx \frac{2500000}{1.636 \times 10^8} \approx 0.01528 \text{ m} \] La flèche maximale est d'environ \( 15.28 \text{ mm} \). #### Exemple 2 : Poutre en console Une poutre en aluminium (\( E = 70 \text{ GPa} \)) est encastrée à une extrémité et libre à l'autre (console). Sa longueur est de 3 m et sa section est un profilé I dont le moment quadratique est \( I_z = 5 \times 10^{-6} \text{ m}^4 \). Elle est soumise à une charge répartie uniforme de \( q = 5 \text{ kN/m} \) sur toute sa longueur. 1. **Calcul de la flèche maximale \( v_{max} \) (à l'extrémité libre) :** \( q = 5 \text{ kN/m} = 5000 \text{ N/m} \) \( L = 3 \text{ m} \) \( E = 70 \text{ GPa} = 70 \times 10^9 \text{ Pa} \) \( I_z = 5 \times 10^{-6} \text{ m}^4 \) \[ v_{max} = \frac{q L^4}{8 E I_z} = \frac{5000 \times 3^4}{8 \times 70 \times 10^9 \times 5 \times 10^{-6}} \] \[ v_{max} = \frac{5000 \times 81}{8 \times 70 \times 10^9 \times 5 \times 10^{-6}} \approx \frac{405000}{2800} \approx 0.1446 \text{ m} \] La flèche maximale est d'environ \( 144.6 \text{ mm} \). ### Exercices 1. Une poutre de longueur \( L = 6 \text{ m} \), de module de Young \( E = 200 \text{ GPa} \) et de moment quadratique \( I_z = 2.5 \times 10^{-5} \text{ m}^4 \) est simplement appuyée aux extrémités. Elle est soumise à une charge ponctuelle de \( P = 15 \text{ kN} \) placée à \( 2 \text{ m} \) de l'appui gauche. Déterminez l'équation de la ligne élastique et la flèche maximale. 2. Une poutre rectangulaire en bois (\( b = 100 \text{ mm} \), \( h = 200 \text{ mm} \), \( E = 12 \text{ GPa} \)) de 4 m de long est encastrée à une extrémité et libre à l'autre. Elle supporte une charge répartie uniforme de \( q = 1.5 \text{ kN/m} \) sur toute sa longueur. Calculez la flèche maximale à l'extrémité libre. 3. Un arbre en acier de diamètre \( d = 50 \text{ mm} \) (\( E = 210 \text{ GPa} \)) est monté sur deux paliers (appuis simples) distants de 1.2 m. Si une force de 500 N est appliquée au centre, quelle est la flèche maximale de l'arbre ? (Rappel pour un cercle plein : \( I_z = \frac{\pi d^4}{64} \)) ### Devoir à la maison 1. Recherchez et résumez les normes ou les limites réglementaires de flèche pour différents types de structures (ex: planchers d'habitation, passerelles piétonnes, ponts roulants). Expliquez pourquoi ces limites sont différentes. 2. Considérez une poutre soumise à une charge ponctuelle et une charge répartie simultanément. Décrivez la méthodologie pas à pas pour déterminer la flèche maximale en utilisant le principe de superposition. 3. Utilisez un logiciel de calcul de structure (comme RDM6, FreeCAD, ou un calculateur en ligne) pour vérifier les résultats de l'exercice 1. Comparez vos résultats et identifiez les éventuelles différences. ### Résumé En résumé, la flèche est la déformation transversale d'une poutre sous l'effet de charges, et son calcul est essentiel en mécanique appliquée. Nous avons appris que l'expression de la flèche \( v(x) \) est obtenue en résolvant l'équation différentielle du second ordre : \[ E I_z \frac{d^2v}{dx^2} = M_f(x) \] Cette résolution implique une double intégration du moment fléchissant \( M_f(x) \) et la détermination des constantes d'intégration à partir des conditions aux limites de la poutre. Nous avons également examiné des formules simplifiées pour des cas de charge courants. La flèche dépend directement des charges appliquées (\( P \) ou \( q \)), de la longueur de la poutre (\( L \)), du module de Young du matériau (\( E \)), et du moment quadratique de la section (\( I_z \)). Une maîtrise de ces concepts est fondamentale pour la conception et la vérification des éléments de structure. ## Flèche admissible dimensionnement et vérification ### Introduction Dans le domaine de la mécanique appliquée, notamment lors de l'étude de la flexion des poutres, il est essentiel de comprendre non seulement comment une structure réagit aux charges, mais aussi comment limiter sa déformation. La "flèche" est cette déformation, et sa limitation est cruciale pour la sécurité, la fonctionnalité et l'esthétique des constructions. Cette leçon abordera la définition de la flèche, son