Sollicitations composées

# Sollicitations composées ## Flexion et traction ou compression ### 1. Introduction Dans le domaine de la mécanique appliquée, les éléments de structure sont rarement soumis à une seule sollicitation. Il est très fréquent qu'une poutre ou un arbre soit simultanément soumis à des efforts de flexion et à des efforts axiaux (traction ou compression). Comprendre comment ces sollicitations se combinent est essentiel pour concevoir des structures sûres et durables. Cette leçon explorera le principe de superposition pour calculer les contraintes résultantes et vérifier la résistance des matériaux dans de tels cas. ### 2. Concepts Clés #### 2.1. Rappel sur la traction ou compression simple Lorsqu'un élément est soumis à un effort normal \( N \) (de traction si positif, de compression si négatif) uniformément réparti sur sa section transversale \( A \), la contrainte normale \( \sigma_N \) est donnée par la formule : \[ \sigma_N = \frac{N}{A} \] Cette contrainte est uniforme sur toute la section. #### 2.2. Rappel sur la flexion simple Lorsqu'un élément est soumis à un moment de flexion \( M_f \) autour de l'axe neutre (passant par le centre de gravité de la section), la contrainte normale de flexion \( \sigma_f \) varie linéairement avec la distance \( y \) à l'axe neutre. Elle est maximale aux fibres les plus éloignées de l'axe neutre. \[ \sigma_f = \frac{M_f}{I_z} y \] Où : * \( M_f \) est le moment de flexion (en N.m). * \( I_z \) est le moment quadratique de la section par rapport à l'axe de flexion \( z \) (en \( m^4 \)). * \( y \) est la distance du point considéré à l'axe neutre (en m). Les contraintes sont maximales aux fibres extrêmes (où \( y \) est maximal), en traction d'un côté et en compression de l'autre de l'axe neutre. #### 2.3. Principe de superposition Pour les matériaux qui suivent la loi de Hooke (comportement élastique linéaire) et pour de petites déformations, les effets de plusieurs charges appliquées simultanément peuvent être additionnés. C'est le principe de superposition. Pour les sollicitations composées de flexion et de traction/compression, la contrainte normale totale en un point donné de la section est la somme algébrique de la contrainte due à l'effort normal et de la contrainte due au moment de flexion. #### 2.4. Calcul des contraintes combinées (Flexion et Traction/Compression) La contrainte normale totale \( \sigma_{total} \) en un point \( y \) de la section est la somme des contraintes axiale et de flexion : \[ \sigma_{total}(y) = \sigma_N + \sigma_f(y) \] En remplaçant par les formules vues précédemment : \[ \sigma_{total}(y) = \frac{N}{A} \pm \frac{M_f}{I_z} y \] Le signe \( \pm \) dépend de l'orientation du moment de flexion et de la position \( y \) par rapport à l'axe neutre. Il faut choisir le signe qui conduit à l'augmentation de la contrainte (c'est-à-dire qui résulte en une addition de contraintes de même nature - traction ou compression - ou une soustraction si de natures opposées, mais en considérant les valeurs algébriques). Les points critiques sont généralement les fibres extrêmes de la section où \( y \) est maximal. C'est à ces endroits que la contrainte normale totale atteint sa valeur maximale en traction ou en compression. #### 2.5. Condition de Résistance Pour assurer la sécurité de la structure, la contrainte normale maximale calculée \( \sigma_{max} \) ne doit pas dépasser la résistance pratique à l'élasticité du matériau \( R_{pe} \) (ou la résistance admissible) : \[ |\sigma_{max}| \leq R_{pe} \] Où \( R_{pe} \) est souvent obtenu en divisant la limite élastique du matériau \( R_e \) par un coefficient de sécurité \( s \) : \( R_{pe} = \frac{R_e}{s} \). ### 3. Vocabulaire * **Sollicitation composée :** État d'une pièce soumise simultanément à plusieurs types d'efforts internes (ex: flexion et traction). * **Effort normal (N) :** Force axiale qui tend à allonger (traction) ou à raccourcir (compression) une pièce. * **Moment de flexion (Mf) :** Grandeur qui caractérise l'effort de flexion agissant sur une section. Il tend à faire fléchir la pièce. * **Contrainte normale (\( \sigma \)) :** Force par unité de surface, perpendiculaire à la section (en MPa ou N/mm²). * **Contrainte de traction :** Contrainte normale qui tend à allonger le matériau. * **Contrainte de compression :** Contrainte normale qui tend à raccourcir le matériau. * **Contrainte de flexion (\( \sigma_f \)) :** Contrainte normale due au moment de flexion, variant linéairement sur la section. * **Axe neutre :** Ligne dans la section transversale où la contrainte normale de flexion est nulle. * **Moment quadratique (Iz) :** Caractéristique géométrique de la section qui représente sa capacité à résister à la flexion (aussi appelé moment d'inertie de surface). * **Principe de superposition :** Méthode permettant d'additionner les effets de différentes charges pour obtenir l'effet total, applicable dans le domaine élastique linéaire. * **Résistance pratique à l'élasticité (Rpe) :** Contrainte maximale admissible pour un matériau, tenant compte d'un coefficient de sécurité. ### 4. Exemples **Exemple 1 : Poutre rectangulaire soumise à la flexion et à la compression** Une poutre en acier de section rectangulaire (base \( b = 50 \) mm, hauteur \( h = 100 \) mm) est soumise à un effort normal de compression \( N = -20 \) kN et à un moment de flexion \( M_f = 2 \) kN.m. L'axe de flexion est parallèle à la base. 1. **Calcul de l'aire et du moment quadratique :** * Aire \( A = b \times h = 50 \times 100 = 5000 \) \( mm^2 \). * Moment quadratique \( I_z = \frac{b h^3}{12} = \frac{50 \times 100^3}{12} = 4,167 \times 10^6 \) \( mm^4 \). * Distance aux fibres extrêmes \( y_{max} = \frac{h}{2} = \frac{100}{2} = 50 \) mm. 2. **Contrainte due à la compression (uniforme) :** * \( \sigma_N = \frac{N}{A} = \frac{-20 \times 10^3 \text{ N}}{5000 \text{ mm}^2} = -4 \) MPa (compression). 3. **Contrainte due à la flexion (aux fibres extrêmes) :** * \( \sigma_f = \frac{M_f y_{max}}{I_z} = \frac{2 \times 10^6 \text{ N.mm} \times 50 \text{ mm}}{4,167 \times 10^6 \text{ mm}^4} \approx 24 \) MPa. * Sur un côté de l'axe neutre, la contrainte de flexion sera de +24 MPa (traction) et de l'autre côté, -24 MPa (compression). 4. **Contraintes combinées aux fibres extrêmes :** * **Fibre la plus en compression :** \( \sigma_{total, comp} = \sigma_N - \sigma_f = -4 \text{ MPa} - 24 \text{ MPa} = -28 \) MPa. * **Fibre la plus en traction :** \( \sigma_{total, trac} = \sigma_N + \sigma_f = -4 \text{ MPa} + 24 \text{ MPa} = +20 \) MPa. La contrainte maximale en valeur absolue est de 28 MPa en compression. ### 5. Exercices 1. Une poutre circulaire pleine de diamètre \( D = 80 \) mm est soumise à un effort de traction \( N = 50 \) kN et un moment de flexion \( M_f = 1,5 \) kN.m. Calculez les contraintes normales maximales et minimales dans la section. (Rappel : pour une section circulaire, \( A = \frac{\pi D^2}{4} \) et \( I_z = \frac{\pi D^4}{64} \)). 2. Un poteau carré de 150 mm de côté est soumis à une charge axiale de compression \( N = -100 \) kN et à un moment de flexion \( M_f = 5 \) kN.m. Déterminez les contraintes extrêmes dans le poteau. Le matériau a une limite élastique \( R_e = 235 \) MPa et un coefficient de sécurité \( s = 2 \). La structure est-elle sûre selon le critère de la résistance pratique à l'élasticité ? ### 6. Devoirs 1. Concevez une section rectangulaire (déterminez \( b \) et \( h \)) pour une poutre en bois soumise à un effort de compression \( N = -15 \) kN et un moment de flexion \( M_f = 1,2 \) kN.m. La contrainte admissible en compression et en traction est de \( 10 \) MPa. Assumez que \( h = 2b \). 