Sampling and Estimation

# Sampling and Estimation ## Objectifs et prérequis **Objectifs** : À la fin de ce chapitre, l'étudiant sera capable de : - Distinguer population et échantillon, paramètre et statistique. - Identifier les différents types d'échantillonnage et leurs avantages/inconvénients. - Calculer et interpréter les erreurs d'échantillonnage. - Définir un estimateur ponctuel et évaluer ses propriétés (biais, variance, consistance). - Construire et interpréter des intervalles de confiance pour une moyenne et une proportion. - Calculer la marge d'erreur et déterminer la taille d'échantillon nécessaire. - Appliquer ces concepts à des situations réelles. **Prérequis** : Notions de probabilité (lois normales, loi des grands nombres, théorème du limite central), statistiques descriptives (moyenne, variance, écart-type), manipulation algébrique de formules, lecture de tables statistiques (normale réduite, loi de Student). --- ## I. Introduction to sampling/Types of sampling L'échantillonnage consiste à sélectionner une partie représentative d'une population pour en inférer des caractéristiques sans examiner chaque individu. > **Définition** : Une *population* est l'ensemble complet des individus ou objets d'intérêt. Un *échantillon* est un sous-ensemble sélectionné de la population. ### Types d'échantillonnage 1. **Échantillonnage aléatoire simple** : Chaque individu de la population a la même probabilité d'être choisi. - *Avantage* : Non biaisé, facile à théoriser. - *Inconvénient* : Peut être coûteux ou difficile à mettre en œuvre si la population est dispersée. 2. **Échantillonnage stratifié** : La population est divisée en strates homogènes, puis un tirage aléatoire est effectué dans chaque strate. - *Avantage* : Réduit l'erreur d'échantillonnage si les strates sont pertinentes. - *Inconvénient* : Nécessite des informations préalables sur la stratification. 3. **Échantillonnage par grappes** : La population est divisée en grappes (ex. écoles, villages), certaines grappes sont sélectionnées au hasard, puis tous les individus des grappes choisies sont étudiés. - *Avantage* : Économique pour les populations géographiquement dispersées. - *Inconvénient* : Risque d'erreur plus élevé si les grappes ne sont pas représentatives. 4. **Échantillonnage systématique** : Sélection de chaque k-ième individu après un départ aléatoire. - *Avantage* : Simple à mettre en œuvre. - *Inconvénient* : Peut introduire un biais si il existe une périodicité dans la liste. 5. **Échantillonnage par quota** : Sélection non aléatoire basée sur des proportions prédéfinies (ex. 50% hommes, 50% femmes). - *Avantage* : Rapide et peu coûteux. - *Inconvénient* : Biais de sélection possible, pas de fondement probabiliste. > **Règle** : Pour une inférence statistique valide, privilégier les méthodes probabilistes (aléatoire simple, stratifié, grappes, systématique). ### Exemple résolu Une école de 1200 élèves veut estimer la proportion d'élèves qui utilisent les transports en commun. - Population : 1200 élèves. - Échantillonnage aléatoire simple de taille n = 120. - Chaque élève a une probabilité d'être choisi de $ \frac{120}{1200} = 0,1 $. ### Exercices d'application corrigés **Exercice 1** : Une ville de 50 000 habitants souhaite étudier le revenu moyen. Quel type d'échantillonnage serait le plus approprié si la ville est divisée en quartiers nettement différents en termes de revenu ? *Solution* : Échantillonnage stratifié, avec les quartiers comme strates, pour garantir une représentation proportionnelle de chaque groupe socio-économique. **Exercice 2** : Pourquoi l'échantillonnage par quota n'est-il pas recommandé pour une inférence statistique rigoureuse ? *Solution* : Parce qu'il repose sur le jugement du sondeur et non sur un mécanisme aléatoire, il ne permet pas de calculer l'erreur d'échantillonnage ni de garantir la représentativité probabiliste. --- ## II. Advantages and disadvantages of sampling > **Avantages de l'échantillonnage** : - Réduction du coût et du temps de collecte. - Faisabilité lorsque l'observation de l'ensemble de la population est impossible (ex. tests destructifs). - Permet des estimations rapides pour la prise de décision. > **Inconvénients de l'échantillonnage** : - Risque d'erreur d'échantillonnage (différence entre statistique d'échantillon et paramètre de population). - Nécessite une conception soignée pour éviter les biais. - Les résultats sont sujets à l'incertitude et nécessitent une quantification (intervalles de confiance). ### Tableau comparatif : Recensement vs Échantillonnage | Critère | Recensement | Échantillonnage | |-----------------------|------------------------------|-------------------------------| | Couverture | Toute la population | Sous-ensemble | | Coût | Très élevé | Modéré à faible | | Temps | Long | Court | | Précision | Théoriquement exacte | Soumise à erreur d'échantillonnage | | Faisabilité | Souvent impossible | Généralement faisable | | Adapté à | Petites populations, données critiques | Grandes populations, tendances | --- ## III. Population and sample/Parameter and statistic > **Définition** : Un *paramètre* est une caractéristique numérique fixe d'une population (ex. moyenne $ \mu $, variance $ \sigma^2 $, proportion $ p $). > **Définition** : Une *statistique* est une caractéristique numérique calculée à partir d'un échantillon (ex. moyenne d'échantillon $ \bar{x} $, variance d'échantillon $ s^2 $, proportion d'échantillon $ \hat{p} $). Une statistique est une variable aléatoire car elle dépend de l'échantillon tiré. Un paramètre est une constante fixe (mais généralement inconnue). ### Exemple résolu Population : tailles (en cm) de 1000 étudiants camerounais. - Paramètre : moyenne réelle $ \mu = 168,5 $ cm (inconnue). - On tire un échantillon aléatoire de n = 25 étudiants. - Leurs tailles donnent une moyenne d'échantillon $ \bar{x} = 167,2 $ cm. - Ici, $ \mu $ est un paramètre, $ \bar{x} $ est une statistique. ### Exercices d'application corrigés **Exercice 1** : Dans une élection, 60% des électeurs prévoient voter pour le parti A. C'est un paramètre ou une statistique ? *Solution* : Si ce 60% reflète l'opinion de *tous* les électeurs, c'est un paramètre. S'il provient d'un sondage auprès d'un échantillon, c'est une statistique (notation : $ \hat{p} = 0,6 $). **Exercice 2** : On mesure la longueur de 30 tiges de maïs provenant d'un champ. On obtient une variance d'échantillon de 4,2 cm². Que représente cette valeur ? *Solution* : C'est une statistique ($ s^2 = 4,2 $), estimatrice de la variance du champ $ \sigma^2 $. --- ## IV. Sampling errors > **Définition** : L'erreur d'échantillonnage est la différence entre une statistique d'échantillon et le paramètre de population correspondant. > Pour une moyenne : $ \text{Erreur d'échantillonnage} = \bar{x} - \mu $. Cette erreur est aléatoire et varie d'un échantillon à l'autre. Elle ne doit pas être confondue avec l'erreur de mesure ou le biais. ### Propriétés de l'erreur d'échantillonnage de la moyenne Si l'on tire des échantillons aléatoires simples de taille n d'une population de moyenne $ \mu $ et variance $ \sigma^2 $ : - L'espérance de $ \bar{x} $ est $ \mu $ : $ E(\bar{x}) = \mu $ → l'erreur d'échantillonnage moyenne est nulle. - La variance de $ \bar{x} $ est $ \frac{\sigma^2}{n} $ : $ \text{Var}(\bar{x}) = \frac{\sigma^2}{n} $. - L'écart-type de $ \bar{x} $, appelé *erreur standard de