calcul, la notion de flèche admissible, et enfin, comment ces concepts sont utilisés pour le dimensionnement et la vérification des éléments de structure en flexion plane simple. ### Concepts Clés #### Qu'est-ce que la Flèche ? La flèche (ou déflexion) est la déformation transversale d'une poutre soumise à des charges. C'est le déplacement maximal d'un point de la poutre par rapport à sa position initiale non déformée. * **Causes :** Les charges appliquées (concentrées, réparties), le poids propre de la poutre, la rigidité du matériau et la géométrie de la section. * **Importance :** Une flèche excessive peut entraîner des désordres (fissures dans les revêtements), un fonctionnement incorrect des équipements supportés, une sensation d'insécurité pour les occupants, ou même un effondrement. #### Formule de la Flèche La valeur de la flèche \( f \) dépend de plusieurs facteurs, notamment la charge appliquée, la portée de la poutre, le module d'Young du matériau (\( E \)) et le moment d'inertie de la section (\( I \)). Le produit \( EI \) est appelé la **rigidité de flexion** de la poutre. Voici quelques formules courantes pour la flèche maximale \( f_{max} \) dans des cas simples de flexion plane : * **Poutre en console avec charge ponctuelle en bout :** \[ f_{max} = \frac{PL^3}{3EI} \] Où : * \( P \) = charge ponctuelle * \( L \) = longueur de la console * \( E \) = module d'Young du matériau * \( I \) = moment d'inertie de la section * **Poutre sur deux appuis avec charge ponctuelle au centre :** \[ f_{max} = \frac{PL^3}{48EI} \] Où : * \( P \) = charge ponctuelle * \( L \) = portée entre appuis * **Poutre sur deux appuis avec charge uniformément répartie :** \[ f_{max} = \frac{5qL^4}{384EI} \] Où : * \( q \) = charge uniformément répartie par unité de longueur #### La Flèche Admissible La flèche admissible (\( f_{adm} \)) est la valeur maximale de déformation permise pour une structure, définie par les normes de construction (Eurocodes, normes nationales, etc.) ou les spécifications du projet. Elle est généralement exprimée comme une fraction de la portée \( L \) de la poutre, par exemple \( L/200 \), \( L/300 \), \( L/500 \). * **Pourquoi des limites ?** * **Esthétique et confort :** Pour éviter l'impression d'une structure "molle" ou des vibrations désagréables. * **Fonctionnement des équipements :** Pour garantir que les éléments non structuraux (fenêtres, cloisons, machines) ne soient pas endommagés par la déformation de la structure. * **Intégrité des matériaux :** Pour prévenir les fissurations excessives des revêtements ou des finitions. #### Dimensionnement basé sur la Flèche Le dimensionnement consiste à choisir les caractéristiques d'une poutre (matériau, section) pour qu'elle puisse supporter les charges sans dépasser la flèche admissible. 1. **Déterminer les charges** et le type d'appui. 2. **Calculer la flèche maximale théorique** \( f_{max} \) en fonction des paramètres inconnus (souvent \( I \)). 3. **Fixer la flèche admissible** \( f_{adm} \) selon les normes. 4. **Résoudre pour le paramètre inconnu** (ex: moment d'inertie \( I \) minimal) tel que \( f_{max} \le f_{adm} \). 5. **Choisir une section** ayant un moment d'inertie supérieur ou égal au \( I_{min} \) calculé. #### Vérification de la Flèche La vérification consiste à s'assurer qu'une poutre existante ou dont les dimensions sont déjà choisies respecte les critères de flèche admissible. 1. **Calculer la flèche maximale réelle** \( f_{réelle} \) de la poutre avec ses dimensions et son matériau. 2. **Comparer** \( f_{réelle} \) à la flèche admissible \( f_{adm} \). 