Cisaillement dans une poutre fléchie

# Cisaillement dans une poutre fléchie ## Cisaillement longitudinal et transversal ### Introduction Bienvenue à cette leçon sur le cisaillement longitudinal et transversal dans une poutre fléchie. Lorsque l'on étudie la flexion des poutres, on se concentre souvent sur les contraintes normales (traction/compression) générées par le moment de flexion. Cependant, en réalité, les poutres sont également soumises à des efforts tranchants qui induisent des contraintes de cisaillement. Ces contraintes sont cruciales pour comprendre le comportement complet d'une poutre et pour éviter la rupture par cisaillement. Nous allons explorer comment ces contraintes apparaissent, comment elles sont distribuées et comment les calculer. ### Concepts Clés #### Rappel sur la Flexion Simple En flexion pure (sans effort tranchant), une poutre est soumise à un moment de flexion \( M_f \) qui crée des contraintes normales \( \sigma_x \) (contraintes de traction et de compression) données par la formule de Navier: \[ \sigma_x = -\frac{M_f \cdot y}{I_z} \] Où: * \( M_f \) est le moment de flexion. * \( y \) est la distance à l'axe neutre. * \( I_z \) est le moment d'inertie quadratique de la section par rapport à l'axe neutre. En revanche, dans une poutre réelle, des charges transversales génèrent non seulement un moment de flexion mais aussi un effort tranchant. #### Effort Tranchant (Transversal) L'effort tranchant, souvent noté \( V_y \) ou \( T \), est la résultante des forces extérieures transversales à la poutre, agissant sur une section donnée. Il représente la tendance d'une partie de la poutre à glisser par rapport à l'autre. Il varie le long de la poutre et est calculé à partir de l'équilibre des forces. #### Contraintes de Cisaillement Transversales L'effort tranchant \( V_y \) induit des contraintes de cisaillement \( \tau \) dans la section de la poutre. Contrairement aux contraintes normales qui sont maximales aux fibres extrêmes, les contraintes de cisaillement sont généralement nulles aux fibres extrêmes et maximales au niveau de l'axe neutre (pour une section rectangulaire ou en I). La distribution des contraintes de cisaillement \( \tau \) dans une section est donnée par la formule de Jourawski: \[ \tau = \frac{V_y \cdot S_z(y)}{I_z \cdot b(y)} \] Où: * \( V_y \) est l'effort tranchant agissant sur la section. * \( S_z(y) \) est le moment statique (premier moment de l'aire) de la partie de la section située au-dessus (ou en dessous) du point où l'on calcule \( \tau \), par rapport à l'axe neutre. * \( I_z \) est le moment d'inertie quadratique total de la section par rapport à l'axe neutre. * \( b(y) \) est la largeur de la section à la distance \( y \) de l'axe neutre. ##### Distribution typique des contraintes de cisaillement: * **Section rectangulaire:** La distribution est parabolique, avec un maximum à l'axe neutre et nulle aux bords supérieurs et inférieurs. \[ \tau_{max} = \frac{3}{2} \frac{V_y}{A} \] pour une section rectangulaire d'aire \( A \). * **Section en I:** La contrainte de cisaillement est maximale dans l'âme (web) près de l'axe neutre et faible dans les semelles (flanges). #### Contraintes de Cisaillement Longitudinales (Complémentarité) Un principe fondamental de la mécanique des milieux continus est que si une contrainte de cisaillement \( \tau_{xy} \) existe sur un plan (ici, transversal), alors une contrainte de cisaillement de même intensité \( \tau_{yx} \) doit exister sur le plan perpendiculaire (ici, longitudinal). C'est le principe de la complémentarité des contraintes de cisaillement. Imaginez une poutre composée de plusieurs planches non collées : lorsque la poutre fléchit, les planches glissent les unes sur les autres. Ce glissement est dû aux contraintes de cisaillement longitudinales. Si les planches sont collées ou solidaires, ce sont les