Integration

# Integration ## Objectifs et prérequis Ce chapitre vise à maîtriser les applications de l'intégrale définie en mathématiques pures et statistiques, en particulier pour calculer des aires, des volumes, des centres de masse et des approximations numériques. L'élève doit savoir interpréter l'intégrale définie comme limite de sommes de Riemann, l'appliquer à des problèmes géométriques et physiques, et utiliser des méthodes d'approximation comme la règle des trapèzes. Les prérequis incluent une maîtrise solide des techniques d'intégration (substitution, parties, fractions partielles), des fonctions élémentaires (polynômes, trigonométriques, exponentielles, logarithmiques), et la compréhension du théorème fondamental du calcul. ## Introduction L'intégrale définie, au-delà de son rôle de primitive évaluée, est un outil puissant pour modéliser des quantités continues : aire sous une courbe, volume d'un solide de révolution, centre de masse d'une lamina, ou valeur moyenne d'une fonction. Ce chapitre développe ces applications de manière rigoureuse, en partant de la définition fondamentale par sommes de Riemann jusqu'aux méthodes numériques d'approximation. Chaque notion est présentée avec définition, propriétés, exemples résolus pas à pas, et exercices corrigés, en respectant la progression officielle du programme camerounais anglophone pour l'Upper Sixth en Pure Mathematics with Statistics. ## I. Expressing definite integral as limit of Riemann sums ### Définition et propriétés L'intégrale définie d'une fonction $f$ sur l'intervalle $[a, b]$ est définie comme la limite des sommes de Riemann lorsque la norme de la partition tend vers zéro. > **Définition** : Soit $f$ une fonction définie sur $[a, b]$. On divise $[a, b]$ en $n$ sous-intervalles égaux de largeur $\Delta x = \frac{b-a}{n}$. On choisit un point d'échantillonnage $x_i^*$ dans le $i$-ième sous-intervalle $[x_{i-1}, x_i]$. La somme de Riemann associée est : > $$ > S_n = \sum_{i=1}^{n} f(x_i^*) \Delta x > $$ > L'intégrale définie de $f$ de $a$ à $b$ est : > $$ > \int_a^b f(x) \, dx = \lim_{n \to \infty} S_n = \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^{n} f(x_i^*) \Delta x > $$ > si cette limite existe indépendamment du choix des points $x_i^*$. ### Propriétés - Si $f$ est continue sur $[a, b]$, alors l'intégrale définie existe. - L'intégrale est additive : $\int_a^b f(x) \, dx + \int_b^c f(x) \, dx = \int_a^c f(x) \, dx$. - $\int_a^a f(x) \, dx = 0$. - $\int_a^b f(x) \, dx = -\int_b^a f(x) \, dx$. ### Exemple résolu : Calcul de $\int_0^2 x^2 \, dx$ par sommes de Riemann On prend $x_i^* = x_i$ (point droit), $\Delta x = \frac{2-0}{n} = \frac{2}{n}$, $x_i = i \cdot \frac{2}{n}$. Alors : $$ S_n = \sum_{i=1}^{n} \left( i \cdot \frac{2}{n} \right)^2 \cdot \frac{2}{n} = \sum_{i=1}^{n} \frac{4i^2}{n^2} \cdot \frac{2}{n} = \frac{8}{n^3} \sum_{i=1}^{n} i^2 $$ En utilisant $\sum_{i=1}^{n} i^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ : $$ S_n = \frac{8}{n^3} \cdot \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} = \frac{8}{6} \cdot \frac{(n+1)(2n+1)}{n^2} = \frac{4}{3} \cdot \left(2 + \frac{3}{n} + \frac{1}{n^2}\right) $$ En prenant la limite quand $n \to \infty$ : $$ \lim_{n \to \infty} S_n = \frac{4}{3} \cdot 2 = \frac{8}{3} $$ Donc : $$ \int_0^2 x^2 \, dx = \frac{8}{3} $$ ### Exercices d'application corrigés **Exercice 1** : Calculer $\int_1^3 (2x + 1) \, dx$ par la définition de la somme de Riemann (points droits). **Solution** : $\Delta x = \frac{3-1}{n} = \frac{2}{n}$, $x_i = 1 + i \cdot \frac{2}{n}$ $f(x_i) = 2\left(1 + \frac{2i}{n}\right) + 1 = 3 + \frac{4i}{n}$ $S_n = \sum_{i=1}^{n} \left(3 + \frac{4i}{n}\right) \cdot \frac{2}{n} = \frac{2}{n} \sum_{i=1}^{n} 3 + \frac{8}{n^2} \sum_{i=1}^{n} i = \frac{2}{n} \cdot 3n + \frac{8}{n^2} \cdot \frac{n(n+1)}{2} = 6 + \frac{4(n+1)}{n}$ $\lim_{n \to \infty} S_n = 6 + 4 = 10$ Vérification par primitive : $\int (2x+1) dx = x^2 + x$, de 1 à 3 : $(9+3)-(1+1)=10$. ✅ **Exercice 2** : Montrer que $\int_0^1 x \, dx = \frac{1}{2}$ par sommes de Riemann (points milieux). **Solution** : $\Delta x = \frac{1}{n}$, $x_i^* = \frac{2i-1}{2n}$ $S_n = \sum_{i=1}^{n} \frac{2i-1}{2n} \cdot \frac{1}{n} = \frac{1}{2n^2} \sum_{i=1}^{n} (2i-1) = \frac{1}{2n^2} \cdot n^2 = \frac{1}{2}$ Puisque $\sum_{i=1}^{n} (2i-1) = n^2$, la limite est $\frac{1}{2}$ directement. ✅ ## II. Use of definite integral to calculate areas ### Définition et propriétés L'aire sous la courbe $y = f(x)$ au-dessus de l'axe des $x$, entre $x = a$ et $x = b$, est donnée par l'intégrale définie de $f$ sur $[a, b]$, lorsque $f(x) \geq 0$. > **Règle** : Si $f$ est continue et $f(x) \geq 0$ sur $[a, b]$, alors l'aire $A$ du domaine borné par $y = f(x)$, $y = 0$, $x = a$ et $x = b$ est : > $$ > A = \int_a^b f(x) \, dx > $$ Si $f(x)$ change de signe, on décompose l'intervalle en parties où $f$ garde un signe constant, et on prend la valeur absolue de chaque intégrale. ### Exemple résolu : Aire sous $y = x^2$ de $x=0$ à $x=2$ Puisque $x^2 \geq 0$ sur $[0,2]$ : $$ A = \int_0^2 x^2 \, dx = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_0^2 = \frac{8}{3} - 0 = \frac{8}{3} $$ ### Exemple résolu : Aire entre $y = \sin x$ et l'axe des $x$ de $0$ à $\pi$ $\sin x \geq 0$ sur $[0, \pi]$, donc : $$ A = \int_0^\pi \sin x \, dx = \left[ -\cos x \right]_0^\pi = (-\cos \pi) - (-\cos 0) = -(-1) + 1 = 2 $$ ### Exemple résolu : Aire entre $y = x^2 - 4$ et l'axe des $x$ de $-2$ à $2$ On résout $x^2 - 4 = 0 \Rightarrow x = \pm 2$. Sur $[-2,2]$, $x^2 - 4 \leq 0$, donc l'aire est : $$ A = \int_{-2}^{2} |x^2 - 4| \, dx = \int_{-2}^{2} (4 - x^2) \, dx = 2 \int_0^2 (4 - x^2) \, dx \quad (\text{par symétrie}) $$ $$ = 2 \left[ 4x - \frac{x^3}{3} \right]_0^2 = 2 \left( 8 - \frac{8}{3} \right) = 2 \cdot \frac{16}{3} = \frac{32}{3} $$ ### Exercices d'application corrigés **Exercice 1** : Trouver l'aire bornée par $y = 3x - x^2$ et l'axe des $x$. **Solution** : Zéros : $3x - x^2 = 0 \Rightarrow x(3-x)=0 \Rightarrow x=0, x=3$ Sur $[0,3]$, $3x - x^2 \geq 0$ (parabole ouverte vers le bas) $$ A = \int_0^3 (3x - x^2) \, dx = \left[ \frac{3x^2}{2} - \frac{x^3}{3} \right]_0^3 = \left( \frac{27}{2} - 9 \right) - 0 = \frac{27}{2} - \frac{18}{2} = \frac{9}{2} $$ **Exercice 2** : Aire entre $y = e^x$ et l'axe des $x$ de $x=-1$ à $x=1$. Puisque $e^x > 0$ partout : $$ A = \int_{-1}^{1} e^x \, dx = \left[ e^x \right]_{-1}^{1} = e^1 - e^{-1} = e - \frac{1}{e} $$ ## III. Use of integration to calculate the area bounded by the x-axis Cette section est une spécialisation de la précédente : elle traite explicitement le cas où la courbe est donnée et l'axe des $x$ est la borne inférieure ou supérieure. La méthode est identique : on intègre la valeur absolue de la fonction si elle change de signe, ou directement la fonction si elle est d'un seul signe. > **Règle** : L'aire bornée par la courbe $y = f(x)$ et l'axe des $x$ entre $x = a$ et $x = b$ est : > $$ > A = \int_a^b |f(x)| \, dx > $$ ### Exemple résolu : Aire entre $y = x^3 - x$ et l'axe des $x$ de $-1$ à $1$ Zéros : $x^3 - x = x(x-1)(x+1) = 0 \Rightarrow x = -1, 0, 1$ Sur $[-1,0]$ : $x^3 - x \geq 0$ (test : $x=-0.5 \Rightarrow -0.125 + 0.5 = 0.375 > 0$) Sur $[0,1]$ : $x^3 - x \leq 0$ (test : $x=0.5 \Rightarrow 0.125 - 0.5 = -0.375 < 0$) Donc : $$ A = \int_{-1}^{0} (x^3 - x) \, dx + \int_{0}^{1} -(x^3 - x) \, dx = \int_{-1}^{0} (x^3 - x) \, dx + \int_{0}^{1} (x - x^3) \, dx $$ Calcul du premier : $$ \int_{-1}^{0} (x^3 - x) \, dx = \left[ \frac{x^4}{4} - \frac{x^2}{2} \right]_{-1}^{0} = 0 - \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{2} \right) = - \left( -\frac{1}{4} \right) = \frac{1}{4} $$ Calcul du second : $$ \int_{0}^{1} (x - x^3) \, dx = \left[ \frac{x^2}{2} - \frac{x^4}{4} \right]_{0}^{1} = \frac{1}{2} - \frac{1}{4} = \frac{1}{4} $$ Donc $A = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{1}{2}$ ### Exercices d'application corrigés **Exercice 1** : Aire entre $y = \cos x$ et l'axe des $x$ de $0$ à $\frac{3\pi}{2}$. Zéros de $\cos x$ : $x = \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}$ Sur $[0, \frac{\pi}{2}]$ : $\cos x \geq 0$ Sur $[\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}]$ : $\cos x \leq 0$ $$ A = \int_0^{\pi/2} \cos x \, dx + \int_{\pi/2}^{3\pi/2} (-\cos x) \, dx = \left[ \sin x \right]_0^{\pi/2} + \left[ -\sin x \right]_{\pi/2}^{3\pi/2} $$ $$ = (1 - 0) + \left( -\sin\frac{3\pi}{2} + \sin\frac{\pi}{2} \right) = 1 + \left( -(-1) + 1 \right) = 1 + (1 + 1) = 3 $$ **Exercice 2** : Aire entre $y = |x|$ et l'axe des $x$ de $-2$ à $2$. Puisque $|x|$ est paire et positive : $$ A = 2 \int_0^2 x \, dx = 2 \left[ \frac{x^2}{2} \right]_0^2 = 2 \cdot 2 = 4 $$ Ou directement : $\int_{-2}^{2} |x| dx = \int_{-2}^{0} (-x) dx + \int_{0}^{2} x dx = \left[ -\frac{x^2}{2} \right]_{-2}^{0} + \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{2} = (0 - (-2)) + (2 - 0) = 2 + 2 = 4$ ## IV. Use of integration to calculate the area bounded by the y-axis Ici, on calcule l'aire bornée par une courbe $x = g(y)$, l'axe des $y$, et les droites $y = c$, $y = d$. On intègre par rapport à $y$. > **Règle** : L'aire bornée par la courbe $x = g(y)$, l'axe des $y$ ($x=0$), et les droites $y = c$ et $y = d$ (avec $g(y) \geq 0$ sur $[c,d]$) est : > $$ > A = \int_c^d g(y) \, dy > $$ > Si $g(y) < 0$, on prend la valeur absolue : $A = \int_c^d |g(y)| \, dy$. ### Exemple résolu : Aire bornée par $x = y^2$, l'axe des $y$, et $y = -1$ à $y = 1$ Puisque $x = y^2 \geq 0$ partout : $$ A = \int_{-1}^{1} y^2 \, dy = 2 \int_0^1 y^2 \, dy = 2 \left[ \frac{y^3}{3} \right]_0^1 = 2 \cdot \frac{1}{3} = \frac{2}{3} $$ ### Exemple résolu : Aire bornée par $x = \sqrt{y}$, l'axe des $y$, et $y = 0$ à $y = 4$ $$ A = \int_0^4 \sqrt{y} \, dy = \int_0^4 y^{1/2} \, dy = \left[ \frac{2}{3} y^{3/2} \right]_0^4 = \frac{2}{3} \cdot 8 = \frac{16}{3} $$ ### Exemple résolu : Aire bornée par $x = 4 - y^2$, l'axe des $y$, et les points d'intersection avec l'axe des $y$ On résout $4 - y^2 = 0 \Rightarrow y = \pm 2$. Sur $[-2,2]$, $4 - y^2 \geq 0$ : $$ A = \int_{-2}^{2} (4 - y^2) \, dy = 2 \int_0^2 (4 - y^2) \, dy = 2 \left[ 4y - \frac{y^3}{3} \right]_0^2 = 2 \left( 8 - \frac{8}{3} \right) = 2 \cdot \frac{16}{3} = \frac{32}{3} $$ ### Exercices d'application corrigés **Exercice 1** : Aire bornée par $x = y^3 - y$, l'axe des $y$, et $y = -1$ à $y = 1$. Zéros : $y^3 - y = y(y-1)(y+1)=0 \Rightarrow y=-1,0,1$ Sur $[-1,0]$ : $y^3 - y \geq 0$ (test : $y=-0.5 \Rightarrow -0.125 + 0.5 = 0.375 > 0$) Sur $[0,1]$ : $y^3 - y \leq 0$ (test : $y=0.5 \Rightarrow 0.125 - 0.5 = -0.375 < 0$) $$ A = \int_{-1}^{0} (y^3 - y) \, dy + \int_{0}^{1} -(y^3 - y) \, dy = \int_{-1}^{0} (y^3 - y) \, dy + \int_{0}^{1} (y - y^3) \, dy $$ Comme dans l'exemple précédent avec $x$, chaque intégrale vaut $\frac{1}{4}$, donc $A = \frac{1}{2}$ **Exercice 2** : Aire bornée par $x = e^y$, l'axe des $y$, et $y = -1$ à $y = 1$ Puisque $e^y > 0$ : $$ A = \int_{-1}^{1} e^y \, dy = \left[ e^y \right]_{-1}^{1} = e - e^{-1} = e - \frac{1}{e} $$ ## V. Use of integration to calculate volumes of solid of revolution about the x-axis Lorsque une courbe $y = f(x)$ est faite tourner autour de l'axe des $x$, elle engendre un solide de révolution. Le volume est calculé par la méthode des disques. > **Règle (Méthode des disques)** : Si la courbe $y = f(x) \geq 0$ sur $[a, b]$ est faite tourner autour de l'axe des $x$, le volume $V$ du solide engendré est : > $$ > V = \pi \int_a^b [f(x)]^2 \, dx > $$ ### Exemple résolu : Volume engendré par la rotation de $y = x^2$ autour de l'axe des $x$, de $x=0$ à $x=2$ $$ V = \pi \int_0^2 (x^2)^2 \, dx = \pi \int_0^2 x^4 \, dx = \pi \left[ \frac{x^5}{5} \right]_0^2 = \pi \cdot \frac{32}{5} = \frac{32\pi}{5} $$ ### Exemple résolu : Volume engendré par la rotation de $y = \sqrt{x}$ autour de l'axe des $x$, de $x=0$ à $x=4$ $$ V = \pi \int_0^4 (\sqrt{x})^2 \, dx = \pi \int_0^4 x \, dx = \pi \left[ \frac{x^2}{2} \right]_0^4 = \pi \cdot \frac{16}{2} = 8\pi $$ ### Exemple résolu : Volume engendré par la rotation de $y = \sin x$ autour de l'axe des $x$, de $x=0$ à $x=\pi$ $$ V = \pi \int_0^\pi \sin^2 x \, dx $$ On utilise l'identité $\sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2}$ : $$ V = \pi \int_0^\pi \frac{1 - \cos 2x}{2} \, dx = \frac{\pi}{2} \int_0^\pi (1 - \cos 2x) \, dx = \frac{\pi}{2} \left[ x - \frac{\sin 2x}{2} \right]_0^\pi $$ $$ = \frac{\pi}{2} \left( \pi - 0 - (0 - 0) \right) = \frac{\pi}{2} \cdot \pi = \frac{\pi^2}{2} $$ ### Exercices d'application corrigés **Exercice 1** : Volume engendré par la rotation de $y = 2x - x^2$ autour de l'axe des $x$, entre ses zéros. Zéros : $2x - x^2 = x(2-x)=0 \Rightarrow x=0, x=2$ Sur $[0,2]$, $2x - x^2 \geq 0$ $$ V = \pi \int_0^2 (2x - x^2)^2 \, dx = \pi \int_0^2 (4x^2 - 4x^3 + x^4) \, dx = \pi \left[ \frac{4x^3}{3} - x^4 + \frac{x^5}{5} \right]_0^2 $$ $$ = \pi \left( \frac{32}{3} - 16 + \frac{32}{5} \right) = \pi \left( \frac{160}{15} - \frac{240}{15} + \frac{96}{15} \right) = \pi \cdot \frac{16}{15} = \frac{16\pi}{15} $$ **Exercice 2** : Volume engendré par la rotation de $y = e^{-x}$ autour de l'axe des $x$, de $x=0$ à $x=\infty$ $$ V = \pi \int_0^\infty (e^{-x})^2 \, dx = \pi \int_0^\infty e^{-2x} \, dx = \pi \left[ -\frac{1}{2} e^{-2x} \right]_0^\infty = \pi \left( 0 - (-\frac{1}{2}) \right) = \frac{\pi}{2} $$ ## VI. Use of integration to calculate volumes of solid of revolution about the y-axis Lorsque la courbe est faite tourner autour de l'axe des $y$, on peut utiliser la méthode des disques en intégrant par rapport à $y$, ou la méthode des