2. Recherchez des exemples réels de structures (ponts, bâtiments, machines) où les éléments sont soumis à des sollicitations composées de flexion et d'efforts axiaux. Décrivez brièvement un cas et expliquez pourquoi cette combinaison de charges est pertinente. ### 7. Résumé La combinaison de flexion et de traction/compression est une situation courante en mécanique appliquée. Grâce au principe de superposition, la contrainte normale totale en un point d'une section est la somme algébrique de la contrainte due à l'effort normal et de la contrainte due au moment de flexion. Il est crucial d'identifier les fibres extrêmes de la section où les contraintes combinées sont maximales afin de les comparer à la résistance admissible du matériau pour garantir la sécurité et l'intégrité de la structure. ## Compression sur charge concentrée ### Introduction En mécanique appliquée, les structures sont souvent soumises à plusieurs types de sollicitations simultanément. On parle alors de *sollicitations composées*. Une situation courante est la *compression sur charge concentrée*, également appelée *compression excentrée*. Dans ce cas, la force de compression n'est pas appliquée exactement au centre de gravité de la section de la pièce, mais décalée d'une certaine distance. Ce décalage, appelé *excentricité*, entraîne non seulement une compression, mais aussi un phénomène de flexion, ce qui modifie la répartition des contraintes dans la pièce. Comprendre ce type de sollicitation est crucial pour la conception et la vérification de la sécurité des structures, notamment dans le bâtiment et le génie civil. ### Concepts Clés #### Rappel sur la compression simple La compression simple se produit lorsqu'une force normale est appliquée de manière centrée sur la section d'une pièce. La contrainte normale (\( \sigma \)) est uniforme sur toute la section. La formule de la contrainte normale en compression simple est: \[ \sigma_c = \frac{N}{A} \] Où: * \( N \) est l'effort normal (force de compression) en Newtons (N). * \( A \) est l'aire de la section transversale en mètres carrés (m²). * \( \sigma_c \) est la contrainte de compression en Pascals (Pa). #### Rappel sur la flexion simple La flexion simple est causée par un moment fléchissant (\( M_f \)) qui tend à courber la pièce. La contrainte de flexion (\( \sigma_f \)) n'est pas uniforme et varie linéairement depuis l'axe neutre. La formule de la contrainte normale en flexion simple est: \[ \sigma_f = \frac{M_f}{I_G} y \] Où: * \( M_f \) est le moment fléchissant en Newton-mètres (Nm). * \( I_G \) est le moment quadratique (ou moment d'inertie) de la section par rapport à son axe neutre en mètres à la puissance 4 (m⁴). * \( y \) est la distance du point considéré à l'axe neutre en mètres (m). * \( \sigma_f \) est la contrainte de flexion en Pascals (Pa). #### Définition de la compression sur charge concentrée Lorsqu'une charge de compression \( N \) est appliquée avec une *excentricité* \( e \) par rapport au centre de gravité de la section, cela génère simultanément: 1. Une *sollicitation de compression simple* due à l'effort normal \( N \). 2. Une *sollicitation de flexion simple* due au moment fléchissant \( M_f = N \cdot e \) créé par cette excentricité. #### Principe de superposition des contraintes Pour déterminer la contrainte totale dans une pièce soumise à une compression excentrée, on utilise le *principe de superposition*. Cela signifie que la contrainte totale en tout point de la section est la somme algébrique de la contrainte de compression simple et de la contrainte de flexion simple. La contrainte totale \( \sigma_{totale} \) est donnée par: \[ \sigma_{totale} = \sigma_c \pm \sigma_f \] En substituant les formules spécifiques: \[ \sigma_{totale} = \frac{N}{A} \pm \frac{N \cdot e}{I_G} y \] Le signe (\( + \) ou \( - \)) dépend de la position du point considéré par rapport à l'excentricité et de la nature de la contrainte induite par la flexion (traction ou compression). Les contraintes maximales et minimales se situent généralement aux fibres extrêmes de la section. #### Le Noyau Central Dans le cas de matériaux peu