Flexion simple application

# Flexion simple application ## Contrainte tangentielle, répartition ### Introduction Lorsqu'une poutre est soumise à la flexion simple, nous avons principalement étudié la contrainte normale (ou contrainte de flexion) qui varie linéairement le long de la hauteur de la section. Cependant, la flexion simple est également accompagnée d'un effort tranchant qui génère des contraintes dites "tangentielles". Ces contraintes sont essentielles à comprendre car, bien que souvent moins critiques que les contraintes normales pour les matériaux ductiles, elles peuvent être déterminantes pour certains matériaux fragiles ou pour des sections particulières. Dans cette leçon, nous allons explorer la nature de la contrainte tangentielle, sa formule de calcul et sa répartition sur la section d'une poutre. ### Concepts Clés #### 1. Qu'est-ce que la contrainte tangentielle en flexion simple? La contrainte tangentielle (souvent notée \( \tau \), du grec "tau") est une contrainte qui s'exerce parallèlement à la surface sur laquelle elle est appliquée. En flexion simple, elle est due à l'effort tranchant \( V \) (parfois noté \( T_y \) ou \( V_y \)) qui tend à faire glisser les couches de la matière les unes par rapport aux autres. #### 2. Formule générale de la contrainte tangentielle La contrainte tangentielle \( \tau \) en un point de la section d'une poutre soumise à un effort tranchant \( V_y \) est donnée par la formule de Jouravski (ou de Zhuravski): \[ \tau(z) = \frac{V_y \cdot I_z^*}{I_z \cdot b(z)} \] Où: * \( \tau(z) \) : Contrainte tangentielle au niveau de la fibre située à la distance \( z \) de l'axe neutre (en Pascals, Pa). * \( V_y \) : Effort tranchant agissant sur la section (en Newtons, N). * \( I_z^* \) : Moment statique de la partie de la section située au-dessus (ou en dessous) de la fibre considérée par rapport à l'axe neutre (en \( m^3 \)). * \( I_z \) : Moment quadratique (ou moment d'inertie de la section) par rapport à l'axe neutre (en \( m^4 \)). * \( b(z) \) : Largeur de la section au niveau de la fibre considérée (en mètres, m). #### 3. Répartition de la contrainte tangentielle Contrairement à la contrainte normale qui est maximale aux fibres extrêmes et nulle à l'axe neutre, la contrainte tangentielle présente une répartition différente: * **Nulle aux fibres extrêmes:** À la surface supérieure et inférieure de la poutre, où il n'y a pas de matière au-dessus ou en dessous pour créer un effort de cisaillement, la contrainte tangentielle est nulle. * **Maximale à l'axe neutre:** Pour les sections courantes (rectangulaires, circulaires, en I, etc.), la contrainte tangentielle est maximale au niveau de l'axe neutre. * **Forme parabolique pour section rectangulaire:** Pour une section rectangulaire de largeur \( b \) et de hauteur \( h \), la contrainte tangentielle varie paraboliquement selon la hauteur. Sa valeur maximale \( \tau_{max} \) (à l'axe neutre) est donnée par: \[ \tau_{max} = \frac{3}{2} \frac{V_y}{A} \] où \( A = b \cdot h \) est l'aire de la section. * **Pour d'autres sections:** La répartition peut être plus complexe (par exemple, pour une section en I, la contrainte tangentielle est importante dans l'âme et plus faible dans les semelles). #### 4. Influence de la forme de la section La forme de la section joue un rôle crucial dans la répartition et la magnitude de la contrainte tangentielle. Les sections minces (comme l'âme d'un profilé en I) sont souvent critiques en cisaillement. La formule de Jouravski permet d'analyser ces variations. ### Vocabulaire * **Contrainte tangentielle (\( \tau \)):** Contrainte agissant parallèlement à la surface d'un matériau, résultant d'un effort tranchant. Elle tend à provoquer le cisaillement ou le glissement des couches du matériau. * **Effort tranchant (\( V_y \)):** Force interne qui agit perpendiculairement à l'axe longitudinal d'une poutre, tendant à cisailler la section. * **Moment statique (\( I_z^* \) ou \( Q_z \)):** Mesure de la distribution de l'aire d'une surface par rapport à un axe donné. Pour la contrainte tangentielle, c'est le moment de l'aire au-dessus (ou en dessous) du point considéré par rapport à l'axe neutre. * **Moment quadratique (\( I_z \)):** Aussi appelé moment d'inertie de surface, il caractérise la résistance d'une section à la flexion autour d'un axe donné. * **Axe neutre:** Axe dans la section d'une poutre où la contrainte normale de flexion est nulle. C'est aussi l'axe passant par le centre de gravité de la section. ### Exemples #### Exemple 1: Répartition dans une section rectangulaire Considérons une poutre en bois de section rectangulaire de largeur \( b = 100 \text{ mm} \) et de hauteur \( h = 200 \text{ mm} \), soumise à un effort tranchant \( V_y = 10 \text{ kN} \). 1. **Calcul du moment quadratique \( I_z \):** \[ I_z = \frac{b h^3}{12} = \frac{0.100 \cdot (0.200)^3}{12} = 6.667 \times 10^{-5} \text{ m}^4 \] 2. **Contrainte tangentielle maximale (à l'axe neutre):** L'aire de la section est \( A = 0.100 \cdot 0.200 = 0.02 \text{ m}^2 \). \[ \tau_{max} = \frac{3}{2} \frac{V_y}{A} = \frac{3}{2} \frac{10 \times 10^3 \text{ N}}{0.02 \text{ m}^2} = 750 \text{ kPa} \] 3. **Contrainte tangentielle à mi-hauteur entre l'axe neutre et la fibre supérieure:** À \( z = h/4 = 0.05 \text{ m} \) de l'axe neutre, \( b(z) = b \). Le moment statique de la zone au-dessus de cette fibre est celui d'un rectangle de hauteur \( h/4 \) et largeur \( b \), dont le centre de gravité est à \( h/4 + (h/8) = 3h/8 \) de l'axe neutre (ou de la fibre considérée par rapport à l'axe neutre). Plus simplement, pour \( z \) de l'axe neutre: \( I_z^* = \int_z^{h/2} y \cdot b \cdot dy = b \left[ \frac{y^2}{2} \right]_z^{h/2} = \frac{b}{2} \left( (h/2)^2 - z^2 \right) \) Pour \( z = h/4 \): \( I_z^* = \frac{0.100}{2} \left( (0.100)^2 - (0.05)^2 \right) = 0.05 \left( 0.01 - 0.0025 \right) = 0.05 \cdot 0.0075 = 3.75 \times 10^{-4} \text{ m}^3 \) \[ \tau(h/4) = \frac{V_y \cdot I_z^*}{I_z \cdot b(h/4)} = \frac{10 \times 10^3 \cdot 3.75 \times 10^{-4}}{6.667 \times 10^{-5} \cdot 0.100} \approx 562.5 \text{ kPa} \] On observe bien une diminution de la contrainte en s'éloignant de l'axe neutre. ### Exercices 1. Une poutre de section carrée de côté \( a = 50 \text{ mm} \) est soumise à un effort tranchant \( V_y = 5 \text{ kN} \). Calculez la contrainte tangentielle maximale.\ 2. Expliquez pourquoi la contrainte tangentielle est nulle aux fibres extrêmes d'une poutre en flexion simple. 3. Dessinez l'allure de la répartition de la contrainte tangentielle le long de la hauteur pour une section circulaire. ### Devoir 1. Une poutre en béton armé a une section en T. L'effort tranchant maximal est de \( 50 \text{ kN} \). Déterminez la répartition de la contrainte tangentielle le long de la hauteur de la section. Vous devrez calculer le centre de gravité, le moment quadratique \( I_z \) et tracer l'allure de \( \tau(z) \). *Données de la section en T:* Semelle supérieure: largeur \( b_s = 300 \text{ mm} \), hauteur \( h_s = 50 \text{ mm} \). Âme: largeur \( b_a = 100 \text{ mm} \), hauteur \( h_a = 250 \text{ mm} \). 