SOLLICITATIONS SIMPLES EN RESISTANCE DES MATERIAUX

# SOLLICITATIONS SIMPLES EN RESISTANCE DES MATERIAUX ## Torsion Simple : Définition, efforts de cohésion, moments de torsion, équations, diagrammes ### 1. Introduction Bienvenue à cette leçon sur la torsion simple, un phénomène fondamental en Résistance des Matériaux. La torsion simple est la sollicitation mécanique subie par un corps lorsqu'il est soumis à des couples agissant dans des plans perpendiculaires à son axe longitudinal. Comprendre la torsion est essentiel pour la conception de pièces tournantes comme les arbres de transmission, les essieux et les tiges de forage. Dans ce cours, nous allons définir la torsion, explorer les efforts internes (efforts de cohésion) qu'elle engendre, analyser les moments de torsion, établir les équations clés et apprendre à interpréter les diagrammes associés. ### 2. Concepts Clés #### 2.1. Définition de la Torsion Simple La torsion simple est un état de contrainte qui se produit lorsqu'un élément de structure est soumis à un moment de torsion (ou couple) qui tend à le faire pivoter autour de son axe longitudinal. Pour qu'il y ait torsion simple, les conditions suivantes doivent être réunies : * La pièce doit être de section circulaire (pleine ou creuse). * La ligne moyenne (axe longitudinal) doit être droite. * Les couples de torsion doivent agir dans des plans perpendiculaires à l'axe longitudinal. * La matière est considérée comme homogène, isotrope et en comportement élastique linéaire. #### 2.2. Efforts de Cohésion : Le Moment de Torsion (\( M_t \)) Lorsque des couples sont appliqués aux extrémités d'une pièce, des forces internes se développent à l'intérieur du matériau pour résister à cette rotation. Ces forces internes génèrent un *moment de torsion* (ou couple résistant) au niveau de chaque section transversale de la pièce. Ce moment de torsion interne est noté \( M_t \) (ou parfois \( T \)). Il est le résultat des contraintes de cisaillement qui agissent dans le plan de la section. #### 2.3. Hypothèses Fondamentales Pour simplifier l'étude de la torsion simple, nous faisons généralement les hypothèses suivantes (hypothèses de Navier-Bernoulli appliquées à la torsion) : * Les sections droites, planes et perpendiculaires à l'axe avant déformation, le restent après déformation. * Les rayons des sections droites restent rectilignes après déformation et tournent d'un même angle autour de l'axe. * La déformation est faible. #### 2.4. Caractéristiques Géométriques : Le Moment Quadratique Polaire (\( I_p \) ou \( J \)) Le moment quadratique polaire est une propriété géométrique de la section qui caractérise sa résistance à la torsion. Plus \( I_p \) est élevé, plus la section est rigide en torsion. * **Pour une section circulaire pleine de diamètre \( D \) (ou rayon \( R \))** : \[ I_p = \frac{\pi D^4}{32} = \frac{\pi R^4}{2} \] * **Pour une section circulaire creuse de diamètre extérieur \( D_{ext} \) et diamètre intérieur \( D_{int} \) (ou rayons \( R_{ext} \) et \( R_{int} \))** : \[ I_p = \frac{\pi (D_{ext}^4 - D_{int}^4)}{32} = \frac{\pi (R_{ext}^4 - R_{int}^4)}{2} \] #### 2.5. Contraintes de Cisaillement en Torsion (\( \tau \)) La torsion simple provoque des *contraintes de cisaillement* dans la matière. Ces contraintes sont tangentielles à la section transversale et varient linéairement avec la distance \( r \) par rapport au centre de la section. * **Formule générale de la contrainte de cisaillement** : \[ \tau = \frac{M_t \cdot r}{I_p} \] Où : * \( \tau \) est la contrainte de cisaillement à la distance \( r \) du centre (en Pa). * \( M_t \) est le moment de torsion (en N·m). * \( r \) est la distance du point considéré par rapport à l'axe longitudinal (en m). * \( I_p \) est le moment quadratique polaire (en \( m^4 \)). * **Contrainte de cisaillement maximale** : La contrainte de cisaillement est maximale à la périphérie de la section (là où \( r = R \), le rayon extérieur) et nulle au centre. C'est cette contrainte maximale qui est critique pour la résistance du matériau. \[ \tau_{max} = \frac{M_t \cdot R}{I_p} \] #### 2.6. Déformation en Torsion : L'Angle de Torsion (\( \theta \)) Sous l'effet du moment de torsion, la pièce subit une déformation angulaire appelée *angle de torsion*. Cet angle représente la rotation relative entre deux sections transversales éloignées d'une longueur \( L \). * **Formule de l'angle de torsion** : \[ \theta = \frac{M_t \cdot L}{G \cdot I_p} \] Où : * \( \theta \) est l'angle de torsion (en radians). * \( L \) est la longueur de la pièce soumise à la torsion (en m). * \( G \) est le module de cisaillement (ou module d'élasticité transversale) du matériau (en Pa). * \( M_t \) et \( I_p \) sont comme définis précédemment. * **Module de cisaillement (G)** : Le module de cisaillement \( G \) est une propriété mécanique du matériau qui décrit sa résistance à la déformation par cisaillement. Il est lié au module de Young \( E \) et au coefficient de Poisson \( \nu \) par la relation : \[ G = \frac{E}{2(1+\nu)} \] #### 2.7. Conditions de Résistance et de Rigidité Pour qu'une pièce conçue pour la torsion soit sûre et fonctionnelle, elle doit respecter deux conditions : * **Condition de résistance** : La contrainte de cisaillement maximale calculée ne doit pas dépasser la contrainte de cisaillement admissible du matériau (limite élastique en cisaillement divisée par un coefficient de sécurité). \[ \tau_{max} \le \tau_{adm} \] * **Condition de rigidité** : L'angle de torsion ne doit pas