contraintes de cisaillement longitudinales qui empêchent ce glissement. La formule de Jourawski s'applique indifféremment pour calculer \( \tau_{xy} \) ou \( \tau_{yx} \), car elles sont égales. #### Calcul du Moment Statique \( S_z(y) \) Le moment statique \( S_z(y) \) est un élément clé de la formule de Jourawski. Pour le calculer pour une fibre située à une distance \( y \) de l'axe neutre, on considère l'aire \( A' \) de la section située au-delà de cette fibre (plus loin de l'axe neutre) et on multiplie cette aire par la distance \( \bar{y'} \) entre son propre centre de gravité et l'axe neutre de la section totale: \[ S_z(y) = A' \cdot \bar{y'} \] ### Vocabulaire * **Cisaillement:** État de contrainte où les forces tendent à faire glisser une partie du matériau par rapport à une autre. * **Effort tranchant (\( V_y \) ou \( T \)):** Somme des forces transversales agissant sur une section de poutre. * **Contrainte de cisaillement (\( \tau \)):** Force de cisaillement par unité de surface. * **Poutre fléchie:** Élément structurel soumis principalement à la flexion. * **Axe neutre:** Axe de la section où les contraintes normales sont nulles en flexion. * **Moment statique (\( S_z \)):** Mesure de la distribution de l'aire d'une surface par rapport à un axe; utilisé dans la formule de Jourawski. * **Moment d'inertie quadratique (\( I_z \)):** Propriété géométrique de la section qui indique sa résistance à la flexion. * **Complémentarité des contraintes de cisaillement:** Principe selon lequel les contraintes de cisaillement sur des plans perpendiculaires sont égales en intensité. ### Exemples #### Exemple 1: Contrainte de cisaillement maximale dans une section rectangulaire Considérons une poutre en bois de section rectangulaire de largeur \( b = 100 \) mm et de hauteur \( h = 200 \) mm. Elle est soumise à un effort tranchant \( V_y = 10 \) kN. 1. **Calcul de l'aire:** \( A = b \cdot h = 100 \cdot 200 = 20000 \) mm\(^2\). 2. **Calcul du moment d'inertie quadratique:** \( I_z = \frac{b \cdot h^3}{12} = \frac{100 \cdot (200)^3}{12} = 66.67 \times 10^6 \) mm\(^4\). 3. **Calcul du moment statique \( S_z \) à l'axe neutre:** Pour une section rectangulaire, le moment statique de la demi-section supérieure par rapport à l'axe neutre est \( S_z = A' \cdot \bar{y'} \). Ici, \( A' = b \cdot (h/2) = 100 \cdot 100 = 10000 \) mm\(^2\) et \( \bar{y'} = h/4 = 200/4 = 50 \) mm. Donc, \( S_z = 10000 \cdot 50 = 500 \times 10^3 \) mm\(^3\). 4. **Calcul de la contrainte de cisaillement maximale (à l'axe neutre):** La largeur à l'axe neutre est \( b(y) = b = 100 \) mm. \[ \tau_{max} = \frac{V_y \cdot S_z}{I_z \cdot b} = \frac{(10 \times 10^3 \text{ N}) \cdot (500 \times 10^3 \text{ mm}^3)}{(66.67 \times 10^6 \text{ mm}^4) \cdot (100 \text{ mm})} = 0.75 \text{ N/mm}^2 = 0.75 \text{ MPa} \] #### Exemple 2: Distribution des contraintes de cisaillement En utilisant les valeurs de l'Exemple 1, on peut tracer la distribution parabolique. Aux fibres extrêmes \( (y = \pm h/2) \), \( S_z(y) = 0 \), donc \( \tau = 0 \). À l'axe neutre \( (y=0) \), \( \tau \) est maximale. ### Exercices 1. Décrivez avec vos propres mots la différence entre une contrainte normale et une contrainte de cisaillement dans une poutre. Quand chacune est-elle la plus importante ? 2. Pour une poutre de section rectangulaire, dessinez schématiquement la distribution des contraintes de cisaillement transversales sur la hauteur de la section. Indiquez où se trouvent les valeurs maximales et minimales. 