la moyenne*, est $ \frac{\sigma}{\sqrt{n}} $. > **Règle** : Plus la taille d'échantillon n augmente, plus l'erreur standard diminue (précision accrue). ### Exemple résolu Population de arbres dans une forêt : hauteur moyenne $ \mu = 20 $ m, écart-type $ \sigma = 4 $ m. On tire un échantillon de n = 16 arbres. - Erreur standard de la moyenne : $ \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = \frac{4}{\sqrt{16}} = \frac{4}{4} = 1 $ m. - Cela signifie que, en moyenne, la moyenne d'échantillon $ \bar{x} $ varie de ±1 m autour de $ \mu $. Si on augmente n à 64 : - Nouvelle erreur standard : $ \frac{4}{\sqrt{64}} = \frac{4}{8} = 0,5 $ m → précision doublée. ### Exercices d'application corrigés **Exercice 1** : Une usine produit des boulons avec un diamètre moyen de 10 mm et un écart-type de 0,2 mm. Quel est l'erreur standard de la moyenne pour un échantillon de n = 25 boulons ? *Solution* : $ \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = \frac{0,2}{\sqrt{25}} = \frac{0,2}{5} = 0,04 $ mm. **Exercice 2** : Pour réduire l'erreur standard de moitié par rapport à un échantillon de taille n, quelle doit être la nouvelle taille d'échantillon ? *Solution* : L'erreur standard est proportionnelle à $ \frac{1}{\sqrt{n}} $. Pour la diviser par 2, il faut multiplier $ \sqrt{n} $ par 2 → multiplier n par 4. Nouvelle taille : $ 4n $. --- ## V. Introduction to estimation/Point Estimation > **Définition** : L'estimation consiste à utiliser les données d'un échantillon pour approcher les valeurs inconnues des paramètres de population. > **Définition** : Un *estimateur ponctuel* est une formule qui, appliquée aux données d'un échantillon, donne une valeur unique comme estimation d'un paramètre. ### Estimateurs ponctuels courants - Pour la moyenne $ \mu $ : $ \hat{\mu} = \bar{x} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n x_i $ - Pour la variance $ \sigma^2 $ : $ \hat{\sigma}^2 = s^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})^2 $ (biais corrigé) - Pour la proportion $ p $ : $ \hat{p} = \frac{x}{n} $, où x est le nombre de succès dans l'échantillon > **Règle** : Un bon estimateur doit être proche de la vraie valeur du paramètre en moyenne. ### Exemple résolu On veut estimer la proportion d'étudiants ayant réussi un examen. Dans un échantillon de n = 40 étudiants, 28 ont réussi. - Estimateur ponctuel de la proportion : $ \hat{p} = \frac{28}{40} = 0,7 $ ou 70%. ### Exercices d'application corrigés **Exercice 1** : Les temps de réaction (en ms) de 10 sujets sont : 250, 260, 240, 255, 245, 270, 250, 248, 252, 246. Estimer la moyenne de réaction. *Solution* : $ \bar{x} = \frac{250+260+240+255+245+270+250+248+252+246}{10} = \frac{2516}{10} = 251,6 $ ms. **Exercice 2** : Dans un échantillon de 50 plantes, 15 présentent une maladie. Quelle est l'estimation ponctuelle de la proportion de plantes malades ? *Solution* : $ \hat{p} = \frac{15}{50} = 0,3 $ ou 30%. --- ## VI. Properties of good estimators Trois propriétés essentielles d'un bon estimateur : 1. **Non-biais (unbiasedness)** : L'espérance de l'estimateur égale le paramètre. $ E(\hat{\theta}) = \theta $ Exemple : $ E(\bar{x}) = \mu $, $ E(\hat{p}) = p $, $ E(s^2) = \sigma^2 $ (avec $ n-1 $). 2. **Efficacité** : Parmi les estimateurs non biaisés, celui ayant la plus petite variance est le plus efficace. Exemple : Pour une population normale, $ \bar{x} $ est l'estimateur non biaisé de $ \mu $ de variance minimale. 