Regression and Correlation

# Regression and Correlation ## Objectifs et prérequis Ce chapitre vise à maîtriser les concepts fondamentaux de la régression linéaire et de la corrélation, en distinguant clairement les deux notions et en sachant appliquer les méthodes de calcul appropriées selon le contexte. À la fin de ce chapitre, l’étudiant sera capable de : - Construire et interpréter un diagramme de dispersion (scatter diagram) ; - Déterminer la droite de régression des moindres carrés de \(y\) sur \(x\) et de \(x\) sur \(y\) ; - Calculer la droite de régression par la méthode de Mayer ; - Calculer le coefficient de corrélation produit-moment de Pearson ; - Calculer les coefficients de corrélation de rang de Spearman et de Kendall ; - Interpréter les résidus et la somme des carrés des résidus (RSS) ; - Discuter des utilisations et limites des différents coefficients de corrélation ; - Appliquer ces outils à des problèmes concrets en statistique descriptive et inférentielle. **Prérequis** : Maîtrise de l’algèbre linéaire de base (équations de droites, systèmes), des notions de moyenne, variance, covariance élémentaires, et de la représentation graphique de données bivariées. --- ## I. Introduction to regression / Linear regression La régression linéaire modélise la relation entre une variable dépendante \(y\) et une ou plusieurs variables indépendantes \(x\). Dans le cas simple (une variable explicative), on cherche une droite \(y = a + bx\) qui approximative au mieux les points observés \((x_i, y_i)\). > **Définition** : Une droite de régression est une fonction linéaire qui minimise une certaine mesure d’erreur entre les valeurs observées et les valeurs prédites. La régression ne présuppose pas de causalité, mais une association statistique. Elle est utile pour la prédiction et la compréhension de la structure des données. **Exemple** : On mesure la taille (\(x\) en cm) et le poids (\(y\) en kg) de 10 élèves. On veut prédire le poids à partir de la taille. **Exercice d’application corrigé** : Données : \(x\) : 150, 155, 160, 165, 170, 175, 180, 185, 190, 195 \(y\) : 45, 48, 52, 55, 60, 65, 70, 75, 80, 85 Tracer le nuage de points. Quelle tendance observe-t-on ? *Solution* : Les points montrent une tendance linéaire croissante : plus la taille augmente, plus le poids augmente. On peut ajuster une droite. --- ## II. Scatter diagram / Regression Lines Un diagramme de dispersion (scatter plot) représente chaque individu par un point \((x_i, y_i)\) dans un plan cartésien. Il permet de visualiser la forme, la direction et la force de la relation entre deux variables quantitatives. > **À retenir** : Un nuage de points linéaire suggère une relation linéaire ; un nuage en courbe suggère une relation non linéaire ; un nuage dispersé sans tendance suggère l’absence de relation. Les droites de régression sont deux droites distinctes : - La droite de régression de \(y\) sur \(x\) : utilisée pour prédire \(y\) sachant \(x\). - La droite de régression de \(x\) sur \(y\) : utilisée pour prédire \(x\) sachant \(y\). Elles sont généralement différentes, sauf en cas de corrélation parfaite (\(r = \pm 1\)). **Exemple** : Avec les mêmes données que précédemment, tracer le nuage de points. On observe une tendance linéaire positive. **Exercice d’application corrigé** : Données : \(x\) (heures d’étude) : 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 \(y\) (note sur 20) : 8, 10, 12, 14, 16, 18, 19 1. Tracer le diagramme de dispersion. 