Special Discrete Probability Distributions

# Special Discrete Probability Distributions ## Objectifs et prérequis Ce chapitre vise à maîtriser les lois de probabilité discrètes fondamentales : binomiale, géométrique et de Poisson. À l’issue de ce cours, l’étudiant doit pouvoir identifier, modéliser, calculer des probabilités, des espérances et des variances, utiliser des tables cumulatives, ajuster une loi à des données, et appliquer ces distributions à des problèmes réels. Il doit également savoir comparer ces lois et reconnaître quand l’une peut approximer l’autre. **Prérequis** : Notions de probabilité élémentaire (espace probabilisé, variable aléatoire discrète, fonction de masse de probabilité), calcul combinatoire (coefficients binomiaux, factorielle), sommation de suites, limite de suites, et manipulation d’exponentielles. --- ## I. Introduction to the binomial distribution / its characteristics La loi binomiale modélise le nombre de succès dans un nombre fixé d’essais indépendents de Bernoulli, chacun ayant deux issues possibles : succès (probabilité $p$) ou échec (probabilité $q = 1-p$). > **Définition** : Une variable aléatoire discrète $X$ suit une loi binomiale de paramètres $n$ (nombre d’essais) et $p$ (probabilité de succès) si sa fonction de masse de probabilité (fmp) est : > $$ > P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}, \quad k = 0, 1, 2, \dots, n > $$ > où $\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ est le coefficient binomial. **Caractéristiques** : - Essais indépendants et identiquement distribués (i.i.d.). - Nombre fixé d’essais $n$. - Deux issues possibles par essai. - Probabilité de succès constante $p$. **Exemple 1** : On lance une pièce équilibrée 10 fois. Quelle est la probabilité d’obtenir exactement 4 faces ? - $n = 10$, $p = 0.5$, $k = 4$ - $P(X=4) = \binom{10}{4} (0.5)^4 (0.5)^6 = 210 \times (0.5)^{10} = 210 \times \frac{1}{1024} = \frac{210}{1024} \approx 0.2051$ **Exercice 1** : Une usine produit des ampoules avec un taux de défaut de 2%. On en prend 20 au hasard. Quelle est la probabilité d’avoir exactement 1 ampoule défectueuse ? - $n=20$, $p=0.02$, $k=1$ - $P(X=1) = \binom{20}{1} (0.02)^1 (0.98)^{19} = 20 \times 0.02 \times (0.98)^{19}$ - $(0.98)^{19} \approx 0.6676$ - $P(X=1) \approx 20 \times 0.02 \times 0.6676 = 0.2670$ **Corrigé** : $P(X=1) \approx 0.267$ --- ## II. Probability of a binomial distribution Le calcul de $P(X=k)$ nécessite l’évaluation du coefficient binomial et des puissances de $p$ et $q$. Pour de grands $n$, on utilise des tables ou des approximations. **Exemple 2** : $X \sim B(15, 0.3)$. Calculer $P(X=5)$. - $\binom{15}{5} = \frac{15!}{5!10!