3. **Consistance** : Lorsque la taille d'échantillon n augmente, l'estimateur converge en probabilité vers le vrai paramètre. Formellement : $ \lim_{n \to \infty} P(|\hat{\theta}_n - \theta| < \epsilon) = 1 $ pour tout $ \epsilon > 0 $. Exemple : $ \bar{x} $ et $ \hat{p} $ sont consistants. > **Règle** : Un estimateur idéal est non biaisé, efficace et consistant. ### Exemple résolu Montre que l'estimateur $ \hat{\sigma}^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})^2 $ est biaisé pour $ \sigma^2 $. *Solution* : On sait que $ E\left[ \frac{1}{n-1} \sum (x_i - \bar{x})^2 \right] = \sigma^2 $. Donc $ E\left[ \frac{1}{n} \sum (x_i - \bar{x})^2 \right] = \frac{n-1}{n} \sigma^2 \neq \sigma^2 $. Ainsi, cet estimateur sous-estime $ \sigma^2 $ en moyenne → biaisé. L'estimateur avec $ n-1 $ est non biaisé. ### Exercices d'application corrigés **Exercice 1** : Pourquoi divise-t-on par $ n-1 $ plutôt que par n pour calculer la variance d'échantillon ? *Solution* : Parce que l'utilisation de $ \bar{x} $ (estimée à partir des mêmes données) introduit une contrainte qui réduit la liberté de degré. Diviser par $ n-1 $ corrige ce biais et rend $ s^2 $ non biaisé pour $ \sigma^2 $. **Exercice 2** : L'estimateur $ \hat{\theta} = \text{première observation de l'échantillon} $ est-il non biaisé pour estimer la moyenne $ \mu $ ? *Solution* : Oui, car $ E(\hat{\theta}) = E(X_1) = \mu $. Mais il est extrêmement inefficace (variance = $ \sigma^2 $, alors que $ \text{Var}(\bar{x}) = \sigma^2/n $) et peu consistant en pratique (ne utilise qu'une seule observation). --- ## VII. Introduction to confidence intervals > **Définition** : Un *intervalle de confiance* est un intervalle de nombres, calculé à partir des données d'échantillon, qui contient probablement la vraie valeur d'un paramètre de population. > Le niveau de confiance (ex. 90%, 95%, 99%) représente la proportion d'intervalles qui contiendraient le paramètre si l'on répétait l'échantillonnage de nombreuses fois. > **Forme générale** : > $ \text{Estimateur} \pm \text{Marge d'erreur} $ > Où la marge d'erreur dépend de la variabilité de l'estimateur et du niveau de confiance. > **Interprétation** : Un intervalle de confiance à 95% pour $ \mu $ signifie que si nous prélevions de nombreux échantillons aléatoires et construisions un intervalle à chaque fois, environ 95% de ces intervalles contiendraient la vraie moyenne $ \mu $. > Il ne faut *pas* dire : « Il y a 95% de probabilité que $ \mu $ soit dans cet intervalle » (car $ \mu $ est fixe, pas aléatoire). ### Exemple résolu (interprétation) On calcule un IC à 95% pour la moyenne hauteur des élèves : [165,2 ; 170,8] cm. Interprétation correcte : Nous sommes confiants à 95% que cet intervalle spécifique [165,2 ; 170,8] contient la vraie moyenne de la population. Interprétation fautive à éviter : Il y a 95% de chance que la moyenne vraie se trouve entre 165,2 et 170,8. ### Exercices d'application corrigés **Exercice 1** : Quel est l'effet d'augmenter le niveau de confiance de 90% à 99% sur la largeur de l'intervalle de confiance ? *Solution* : Augmenter le niveau de confiance augmente la marge d'erreur (car on utilise un critère z ou t plus grand), donc l'intervalle devient plus large. **Exercice 2** : Pourquoi ne peut-on pas interpréter un IC à 95% comme ayant une probabilité de 95% de contenir le paramètre ? *Solution* : Parce que le paramètre est une constante fixe (inconnue mais non aléatoire). L'aléatoire réside dans l'intervalle, qui varie d'un échantillon à l'autre. La probabilité de 95% fait référence à la méthode à long terme, pas à un intervalle spécifique. --- ## VIII. Confidence Interval for population mean (known variance) Lorsque la variance de la population $ \sigma^2 $ est connue et que la population est normale (ou n suffisamment grande pour appliquer le TCL), l'estimateur de la moyenne $ \bar{x} $ suit une loi normale : $ \bar{x} \sim N\left( \mu, \frac{\sigma^2}{n} \right) $ > **Formule de l'IC à