Circle Geometry

# Circle Geometry ## Objectifs et prérequis Ce chapitre vise à maîtriser les propriétés géométriques et algébriques du cercle dans le plan cartésien, en intégrant les concepts de géométrie analytique et de statistique élémentaire appliquée aux loci. L’étudiant doit être capable de déduire, transformer et appliquer les équations du cercle dans divers contextes géométriques, y compris les intersections, les tangentes, les loci et les cercles particuliers (tangents aux axes, passant par des points donnés, etc.). **Prérequis** : - Maîtrise du système de coordonnées cartésiennes - Équation d’une droite : forme pente-ordonnée à l’origine, forme générale - Distance entre deux points : $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$ - Notion de milieu d’un segment - Factorisation et résolution d’équations du second degré - Notions de base sur les loci (ensemble de points satisfaisant une condition) --- ## I. Définitions et équation d’un cercle de rayon donné et centre à l’origine ### Définition Un cercle est l’ensemble des points du plan situés à une distance fixe (le rayon $r$) d’un point fixe appelé centre. > **À retenir** : L’équation d’un cercle de centre à l’origine $(0,0)$ et de rayon $r$ est : > $$x^2 + y^2 = r^2$$ ### Exemple résolu Trouver l’équation du cercle de centre $(0,0)$ et de rayon $5$. **Solution** : En appliquant la définition : $$x^2 + y^2 = 5^2 = 25$$ Donc, l’équation est $x^2 + y^2 = 25$. ### Exercices d’application corrigés 1. Écrire l’équation du cercle de centre $(0,0)$ et de rayon $\sqrt{10}$. **Corrigé** : $x^2 + y^2 = (\sqrt{10})^2 = 10$ 2. Vérifier si le point $(3,4)$ appartient au cercle $x^2 + y^2 = 25$. **Corrigé** : $3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$ → Oui, il appartient au cercle. 3. Trouver le rayon du cercle $x^2 + y^2 = 49$. **Corrigé** : $r^2 = 49 \Rightarrow r = 7$ (rayon positif). --- ## II. Conversion de l’équation d’un cercle de la forme paramétrique à la forme cartésienne ### Forme paramétrique Un cercle de centre $(h,k)$ et de rayon $r$ peut être paramétré ainsi : $$ \begin{cases} x = h + r\cos\theta \\ y = k + r\sin\theta \end{cases} \quad \text{pour } \theta \in [0, 2\pi) $$ ### Conversion vers la forme cartésienne On élimine le paramètre $\theta$ en utilisant l’identité trigonométrique $\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1$ : $$ \left(\frac{x - h}{r}\right)^2 + \left(\frac{y - k}{r}\right)^2 = 1 \quad \Rightarrow \quad (x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2 $$ > **À retenir** : La forme cartésienne générale d’un cercle est $(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$, où $(h,k)$ est le centre