3. **Conclusion :** Si \( f_{réelle} \le f_{adm} \), la poutre est conforme pour la flèche. Sinon, la poutre est non-conforme et doit être modifiée. ### Vocabulaire * **Flèche (Deflection) :** Déplacement vertical d'une poutre sous l'effet des charges. * **Poutre (Beam) :** Élément de structure principalement soumis à la flexion. * **Rigidité de flexion (Flexural rigidity) :** Produit du module d'Young (E) et du moment d'inertie (I), caractérisant la résistance à la déformation en flexion (\( EI \)). * **Moment d'inertie (Moment of inertia - \( I \)) :** Propriété géométrique de la section d'une poutre qui influence sa résistance à la flexion. Plus \( I \) est grand, moins la poutre fléchit. * **Module d'Young (Young's Modulus - \( E \)) :** Caractéristique mécanique d'un matériau mesurant sa rigidité (sa résistance à la déformation élastique). * **Charge (Load) :** Forces ou pressions appliquées à la structure (ponctuelle, répartie, etc.). * **Portée (Span - \( L \)) :** Distance entre les appuis d'une poutre. * **Flèche admissible (Allowable deflection - \( f_{adm} \)) :** Valeur maximale de flèche autorisée par les normes. * **Dimensionnement (Design) :** Processus de détermination des dimensions et des matériaux d'une structure pour qu'elle réponde aux exigences. * **Vérification (Verification) :** Processus de contrôle qu'une structure donnée satisfait aux critères de performance. ### Exemples #### Exemple 1 : Calcul de flèche et vérification Une poutre en acier (\( E = 210 \text{ GPa} \)) sur deux appuis simples a une portée de \( L = 6 \text{ m} \). Elle est soumise à une charge ponctuelle centrale \( P = 10 \text{ kN} \). La section de la poutre est un profilé IPE 200, pour lequel \( I = 1940 \text{ cm}^4 \). La flèche admissible est \( L/300 \). 1. **Calcul de la flèche maximale :** Nous utilisons la formule pour une poutre sur deux appuis avec charge ponctuelle centrale : \[ f_{max} = \frac{PL^3}{48EI} \] Convertissons les unités : * \( P = 10 \text{ kN} = 10 \times 10^3 \text{ N} \) * \( L = 6 \text{ m} = 6000 \text{ mm} \) * \( E = 210 \text{ GPa} = 210 \times 10^3 \text{ MPa} = 210 \times 10^9 \text{ N/m}^2 \) * \( I = 1940 \text{ cm}^4 = 1940 \times (10^{-2} \text{ m})^4 = 1940 \times 10^{-8} \text{ m}^4 \) \( f_{max} = \frac{(10 \times 10^3 \text{ N}) \times (6 \text{ m})^3}{48 \times (210 \times 10^9 \text{ N/m}^2) \times (1940 \times 10^{-8} \text{ m}^4)} \) \( f_{max} = \frac{10 \times 10^3 \times 216}{48 \times 210 \times 10^9 \times 1940 \times 10^{-8}} \) \( f_{max} \approx 0.0109 \text{ m} = 10.9 \text{ mm} \) 2. **Calcul de la flèche admissible :** \( f_{adm} = \frac{L}{300} = \frac{6000 \text{ mm}}{300} = 20 \text{ mm} \) 3. **Vérification :** Comme \( f_{max} = 10.9 \text{ mm} \le f_{adm} = 20 \text{ mm} \), la poutre est **conforme** vis-à-vis de la flèche. #### Exemple 2 : Dimensionnement pour une flèche admissible Une poutre en bois (\( E = 12 \text{ GPa} \)) de \( L = 4 \text{ m} \) de portée, sur deux appuis simples, est soumise à une charge uniformément répartie de \( q = 2 \text{ kN/m} \). Déterminer le moment d'inertie minimal \( I_{min} \) requis si la flèche admissible est \( L/400 \). 1. **Calcul de la flèche admissible :** \( f_{adm} = \frac{L}{400} = \frac{4 \text{ m}}{400} = 0.01 \text{ m} = 10 \text{ mm} \) 2. **Utilisation de la formule de la flèche :** Pour une charge uniformément répartie sur deux appuis : \[ f_{max} = \frac{5qL^4}{384EI} \] Nous voulons que \( f_{max} \le f_{adm} \). Donc : \[ \frac{5qL^4}{384EI} \le f_{adm} \] Nous résolvons pour \( I \) : \[ I \ge \frac{5qL^4}{384Ef_{adm}} \] Convertissons les unités : * \( q = 2 \text{ kN/m} = 2 \times 10^3 \text{ N/m} \) * \( L = 4 \text{ m} \) * \( E = 12 \text{ GPa} = 12 \times 10^9 \text{ N/m}^2 \) * \( f_{adm} = 0.01 \text{ m} \) \( I \ge \frac{5 \times (2 \times 10^3 \text{ N/m}) \times (4 \text{ m})^4}{384 \times (12 \times 10^9 \text{ N/m}^2) \times (0.01 \text{ m})} \) \( I \ge \frac{5 \times 2000 \times 256}{384 \times 12 \times 10^9 \times 0.01} \) \( I \ge \frac{2560000}{46080000000} \) \( I \ge 5.55 \times 10^{-5} \text{ m}^4 \) En \( \text{cm}^4 \) : \( I \ge 5.55 \times 10^{-5} \times (100 \text{ cm})^4 = 5.55 \times 10^{-5} \times 10^8 \text{ cm}^4 \) \( I \ge 5550 \text{ cm}^4 \) Le moment d'inertie de la section choisie devra être d'au moins \( 5550 \text{ cm}^4 \). ### Exercices 1. Une poutre en béton armé (\( E = 30 \text{ GPa} \)) de \( 8 \text{ m} \) de portée est encastrée à une extrémité et libre à l'autre (console). Elle supporte une charge ponctuelle de \( 5 \text{ kN} \) à son extrémité libre. Si son moment d'inertie est