2. Recherchez les spécificités de la contrainte tangentielle dans le cas des profilés à parois minces (par exemple, un profilé en U ou en C) et décrivez brièvement comment elle est prise en compte dans la conception. ### Résumé La contrainte tangentielle en flexion simple est une contrainte de cisaillement provoquée par l'effort tranchant. Contrairement à la contrainte normale, elle est nulle aux fibres extrêmes et maximale à l'axe neutre pour les sections courantes. Sa répartition est donnée par la formule de Jouravski \( \tau(z) = \frac{V_y \cdot I_z^*}{I_z \cdot b(z)} \) et varie typiquement de manière parabolique pour une section rectangulaire. La compréhension de ces contraintes est fondamentale pour vérifier la résistance au cisaillement des poutres, en particulier pour les matériaux fragiles ou les sections où l'âme est mince. Ignorer cette contrainte pourrait mener à des ruptures par cisaillement, même si la contrainte normale de flexion est dans les limites acceptables. ## Poutre supportant une ou plusieurs charges concentrées ### Introduction Dans le domaine de la Mécanique Appliquée, les poutres sont des éléments structurels fondamentaux. Elles sont omniprésentes dans l'ingénierie, des bâtiments aux ponts, en passant par les machines. Comprendre comment une poutre réagit lorsqu'elle est soumise à des charges est essentiel pour garantir la sécurité et la stabilité des constructions. Cette leçon se concentrera sur le cas spécifique des poutres soumises à une ou plusieurs charges concentrées, c'est-à-dire des forces appliquées en un point précis, et comment ces charges génèrent des efforts internes (effort tranchant et moment fléchissant) ainsi que des contraintes. ### Concepts Clés #### Rappels sur la flexion simple La flexion simple est un type de sollicitation où une poutre est soumise à des forces ou des moments qui tendent à la courber, sans torsion ni cisaillement latéral. Les fibres supérieures sont comprimées et les fibres inférieures sont tendues (ou inversement), avec une fibre neutre où la contrainte est nulle. #### Hypothèses de la Résistance des Matériaux (RDM) Pour simplifier l'étude des poutres en flexion, on utilise plusieurs hypothèses, notamment : * La poutre est droite et de section constante. * Le matériau est homogène et isotrope (mêmes propriétés dans toutes les directions). * La déformation est faible (petits déplacements). * Les sections droites restent planes et perpendiculaires à la fibre moyenne après déformation (hypothèse de Bernoulli-Euler). #### Charges concentrées Les charges concentrées sont des forces ou des moments appliqués en un point précis de la poutre. Elles sont idéalisées, car en réalité, toute charge a une petite surface d'application. * **Force concentrée (ponctuelle)** : Une force \( F \) appliquée en un point, souvent représentée par une flèche. Son unité est le Newton (N). * **Moment concentré** : Un couple appliqué en un point, tendant à faire tourner la section de la poutre. Son unité est le Newton-mètre (Nm). #### Les efforts internes Lorsqu'une poutre est soumise à des charges externes, des efforts se développent à l'intérieur de sa matière pour équilibrer ces charges. Ces efforts sont appelés efforts internes. ##### Effort tranchant (\( T \)) L'effort tranchant, noté \( T \) (ou \( V \)), est la somme algébrique des forces perpendiculaires à l'axe de la poutre situées d'un côté de la section considérée. Il représente la tendance des sections à glisser l'une par rapport à l'autre. L'unité de l'effort tranchant est le Newton (N). * **Convention de signe** : Par convention, l'effort tranchant est positif si les forces situées à gauche de la coupure ont une résultante vers le haut, ou si les forces situées à droite de la coupure ont une résultante vers le bas. ##### Moment fléchissant (\( M_f \)) Le moment fléchissant, noté \( M_f \), est la somme algébrique des moments de toutes les forces (y compris les réactions d'appui) situées d'un côté de la section par rapport au centre de gravité de cette section. Il représente la tendance de la poutre à se courber. L'unité du moment fléchissant est le Newton-mètre (Nm). * **Convention de signe** : Par convention, le moment fléchissant est positif s'il tend les fibres inférieures et comprime les fibres supérieures (ce qui correspond à une poutre qui "sourit"). ##### Relations fondamentales Entre la charge répartie \( q(x) \), l'effort tranchant \( T(x) \) et le moment fléchissant \( M_f(x) \), il existe des relations différentielles : * \[ \frac{dT(x)}{dx} = -q(x) \] * \[ \frac{dM_f(x)}{dx} = T(x) \] Pour des charges concentrées, l'effort tranchant est constant entre deux charges et le moment fléchissant varie linéairement. Des sauts apparaissent sur le diagramme de l'effort tranchant au niveau des forces concentrées, et des ruptures de pente sur le diagramme du moment fléchissant. #### Calcul des réactions aux appuis Avant de pouvoir calculer les efforts internes, il est impératif de déterminer les réactions d'appui. Celles-ci sont calculées en appliquant les équations d'équilibre statique (Principe Fondamental de la Statique) : 1. **Somme des forces verticales nulle** : \( \sum F_y = 0 \) 2. **Somme des forces horizontales nulle** : \( \sum F_x = 0 \) (souvent nulle pour la flexion simple sans forces horizontales) 3. **Somme des moments nulle** : \( \sum M = 0 \) (par rapport à n'importe quel point) #### Tracé des diagrammes d'efforts internes Le tracé des diagrammes de l'effort tranchant et du moment fléchissant est crucial pour visualiser la répartition des efforts le long de la poutre et identifier les sections les plus sollicitées. ##### Méthode des coupures Cette méthode consiste à couper la poutre en différentes sections (entre chaque charge ou appui) et à calculer \( T(x) \) et \( M_f(x) \) en considérant l'équilibre de la partie gauche (ou droite) de la poutre. On obtient ainsi des expressions analytiques pour chaque tronçon. ##### Diagramme de l'effort tranchant (\( T \)) Il représente la variation de \( T \) le long de la poutre. Pour des charges concentrées, il est constitué de paliers (segments horizontaux) et présente des "sauts" au niveau des forces appliquées (charges ou réactions). ##### Diagramme du moment fléchissant (\( M_f \)) Il représente la variation de \( M_f \) le long de la poutre. Pour des charges concentrées, il est constitué de segments linéaires. Le moment fléchissant est maximal ou minimal là où l'effort tranchant est nul. #### Résistance des matériaux Une fois les efforts internes connus, on peut calculer les contraintes dans la poutre et vérifier sa résistance. ##### Contrainte normale de flexion (\( \sigma \)) La contrainte normale de flexion \( \sigma \) varie linéairement avec la distance \( y \) par rapport à la fibre neutre. Elle est donnée par la formule : \[ \sigma(y) = \frac{M_f}{I_z} y \] Où : * \( M_f \) est le moment fléchissant dans la section considérée. * \( I_z \) est le moment quadratique de la section par rapport à l'axe de flexion \( z \). * \( y \) est la distance de la fibre à la fibre neutre. La contrainte maximale \( \sigma_{max} \) se produit aux fibres les plus éloignées de la fibre neutre. Elle est donnée par : \[ \sigma_{max} = \frac{|M_{f,max}|}{W_z} \] Où : * \( |M_{f,max}| \) est la valeur absolue du moment fléchissant maximal. * \( W_z \) est le module de flexion de la section (\( W_z = I_z / y_{max} \)), où \( y_{max} \) est la distance maximale à la fibre neutre. ##### Condition de résistance Pour qu'une poutre soit résistante, la contrainte maximale calculée ne doit pas dépasser la résistance pratique admissible du matériau (limite élastique divisée par un coefficient de sécurité) : \[ \sigma_{max} \le R_{pe} \] Où \( R_{pe} \) est la Résistance Pratique à l'Extension (ou à la Compression), exprimée en Pascal (Pa) ou Mégapascal (MPa). ### Vocabulaire * **Poutre** : Élément structurel longiligne conçu pour supporter des charges transversales. * **Charge concentrée** : Force ou moment appliqué en un point précis d'une poutre. * **Appui simple** : Support qui empêche uniquement le déplacement vertical, permettant la rotation. * **Appui encastré** : Support qui empêche le déplacement vertical, horizontal et la rotation. * **Réactions d'appui** : Forces exercées par les appuis sur la poutre pour maintenir l'équilibre. * **Effort tranchant (T)** : Force interne de cisaillement au sein de la poutre. * **Moment fléchissant (Mf)** : Moment interne qui provoque la courbure de la poutre. * **Fibre neutre** : Axe de la poutre où les contraintes normales de flexion sont nulles. * **Moment quadratique (\( I_z \))** : Caractéristique géométrique de la section, qui mesure sa capacité à résister à la flexion. * **Module de flexion (\( W_z \))** : Caractéristique géométrique de la section, liée à sa résistance en flexion. * **Contrainte normale de flexion (\( \sigma \))** : Force par unité de surface agissant perpendiculairement à la section, résultant de la flexion. * **Résistance pratique admissible (\( R_{pe} \))** : Contrainte maximale que le matériau peut supporter sans déformation permanente, en tenant compte d'un coefficient de sécurité. ### Exemples #### Exemple 1 : Poutre sur deux appuis simples avec une charge concentrée Soit une poutre de longueur \( L = 4 \, m \) sur deux appuis simples A (à gauche) et B (à droite). Une force concentrée \( F = 10 \, kN \) est appliquée à \( 1 \, m \) de l'appui A. 1. **Calcul des réactions aux appuis** : * \( \sum F_y = 0 \Rightarrow R_A + R_B - F = 0 \) * \( \sum M_A = 0 \Rightarrow F \times 1 - R_B \times L = 0 \Rightarrow 10 \times 1 - R_B \times 4 = 0 \Rightarrow R_B = 2.5 \, kN \) * \( R_A = F - R_B = 10 - 2.5 = 7.5 \, kN \) 2. **Tracé des diagrammes d'efforts internes** : * **De A à F (\( 0 \le x < 1 \))** : * \( T(x) = R_A = 7.5 \, kN \) * \( M_f(x) = R_A \times x = 7.5x \, Nm \) * **De F à B (\( 1 < x \le 4 \))** : * \( T(x) = R_A - F = 7.5 - 10 = -2.5 \, kN \) * \( M_f(x) = R_A \times x - F \times (x-1) = 7.5x - 10(x-1) = -2.5x + 10 \, Nm \) Le moment fléchissant maximal est à \( x = 1 \, m \) : \( M_{f,max} = 7.5 \times 1 = 7.5 \, kNm \). 