2. Dire si une droite de régression semble appropriée. *Solution* : 1. Les points s’alignent approximativement sur une droite ascendante. 2. Oui, une droite de régression est appropriée car la tendance est linéaire et forte. --- ## III. Calculating the regression line by Mayer's method La méthode de Mayer (ou méthode des groupes) est une approche graphique et approximative pour estimer la droite de régression, utile lorsque les calculs exacts sont lourds ou pour une première estimation. **Étapes** : 1. Diviser les données en trois groupes de taille égale (ou presque) selon les valeurs de \(x\) (triées). 2. Calculer la moyenne de \(x\) et la moyenne de \(y\) dans chaque groupe : \((\bar{x}_L, \bar{y}_L)\), \((\bar{x}_M, \bar{y}_M)\), \((\bar{x}_R, \bar{y}_R)\). 3. Tracer les trois points moyens. 4. La droite de régression passe par le point milieu \((\bar{x}_M, \bar{y}_M)\) et a une pente estimée par : \[ b = \frac{\bar{y}_R - \bar{y}_L}{\bar{x}_R - \bar{x}_L} \] 5. L’ordonnée à l’origine : \(a = \bar{y}_M - b \bar{x}_M\) > **À retenir** : La méthode de Mayer donne une estimation robuste de la pente, moins sensible aux valeurs aberrantes que les moindres carrés, mais moins précise. **Exemple** : Données : \(x\) : 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 \(y\) : 2, 4, 5, 7, 8, 10, 11, 13, 15 Triés déjà. Trois groupes de 3 points : Gauche : (1,2), (2,4), (3,5) → \(\bar{x}_L = 2\), \(\bar{y}_L = \frac{2+4+5}{3} = \frac{11}{3} \approx 3.67\) Milieu : (4,7), (5,8), (6,10) → \(\bar{x}_M = 5\), \(\bar{y}_M = \frac{7+8+10}{3} = \frac{25}{3} \approx 8.33\) Droite : (7,11), (8,13), (9,15) → \(\bar{x}_R = 8\), \(\bar{y}_R = \frac{11+13+15}{3} = \frac{39}{3} = 13\) Pente : \(b = \frac{13 - 3.67}{8 - 2} = \frac{9.33}{6} \approx 1.555\) Ordonnée à l’origine : \(a = 8.33 - 1.555 \times 5 = 8.33 - 7.775 = 0.555\) Droite de Mayer : \(y = 0.555 + 1.555x\) **Exercice d’application corrigé** : Données : \(x\) : 10, 20, 30, 40, 50, 60 \(y\) : 15, 25, 35, 45, 55, 65 1. Appliquer la méthode de Mayer. 2. Comparer avec la droite des moindres carrés (à calculer plus tard). *Solution* : Deux groupes de 3 points (on peut faire 2 groupes si nombre pair, mais Mayer préfère 3 groupes ; ici on fait : 1-2-3, 4-5-6) Gauche : (10,15),(20,25),(30,35) → \(\bar{x}_L=20\), \(\bar{y}_L=25\) Droite : (40,45),(50,55),(60,65) → \(\bar{x}_R=50\), \(\bar{y}_R=55\) Pas de groupe milieu ? On prend les deux groupes et on considère que le milieu est entre eux. Méthode de Mayer pour nombre pair : parfois on prend les deux extrêmes et on suppose que la droite passe par le milieu du nuage. Alternative : prendre les premiers et derniers tiers. Ici, on peut considérer : Gauche : premiers 2 : (10,15),(20,25) → \(\bar{x}_L=15\), \(\bar{y}_L=20\) Milieu : milieux 2 : (30,35),(40,45) → \(\bar{x}_M=35\), \(\bar{y}_M=40\) Droite : derniers 2 : (50,55),(60,65) → \(\bar{x}_R=55\), \(\bar{y}_R=60\) Alors : \(b = \frac{60 - 20}{55 - 15} = \frac{40}{40} = 1\) \(a = 40 - 1 \times 35 = 5\) Droite de Mayer : \(y = 5 + x\) Plus tard, on verra que la droite des moindres carrés est exactement \(y = 5 + x\). Donc ici, Mayer donne le résultat exact. --- ## IV. Introduction to correlation La corrélation mesure la force et la direction de la relation linéaire entre deux variables quantitatives. Elle ne présuppose pas de causalité. > **À retenir** : Le coefficient de corrélation \(r\) varie entre \(-1\) et \(+1\). > - \(r = 1\) : corrélation positive parfaite > - \(r = -1\) : corrélation négative parfaite > - \(r = 0\) : absence de corrélation linéaire > - Plus \(|r|\) est proche de 1, plus la relation linéaire est forte. La corrélation est symétrique : \(\text{corr}(x,y) = \text{corr}(y,x)\), contrairement à la régression. **Exemple** : Dans l’exemple taille/poids, on s’attend à une corrélation positive forte. **Exercice d’application corrigé** : Données : \(x\) : 1, 2, 3, 4, 5 \(y\) : 5, 4, 3, 2, 1 Quel est le signe attendu de la corrélation ? *Solution* : Lorsque \(x\) augmente, \(y\) diminue → corrélation négative attendue. --- ## V. Sample variance and covariance La variance écarte la dispersion d’une variable autour de sa moyenne. La covariance mesure comment deux variables varient ensemble. > **À retenir** : > Variance échantillonnale de \(x\) : > \[ > s_x^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})^2 > \] > Covariance échantillonnale entre \(x\) et \(y\) : > \[ > s_{xy} = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y}) > \] > Le signe de \(s_{xy}\) indique la direction de la relation : positif si les variables varient dans le même sens, négatif sinon. La covariance dépend de l’échelle des variables, d’où la nécessité de la normaliser pour obtenir le coefficient de corrélation. **Exemple** : Données : \(x\) : 2, 4, 6, 8 \(y\) : 1, 3, 5, 7 \(\bar{x} = 5\), \(\bar{y} = 4\) \(s_x^2 = \frac{1}{3}[(2-5)^2 + (4-5)^2 + (6-5)^2 + (8-5)^2] = \frac{1}{3}[9+1+1+9] = \frac{20}{3} \approx 6.67\) \(s_{xy} = \frac{1}{3}[(2-5)(1-4) + (4-5)(3-4) + (6-5)(5-4) + (8-5)(7-4)]\) \(= \frac{1}{3}[(-3)(-3) + (-1)(-1) + (1)(1) + (3)(3)] = \frac{1}{3}[9+1+1+9] = \frac{20}{3} \approx 6.67\) **Exercice d’application corrigé** : Données : \(x\) : 10, 20, 30 \(y\) : 5, 10, 15 1. Calculer \(\bar{x}\), \(\bar{y}\) 2. Calculer \(s_x^2\), \(s_y^2\), \(s_{xy}\) *Solution* : \(\bar{x} = 20\), \(\bar{y} = 10\) \(s_x^2 = \frac{1}{2}[(10-20)^2 + (20-20)^2 + (30-20)^2] = \frac{1}{2}[100+0+100] = 100\) \(s_y^2 = \frac{1}{2}[(5-10)^2 + (10-10)^2 + (15-10)^2] = \frac{1}{2}[25+0+25] = 25\) \(s_{xy} = \frac{1}{2}[(10-20)(5-10) + (20-20)(10-10) + (30-20)(15-10)] = \frac{1}{2}[(-10)(-5) + 0 + (10)(5)] = \frac{1}{2}[50+50] = 50\) --- ## VI. Equation of Least squares regression line of y on x La droite des moindres carrés de \(y\) sur \(x\) minimise la somme des carrés des résidus verticales (écarts en \(y\)). > **À retenir** : L’équation est : > \[ > \hat{y} = a + bx > \] > où > \[ > b = \frac{s_{xy}}{s_x^2} = \frac{\sum (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}{\sum (x_i - \bar{x})^2} > \] > \[ > a = \bar{y} - b \bar{x} > \] Cette droite possède deux propriétés clés : 1. Elle passe par le point de moyenne \((\bar{x}, \bar{y})\). 