de \( 8000 \text{ cm}^4 \), calculez sa flèche maximale. Quelle serait la flèche admissible si la norme spécifie \( L/250 \) pour les consoles ? La poutre est-elle conforme ? *(Rappel : pour une console avec charge ponctuelle en bout, \( f_{max} = \frac{PL^3}{3EI} \))* 2. Une poutre en bois lamellé-collé (\( E = 11 \text{ GPa} \)) de section rectangulaire (largeur \( b \), hauteur \( h \)) sur deux appuis simples a une portée de \( 5 \text{ m} \). Elle est soumise à une charge uniformément répartie de \( 1.5 \text{ kN/m} \). Le propriétaire souhaite que la flèche ne dépasse pas \( L/350 \). * Calculez le moment d'inertie minimal \( I_{min} \) requis. * Si la largeur de la poutre est \( b = 15 \text{ cm} \), quelle doit être sa hauteur \( h \) minimale ? *(Rappel : pour une section rectangulaire, \( I = \frac{bh^3}{12} \))* ### Devoirs 1. Une poutre en acier (\( E = 210 \text{ GPa} \)) de \( 7 \text{ m} \) de portée est sur deux appuis simples et est soumise à une charge uniformément répartie de \( 3 \text{ kN/m} \) et à une charge ponctuelle de \( 8 \text{ kN} \) au centre. * Calculez la flèche maximale due à chaque charge séparément (principe de superposition). * Calculez la flèche totale. * Si la poutre est un profilé HEA 300 (\( I = 1.13 \times 10^4 \text{ cm}^4 \)), vérifiez si la flèche totale est inférieure à \( L/300 \). 2. Recherchez dans les Eurocodes (ou une norme nationale de votre pays) les valeurs typiques de flèche admissible pour différents types de structures (par exemple, poutres de plancher, poutres de toiture, consoles). Expliquez pourquoi ces valeurs peuvent varier. ### Résumé * La **flèche** est la déformation transversale d'une poutre sous charge, dont la maîtrise est essentielle pour la fonctionnalité et la sécurité des structures. * Elle est calculée à l'aide de formules spécifiques qui dépendent de la **charge**, de la **longueur**, du **module d'Young** (\( E \)) et du **moment d'inertie** (\( I \)) de la section de la poutre. Le produit \( EI \) est la rigidité de flexion. * La **flèche admissible** (\( f_{adm} \)) est une limite de déformation imposée par les normes, souvent exprimée comme une fraction de la portée de la poutre (ex: \( L/300 \)). * Le **dimensionnement** utilise le critère de flèche pour déterminer les dimensions requises d'une poutre. * La **vérification** compare la flèche calculée d'une poutre aux limites admissibles pour confirmer sa conformité. ## Effort tranchant et moment fléchissant ### Introduction Dans le domaine de la Mécanique Appliquée, comprendre comment les structures réagissent aux forces est fondamental. La flexion plane simple est un type de sollicitation très courant dans les poutres, où une structure est soumise à des charges qui tendent à la courber. Pour analyser ces phénomènes et garantir la sécurité des constructions, il est essentiel de maîtriser les concepts d'effort tranchant et de moment fléchissant. Ces deux grandeurs internes nous permettent de prédire les contraintes et les déformations au sein d'une poutre. ### Concepts Clés #### La Flexion Plane Simple La flexion plane simple se produit lorsqu'une poutre est soumise à des forces dont le plan d'application est perpendiculaire à l'axe longitudinal de la poutre et passe par son centre de cisaillement. Cela provoque une courbure de la poutre dans un seul plan. #### Conventions de Signe Pour l'analyse des poutres, il est crucial d'adopter des conventions de signe cohérentes pour l'effort tranchant et le moment fléchissant. * **Effort tranchant (T):** Il est généralement considéré comme **positif** si la somme des forces verticales à gauche de la section tend à faire remonter la partie gauche de la poutre par rapport à la partie droite. Graphiquement, il est positif s'il tend à faire tourner le tronçon de poutre dans le sens horaire. * **Moment fléchissant (M):** Il est considéré comme **positif** si le moment tend à provoquer une flexion de la poutre telle que les fibres inférieures sont en traction (étirées) et les fibres supérieures sont en compression (comprimées). On parle alors de flexion "qui rend la poutre souriante" ou "ventre en bas". #### Effort Tranchant (T) L'effort tranchant est la force interne agissant perpendiculairement à la section transversale d'une poutre. Il représente la somme algébrique des forces transversales (perpendiculaires à l'axe de la poutre) appliquées d'un côté de la section considérée. * **Définition:** Force interne résultant des charges transversales, tendant à faire glisser une partie de la poutre par rapport à l'autre. * **Calcul:** Pour une section d'abscisse \( x \), l'effort tranchant \( T(x) \) est la somme des forces verticales situées à gauche de la section. \[ T(x) = \sum F_y \] #### Moment Fléchissant (M) Le moment fléchissant est le moment interne agissant autour de l'axe neutre de la section transversale de la poutre. Il représente la somme algébrique des moments des forces appliquées d'un côté de la section par rapport au centre de la section. * **Définition:** Moment interne résultant des charges transversales, tendant à faire fléchir (courber) la poutre. * **Calcul:** Pour une section d'abscisse \( x \), le moment fléchissant \( M(x) \) est la somme des moments de toutes les forces (et moments extérieurs) situées à gauche de la section par rapport à l'axe passant par cette section. \[ M(x) = \sum (F \cdot d) \] #### Relations Fondamentales Il existe des relations différentielles cruciales entre la charge répartie \( q(x) \), l'effort tranchant \( T(x) \) et le moment fléchissant \( M(x) \): * **Relation entre charge et effort tranchant:** La dérivée de l'effort tranchant par rapport à \( x \) est égale à l'opposé de la charge répartie locale. \[ \frac{dT(x)}{dx} = -q(x) \] Cela signifie que la pente du diagramme d'effort tranchant en un point est égale à la valeur de la charge répartie (vers le bas) à ce point. * **Relation entre effort tranchant et moment fléchissant:** La dérivée du moment fléchissant par rapport à \( x \) est égale à l'effort tranchant. \[ \frac{dM(x)}{dx} = T(x) \] Cela signifie que la pente du diagramme de moment fléchissant en un point est égale à la valeur de l'effort tranchant à ce point. * **Intégration:** Ces relations peuvent être utilisées sous forme intégrale pour calculer \( T(x) \) et \( M(x) \): \[ T(x) = T(x_0) - \int_{x_0}^{x} q(\xi) d\xi \] \[ M(x) = M(x_0) + \int_{x_0}^{x} T(\xi) d\xi \] ### Vocabulaire * **Flexion plane simple:** Sollicitation où une poutre se courbe dans un seul plan sous l'effet de charges transversales. * **Poutre:** Élément de structure principalement soumis à la flexion. * **Effort tranchant (T):** Force interne perpendiculaire à l'axe de la poutre, résultant des forces de cisaillement. * **Moment fléchissant (M):** Moment interne autour de l'axe neutre de la poutre, résultant des forces qui tendent à la courber. * **Charge concentrée:** Force appliquée en un point précis de la poutre. * **Charge répartie:** Force distribuée sur une certaine longueur de la poutre (ex: poids propre, neige). * **Appui simple:** Support qui empêche uniquement le déplacement vertical, permettant la rotation. * **Encadrement:** Support qui empêche le déplacement et la rotation. * **Diagramme d'effort tranchant:** Représentation graphique de la variation de l'effort tranchant le long de la poutre. * **Diagramme de moment fléchissant:** Représentation graphique de la variation du moment fléchissant le long de la poutre. * **Fibre neutre:** Axe longitudinal de la poutre où les contraintes normales de traction et de compression sont nulles. * **Traction:** Sollicitation qui tend à étirer un matériau. * **Compression:** Sollicitation qui tend à comprimer un matériau. ### Exemples #### Exemple 1: Poutre sur deux appuis avec charge concentrée Considérons une poutre de longueur \( L = 4 \text{ m} \) reposant sur deux appuis simples aux extrémités A et B. Une charge concentrée \( P = 10 \text{ kN} \) est appliquée au milieu de la poutre (à \( x = 2 \text{ m} \)). 1. **Calcul des réactions aux appuis:** Par symétrie, \( R_A = R_B = P/2 = 5 \text{ kN} \). 