3. **Vérification de la résistance** : Si la poutre a un module de flexion \( W_z = 50 \, cm^3 \) et \( R_{pe} = 200 \, MPa \). \( M_{f,max} = 7.5 \, kNm = 7500 \, Nm \) \( W_z = 50 \, cm^3 = 50 \times 10^{-6} \, m^3 \) \( \sigma_{max} = \frac{7500}{50 \times 10^{-6}} = 150 \times 10^6 \, Pa = 150 \, MPa \) Puisque \( 150 \, MPa \le 200 \, MPa \), la poutre est résistante. #### Exemple 2 : Poutre sur deux appuis avec plusieurs charges concentrées (Ce serait un exemple plus complexe avec des calculs similaires mais plus de tronçons) ### Exercices 1. Une poutre de longueur \( L = 6 \, m \) est posée sur deux appuis simples A (à gauche) et B (à droite). * Une force \( F_1 = 15 \, kN \) est appliquée à \( 2 \, m \) de A. * Une force \( F_2 = 10 \, kN \) est appliquée à \( 4 \, m \) de A. Déterminez les réactions aux appuis A et B. Tracez les diagrammes de l'effort tranchant et du moment fléchissant. 2. Pour la poutre de l'exercice 1, si la section est rectangulaire de largeur \( b = 100 \, mm \) et de hauteur \( h = 200 \, mm \), et que le matériau a une \( R_{pe} = 180 \, MPa \). Calculez le moment quadratique \( I_z \) et le module de flexion \( W_z \). Vérifiez si la poutre est résistante. (Rappel: \( I_z = \frac{b h^3}{12} \) et \( W_z = \frac{b h^2}{6} \) pour une section rectangulaire) ### Devoir Une poutre en porte-à-faux (encastrée en A, libre en B) de longueur \( L = 3 \, m \) supporte : * Une force concentrée \( F_1 = 5 \, kN \) à son extrémité libre B. * Une force concentrée \( F_2 = 8 \, kN \) à \( 1 \, m \) de B (donc à \( 2 \, m \) de A). 1. Calculez les réactions d'encastrement en A (force verticale \( R_A \) et moment d'encastrement \( M_A \)). 2. Tracez les diagrammes de l'effort tranchant et du moment fléchissant le long de la poutre. 3. Identifiez la section la plus sollicitée en flexion et donnez la valeur du moment fléchissant maximal. 4. Si la poutre est en acier avec un profil IPE 140 (\( W_z = 77.3 \, cm^3 \)) et une \( R_{pe} = 235 \, MPa \), vérifiez la résistance de la poutre. ### Résumé Cette leçon nous a permis d'explorer le comportement des poutres soumises à des charges concentrées. Les étapes clés à retenir sont : 1. **Calculer les réactions aux appuis** : Utiliser les équations d'équilibre statique (somme des forces et des moments nuls). 2. **Tracer les diagrammes des efforts internes** : Déterminer l'effort tranchant \( T(x) \) et le moment fléchissant \( M_f(x) \) le long de la poutre. Le diagramme de \( T \) a des sauts aux forces concentrées, et celui de \( M_f \) a des pentes linéaires et des changements de pente aux forces. 3. **Identifier le moment fléchissant maximal** : C'est le \( M_{f,max} \) qui déterminera la contrainte maximale. 4. **Calculer la contrainte maximale de flexion** : Utiliser la formule \( \sigma_{max} = \frac{|M_{f,max}|}{W_z} \). 5. **Vérifier la condition de résistance** : S'assurer que \( \sigma_{max} \) est inférieur ou égal à la résistance pratique admissible du matériau \( R_{pe} \). Maîtriser ces étapes est fondamental pour toute conception de structure et garantit la sécurité des systèmes mécaniques. ## Poutre encastrée à une extrémité ### Introduction Bienvenue à cette leçon sur l'application de la flexion simple aux poutres encastrées à une extrémité. En mécanique appliquée, la flexion est l'une des sollicitations les plus courantes que subissent les éléments de structure, comme les poutres et les linteaux. Comprendre comment une poutre réagit sous l'effet de charges est fondamental pour garantir la sécurité et la performance des constructions. Aujourd'hui, nous allons nous concentrer sur un cas particulier et très fréquent: la poutre encastrée à une extrémité, souvent appelée console. Nous allons apprendre à déterminer les efforts internes, les contraintes et à vérifier la résistance de ces éléments. ### Concepts Clés #### Définition de la Flexion Simple La flexion simple se produit lorsqu'une poutre est soumise à des forces ou des moments qui ont tendance à la courber. Les charges agissent perpendiculairement à l'axe longitudinal de la poutre. Sous l'effet de ces charges, les fibres de la poutre sont soumises à de la traction d'un côté et à de la compression de l'autre, séparées par un axe neutre où les contraintes normales sont nulles. #### Hypothèses Fondamentales de la Résistance des Matériaux (RDM) en Flexion Pour simplifier l'étude de la flexion, la Résistance des Matériaux s'appuie sur plusieurs hypothèses importantes: * **Matériau homogène et isotrope:** Le matériau a les mêmes propriétés mécaniques en tout point et dans toutes les directions. * **Petits déplacements:** La déformation de la poutre est faible par rapport à ses dimensions, ce qui permet de négliger les effets du second ordre. * **Sections planes restent planes:** Avant et après déformation, une section transversale initialement plane reste plane et perpendiculaire à la fibre moyenne (hypothèse de Bernoulli-Navier). * **Élasticité linéaire:** Le matériau respecte la loi de Hooke (\( \sigma = E \cdot \epsilon \)), ce qui signifie qu'il retrouve sa forme initiale après suppression des charges. #### La Poutre Encastrée à une Extrémité (Console) ##### Caractéristiques d'un Encastrement Un encastrement est une liaison qui bloque complètement le mouvement de l'extrémité d'une poutre. Cela signifie qu'un encastrement: * Empêche toute translation (déplacement) horizontale. * Empêche toute translation (déplacement) verticale. * Empêche toute rotation. Pour maintenir ces conditions, l'encastrement génère des **réactions d'appui** spécifiques: * Une force de réaction horizontale (\( R_x \)). * Une force de réaction verticale (\( R_y \)). * Un moment de réaction (\( M \)) pour empêcher la rotation. ##### Calcul des Réactions d'Appui Les réactions d'appui sont déterminées en utilisant les équations fondamentales de l'équilibre statique: 1. **Somme des forces horizontales nulle:** \[ \Sigma F_x = 0 \] 2. **Somme des forces verticales nulle:** \[ \Sigma F_y = 0 \] 3. **Somme des moments par rapport à un point nulle:** \[ \Sigma M / point = 0 \] Pour une poutre encastrée, ces trois équations permettent de calculer les trois inconnues (\( R_x \), \( R_y \), et \( M \)). #### Diagrammes des Efforts Internes Les efforts internes (effort tranchant et moment fléchissant) varient le long de la poutre. Le tracé de leurs diagrammes est essentiel pour connaître les points critiques où la poutre est le plus sollicitée. ##### Effort Tranchant (T) L'effort tranchant \( T \) en une section est la somme algébrique des forces perpendiculaires à l'axe de la poutre, situées d'un côté de cette section. Il représente l'effort tendant à cisailler la poutre. Son unité est le Newton (N). ##### Moment Fléchissant (Mf) Le moment fléchissant \( M_f \) en une section est la somme algébrique des moments des forces extérieures situées d'un côté de cette section, par rapport au centre de gravité de la section. Il est responsable de la courbure de la poutre. Son unité est le Newton-mètre (Nm). **Relation entre T et Mf:** L'effort tranchant est la dérivée du moment fléchissant par rapport à l'abscisse \( x \) : \[ T(x) = \frac{dM_f(x)}{dx} \] Inversement, le