cylindres creux en intégrant par rapport à $x$. Ici, on privilégie la méthode des disques en exprimant $x$ en fonction de $y$. > **Règle (Méthode des disques autour de l'axe des $y$)** : Si la courbe $x = g(y) \geq 0$ sur $[c, d]$ est faite tourner autour de l'axe des $y$, le volume $V$ du solide engendré est : > $$ > V = \pi \int_c^d [g(y)]^2 \, dy > $$ ### Exemple résolu : Volume engendré par la rotation de $x = y^2$ autour de l'axe des $y$, de $y=0$ à $y=2$ $$ V = \pi \int_0^2 (y^2)^2 \, dy = \pi \int_0^2 y^4 \, dy = \pi \left[ \frac{y^5}{5} \right]_0^2 = \pi \cdot \frac{32}{5} = \frac{32\pi}{5} $$ ### Exemple résolu : Volume engendré par la rotation de $x = \sqrt{y}$ autour de l'axe des $y$, de $y=0$ à $y=4$ $$ V = \pi \int_0^4 (\sqrt{y})^2 \, dy = \pi \int_0^4 y \, dy = \pi \left[ \frac{y^2}{2} \right]_0^4 = \pi \cdot \frac{16}{2} = 8\pi $$ ### Exemple résolu : Volume engendré par la rotation de la courbe $y = x^2$ autour de l'axe des $y$, de $x=0$ à $x=2$ On doit exprimer $x$ en fonction de $y$ : $y = x^2 \Rightarrow x = \sqrt{y}$ (branche positive, puisque $x \geq 0$) Quand $x=0$, $y=0$ ; quand $x=2$, $y=4$ $$ V = \pi \int_0^4 (\sqrt{y})^2 \, dy = \pi \int_0^4 y \, dy = 8\pi \quad \text{(même résultat que précédemment)} $$ ### Alternative : Méthode des cylindres creux (pour référence) Si on préfère intégrer par rapport à $x$ pour une rotation autour de l'axe des $y$ : $$ V = 2\pi \int_a^b x \cdot f(x) \, dx $$ où $f(x)$ est la hauteur du cylindre à distance $x$ de l'axe des $y$. **Exemple** : Même problème : rotation de $y = x^2$ autour de l'axe des $y$, de $x=0$ à $x=2$ $$ V = 2\pi \int_0^2 x \cdot (x^2) \, dx = 2\pi \int_0^2 x^3 \, dx = 2\pi \left[ \frac{x^4}{4} \right]_0^2 = 2\pi \cdot \frac{16}{4} = 8\pi $$ Résultat identique. ### Exercices d'application corrigés **Exercice 1** : Volume engendré par la rotation de $x = 3y - y^2$ autour de l'axe des $y$, entre ses zéros sur l'axe des $y$. Zéros : $3y - y^2 = y(3-y)=0 \Rightarrow y=0, y=3$ Sur $[0,3]$, $3y - y^2 \geq 0$ $$ V = \pi \int_0^3 (3y - y^2)^2 \, dy = \pi \int_0^3 (9y^2 - 6y^3 + y^4) \, dy = \pi \left[ 3y^3 - \frac{3}{2}y^4 + \frac{y^5}{5} \right]_0^3 $$ $$ = \pi \left( 3\cdot27 - \frac{3}{2}\cdot81 + \frac{243}{5} \right) = \pi \left( 81 - \frac{243}{2} + \frac{243}{5} \right) $$ Mettre au dénominateur commun 10 : $$ = \pi \left( \frac{810}{10} - \frac{1215}{10} + \frac{486}{10} \right) = \pi \cdot \frac{81}{10} = \frac{81\pi}{10} $$ **Exercice 2** : Volume engendré par la rotation de $x = e^y$ autour de l'axe des $y$, de $y=-1$ à $y=1$ $$ V = \pi \int_{-1}^{1} (e^y)^2 \, dy = \pi \int_{-1}^{1} e^{2y} \, dy = \pi \left[ \frac{1}{2} e^{2y} \right]_{-1}^{1} = \frac{\pi}{2} (e^2 - e^{-2}) $$