2. **Calcul de l'effort tranchant \( T(x) \):** * **Pour \( 0 \le x < 2 \text{ m} \) (section I):** En coupant la poutre à une distance \( x \) et en regardant à gauche: \( T(x) = R_A = 5 \text{ kN} \) * **Pour \( 2 < x \le 4 \text{ m} \) (section II):** En coupant la poutre et en regardant à gauche: \( T(x) = R_A - P = 5 - 10 = -5 \text{ kN} \) 3. **Calcul du moment fléchissant \( M(x) \):** * **Pour \( 0 \le x < 2 \text{ m} \) (section I):** \( M(x) = R_A \cdot x = 5x \text{ (kN·m)} \) Au milieu (\( x = 2 \text{ m} \)): \( M(2) = 5 \cdot 2 = 10 \text{ kN·m} \) * **Pour \( 2 < x \le 4 \text{ m} \) (section II):** \( M(x) = R_A \cdot x - P \cdot (x - 2) = 5x - 10(x - 2) = 5x - 10x + 20 = -5x + 20 \text{ (kN·m)} \) À \( x = 4 \text{ m} \): \( M(4) = -5 \cdot 4 + 20 = 0 \text{ kN·m} \) (cohérent avec l'appui simple). #### Exemple 2: Poutre en porte-à-faux avec charge répartie Considérons une poutre en porte-à-faux de longueur \( L = 3 \text{ m} \) encastrée à gauche (A) et libre à droite (B). Elle est soumise à une charge répartie uniforme \( q = 2 \text{ kN/m} \) sur toute sa longueur. 1. **Calcul des réactions à l'encastrement (A):** * Force verticale: \( R_A = qL = 2 \cdot 3 = 6 \text{ kN} \) * Moment d'encastrement: \( M_A = qL \cdot (L/2) = 2 \cdot 3 \cdot (3/2) = 9 \text{ kN·m} \) (dans le sens négatif selon nos conventions pour une charge vers le bas). 2. **Calcul de l'effort tranchant \( T(x) \) (en partant de la droite, extrémité libre B):** * Pour une section à une distance \( x \) de l'extrémité libre (B): \( T(x) = -q \cdot x = -2x \text{ (kN)} \) À l'encastrement (\( x = L = 3 \text{ m} \)): \( T(3) = -2 \cdot 3 = -6 \text{ kN} \) 3. **Calcul du moment fléchissant \( M(x) \) (en partant de la droite, extrémité libre B):** * \( M(x) = -q \cdot x \cdot (x/2) = -\frac{q x^2}{2} = -\frac{2x^2}{2} = -x^2 \text{ (kN·m)} \) À l'encastrement (\( x = L = 3 \text{ m} \)): \( M(3) = -(3)^2 = -9 \text{ kN·m} \) ### Exercices 1. Une poutre simple de 6 m de long est soumise à une charge concentrée de \( 12 \text{ kN} \) à 2 m de l'appui gauche. Calculez les réactions aux appuis. Déterminez l'effort tranchant et le moment fléchissant à 1 m et 3 m de l'appui gauche. 2. Une poutre en porte-à-faux de 2 m de long a une charge concentrée de \( 8 \text{ kN} \) appliquée à son extrémité libre. Déterminez les valeurs maximales de l'effort tranchant et du moment fléchissant dans la poutre. Tracez l'allure des diagrammes d'effort tranchant et de moment fléchissant. ### Devoir Considérez une poutre de 8 m de long, reposant sur deux appuis simples aux extrémités A et B. La poutre est soumise à: * Une charge concentrée \( P_1 = 20 \text{ kN} \) à 2 m de l'appui A. * Une charge répartie uniforme \( q = 5 \text{ kN/m} \) sur les 3 derniers mètres de la poutre (de \( x = 5 \text{ m} \) à \( x = 8 \text{ m} \)). 1. Calculez les réactions aux appuis A et B. 2. Établissez les expressions littérales de l'effort tranchant \( T(x) \) et du moment fléchissant \( M(x) \) sur toute la longueur de la poutre. 3. Déterminez les valeurs maximales de l'effort tranchant et du moment fléchissant. ### Résumé L'effort tranchant et le moment fléchissant sont des concepts fondamentaux en flexion plane simple, permettant d'analyser les forces et moments internes dans une poutre. L'**effort tranchant** (\( T \)) est la somme des forces transversales et mesure la tendance au cisaillement. Le **moment fléchissant** (\( M \)) est la somme des moments et mesure la tendance à la flexion. Les **conventions de signe** sont essentielles pour une analyse correcte. Enfin, les **relations différentielles** \( \frac{dT}{dx} = -q(x) \) et \( \frac{dM}{dx} = T(x) \) sont des outils puissants pour établir et comprendre la variation de ces grandeurs le long d'une poutre. ## Contrainte normale à la flexion ### Introduction Bienvenue à cette leçon sur la contrainte normale à la flexion ! En mécanique appliquée, la flexion est l'une des sollicitations les plus courantes que subissent les structures (poutres, arbres, etc.). Comprendre la contrainte normale qui en résulte est fondamental pour concevoir des pièces sûres et performantes. Dans ce cours, nous allons explorer comment cette contrainte apparaît, comment elle est distribuée