moment fléchissant est l'intégrale de l'effort tranchant. #### Contraintes dans une Poutre en Flexion Les efforts internes génèrent des contraintes à l'intérieur du matériau de la poutre. ##### Contrainte Normale (Contrainte de Flexion) La contrainte normale \( \sigma \) due à la flexion est maximale sur les fibres les plus éloignées de l'axe neutre. Elle est donnée par la formule de Navier: \[ \sigma = \frac{M_f \cdot y}{I_z} \] Où: * \( \sigma \) : Contrainte normale (en Pascals, Pa, ou N/m²) * \( M_f \) : Moment fléchissant dans la section considérée (en Nm) * \( y \) : Distance de la fibre considérée à l'axe neutre (en m) * \( I_z \) : Moment quadratique de la section par rapport à l'axe neutre \( z \) (en m^4). Il représente la capacité de la section à résister à la flexion. Le terme \( \frac{I_z}{y_{max}} \) est souvent appelé le module de résistance à la flexion \( W_z \) (en m^3), et la contrainte maximale devient alors: \[ \sigma_{max} = \frac{M_{f,max}}{W_z} \] ##### Contrainte de Cisaillement (\( \tau \)) Les efforts tranchants génèrent des contraintes de cisaillement \( \tau \) qui sont maximales à l'axe neutre et nulles aux fibres extrêmes. Bien que souvent moins critiques que les contraintes normales en flexion pure, elles doivent être considérées dans certains cas. La formule de Jouravsky permet de les calculer, mais elle est plus complexe et moins souvent utilisée pour la vérification initiale de poutres en flexion simple à ce niveau. #### Condition de Résistance Pour qu'une poutre soit considérée comme résistante, la contrainte maximale calculée \( \sigma_{max} \) (généralement la contrainte normale de flexion) ne doit pas dépasser une valeur limite appelée la Résistance Pratique à l'Élasticité (\( R_{pe} \)) ou simplement Résistance Pratique (\( R_p \)) du matériau. Cette valeur prend en compte un coefficient de sécurité. \[ \sigma_{max} \le R_{pe} \] Si cette condition n'est pas respectée, la poutre risque la rupture ou une déformation permanente. ### Vocabulaire * **Flexion simple:** Type de sollicitation où une poutre se courbe sous l'action de forces perpendiculaires à son axe. * **Poutre encastrée (console):** Poutre fixée à une seule extrémité, l'autre étant libre. * **Effort tranchant (T):** Force interne perpendiculaire à l'axe de la poutre, tendant à cisailler la section. * **Moment fléchissant (Mf):** Moment interne qui provoque la flexion de la poutre. * **Axe neutre:** Fibre de la poutre où les contraintes normales de flexion sont nulles. * **Moment quadratique (\( I_z \)):** Caractéristique géométrique d'une section qui indique sa capacité à résister à la flexion. Plus \( I_z \) est grand, plus la poutre est rigide en flexion. * **Contrainte normale (\( \sigma \)):** Contrainte agissant perpendiculairement à la section (traction ou compression). * **Contrainte de cisaillement (\( \tau \)):** Contrainte agissant tangentiellement à la section. * **Fibre:** Petit élément longitudinal du matériau constituant la poutre. * **Fibre la plus sollicitée:** Fibre (souvent en surface) où la contrainte est maximale. * **Résistance pratique (\( R_{pe} \) ou \( R_p \)):** Contrainte maximale admissible pour un matériau, en tenant compte d'un coefficient de sécurité. ### Exemples #### Exemple 1: Poutre encastrée avec charge ponctuelle à l'extrémité libre Considérons une poutre en acier de longueur \( L = 2 \) m, de section rectangulaire (hauteur \( h = 100 \) mm, largeur \( b = 50 \) mm), encastrée en \( A \) et soumise à une charge ponctuelle \( P = 1 \) kN à son extrémité libre \( B \). 1. **Réactions d'appui en A:** * \( \Sigma F_x = 0 \implies R_{Ax} = 0 \) * \( \Sigma F_y = 0 \implies R_{Ay} - P = 0 \implies R_{Ay} = P = 1 \) kN (vers le haut) * \( \Sigma M_A = 0 \implies M_A - P \cdot L = 0 \implies M_A = P \cdot L = 1 \text{ kN} \cdot 2 \text{ m} = 2 \text{ kNm} \) (sens horaire, pour contrer la rotation due à P) 2. **Diagrammes T et Mf:** * **Effort Tranchant (T):** \( T(x) = P = 1 \) kN (constant sur toute la longueur). * **Moment Fléchissant (Mf):** \( M_f(x) = -P \cdot (L-x) \) (en partant de l'extrémité libre). Le moment est maximal à l'encastrement (\( x=0 \)) : \( M_{f,max} = -P \cdot L = -2 \text{ kNm} \). 3. **Calcul de la contrainte maximale:** * Moment quadratique \( I_z = \frac{b \cdot h^3}{12} = \frac{0.050 \cdot (0.100)^3}{12} = 4.167 \cdot 10^{-6} \) m^4. * Distance à la fibre la plus éloignée \( y_{max} = h/2 = 0.050 \) m. * Contrainte maximale \( \sigma_{max} = \frac{|M_{f,max}| \cdot y_{max}}{I_z} = \frac{2 \cdot 10^3 \cdot 0.050}{4.167 \cdot 10^{-6}} \approx 24 \cdot 10^6 \) Pa \( = 24 \) MPa. #### Exemple 2: Poutre encastrée avec charge uniformément répartie Soit une poutre de même section et longueur que l'exemple 1, mais soumise à une charge uniformément répartie \( q = 500 \) N/m. 1. **Réactions d'appui en A:** * \( R_{Ax} = 0 \) * \( R_{Ay} = q \cdot L = 500 \text{ N/m} \cdot 2 \text{ m} = 1000 \) N \( = 1 \) kN * \( M_A = q \cdot L \cdot \frac{L}{2} = \frac{q L^2}{2} = \frac{500 \cdot 2^2}{2} = 1000 \text{ Nm} = 1 \text{ kNm} \) 2. **Diagrammes T et Mf:** * **Effort Tranchant (T):** \( T(x) = q \cdot (L-x) \). Maximal à l'encastrement (\( x=0 \)): \( T_{max} = qL = 1 \) kN. * **Moment Fléchissant (Mf):** \( M_f(x) = -\frac{q \cdot (L-x)^2}{2} \). Maximal à l'encastrement (\( x=0 \)): \( M_{f,max} = -\frac{q L^2}{2} = -1 \text{ kNm} \). 3. **Calcul de la contrainte maximale:** * \( \sigma_{max} = \frac{|M_{f,max}| \cdot y_{max}}{I_z} = \frac{1 \cdot 10^3 \cdot 0.050}{4.167 \cdot 10^{-6}} \approx 12 \cdot 10^6 \) Pa \( = 12 \) MPa. ### Exercices 1. Une poutre en porte-à-faux (encastrée à une extrémité) a une longueur de \( 3 \) m et une section circulaire pleine de diamètre \( 80 \) mm. Elle supporte une charge ponctuelle de \( 500 \) N à son extrémité libre. * Calculez les réactions d'appui. * Déterminez les expressions de l'effort tranchant et du moment fléchissant le long de la poutre. * Tracez les diagrammes de T et Mf. * Calculez le moment quadratique de la section et la contrainte normale maximale. 2. Même poutre que l'exercice 1, mais soumise à une charge uniformément répartie de \( 200 \) N/m sur toute sa longueur. * Reprenez les questions de l'exercice 1. ### Devoir 1. Une poutre encastrée de longueur \( L = 4 \) m et de section rectangulaire (\( b = 80 \) mm, \( h = 120 \) mm) est faite d'un matériau dont la résistance pratique \( R_p = 180 \) MPa. Quelle est la charge ponctuelle maximale \( P \) que cette poutre peut supporter à son extrémité libre sans rupture? 2. Concevez une poutre en console en bois (\( R_p = 10 \) MPa) de longueur \( 2.5 \) m pour supporter une charge ponctuelle de \( 2 \) kN à son extrémité et une charge répartie de \( 100 \) N/m sur toute sa longueur. Choisissez les dimensions d'une section rectangulaire (par exemple, hauteur \( h \) deux fois la largeur \( b \)) qui respecte la condition de résistance. ### Résumé Au cours de cette leçon, nous avons exploré en détail la mécanique des poutres encastrées à une extrémité. Nous avons appris que l'encastrement génère des réactions de force et de moment pour bloquer les mouvements et la rotation. Les diagrammes d'effort tranchant et de moment fléchissant sont des outils essentiels pour visualiser les sollicitations internes le long de la poutre. Enfin, nous avons appliqué la formule de Navier \( \sigma = \frac{M_f \cdot y}{I_z} \) pour calculer les contraintes normales et vérifier que la poutre peut résister aux charges imposées en respectant la condition \( \sigma_{max} \le R_{pe} \). Ces principes sont fondamentaux pour l'analyse et la conception de nombreuses structures en génie civil et mécanique. ## Poutre sur deux appuis simples ### Introduction Bienvenue dans cette leçon dédiée à l'étude des poutres sur deux appuis simples, un élément fondamental en mécanique appliquée. Ces structures sont omniprésentes dans l'ingénierie civile et mécanique, des ponts aux charpentes. Comprendre leur comportement sous charge est essentiel pour assurer la sécurité et la performance des constructions. Au cours de cette leçon, nous allons apprendre à analyser les forces agissant sur