dépasser une valeur admissible, souvent spécifiée pour éviter un fonctionnement indésirable ou des vibrations excessives. \[ \theta \le \theta_{adm} \] #### 2.8. Puissance Transmise par un Arbre en Torsion Un arbre de transmission est souvent soumis à la torsion pour transmettre de la puissance. La puissance \( P \) transmise par un arbre en rotation est liée au moment de torsion \( M_t \) et à la vitesse angulaire \( \omega \) : \[ P = M_t \cdot \omega \] Où : * \( P \) est la puissance (en Watts). * \( M_t \) est le moment de torsion (en N·m). * \( \omega \) est la vitesse angulaire (en rad/s). Si la vitesse de rotation est donnée en tours par minute (tr/min ou RPM), notée \( n \), alors : \[ \omega = \frac{2\pi n}{60} \] #### 2.9. Diagrammes de Moment de Torsion Pour les arbres soumis à plusieurs couples le long de leur axe, il est utile de tracer le diagramme de moment de torsion. Ce diagramme représente la variation du moment de torsion interne \( M_t \) le long de l'axe de la pièce. Il est établi en coupant virtuellement la pièce à différentes sections et en appliquant l'équilibre des moments sur la partie isolée. ### 3. Vocabulaire * **Torsion Simple** : Sollicitation due à un couple agissant dans un plan perpendiculaire à l'axe longitudinal d'une pièce. * **Moment de Torsion (\( M_t \))** : Couple interne résistant développé dans une section transversale d'une pièce soumise à la torsion. * **Moment Quadratique Polaire (\( I_p \) ou \( J \))** : Propriété géométrique d'une section caractérisant sa résistance à la torsion. * **Contrainte de Cisaillement (\( \tau \))** : Contrainte tangentielle (parallèle à la section) engendrée par les efforts de torsion. * **Angle de Torsion (\( \theta \))** : Déformation angulaire subie par une pièce soumise à la torsion, exprimée en radians. * **Module de Cisaillement (\( G \))** : Caractéristique mécanique du matériau mesurant sa rigidité en cisaillement. * **Condition de Résistance** : Exigence que la contrainte maximale ne dépasse pas la limite admissible du matériau. * **Condition de Rigidité** : Exigence que la déformation (angle de torsion) ne dépasse pas une valeur admissible. ### 4. Exemples Pratiques #### Exemple 1 : Calcul de contrainte et d'angle de torsion Un arbre en acier de diamètre \( D = 50 \) mm et de longueur \( L = 2 \) m est soumis à un moment de torsion \( M_t = 1200 \) N·m. L'acier a un module de cisaillement \( G = 80 \) GPa. Calculez la contrainte de cisaillement maximale et l'angle de torsion. 1. **Calcul du moment quadratique polaire \( I_p \)** : \( R = D/2 = 25 \) mm \( = 0.025 \) m \[ I_p = \frac{\pi R^4}{2} = \frac{\pi (0.025)^4}{2} \approx 6.136 \times 10^{-7} \text{ m}^4 \] 2. **Calcul de la contrainte de cisaillement maximale \( \tau_{max} \)** : \[ \tau_{max} = \frac{M_t \cdot R}{I_p} = \frac{1200 \cdot 0.025}{6.136 \times 10^{-7}} \approx 48.9 \times 10^6 \text{ Pa} = 48.9 \text{ MPa} \] 3. **Calcul de l'angle de torsion \( \theta \)** : \( G = 80 \text{ GPa} = 80 \times 10^9 \text{ Pa} \) \[ \theta = \frac{M_t \cdot L}{G \cdot I_p} = \frac{1200 \cdot 2}{80 \times 10^9 \cdot 6.136 \times 10^{-7}} \approx 0.0489 \text{ rad} \] Converti en degrés : \( 0.0489 \text{ rad} \times \frac{180}{\pi} \approx 2.8 \text{ degrés} \) #### Exemple 2 : Dimensionnement d'un arbre Quel doit être le diamètre minimal d'un arbre en acier (\( G = 80 \) GPa) pour transmettre une puissance de \( 100 \) kW à \( 1500 \) tr/min, sachant que la contrainte de cisaillement admissible est \( \tau_{adm} = 70 \) MPa et l'angle de torsion ne doit pas dépasser \( 1 \) degré sur une longueur de \( 1.5 \) m ? 1. **Calcul du moment de torsion \( M_t \)** : \( n = 1500 \) tr/min, donc \( \omega = \frac{2\pi \cdot 1500}{60} \approx 157.08 \) rad/s \( P = 100 \text{ kW} = 100 \times 10^3 \text{ W} \) \[ M_t = \frac{P}{\omega} = \frac{100 \times 10^3}{157.08} \approx 636.6 \text{ N·m} \] 2. **Condition de résistance pour le diamètre \( D \)** : \( \tau_{max} = \frac{M_t \cdot (D/2)}{I_p} \). Sachant \( I_p = \frac{\pi D^4}{32} \), on a \( \tau_{max} = \frac{M_t \cdot (D/2)}{\pi D^4/32} = \frac{16 M_t}{\pi D^3} \) \[ D^3 \ge \frac{16 M_t}{\pi \tau_{adm}} = \frac{16 \cdot 636.6}{\pi \cdot 70 \times 10^6} \approx 4.63 \times 10^{-5} \text{ m}^3 \] \( D \ge (4.63 \times 10^{-5})^{1/3} \approx 0.0359 \text{ m} = 35.9 \text{ mm} \) 3. **Condition de rigidité pour le diamètre \( D \)** : \( \theta_{adm} = 1 \text{ degré} = 1 \cdot \frac{\pi}{180} \approx 0.01745 \text{ rad} \) \( \theta = \frac{M_t \cdot L}{G \cdot I_p} \). Sachant \( I_p = \frac{\pi D^4}{32} \), on a \( \theta = \frac{M_t \cdot L}{G \cdot \pi D^4/32} = \frac{32 M_t L}{\pi G D^4} \) \[ D^4 \ge \frac{32 M_t L}{\pi G \theta_{adm}} = \frac{32 \cdot 636.6 \cdot 1.5}{\pi \cdot 80 \times 10^9 \cdot 0.01745} \approx 6.94 \times 10^{-7} \text{ m}^4 \] \( D \ge (6.94 \times 10^{-7})^{1/4} \approx 0.0288 \text{ m} = 28.8 \text{ mm} \) Le diamètre minimal requis est le plus grand des deux valeurs calculées : \( D_{min} = 35.9 \) mm. On choisira donc un diamètre légèrement supérieur par sécurité. ### 5. Exercices 1. Un arbre en aluminium (\( G = 27 \) GPa) de diamètre \( D = 30 \) mm est soumis à un couple de torsion de \( 300 \) N·m. Calculez la contrainte de cisaillement maximale dans l'arbre. 2. Si la longueur de l'arbre de l'exercice 1 est de \( 1 \) mètre, quel est son angle de torsion en radians et en degrés ? 