dans une section de poutre et comment la calculer à l'aide de la célèbre formule de Navier. ### Concepts Clés #### 1. Définition de la Flexion Plane Simple La flexion plane simple est un état de contrainte dans une poutre où les forces appliquées (ou les moments) tendent à la courber, sans la tordre ou la cisailler de manière prédominante. On suppose que le plan de l'effort coïncide avec un plan de symétrie de la poutre et que les sections droites restent planes après déformation. #### 2. Hypothèses de la Théorie de la Flexion (Théorie de Bernoulli-Euler) Pour simplifier l'étude et rendre les calculs réalisables, plusieurs hypothèses sont faites : * **Matériau homogène et isotrope :** Les propriétés du matériau sont uniformes dans toute la poutre et identiques dans toutes les directions. * **Loi de Hooke :** Le matériau est élastique linéaire, c'est-à-dire que la contrainte est proportionnelle à la déformation (\( \sigma = E \epsilon \)). * **Petits déplacements :** Les déformations sont faibles, et la géométrie initiale de la poutre peut être utilisée pour les calculs. * **Sections planes restent planes et perpendiculaires à la fibre moyenne :** Avant et après déformation, une section transversale reste plane et tourne autour d'un axe appelé **axe neutre**. * **Absence de voilement :** La poutre ne perd pas sa stabilité latéralement. #### 3. Position de l'Axe Neutre L'axe neutre est l'axe autour duquel la section tourne et le long duquel les fibres longitudinales ne subissent ni allongement ni raccourcissement, donc la contrainte normale \( \sigma_x \) y est nulle. Pour une poutre en matériau homogène, l'axe neutre passe par le **centre de gravité (G)** de la section transversale. #### 4. Distribution des Contraintes Normales Sous l'effet d'un moment fléchissant \( M_f \), les fibres de la poutre situées d'un côté de l'axe neutre sont tendues (contrainte de traction), tandis que celles situées de l'autre côté sont comprimées (contrainte de compression). La contrainte normale varie linéairement avec la distance \( y \) à l'axe neutre : * La contrainte est nulle sur l'axe neutre. * La contrainte est maximale (en valeur absolue) sur les fibres les plus éloignées de l'axe neutre. #### 5. Formule de Navier La formule de Navier permet de calculer la contrainte normale \( \sigma_x \) en tout point d'une section transversale d'une poutre soumise à la flexion : \[ \sigma_x = \frac{M_f}{I_G} y \] Où : * \( \sigma_x \) : contrainte normale longitudinale (en Pascals, Pa). * \( M_f \) : moment fléchissant dans la section considérée (en Newton-mètres, N.m). * \( I_G \) : moment quadratique (ou moment d'inertie) de la section par rapport à l'axe neutre (en \( m^4 \)). * \( y \) : distance du point considéré à l'axe neutre (en mètres, m). Par convention, \( y \) est positif au-dessus de l'axe neutre et négatif en dessous (ou inversement selon le système d'axes, l'important est la valeur absolue pour la contrainte maximale). **Note :** Le signe de \( \sigma_x \) indique si la fibre est en traction (positif) ou en compression (négatif). Si \( M_f \) est positif (poutre concave vers le haut), les fibres supérieures (\( y > 0 \)) sont en compression (\( \sigma_x < 0 \)) et les inférieures (\( y < 0 \)) sont en traction (\( \sigma_x > 0 \)). #### 6. Moment Quadratique (Moment d'Inertie de la Section) Le moment quadratique \( I_G \) est une propriété géométrique de la section transversale qui représente sa capacité à résister à la flexion. Plus \( I_G \) est grand, moins la poutre se déformera sous un même moment fléchissant, et plus les contraintes seront faibles. Formule générale : \[ I_G = \int_A y^2 dA \] Pour des sections courantes (par rapport à leur axe neutre passant par le centre de gravité) : * **Section rectangulaire :** de largeur \( b \) et de hauteur \( h \) \[ I_G = \frac{b h^3}{12} \] * **Section circulaire pleine :** de diamètre \( D \) \[ I_G = \frac{\pi D^4}{64} \] * **Section circulaire creuse :** de diamètre extérieur \( D_e \) et diamètre intérieur \( D_i \) \[ I_G = \frac{\pi (D_e^4 - D_i^4)}{64} \] #### 7. Module de Flexion (ou Module de