ces poutres, à calculer les réactions aux appuis, à déterminer les efforts internes (effort tranchant et moment fléchissant) et à évaluer les contraintes de flexion. ### Concepts Clés #### Définition d'une poutre sur deux appuis simples Une poutre sur deux appuis simples est une barre droite reposant à ses extrémités sur deux appuis. Ces appuis permettent généralement la rotation mais restreignent le mouvement vertical, et parfois le mouvement horizontal à une seule extrémité pour éviter l'indétermination. #### Types d'appuis * **Appui simple (ou appui à rouleau/glissière):** Cet appui permet la rotation et le déplacement horizontal, mais empêche le déplacement vertical. Il exerce donc une seule force de réaction, perpendiculaire à la surface de contact (généralement verticale). * **Appui pivot (ou charnière):** Cet appui permet la rotation mais empêche tout déplacement (horizontal et vertical). Il exerce donc deux forces de réaction, une verticale et une horizontale. #### Isolement et actions mécaniques Pour analyser une poutre, il faut l'"isoler" de son environnement et identifier toutes les actions mécaniques qui s'y appliquent: * **Forces appliquées (charges):** * **Charges concentrées (ou ponctuelles):** Forces agissant en un point précis de la poutre (ex: poids d'un objet posé sur la poutre). * **Charges réparties:** Forces agissant sur une certaine longueur de la poutre (ex: poids propre de la poutre, charge de neige sur un toit). * **Réactions aux appuis:** Forces exercées par les appuis sur la poutre pour la maintenir en équilibre. Leur calcul est la première étape de toute analyse. #### Équilibre statique Une poutre est en équilibre statique si elle est immobile ou en mouvement uniforme. Pour les structures stationnaires, les conditions d'équilibre sont les suivantes (principe fondamental de la statique): * **Somme des forces horizontales nulle:** La somme algébrique de toutes les forces agissant horizontalement est nulle. \[ \Sigma F_x = 0 \] * **Somme des forces verticales nulle:** La somme algébrique de toutes les forces agissant verticalement est nulle. \[ \Sigma F_y = 0 \] * **Somme des moments nulle:** La somme algébrique de tous les moments par rapport à n'importe quel point est nulle. \[ \Sigma M = 0 \] Ces équations sont utilisées pour calculer les réactions aux appuis. #### Efforts internes (Efforts de cohésion) Lorsque des forces externes agissent sur une poutre, des forces et moments internes se développent à l'intérieur de celle-ci pour maintenir l'équilibre local. On les appelle les efforts de cohésion. * **Effort Tranchant \(T(x)\):** C'est la somme algébrique des forces perpendiculaires à l'axe de la poutre, situées d'un côté de la section considérée. Il mesure la tendance de la poutre à "cisailler" ou "trancher". * Convention de signe: Généralement positif si la partie gauche de la section a tendance à monter par rapport à la partie droite. * **Moment Fléchissant \(M_f(x)\):** C'est la somme algébrique des moments des forces perpendiculaires à l'axe de la poutre, situées d'un côté de la section considérée. Il mesure la tendance de la poutre à "fléchir" ou à "plier". * Convention de signe: Généralement positif si les fibres inférieures sont tendues et les fibres supérieures sont comprimées (forme de sourire). * **Relations entre T et Mf:** L'effort tranchant est la dérivée du moment fléchissant par rapport à la position \(x\). \[ T(x) = \frac{d M_f(x)}{dx} \] Inversement, le moment fléchissant est l'intégrale de l'effort tranchant. \[ M_f(x) = \int T(x) dx + C \] #### Contraintes dans la poutre (Flexion simple) Les efforts internes (en particulier le moment fléchissant) génèrent des contraintes normales (flexion) et des contraintes de cisaillement dans la poutre. * **Contrainte normale de flexion (\(\sigma\)):** Due au moment fléchissant, elle varie linéairement de l'axe neutre (où elle est nulle) aux fibres extrêmes. Les fibres tendues sont en traction, les fibres comprimées sont en compression. \[ \sigma_x = \frac{M_f(x)}{I_z} y \] où: * \( M_f(x) \) est le moment fléchissant en la section \(x\). * \( I_z \) est le moment quadratique (ou moment d'inertie) de la section par rapport à l'axe neutre \(z\). * \( y \) est la distance entre la fibre considérée et l'axe neutre. * **Contrainte maximale:** La contrainte de flexion est maximale aux fibres les plus éloignées de l'axe neutre (fibres extrêmes). \[ \sigma_{max} = \frac{M_{f,max}}{W_{z}} \] où \( W_z = \frac{I_z}{y_{max}} \) est le module de flexion de la section. * **Condition de résistance:** Pour qu'une poutre résiste, la contrainte maximale calculée ne doit pas dépasser la contrainte admissible du matériau. ### Vocabulaire * **Poutre:** Élément structurel longiligne conçu pour supporter des charges perpendiculaires à son axe longitudinal. * **Appui simple:** Support qui fournit une réaction normale à la surface de contact tout en permettant la rotation et un déplacement. * **Appui pivot (charnière):** Support qui fournit deux réactions (horizontale et verticale) et permet la rotation. * **Charge concentrée:** Force agissant sur une zone très petite de la poutre. * **Charge répartie:** Force distribuée sur une certaine longueur de la poutre. * **Réaction d'appui:** Force exercée par un appui sur la poutre pour la maintenir en équilibre. * **Effort tranchant:** Force interne qui tend à cisailler la poutre. * **Moment fléchissant:** Moment interne qui tend à courber la poutre. * **Fibre neutre:** Axe de la section transversale de la poutre où la contrainte normale de flexion est nulle. * **Moment d'inertie (Moment quadratique):** Propriété géométrique d'une section qui caractérise sa résistance à la flexion (symbolisé par \(I_z\) ou \(I\)). * **Contrainte normale:** Force par unité de surface agissant perpendiculairement à la surface (traction ou compression). * **Module de flexion:** Propriété d'une section qui indique sa capacité à résister à la flexion (\(W_z\)). ### Exemples #### Exemple 1: Poutre avec une charge concentrée au milieu Considérons une poutre de longueur \(L\) sur deux appuis simples (A et B) avec une charge concentrée \(P\) au milieu (à \(L/2\)). 1. **Calcul des réactions:** * \( \Sigma M_A = 0 \implies P \cdot \frac{L}{2} - R_B \cdot L = 0 \implies R_B = \frac{P}{2} \) * \( \Sigma F_y = 0 \implies R_A - P + R_B = 0 \implies R_A = P - R_B = P - \frac{P}{2} = \frac{P}{2} \) Donc, \( R_A = R_B = \frac{P}{2} \). 2. **Diagrammes d'Effort Tranchant et de Moment Fléchissant:** * **Effort Tranchant \(T(x)\):** * De \(x=0\) à \(x=L/2\): \( T(x) = R_A = \frac{P}{2} \) * De \(x=L/2\) à \(x=L\): \( T(x) = R_A - P = -\frac{P}{2} \) Le diagramme est rectangulaire, passant de \(P/2\) à \(-P/2\) à \(x=L/2\). * **Moment Fléchissant \(M_f(x)\):** * De \(x=0\) à \(x=L/2\): \( M_f(x) = R_A \cdot x = \frac{P}{2} x \) * De \(x=L/2\) à \(x=L\): \( M_f(x) = R_A \cdot x - P \cdot (x - \frac{L}{2}) = \frac{P}{2} x - P x + \frac{P L}{2} = -\frac{P}{2} x + \frac{P L}{2} \) Le moment maximal est au milieu: \( M_{f,max} = \frac{P}{2} \cdot \frac{L}{2} = \frac{P L}{4} \). Le diagramme est triangulaire. #### Exemple 2: Poutre avec une charge répartie uniforme Considérons une poutre de longueur \(L\) sur deux appuis simples (A et B) avec une charge répartie uniforme \(q\) sur toute sa longueur. 1. **Calcul des réactions:** La charge totale est \(Q = qL\). Par symétrie: * \( R_A = R_B = \frac{Q}{2} = \frac{qL}{2} \) 2. **Diagrammes d'Effort Tranchant et de Moment Fléchissant:** * **Effort Tranchant \(T(x)\):** * \( T(x) = R_A - qx = \frac{qL}{2} - qx \) Le diagramme est linéaire, de \(qL/2\) à \(-qL/2\), passant par zéro au milieu de la poutre. * **Moment Fléchissant \(M_f(x)\):** * \( M_f(x) = R_A \cdot x - q \frac{x^2}{2} = \frac{qL}{2} x - \frac{q x^2}{2} \) Le moment maximal est au milieu (où \(T(x)=0\)): \( M_{f,max} = \frac{qL}{2} \frac{L}{2} - \frac{q}{2} (\frac{L}{2})^2 = \frac{qL^2}{4} - \frac{qL^2}{8} = \frac{qL^2}{8} \). Le diagramme est parabolique. ### Exercices #### Exercice 1 Une poutre de longueur \(L = 6 \text{ m}\) est supportée par deux appuis simples. Une charge concentrée \(P = 10 \text{ kN}\) est appliquée à \(2 \text{ m}\) de l'appui gauche (A). L'appui droit est B. 1. Calculez les réactions aux appuis \(R_A\) et \(R_B\). 