2. La somme des résidus est nulle : \(\sum (y_i - \hat{y}_i) = 0\). **Exemple** : Données : \(x\) : 1, 2, 3, 4 \(y\) : 2, 4, 5, 7 \(\bar{x} = 2.5\), \(\bar{y} = 4.5\) \(\sum (x_i - \bar{x})^2 = (1-2.5)^2 + (2-2.5)^2 + (3-2.5)^2 + (4-2.5)^2 = 2.25 + 0.25 + 0.25 + 2.25 = 5\) \(\sum (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y}) = (1-2.5)(2-4.5) + (2-2.5)(4-4.5) + (3-2.5)(5-4.5) + (4-2.5)(7-4.5)\) \(= (-1.5)(-2.5) + (-0.5)(-0.5) + (0.5)(0.5) + (1.5)(2.5) = 3.75 + 0.25 + 0.25 + 3.75 = 8\) Donc : \(b = \frac{8}{5} = 1.6\) \(a = 4.5 - 1.6 \times 2.5 = 4.5 - 4 = 0.5\) Équation : \(\hat{y} = 0.5 + 1.6x\) **Exercice d’application corrigé** : Données : \(x\) : 5, 10, 15, 20 \(y\) : 12, 24, 36, 48 1. Montrer que la relation est parfaitement linéaire. 2. Trouver l’équation de la droite des moindres carrés de \(y\) sur \(x\). *Solution* : On voit que \(y = 2.4x\) exactement : \(5 \times 2.4 = 12\), \(10 \times 2.4 = 24\), etc. \(\bar{x} = 12.5\), \(\bar{y} = 30\) \(\sum (x_i - \bar{x})^2 = (5-12.5)^2 + (10-12.5)^2 + (15-12.5)^2 + (20-12.5)^2 = 56.25 + 6.25 + 6.25 + 56.25 = 125\) \(\sum (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y}) = (5-12.5)(12-30) + (10-12.5)(24-30) + (15-12.5)(36-30) + (20-12.5)(48-30)\) \(= (-7.5)(-18) + (-2.5)(-6) + (2.5)(6) + (7.5)(18) = 135 + 15 + 15 + 135 = 300\) \(b = 300 / 125 = 2.4\) \(a = 30 - 2.4 \times 12.5 = 30 - 30 = 0\) Équation : \(\hat{y} = 2.4x\) → vérifié. --- ## VII. Equation of Least squares regression line of x on y Symétriquement, la droite des moindres carrés de \(x\) sur \(y\) minimise la somme des carrés des résidus horizontaux (écarts en \(x\)). > **À retenir** : L’équation est : > \[ > \hat{x} = c + dy > \] > où > \[ > d = \frac{s_{xy}}{s_y^2} = \frac{\sum (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}{\sum (y_i - \bar{y})^2} > \] > \[ > c = \bar{x} - d \bar{y} > \] Cette droite est différente de celle de \(y\) sur \(x\), sauf si \(r = \pm 1\). **Exemple** : Avec les mêmes données que précédemment : \(x\) : 1, 2, 3, 4 \(y\) : 2, 4, 5, 7 On a déjà : \(\sum (y_i - \bar{y})^2 = (2-4.5)^2 + (4-4.5)^2 + (5-4.5)^2 + (7-4.5)^2 = 6.25 + 0.25 + 0.25 + 6.25 = 13\) \(\sum (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y}) = 8\) (comme avant) Donc : \(d = \frac{8}{13} \approx 0.615\) \(c = \bar{x} - d \bar{y} = 2.5 - 0.615 \times 4.5 \approx 2.5 - 2.7675 = -0.2675\) Équation : \(\hat{x} = -0.2675 + 0.615y\) **Exercice d’application corrigé** : Données : \(x\) : 3, 6, 9, 12 \(y\) : 1, 2, 3, 4 1. Trouver la droite des moindres carrés de \(x\) sur \(y\). 2. Comparer avec celle de \(y\) sur \(x\). *Solution* : On voit que \(x = 3y\) exactement. \(\bar{x} = 7.5\), \(\bar{y} = 2.5\) \(\sum (y_i - \bar{y})^2 = (1-2.5)^2 + (2-2.5)^2 + (3-2.5)^2 + (4-2.5)^2 = 2.25 + 0.25 + 0.25 + 2.25 = 5\) \(\sum (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y}) = (3-7.5)(1-2.5) + (6-7.5)(2-2.5) + (9-7.5)(3-2.5) + (12-7.5)(4-2.5)\) \(= (-4.5)(-1.5) + (-1.5)(-0.5) + (1.5)(0.5) + (4.5)(1.5) = 6.75 + 0.75 + 0.75 + 6.75 = 15\) \(d = 15 / 5 = 3\) \(c = 7.5 - 3 \times 2.5 = 7.5 - 7.5 = 0\) Équation : \(\hat{x} = 3y\) Pour \(y\) sur \(x\) : \(\sum (x_i - \bar{x})^2 = (3-7.5)^2 + (6-7.5)^2 + (9-7.5)^2 + (12-7.5)^2 = 20.25 + 2.25 + 2.25 + 20.25 = 45\) \(b = 15 / 45 = 1/3\) \(a = 2.5 - (1/3) \times 7.5 = 2.5 - 2.5 = 0\) Équation : \(\hat{y} = \frac{1}{3}x\) On voit bien que les deux droites sont inverses l’une de l’autre, comme attendu lorsque la relation est parfaitement linéaire. --- ## VIII. Residual sum of squares (RSS) of the least regression line of y on x Le résidu pour un point est la différence entre la valeur observée et la valeur prédite : \(e_i = y_i - \hat{y}_i\). Le RSS mesure l’erreur totale du modèle : plus il est petit, mieux la droite ajuste les données. > **À retenir** : > \[ > \text{RSS}_{y|x} = \sum_{i=1}^n (y_i - \hat{y}_i)^2 = \sum (y_i - \bar{y})^2 - b \sum (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y}) > \] > Équivalentement : \(\text{RSS} = (n-1)s_y^2 (1 - r^2)\) Cette forme montre que le RSS diminue lorsque \(r^2\) augmente : plus la corrélation est forte, moins il y d’erreur résiduelle. **Exemple** : Données : \(x\) : 1, 2, 3, 4 \(y\) : 2, 4, 5, 7 On a déjà : \(\hat{y} = 0.5 + 1.6x\) Prédictions : \(x=1\) → \(\hat{y}=2.1\), \(e=2-2.1=-0.1\) \(x=2\) → \(\hat{y}=3.7\), \(e=4-3.7=0.3\) \(x=3\) → \(\hat{y}=5.3\), \(e=5-5.3=-0.3\) \(x=4\) → \(\hat{y}=6.9\), \(e=7-6.9=0.1\) RSS = \((-0.1)^2 + (0.3)^2 + (-0.3)^2 + (0.1)^2 = 0.01 + 0.09 + 0.09 + 0.01 = 0.20\) Vérification avec la formule : \(\sum (y_i - \bar{y})^2 = 13\) (calculé précédemment) \(b = 1.6\), \(\sum (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y}) = 8\) RSS = \(13 - 1.6 \times 8 = 13 - 12.8 = 0.2\) → confirmé. **Exercice d’application corrigé** : Données : \(x\) : 10, 20, 30 \(y\) : 15, 25, 35 1. Montrer que la droite des moindres carrés est \(y = 5 + x\). 2. Calculer le RSS. *Solution* : On voit que \(y = x + 5\) exactement. Prédictions : \(x=10\) → \(\hat{y}=15\), \(e=0\) \(x=20\) → \(\hat{y}=25\), \(e=0\) \(x=30\) → \(\hat{y}=35\), \(e=0\) RSS = 0 Vérification : \(\bar{x}=20\), \(\bar{y}=25\) \(\sum (y_i - \bar{y})^2 = (15-25)^2 + (25-25)^2 + (35-25)^2 = 100 + 0 + 100 = 200\) \(\sum (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y}) = (10-20)(15-25) + 0 + (30-20)(35-25) = (-10)(-10) + (10)(10) = 100 + 100 = 200\) \(b = 200 / \sum (x_i - \bar{x})^2\) \(\sum (x_i - \bar{x})^2 = (10-20)^2 + 0 + (30-20)^2 = 100 + 0 + 100 = 200\) \(b = 200 / 200 = 1\) \(a = 25 - 1 \times 20 = 5\) RSS = \(\sum (y_i - \bar{y})^2 - b \sum (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y}) = 200 - 1 \times 200 = 0\) → confirmé. --- ## IX. Residual sum of squares (RSS) of the least regression line of x on y De même, pour la droite de \(x\) sur \(y\), on définit le RSS horizontal : > **À retenir** : > \[ > \text{RSS}_{x|y} = \sum_{i=1}^n (x_i - \hat{x}_i)^2 = \sum (x_i - \bar{x})^2 - d \sum (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y}) > \] > où \(d = \frac{s_{xy}}{s_y^2}\) est la pente de \(x\) sur \(y\). Cette quantité mesure l’erreur quand on prédit \(x\) à partir de \(y\). **Exemple** : Avec les mêmes données : \(x\) : 1, 2, 3, 4 \(y\) : 2, 4, 5, 7 On a : \(\hat{x} = -0.2675 + 0.615y\) Prédictions : \(y=2\) → \(\hat{x} = -0.2675 + 1.23 = 0.9625\), \(e_x = 1 - 0.9625 = 0.0375\) \(y=4\) → \(\hat{x} = -0.2675 + 2.46 = 