Hypothesis Testing

# Hypothesis Testing ## Objectifs et prérequis **Objectifs** : À la fin de ce chapitre, l'étudiant sera capable de : - Formuler des hypothèses nulles et alternatives appropriées pour un problème statistique donné. - Différencier les tests unilatéraux et bilatéraux et choisir celui adapté au contexte. - Déterminer le niveau de signification et interpréter sa relation avec la probabilité d'erreur de type I. - Calculer la statistique de test appropriée selon la nature des données et l'hypothèse testée. - Définir la région critique et déterminer les valeurs critiques à partir des lois de probabilité connues. - Identifier et distinguer les erreurs de type I et de type II, et comprendre leur compromis. - Appliquer la procédure complète de test d'hypothèses étape par étape. - Réaliser un test d'hypothèses pour la moyenne d'une population (variance connue ou inconnue, grand échantillon). - Réaliser un test de signification pour la différence entre deux moyennes de populations indépendantes (grands échantillons). - Interpréter les résultats dans un contexte pratique et tirer des conclusions statistiques valides. **Prérequis** : Maîtrise des notions suivantes : - Statistiques descriptives (moyenne, variance, écart-type). - Lois de probabilité : loi normale centrée réduite, loi de Student, théorème du limite central. - Estimation par intervalles (intervalles de confiance). - Notions de variable aléatoire, espérance, variance. - Notation statistique : $\mu$, $\sigma$, $\bar{x}$, $s$, $n$, $\alpha$, $\beta$. --- ## I. Introduction to Hypothesis Testing/Types of Statistical Hypotheses Le test d'hypothèses est une procédure statistique permettant de prendre une décision concernant un paramètre de population à partir d'un échantillon. Il repose sur la confrontation de deux affirmations mutuellement exclusives : l'hypothèse nulle ($H_0$) et l'hypothèse alternative ($H_1$ ou $H_a$). > **Définition** : L'hypothèse nulle ($H_0$) est une affirmation selon laquelle il n'y a pas d'effet, pas de différence ou pas de relation dans la population étudiée. Elle est toujours formulée avec une égalité ou une inégalité non stricte ($\leq$, $\geq$, $=$). > **Définition** : L'hypothèse alternative ($H_1$) est l'affirmation que l'on cherche à prouver ; elle représente l'effet, la différence ou la relation que l'on suspecte exister dans la population. Elle ne contient jamais d'égalité seule. ### Types d'hypothèses statistiques Selon la nature de l'affirmation à tester, on distingue trois formes possibles pour $H_1$ : | Type de test | $H_0$ | $H_1$ | Objectif | |--------------|-------|-------|----------| | Bilatéral | $\mu = \mu_0$ | $\mu \neq \mu_0$ | Détecter toute différence significative (en hausse ou en baisse) | | Unilatéral à droite | $\mu \leq \mu_0$ | $\mu > \mu_0$ | Détecter une augmentation significative | | Unilatéral à gauche | $\mu \geq \mu_0$ | $\mu < \mu_0$ | Détecter une diminution significative | > **Règle** : Le choix entre test unilatéral et bilatéral dépend entièrement de la formulation de la question de recherche ou du problème pratique. On ne choisit jamais un test unilatéral