2. Établissez les expressions de l'effort tranchant \(T(x)\) et du moment fléchissant \(M_f(x)\) le long de la poutre. 3. Tracez les diagrammes de l'effort tranchant et du moment fléchissant. 4. Déterminez le moment fléchissant maximal. #### Exercice 2 Une poutre de longueur \(L = 8 \text{ m}\) est sur deux appuis simples. Une charge répartie uniformément \(q = 5 \text{ kN/m}\) est appliquée sur la première moitié de la poutre (de \(x=0\) à \(x=4 \text{ m}\)). 1. Calculez les réactions aux appuis \(R_A\) et \(R_B\). 2. Déterminez les expressions de l'effort tranchant \(T(x)\) et du moment fléchissant \(M_f(x)\). ### Devoir #### Problème de dimensionnement Une poutre en acier de section rectangulaire (largeur \(b = 100 \text{ mm}\), hauteur \(h = 200 \text{ mm}\)) est sur deux appuis simples et supporte: * Une charge concentrée de \(15 \text{ kN}\) à \(2 \text{ m}\) de l'appui gauche. * Une charge répartie uniforme de \(3 \text{ kN/m}\) sur les \(4 \text{ derniers mètres}\) de la poutre. La longueur totale de la poutre est \(L = 7 \text{ m}\). L'appui gauche est en A, l'appui droit en B. 1. Déterminez les réactions aux appuis. 2. Tracez les diagrammes d'effort tranchant et de moment fléchissant. 3. Calculez le moment fléchissant maximal. 4. En supposant que l'axe neutre est au centre de la section, calculez le moment quadratique \(I_z\) de la section rectangulaire: \( I_z = \frac{b h^3}{12} \). 5. Calculez la contrainte normale de flexion maximale dans la poutre. Le matériau peut-il supporter cette contrainte si la contrainte admissible de l'acier est \( \sigma_{adm} = 200 \text{ MPa} \)? ### Résumé Dans cette leçon, nous avons exploré les principes fondamentaux de l'analyse des poutres sur deux appuis simples. Nous avons appris à identifier les charges et les réactions, à appliquer les équations d'équilibre statique pour calculer ces réactions. Nous avons ensuite étudié les efforts internes, à savoir l'effort tranchant et le moment fléchissant, qui sont cruciaux pour comprendre la distribution des forces à l'intérieur de la poutre. Enfin, nous avons vu comment ces efforts internes conduisent à des contraintes de flexion et comment évaluer la résistance d'une poutre. La maîtrise de ces concepts est essentielle pour la conception et la vérification des éléments structurels en ingénierie. ## Superposition des charges ### Introduction En mécanique appliquée, et plus particulièrement dans l'étude de la flexion simple des poutres, nous rencontrons souvent des situations où une structure est soumise à plusieurs charges simultanément. Analyser directement l'effet combiné de toutes ces charges peut être complexe. C'est là que le **principe de superposition** devient un outil puissant. Ce principe nous permet de simplifier l'analyse en considérant l'effet de chaque charge individuellement, puis en additionnant ces effets pour obtenir la réponse totale de la structure. Il est essentiel pour comprendre comment les poutres réagissent sous des sollicitations multiples. ### Concepts Clés #### 1. Le Principe de Superposition Le principe de superposition stipule que si un système linéaire est soumis à plusieurs charges simultanées, l'effet total (déplacement, contrainte, effort, etc.) en un point donné est la somme des effets produits par chaque charge agissant seule. En d'autres termes, vous pouvez "superposer" les effets des charges individuelles. #### 2. Conditions d'Application Pour que le principe de superposition soit valide, certaines conditions doivent être respectées : * **Matériau Linéaire Élastique :** Le matériau de la poutre doit se comporter de manière linéaire élastique. Cela signifie que la relation entre la contrainte et la déformation doit être proportionnelle (loi de Hooke) et que le matériau doit retrouver sa forme originale après le retrait de la charge. * **Petites Déformations :** Les déformations et les déplacements de la structure doivent rester petits par rapport à ses dimensions. Si les déformations sont importantes, la géométrie de la structure change significativement, ce qui pourrait altérer la distribution des charges et rendre le principe invalide. * **Chargements Indépendants :** L'application d'une charge ne doit pas modifier la façon dont une autre charge est appliquée ou la réponse de la structure à cette autre charge. #### 3. Avantages de la Superposition * **Simplification des Calculs :** Permet de décomposer un problème complexe en plusieurs problèmes plus simples et plus faciles à résoudre. * **Analyse de Configurations Multiples :** Facilite l'analyse de poutres soumises à diverses combinaisons de charges (forces concentrées, charges uniformément réparties, moments, etc.). * **Vérification :** Offre un moyen de vérifier les calculs en comparant la somme des effets individuels avec une analyse directe (si possible). #### 4. Méthodologie d'Application Pour appliquer le principe de superposition, suivez ces étapes : 1. **Identifier les charges :** Listez toutes les charges externes agissant sur la poutre. 2. **Isoler les charges :** Analysez la poutre pour chaque charge agissant seule, en supprimant temporairement les autres charges. Pour chaque cas, calculez les réactions aux appuis, les efforts tranchants \[ V(x) \] et les moments fléchissants \[ M_f(x) \]. 3. **Sommer les effets :** Additionnez algébriquement les résultats obtenus pour chaque charge pour déterminer l'effort tranchant total \[ V_{total}(x) \] et le moment fléchissant total \[ M_{f, total}(x) \] en chaque point de la poutre. Pour les déflexions \[ y(x) \], la même logique s'applique : \[ y_{total}(x) = y_1(x) + y_2(x) + ... \]. ### Vocabulaire * **Superposition :** Action de placer quelque chose sur autre chose. En mécanique, signifie additionner les effets. * **Charge :** Force ou moment appliqué à une structure. * **Effort tranchant (V) :** Force interne agissant perpendiculairement à l'axe longitudinal d'une poutre, tendant à la cisailler. Son unité est le Newton (N). * **Moment fléchissant (Mf) :** Moment interne agissant sur une section transversale d'une poutre, tendant à la courber. Son unité est le Newton-mètre (Nm). * **Déflexion / Flèche (y) :** Déplacement perpendiculaire de l'axe neutre d'une poutre sous l'effet des charges. Son unité est le mètre (m). * **Poutre :** Élément structurel long et mince conçu pour supporter des charges perpendiculaires à son axe. * **Linéaire élastique :** Comportement d'un matériau où la déformation est proportionnelle à la contrainte et où le matériau retrouve sa forme initiale après déchargement. * **Petites déformations :** Déformations si faibles qu'elles ne changent pas de manière significative la géométrie de la structure et n'affectent pas la distribution des forces. ### Exemples **Exemple 1 : Poutre sur deux appuis avec deux charges ponctuelles** Considérons une poutre de longueur L, reposant sur deux appuis simples (A et B), soumise à deux forces ponctuelles \[ F_1 \] et \[ F_2 \] à des distances \[ a_1 \] et \[ a_2 \] de l'appui A. Pour trouver l'effort tranchant et le moment fléchissant totaux, nous procéderions comme suit : 1. **Cas 1 : Force \[ F_1 \] seule.** Calculez \[ V_1(x) \] et \[ M_{f,1}(x) \]. 2. **Cas 2 : Force \[ F_2 \] seule.** Calculez \[ V_2(x) \] et \[ M_{f,2}(x) \]. 3. **Superposition :** * Effort tranchant total : \[ V_{total}(x) = V_1(x) + V_2(x) \] * Moment fléchissant total : \[ M_{f,total}(x) = M_{f,1}(x) + M_{f,2}(x) \] **Exemple 2 : Poutre en console avec une charge ponctuelle et une charge répartie** Une poutre encastrée à une extrémité et libre à l'autre est soumise à une force ponctuelle \[ F \] à son extrémité libre et une charge uniformément répartie \[ q \] sur toute sa longueur. 1. **Cas 1 : Force \[ F \] seule.** Calcul des diagrammes \[ V_1(x) \] et \[ M_{f,1}(x) \]. * Moment fléchissant maximal à l'encastrement : \[ M_{f,1,max} = -F imes L \] 2. **Cas 2 : Charge répartie \[ q \] seule.