3. Une poutre en acier a une section carrée de côté \( a = 50 \) mm. Elle est soumise à un effort tranchant \( V_y = 5 \) kN. Calculez la contrainte de cisaillement maximale \( \tau_{max} \) dans la section. Rappel: \( I_z = a^4/12 \) pour un carré. ### Devoirs 1. Une poutre en I est soumise à un effort tranchant \( V_y = 20 \) kN. Ses dimensions sont les suivantes: Hauteur totale \( H = 250 \) mm, largeur des semelles \( B = 150 \) mm, épaisseur des semelles \( t_f = 10 \) mm, épaisseur de l'âme \( t_w = 8 \) mm. Calculez le moment d'inertie \( I_z \) et estimez la contrainte de cisaillement maximale dans l'âme (au niveau de l'axe neutre) en utilisant la formule de Jourawski. Expliquez pourquoi la contrainte dans les semelles est généralement ignorée dans le calcul de cisaillement pour les profilés en I. 2. Recherchez et expliquez un exemple concret où les contraintes de cisaillement sont un facteur critique dans la conception d'une structure (par exemple, un raccord boulonné, une jonction soudée, ou une rupture d'âme de poutre). ### Résumé Pour conclure, il est essentiel de comprendre que les poutres soumises à la flexion sont non seulement affectées par des contraintes normales de traction et de compression, mais aussi par des contraintes de cisaillement, tant transversales que longitudinales. L'effort tranchant, résultant des charges transversales, est la source de ces contraintes de cisaillement. La formule de Jourawski est l'outil principal pour calculer la distribution de ces contraintes sur la section d'une poutre. Nous avons vu que les contraintes de cisaillement sont nulles aux fibres extrêmes et maximales généralement à l'axe neutre pour des sections courantes. Enfin, le principe de la complémentarité des contraintes de cisaillement nous rappelle que les contraintes transversales et longitudinales sont intrinsèquement liées. La bonne compréhension et le calcul de ces contraintes sont fondamentaux pour assurer la sécurité et l'intégrité des structures. ## Effort de glissement longitudinal ### Introduction Dans le domaine de la mécanique appliquée, et plus particulièrement dans l'étude des poutres soumises à la flexion, nous avons vu que des contraintes normales apparaissent sur les sections transversales. Cependant, les poutres sont aussi soumises à un effort tranchant, qui génère des contraintes de cisaillement. Lorsque cet effort tranchant varie le long de la poutre, il provoque un déséquilibre des contraintes normales, entraînant un effort de glissement sur les plans longitudinaux de la poutre. C'est ce phénomène que nous allons explorer, crucial pour comprendre la résistance des matériaux et le dimensionnement des structures. ### Concepts Clés #### 1. Rappel des Contraintes Normales de Flexion Lorsqu'une poutre est soumise à un moment de flexion \( M_f \), des contraintes normales \( \sigma_x \) sont générées dans la section transversale. Ces contraintes varient linéairement avec la distance \( y \) par rapport à l'axe neutre de la section (où \( y=0 \)) et sont données par la formule de Navier-Bernoulli : \[ \sigma_x = \frac{M_f \, y}{I_z} \] Où : * \( \sigma_x \) est la contrainte normale longitudinale. * \( M_f \) est le moment de flexion agissant sur la section. * \( y \) est la distance de la fibre considérée à l'axe neutre. * \( I_z \) est le moment quadratique (ou moment d'inertie) de la section par rapport à l'axe neutre. #### 2. L'Origine du Cisaillement Longitudinal Considérons un petit tronçon de poutre de longueur \( dx \). Si le moment de flexion \( M_f \) n'est pas constant le long de la poutre (ce qui est le cas lorsqu'il y a un effort tranchant), alors \( M_f \) varie de \( M_f \) à \( M_f + dM_f \) sur la longueur \( dx \). Cette variation du moment de flexion entraîne une variation des contraintes normales \( \sigma_x \) sur la longueur \( dx \). En coupant ce tronçon à une certaine hauteur \( y \) de l'axe neutre, nous pouvons isoler une petite partie supérieure (ou inférieure). Les forces normales résultantes sur les faces droite et gauche de ce petit élément, dues aux contraintes \( \sigma_x \), ne seront plus égales. Pour que l'équilibre de cette petite partie soit maintenu, une contrainte de cisaillement doit se développer