niveau de confiance $ 1-\alpha $** : > $$ > \bar{x} \pm z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} > $$ > Où $ z_{\alpha/2} $ est le quantile de la loi normale réduite telle que $ P(Z > z_{\alpha/2}) = \alpha/2 $. Valeurs courantes : - 90% : $ z_{0,05} = 1,645 $ - 95% : $ z_{0,025} = 1,96 $ - 99% : $ z_{0,005} = 2,576 $ ### Exemple résolu Une machine produit des pièces avec une longueur moyenne inconnue $ \mu $, mais un écart-type connu $ \sigma = 0,5 $ mm. Un échantillon de n = 36 pièces donne une moyenne $ \bar{x} = 10,2 $ mm. Construire un IC à 95% pour $ \mu $. *Solution* : - $ z_{0,025} = 1,96 $ - Erreur standard : $ \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = \frac{0,5}{\sqrt{36}} = \frac{0,5}{6} \approx 0,0833 $ mm - Marge d'erreur : $ 1,96 \times 0,0833 \approx 0,1633 $ mm - IC : $ 10,2 \pm 0,1633 $ → $ [10,0367 ; 10,3633] $ mm On arrondit généralement à trois décimales : $ [10,037 ; 10,363] $ mm. Interprétation : Nous sommes confiants à 95% que la vraie longueur moyenne des pièces produite par la machine se situe entre 10,037 mm et 10,363 mm. ### Exercices d'application corrigés **Exercice 1** : Le QI dans une population a un écart-type connu de 15. Un échantillon de n = 100 individus donne un QI moyen de 105. Construire un IC à 99% pour la moyenne du QI. *Solution* : - $ z_{0,005} = 2,576 $ - Erreur standard : $ \frac{15}{\sqrt{100}} = 1,5 $ - Marge d'erreur : $ 2,576 \times 1,5 = 3,864 $ - IC : $ 105 \pm 3,864 $ → $ [101,136 ; 108,864] $ **Exercice 2** : Quel effet aurait le doublement de la taille d'échantillon (de n à 2n) sur la largeur de l'IC pour la moyenne (variance connue) ? *Solution* : La largeur de l'IC est proportionnelle à $ \frac{1}{\sqrt{n}} $. Si n devient 2n, la largeur est multipliée par $ \frac{1}{\sqrt{2}} \approx 0,707 $ → elle diminue d'environ 29,3%. --- ## IX. Confidence Interval for population mean (unknown variance)/Population Proportion ### Cas 1 : Moyenne avec variance inconnue Lorsque $ \sigma^2 $ est inconnue, on l'estime par $ s^2 $ (variance d'échantillon). Si la population est normale, alors : $$ \frac{\bar{x} - \mu}{s/\sqrt{n}} \sim t_{n-1} $$ où $ t_{n-1} $ est la loi de Student à $ n-1 $ degrés de liberté. > **Formule de l'IC à niveau de confiance $ 1-\alpha $** : > $$ > \bar{x} \pm t_{\alpha/2, n-1} \cdot \frac{s}{\sqrt{n}} > $$ > Où $ t_{\alpha/2, n-1} $ est le quantile de la loi de Student. ### Exemple résolu (moyenne, variance inconnue) On veut estimer la moyenne de consommation de carburant (en L/100km) d'un modèle de voiture. Un échantillon de n = 15 voitures donne : $ \bar{x} = 7,8 $ L/100km, $ s = 0,6 $ L/100km. Construire un IC à 90% pour $ \mu $. *Solution* : - Degrés de liberté : $ df = n-1 = 14 $ - Pour un IC à 90%, $ \alpha = 0,1 $, $ \alpha/2 = 0,05 $ → $ t_{0,05, 14} = 1,761 $ (table de Student) - Erreur standard : $ \frac{s}{\sqrt{n}} = \frac{0,6}{\sqrt{15}} \approx \frac{0,6}{3,873} \approx 0,1549 $ - Marge d'erreur : $ 1,761 \times 0,1549 \approx 0,2728 $ - IC : $ 7,8 \pm 0,2728 $ → $ [7,5272 ; 8,0728] $ Arrondi : $ [7,53 ; 8,07] $ L/100km. ### Cas 2 : Proportion de population Pour estimer une proportion $ p $, on utilise $ \hat{p} = \frac{x}{n} $, où x est le nombre de succès. Sous les conditions $ np \geq 5 $ et $ n(1-p) \geq 5 $ (ou équivalentement avec $ \hat{p} $), $ \hat{p} $ est approximativement normale : $$ \hat{p} \sim N\left( p, \frac{p(1-p)}{n} \right) $$ On estime l'erreur standard par $ \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}} $. > **Formule de l'IC pour une proportion** : > $$ > \hat{p} \pm z_{\alpha/2} \cdot \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}} > $$ ### Exemple résolu (proportion) Dans un sondage auprès