3. Un tube creux en laiton (\( G = 39 \) GPa) a un diamètre extérieur de \( 60 \) mm et un diamètre intérieur de \( 40 \) mm. Il est soumis à un moment de torsion de \( 800 \) N·m. Déterminez le moment quadratique polaire et la contrainte de cisaillement maximale. ### 6. Devoirs 1. Un moteur électrique transmet une puissance de \( 75 \) kW à \( 1200 \) tr/min à travers un arbre en acier. Si la contrainte de cisaillement admissible de l'acier est de \( 60 \) MPa et l'angle de torsion admissible est de \( 3 \) degrés sur \( 2.5 \) m de longueur (\( G = 80 \) GPa), déterminez le diamètre minimal requis pour l'arbre. 2. Un arbre composite est constitué d'une âme en acier de diamètre \( 40 \) mm et d'une chemise extérieure en aluminium de diamètre \( 60 \) mm. Le moment de torsion total appliqué est de \( 2 \) kN·m. Déterminez la contrainte de cisaillement maximale dans l'acier et l'aluminium. (Indice : le moment de torsion se répartit proportionnellement à \( G \cdot I_p \) pour chaque matériau, et l'angle de torsion est le même pour les deux sections). * Acier : \( G_{acier} = 80 \) GPa * Aluminium : \( G_{alu} = 27 \) GPa ### 7. Résumé La torsion simple est la sollicitation due à un couple agissant perpendiculairement à l'axe d'une pièce. Elle génère des **contraintes de cisaillement** (\( \tau = \frac{M_t \cdot r}{I_p} \)) maximales en périphérie et un **angle de torsion** (\( \theta = \frac{M_t \cdot L}{G \cdot I_p} \)) proportionnel à la longueur et inversement proportionnel à la rigidité du matériau (\( G \)) et de la section (\( I_p \)). Le **moment quadratique polaire** (\( I_p \)) caractérise la résistance géométrique de la section à la torsion. La conception des arbres en torsion doit satisfaire des conditions de **résistance** (\( \tau_{max} \le \tau_{adm} \)) et de **rigidité** (\( \theta \le \theta_{adm} \)). La puissance transmise est directement liée au moment de torsion et à la vitesse angulaire (\( P = M_t \cdot \omega \)). ## Torsion Simple : Contraintes, déformations, condition de résistance, condition de rigidité ### Introduction Bienvenue à cette leçon sur la torsion simple, un concept fondamental en résistance des matériaux. La torsion est le phénomène qu'une pièce subit lorsqu'elle est soumise à des moments de torsion (ou couples) qui tendent à la faire "tourner" autour de son axe longitudinal. Imaginez serrer un boulon avec une clé ou tourner le volant d'une voiture : ces actions impliquent la torsion. Nous allons explorer les contraintes et les déformations associées à la torsion, ainsi que les critères pour assurer qu'une pièce résiste et conserve sa rigidité sous de telles sollicitations. ### Concepts Clés #### 1. Définition de la Torsion Simple La torsion simple est une sollicitation mécanique où une pièce droite de section constante (généralement circulaire) est soumise à deux couples de forces agissant dans des plans perpendiculaires à son axe longitudinal et tendant à la faire tourner. L'axe de ces couples coïncide avec l'axe longitudinal de la pièce. #### 2. Hypothèses Fondamentales de la Torsion Simple Pour simplifier l'étude et les calculs, on fait généralement les hypothèses suivantes pour la torsion simple des arbres de section circulaire : * Les sections droites restent planes et perpendiculaires à l'axe après déformation. * Les rayons des sections droites restent rectilignes après déformation. * Le matériau est homogène, isotrope et suit la loi de Hooke (comportement élastique linéaire). * La déformation est faible. #### 3. Couple de Torsion \( M_t \) Le couple de torsion, noté \( M_t \), est le moment résultant des forces externes agissant sur la pièce qui provoque sa rotation autour de son axe. Il s'exprime en Newton-mètre (Nm). #### 4. Contraintes Tangentielles (de Cisaillement) dues à la Torsion \( \tau \) Sous l'effet d'un couple de torsion, des contraintes tangentielles (ou de cisaillement) apparaissent dans la matière. Ces contraintes sont maximales à la périphérie de la pièce et nulles à son centre. La contrainte tangentielle \( \tau \) à une distance \( v \) du centre de l'axe est donnée par la relation de Navier-Rankine: \[ \tau(v) = \frac{M_t \cdot v}{I_p} \] Où : * \( M_t \) est le couple de torsion (Nm). * \( v \) est la distance du point considéré à l'axe de torsion (m). * \( I_p \) est le moment quadratique polaire de la section (m^4). La contrainte tangentielle maximale \( \tau_{max} \) se produit à la surface extérieure, où \( v = R \) (rayon de la pièce) : \[ \tau_{max} = \frac{M_t \cdot R}{I_p} \] Pour une section circulaire pleine de diamètre \( D \) (ou rayon \( R \)) : \[ I_p = \frac{\pi D^4}{32} = \frac{\pi R^4}{2} \] Pour une section circulaire creuse de diamètres extérieur \( D_e \) et intérieur \( D_i \) : \[ I_p = \frac{\pi (D_e^4 - D_i^4)}{32} \] #### 5. Déformation Angulaire (Angle de Torsion) \( \theta \) La torsion provoque une déformation de la pièce, caractérisée par un angle de torsion \( \theta \). Cet angle représente la rotation relative d'une section droite par rapport à une autre, le long de l'axe de la pièce. Il s'exprime en radians (rad). L'angle de torsion total sur une longueur \( L \) de la pièce est donné par : \[ \theta = \frac{M_t \cdot L}{G \cdot I_p} \] Où : * \( M_t \) est le couple de torsion (Nm). * \( L \) est la longueur de la pièce (m). * \( G \) est le module de cisaillement (ou module de rigidité) du matériau (Pa ou N/m^2). * \( I_p \) est le moment quadratique polaire de la section (m^4). Le module de cisaillement \( G \) est une propriété intrinsèque du matériau, liée au module d'Young \( E \) et au coefficient de Poisson \( \nu \) par la