} = \frac{15\times14\times13\times12\times11}{5\times4\times3\times2\times1} = 3003$ - $p^k = (0.3)^5 = 0.00243$ - $q^{n-k} = (0.7)^{10} \approx 0.0282475$ - $P(X=5) = 3003 \times 0.00243 \times 0.0282475 \approx 3003 \times 0.00006864 \approx 0.2061$ **Exercice 2** : $X \sim B(12, 0.4)$. Trouver $P(X \geq 3)$. - $P(X \geq 3) = 1 - P(X \leq 2) = 1 - [P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)]$ - $P(X=0) = \binom{12}{0}(0.4)^0(0.6)^{12} = 1 \times 1 \times 0.00217678 = 0.002177$ - $P(X=1) = \binom{12}{1}(0.4)^1(0.6)^{11} = 12 \times 0.4 \times 0.00362797 = 12 \times 0.00145119 = 0.017414$ - $P(X=2) = \binom{12}{2}(0.4)^2(0.6)^{10} = 66 \times 0.16 \times 0.00604662 = 66 \times 0.00096746 = 0.063852$ - $P(X \leq 2) \approx 0.002177 + 0.017414 + 0.063852 = 0.083443$ - $P(X \geq 3) = 1 - 0.083443 = 0.916557$ **Corrigé** : $P(X \geq 3) \approx 0.9166$ --- ## III. Expectation of a binomial distribution L’espérance d’une variable aléatoire binomiale est linéaire en $n$ et $p$. > **Propriété** : Si $X \sim B(n, p)$, alors : > $$ > \mathbb{E}(X) = np > $$ > $$ > \text{Var}(X) = np(1-p) > $$ **Démonstration (esquisse)** : $X = \sum_{i=1}^n X_i$, où $X_i \sim \text{Ber}(p)$, indépendants. Alors $\mathbb{E}(X_i) = p$, donc $\mathbb{E}(X) = \sum \mathbb{E}(X_i) = np$. **Exemple 3** : $X \sim B(25, 0.2)$. Alors $\mathbb{E}(X) = 25 \times 0.2 = 5$. On s’attend à 5 succès en moyenne. **Exercice 3** : Un test à choix multiples comporte 20 questions, chacune avec 4 options. Un étudiant répond au hasard. Quelle est le nombre attendu de bonnes réponses ? - $n=20$, $p=1/4=0.25$ - $\mathbb{E}(X) = 20 \times 0.25 = 5$ **Corrigé** : 5 bonnes réponses en moyenne. --- ## IV. Recurrence formulae Les formules de récurrence permettent de calculer $P(X=k+1)$ à partir de $P(X=k)$ sans recalculer le coefficient binomial à chaque fois. > **Formule de récurrence pour la loi binomiale** : > $$ > P(X = k+1) = P(X = k) \cdot \frac{n-k}{k+1} \cdot \frac{p}{1-p}, \quad k = 0, 1, \dots, n-1 > $$ **Démonstration** : $$ \frac{P(X=k+1)}{P(X=k)} = \frac{\binom{n}{k+1} p^{k+1} q^{n-k-1}}{\binom{n}{k} p^k q^{n-k}} = \frac{n-k}{k+1} \cdot \frac{p}{q} $$ **Exemple 4** : $X \sim B(10, 0.3)$. Sachant que $P(X=0) = (0.7)^{10} \approx 0.0282475$, trouver $P(X=1)$, $P(X=2)$. - $P(X=1) = P(X=0) \cdot \frac{10-0}{0+1} \cdot \frac{0.3}{0.7} = 0.0282475 \times 10 \times \frac{3}{7} \approx 0.0282475 \times 4.2857 \approx 0.12106$ - $P(X=2) = P(X=1) \cdot \frac{10-1}{1+1} \cdot \frac{0.3}{0.7} = 0.12106 \times \frac{9}{2} \times \frac{3}{7} = 0.12106 \times 4.5 \times 0.4286 \approx 0.12106 \times 1.9287 \approx 0.2335$ **Exercice 4** : $X \sim B(8, 0.4)$. $P(X=0) = (0.6)^8 \approx 0.016796$. Calculer $P(X=1)$ et $P(X=2)$ par récurrence. - $P(X=1) = 0.016796 \times \frac{8}{1} \times \frac{0.4}{0.6} = 0.016796 \times 8 \times \frac{2}{3} \approx 0.016796 \times 5.3333 \approx 0.08958$ - $P(X=2) = 0.08958 \times \frac{7}{2} \times \frac{0.4}{0.6} = 0.08958 \times 3.5 \times \frac{2}{3} \approx 0.08958 \times 2.3333 \approx 0.2090$ **Corrigé** : $P(X=1) \approx 0.0896$, $P(X=2) \approx 0.2090$ --- ## V. Cumulative