sur le plan longitudinal (horizontal) de la coupe. C'est cet effort que l'on nomme **effort de glissement longitudinal**. #### 3. La Formule de Jouravsky (Contrainte de Cisaillement Longitudinal) Pour quantifier cette contrainte de cisaillement \( \tau_{xy} \) (souvent notée simplement \( \tau \) pour le cisaillement longitudinal), on utilise la formule de Jouravsky (ou formule du cisaillement transverse): \[ \tau = \frac{V_y \, S_z^*}{I_z \, b} \] Où : * \( \tau \) est la contrainte de cisaillement longitudinale au point considéré. * \( V_y \) est l'effort tranchant vertical agissant sur la section transversale à l'emplacement où l'on calcule \( \tau \). * \( S_z^* \) est le moment statique de la **partie de la section située au-dessus (ou au-dessous) du point où l'on calcule \( \tau \)**, par rapport à l'axe neutre de la section totale. Ce moment statique est donné par \( S_z^* = \int_A y \, dA \), où \( A \) est l'aire de la partie considérée. * \( I_z \) est le moment quadratique de la **section entière** par rapport à l'axe neutre. * \( b \) est la largeur de la section à la hauteur où l'on calcule \( \tau \). **Points importants concernant la formule de Jouravsky :** * La contrainte de cisaillement longitudinale est directement proportionnelle à l'effort tranchant \( V_y \). * Elle est maximale là où \( S_z^* / b \) est maximal. Pour une section rectangulaire, le maximum se situe à l'axe neutre. * Elle est nulle aux fibres extrêmes (supérieure et inférieure) de la poutre, car \( S_z^* \) y est nul (il n'y a pas d'aire au-dessus ou en dessous). #### 4. Distribution des Contraintes de Cisaillement La distribution des contraintes de cisaillement longitudinales \( \tau \) sur une section transversale est typiquement parabolique pour une section rectangulaire, et non linéaire pour d'autres formes. Le maximum est toujours atteint à l'axe neutre. * **Pour une section rectangulaire de hauteur \( h \) et de largeur \( b \) :** * \( I_z = \frac{b h^3}{12} \) * Le moment statique \( S_z^* \) pour une section coupée à une distance \( y \) de l'axe neutre est : \( S_z^* = b \left( \frac{h}{2} - y \right) \left( \frac{\frac{h}{2} + y}{2} \right) = \frac{b}{2} \left( \left( \frac{h}{2} \right)^2 - y^2 \right) \) * En substituant dans la formule de Jouravsky, on obtient une distribution parabolique, avec un maximum à \( y=0 \) (axe neutre). #### 5. Conséquences Pratiques Le cisaillement longitudinal est une considération essentielle dans la conception des poutres, en particulier pour : * **Les poutres en bois laminé-collé ou les matériaux composites :** Des efforts de cisaillement trop élevés peuvent provoquer le délaminage (séparation des couches). * **Les poutres composées (avec des âmes et des semelles soudées ou boulonnées) :** Les connexions entre les différentes parties doivent être conçues pour résister à ces efforts de glissement. * **Les poutres courtes et épaisses :** L'effort tranchant devient prédominant par rapport à la flexion. ### Vocabulaire * **Effort tranchant (\( V_y \)) :** Force interne agissant perpendiculairement à l'axe longitudinal d'une poutre, tendant à cisailler la section. * **Moment de flexion (\( M_f \)) :** Moment interne agissant sur une section d'une poutre, tendant à la faire fléchir. * **Contrainte normale (\( \sigma_x \)) :** Force par unité de surface agissant perpendiculairement à une section, tendant à allonger ou raccourcir le matériau. * **Contrainte de cisaillement (\( \tau \)) :** Force par unité de surface agissant parallèlement à une section, tendant à la déformer par glissement. * **Axe neutre :** Axe de la section transversale d'une poutre où les contraintes normales de flexion sont nulles. * **Moment statique (\( S_z^* \)) :** Propriété géométrique d'une aire par rapport à un axe, représentant la somme des produits de chaque élément d'aire par sa distance à