résistants à la traction (comme le béton, la pierre, la maçonnerie), il est souvent nécessaire d'éviter que des contraintes de traction n'apparaissent dans la section. Le *noyau central* (ou *noyau d'inertie*) est la région à l'intérieur de laquelle l'effort normal \( N \) peut être appliqué pour que toute la section reste en compression (\( \sigma_{min} \ge 0 \)). Si la force \( N \) est appliquée en dehors du noyau central, des contraintes de traction apparaissent aux fibres les plus éloignées de l'axe de l'excentricité. **Exemples de Noyau Central:** * **Section rectangulaire (largeur \( b \), hauteur \( h \)):** Le noyau central est un losange dont les sommets sont situés à \( \pm \frac{b}{6} \) et \( \pm \frac{h}{6} \) par rapport aux axes principaux. * **Section circulaire (diamètre \( D \)):** Le noyau central est un cercle de diamètre \( \frac{D}{4} \) (rayon \( \frac{D}{8} \)). ### Vocabulaire * **Sollicitation composée:** Ensemble de plusieurs types de contraintes (ex: compression et flexion) agissant simultanément sur une pièce. * **Charge excentrée:** Force appliquée en dehors du centre de gravité de la section. * **Excentricité (\( e \)):** Distance entre le point d'application de la force et le centre de gravité de la section. * **Moment de flexion (\( M_f \)):** Moment résultant d'une force agissant à une distance du centre d'un corps, provoquant une flexion. * **Moment d'inertie (\( I_G \)):** Caractéristique géométrique d'une section transversale qui représente sa résistance à la flexion (aussi appelé moment quadratique). * **Contrainte normale (\( \sigma \)):** Force par unité de surface agissant perpendiculairement à la section (traction ou compression). * **Noyau central:** Région de la section où l'application d'une force de compression garantit que toute la section reste en compression. * **Principe de superposition:** Méthode qui permet d'additionner les effets de différentes sollicitations agissant simultanément. * **Fissuration:** Apparition de fissures dans un matériau, souvent due à des contraintes de traction excessives. ### Exemples #### Exemple 1: Poteau rectangulaire Un poteau en béton de section rectangulaire \( 300 \times 400 \text{ mm} \) est soumis à une charge axiale \( N = 500 \text{ kN} \) appliquée avec une excentricité \( e = 50 \text{ mm} \) par rapport à l'axe fort de la section (le \( 400 \text{ mm} \) est la hauteur \( h \)). 1. **Calculer l'aire de la section (\( A \)):** \( A = b \cdot h = 0.30 \text{ m} \cdot 0.40 \text{ m} = 0.12 \text{ m}^2 \) 2. **Calculer le moment quadratique (\( I_G \)) par rapport à l'axe de flexion :** L'excentricité \( e = 50 \text{ mm} \) est appliquée le long de la hauteur \( h \) (\( 400 \text{ mm} \)), donc la flexion se produit autour de l'axe parallèle à la largeur \( b \) (\( 300 \text{ mm} \)). \( I_G = \frac{b \cdot h^3}{12} = \frac{0.30 \text{ m} \cdot (0.40 \text{ m})^3}{12} = \frac{0.30 \cdot 0.064}{12} = 0.0016 \text{ m}^4 \) 3. **Calculer la contrainte de compression simple (\( \sigma_c \)):** \( \sigma_c = \frac{N}{A} = \frac{500 \cdot 10^3 \text{ N}}{0.12 \text{ m}^2} \approx 4.167 \cdot 10^6 \text{ Pa} = 4.167 \text{ MPa} \) 4. **Calculer le moment fléchissant (\( M_f \)):** \( M_f = N \cdot e = 500 \cdot 10^3 \text{ N} \cdot 0.050 \text{ m} = 25000 \text{ Nm} \) 5. **Calculer la contrainte de flexion aux fibres extrêmes (\( \sigma_f \)):** Les fibres extrêmes sont à \( y = \frac{h}{2} = \frac{0.40}{2} = 0.20 \text{ m} \) de l'axe neutre. \( \sigma_f = \frac{M_f}{I_G} y = \frac{25000 \text{ Nm}}{0.0016 \text{ m}^4} \cdot 0.20 \text{ m} = 3.125 \cdot 10^6 \text{ Pa} = 3.125 \text{ MPa} \) 6. **Calculer les contraintes maximale et minimale (\( \sigma_{max} \) et \( \sigma_{min} \)):** * \( \sigma_{max} = \sigma_c + \sigma_f = 4.167 + 3.125 = 7.292 \text{ MPa} \) (compression au côté de l'excentricité). * \( \sigma_{min} = \sigma_c - \sigma_f = 4.167 - 3.125 = 1.042 \text{ MPa} \) (compression au côté opposé). Dans cet exemple, \( \sigma_{min} \) est positive, ce qui signifie que toute la section reste en compression. #### Exemple 2: Vérification du noyau central Pour le poteau précédent (\( b = 300 \text{ mm}, h = 400 \text{ mm} \)), vérifions le noyau central pour l'axe de flexion (le long de la hauteur \( h \)). La limite du noyau central pour une section rectangulaire est \( \frac{h}{6} \). \( e_{limite} = \frac{h}{6} = \frac{400 \text{ mm}}{6} \approx 66.67 \text{ mm} \) Comme l'excentricité de la charge \( e = 50 \text{ mm} \) est inférieure à \( e_{limite} = 66.67 \text{ mm} \), on confirme que la section reste entièrement en compression, ce qui est cohérent avec le calcul des contraintes minimales et maximales. ### Exercices #### Exercice 1 Une poutre courte en acier de section carrée \( 100 \times 100 \text{ mm} \) est soumise à un effort de compression de \( 200 \text{ kN} \). La charge est appliquée avec une excentricité de \( 10 \text{ mm} \) par rapport à un axe principal de la section. 1. Calculez l'aire de la section \( A \). 2. Calculez le moment quadratique \( I_G \) par rapport à l'axe de flexion. 3. Calculez la contrainte de compression simple \( \sigma_c \). 4. Calculez le moment fléchissant \( M_f \). 5. Calculez la contrainte de flexion \( \sigma_f \) aux fibres extrêmes. 6. Déterminez les contraintes maximale et minimale dans la section. 7. La section est-elle entièrement en compression ? Justifiez. #### Exercice 2 Un petit pilier circulaire en pierre de diamètre \( D = 200 \text{ mm} \) est conçu pour supporter une charge centrée. Quelle est l'excentricité maximale admissible pour une charge verticale afin d'éviter toute contrainte de traction dans le pilier ? ### Devoir à la maison #### Devoir 1 Un mur de soutènement en béton armé a une semelle de fondation rectangulaire de \( 1.5 \text{ m} \) de largeur et \( 0.8 \text{ m} \) de hauteur. La réaction du sol sous la semelle est une charge verticale totale de \( 800 \text{ kN} \) qui agit avec une excentricité de \( 0.2 \text{ m} \) par rapport au centre de la semelle. En supposant que la charge est uniformément répartie sur la largeur de \( 1.5 \text{ m} \) et excentrée dans la direction de la hauteur. 1. Déterminez l'aire de la section de la semelle.\( A \) 2. Calculez le moment d'inertie \( I_G \) de la section de la semelle par rapport à l'axe de flexion (considérer la largeur comme la base). 3. Calculez les contraintes maximale et minimale exercées par le sol sous la semelle. 4. La semelle est-elle entièrement en compression ? Que se passerait-il si elle ne l'était pas pour le béton ? #### Devoir 2 Recherchez et décrivez un exemple concret (bâtiment, pont, machine, etc.) où une structure est soumise à une compression sur charge concentrée. Expliquez comment les ingénieurs tiennent compte de ce phénomène dans la conception pour assurer la sécurité et la durabilité. ### Résumé La leçon sur la compression sur charge concentrée nous a montré que la combinaison d'une force axiale et d'une excentricité crée une sollicitation complexe où la pièce subit à la fois de la compression et de la flexion. Nous avons appris que: * La contrainte totale est la somme des contraintes de compression et de flexion (principe de superposition). * L'excentricité de la charge crée un moment fléchissant (\( M_f = N \cdot e \)). * Les contraintes ne sont plus uniformes sur la section mais varient linéairement. * Le concept de *noyau central* est essentiel pour les matériaux fragiles (comme le béton) afin d'éviter l'apparition de contraintes de traction, qui pourraient entraîner la fissuration de la structure. * La maîtrise de ces concepts est fondamentale pour la conception sécuritaire et efficace de nombreuses structures en mécanique appliquée. ## Contraintes combinées ### Introduction Dans le domaine de la mécanique appliquée, nous avons étudié les sollicitations simples comme la traction, la