distribution function La fonction de répartition $F(k) = P(X \leq k)$ est la somme des probabilités de $0$ à $k$. > **Définition** : Pour $X \sim B(n,p)$, > $$ > F(k) = P(X \leq k) = \sum_{i=0}^{k} \binom{n}{i} p^i (1-p)^{n-i} > $$ **Exemple 5** : $X \sim B(6, 0.5)$. Trouver $F(2) = P(X \leq 2)$. - $P(X=0) = \binom{6}{0}(0.5)^6 = 1 \times 0.015625 = 0.015625$ - $P(X=1) = \binom{6}{1}(0.5)^6 = 6 \times 0.015625 = 0.09375$ - $P(X=2) = \binom{6}{2}(0.5)^6 = 15 \times 0.015625 = 0.234375$ - $F(2) = 0.015625 + 0.09375 + 0.234375 = 0.34375$ **Exercice 5** : $X \sim B(5, 0.3)$. Calculer $F(1)$. - $P(X=0) = (0.7)^5 = 0.16807$ - $P(X=1) = \binom{5}{1}(0.3)(0.7)^4 = 5 \times 0.3 \times 0.2401 = 5 \times 0.07203 = 0.36015$ - $F(1) = 0.16807 + 0.36015 = 0.52822$ **Corrigé** : $F(1) \approx 0.5282$ --- ## VI. Cumulative binomial probability table Les tables cumulatives donnent $P(X \leq k)$ pour divers $n$ et $p$, évitant les calculs répétitifs. **Exemple d’utilisation de table** : Pour $n=10$, $p=0.2$, trouver $P(X \leq 3)$. - Dans la table binomiale cumulative, ligne $n=10$, colonne $p=0.2$, on lit à $k=3$ : $P(X \leq 3) \approx 0.8791$ **Exercice 6** : En utilisant une table binomiale cumulative, trouver $P(X \geq 4)$ pour $X \sim B(12, 0.25)$. - $P(X \geq 4) = 1 - P(X \leq 3)$ - Dans la table, $n=12$, $p=0.25$, $k=3$ : $P(X \leq 3) \approx 0.5812$ - Donc $P(X \geq 4) = 1 - 0.5812 = 0.4188$ **Corrigé** : $P(X \geq 4) \approx 0.4188$ > **À retenir** : Les tables cumulatives sont essentielles pour éviter les calculs lourds, surtout pour de grands $n$. --- ## VII. Fitting a binomial distribution to a given data Ajuster une loi binomiale signifie estimer $p$ à partir des données observées, en supposant que le processus suit $B(n,p)$. > **Méthode des moments** : On égale la moyenne empirique à $np$ pour estimer $\hat{p} = \frac{\bar{x}}{n}$, où $\bar{x}$ est la moyenne observée du nombre de succès par échantillon. **Exemple 7** : On effectue 50 essais de 10 lancers de pièce chacun. On enregistre le nombre de faces à chaque essai. La moyenne observée est $\bar{x} = 4.8$. Estimer $p$. - $n=10$ (fixé par le protocole) - $\hat{p} = \frac{\bar{x}}{n} = \frac{4.8}{10} = 0.48$ **Exercice 7** : Dans une usine, on contrôle 30 lots de 50 composants chacun. Le nombre moyen de défectueux par lot est 3.5. Estimer le taux de défaut $p$. - $n=50$, $\bar{x}=3.5$ - $\hat{p} = \frac{3.5}{50} = 0.07$ **Corrigé** : $\hat{p} = 0.07$ (soit 7%) > **À retenir** : L’ajustement suppose que les essais sont indépendants et que $p$ est constant. Vérifier ces hypothèses est crucial. --- ## VIII. Geometric distribution La loi géométrique modélise le nombre d’essais nécessaires pour obtenir le premier succès dans une suite d’essais de Bernoulli i.i.d. > **Définition** : Soit $X$ le nombre d’essais jusqu’au premier succès (y compris l’essai réussi). Alors $X \sim \text{Geo}(p)$ si : > $$ > P(X = k) = (1-p)^{k-1} p, \quad k = 1, 2, 3, \dots > $$ > Certaines définitions comptent le nombre d’échecs avant le premier succès : alors $P(Y = k) = (1-p)^k p$, $k=0,1,2,\dots$. Nous utilisons la première version (nombre d’essais). **Caractéristiques** : - Mémoirelessness : $P(X > m+n \mid X > m) = P(X > n)$ - Support : $\{1, 2, 3, \dots\}$ **Exemple 8** : Probabilité d’obtenir le premier 6 au 4ème lancer d’un dé équilibré. - $p = 1/6$, $k=4$ - $P(X=4) = (5/6)^{3} \times (1/6) = \frac{125}{216} \times \frac{1}{6} = \frac{125}{1296} \approx 0.09645$ **Exercice 8** : Un joueur a une probabilité de 0.3 de marquer un but à chaque tir. Quelle est la probabilité qu’il marque son premier but au 5ème tir ? - $p=0.3$, $k=5$ - $P(X=5) = (0.7)^4 \times 0.3 = 0.2401 \times 0.3 = 0.07203$ **Corrigé** : $P(X=5) \approx 0.0720$ --- ## IX. Expectation and variance of a geometric distribution > **Propriétés** : Si $X \sim \text{Geo}(p)$ (nombre d’essais jusqu’au premier succès), alors : > $$ > \mathbb{E}(X) = \frac{1}{p}, \quad \text{Var}(X) = \frac{1-p}{p^2} > $$ **Démonstration (esquisse)** : Utiliser la somme de séries géométriques ou la propriété de mémoirelessness. **Exemple 9** : $X \sim \text{Geo}(0.2)$. Alors $\mathbb{E}(X) = 1/0.2 = 5$, $\text{Var}(X) = 0.8 / 0.04 = 20$. **Exercice 9** : La probabilité qu’un appel téléphonique soit répondu est 0.25. Quel est le nombre attendu d’appels pour obtenir une réponse ? Quelle est l’écart-type ? - $\mathbb{E}(X) = 1/0.25 = 4$ - $\text{Var}(X) = 0.75 / (0.25)^2 = 0.75 / 0.0625 = 12$ - $\sigma = \sqrt{12} \approx 3.464$ **Corrigé** : Espérance = 4 appels, écart-type ≈ 3.464 --- ## X. Applications of binomial distributions Les applications sont nombreuses : contrôle qualité, sondages, génétique, etc. **Exemple 10** : Dans une population, 30% des personnes ont un certain gène. On en sélectionne 15 au hasard. Quelle est la probabilité qu’au moins 5 aient ce gène ? - $X \sim B(15, 0.3)$, $P(X \geq 5) = 1 - P(X \leq 4)$ - En utilisant une table ou calcul : $P(X \leq 4) \approx 0.5155$ (valeur approximative) - $P(X \geq 5) \approx 1 - 0.5155 = 0.4845$ **Exercice 10** : Un médicament est efficace chez 60% des patients. On le teste sur 8 patients. Quelle est la probabilité qu’il soit efficace sur exactement 6 patients ? - $P(X=6) = \binom{8}{6} (0.6)^6 (0.4)^2 = 28 \times 0.046656 \times 0.16 = 28 \times 0.00746496 \approx 0.2090$ **Corrigé** : $P(X=6) \approx 0.209$ --- ## XI. Characteristics / Expectation of poisson distribution La loi de Poisson modélise le nombre d’événements rares se produisant dans un intervalle fixe de temps ou d’espace, sous des conditions d’homogénéité et d’indépendance. > **Définition** : Une variable aléatoire discrète $X$ suit une loi de Poisson de paramètre $\lambda > 0$ (taux moyen d’événements par unité) si : > $$ > P(X = k) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k!