de n = 200 électeurs, 120 déclarent soutenir une certaine politique. Construire un IC à 95% pour la proportion vraie de soutien dans la population. *Solution* : - $ \hat{p} = \frac{120}{200} = 0,6 $ - $ z_{0,025} = 1,96 $ - Erreur standard estimée : $ \sqrt{\frac{0,6 \times 0,4}{200}} = \sqrt{\frac{0,24}{200}} = \sqrt{0,0012} \approx 0,03464 $ - Marge d'erreur : $ 1,96 \times 0,03464 \approx 0,0679 $ - IC : $ 0,6 \pm 0,0679 $ → $ [0,5321 ; 0,6679] $ En pourcentage : $ [53,2\% ; 66,8\%] $. Interprétation : Nous sommes confiants à 95% que la vraie proportion d'électeurs soutenant la politique se situe entre 53,2% et 66,8%. ### Exercices d'application corrigés **Exercice 1** : Un échantillon de n = 25 étudiants donne une moyenne de révision hebdomadaire de 6,2 heures avec un écart-type de 1,8 heures. Construire un IC à 95% pour la moyenne de révision. *Solution* : - df = 24, $ t_{0,025, 24} = 2,064 $ - Erreur standard : $ \frac{1,8}{\sqrt{25}} = \frac{1,8}{5} = 0,36 $ - Marge d'erreur : $ 2,064 \times 0,36 \approx 0,743 $ - IC : $ 6,2 \pm 0,743 $ → $ [5,457 ; 6,943] $ heures **Exercice 2** : Dans un échantillon de 80 produits, 10 sont défectueux. Construire un IC à 90% pour la proportion de produits défectueux. *Solution* : - $ \hat{p} = \frac{10}{80} = 0,125 $ - $ z_{0,05} = 1,645 $ - Erreur standard : $ \sqrt{\frac{0,125 \times 0,875}{80}} = \sqrt{\frac{0,109375}{80}} = \sqrt{0,001367} \approx 0,03698 $ - Marge d'erreur : $ 1,645 \times 0,03698 \approx 0,0608 $ - IC : $ 0,125 \pm 0,0608 $ → $ [0,0642 ; 0,1858] $ → $ [6,4\% ; 18,6\%] $ --- ## X. Margin of error/Common mistakes in estimation > **Définition** : La marge d'erreur (ME) est la moitié de la largeur de l'intervalle de confiance. > Pour une moyenne (variance connue) : $ ME = z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} $ > Pour une proportion : $ ME = z_{\alpha/2} \cdot \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}} $ La marge d'erreur quantifie la précision de l'estimation : plus elle est petite, plus l'estimation est précise. ### Facteurs influençant la marge d'erreur - Elle diminue lorsque : - La taille d'échantillon n augmente. - La variabilité (σ ou $ \sqrt{\hat{p}(1-\hat{p})} $) diminue. - Le niveau de confiance diminue (ex. de 99% à 90%). - Elle augmente dans le cas contraire. ### Erreurs courantes en estimation 1. **Confondre niveau de confiance et probabilité** : Dire qu'il y a 95% de chance que le paramètre soit dans l'IC spécifique (voir section VII). 2. **Oublier les conditions d'application** : Utiliser la loi normale pour une proportion quand $ n\hat{p} < 5 $ ou $ n(1-\hat{p}) < 5 $. 3. **Utiliser $ \sigma $ quand il est inconnu** : Appliquer la formule avec $ \sigma $ alors qu'on ne connaît que $ s $ → sous-estimer l'incertitude. 4. **Interpréter l'IC comme une plage de valeurs pour les données individuelles** : Ex. penser que 95% des observations se trouvent dans l'IC de la moyenne (faux : c'est un intervalle pour le paramètre, pas pour les données). 5. **Négliger le biais d'échantillonnage** : Un IC étroit ne sert à rien si l'échantillon n'est pas représentatif (biais de sélection). > **Règle** : Toujours vérifier les conditions d'application, distinguer paramètre/statistique, et interpréter l'IC correctement. ### Exemple résolu (erreur courante) Un étudiant calcule un IC à 95% pour la moyenne hauteur des élèves : [160 ; 170] cm. Il affirme : « Il y a 95% de probabilité que la taille d'un élève choisi au hasard soit entre 160 et 170 cm. » *Correction* : Cette interprétation est fautive. L'IC concerne la *moyenne de la population*, pas les valeurs individuelles. La proportion d'élèves mesurant entre 160 et 170 cm dépend de la distribution réelle