après avoir vu les données. ### Exemple résolu 1 Un fabricant affirme que la durée de vie moyenne de ses ampoules est de 1000 heures. Un consommateur soupçonne qu'elle est en réalité inférieure. Formuler $H_0$ et $H_1$. **Solution** : - $H_0 : \mu = 1000$ (la durée de vie moyenne est de 1000 heures) - $H_1 : \mu < 1000$ (la durée de vie moyenne est inférieure à 1000 heures) → test unilatéral à gauche. ### Exercices d'application corrigés **Exercice 1** : Une école prétend que ses élèves obtiennent en moyenne au moins 75/100 en mathématiques. Un inspecteur veut vérifier si cette affirmation est trop optimiste. Formuler $H_0$ et $H_1$. **Correction** : - L'affirmation de l'école : $\mu \geq 75$ - Pour tester si elle est "trop optimiste", on cherche à prouver que la moyenne est réellement < 75. - Donc : $H_0 : \mu \geq 75$, $H_1 : \mu < 75$ → test unilatéral à gauche. **Exercice 2** : Un chercheur veut savoir si un nouveau médicament modifie significativement le temps de réaction (sans présupposer une direction). Formuler les hypothèses. **Correction** : - Aucune direction présupposée → test bilatéral. - $H_0 : \mu = \mu_0$ (où $\mu_0$ est le temps de réaction sous placebo) - $H_1 : \mu \neq \mu_0$ --- ## II. One-Tailed and Two-Tailed Tests Les tests unilatéraux (ou à une queue) et bilatéraux (ou à deux queues) se distinguent par la localisation de la région critique dans la distribution de la statistique de test sous $H_0$. > **Définition** : Un test unilatéral place toute la région critique (correspondant au niveau de signification $\alpha$) dans une seule queue de la distribution de la statistique de test. Un test bilatéral partage $\alpha$ équitablement entre les deux queues. ### Caractéristiques | Critère | Test unilatéral | Test bilatéral | |--------|------------------|----------------| | Région critique | Une seule queue (droite ou gauche) | Deux queues symétriques | | $H_1$ | $\mu > \mu_0$ ou $\mu < \mu_0$ | $\mu \neq \mu_0$ | | Valeur critique | Une seule valeur (ex: $z_\alpha$) | Deux valeurs (ex: $-z_{\alpha/2}$, $z_{\alpha/2}$) | | Puissance pour un effet dans la direction spécifiée | Plus élevée | Plus faible | | Puissance pour un effet dans la direction opposée | Nulle | Non nulle | > **Règle** : On utilise un test unilatéral uniquement lorsque l'intérêt scientifique ou pratique porte exclusivement sur une direction de l'effet. Toute incertitude sur la direction impose un test bilatéral. ### Exemple résolu 2 On teste si la moyenne d'une population est supérieure à 50. On connaît $\sigma = 10$, $n = 36$, et on obtient $\bar{x} = 53$. Tester à $\alpha = 0.05$. **Solution** : - $H_0 : \mu \leq 50$, $H_1 : \mu > 50$ → test unilatéral à droite. - Statistique de test : $z = \frac{\bar{x} - \mu_0}{\sigma / \sqrt{n}} = \frac{53 - 50}{10 / \sqrt{36}} = \frac{3}{10/6} = 1.8$ - Valeur critique pour $\alpha = 0.05$ (unilatéral à droite) : $z_{0.05} = 1.645$ - Puisque $z = 1.8 > 1.645$, on rejette $H_0$. - Conclusion : Il y a suffisamment de preuves pour affirmer que la moyenne est supérieure à 50. ### Exercices d'application corrigés **Exercice 3** : On veut tester si la moyenne d'une