}, \quad k = 0, 1, 2, \dots > $$ **Caractéristiques** : - Événements rares et indépendants. - Intervalle fixe (temps, longueur, aire, volume). - $\lambda$ est à la fois l’espérance et la variance. > **Propriété** : Si $X \sim \text{Pois}(\lambda)$, alors : > $$ > \mathbb{E}(X) = \lambda, \quad \text{Var}(X) = \lambda > $$ **Exemple 11** : Le nombre d’appels reçus par un centre d’appel suit une loi de Poisson avec $\lambda = 5$ appels par heure. Quelle est la probabilité de recevoir exactement 3 appels en une heure ? - $P(X=3) = \frac{e^{-5} 5^3}{3!} = \frac{0.0067379 \times 125}{6} = \frac{0.8422375}{6} \approx 0.1404$ **Exercice 11** : Le nombre de fautes d’orthographe par page dans un manuscrit suit une loi de Poisson avec $\lambda = 0.8$. Trouver la probabilité qu’une page n’ait aucune faute. - $P(X=0) = \frac{e^{-0.8} 0.8^0}{0!} = e^{-0.8} \approx 0.4493$ **Corrigé** : $P(X=0) \approx 0.4493$ --- ## XII. Variance of poisson distribution Comme indiqué ci-dessus, pour une loi de Poisson, la variance est égale à l’espérance. > **Propriété** : $\text{Var}(X) = \lambda$ lorsque $X \sim \text{Pois}(\lambda)$ **Exemple 12** : Si $\lambda = 4.5$, alors $\mathbb{E}(X) = 4.5$, $\text{Var}(X) = 4.5$, $\sigma = \sqrt{4.5} \approx 2.121$ **Exercice 12** : Le nombre de voitures passant par un péage par minute suit une loi de Poisson avec $\lambda = 3.2$. Quelle est l’écart-type ? - $\sigma = \sqrt{3.2} \approx 1.789$ **Corrigé** : $\sigma \approx 1.789$ --- ## XIII. Uses of the poisson distribution La loi de Poisson est utilisée pour modéliser : - Nombre de défauts dans un matériau ou un tissu. - Nombre de clients arrivant à un guichet. - Nombre de particules émises par une source radioactive. - Nombre d’accidents sur une route sur une période donnée. - Nombre de fautes de frappe dans un document. **Exemple 13** : Une usine produit du tissu avec un taux moyen de 2 défauts par mètre carré. Quelle est la probabilité qu’un mètre carré choisi au hasard ait au plus 1 défaut ? - $X \sim \text{Pois}(2)$, $P(X \leq 1) = P(X=0) + P(X=1)$ - $P(X=0) = e^{-2} \approx 0.1353$ - $P(X=1) = 2 e^{-2} \approx 0.2707$ - $P(X \leq 1) \approx 0.1353 + 0.2707 = 0.4060$ **Exercice 13** : Le nombre de météores visibles par heure dans une région suit une loi de Poisson avec $\lambda = 4$. Quelle est la probabilité d’en voir entre 2 et 4 inclus ? - $P(2 \leq X \leq 4) = P(X=2)+P(X=3)+P(X=4)$ - $P(X=2) = \frac{e^{-4} 4^2}{2!} = \frac{0.0183156 \times 16}{2} = 0.1465$ - $P(X=3) = \frac{e^{-4} 4^3}{6} = \frac{0.0183156 \times 64}{6} \approx 0.1954$ - $P(X=4) = \frac{e^{-4} 4^4}{24} = \frac{0.0183156 \times 256}{24} \approx 0.1954$ - Somme ≈ $0.1465 + 0.1954 + 0.1954 = 0.5373$ **Corrigé** : $P(2 \leq X \leq 4) \approx 0.537$ --- ## XIV. The distribution of random events La loi de Poisson émerge comme limite de la loi binomiale lorsque $n \to \infty$, $p \to 0$, et $np \to \lambda$ constant. Cela justifie son