compression, le cisaillement, la flexion et la torsion. Cependant, dans de nombreuses structures et pièces mécaniques réelles, il est rare qu'une seule de ces sollicitations agisse isolément. Le plus souvent, plusieurs types de sollicitations agissent simultanément sur un même élément, entraînant des **contraintes combinées**. Ces combinaisons peuvent générer des états de contrainte complexes qui doivent être analysés pour garantir la sécurité et la durabilité des pièces. Ce cours a pour objectif de vous apprendre à identifier, calculer et analyser les effets de ces contraintes combinées sur les matériaux, en utilisant le principe de superposition. ### Concepts clés #### Rappels des sollicitations simples et des contraintes associées Avant d'aborder les combinaisons, révisons les bases: * ### Traction/Compression * Force: Axiale, dirigée le long de l'axe longitudinal de la pièce. * Contrainte normale (\( \sigma \)): Uniformément répartie sur la section. * Formule: \[ \sigma = \frac{N}{A} \] * \( N \): effort normal (en Newtons) * \( A \): aire de la section (en \( m^2 \)) * ### Cisaillement simple (ou Transversal) * Force: Transversale, tendant à faire glisser une section par rapport à une autre. * Contrainte tangentielle (\( \tau \)): Varie sur la section, souvent simplifiée pour des calculs préliminaires. * Formule simplifiée: \[ \tau = \frac{T}{A} \] * \( T \): effort tranchant (en Newtons) * \( A \): aire de la section (en \( m^2 \)) * ### Flexion simple * Moment: Moment de flexion (\( M_f \)) tendant à courber la pièce. * Contrainte normale (\( \sigma_f \)): Varie linéairement sur la section, nulle à l'axe neutre et maximale aux fibres extrêmes. * Formule: \[ \sigma_f = \frac{M_f y}{I} \] ou \[ \sigma_f = \frac{M_f}{W_f} \] * \( M_f \): moment de flexion (en N.m) * \( y \): distance de l'axe neutre à la fibre considérée (en m) * \( I \): moment d'inertie de la section par rapport à l'axe neutre (en \( m^4 \)) * \( W_f = I/y_{max} \): module de flexion de la section (en \( m^3 \)) * ### Torsion simple * Moment: Moment de torsion (\( M_t \)) tendant à faire vriller la pièce. * Contrainte tangentielle (\( \tau_t \)): Varie linéairement du centre à la surface de la section circulaire. * Formule pour section circulaire: \[ \tau_t = \frac{M_t r}{I_p} \] ou \[ \tau_t = \frac{M_t}{W_t} \] * \( M_t \): moment de torsion (en N.m) * \( r \): rayon de la section (en m) * \( I_p \): moment d'inertie polaire de la section (en \( m^4 \)) * \( W_t = I_p/r_{max} \): module de torsion de la section (en \( m^3 \)) #### Principe de superposition des contraintes Le principe de superposition est fondamental pour l'étude des contraintes combinées. Il stipule que si les déformations sont petites et le matériau se comporte de manière linéaire élastique, l'effet combiné de plusieurs charges (ou sollicitations) est la somme des effets de chaque charge agissant individuellement. En d'autres termes, les contraintes dues à chaque sollicitation s'additionnent algébriquement au niveau d'un point donné de la pièce. #### Contraintes combinées : Exemples courants ##### Traction/Compression et Flexion C'est une combinaison très fréquente, par exemple dans les poutres soumises à une force axiale et à une charge transversale, ou dans les poteaux excentrés. La contrainte normale totale \( \sigma_{totale} \) à un point de la section est la somme algébrique de la contrainte due à l'effort normal (traction ou compression) et de la contrainte due au moment de flexion. * La contrainte normale due à l'effort axial est uniforme: \( \sigma_N = N/A \). * La contrainte normale due à la flexion varie linéairement: \( \sigma_f = M_f y/I \). * La contrainte normale totale est: \[ \sigma_{totale} = \frac{N}{A} \pm \frac{M_f y}{I} \] Le signe \( \pm \) dépend de la position du point \( y \) par rapport à l'axe neutre et de la direction du moment de flexion. Il faut faire attention au sens des contraintes (traction positive, compression négative). ##### Cisaillement et Torsion Cette combinaison se retrouve typiquement dans les arbres de transmission qui transmettent un couple (torsion) et supportent en même temps des charges transversales (cisaillement) comme le poids d'engrenages ou de poulies. * La contrainte tangentielle due à l'effort tranchant (cisaillement simple) est \( \tau_T = T/A \) (simplifiée). * La contrainte tangentielle due à la torsion est \( \tau_t = M_t r/I_p \). * Les deux contraintes tangentielles s'additionnent aux points où elles agissent dans la même direction. Aux points critiques (souvent à la surface de l'arbre), la contrainte tangentielle totale est: \[ \tau_{totale} = \tau_T + \tau_t = \frac{T}{A} + \frac{M_t r}{I_p} \] Il est important de noter que cette somme directe est une simplification et que la combinaison exacte dépend de l'orientation des plans de cisaillement. #### État de contrainte et contraintes équivalentes Lorsqu'un point d'une pièce est soumis simultanément à des contraintes normales et des contraintes tangentielles (par exemple, un arbre soumis à flexion et torsion), on parle d'**état de contrainte**. Pour évaluer la résistance d'un matériau sous un état de contrainte complexe, on utilise des **critères de résistance** qui convertissent cet état en une **contrainte équivalente** (souvent appelée contrainte de Von Mises pour les matériaux ductiles ou contrainte de Tresca). La contrainte équivalente est une valeur unique qui peut être comparée à la limite élastique ou à la résistance à la rupture du matériau obtenue lors d'un essai de traction simple. Cela permet de prédire si le matériau va céder ou non sous la combinaison de sollicitations. ### Vocabulaire * **Contraintes combinées**: Effets de plusieurs sollicitations agissant simultanément sur une pièce. * **Sollicitation**: Action mécanique (force ou moment) appliquée à une structure ou une pièce. * **Contrainte normale (\( \sigma \))**: Force par unité de surface agissant perpendiculairement à la section. Elle est responsable de la traction ou de la compression. * **Contrainte tangentielle (\( \tau \))**: Force par unité de surface agissant parallèlement à la section. Elle est responsable du cisaillement ou de la torsion. * **Axe neutre**: Ligne (ou surface) dans une section soumise à flexion où la contrainte normale est nulle. * **Moment d'inertie (\( I \))**: Propriété géométrique d'une section qui caractérise sa résistance à la flexion. * **Moment d'inertie polaire (\( I_p \))**: Propriété géométrique d'une section qui caractérise sa résistance à la torsion. * **Module de flexion (\( W_f \))**: Résistance d'une section à la flexion (\( W_f = I/y_{max} \)). * **Module de torsion (\( W_t \))**: Résistance d'une section à la torsion (\( W_t = I_p/r_{max} \)). * **Principe de superposition**: Méthode permettant d'additionner les effets de plusieurs charges agissant séparément, si le comportement est linéaire élastique. * **Contrainte équivalente**: Valeur unique utilisée pour comparer un état de contrainte complexe à la résistance du matériau. ### Exemples #### Exemple 1: Poutre soumise à traction et flexion Une barre rectangulaire de section \( 50 \times 100 \) mm est soumise à un effort de traction axial \( N = 50 \) kN et à un moment de flexion \( M_f = 2 \) kN.m autour de l'axe neutre horizontal. Calculez les contraintes normales maximales et minimales. 