population est différente de 100. On a $\sigma = 15$, $n = 25$, $\bar{x} = 105$. Tester à $\alpha = 0.01$ (bilatéral). **Correction** : - $H_0 : \mu = 100$, $H_1 : \mu \neq 100$ - $z = \frac{105 - 100}{15 / \sqrt{25}} = \frac{5}{3} \approx 1.667$ - Valeurs critiques : $\pm z_{0.005} = \pm 2.576$ - Puisque $|1.667| < 2.576$, on ne rejette pas $H_0$. - Conclusion : Pas assez de preuves pour affirmer que la moyenne est différente de 100 à $\alpha = 0.01$. **Exercice 4** : Un producteur affirme que ses boîtes de céréales contiennent en moyenne 500 g. Un contrôle qualité soupçonne un sous-remplissage. On mesure $n = 40$ boîtes : $\bar{x} = 495$ g, $\sigma = 8$ g (connu). Tester à $\alpha = 0.05$. **Correction** : - $H_0 : \mu \geq 500$, $H_1 : \mu < 500$ (test unilatéral à gauche) - $z = \frac{495 - 500}{8 / \sqrt{40}} = \frac{-5}{1.265} \approx -3.95$ - Valeur critique : $z_{0.05} = -1.645$ (gauche) - Puisque $-3.95 < -1.645$, on rejette $H_0$. - Conclusion : Il y a preuve significative de sous-remplissage. --- ## III. Level of Significance/Test Statistics Le niveau de signification $\alpha$ est la probabilité maximale admise de commettre une erreur de type I (rejeter $H_0$ alors qu'elle est vraie). La statistique de test est une fonction des données échantillonnales permettant de prendre cette décision. > **Définition** : Le niveau de signification $\alpha$ est fixé à l'avance par l'expérimentateur (valeurs usuelles : 0.01, 0.05, 0.10). Il représente le risque de faux positif que l'on accepte. > **Définition** : Une statistique de test est une variable aléatoire calculée à partir de l'échantillon, dont la loi sous $H_0$ est connue, et qui permet de mesurer l'écart entre les données observées et ce qui est attendu sous $H_0$. ### Statistiques de test courantes (moyenne) | Cas | Statistique de test | Loi sous $H_0$ | Conditions | |-----|---------------------|----------------|------------| | Variance connue ($\sigma$ connu) | $z = \frac{\bar{x} - \mu_0}{\sigma / \sqrt{n}}$ | Normale centrée réduite ($\mathcal{N}(0,1)$) | $n$ quelconque si population normale, ou $n \geq 30$ (TLC) | | Variance inconnue ($\sigma$ inconnu, $s$ utilisé) | $t = \frac{\bar{x} - \mu_0}{s / \sqrt{n}}$ | Loi de Student à $n-1$ ddl | Population normale, ou $n \geq 30$ (approximation) | | Grande échelle ($n$ grand, $\sigma$ inconnu) | $z = \frac{\bar{x} - \mu_0}{s / \sqrt{n}}$ | Approximée par $\mathcal{N}(0,1)$ | $n \geq 30$, $s$ remplace $\sigma$ | > **Règle** : Pour les grands échantillons ($n \geq 30$), même si $\sigma$ est inconnu, on utilise la statistique $z$ avec $s$ à la place de $\sigma$, grâce au théorème du limite central et à la consistance de $s$. ### Exemple résolu 3 On teste $H_0 : \mu = 20$ contre $H_1 : \mu \neq 20$. On a $n = 50$, $\bar{x} = 22$, $s = 5$. Tester à $\alpha = 0.05$. **Solution** : - $n \geq 30$ → on peut utiliser $z$ avec $s$. - $z = \frac{22 - 20}{5 / \sqrt{50}} = \frac{2}{5 / 7.071} = \frac{2}{0.707} \approx 2.828$ - Test bilatéral → valeurs critiques : $\pm z_{0.025} = \pm 1.96$ - Puisque $|2.828| > 1.96$, on rejette $H_0$. - Conclusion : La moyenne est significativement différente de 