l'axe. * **Moment d'inertie (\( I_z \)) :** Propriété géométrique d'une section qui caractérise sa résistance à la flexion autour d'un axe. * **Délaminage :** Séparation des couches dans un matériau stratifié, souvent due à des contraintes de cisaillement inter-couches excessives. ### Exemples #### Exemple 1 : Calcul de la contrainte de cisaillement maximale dans une poutre rectangulaire Considérons une poutre en bois de section rectangulaire de largeur \( b = 100 \) mm et de hauteur \( h = 200 \) mm. Elle est soumise à un effort tranchant maximal \( V_y = 10 \) kN. Calculez la contrainte de cisaillement maximale \( \tau_{max} \) et l'emplacement où elle se produit. **Données :** * \( b = 0.1 \) m * \( h = 0.2 \) m * \( V_y = 10 \) kN \( = 10 \times 10^3 \) N **1. Calcul du moment d'inertie \( I_z \) :** \[ I_z = \frac{b h^3}{12} = \frac{0.1 \times (0.2)^3}{12} = \frac{0.1 \times 0.008}{12} = \frac{0.0008}{12} \approx 6.67 \times 10^{-5} \, m^4 \] **2. Détermination de l'emplacement du \( \tau_{max} \) :** Pour une section rectangulaire, \( \tau_{max} \) se produit à l'axe neutre (\( y=0 \)). **3. Calcul du moment statique \( S_z^* \) à l'axe neutre :** La partie de la section au-dessus de l'axe neutre est un rectangle de largeur \( b \) et de hauteur \( h/2 \). Son centre de gravité est à \( h/4 \) de l'axe neutre. \[ S_z^* = A \, \bar{y} = (b \times h/2) \times (h/4) = \frac{b h^2}{8} \] \[ S_z^* = \frac{0.1 \times (0.2)^2}{8} = \frac{0.1 \times 0.04}{8} = \frac{0.004}{8} = 0.0005 \, m^3 \] **4. Calcul de \( \tau_{max} \) :** \[ \tau_{max} = \frac{V_y \, S_z^*}{I_z \, b} = \frac{10 \times 10^3 \times 0.0005}{6.67 \times 10^{-5} \times 0.1} = \frac{5}{6.67 \times 10^{-6}} \approx 749.6 \times 10^3 \, Pa \approx 0.75 \, MPa \] La contrainte de cisaillement maximale est d'environ \( 0.75 \) MPa et se situe à l'axe neutre de la poutre. ### Exercices 1. Définissez l'effort de glissement longitudinal et expliquez pourquoi il apparaît dans une poutre fléchie. 2. Énoncez la formule de Jouravsky et identifiez chacun de ses termes. 3. Où se situe la contrainte de cisaillement longitudinale maximale dans une section rectangulaire ? Justifiez votre réponse. 4. Une poutre en acier a une section carrée de \( 50 \) mm de côté. Si elle est soumise à un effort tranchant de \( 5 \) kN, calculez la contrainte de cisaillement à l'axe neutre. ### Devoir à la maison 1. Considérez une poutre de section en I avec une hauteur totale de \( 300 \) mm, une largeur de semelle de \( 150 \) mm (épaisseur \( 10 \) mm) et une âme de \( 8 \) mm d'épaisseur. Si l'effort tranchant est de \( 20 \) kN : a. Calculez le moment d'inertie \( I_z \) de la section totale. b. Calculez la contrainte de cisaillement à la jonction entre l'âme et la semelle (juste au-dessus de l'âme). c. Calculez la contrainte de cisaillement à l'axe neutre. d. Représentez schématiquement la distribution des contraintes de cisaillement sur la hauteur de la section en I. 2. Recherchez les spécifications de résistance au cisaillement longitudinal pour le bois lamellé-collé. Expliquez en quoi la formule de Jouravsky est pertinente pour la conception de ces matériaux. ### Résumé L'effort de glissement longitudinal est une contrainte de cisaillement qui se développe sur les plans parallèles à l'axe d'une poutre soumise à la flexion. Il est causé par la variation des contraintes normales de flexion le long de la poutre, qui elles-mêmes sont liées à la variation du moment de flexion. La formule de Jouravsky (\( \tau = \frac{V_y \, S_z^*}{I_z \, b} \)) permet de calculer cette contrainte, qui est maximale à l'axe neutre et nulle aux fibres extrêmes. Sa compréhension est fondamentale pour le dimensionnement sécuritaire des poutres et des assemblages, en particulier pour prévenir le délaminage dans les matériaux composites ou la rupture des liaisons dans les sections composées.