et $r$ le rayon. ### Exemple résolu Donnée la forme paramétrique : $$ \begin{cases} x = 2 + 3\cos\theta \\ y = -1 + 3\sin\theta \end{cases} $$ Trouver l’équation cartésienne. **Solution** : Isoler $\cos\theta$ et $\sin\theta$ : $$ \cos\theta = \frac{x - 2}{3}, \quad \sin\theta = \frac{y + 1}{3} $$ En utilisant $\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1$ : $$ \left(\frac{x - 2}{3}\right)^2 + \left(\frac{y + 1}{3}\right)^2 = 1 \quad \Rightarrow \quad (x - 2)^2 + (y + 1)^2 = 9 $$ ### Exercices d’application corrigés 1. Convertir $x = 4\cos\theta$, $y = 4\sin\theta$ en forme cartésienne. **Corrigé** : $x^2 + y^2 = 16$ 2. Donnée $x = -3 + 5\sin\theta$, $y = 7 - 5\cos\theta$, trouver l’équation cartésienne. **Corrigé** : $\sin\theta = \frac{x + 3}{5}$, $\cos\theta = \frac{7 - y}{5}$ $\left(\frac{x + 3}{5}\right)^2 + \left(\frac{7 - y}{5}\right)^2 = 1$ $\Rightarrow (x + 3)^2 + (y - 7)^2 = 25$ 3. Quelle est la forme paramétrique du cercle $(x + 4)^2 + (y - 5)^2 = 36$ ? **Corrigé** : $x = -4 + 6\cos\theta$, $y = 5 + 6\sin\theta$ --- ## III. Longueur de la tangente provenant d’un point extérieur à un cercle ### Définition La longueur de la tangente tirée d’un point extérieur $P(x_1, y_1)$ à un cercle $(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$ est la distance de $P$ au point de tangence sur le cercle. > **À retenir** : La longueur $L$ de la tangente depuis $P(x_1, y_1)$ vers le cercle $(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$ est : > $$L = \sqrt{(x_1 - h)^2 + (y_1 - k)^2 - r^2}$$ ### Dérivation Soit $C(h,k)$ le centre. Le triangle $CPT$ (où $T$ est le point de tangence) est rectangle en $T$. Donc : $$ PT^2 = CP^2 - CT^2 = (x_1 - h)^2 + (y_1 - k)^2 - r^2 $$ ### Exemple résolu Trouver la longueur de la tangente depuis $P(6,8)$ vers le cercle $x^2 + y^2 = 25$. **Solution** : Centre $(0,0)$, rayon $r = 5$ $$ L = \sqrt{(6-0)^2 + (8-0)^2 - 5^2} = \sqrt{36 + 64 - 25} = \sqrt{75} = 5\sqrt{3} $$ ### Exercices d’application corrigés 1. Longueur de la tangente depuis $(10,0)$ vers $x^2 + y^2 = 36$. **Corrigé** : $\sqrt{10^2 + 0^2 - 36} = \sqrt{64} = 8$ 2. Longueur de la tangente depuis $(-2,5)$ vers $(x+1)^2 + (y-3)^2 = 16$. **Corrigé** : Centre $(-1,3)$, $r=4$ $L = \sqrt{(-2+1)^2 + (5-3)^2 - 16} = \sqrt{1 + 4 - 16} = \sqrt{-11}$ → Pas de tangente réelle (point intérieur) 3. Trouver $k$ si la longueur de la tangente depuis $(4,3)$ vers $x^2 + y^2 = k$ est $5$. **Corrigé** : $\sqrt{4^2 + 3^2 - k} = 5 \Rightarrow \sqrt{25 - k} = 5 \Rightarrow 25 - k = 25 \Rightarrow k = 0$ --- ## IV. Recherche des coordonnées des points d’intersection d’un cercle et d’une droite ### Méthode Substituer l’expression de $y$ (ou $x$) de l’équation de la droite dans celle du cercle, puis résoudre l’équation du second degré obtenue. > **À retenir** : Pour trouver l’intersection d’une droite $y = mx + c$ et d’un cercle $(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$, substituer $y$ dans l’équation du cercle et résoudre pour $x$. ### Exemple résolu Trouver les points d’intersection de la droite $y = 2x + 1$ et du cercle $x^2 + y^2 = 25$. **Solution** : Substituer $y = 2x + 1$ : $$ x^2 + (2x + 1)^2 = 25 \quad \Rightarrow \quad x^2 + 4x^2 + 4x + 1 = 25 \quad \Rightarrow \quad 5x^2 + 4x - 24 = 0 $$ Résoudre : Discriminant : $\Delta = 4^2 - 4\cdot5\cdot(-24) = 16 + 480 = 496 = 16\cdot31$ $$ x = \frac{-4 \pm \sqrt{496}}{10} = \frac{-4 \pm 4\sqrt{31}}{10} = \frac{-2 \pm 2\sqrt{31}}{5} $$ Puis $y = 2x + 1$ : $$ y_1 = 2\left(\frac{-2 + 2\sqrt{31}}{5}\right) + 1 = \frac{-4 + 4\sqrt{31}}{5} + 1 = \frac{1 + 4\sqrt{31}}{5} $$ $$ y_2 = 2\left(\frac{-2 - 2\sqrt{31}}{5}\right) + 1 = \frac{-4 - 4\sqrt{31}}{5} + 1 = \frac{1 - 4\sqrt{31}}{5} $$ Points : $$ \left( \frac{-2 + 2\sqrt{31}}{5},\; \frac{1 + 4\sqrt{31}}{5} \right), \quad \left( \frac{-2 - 2\sqrt{31}}{5},\; \frac{1 - 4\sqrt{31}}{5} \right) $$ ### Exercices d’application corrigés 1. Intersection de $y = x$ et $x^2 + y^2 = 8$. **Corrigé** : $x^2 + x^2 = 8 \Rightarrow 2x^2 = 8 \Rightarrow x^2 = 4 \Rightarrow x = \pm 2$ Points : $(2,2)$, $(-2,-2)$ 2. Intersection de $x = 3$ et $(x-1)^2 + (y+2)^2 = 25$. **Corrigé** : $(3-1)^2 + (y+2)^2 = 25 \Rightarrow 4 + (y+2)^2 = 25 \Rightarrow (y+2)^2 = 21$ $y = -2 \pm \sqrt{21}$ → Points : $(3, -2+\sqrt{21})$, $(3, -2-\sqrt{21})$ 3. La droite $y = -x + 4$ est-elle tangente au cercle $x^2 + y^2 = 8$ ? **Corrigé** : Substituer : $x^2 + (-x+4)^2 = 8 \Rightarrow x^2 + x^2 -8x +16 = 8 \Rightarrow 2x^2 -8x +8 = 0 \Rightarrow x^2 -4x +4 = 0 \Rightarrow (x-2)^2=0$ Une solution double → tangente en $(2,2)$ --- ## V. Équation du cercle passant par les points d’intersection de deux cercles donnés et un point ### Famille de cercles Si deux cercles $S_1 = 0$ et $S_2 = 0$ se coupent en deux points, alors l’équation $S_1 + \lambda S_2 = 0$ (pour $\lambda \in \mathbb{R}$, $\lambda \neq -1$) représente un cercle passant par leurs points d’intersection. > **À retenir** : L’équation du cercle passant par les points d’intersection de $S_1 = 0$ et $S_2 = 0$ est : > $$S_1 + \lambda S_2 = 0$$ > où $\lambda$ est déterminé en imposant que le cercle passe par un point donné $P(x_0,y_0)$. ### Exemple résolu Trouver l’équation du cercle passant par les points d’intersection de $S_1: x^2 + y^2 - 4x = 0$ et $S_2: x^2 + y^2 - 6y = 0$, et passant par le point $(2,2)$. **Solution** : Famille : $S_1 + \lambda S_2 = 0$ $$ (x^2 + y^2 - 4x) + \lambda(x^2 + y^2 - 6y) = 0 \quad \Rightarrow \quad (1+\lambda)x^2 + (1+\lambda)y^2 - 4x - 6\lambda y = 0 $$ Puisque $(2,2)$ appartient au cercle : $$ (1+\lambda)(4) + (1+\lambda)(4) - 4(2) - 6\lambda(2) = 0 \quad \Rightarrow \quad 4(1+\lambda) + 4(1+\lambda) - 8 - 12\lambda = 0 \quad \Rightarrow \quad 8(1+\lambda) - 8 - 12\lambda = 0 \quad \Rightarrow \quad 8 + 8\lambda - 8 - 12\lambda = 0 \quad \Rightarrow \quad -4\lambda = 0 \quad \Rightarrow \quad \lambda = 0 $$ Donc, l’équation est $S_1 + 0\cdot S_2 = 0 \Rightarrow x^2 + y^2 - 4x = 0$ Vérification : Ce cercle passe-t-il par $(2,2)$ ? $4 + 4 - 8 = 0$ → Oui. Et par les points d’intersection de $S_1$ et $S_2$ ? Oui, par construction. ### Exercices d’application corrigés 1. Trouver l’équation du cercle passant par l’intersection de $x^2+y^2=9$ et $x^2+y^2-6x+8=0$, et passant par $(0,3)$. **Corrigé** : $S_1: x^2+y^2-9=0$, $S_2: x^2+y^2-6x+8=0$ Famille : $(x^2+y^2-9) + \lambda(x^2+y^2-6x+8)=0$ En $(0,3)$ : $(0+9-9) + \lambda(0+9-0+8)=0 \Rightarrow 0 + \lambda(17)=0 \Rightarrow \lambda=0$ → $x^2+y^2=9$ 2. Trouver $\lambda$ si le cercle $S_1 + \lambda S_2 = 0$ passe par l’origine, où $S_1: x^2+y^2-2x-3=0$, $S_2: x^2+y^2+4y-5=0$ **Corrigé** : En $(0,0)$ : $(0+0-0-3) + \lambda(0+0+0-5)=0 \Rightarrow -3 -5\lambda=0 \Rightarrow \lambda=-\frac{3}{5}$ --- ## VI. Recherche des points d’intersection de deux cercles donnés ### Méthode Soustraire les équations des deux cercles pour obtenir l’équation de la droite radicale (commun chord si ils se coupent). Puis intersecter cette droite avec l’un des cercles. > **À retenir** : La droite radicale de deux cercles $S_1=0$ et $S_2=0$ est $S_1 - S_2 = 0$. Elle contient les points d’intersection s’ils existent. ### Exemple résolu Trouver les points d’intersection de $C_1: x^2 + y^2 - 4x = 0$ et $C_2: x^2 + y^2 - 6y = 0$ **Solution** : Soustraire : $(x^2+y^2-4x) - (x^2+y^2-6y) = 0 \Rightarrow -4x + 6y = 0 \Rightarrow 2y = \frac{2}{3}x$ → $y = \frac{2}{3}x$ Substituer dans $C_1$ : $$ x^2 + \left(\frac{2}{3}x\right)^2 - 4x = 0 \quad \Rightarrow \quad x^2 + \frac{4}{9}x^2 - 4x = 0 \quad \Rightarrow \quad \frac{13}{9}x^2 - 4x = 0 \quad \Rightarrow \quad x\left(\frac{13}{9}x - 4\right) = 0 $$ Solutions : $x = 0$ ou $x = \frac{36}{13}$ - Si $x=0$, alors $y=0$ → Point $(0,0)$ - Si $x=\frac{36}{13}$, alors $y=\frac{2}{3}\cdot\frac{36}{13}=\frac{24}{13}$ → Point $\left(\frac{36}{13}, \frac{24}{13}\right)$ Vérification dans $C_2$ : Pour $(0,0)$ : $0+0-0=0$ → OK Pour $\left(\frac{36}{13},\frac{24}{13}\right)$ : $\left(\frac{36}{13}\right)^2 + \left(\frac{24}{13}\right)^2 - 6\cdot\frac{24}{13} = \frac{1296 + 