** Calcul des diagrammes \[ V_2(x) \] et \[ M_{f,2}(x) \]. * Moment fléchissant maximal à l'encastrement : \[ M_{f,2,max} = -rac{qL^2}{2} \] 3. **Superposition au point d'encastrement :** * Moment fléchissant total : \[ M_{f,total}(x=0) = -F imes L - rac{qL^2}{2} \] ### Exercices **Exercice 1 :** Une poutre simple sur appuis (A et B) de longueur \[ L = 4 \ m \] est soumise à une force ponctuelle \[ F_1 = 10 \ kN \] à \[ 1 \ m \] de A et une force ponctuelle \[ F_2 = 15 \ kN \] à \[ 3 \ m \] de A. 1. Calculez les réactions aux appuis pour \[ F_1 \] seule. 2. Calculez les réactions aux appuis pour \[ F_2 \] seule. 3. Déterminez les réactions aux appuis totales par superposition. 4. Tracez les diagrammes d'efforts tranchants et de moments fléchissants totaux pour la poutre en utilisant le principe de superposition. **Exercice 2 :** Une poutre en console de longueur \[ L = 3 \ m \] est soumise à une charge uniformément répartie \[ q = 5 \ kN/m \] sur toute sa longueur et une force ponctuelle \[ F = 8 \ kN \] à son extrémité libre. 1. Calculez le moment fléchissant maximal dû à \[ q \] seule. 2. Calculez le moment fléchissant maximal dû à \[ F \] seule. 3. Déterminez le moment fléchissant maximal total à l'encastrement par superposition. ### Devoir **Devoir 1 :** Une poutre simple sur appuis A et B de longueur \[ L = 6 \ m \] supporte : * Une charge ponctuelle \[ F = 20 \ kN \] située à \[ 2 \ m \] de l'appui A. * Une charge uniformément répartie \[ q = 10 \ kN/m \] sur les \[ 3 \ premiers \ m \] à partir de l'appui A. 1. Calculez les réactions aux appuis A et B en utilisant le principe de superposition. 2. Tracez les diagrammes d'efforts tranchants et de moments fléchissants pour la poutre complète en détaillant les étapes de superposition. 3. Déterminez la position et la valeur du moment fléchissant maximal. **Devoir 2 :** Une poutre de longueur \[ L \] est encastrée à son extrémité gauche et supportée par un appui simple à son extrémité droite. Elle est soumise à un moment ponctuel \[ M_0 \] au milieu de sa portée et une charge ponctuelle \[ P \] à son extrémité libre. 1. En utilisant le principe de superposition, élaborez la méthodologie pour déterminer les réactions aux appuis. 2. Calculez les expressions littérales des efforts tranchants et moments fléchissants totaux en fonction de \[ x \]. (Vous pouvez vous aider de formulaires standards pour les cas de charge simples). ### Résumé Le principe de superposition est une méthode fondamentale en mécanique des matériaux qui permet de simplifier l'analyse des poutres soumises à des chargements multiples. En décomposant un problème complexe en une série de problèmes plus simples (chaque charge agissant seule), puis en additionnant algébriquement les effets individuels (efforts tranchants, moments fléchissants, déflexions), nous pouvons déterminer la réponse totale de la structure. Il est crucial de se souvenir que ce principe n'est applicable que pour les matériaux linéaires élastiques et pour de petites déformations. Maîtriser ce concept vous permettra d'analyser une grande variété de situations de chargement en flexion simple avec confiance et efficacité. ## Charges roulantes ### Introduction Dans le domaine de la mécanique appliquée et de la résistance des matériaux, les structures sont souvent soumises à des charges qui ne sont pas statiques, mais qui se déplacent le long de leur portée. Ces charges, appelées **charges roulantes**, sont très courantes dans de nombreuses applications d'ingénierie, telles que les ponts (charges de véhicules), les voies ferrées (trains), les grues (chariots de levage) ou les convoyeurs. La particularité des charges roulantes est qu'elles induisent des sollicitations (efforts tranchants, moments fléchissants) et des déformations (flèches) qui varient en fonction de leur position sur la structure. L'objectif principal de cette leçon est de comprendre comment déterminer les positions critiques des charges roulantes afin de calculer les valeurs maximales de ces sollicitations, qui sont essentielles pour le dimensionnement et la vérification de la sécurité des structures. ### Concepts Clés #### Qu'est-ce qu'une charge roulante ? Une charge roulante est une force ou un ensemble de forces concentrées (ou parfois réparties sur une courte longueur) qui se déplace le long d'une poutre ou d'une structure. Contrairement aux charges statiques, leur position n'est pas fixe. * **Exemples courants :** * Le poids d'un véhicule traversant un pont. * Les roues d'un chariot de manutention se déplaçant sur une voie. * Les essieux d'un train sur un rail. #### Conséquences des charges roulantes Lorsqu'une charge se déplace, les réactions aux appuis, l'effort tranchant et le moment fléchissant en chaque point de la poutre changent constamment. Le défi est de trouver la position de la charge qui produira : * Le moment fléchissant maximal absolu. * L'effort tranchant maximal absolu. * La flèche maximale absolue. Ces valeurs maximales sont cruciales pour le dimensionnement de la poutre afin qu'elle puisse résister en toute sécurité. #### Détermination des réactions aux appuis Les réactions aux appuis d'une poutre simple soumise à une charge roulante varient en fonction de la position de la charge. Pour une poutre de longueur \( L \) avec une charge ponctuelle \( P \) à une distance \( x \) de l'appui gauche A, les réactions \( R_A \) et \( R_B \) peuvent être déterminées par les équations d'équilibre statique: * Somme des moments en B = 0: \[ R_A \cdot L - P \cdot (L-x) = 0 \] donc \[ R_A = P \frac{L-x}{L} \] * Somme des moments en A = 0: \[ R_B \cdot L - P \cdot x = 0 \] donc \[ R_B = P \frac{x}{L} \] * Somme des forces verticales = 0: \( R_A + R_B = P \) (vérification) On observe que \( R_A \) est maximale lorsque \( x=0 \) (charge à l'appui A) et \( R_B \) est maximale lorsque \( x=L \) (charge à l'appui B). #### Position de la charge pour l'effort tranchant maximal L'effort tranchant maximal sur une poutre simple soumise à des charges roulantes se produit généralement aux appuis. * **Effort tranchant maximal positif:** S'obtient en plaçant la ou les charges aussi près que possible de l'appui gauche. La valeur maximale sera égale à la réaction maximale à cet appui. * **Effort tranchant maximal négatif:** S'obtient en plaçant la ou les charges aussi près que possible de l'appui droit. La valeur maximale (en valeur absolue) sera égale à la réaction maximale à cet appui. Pour une charge ponctuelle unique \( P \) sur une poutre de longueur \( L \): L'effort tranchant maximal positif est \( P \) (quand \( x=0 \)). L'effort tranchant maximal négatif est \( -P \) (quand \( x=L \)). #### Position de la charge pour le moment fléchissant maximal La détermination de la position d'une charge roulante pour obtenir le moment fléchissant maximal est plus complexe et dépend du type de charge (unique ou multiple). ##### Pour une charge ponctuelle unique \( P \) Le moment fléchissant en un point de la poutre est maximal lorsque la charge est au milieu de la poutre (\( x = L/2 \)). Dans ce cas, le moment fléchissant maximal absolu se produit au centre de la poutre et vaut : \[ M_{max} = \frac{P \cdot L}{4} \] ##### Pour un système de charges concentrées (par exemple, plusieurs essieux d'un véhicule) C'est le cas le plus courant et le plus important en pratique. Le moment fléchissant maximal absolu sur la poutre ne se produit pas nécessairement sous le centre de gravité des charges, ni au centre de la poutre. **Règle générale pour un système de charges concentrées (Poutre isostatique simplement appuyée) :** Le moment fléchissant maximal absolu dans une poutre simple se produit sous l'une des charges lorsque le milieu de la poutre se trouve au milieu du segment entre cette charge et la résultante de toutes les charges présentes sur la poutre. **Étapes pour trouver le moment fléchissant maximal pour un système de charges :** 1. **Calculer la résultante \( R \) des charges** et sa position (centre de gravité du système de charges). 2. **Identifier les charges critiques :** Le moment maximal se produit généralement sous la charge la plus lourde ou sous une charge proche du centre de gravité du système de charges. 