utilisation pour des événements rares dans un grand nombre d’essais. --- ## XV. The unit interval of the poisson distribution Cette notion n’est pas standard. On l’interprète comme l’application de la loi de Poisson à un intervalle unitaire (ex. : par heure, par mètre, etc.), où $\lambda$ représente le taux moyen par unité. Si l’on change d’unité, $\lambda$ change proportionnellement. **Exemple** : Si $\lambda = 6$ appels par heure, alors par demi-heure, $\lambda = 3$; par 2 heures, $\lambda = 12$. **Exercice 14** : Le nombre de défaillances d’un serveur suit une loi de Poisson avec $\lambda = 1.2$ par jour. Quelle est la probabilité d’avoir exactement 2 défaillances en 3 jours ? - En 3 jours, $\lambda = 1.2 \times 3 = 3.6$ - $P(X=2) = \frac{e^{-3.6} (3.6)^2}{2!} = \frac{0.0273237 \times 12.96}{2} \approx \frac{0.3541}{2} \approx 0.1770$ **Corrigé** : $P(X=2) \approx 0.177$ --- ## XVI. The recurrence formula / Mode for a poisson distribution > **Formule de récurrence pour la loi de Poisson** : > $$ > P(X = k+1) = P(X = k) \cdot \frac{\lambda}{k+1}, \quad k = 0, 1, 2, \dots > $$ **Démonstration** : $$ \frac{P(X=k+1)}{P(X=k)} = \frac{e^{-\lambda} \lambda^{k+1} / (k+1)!}{e^{-\lambda} \lambda^k / k!} = \frac{\lambda}{k+1} $$ > **Mode** : Le mode de $X \sim \text{Pois}(\lambda)$ est $\lfloor \lambda \rfloor$ si $\lambda$ n’est pas entier, et $\lambda$ et $\lambda-1$ si $\lambda$ est entier. **Exemple 15** : $X \sim \text{Pois}(4.3)$. Alors le mode est $\lfloor 4.3 \rfloor = 4$. Vérifier par récurrence : $P(X=0)=e^{-4.3}\approx0.0136$ - $P(X=1)=0.0136 \times 4.3 / 1 \approx 0.0585$ - $P(X=2)=0.0585 \times 4.3 / 2 \approx 0.1257$ - $P(X=3)=0.1257 \times 4.3 / 3 \approx 0.1801$ - $P(X=4)=0.1801 \times 4.3 / 4 \approx 0.1936$ - $P(X=5)=0.1936 \times 4.3 / 5 \approx 0.1665$ → décroît après 4 → mode = 4 **Exercice 15** : $X \sim \text{Pois}(5)$. Trouver le mode et vérifier que $P(X=5) > P(X=4)$ et $P(X=5) > P(X=6)$. - Comme $\lambda=5$ entier, les modes sont 4 et 5. - $P(X=4) = \frac{e^{-5} 5^4}{24} = \frac{0.0067379 \times 625}{24} \approx \frac{4.2112}{24} \approx 0.1755$ - $P(X=5) = \frac{e^{-5} 5^5}{120} = \frac{0.0067379 \times 3125}{120} \approx \frac{21.0559}{120} \approx 0.1755$ - $P(X=6) = \frac{e^{-5} 5^6}{720} = \frac{0.0067379 \times 15625}{720} \approx \frac{105.279}{720} \approx 0.1462$ - Donc $P(X=4)=P(X=5) > P(X=6)$ → modes = 4 et 5 **Corrigé** : Les modes sont 4 et 5. --- ## XVII. The poisson distribution as an approximation to the binomial distribution Lorsque $n$ est grand, $p$ est petit, et $np = \lambda$ modéré, la loi binomiale $B(n,p)$ peut être approximée par une loi de Poisson $\text{Pois}(\lambda)$. > **Condition d’approximation** : $n \geq 20$ et $p \leq 0.05$, ou $np \leq 10$. **Exemple 16** : $X \sim B(100, 0.02)$. Alors $\lambda = np = 2$. Approximer $P(X=3)$ par la loi de Poisson. - Exacte (binomiale) : $P(X=3) = \binom{100}{3} (0.02)^3 (0.98)^{97} \approx 161700 \times 0.000008 \times 0.1466 \approx 0.189$ - Approximation de Poisson : $P(X=3) = \frac{e^{-2} 2^3}{3!