576}{169} - \frac{144}{13} = \frac{1872}{169} - \frac{1872}{169} = 0$ → OK ### Exercices d’application corrigés 1. Intersection de $x^2+y^2=25$ et $x^2+y^2-10x=0$ **Corrigé** : Soustraire : $0 - (-10x) = 0 \Rightarrow 10x=0 \Rightarrow x=0$ Puis $0 + y^2 = 25 \Rightarrow y=\pm5$ → Points $(0,5)$, $(0,-5)$ 2. Intersection de $(x-1)^2+(y-2)^2=4$ et $(x+1)^2+(y-2)^2=4$ **Corrigé** : Étendre : $S_1: x^2-2x+1+y^2-4y+4=4 \Rightarrow x^2+y^2-2x-4y+1=0$ $S_2: x^2+2x+1+y^2-4y+4=4 \Rightarrow x^2+y^2+2x-4y+1=0$ $S_1-S_2 = -4x = 0 \Rightarrow x=0$ Puis $0 + y^2 -0 -4y +1=0 \Rightarrow y^2-4y+1=0 \Rightarrow y=2\pm\sqrt{3}$ → Points $(0,2+\sqrt{3})$, $(0,2-\sqrt{3})$ 3. Deux cercles sont-ils tangents si leur équation donne une seule solution d’intersection ? **Corrigé** : Oui, si la droite radicale est tangente à l’un des cercles (discriminant nul après substitution). --- ## VII. Conditions pour que deux cercles se touchent ### Définition Deux cercles se touchent s’ils ont exactement un point commun (tangence extérieure ou intérieure). > **À retenir** : Deux cercles de centres $C_1(h_1,k_1)$, $C_2(h_2,k_2)$ et de rayons $r_1$, $r_2$ se touchent si et seulement si : > $$ > d(C_1,C_2) = |r_1 \pm r_2| > $$ > où $d = \sqrt{(h_2-h_1)^2 + (k_2-k_1)^2}$ est la distance entre les centres. > - Tangence extérieure : $d = r_1 + r_2$ > - Tangence intérieure : $d = |r_1 - r_2|$ (en supposant $r_1 \geq r_2$) ### Exemple résolu Les cercles $x^2+y^2=9$ et $(x-5)^2+y^2=16$ se touchent-ils ? **Solution** : $C_1=(0,0)$, $r_1=3$ ; $C_2=(5,0)$, $r_2=4$ $d = \sqrt{(5-0)^2 + (0-0)^2} = 5$ $r_1 + r_2 = 3+4=7 \neq 5$ $|r_1 - r_2| = |3-4|=1 \neq 5$ → Ils ne se touchent pas (ils se coupent en deux points, car $1 < 5 < 7$) ### Exercices d’application corrigés 1. Les cercles $x^2+y^2=4$ et $(x-3)^2+y^2=1$ se touchent-ils ? **Corrigé** : $C_1=(0,0)$, $r_1=2$ ; $C_2=(3,0)$, $r_2=1$ $d=3$, $r_1+r_2=3$ → Tangence extérieure en $(2,0)$ 2. Trouver $k$ pour que les cercles $x^2+y^2=k$ et $(x-4)^2+y^2=9$ soient tangents extérieurement. **Corrigé** : $C_1=(0,0)$, $r_1=\sqrt{k}$ ; $C_2=(4,0)$, $r_2=3$ $d=4$ Tangence extérieure : $\sqrt{k} + 3 = 4 \Rightarrow \sqrt{k}=1 \Rightarrow k=1$ 3. Les cercles $x^2+y^2-6x+8=0$ et $x^2+y^2-4y=0$ sont-ils tangents ? **Corrigé** : Compléter les carrés : $S_1: (x-3)^2 + y^2 = 1$ → $C_1=(3,0)$, $r_1=1$ $S_2: x^2 + (y-2)^2 = 4$ → $C_2=(0,2)$, $r_2=2$ $d = \sqrt{(3-0)^2 + (0-2)^2} = \sqrt{9+4}=\sqrt{13}\approx3.606$ $r_1+r_2=3$, $|r_1-r_2|=1$ Puisque $1 < \sqrt{13} < 3$ → Ils se coupent en deux points → Pas de tangence --- ## VIII. Équation du cercle passant par le point d’intersection d’une droite donnée et d’un cercle ### Méthode Soit $S=0$ l’équation du