3. **Positionner le système de charges :** Pour une charge donnée (sous laquelle on suspecte le moment maximal), positionner l'ensemble du système de charges de sorte que le milieu de la poutre soit exactement au milieu du segment reliant la charge critique et la résultante \( R \). 4. **Calculer les réactions aux appuis** pour cette position. 5. **Calculer le moment fléchissant** sous la charge critique pour cette position. 6. **Répéter** pour d'autres charges critiques possibles si nécessaire et prendre la valeur la plus grande. #### Calcul de la flèche maximale La flèche maximale pour une charge roulante se produit généralement lorsque la charge ou le système de charges est positionné de manière à maximiser la déflexion. Pour une seule charge ponctuelle, la flèche maximale se produit au milieu de la poutre lorsque la charge est elle-même au milieu. La formule générale de la flèche pour une charge ponctuelle \( P \) au milieu d'une poutre simplement appuyée est: \[ \delta_{max} = \frac{P L^3}{48 E I} \] où \( E \) est le module d'Young du matériau et \( I \) est le moment d'inertie de la section de la poutre. Pour un système de charges, le calcul de la flèche maximale est plus complexe et souvent réalisé à l'aide de méthodes énergétiques ou de logiciels de calcul. ### Vocabulaire * **Charge roulante :** Charge mobile se déplaçant le long d'une structure. * **Effort tranchant (T) :** Force interne agissant perpendiculairement à l'axe de la poutre, tendant à cisailler la section. * **Moment fléchissant (Mf) :** Couple interne agissant dans le plan de la section, tendant à faire fléchir la poutre. * **Réaction d'appui :** Force exercée par un appui sur la structure pour maintenir l'équilibre. * **Flèche (\( \delta \)) :** Déformation transversale d'une poutre sous l'effet des charges. * **Portée (L) :** Distance entre les appuis d'une poutre. * **Résultante (R) :** Force unique équivalente à un système de forces, représentant leur somme vectorielle et son point d'application. * **Essieu :** Axe sur lequel sont montées les roues d'un véhicule, et qui applique une charge concentrée sur la structure. * **Poutre isostatique :** Poutre dont les réactions d'appui peuvent être déterminées uniquement par les équations de l'équilibre statique. ### Exemples #### Exemple 1: Poutre soumise à une seule charge ponctuelle roulante Une poutre simplement appuyée de 6 m de long est soumise à une charge ponctuelle roulante \( P = 10 \text{ kN} \). 1. **Moment fléchissant maximal:** Il se produit lorsque \( P \) est au milieu de la portée (\( x = L/2 = 3 \text{ m} \)). \[ M_{max} = \frac{P \cdot L}{4} = \frac{10 \cdot 6}{4} = 15 \text{ kNm} \] Ce moment se produit au milieu de la poutre. 2. **Effort tranchant maximal:** Il se produit aux appuis lorsque la charge est directement au-dessus. \( T_{max,positif} = P = 10 \text{ kN} \) (à l'appui gauche, charge à gauche). \( T_{max,négatif} = -P = -10 \text{ kN} \) (à l'appui droit, charge à droite). Les valeurs maximales absolues de l'effort tranchant sont \( 10 \text{ kN} \). #### Exemple 2: Poutre soumise à deux charges ponctuelles roulantes Une poutre de 10 m de long est soumise à deux charges roulantes \( P_1 = 20 \text{ kN} \) et \( P_2 = 30 \text{ kN} \), espacées de 2 m (\( P_1 \) est à gauche de \( P_2 \)). 1. **Déterminer la résultante \( R \) et sa position:** \[ R = P_1 + P_2 = 20 + 30 = 50 \text{ kN} \] Prenons l'origine à \( P_1 \). La position de \( R \) par rapport à \( P_1 \) est: \[ d_R = \frac{P_1 \cdot 0 + P_2 \cdot 2}{R} = \frac{30 \cdot 2}{50} = \frac{60}{50} = 1.2 \text{ m} \] La résultante \( R \) est donc à 1.2 m à droite de \( P_1 \). Conséquemment, \( R \) est à \( 2 - 1.2 = 0.8 \text{ m} \) à gauche de \( P_2 \). 2. **Recherche de la position critique pour le moment maximal :** Le moment maximal se produira sous \( P_1 \) ou \( P_2 \). Considérons la charge \( P_2 \) (la plus forte et la plus proche de R). Pour maximiser le moment sous \( P_2 \), le centre de la poutre (à 5 m de l'appui gauche A) doit être au milieu du segment reliant \( P_2 \) et la résultante \( R \). La distance entre \( P_2 \) et \( R \) est de 0.8 m. Le milieu de ce segment est à \( 0.8/2 = 0.4 \text{ m} \) de \( P_2 \) (vers \( R \)). Donc, la position de \( P_2 \) (depuis A) doit être : \( x_{P2} = 5 \text{ m} - 0.4 \text{ m} = 4.6 \text{ m} \). À cette position: * \( P_2 \) est à 4.6 m de l'appui gauche A. * \( P_1 \) est à \( 4.6 - 2 = 2.6 \text{ m} \) de l'appui gauche A. * \( R \) est à \( 4.6 + 0.8 = 5.4 \text{ m} \) de l'appui gauche A. 3. **Calcul des réactions aux appuis pour cette position :** Somme des moments en B = 0: \( R_A \cdot 10 - P_1 \cdot (10 - 2.6) - P_2 \cdot (10 - 4.6) = 0 \) \( R_A \cdot 10 - 20 \cdot 7.4 - 30 \cdot 5.4 = 0 \) \( R_A \cdot 10 - 148 - 162 = 0 \) \( R_A \cdot 10 = 310 \) \( R_A = 31 \text{ kN} \) Somme des forces verticales = 0: \( R_B = R - R_A = 50 - 31 = 19 \text{ kN} \) 4. **Calcul du moment fléchissant sous \( P_2 \) (à \( x=4.6 \text{ m} \)) :** \( M_{f,P2} = R_A \cdot x_{P2} - P_1 \cdot (x_{P2} - x_{P1}) \) \( M_{f,P2} = 31 \cdot 4.6 - 20 \cdot (4.6 - 2.6) \) \( M_{f,P2} = 142.6 - 20 \cdot 2 = 142.6 - 40 = 102.6 \text{ kNm} \) (Une vérification du moment maximal sous \( P_1 \) serait nécessaire pour être certain, mais \( P_2 \) étant la charge la plus forte et la plus proche de la résultante, le moment sous \( P_2 \) est très probablement le maximum absolu dans ce cas.) ### Exercices #### Exercice 1 Une poutre de 8 m de long est simplement appuyée. Une charge ponctuelle de \( 25 \text{ kN} \) roule sur la poutre. 1. Calculez le moment fléchissant maximal absolu et indiquez sa position. 2. Calculez les efforts tranchants maximaux absolus (positif et négatif) et indiquez leurs positions. #### Exercice 2 Une poutre de 12 m de long est soumise à deux charges roulantes \( P_A = 15 \text{ kN} \) et \( P_B = 20 \text{ kN} \), espacées de 3 m. \( P_A \) précède \( P_B \) lors du déplacement (\( P_A \) est à gauche de \( P_B \)). 1. Déterminez la résultante des charges et sa position par rapport à \( P_A \). 2. Trouvez la position de ces charges sur la poutre qui génère le moment fléchissant maximal absolu. (Conseil: considérez la charge \( P_B \)). 3. Calculez ce moment fléchissant maximal. 4. Quel serait l'effort tranchant maximal si \( P_A \) était à l'appui gauche ? ### Devoir Une poutre de 15 m de long est soumise à un système de trois charges roulantes: \( P_1 = 10 \text{ kN} \), \( P_2 = 25 \text{ kN} \), et \( P_3 = 15 \text{ kN} \). \( P_2 \) est à 3 m de \( P_1 \), et \( P_3 \) est à 2 m de \( P_2 \) (dans le même sens de déplacement: \( P_1 \) - \( P_2 \) - \( P_3 \)). 1. Calculez la résultante \( R \) de ces trois charges et sa position par rapport à \( P_1 \). 2. Déterminez la ou les charges sous lesquelles le moment fléchissant maximal est susceptible de se produire. 3. Déterminez la position du système de charges sur la poutre qui maximise le moment fléchissant sous la charge \( P_2 \). 4. Calculez les réactions aux appuis pour cette position. 5. Calculez le moment fléchissant maximal absolu sous \( P_2 \). 6. Déterminez les positions des charges pour obtenir l'effort tranchant maximal positif et calculez-le. ### Résumé Les charges roulantes sont des charges mobiles qui induisent des sollicitations et des déformations variables dans les structures. Pour le dimensionnement, il est crucial de déterminer les positions critiques de ces charges qui génèrent les valeurs maximales absolues de l'effort tranchant et du moment fléchissant. * L'**effort tranchant maximal** se produit généralement aux appuis lorsque les charges sont placées le plus près possible de ceux-ci. * Le **moment fléchissant maximal** pour une charge ponctuelle unique est au milieu de la portée lorsque la charge est au milieu. * Pour un **système de charges concentrées**, le moment fléchissant maximal absolu se produit sous l'une des charges lorsque le milieu de la poutre est au milieu du segment entre cette charge et la résultante de toutes les charges sur la portée. Comprendre ces principes est fondamental pour assurer la sécurité et la performance des structures soumises à des charges dynamiques et mobiles.