relation : \[ G = \frac{E}{2(1 + \nu)} \] #### 6. Condition de Résistance Pour qu'une pièce soumise à la torsion ne cède pas, la contrainte tangentielle maximale qu'elle subit ne doit pas dépasser une valeur admissible, appelée contrainte tangente admissible \( \tau_{adm} \) (ou limite élastique en cisaillement divisée par un coefficient de sécurité). \[ \tau_{max} \le \tau_{adm} \] Cette condition permet de déterminer le diamètre minimal d'un arbre pour une charge donnée ou le couple maximal qu'une pièce peut supporter. #### 7. Condition de Rigidité En plus de la résistance, il est souvent nécessaire de limiter la déformation d'une pièce. La condition de rigidité stipule que l'angle de torsion \( \theta \) ne doit pas dépasser une valeur admissible \( \theta_{adm} \), qui peut être spécifiée par cahier des charges (par exemple, un certain nombre de degrés par mètre de longueur). \[ \theta \le \theta_{adm} \] Cette condition est cruciale pour éviter les désagréments fonctionnels, les vibrations ou les désalignements dans les systèmes mécaniques. ### Vocabulaire * **Torsion :** Sollicitation où une pièce est soumise à des couples qui tendent à la faire tourner autour de son axe. * **Couple de Torsion (\( M_t \)) :** Moment qui provoque la torsion, mesuré en Newton-mètre (Nm). * **Contrainte Tangentielle (\( \tau \)) :** Contrainte de cisaillement agissant parallèlement à la section, maximale en périphérie. * **Déformation Angulaire (\( \theta \)) :** Angle de rotation relative entre deux sections d'une pièce torsadée, mesuré en radians (rad). * **Moment Quadratique Polaire (\( I_p \)) :** Caractéristique géométrique de la section transversale, qui mesure sa résistance à la torsion, mesuré en m^4. * **Module de Cisaillement (\( G \)) :** Propriété du matériau qui représente sa rigidité en cisaillement, mesuré en Pascals (Pa). * **Contrainte Admissible (\( \tau_{adm} \)) :** Contrainte maximale que le matériau peut supporter sans risque de rupture ou de déformation permanente significative. * **Angle de Torsion Admissible (\( \theta_{adm} \)) :** Angle de torsion maximal acceptable pour le bon fonctionnement d'une pièce. ### Exemples #### Exemple 1 : Calcul de contrainte et d'angle de torsion Un arbre de transmission en acier de diamètre \( D = 50 \) mm et de longueur \( L = 1,5 \) m est soumis à un couple de torsion \( M_t = 800 \) Nm. L'acier a un module de cisaillement \( G = 80 \) GPa.\ Calculer la contrainte tangentielle maximale et l'angle de torsion total. **Solution :** 1. **Calcul du moment quadratique polaire \( I_p \) :** \( D = 50 \) mm \( = 0,050 \) m \( I_p = \frac{\pi D^4}{32} = \frac{\pi (0,050)^4}{32} \approx 6,136 \times 10^{-7} \) m^4 2. **Calcul de la contrainte tangentielle maximale \( \tau_{max} \) :** \( R = D/2 = 0,025 \) m \( \tau_{max} = \frac{M_t \cdot R}{I_p} = \frac{800 \cdot 0,025}{6,136 \times 10^{-7}} \approx 32,59 \times 10^6 \) Pa \( = 32,59 \) MPa 3. **Calcul de l'angle de torsion \( \theta \) :** \( G = 80 \) GPa \( = 80 \times 10^9 \) Pa \( \theta = \frac{M_t \cdot L}{G \cdot I_p} = \frac{800 \cdot 1,5}{80 \times 10^9 \cdot 6,136 \times 10^{-7}} \approx 0,0244 \) rad Pour convertir en degrés : \( 0,0244 \cdot \frac{180}{\pi} \approx 1,4 \) degrés. ### Exercices 1. Définissez la torsion simple et nommez les deux hypothèses principales. 2. Un arbre de \( 30 \) mm de diamètre est soumis à un couple de torsion de \( 300 \) Nm. Calculez son moment quadratique polaire et la contrainte tangentielle maximale. 3. Expliquez la différence entre la condition de résistance et la condition de rigidité. 4. Un arbre en aluminium de \( 1 \) m de long et \( 20 \) mm de diamètre doit avoir un angle de torsion maximal de \( 3 \) degrés. Si \( G_{Al} = 27 \) GPa, quel couple de torsion maximal peut-il supporter sans dépasser cette limite de rigidité ? (Rappel : \( 1 \) radian \( = 180/\pi \) degrés). ### Devoir à la Maison 1. Une barre d'acier circulaire pleine de diamètre \( D = 40 \) mm et de longueur \( L = 2 \) m est utilisée comme arbre de transmission. Elle doit transmettre un couple de \( M_t = 1200 \) Nm. L'acier a un module de cisaillement \( G = 78 \) GPa et une contrainte admissible \( \tau_{adm} = 90 \) MPa. a. Calculez la contrainte tangentielle maximale dans l'arbre. b. Vérifiez si la condition de résistance est respectée. c. Calculez l'angle de torsion total de l'arbre. d. Si l'angle de torsion admissible est de \( 2 \) degrés pour cette longueur, la condition de rigidité est-elle respectée ? 2. Concevez un arbre creux en bronze (\( G = 40 \) GPa) de longueur \( 0,8 \) m pour transmettre un couple de \( 500 \) Nm. La contrainte admissible du bronze est \( \tau_{adm} = 70 \) MPa, et l'angle de torsion ne doit pas dépasser \( 0,03 \) radians. Si le diamètre extérieur de l'arbre est limité à \( 40 \) mm, quel est le diamètre intérieur minimal requis pour respecter ces conditions ? (Vous devrez peut-être faire des approximations ou résoudre par itération). ### Résumé La torsion simple est la sollicitation due à un couple agissant sur l'axe longitudinal d'une pièce. Elle génère des **contraintes tangentielles (de cisaillement)** maximales en périphérie, données par \[ \tau_{max} = \frac{M_t \cdot R}{I_p} \]. Elle provoque également une **déformation angulaire (angle de torsion)** proportionnelle au couple et à la longueur, calculée par \[ \theta = \frac{M_t \cdot L}{G \cdot I_p} \]. La **condition de résistance** assure que la pièce ne cède pas (\( \tau_{max} \le \tau_{adm} \)), tandis que