cercle et $L=0$ l’équation de la droite. Alors l’équation $S + \lambda L = 0$ représente un cercle passant par les points d’intersection de $S=0$ et $L=0$ (si ils existent). > **À retenir** : L’équation du cercle passant par les points d’intersection du cercle $S=0$ et de la droite $L=0$ est : > $$S + \lambda L = 0$$ > où $\lambda$ est déterminé par une condition supplémentaire (ex. : passant par un point donné). ### Exemple résolu Trouver l’équation du cercle passant par les points d’intersection de $S: x^2 + y^2 - 4x = 0$ et $L: y = 2x$, et passant par le point $(1,1)$. **Solution** : Écrire $L=0$ sous la forme $2x - y = 0$ Famille : $S + \lambda L = 0$ $$ (x^2 + y^2 - 4x) + \lambda(2x - y) = 0 \quad \Rightarrow \quad x^2 + y^2 + (-4 + 2\lambda)x - \lambda y = 0 $$ Puisque $(1,1)$ appartient au cercle : $$ 1^2 + 1^2 + (-4 + 2\lambda)(1) - \lambda(1) = 0 \quad \Rightarrow \quad 1 + 1 -4 + 2\lambda - \lambda = 0 \quad \Rightarrow \quad -2 + \lambda = 0 \quad \Rightarrow \quad \lambda = 2 $$ Donc, l’équation est : $$ x^2 + y^2 + (-4 + 4)x - 2y = 0 \quad \Rightarrow \quad x^2 + y^2 - 2y = 0 \quad \Rightarrow \quad x^2 + (y-1)^2 = 1 $$ ### Exercices d’application corrigés 1. Cercle passant par l’intersection de $x^2+y^2=9$ et $x+y=3$, et passant par $(0,0)$. **Corrigé** : $S: x^2+y^2-9=0$, $L: x+y-3=0$ Famille : $(x^2+y^2-9) + \lambda(x+y-3)=0$ En $(0,0)$ : $(0+0-9) + \lambda(0+0-3)=0 \Rightarrow -9 -3\lambda=0 \Rightarrow \lambda=-3$ → $x^2+y^2-9 -3x-3y+9=0 \Rightarrow x^2+y^2-3x-3y=0$ 2. Cercle passant par l’intersection de $x^2+y^2-2x=0$ et $y=x$, et passant par $(2,0)$. **Corrigé** : $S: x^2+y^2-2x=0$, $L: x-y=0$ Famille : $(x^2+y^2-2x) + \lambda(x-y)=0$ En $(2,0)$ : $(4+0-4) + \lambda(2-0)=0 \Rightarrow 0 + 2\lambda=0 \Rightarrow \lambda=0$ → $x^2+y^2-2x=0$ 3. Quelle est la condition pour que $S+\lambda L=0$ représente un cercle (et non une droite) ? **Corrigé** : Le coefficient de $x^2$ et $y^2$ doit être non nul et égal. Ici, il est $1$ pour les deux → toujours un cercle tant que $\lambda \in \mathbb{R}$ (sauf si on avait des coefficients différents, mais ici $S$ a coeff 1 pour $x^2,y^2$). --- ## IX. Lugar d’un point ### Définition Le lieu d’un point est l’ensemble de toutes les positions qu’il peut occuper sous une condition donnée. > **À retenir** : Pour trouver le lieu d’un point $P(x,y)$ satisfaisant une condition, exprimer la condition en équation impliquant $x$ et $y$, puis simplifier. ### Exemple résolu Trouver le lieu d’un point dont la somme des carrés des distances aux points $A(-1,0)$ et $B(1,0)$ est égale à $10$. **Solution** : Soit $P(x,y)$. $PA^2 = (x+1)^2 + y^2$ $PB^2 = (x-1)^2 + y^2$ Condition : $PA^2 + PB^2 = 10$ $$ (x+1)^2 + y^2 + (x-1)^2 + y^2 = 10 \quad \Rightarrow \quad (x^2+2x+1) + (x^2-2x+1) + 2y^2 = 10 \quad \Rightarrow \quad 2x^2 + 2 + 2y^2 = 10 \quad \Rightarrow \quad x^2 + y^2 = 4 $$ Donc, le lieu est le cercle $x^2 + y^2 = 4$. ### Exercices d’application corrigés 1. Lieu d’un point équidistant de $(0,0)$ et $(4,0)$. **Corrigé** : $PA = PB \Rightarrow \sqrt{x^2+y^2} = \sqrt{(x-4)^2+y^2}$ Élever au carré : $x^2+y^2 = x^2-8x+16+y^2 \Rightarrow 0 = -8x+16 \Rightarrow x=2$ → Lieu : la droite $x=2$ 2. Lieu d’un point dont la distance à l’origine est deux fois sa distance à l’axe des $x$. **Corrigé** : Distance à l’origine : $\sqrt{x^2+y^2}$ Distance à l’axe des $x$ : $|y|$ Condition : $\sqrt{x^2+y^2} = 2|y|$ Élever au carré : $x^2+y^2 = 4y^2 \Rightarrow x^2 = 3y^2 \Rightarrow y = \pm \frac{x}{\sqrt{3}}$ → Deux droites : $y = \frac{x}{\sqrt{3}}$ et $y = -\frac{x}{\sqrt{3}}$ 3. Lieu du milieu d’une corde de longueur fixe $2a$ d’un cercle $x^2+y^2=r^2$. **Corrigé** : Soit $M(x,y)$ le milieu d’une corde de longueur $2a$. Alors, la distance du centre au milieu $OM = d$ satisfait : $d^2 + a^2 = r^2$ (théorème de Pythagore dans le triangle rectangle formé par le rayon, la moitié de la corde et la distance du centre au milieu) Donc : $x^2 + y^2 + a^2 = r^2 \Rightarrow x^2 + y^2 = r^2 - a^2$ → Cercle concentrique de rayon $\sqrt{r^2 - a^2}$ (si $r > a$) --- ## X. Axe radical de deux cercles ### Définition L’axe radical de deux cercles est l’ensemble des points ayant la même puissance par rapport aux deux cercles. > **À retenir** : L’axe radical des cercles $S_1=0$ et $S_2=0$ est donné par $S_1 - S_2 = 0$. C’est une droite perpendiculaire à la ligne des centres. ### Exemple résolu Trouver l’axe radical des cercles $S_1: x^2 + y^2 - 4x + 2y - 1 = 0$ $S_2: x^2 + y^2 + 2x - 4y + 3 = 0$ **Solution** : $S_1 - S_2 = (-4x - 2x) + (2y - (-4y)) + (-1 - 3) = -6x + 6y - 4 = 0$ Simplifier : $-6x + 6y - 4 = 0 \Rightarrow 3x - 3y + 2 = 0$ → L’axe radical est $3x - 3y + 2 = 0$ ### Exercices d’application corrigés 1. Axe radical de $x^2+y^2=9$ et $x^2+y^2-6x+8=0$ **Corrigé** : $S_1-S_2 = 0 - (-6x+8) = 6x - 8 = 0 \Rightarrow 3x - 4 = 0$ 2. Axe radical de $(x-1)^2+(y-2)^2=4$ et $(x+3)^2+(y-1)^2=9$ **Corrigé** : Étendre $S_1$: $x^2-2x+1+y^2-4y+4=4 \Rightarrow x^2+y^2-2x-4y+1=0$ Étendre $S_2$: $x^2+6x+9+y^2-2y+1=9 \Rightarrow x^2+y^2+6x-2y+1=0$ $S_1-S_2 = (-2x-6x) + (-4y+2y) + (1-1) = -8x -2y = 0 \Rightarrow 4x + y = 0$ 3. L’axe radical de deux cercles tangents extérieurement passe par leur point de tangence. Vrai ou faux ? **Corrigé** : Vrai. Le point de tangence a une puissance nulle par rapport aux deux cercles → il appartient à l’axe radical. ---