Résistance à la Flexion) Le module de flexion \( W_f \) est défini comme le rapport du moment quadratique à la distance maximale à l'axe neutre (\( y_{max} \)) : \[ W_f = \frac{I_G}{y_{max}} \] Il est souvent utilisé pour calculer la contrainte maximale \( \sigma_{max} \) dans la section : \[ \sigma_{max} = \frac{|M_f|_{max}}{W_f} \] Où \( |M_f|_{max} \) est la valeur absolue du moment fléchissant maximal. ### Vocabulaire * **Flexion plane simple :** Sollicitation où la poutre est courbée sans torsion ni cisaillement notable, et les efforts sont dans un plan de symétrie. * **Contrainte normale (\( \sigma_x \)) :** Force par unité de surface agissant perpendiculairement à la section transversale, causée par la flexion. * **Axe neutre :** Axe de la section transversale où les fibres ne sont ni tendues ni comprimées (contrainte normale nulle). * **Moment fléchissant (\( M_f \)) :** Mesure de la tendance des forces à courber la poutre à une section donnée. * **Moment quadratique (\( I_G \)) :** Propriété géométrique de la section qui indique sa résistance à la flexion. Représente la distribution de la matière par rapport à l'axe neutre. * **Module de flexion (\( W_f \)) :** Rapport du moment quadratique à la distance maximale à l'axe neutre, utile pour calculer la contrainte maximale. * **Traction :** Contrainte tendant à allonger un matériau. * **Compression :** Contrainte tendant à raccourcir un matériau. ### Exemples #### Exemple 1 : Calcul de contrainte dans une poutre rectangulaire Une poutre en acier de section rectangulaire (largeur \( b = 50 \text{ mm} \), hauteur \( h = 100 \text{ mm} \)) est soumise à un moment fléchissant \( M_f = 10 \text{ kN.m} \). 1. **Calculer le moment quadratique \( I_G \) :** \( I_G = \frac{b h^3}{12} = \frac{0.050 \times (0.100)^3}{12} = \frac{0.050 \times 0.001}{12} = \frac{0.00005}{12} \approx 4.167 \times 10^{-6} \text{ m}^4 \) 2. **Déterminer la distance \( y_{max} \) aux fibres extrêmes :** \( y_{max} = \frac{h}{2} = \frac{0.100}{2} = 0.050 \text{ m} \) 3. **Calculer la contrainte normale maximale \( \sigma_{max} \) :** \( \sigma_{max} = \frac{|M_f| y_{max}}{I_G} = \frac{10 \times 10^3 \times 0.050}{4.167 \times 10^{-6}} \approx 120 \times 10^6 \text{ Pa} = 120 \text{ MPa} \) Les fibres supérieures sont en compression (-120 MPa) et les fibres inférieures en traction (+120 MPa), si le moment est positif (courbure vers le haut). ### Exercices 1. Une poutre de section carrée de côté \( a = 80 \text{ mm} \) est soumise à un moment fléchissant de \( 5 \text{ kN.m} \). a. Calculez le moment quadratique \( I_G \) de la section. b. Déterminez la contrainte normale maximale \( \sigma_{max} \) dans la poutre. 2. Une barre ronde pleine de diamètre \( D = 40 \text{ mm} \) subit une contrainte normale maximale de \( 80 \text{ MPa} \) due à la flexion. Quel est le moment fléchissant \( M_f \) appliqué ? 3. Comparez les modules de flexion \( W_f \) d'une poutre rectangulaire de \( b=100 \text{ mm} \) et \( h=200 \text{ mm} \) et d'une autre de \( b=200 \text{ mm} \) et \( h=100 \text{ mm} \). Quelle poutre est la plus résistante à la flexion si le moment est appliqué selon l'axe des x (donc la hauteur est la dimension dominante pour I_G) ? ### Devoir 1. Un tube d'acier (section circulaire creuse) a un diamètre extérieur \( D_e = 60 \text{ mm} \) et un diamètre intérieur \( D_i = 50 \text{ mm} \). Il est soumis à un moment fléchissant de \( 3 \text{ kN.m} \). a. Calculez le moment quadratique \( I_G \) de cette section. b. Déterminez la contrainte normale maximale et minimale dans la section. 2. Une poutre en I a un moment quadratique \( I_G = 2500 \times 10^{-8} \text{ m}^4 \) et une distance maximale aux fibres extrêmes \( y_{max} = 0.12 \text{ m} \). Si le matériau peut supporter une contrainte maximale de \( 200 \text{ MPa} \) en traction et en compression, quel est le moment fléchissant maximal que la poutre peut supporter avant rupture ? 3. Recherchez et expliquez brièvement pourquoi les poutres en I sont fréquemment utilisées en construction par rapport à des poutres rectangulaires de masse équivalente. ### Résumé