1. **Calcul de l'aire et du moment d'inertie**: * \( A = 0.05 \times 0.10 = 0.005 \ m^2 \) * \( I = (b h^3)/12 = (0.05 \times 0.10^3)/12 = 4.167 \times 10^{-6} \ m^4 \) * \( y_{max} = h/2 = 0.10/2 = 0.05 \ m \) 2. **Contrainte de traction seule**: * \[ \sigma_N = N/A = (50 \times 10^3) / 0.005 = 10 \times 10^6 \ Pa = 10 \ MPa \] 3. **Contrainte de flexion maximale**: * \[ \sigma_f = (M_f y_{max}) / I = (2 \times 10^3 \times 0.05) / (4.167 \times 10^{-6}) \approx 24 \times 10^6 \ Pa = 24 \ MPa \] 4. **Contraintes combinées**: * La contrainte normale maximale (traction) aura lieu à la fibre où \( \sigma_N \) et \( \sigma_f \) s'additionnent: \[ \sigma_{max} = \sigma_N + \sigma_f = 10 \ MPa + 24 \ MPa = 34 \ MPa \] * La contrainte normale minimale (compression ou traction réduite) aura lieu à la fibre opposée: \[ \sigma_{min} = \sigma_N - \sigma_f = 10 \ MPa - 24 \ MPa = -14 \ MPa \] (compression) #### Exemple 2: Arbre circulaire soumis à cisaillement et torsion Un arbre circulaire plein de diamètre \( 40 \) mm est soumis à un effort tranchant \( T = 10 \) kN et à un moment de torsion \( M_t = 300 \) N.m. Calculez la contrainte tangentielle maximale due à la combinaison (simplifiée). 1. **Calcul de l'aire et du module de torsion**: * \( A = \pi (D/2)^2 = \pi (0.02)^2 \approx 1.257 \times 10^{-3} \ m^2 \) * \( I_p = (\pi D^4)/32 = (\pi (0.04)^4)/32 \approx 2.513 \times 10^{-7} \ m^4 \) * \( r_{max} = D/2 = 0.02 \ m \) 2. **Contrainte de cisaillement seule (simplifiée)**: * \[ \tau_T = T/A = (10 \times 10^3) / (1.257 \times 10^{-3}) \approx 7.96 \times 10^6 \ Pa = 7.96 \ MPa \] 3. **Contrainte de torsion maximale**: * \[ \tau_t = (M_t r_{max}) / I_p = (300 \times 0.02) / (2.513 \times 10^{-7}) \approx 23.88 \times 10^6 \ Pa = 23.88 \ MPa \] 4. **Contrainte tangentielle combinée (simplifiée)**: * \[ \tau_{totale} = \tau_T + \tau_t = 7.96 \ MPa + 23.88 \ MPa = 31.84 \ MPa \] ### Exercices 1. Une barre cylindrique de diamètre \( 30 \) mm est soumise à un effort de compression axial de \( 20 \) kN et à un moment de flexion de \( 150 \) N.m. Déterminez les contraintes normales maximales et minimales dans la barre. Donnez le résultat en MPa. 2. Un arbre creux de diamètre extérieur \( 50 \) mm et intérieur \( 40 \) mm est sollicité par un couple de torsion \( M_t = 500 \) N.m et un effort tranchant \( T = 5 \) kN. Calculez les contraintes tangentielles maximales dues à la torsion et au cisaillement (en utilisant la formule simplifiée pour le cisaillement). 3. Expliquez en vos propres mots pourquoi le principe de superposition est crucial pour l'analyse des contraintes combinées. Dans quelles conditions ce principe est-il valide ? ### Devoirs 1. Une potence en L, de section carrée pleine de côté \( 60 \) mm, est fixée verticalement au mur. Son bras horizontal mesure \( 0.8 \) m et supporte une charge verticale \( F = 2 \) kN à son extrémité. a. Identifiez les sollicitations générées à la base de la potence (au niveau de la liaison avec le mur). b. Calculez les contraintes normales maximales et minimales à la base de la potence. c. Calculez les contraintes tangentielles maximales (si présentes) à la base. 2. Recherchez et décrivez brièvement un cas réel où les contraintes combinées sont un facteur critique de conception (ex: un axe de roue de véhicule, un mât de grue, etc.). Expliquez pourquoi la prise en compte de ces contraintes est essentielle pour la sécurité de l'ouvrage. 3. Quelles sont les limitations du principe de superposition ? Donnez un exemple de situation où il ne serait pas applicable. ### Résumé Ce cours sur les contraintes combinées nous a permis de comprendre comment plusieurs sollicitations peuvent agir simultanément sur une pièce mécanique. Le **principe de superposition** est la pierre angulaire de cette analyse, permettant d'additionner les contraintes générées par chaque sollicitation individuellement, tant que le matériau reste dans le domaine élastique linéaire et que les déformations sont faibles. Nous avons exploré les combinaisons courantes telles que la **traction/compression et la flexion**, ainsi que le **cisaillement et la torsion**, en détaillant comment les contraintes normales et tangentielles s'additionnent algébriquement. Enfin, nous avons introduit le concept d'**état de contrainte** et de **contrainte équivalente**, qui sont essentiels pour évaluer la résistance globale d'une pièce soumise à des sollicitations complexes par rapport aux limites du matériau.