} = \frac{0.1353 \times 8}{6} = \frac{1.0824}{6} \approx 0.1804$ - Les valeurs sont proches (0.189 vs 0.180), erreur relative ≈ 4.8% **Exercice 16** : Dans un lot de 5000 composants, la probabilité de défaut est 0.001. Approximer la probabilité d’avoir exactement 4 défauts par la loi de Poisson. - $n=5000$, $p=0.001$, $\lambda = 5$ - $P(X=4) \approx \frac{e^{-5} 5^4}{24} = \frac{0.0067379 \times 625}{24} \approx \frac{4.2112}{24} \approx 0.1755$ - (Valeur exacte binomiale serait très proche, mais calcul lourd) **Corrigé** : $P(X=4) \approx 0.1755$ > **À retenir** : L’approximation de Poisson est utile quand le calcul binomial est complexe et que les conditions sont remplies. --- ## XVIII. Applications of poisson distributions Voir section XIII. Autres exemples : - Nombre de neutrons émis par seconde par une source radioactive. - Nombre de demandes de connexion à un serveur web par seconde. - Nombre de cas rares de maladie dans une population sur une période donnée. **Exemple 17** : Le nombre de cas de maladie rare dans une ville de 100 000 habitants suit une loi de Poisson avec $\lambda = 1.8$ par mois. Quelle est la probabilité d’avoir au moins 3 cas en un mois ? - $P(X \geq 3) = 1 - P(X \leq 2)$ - $P(X=0)=e^{-1.8}\approx0.1653$ - $P(X=1)=1.8 e^{-1.8}\approx0.2975$ - $P(X=2)=\frac{1.8^2}{2} e^{-1.8}=1.62 \times 0.1653 \approx 0.2678$ - $P(X \leq 2) \approx 0.1653+0.2975+0.2678=0.7306$ - $P(X \geq 3) \approx 1 - 0.7306 = 0.2694$ **Exercice 17** : Le nombre de fautes dans un câble de fibre optique suit une loi de Poisson avec $\lambda = 0.4$ défauts par km. Quelle est la probabilité qu’un tronçon de 5 km ait exactement 1 défaut ? - En 5 km, $\lambda = 0.4 \times 5 = 2$ - $P(X=1) = \frac{e^{-2} 2^1}{1!} = 2 e^{-2} \approx 2 \times 0.1353 = 0.2706$ **Corrigé** : $P(X=1) \approx 0.271$ --- ## XIX. Comparism of distributions | Caractéristique | Binomiale $B(n,p)$ | Géométrique $Geo(p)$ | Poisson $Pois(\lambda)$ | |------------------|--------------------|----------------------|--------------------------| | Nombre d’essais | Fini ($n$) | Indéfini (jusqu’au 1er succès) | Indéfini (intervalle fixe) | | Support | $\{0,1,\dots,n\}$ | $\{1,2,3,\dots\}$ | $\{0,1,2,\dots\}$ | | Paramètres | $n, p$ | $p$ | $\lambda$ | | Espérance | $np$ | $1/p$ | $\lambda$ | | Variance | $np(1-p)$ | $(1-p)/p^2$ | $\lambda$ | | Mémoirelessness | Non | Oui | Non | | Utilisation | Nombre de succès en $n$ essais | Essais jusqu’au 1er succès | Événements rares dans intervalle | | Approximation | → Poisson si $n$ grand, $p$ petit, $np$ modéré | — | → Binomiale si $\lambda$ petit et $n$ connu (rare) | > **À retenir** : La loi de Poisson peut approximer la binomiale sous conditions. La géométrique est liée à la binomiale négative (non au programme ici). ---