la **condition de rigidité** garantit que la déformation reste dans des limites acceptables (\( \theta \le \theta_{adm} \)). La bonne conception des arbres et des pièces soumises à la torsion nécessite de satisfaire simultanément ces deux conditions. ## Flexion Simple : Définition, efforts de cohésion, moments de flexion, équations, diagrammes ### Introduction Bienvenue à cette leçon sur la flexion simple, un concept fondamental en Résistance des Matériaux (RDM). La flexion simple est l'une des sollicitations les plus courantes que subissent les éléments de structure comme les poutres. Comprendre comment une poutre se déforme et quels efforts internes elle développe sous l'effet de charges est essentiel pour concevoir des structures sûres et efficaces. Nous allons explorer ensemble la définition de la flexion simple, les efforts internes (efforts tranchants et moments fléchissants), leurs équations, et comment les représenter graphiquement à l'aide de diagrammes. ### Concepts Clés #### 1. Définition de la Flexion Simple La flexion simple est un type de sollicitation où une poutre est soumise à des forces perpendiculaires à son axe longitudinal, ou à des moments agissant dans un plan contenant cet axe. Ces sollicitations tendent à courber la poutre. Elle est dite "simple" car elle n'est pas accompagnée d'efforts normaux (traction/compression) ou de torsion. ##### Hypothèses Fondamentales (Navier-Bernoulli): * Le matériau est homogène et isotrope (mêmes propriétés dans toutes les directions). * Les déformations sont faibles (petits déplacements). * Les sections planes et perpendiculaires à la fibre moyenne avant déformation le restent après déformation et restent perpendiculaires à la fibre moyenne (hypothèse de Bernoulli). * La fibre moyenne (ou fibre neutre) ne change pas de longueur (elle n'est ni tendue ni comprimée). C'est l'axe par lequel le moment fléchissant est nul. #### 2. Efforts de Cohésion Lorsqu'une poutre est soumise à des charges externes, des efforts internes, appelés efforts de cohésion, se développent au sein du matériau pour maintenir sa cohésion. En flexion simple, nous nous intéressons principalement à deux types d'efforts internes : ##### a. L'Effort Tranchant (T) L'effort tranchant est une force interne tangentielle à la section droite de la poutre. Il mesure la tendance d'une partie de la poutre à glisser par rapport à l'autre le long de la section. Il est généralement noté \(T(x)\). * **Convention de signe :** Nous considérerons l'effort tranchant positif si la partie gauche de la section a tendance à monter et la partie droite à descendre. ##### b. Le Moment Fléchissant (M_f) Le moment fléchissant est un moment interne qui agit autour de l'axe neutre de la section. Il mesure la tendance de la poutre à fléchir. Il est généralement noté \(M_f(x)\). * **Convention de signe :** Nous considérons le moment fléchissant positif s'il tend à courber la poutre de manière à mettre les fibres inférieures en traction et les fibres supérieures en compression (ventre de la poutre vers le bas). #### 3. Relations Fondamentales entre Charges, Efforts Tranchants et Moments Fléchissants Soit \(q(x)\) la charge répartie appliquée à la poutre (positive vers le bas). * La variation de l'effort tranchant est liée à la charge répartie : \[ \frac{dT(x)}{dx} = -q(x) \] * La variation du moment fléchissant est liée à l'effort tranchant : \[ \frac{dM_f(x)}{dx} = T(x) \] * En combinant ces deux relations, on obtient : \[ \frac{d^2M_f(x)}{dx^2} = -q(x) \] Ces équations sont essentielles pour calculer et tracer les diagrammes des efforts internes le long de la poutre. #### 4. Équations de la Flexion Simple (Formule de Navier) La formule de Navier permet de calculer la contrainte normale (\(\sigma_x\)) due à la flexion en un point de la section droite. Elle met en relation le moment fléchissant, les propriétés géométriques de la section et les propriétés du matériau. * **Relation fondamentale :** \[ \frac{M_f}{I_G} = \frac{\sigma_x}{v} = \frac{E}{R} \] Où : * \(M_f\) : Moment fléchissant dans la section (en N.m). * \(I_G\) : Moment quadratique (ou moment d'inertie) de la section par rapport à l'axe neutre (en \(m^4\)). C'est une propriété géométrique qui caractérise la résistance de la section à la flexion. * \(\sigma_x\) : Contrainte normale longitudinale (en Pa ou N/\(m^2\)) au point considéré. * \(v\) : Distance entre la fibre neutre et le point où la contrainte \(\sigma_x\) est calculée (en m). * \(E\) : Module d'Young (ou module d'élasticité longitudinale) du matériau (en Pa). C'est une propriété du matériau. * \(R\) : Rayon de courbure de la fibre neutre (en m). * **Calcul de la contrainte normale :** \[ \sigma_x = \frac{M_f \cdot v}{I_G} \] La contrainte est maximale sur les fibres les plus éloignées de l'axe neutre (fibres extrêmes). #### 5. Diagrammes des Efforts Tranchants et Moments Fléchissants Les diagrammes sont des représentations graphiques de la variation des efforts tranchants et des moments fléchissants le long de la poutre. Ils sont cruciaux pour : * Identifier les sections critiques où les efforts sont maximaux. * Déterminer les dimensions nécessaires de la poutre. ##### Comment tracer les diagrammes : 1. **Réactions aux appuis :** Calculer les réactions aux appuis de la poutre en utilisant les équations d'équilibre statique. 2. **Coupes :** Effectuer des coupes imaginaires le long de la poutre, entre chaque changement de charge ou d'appui. 