2.1925\), \(e_x = 2 - 2.1925 = -0.1925\) \(y=5\) → \(\hat{x} = -0.2675 + 3.075 = 2.8075\), \(e_x = 3 - 2.8075 = 0.1925\) \(y=7\) → \(\hat{x} = -0.2675 + 4.305 = 4.0375\), \(e_x = 4 - 4.0375 = -0.0375\) RSS = \((0.0375)^2 + (-0.1925)^2 + (0.1925)^2 + (-0.0375)^2 = 0.001406 + 0.037056 + 0.037056 + 0.001406 = 0.076924\) Vérification : \(\sum (x_i - \bar{x})^2 = 5\) \(d = 8/13 \approx 0.6154\) \(\sum (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y}) = 8\) RSS = \(5 - (8/13) \times 8 = 5 - 64/13 = (65 - 64)/13 = 1/13 \approx 0.0769\) → confirmé. **Exercice d’application corrigé** : Données : \(x\) : 4, 8, 12 \(y\) : 2, 4, 6 1. Montrer que \(x = 2y\) exactement. 2. Trouver la droite des moindres carrés de \(x\) sur \(y\). 3. Calculer le RSS. *Solution* : On voit que \(x = 2y\). \(\bar{x} = 8\), \(\bar{y} = 4\) \(\sum (y_i - \bar{y})^2 = (2-4)^2 + (4-4)^2 + (6-4)^2 = 4 + 0 + 4 = 8\) \(\sum (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y}) = (4-8)(2-4) + (8-8)(4-4) + (12-8)(6-4) = (-4)(-2) + 0 + (4)(2) = 8 + 0 + 8 = 16\) \(d = 16 / 8 = 2\) \(c = 8 - 2 \times 4 = 0\) Équation : \(\hat{x} = 2y\) Prédictions exactes → résidus nuls → RSS = 0 Vérification : \(\sum (x_i - \bar{x})^2 = (4-8)^2 + 0 + (12-8)^2 = 16 + 0 + 16 = 32\) RSS = \(\sum (x_i - \bar{x})^2 - d \sum (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y}) = 32 - 2 \times 16 = 32 - 32 = 0\) → confirmé. --- ## X. The line of best fit L’expression « ligne de meilleur ajustement » (line of best fit) désigne généralement la droite des moindres carrés de \(y\) sur \(x\), car elle minimise l’erreur verticale, qui est la plus naturelle quand \(x\) est considérée comme variable indépendante (contrôlée) et \(y\) comme dépendante (mesurée). > **À retenir** : Dans le contexte de la régression simple, la « ligne de meilleur ajustement » est la droite des moindres carrés de \(y\) sur \(x\), sauf indication contraire. Elle est utilisée pour la prédiction : on substitue une valeur de \(x\) pour obtenir \(\hat{y}\). Elle possède la propriété de passer par \((\bar{x}, \bar{y})\) et d’avoir des résidus non corrélés avec \(x\) (dans le cas des moindres carrés ordinaires). **Exemple** : Dans l’exemple taille/poids, si on veut prédire le poids d’un élève de 172 cm, on utilise la droite de \(y\) sur \(x\). **Exercice d’application corrigé** : Données : \(x\) (heure de coucher) : 20, 21, 22, 23 \(y\) (note du lendemain) : 16, 14, 12, 10 1. Trouver la ligne de meilleur ajustement (de \(y\) sur \(x\)). 2. Prédire la note pour une heure de coucher à 21h30. *Solution* : On voit que \(y = -2x + 56\) : \(20 \rightarrow -40+56=16\), \(21\rightarrow -42+56=14\), etc. \(\bar{x}=21.5\), \(\bar{y}=13\) \(\sum (x_i - \bar{x})^2 = (20-21.5)^2 + (21-21.5)^2 + (22-21.5)^2 + (23-21.5)^2 = 2.25+0.25+0.25+2.25=5\) \(\sum (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y}) = (20-21.5)(16-13) + (21-21.5)(14-13) + (22-21.5)(12-13) + (23-21.5)(10-13)\) \(= (-1.5)(3) + (-0.5)(1) + (0.5)(-1) + (1.5)(-3) = -4.5 -0.5 -0.5 -4.5 = -10\) \(b = -10 / 5 = -2\) \(a = 13 - (-2) \times 21.5 = 13 + 43 = 56\) Équation : \(\hat{y} = 56 - 2x\) Pour \(x = 21.5\) : \(\hat{y} = 56 - 2 \times 21.5 = 56 - 43 = 13\) Prédiction : 13/20. ---