et peut être très différente de 95%. ### Exercices d'application corrigés **Exercice 1** : Pourquoi la marge d'erreur pour une proportion est-elle maximale quand $ \hat{p} = 0,5 $ ? *Solution* : L'expression $ \hat{p}(1-\hat{p}) $ atteint son maximum quand $ \hat{p} = 0,5 $ (valeur : 0,25). Comme la marge d'erreur est proportionnelle à $ \sqrt{\hat{p}(1-\hat{p})} $, elle est donc aussi maximale en ce point. **Exercice 2** : Un rapport indique : « 60% des gens préfèrent le produit A, avec une marge d'erreur de ±3% ». Quel est le niveau de confiance implicite si on sait que l'échantillon size est n = 1000 ? *Solution* : ME = $ z \cdot \sqrt{\frac{0,6 \times 0,4}{1000}} = z \cdot \sqrt{0,00024} = z \cdot 0,01549 $ Donné ME = 0,03 → $ z = \frac{0,03}{0,01549} \approx 1,936 $ Cette valeur de z est très proche de 1,96 → niveau de confiance d'environ 95%. --- ## XI. Determining sample size Il est souvent nécessaire de déterminer à l'avance la taille d'échantillon n requise pour atteindre une certaine précision. ### Pour estimer une moyenne (variance connue ou estimée) On veut que la marge d'erreur soit au plus E : $ ME = z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \leq E $ En résolvant pour n : $$ n \geq \left( \frac{z_{\alpha/2} \cdot \sigma}{E} \right)^2 $$ On arrondit toujours à l'entier supérieur. ### Pour estimer une proportion On veut $ ME = z_{\alpha/2} \cdot \sqrt{\frac{p(1-p)}{n}} \leq E $ Comme p est inconnue, on utilise une valeur conservatoire : - Si aucune information préalable : prendre $ p = 0,5 $ (maximise $ p(1-p) $) - Si on a une estimation $ \hat{p}_0 $ : utiliser cette valeur Alors : $$ n \geq \left( \frac{z_{\alpha/2}}{E} \right)^2 \cdot p(1-p) $$ Avec $ p = 0,5 $ si aucune information : $ n \geq \left( \frac{z_{\alpha/2}}{2E} \right)^2 $ > **Règle** : Toujours arrondir n à l'entier supérieur pour garantir la précision souhaitée. ### Exemple résolu (taille pour moyenne) On veut estimer la moyenne du salaire mensuel dans un secteur avec un écart-type estimé à 50 000 FCFA. On désire une marge d'erreur de au plus 5 000 FCFA avec un niveau de confiance de 95%. Quelle taille d'échantillon est nécessaire ? *Solution* : - $ z_{0,025} = 1,96 $ - $ \sigma = 50 000 $ - $ E = 5 000 $ - $ n \geq \left( \frac{1,96 \times 50 000}{5 000} \right)^2 = \left( \frac{98 000}{5 000} \right)^2 = (19,6)^2 = 384,16 $ → Arrondir à l'entier supérieur : **n = 385** ### Exemple résolu (taille pour proportion) Une entreprise veut estimer la proportion de clients satisfaits avec une marge d'erreur de au plus 4% et un niveau de confiance de 90%. Aucune estimation préalable n'est disponible. *Solution* : - $ z_{0,05} = 1,645 $ - $ E = 0,04 $ - Utiliser $ p = 0,5 $ (conservateur) - $ n \geq \left( \frac{1,645}{2 \times 0,04} \right)^2 = \left( \frac{1,645}{0,08} \right)^2 = (20,5625)^2 \approx 422,8 $ → Arrondir : **n = 423** Si une étude précédente avait trouvé $ \hat{p} = 0,6 $ : $ n \geq \left( \frac{1,645}{0,04} \right)^2 \times 0,6 \times 0,4 = (41,125)^2 \times 0,24 \approx 1691,3 \times 0,24 \approx 405,9 $ → **n = 406** ### Exercices d'application corrigés **Exercice 1** : Quel effet aurait le doublement de la précision souhaitée (diviser E par 2) sur la taille d'échantillon nécessaire pour estimer une moyenne ? *Solution* : Puisque $ n \propto \frac{1}{E^2} $, diviser E par 2 multiplie n par 4. **Exercice 2** : Pourquoi utilise-t-on $ p = 0,5 $ lorsqu'on ne connaît pas la proportion pour déterminer la taille d'échantillon ? *Solution* : Parce que $ p(1-p) $ est maximal quand $ p = 0,5 $, ce qui donne la plus grande valeur de n requise, garantissant ainsi que la marge d'erreur ne dépassera jamais E, quelle que soit la vraie valeur de p. ---