3. **Calcul des efforts internes :** Pour chaque tronçon, déterminer les expressions de \(T(x)\) et \(M_f(x)\) en fonction de la position \(x\). 4. **Traçage :** Représenter graphiquement \(T(x)\) et \(M_f(x)\) en respectant les conventions de signe. Les relations \(dT/dx = -q\) et \(dM_f/dx = T\) indiquent que le diagramme de T est l'intégrale (opposée) de q, et le diagramme de \(M_f\) est l'intégrale de T. La pente du diagramme \(M_f\) est donnée par la valeur de T. ### Vocabulaire * **Flexion simple :** Sollicitation d'une poutre par des forces perpendiculaires à son axe. * **Fibre neutre :** Ligne longitudinale de la poutre où les contraintes normales sont nulles en flexion. * **Effort tranchant (T) :** Force interne tangentielle à la section, mesurant le cisaillement. * **Moment fléchissant (M_f) :** Moment interne qui tend à courber la poutre. * **Moment quadratique (I_G) :** Propriété géométrique de la section caractérisant sa résistance à la flexion. * **Contrainte normale (\(\sigma_x\)) :** Force par unité de surface, perpendiculaire à la section, due à la flexion (traction ou compression). * **Module d'Young (E) :** Caractéristique du matériau mesurant sa rigidité élastique. * **Rayon de courbure (R) :** Rayon du cercle que forme la fibre neutre sous l'effet de la flexion. * **Poutre :** Élément structurel longiligne conçu pour résister à la flexion. * **Sollicitation :** Type de charge ou d'effort appliqué à une structure ou un élément. ### Exemples #### Exemple 1 : Poutre sur deux appuis avec charge ponctuelle centrale Considérons une poutre de longueur L, simplement appuyée à ses extrémités A et B, soumise à une charge ponctuelle P en son milieu (à \(x = L/2\)). 1. **Réactions aux appuis :** Par symétrie, \(R_A = R_B = P/2\). 2. **Effort tranchant :** * Pour \(0 \le x < L/2\) : \(T(x) = R_A = P/2\) * Pour \(L/2 < x \le L\) : \(T(x) = R_A - P = P/2 - P = -P/2\) Le diagramme de l'effort tranchant sera un rectangle positif puis un rectangle négatif. 3. **Moment fléchissant :** * Pour \(0 \le x < L/2\) : \(M_f(x) = R_A \cdot x = (P/2) \cdot x\) * Pour \(L/2 < x \le L\) : \(M_f(x) = R_A \cdot x - P \cdot (x - L/2) = (P/2)x - Px + PL/2 = - (P/2)x + PL/2\) Le moment fléchissant maximal est au milieu : \(M_{f,max} = (P/2) \cdot (L/2) = PL/4\). Le diagramme du moment fléchissant sera triangulaire (linéaire croissant puis linéaire décroissant). #### Exemple 2 : Poutre en porte-à-faux avec charge répartie uniforme Considérons une poutre encastrée à l'extrémité gauche (A) de longueur L, soumise à une charge répartie uniforme \(q\) sur toute sa longueur. 1. **Réactions à l'encastrement :** * Force verticale : \(R_A = q \cdot L\) * Moment d'encastrement : \(M_A = q \cdot L^2 / 2\) (négatif selon notre convention, car il tend à faire le "dos" vers le bas). 2. **Effort tranchant (en partant de l'extrémité libre à droite, \(x\) depuis A) :** * Pour \(0 \le x \le L\) : \(T(x) = R_A - q \cdot x = qL - qx = q(L-x)\) L'effort tranchant varie linéairement de \(qL\) à \(0\) (en partant de l'encastrement). 3. **Moment fléchissant :** * Pour \(0 \le x \le L\) : \(M_f(x) = M_A + R_A \cdot x - q \cdot x^2 / 2 = -qL^2/2 + qLx - qx^2/2 = -q(x-L)^2/2\) Le moment fléchissant est nul à l'extrémité libre et maximal (en valeur absolue) à l'encastrement, égal à \(-qL^2/2\). Son diagramme est parabolique. ### Exercices 1. Une poutre de 4m de long est simplement appuyée à ses extrémités A et B. Elle est soumise à une charge ponctuelle de 10 kN située à 1m de l'appui A. * Calculez les réactions aux appuis A et B. * Tracez les diagrammes de l'effort tranchant et du moment fléchissant. * Déterminez la valeur du moment fléchissant maximal. 2. Une poutre en porte-à-faux de 3m de long est encastrée à l'extrémité A et libre à l'extrémité B. Elle supporte une charge répartie uniforme de 2 kN/m sur toute sa longueur. * Calculez les réactions à l'encastrement (force et moment). * Tracez les diagrammes de l'effort tranchant et du moment fléchissant. * Où se situe la contrainte normale maximale si la section est rectangulaire ? ### Devoir à la maison 1. Une poutre de 6m de long est appuyée en A (appui simple) et en B (appui à rouleau) à 4m de A. Elle est soumise à : * Une charge ponctuelle de 20 kN à 2m de A. * Une charge répartie uniforme de 5 kN/m sur le tronçon de 4m entre A et B. * Un moment concentré de 10 kN.m à l'extrémité libre à 6m de A. * Tracez les diagrammes de l'effort tranchant et du moment fléchissant. * Identifiez toutes les valeurs extrêmes des efforts internes. 2. Pour la poutre de l'exercice 1 (devoir), si la section transversale est un rectangle de hauteur \(h = 200 mm\) et de largeur \(b = 100 mm\). * Calculez le moment quadratique \(I_G\) par rapport à l'axe neutre (pour un rectangle, \(I_G = b \cdot h^3 / 12\)). * Calculez la contrainte normale maximale subie par la poutre. ### Résumé La flexion simple est une sollicitation clé en mécanique des matériaux. Elle implique la courbure d'une poutre sous l'effet de forces perpendiculaires. Nous avons vu que des efforts internes, l'effort tranchant (T) et le moment fléchissant (Mf), se développent pour résister à ces charges. Les relations \(dT/dx = -q\) et \(dM_f/dx = T\) sont fondamentales pour déterminer ces efforts. La formule de Navier, \(\sigma_x = (M_f \cdot v) / I_G\), nous permet de calculer les contraintes normales générées. Enfin, la maîtrise des diagrammes d'efforts tranchants et de moments fléchissants est essentielle pour l'analyse et la conception des structures, permettant d'identifier les zones les plus sollicitées et de garantir