20. ### Exercices d'application corrigés **Exercice 5** : Une usine produit des pièces dont la longueur moyenne devrait être 10 cm. Un échantillon de $n = 36$ pièces donne $\bar{x} = 10.2$ cm, $s = 0.6$ cm. Tester si la moyenne est supérieure à 10 cm à $\alpha = 0.01$. **Correction** : - $H_0 : \mu \leq 10$, $H_1 : \mu > 10$ - $z = \frac{10.2 - 10}{0.6 / \sqrt{36}} = \frac{0.2}{0.1} = 2.0$ - Valeur critique unilatéral à droite : $z_{0.01} = 2.326$ - Puisque $2.0 < 2.326$, on ne rejette pas $H_0$. - Conclusion : Pas assez de preuves pour affirmer que la moyenne est > 10 cm à $\alpha = 0.01$. **Exercice 6** : Un étudiant pense que sa moyenne de notes est supérieure à 12/20. Sur 15 devoirs, il obtient $\bar{x} = 12.8$, $s = 1.5$. Tester à $\alpha = 0.05$. (Population normale supposée) **Correction** : - $n = 15 < 30$, mais population normale → on utilise $t$. - $H_0 : \mu \leq 12$, $H_1 : \mu > 12$ - $t = \frac{12.8 - 12}{1.5 / \sqrt{15}} = \frac{0.8}{0.387} \approx 2.066$ - ddl = 14 → valeur critique $t_{0.05,14} = 1.761$ - Puisque $2.066 > 1.761$, on rejette $H_0$. - Conclusion : Il y a preuve significative que sa moyenne est > 12. --- ## IV. Critical Region and Critical Values La région critique est l'ensemble des valeurs de la statistique de test pour lesquelles on rejette $H_0$. Les valeurs critiques sont les seuils qui délimitent cette région. > **Définition** : La région critique (ou région de rejet) est l'ensemble des valeurs de la statistique de test qui conduisent au rejet de l'hypothèse nulle $H_0$. > **Définition** : Les valeurs critiques sont les valeurs de la statistique de test qui séparent la région critique de la région d'acceptation (ou de non-rejet). Elles dépendent de $\alpha$, du type de test (unilatéral/bilatéral) et de la loi de la statistique de test sous $H_0$. ### Détermination des valeurs critiques | Type de test | Loi de la statistique | Valeur(s) critique(s) | |--------------|------------------------|------------------------| | Unilatéral à droite | $z$ ou $t$ | $z_\alpha$ ou $t_{\alpha, \text{ddl}}$ | | Unilatéral à gauche | $z$ ou $t$ | $-z_\alpha$ ou $-t_{\alpha, \text{ddl}}$ | | Bilatéral | $z$ ou $t$ | $-z_{\alpha/2}$ et $z_{\alpha/2}$ ou $-t_{\alpha/2, \text{ddl}}$ et $t_{\alpha/2, \text{ddl}}$ | > **Règle** : Pour trouver une valeur critique, on cherche dans la table de la loi pertinente (normale ou de Student) la valeur telle que la probabilité dans la queue appropriée soit égale à $\alpha$ (unilatéral) ou $\alpha/2$ (bilatéral). ### Exemple résolu 4 On effectue un test $t$ avec $n = 16$ (donc ddl = 15), $\alpha = 0.05$, bilatéral. Trouver les valeurs critiques. **Solution** : - Loi de Student à 15 ddl. - Bilatéral → chaque queue a $\alpha/2 = 0.025$. - Dans la table de $t$ : $t_{0.025, 15} = 2.131$ - Donc valeurs critiques : $-2.131$ et $2.131$ - Région critique : $t < -2.131$ ou $t > 2.131$ ### Exercices d'application corrigés **Exercice 7** : Pour un test $z$ unilatéral à gauche à $\alpha = 0.025$, quelle est la valeur critique ? **Correction** : - On cherche $z$ tel que $P(Z < z) = 0.025$ - D'après la table normale : $z_{0.025} = -1.96$ (ou equivalent : la valeur telle que la queue gauche soit 0.025 est $-1.96$) - Réponse : $-1.96$ **Exercice 8** : Un test $t$ avec ddl = 20, $\alpha = 0.01$, unilatéral à droite. Valeur critique ? **Correction** : - On cherche $t_{0.01, 20}$ - Table de $t$ : ligne ddl=20, colonne 0.01 → $t = 2.528$ - Réponse : $2.528$ --- ## V. Errors in Hypothesis Testing Deux types d'erreurs peuvent survenir lors d'un test d'hypothèses : l'erreur de type I et l'erreur de type II. > **Définition** : Une erreur de type I consiste à rejeter $H_0$ alors qu'elle est vraie. Sa probabilité est notée $\alpha$ (niveau de signification). > **Définition** : Une erreur de type II consiste à ne pas rejeter $H_0$ alors qu'elle est fausse. Sa probabilité est notée $\beta$. > **Définition** : La puissance d'un test est la probabilité de rejeter correctement $H_0$ quand elle est fausse : $\text{Puissance} = 1 - \beta$. ### Tableau récapitulatif | Décision | $H_0$ vraie | $H_0$ fausse | |----------|--------------|---------------| | Ne pas rejeter $H_0$ | Correct ($1 - \alpha$) | Erreur de type II ($\beta$) | | Rejeter $H_0$ | Erreur de type I ($\alpha$) | Correct ($1 - \beta$) | ### Relations et compromis - $\alpha$ et $\beta$ sont généralement en concurrence : diminuer $\alpha$ augmente $\beta$ (et vice versa), pour une taille d'échantillon fixe. - Augmenter la taille de l'échantillon $n$ diminue à la fois $\alpha$ (si fixé) et $\beta$, donc augmente la puissance. - La puissance dépend aussi de l'effet réel (distance entre $\mu_0$ et le vrai $\mu$) : plus l'effet est grand, plus la puissance est élevée. > **Règle** : On fixe $\alpha$ à l'avance (selon les normes du domaine : 0.05 en sciences sociales, 0.01 en médecine critique, etc.), puis on cherche à maximiser la puissance (par ex. en augmentant $n$). ### Exemple résolu 5 On teste $H_0 : \mu = 100$ contre $H_1 : \mu > 100$. On sait que $\sigma = 12$, $n = 36$, et le vrai $\mu = 105$. Trouver $\beta$ et la puissance à $\alpha = 0.05$. **Solution** : - Étape 1 : Valeur critique sous $H_0$ : $z_{0.05} = 1.645$ - Seuil de rejet : $\bar{x}_c = \mu_0 + z_\alpha \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = 100 + 1.645 \cdot \frac{12}{6} = 100 + 3.29 = 103.29$ - Étape 2 : Sous $H_1$ vraie ($\mu = 105$), on calcule $P(\bar{x} < 103.29)$ - $z = \frac{103.29 - 105}{12 / \sqrt{36}} = \frac{-1.71}{2} = -0.855$ - $P(Z < -0.855) \approx 0.196$ (d'après table normale) - Donc $\beta \approx 0.196$, puissance $= 1 - 0.196 = 0.804$ ### Exercices d'application corrigés **Exercice 9** : Dans un test $z$ unilatéral à droite, $\alpha = 0.05$, $\sigma = 10$, $n = 25$. Si le vrai $\mu = \mu_0 + 3$, trouver $\beta$. **Correction** : - Seuil : $\bar{x}_c = \mu_0 + 1.645 \cdot \frac{10}{5} = \mu_0 + 3.29$ - Sous $\mu_1 = \mu_0 + 3$ : $z = \frac{(\mu_0 + 3.29) - (\mu_0 + 3)}{2} = \frac{0.29}{2} = 0.145$ - $P(Z < 0.145) \approx 0.558$ → $\beta \approx 0.558$ **Exercice 10** : Pourquoi augmenter $n$ réduit-il $\beta$ ? **Correction** : - Augmenter $n$ diminue l'erreur-type $\sigma/\sqrt{n}$, ce qui resserre la distribution de $\bar{x}$ autour du vrai $\mu$. - Cela réduit la probabilité que $\bar{x}$ tombe dans la région d'acceptation quand $H_0$ est fausse → donc $\beta$ diminue. --- ## VI. Hypothesis Testing Procedure La procédure de test d'hypothèses suit une séquence logique et rigoureuse en 7 étapes. > **Règle** : La procédure standard de test d'hypothèses comporte les étapes suivantes : formulation des hypothèses, choix de $\alpha$, sélection de la statistique de test, détermination de la région critique, calcul de la statistique, prise de décision, interprétation. ### Les 7 étapes 1. **Formuler $H_0$ et $H_1$** : Selon la question, choisir le type de test (unilatéral/bilatéral). 2. **Choisir le niveau de signification $\alpha$** : Valeur usuelles : 0.01, 0.05, 0.10. 3. **Sélectionner la statistique de test appropriée** : $z$ ou $t$ selon que $\sigma$ est connu ou inconnu, et la taille de $n$. 4. **Déterminer la région critique et les valeurs critiques** : En fonction de $\alpha$, du type de test et de la loi de la statistique. 5. **Calculer la valeur de la statistique de test** à partir des données de l'échantillon. 6. **Prendre une décision** : Comparer la statistique calculée aux valeurs critiques. - Si dans la région critique → rejeter $H_0$ - Sinon → ne pas rejeter $H_0$ 7. **Interpréter la décision** dans le contexte du problème, en langage clair et sans jargon technique excessif. > **Règle** : Ne jamais dire "accepter $H_0$" ; on dit toujours "ne pas rejeter $H_0$", car l'absence de preuve n'est pas une preuve d'absence. ### Exemple résolu 6 (procédure complète) Un fabricant affirme que ses piles durent en moyenne 200 heures. Un test sur $n = 49$ piles donne $\bar{x} = 195$ heures, $s = 14$ heures. Tester à $\alpha = 0.05$ si la durée moyenne est inférieure à 200 heures. **Solution** : 1. $H_0 : \mu \geq 200$, $H_1 : \mu < 200$ (test unilatéral à gauche) 2. $\alpha = 0.05$ 3. $n = 49 \geq 30$, $\sigma$ inconnu → utiliser $z$ avec $s$ 4. Région critique : unilatéral à gauche → valeur critique $z_{0.05} = -1.645$ 5. $z = \frac{195 - 200}{14 / \sqrt{49}} = \frac{-5}{2} = -2.5$ 6. Puisque $-2.5 < -1.645$, on rejette $H_0$ 7. Conclusion : Il y a suffisamment de preuves (à $\alpha = 0.05$) pour affirmer que la durée de vie moyenne des piles est inférieure à 200 heures. ### Exercices d'application corrigés **Exercice 11** : Appliquer la procédure complète pour tester si la moyenne d'une population est égale à 50, sachant que $n = 36$, $\bar{x} = 52$, $s = 6$, $\alpha = 0.05$ (bilatéral). **Correction** : 1. $H_0 : \mu = 50$, $H_1 : \mu \neq 50$ 2. $\alpha = 0.05$ 3. $n \geq 30$, $\sigma$ inconnu → $z$ avec $s$ 4. Bilatéral → valeurs critiques : $\pm 1.96$ 5. $z = \frac{52 - 50}{6 / \sqrt{36}} = \frac{2}{1} = 2.0$ 6. Puisque $|2.0| > 1.96$, rejeter $H_0$ 7. Conclusion : La moyenne est significativement différente de 50 à $\alpha = 0.05$. **Exercice 12** : Un professeur pense que ses étudiants étudient en moyenne moins de 2 heures par jour. Sur $n = 25$ étudiants, $\bar{x} = 1.8$ h, $s = 0.5$ h. Tester à $\alpha = 0.01$. (Supposer population normale) **Correction** : 1. $H_0 : \mu \geq 2$, $H_1 : \mu < 2$ 2. $\alpha = 0.01$ 3. $n = 25 < 30$, mais population normale → $t$ 4. ddl = 24 → valeur critique unilatéral à gauche : $-t_{0.01,24} = -2.492$ 5. $t = \frac{1.8 - 2}{0.5 / \sqrt{25}} = \frac{-0.2}{0.1} = -2.0$ 6. Puisque $-2.0 > -2.492$ (moins négatif), on ne rejette pas $H_0$ 7. Conclusion : Pas assez de preuves pour affirmer que le temps d'étude moyen est < 2 h à $\alpha = 0.01$ --- ## VII. Hypothesis Test for Population Mean Cette section détaille le test pour la moyenne d'une population, selon que la variance est connue ou inconnue, et la taille de l'échantillon. > **Définition** : Le test d'hypothèses pour la moyenne d'une population permet de décider si la moyenne observée dans un échantillon est statistiquement différente d'une valeur hypothétisée $\mu_0$. ### Cas 1 : Variance connue ($\sigma$ connu) - Statistique : $z = \frac{\bar{x} - \mu_0}{\sigma / \sqrt{n}} \sim \mathcal{N}(0,1)$ sous $H_0$ - Valide pour toute $n$ si la population est normale, ou pour $n \geq 30$ grâce au TLC. ### Cas 2 : Variance inconnue ($\sigma$ inconnu, on utilise $s$) - Si $n \geq 30$ : on peut approximer par $z = \frac{\bar{x} - \mu_0}{s / \sqrt{n}} \sim \mathcal{N}(0,1)$ - Si $n < 30$ et population normale : on utilise $t = \frac{\bar{x} - \mu_0}{s / \sqrt{n}} \sim t_{n-1}$ > **Règle** : Pour les grands échantillons ($n \geq 30$), on utilise presque toujours la statistique $z$, même quand $\sigma$ est inconnu, en remplaçant $\sigma$ par $s$, car $s$ est un estimateur consistant de $\sigma$ et le TLC s'applique. ### Exemple résolu 7 Tester $H_0 : \mu = 15$ contre $H_1 : \mu \neq 15$. Données : $n = 64$, $\bar{x} = 16.2$, $\sigma = 4$ (connu). $\alpha = 0.01$. **Solution** : - $z = \frac{16.2 - 15}{4 / \sqrt{64}} = \frac{1.2}{0.5} = 2.4$ - Valeurs critiques : $\pm z_{0.005} = \pm 2.576$ - Puisque $|2.4| < 2.576$, on ne rejette pas $H_0$ - Conclusion : Pas assez de preuves pour affirmer que $\mu \neq 15$ à $\alpha = 0.01$ ### Exercices d'application corrigés **Exercice 13** : Une boîte de lait devrait contenir 1 L en moyenne. On mesure $n = 100$ boîtes : $\bar{x} = 0.995$ L, $\sigma = 0.02$ L (connu). Tester si la moyenne est différente de 1 L à $\alpha = 0.05$. **Correction** : - $z = \frac{0.995 - 1}{0.02 / \sqrt{100}} = \frac{-0.005}{0.002} = -2.5$ - Valeurs critiques : $\pm 1.96$ - Puisque $|-2.5| > 1.96$, rejeter $H_0$ - Conclusion : La moyenne est significativement différente de 1 L (en fait, inférieure). **Exercice 14** : Un étudiant veut savoir si sa moyenne de notes est supérieure à 14/20. Sur $n = 20$ notes, $\bar{x} = 14.3$, $s = 0.8$. Population normale supposée. Tester à $\alpha = 0.05$. **Correction** : - $n < 30$, normale → $t$ - ddl = 19 → $t_{0.05,19} = 1.729$ (unilatéral à droite) - $t = \frac{14.3 - 14}{0.8 / \sqrt{20}} = \frac{0.3}{0.179} \approx 1.676$ - Puisque $1.676 < 1.729$, on ne rejette pas $H_0$ - Conclusion : Pas assez de preuves pour affirmer que la moyenne > 14 à $\alpha = 0.05$ --- ## VIII. Significance testing for a population of difference between two means using large scale On teste ici la différence entre les moyennes de deux populations indépendantes, en supposant des grands échantillons ($n_1 \geq 30$, $n_2 \geq 30$). > **Définition** : Le