la sécurité des ouvrages. Poursuivez la pratique avec les exercices pour solidifier vos connaissances. ## Flexion Simple : Contraintes, déformations, condition de résistance ### Introduction Bienvenue à cette leçon sur la flexion simple, un concept fondamental en résistance des matériaux. La flexion simple est l'une des sollicitations les plus courantes que subissent les structures, comme les poutres des bâtiments ou les bras d'une grue. Comprendre comment un élément se déforme et quelles contraintes internes apparaissent sous l'effet de la flexion est crucial pour concevoir des structures sûres et efficaces. Dans ce cours, nous allons explorer les contraintes et les déformations associées à la flexion simple, et nous verrons comment appliquer la condition de résistance pour assurer la robustesse de nos conceptions. ### Concepts Clés #### 1. Qu'est-ce que la Flexion Simple ? La flexion simple est un type de sollicitation où une poutre est soumise à des forces perpendiculaires à son axe longitudinal, provoquant un phénomène de courbure. Imaginez une règle que vous pliez : c'est de la flexion simple. Les sections transversales de la poutre (avant déformation, planes et perpendiculaires à la ligne moyenne) restent planes et perpendiculaires à la ligne moyenne déformée après la flexion (hypothèse de Bernoulli). #### 2. Efforts Internes Lorsqu'une poutre est en flexion, deux types d'efforts internes principaux agissent dans sa section : * **L'Effort Tranchant (T ou \( V \))** : C'est une force qui tend à cisailler la poutre, agissant perpendiculairement à la section. Il est présent mais n'est pas la cause directe de la courbure dans la flexion pure (où il serait nul). * **Le Moment Fléchissant (Mf ou \( M_f \))** : C'est le moment qui provoque la courbure de la poutre. Il est calculé par rapport à l'axe neutre de la section. #### 3. Contraintes Normales en Flexion Simple La flexion simple génère des contraintes normales (perpendiculaires à la section) qui varient le long de la hauteur de la section transversale : * **Contrainte de Tension (Traction)** : Les fibres situées d'un côté de la poutre (par exemple, le dessous d'une poutre horizontale fléchie vers le bas) sont étirées et sont donc en traction. * **Contrainte de Compression** : Les fibres situées de l'autre côté de la poutre (le dessus dans le même exemple) sont raccourcies et sont donc en compression. ##### Formule de la Contrainte Normale (ou Contrainte de Flexion) La contrainte normale \( \sigma \) en un point de la section est donnée par la formule : \[ \sigma = \frac{M_f}{I_z} y \] Où : * \( \sigma \) est la contrainte normale (en Pascals, Pa). * \( M_f \) est le moment fléchissant (en Newton-mètres, N.m). * \( I_z \) est le moment quadratique de la section par rapport à l'axe neutre \( z \) (en \( m^4 \)). Il caractérise la résistance géométrique de la section à la flexion. * \( y \) est la distance entre le point considéré et l'axe neutre (en mètres, m). La contrainte maximale \( \sigma_{max} \) se situe aux fibres les plus éloignées de l'axe neutre, c'est-à-dire là où \( y \) est maximal (noté \( y_{max} \)). #### 4. La Fibre Neutre et l'Axe Neutre Au centre de la poutre, entre la zone en traction et la zone en compression, il existe une ligne où les fibres ne sont ni étirées ni raccourcies. Cette ligne est appelée la **fibre neutre**. L'axe qui représente cette fibre dans la section transversale est l'**axe neutre**. En flexion simple, l'axe neutre passe par le centre de gravité de la section. #### 5. Moment Quadratique (\( I_z \)) Le moment quadratique, aussi appelé moment d'inertie de la section, est une caractéristique géométrique fondamentale qui exprime la répartition de la matière par rapport à un axe donné. Plus \( I_z \) est grand, plus la poutre est résistante à la flexion pour un matériau donné. ##### Exemples de Moments Quadratiques : * **Section Rectangulaire (base b, hauteur h)** : Pour l'axe passant par le centre de gravité et parallèle à la base : \[ I_z = \frac{b h^3}{12} \] * **Section Circulaire (diamètre D)** : Pour l'axe passant par le centre de gravité : \[ I_z = \frac{\pi D^4}{64} \] #### 6. Module de Résistance à la Flexion (\( W_{fz} \)) Pour simplifier le calcul de la contrainte maximale, on utilise souvent le module de résistance à la flexion, défini comme : \[ W_{fz} = \frac{I_z}{y_{max}} \] Où \( y_{max} \) est la distance maximale entre l'axe neutre et les fibres extrêmes de la section. La contrainte maximale devient alors : \[ \sigma_{max} = \frac{M_{fmax}}{W_{fz}} \] #### 7. Déformations Normales (\( \epsilon \)) Les contraintes normales provoquent des déformations normales. La relation entre contrainte et déformation est donnée par la Loi de Hooke, pour un comportement élastique : \[ \sigma = E \epsilon \] Où : * \( E \) est le module d'Young (ou module d'élasticité longitudinale) du matériau (en Pa). * \( \epsilon \) est la déformation normale (sans unité). #### 8. Condition de Résistance en Flexion Simple Pour qu'une poutre résiste à la flexion sans défaillance (plastification ou rupture), la contrainte maximale calculée ne doit pas dépasser une certaine valeur limite, appelée **résistance pratique du matériau (\( R_p \))**. Cette valeur tient compte de la limite élastique du matériau (\( R_e \)) et d'un coefficient de sécurité (\( s \)). \[ \sigma_{max} \le R_p \] Souvent, \( R_p = \frac{R_e}{s} \). En remplaçant \( \sigma_{max} \) par sa formule, on obtient la condition de résistance : \[ \frac{M_{fmax}}{W_{fz}} \le