test de signification pour la différence entre deux moyennes de populations indépendantes permet de décider si l'observée différence entre deux moyennes d'échantillons est statistiquement significative. ### Hypothèses - $H_0 : \mu_1 - \mu_2 = \delta_0$ (souvent $\delta_0 = 0$ pour tester l'égalité) - $H_1 : \mu_1 - \mu_2 \neq \delta_0$ (bilatéral), ou $> \delta_0$, ou $< \delta_0$ ### Statistique de test (grands échantillons) $$ z = \frac{(\bar{x}_1 - \bar{x}_2) - \delta_0}{\sqrt{\frac{\sigma_1^2}{n_1} + \frac{\sigma_2^2}{n_2}}} $$ Si les variances sont inconnues mais les échantillons grands, on remplace $\sigma_1$ par $s_1$ et $\sigma_2$ par $s_2$ : $$ z = \frac{(\bar{x}_1 - \bar{x}_2) - \delta_0}{\sqrt{\frac{s_1^2}{n_1} + \frac{s_2^2}{n_2}}} $$ Sous $H_0$, cette statistique suit approximativement une loi normale centrée réduite. > **Règle** : Pour les grands échantillons indépendants, on utilise la formule ci-dessus avec $s_1$, $s_2$ à la place de $\sigma_1$, $\sigma_2$, grâce au théorème du limite central appliqué à chaque moyenne d'échantillon. ### Exemple résolu 8 On veut savoir si deux méthodes d'enseignement donnent des résultats différents. Groupe A (n₁=50) : $\bar{x}_1 = 78$, $s_1 = 10$. Groupe B (n₂=60) : $\bar{x}_2 = 74$, $s_2 = 12$. Tester si les moyennes sont différentes à $\alpha = 0.05$. **Solution** : - $H_0 : \mu_1 - \mu_2 = 0$, $H_1 : \mu_1 - \mu_2 \neq 0$ - $z = \frac{(78 - 74) - 0}{\sqrt{\frac{10^2}{50} + \frac{12^2}{60}}} = \frac{4}{\sqrt{2 + 2.4}} = \frac{4}{\sqrt{4.4}} = \frac{4}{2.098} \approx 1.906$ - Valeurs critiques : $\pm 1.96$ - Puisque $|1.906| < 1.96$, on ne rejette pas $H_0$ - Conclusion : Pas assez de preuves pour affirmer une différence significative entre les deux méthodes à $\alpha = 0.05$ ### Exercices d'application corrigés **Exercice 15** : Deux usines produisent des boulons. Usine A : $n_1 = 40$, $\bar{x}_1 = 10.2$ mm, $s_1 = 0.3$ mm. Usine B : $n_2 = 50$, $\bar{x}_2 = 10.0$ mm, $s_2 = 0.4$ mm. Tester si l'usine A produit des boulons plus longs en moyenne à $\alpha = 0.05$. **Correction** : - $H_0 : \mu_1 - \mu_2 \leq 0$, $H_1 : \mu_1 - \mu_2 > 0$ - $z = \frac{(10.2 - 10.0) - 0}{\sqrt{\frac{0.3^2}{40} + \frac{0.4^2}{50}}} = \frac{0.2}{\sqrt{0.00225 + 0.0032}} = \frac{0.2}{\sqrt{0.00545}} = \frac{0.2}{0.0738} \approx 2.71$ - Valeur critique unilatéral à droite : $z_{0.05} = 1.645$ - Puisque $2.71 > 1.645$, on rejette $H_0$ - Conclusion : Il y a preuve significative que l'usine A produit des boulons plus longs en moyenne. **Exercice 16** : Pourquoi peut-on utiliser $s_1$ et $s_2$ à la place de $\sigma_1$ et $\sigma_2$ dans le test pour deux moyennes avec grands échantillons ? **Correction** : - Parce que, d'après le théorème du limite central, $\bar{x}_1$ et $\bar{x}_2$ sont chacun approximativement normaux lorsque $n_1, n_2 \geq 30$, même si les populations ne sont pas normales. - De plus, $s_1^2$ et $s_2^2$ sont des estimateurs consistants de $\sigma_1^2$ et $\sigma_2^2$. - Donc l'erreur-type estimée $\sqrt{s_1^2/n_1 + s_2^2/n_2}$ converge vers la vraie erreur-type, et la statistique $z$ suit approximativement $\mathcal{N}(0,1)$ sous $H_0$. ---