R_p \] Cette condition permet de vérifier la section d'une poutre ou de dimensionner une section pour un effort donné. ### Vocabulaire Clé * **Flexion Simple** : Sollicitation où un élément est soumis à des moments qui le font plier sans torsion ni effort normal. * **Contrainte Normale (\( \sigma \))** : Force par unité de surface agissant perpendiculairement à une section, causée par la flexion (traction ou compression). * **Déformation Normale (\( \epsilon \))** : Allongement ou raccourcissement relatif d'une fibre, sans unité. * **Fibre Neutre** : Fibre longitudinale de la poutre qui ne subit ni allongement ni raccourcissement (donc \( \sigma = 0 \) et \( \epsilon = 0 \)). * **Axe Neutre** : Ligne d'intersection de la fibre neutre avec une section transversale, passant par le centre de gravité de la section. * **Moment Fléchissant (\( M_f \))** : Moment interne qui tend à faire fléchir la poutre. * **Effort Tranchant (T)** : Force interne qui tend à cisailler la poutre. * **Moment Quadratique (\( I_z \))** : Caractéristique géométrique de la section transversale qui mesure sa capacité à résister à la flexion (aussi appelé moment d'inertie de la section). * **Module de Résistance à la Flexion (\( W_{fz} \))** : Rapport du moment quadratique à la distance de la fibre la plus éloignée de l'axe neutre (\( W_{fz} = I_z / y_{max} \)), utilisé pour calculer la contrainte maximale. * **Résistance Pratique (\( R_p \))** : Contrainte admissible maximale qu'un matériau peut supporter en service, calculée à partir de la limite élastique et d'un coefficient de sécurité. * **Limite Élastique (\( R_e \))** : Contrainte maximale qu'un matériau peut supporter avant de subir des déformations permanentes. * **Coefficient de Sécurité (s)** : Facteur appliqué à la limite élastique ou à la résistance à la rupture pour garantir la sécurité de la structure. ### Exemples Pratiques #### Exemple 1 : Calcul de la Contrainte Maximale dans une Poutre Rectangulaire Une poutre en acier de section rectangulaire (base \( b = 50 \) mm, hauteur \( h = 100 \) mm) est soumise à un moment fléchissant maximal \( M_{fmax} = 10 \) kN.m. 1. **Calculer le moment quadratique \( I_z \) :** \( b = 0.05 \) m, \( h = 0.1 \) m \[ I_z = \frac{b h^3}{12} = \frac{0.05 \times (0.1)^3}{12} = \frac{0.05 \times 0.001}{12} = \frac{0.00005}{12} \approx 4.167 \times 10^{-6} \ m^4 \] 2. **Calculer le module de résistance à la flexion \( W_{fz} \) :** \( y_{max} = h/2 = 0.1 / 2 = 0.05 \) m \[ W_{fz} = \frac{I_z}{y_{max}} = \frac{4.167 \times 10^{-6}}{0.05} \approx 8.334 \times 10^{-5} \ m^3 \] 3. **Calculer la contrainte maximale \( \sigma_{max} \) :** \( M_{fmax} = 10 \) kN.m \( = 10000 \) N.m \[ \sigma_{max} = \frac{M_{fmax}}{W_{fz}} = \frac{10000}{8.334 \times 10^{-5}} \approx 120 \times 10^6 \ Pa = 120 \ MPa \] La contrainte maximale dans la poutre est d'environ 120 MPa. #### Exemple 2 : Vérification de la Condition de Résistance Si l'acier de l'exemple 1 a une limite élastique \( R_e = 240 \) MPa et qu'un coefficient de sécurité \( s = 1.5 \) est requis, la poutre est-elle sûre ? 1. **Calculer la résistance pratique \( R_p \) :** \[ R_p = \frac{R_e}{s} = \frac{240 \ MPa}{1.5} = 160 \ MPa \] 2. **Comparer \( \sigma_{max} \) à \( R_p \) :** Nous avons trouvé \( \sigma_{max} = 120 \) MPa. Puisque \( 120 \ MPa \le 160 \ MPa \), la condition de résistance est respectée. La poutre est considérée comme sûre sous cette charge. ### Exercices 1. Définissez ce qu'est la fibre neutre dans une poutre en flexion simple. 2. Expliquez la différence entre contrainte de traction et contrainte de compression en flexion simple. 3. Une poutre de section carrée de côté 40 mm est soumise à un moment fléchissant de 2 kN.m. Calculez son moment quadratique \( I_z \) et le module de résistance à la flexion \( W_{fz} \). 4. En utilisant les résultats de l'exercice 3, calculez la contrainte maximale \( \sigma_{max} \) dans la poutre. 5. Si le matériau de la poutre de l'exercice 3 a une résistance pratique \( R_p = 180 \) MPa, la poutre résiste-t-elle à la charge ? ### Devoirs 1. Une poutre en bois de section rectangulaire (base 10 cm, hauteur 20 cm) doit supporter un moment fléchissant maximal de 5 kN.m. Le bois a une limite élastique de 40 MPa. Avec un coefficient de sécurité de 2, vérifiez si la section est suffisante. 2. Recherchez et décrivez comment le moment fléchissant et l'effort tranchant varient le long d'une poutre simplement appuyée avec une charge ponctuelle en son milieu. Vous pouvez faire un schéma des diagrammes des efforts internes. 3. Pour un profilé en I (couramment utilisé en construction), expliquez pourquoi son moment quadratique est généralement plus élevé qu'une section rectangulaire de même surface. ### Résumé La flexion simple est une sollicitation fondamentale qui génère des contraintes normales (traction et compression) et des déformations dans les structures. La **fibre neutre** est la ligne de la section où les contraintes et déformations sont nulles. La contrainte maximale \( \sigma_{max} \) est proportionnelle au **moment fléchissant** (\( M_f \)) et inversement proportionnelle au **module de résistance à la flexion** (\( W_{fz} \)), qui dépend du **moment quadratique** (\( I_z \)) de la section. Pour qu'une poutre résiste, sa contrainte maximale ne doit pas dépasser la **résistance pratique** (\( R_p \)) du matériau, assurant ainsi la sécurité et l'intégrité de la structure. La maîtrise de ces concepts est essentielle pour toute conception en mécanique appliquée.